ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Το Πρόβληµα Μεταφοράς Άλλες µέθοδοι επιλογής τοποθεσίας Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής

Σύνοψη διάλεξης Ορισµός του προβλήµατος µεταφοράς συσχέτιση µε πρόβληµα τοποθεσίας Μοντελοποίηση προβλήµατος µεταφοράς Εύρεση βασικής εφικτής λύσης Αλγόριθµος επίλυσης Παράδειγµα εφαρµογής Άλλες µέθοδοι επίλυσης του προβλήµατος επιλογής τοποθεσίας 2

Ορισµός προβλήµατος Σεπερίπτωσηπουηεπιχείρησηκαλείταινααποφασίσειγιατην εγκατάσταση νέας µονάδας σε δίκτυο υπαρχόντων εγκαταστάσεων που αλληλεπιδρούν, εκτός από την επιλογή της πλέον συµφέρουσας τοποθεσίας, ηδιοίκησηπρέπειακόµα νακαθορίσειτηνδυναµικότητα κάθε εγκατάστασης και την διανοµή αγαθών µεταξύ τους Αν και σε µερικές περιπτώσεις, οέµπειρος αναλυτής µπορεί να αναγνωρίσει µε απλή παρατήρηση και την βοήθεια της µεθόδου δοκιµής-λάθους δυνατές λύσεις, στις περισσότερες περιπτώσεις, πιο επιστηµονικά τεκµηριωµένες µέθοδοι είναι αναγκαίες Μια από τις µεθόδους που χρησιµοποιείται ευρέως για τον προσδιορισµό τηςβέλτιστηςδιανοµής προϊόντων από τα διάφορα εργοστάσια στις αποθήκες της επιχείρησης είναι το πρόβληµα µεταφοράς 3

Ορισµός προβλήµατος Το πρόβληµα αφορά στην επιλογή της ποσότητας που πρέπει να διακινηθεί ανάµεσα σε δυο ή περισσότερα εργοστάσια (πηγές προµήθειας) και δυο ή περισσότερες αποθήκες (προορισµούς), ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος µεταφοράς Πιο συγκεκριµένα, ο αναλυτής οφείλει να δοκιµάσει διάφορους συνδυασµούς τοποθεσίας και δυναµικότητας, να εφαρµόσει την µέθοδο µεταφοράς για κάθε έναν από αυτούς τους συνδυασµούς και, έτσι, να βρει την βέλτιστη κατανοµή που προκύπτει Το πρόβληµα µεταφοράς ορίζεται µε βάσητοσύνολοτωνπηγώνροής και των προορισµών τους σε συνδυασµό µε αποστάσεις, κόστη που συνδέονται µε αυτές, περιορισµούς δηµιουργίας και τέλους ροών και επιτρεπτές κατευθύνσεις ροών 4

Ορισµός προβλήµατος Θεωρούµε m πηγές ροής (π.χ., εργοστάσια παραγωγής) που δηµιουργούν συγκεκριµένες ποσότητες, οι οποίες προωθούνται σε n προορισµούς ροής (π.χ., αποθήκες) µε συγκεκριµένη ζήτηση Θέτοντας i τον µετρητή των πηγών και j τον µετρητή των προορισµών, έχουµε δηµιουργία ροής (δυναµικότητα) a i από κάθε πηγή i και ζήτηση (χωρητικότητα) b j από κάθε προορισµό j. Τέλος υποθέτουµε ότι το σύστηµα είναι σε ισορροπία, δηλαδή το σύνολο των ροών από τις πηγές (παροχή) ισούται µε τοσύνολοτων ροών προς τους προορισµούς (ζήτηση) σύµφωνα µε τησχέση: m i= 1 a i = b Οι αριθµοί a i και b j, i=1,2,,m και j=1,2,,n, θεωρούνται µη αρνητικοί, πράγµα πουσυµβαίνει σε όλες σχεδόν τις εφαρµογές στην πράξη (π.χ., πραγµατική δυναµικότητα εργοστασίων και χωρητικότητα αποθηκών) n j= 1 j 5

Ορισµός προβλήµατος Για κάθε ζεύγος πηγής-προορισµού (i, j) υπάρχει ένα κόστος c ij που σχετίζεται µε τη µεταφορά από την πηγή i στον προορισµό j Ητιµή καιαυτήςτηςπαραµέτρου θεωρείται µη αρνητική, µια και στην πράξητοκόστοςαφοράστηντιµολόγηση των υπηρεσιών µεταφοράς είτε από ίδια µεταφορικά µέσα είτε από µεταφορά µέσω τρίτων Το πρόβληµα έγκειται στον προσδιορισµό της διάρθρωσης των ροών µεταξύ πηγών και προορισµών ώστε να ικανοποιούνται οι δυναµικότητες των πηγών (παροχές) καιοιχωρητικότητεςτων προορισµών (ζητήσεις) µε τοελάχιστοκόστοςµεταφοράς Εποµένως, οι µεταβλητές απόφασης µπορούν να εκφρασθούν ως οι ποσότητες ροής (µεταφοράς) µεταξύ κάθε ζεύγους πηγής και προορισµού, x ij, i=1,2,,m και j=1,2,,n. 6

Ελαχιστοποίησε: Μαθηµατικό µοντέλο Με τους περιορισµούς: n x ij = j=1 m x ij = i=1 x ij 0 m n i= 1 j= 1 a i b j c ij x ij i = 1, 2,, m j = 1, 2,, n Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους µεταφοράς µεταξύ όλων των ζευγών πηγών-προορισµών Περιορισµός ροής από κάθε πηγή i στη µέγιστη παροχή της (δυναµικότητα) ai Περιορισµός ροής προς κάθε προορισµό j στη µέγιστή ζήτηση (χωρητικότητα) bj i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Μη αρνητικότητα µεταβλητών απόφασης 7

Μαθηµατικό µοντέλο x 11 + x 12 + + x 1n = a 1 x 21 + x 22 + + x 2n = a 2 x m1 + x m2 + + x mn = a m x 11 + x 21 + x m1 = b 1 x 12 + x 22 + x m2 = b 2 x 1n + x 2n + x mn = b n Ηδοµή του προβλήµατος µπορεί να αναγνωρισθεί καλύτερα γράφοντας αναλυτικά τις ισότητες των περιορισµών 8

Μαθηµατικό µοντέλο Σε πρακτικές εφαρµογές δεν υπάρχει ανάγκη να γραφούν αναλυτικά οι περιορισµοί και η αντικειµενική συνάρτηση του µοντέλου, µια και αρκεί η παράθεση των διανυσµάτων a, b και του πίνακα C για την περιγραφή του προβλήµατος, που έχουν τη µορφή: a=(a 1,a 2,,a m ), b=(b 1,b 2,,b n ), C = c c... cm 11 21 1 c c c 12 22... m2............ c c c 1n 2n... mn 9

Μαθηµατικό µοντέλο Η λύση του προβλήµατος µπορεί να δοθεί µε τηµορφή ενός πίνακα m n, καιόλοιοιυπολογισµοί, όπως θα δούµε γίνονταισεπίνακεςτης ίδιας διάστασης Για τη διευκόλυνση της παρουσίασης θα χρησιµοποιήσουµε ένα παράδειγµα µε 4 πηγές και 5 προορισµούς, το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα a, b και του πίνακα C που ακολουθούν: 3 4 6 8 9 a=(30,80,10,60), b=(10,50,20,80,20), C= Παρατηρούµε ότι για το παράδειγµα η εξίσωση ισορροπίας ισχύει µια και το άθροισµα των παροχών είναι ίσο µε τοάθροισµα τωνζητήσεων (=180) 2 2 3 2 2 3 4 2 2 5 3 4 5 2 2 10

Εύρεση Βασικής Εφικτής Λύσης Για το πρόβληµα τηςµεταφοράς υπάρχει µια απλή και άµεση µέθοδος προσδιορισµού µιας βασικής εφικτής λύσης, η οποία αποτελεί και τη βάση για το γενικό αλγόριθµο επίλυσης Η µέθοδος ονοµάζεται Κανόνας Βορειοδυτικής Γωνίας και εκτελείται στον ακόλουθο πίνακα λύσης: x 11 x 12 x 13 x 1n a 1 x 21 x 22 x 23 x 2n a 2 x m1 x m2 x m3 x mn a m b 1 b 2 b 3 b n Τα στοιχεία (x ij ) των κελιών του παραπάνω πίνακα αποτελούν µια λύση, ενώ κενά κελιά αντιστοιχούν σε µηδενικές τιµές των µεταβλητών. Η τελευταία γραµµή περιέχει τα στοιχεία του διανύσµατος b ενώ η τελευταία στήλη τα στοιχεία του διανύσµατος a 11

Εύρεση Βασικής Εφικτής Λύσης Ξεκινώντας µε όλα τα κελιά κενά, ο Κανόνας της Βορειοδυτικής Γωνίας ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: Βήµα 1: Άρχισε από το κελί στη Βορειοδυτική Γωνία του Πίνακα Λύσης. Βήµα 2: ώσε τη µέγιστη εφικτή τιµή στο στοιχείο του κελιού ώστε να πληρούνται οι περιορισµοί παροχής (τελευταία στήλη) και ζήτησης (τελευταία γραµµή). Τουλάχιστον ένας από τους περιορισµούς δεν ικανοποιείται. Βήµα 3: Μετακινήσου ένα κελί προς τα δεξιά αν υπάρχει διαθέσιµη παροχή ή ένα κελί προς τα κάτω αν υπάρχει διαθέσιµη ζήτηση. Αν όλοι οι περιορισµοί έχουν ικανοποιηθεί τότε ΤΕΛΟΣ. ιαφορετικά 12 επέστρεψε στο Βήµα 2.

Εύρεση Βασικής Εφικτής Λύσης Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα του παραδείγµατος και εφαρµόζοντας τον Κανόνα της Βορειοδυτικής Γωνίας λαµβάνουµε το αποτέλεσµα του Πίνακα Λύσης που ακολουθεί: 10 20 30 30 20 30 80 10 10 40 20 60 10 50 20 80 20 Στο πρώτο βήµα, δίνουµε τιµή 10 στη µεταβλητή του βορειοδυτικού κελιού του Πίνακα Λύσης γιατί αυτό απαιτείται από τη ζήτηση του πρώτου προορισµού (πρώτο στοιχείο της τελευταίας γραµµής) Ητιµή αυτήαφήνειδιαθέσιµη παροχή20 µονάδων από την πρώτη πηγή (δυναµικότητα 30 τιµή 10 = 20) Εποµένως µετακινούµαστε ένα κελί δεξιά, φτάνοντας στο δεύτερο κελί της πρώτης γραµµής και δίνουµε τιµή 20 στο στοιχείο του κελιού µια και ελάχιστη είναι η εναποµείνασα παροχή (20) αφού η ζήτηση του δεύτερου προορισµού είναι 50 Στη συνέχεια µετακινούµαστε ένα κελί κάτω (δεύτερη γραµµή, δεύτερη στήλη) µια και υπάρχει διαθέσιµη ζήτηση από τον προορισµό 2 Τα υπόλοιπα βήµατα είναι προφανή και ακολουθούν την ίδια λογική 13

Αλγόριθµος επίλυσης Για την επίλυση του προβλήµατος µεταφοράς θα χρησιµοποιήσουµε τους πολλαπλασιαστές Simplex για τις βασικές µεταβλητές µε τη διανυσµατική µορφή λ=(u, v) - ο πολλαπλασιαστής u i αφορά στον περιορισµό παροχής i και ο πολλαπλασιαστής v j αφορά στον περιορισµό ζήτησης j Οι πολλαπλασιαστές αναφέρονται σε κυκλωµένα στοιχεία του πίνακα C της βασικής εφικτής λύσης που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές Ο Πίνακας που ακολουθεί µας δίνει τα κυκλωµένα στοιχεία για το παράδειγµα µετά την εφαρµογή του Κανόνα της Βορειοδυτικής Γωνίας Παρατηρούµε ότι τα κυκλωµένα στοιχεία αντιστοιχούν στα µη κενά κελιά που προέκυψαν από τη µέθοδο 3 4 6 8 9 2 2 4 5 5 2 2 2 3 2 3 3 2 4 2 14

Αλγόριθµος επίλυσης Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένας από τους περιορισµούς είναι πλεονάζων και εποµένως σε έναν από τους πολλαπλασιαστές Simplex µπορεί να δοθεί µια οποιαδήποτε τυχαία τιµή Για διευκόλυνση, ας θεωρήσουµε ότιv n = 0 Οι πολλαπλασιαστές Simplex εκφράζονται ως ακολούθως: u i + v j = c ij Με δεδοµένο ότι v n =0, οι τιµές όλων των πολλαπλασιαστών u i και v j µπορούν να βρεθούν µε προς τα πίσω αντικατάσταση των τιµών αν ο Πίνακας είναι τριγωνικός ηλαδή: πρώτα βρίσκουµε τηντιµή τουu m =c mn µετά την τιµή τουv n -1=c m,n-1-u m και ούτω καθεξής 15

Αλγόριθµος επίλυσης Η γενική προσέγγιση για την εύρεση των τιµών των πολλαπλασιαστών Simplex, µε δεδοµένη µια βασική εφικτή λύση και κυκλωµένα τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε βασικές µεταβλητές, είναι η εξής (Αλγόριθµος S): Βήµα 1: ώσε τυχαία τιµή σε έναν οποιοδήποτε πολλαπλασιαστή. Βήµα 2: Ψάξε τις γραµµές και στήλες του πίνακα C µέχρι να βρεθεί κυκλωµένο στοιχείο c ij ώστε είτε το u i είτε το v j να έχουν προσδιορισθεί (όχι και τα δύο). Βήµα 3: Υπολόγισε την τιµή τουu i ήτουv j που σχετίζεται µε τοc ij του Βήµατος 2 µε βάση την προηγούµενη σχέση. Αν όλοι οι πολλαπλασιαστές έχουν βρεθεί τότε ΤΕΛΟΣ. ιαφορετικά επέστρεψε στο Βήµα 2. 16

Αλγόριθµος επίλυσης Επιστρέφοντας στο παράδειγµα και εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο, θέτοντας στο Βήµα 1 v 5 =0, λαµβάνουµε το παρακάτω αποτέλεσµα: u 3 4 6 8 9 5 2 2 4 5 5 3 2 2 2 3 2 1 3 3 2 4 2 2 v -2-1 1 2 0 Οι υπολογισµοί για τους πολλαπλασιαστές, µετά το Βήµα 1, ξεκινούν από το στοιχείο c 45 =2 και αφού v 5 =0 έπεται ότι u 4 =2 Στη συνέχεια προκύπτει ότι v 4 =c 44 -u 4 =4-2=2 Μετά προσδιορίζονται οι πολλαπλασιαστές u 3 =c 34 -v 4 =3-2=1 και u 2 =c 24 - v 4 =5-2=3, και κατόπιν οι πολλαπλασιαστές v 3 =c 23 -u 2 =4-3=1 και v 2 =c 22 -u 2 =2-3=1 Τέλος βρίσκονται οι τιµές των πολλαπλασιαστών u 1 =c 12 -v 2 =4-(-1)=5 και 17 v 1 =c 11 -u 1 =3-5=(-2)

Αλγόριθµος επίλυσης Έχοντας προσδιορίσει τους πολλαπλασιαστές Simplex µπορούµε να υπολογίσουµε τα καθαρά οριακά εισοδήµατα (relative cost coefficients) των µη βασικών µεταβλητών που δίνονται από τη σχέση: r ij = c ij - u i - v j Η παραπάνω σχέση ισχύει και για τις βασικές µεταβλητές, θεωρώντας µηδενικό καθαρό οριακό εισόδηµα γι αυτές Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει τις τιµές των οριακών καθαρών εισοδηµάτων για το παράδειγµά µας (τιµές µεέντονοχρώµα δηλώνουν αντιστοιχία µε βασικές µεταβλητές): 0 0 0 1 4 1 0 0 0 2 3 2 0 0 1 3 2-1 0 0 18

Αλγόριθµος επίλυσης Από τη θεωρία της µεθόδου Simplex, γνωρίζουµε ότι αρνητικές τιµές των οριακών καθαρών εισοδηµάτων προσδιορίζουν µεταβλητές υποψήφιες για ένταξηστηβασικήλύση Εποµένως, µια και το πρόβληµα µεταφοράς είναι γραµµικό, αρνητικά οριακά καθαρά εισοδήµατα δείχνουν µεταβλητές υποψήφιες για ένταξη στη βασική λύση και µάλιστα η µικρότερη αρνητική τιµή δηλώνει την επικρατέστερη υποψήφια µηβασική µεταβλητή Επιλέγοντας µια µη βασικήµεταβλητή µε αρνητικό οριακό εισόδηµα και εισάγοντας την στη βάση, βελτιώνουµε τη λύση του προβλήµατος Οι αλλαγές στη βάση προσδιορίζονται για το πρόβληµα τηςµεταφοράς µε πολύ απλό τρόπο Συγκεκριµένα, έχοντας την υποψήφια (αρνητικού καθαρού οριακού εισοδήµατος) µεταβλητή x ij, χαρακτηρίζουµε µε (+) το αντίστοιχο κελί του πίνακα C και µε (0), (+) και (-) κελιά που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές της προηγούµενης βασικής εφικτής λύσης, έτσι ώστε µετά την αλλαγή η νέα λύση να είναι εφικτή Αυτός ο χαρακτηρισµός αναδιαρθρώνει τη ροή µεταξύ πηγών και προορισµών 19

Αλγόριθµος επίλυσης Σηµειώνουµε ότιστοχαρακτηρισµένο πίνακα πρέπει σε κάθε γραµµή ήστήλη, αν υπάρχει ένας (+) χαρακτηρισµός, να υπάρχει κι ένας (-) χαρακτηρισµός Οι χαρακτηρισµοί οριοθετούν το µετασχηµατισµό της βασικής λύσης µε την εισαγωγή της µεταβλητής x ij Η πορεία των χαρακτηρισµών ακολουθεί δεξιόστροφο βρόγχο (εκτός αν δεν είναι δυνατό, οπότε χρησιµοποιούµε αριστερόστροφο βρόγχο) Γιαναεπιτύχουµε τηµεγαλύτερη µείωση στην αντικειµενική συνάρτηση, προσέχουµε ότανέχουµε τη δυνατότητα επιλογών, δηλαδή πολλαπλά στοιχεία βασικών µεταβλητών στην ίδια γραµµή ήστήλη, να χαρακτηρίζουµε µε (-) το στοιχείο εκείνο µε το µέγιστο κόστος (γιατί θα έχει µεγαλύτερη επίπτωση στην τιµή τηςαντικειµενικής συνάρτησης) Αντίστοιχα, χαρακτηρίζουµε µε (+) το στοιχείο εκείνο µε τοελάχιστοκόστος Μετά το τέλος των χαρακτηρισµών, επιλέγουµε τηνβασικήµεταβλητή µε (-) χαρακτηρισµό και ελάχιστη τιµή για απαλοιφή από τη βασική λύση Η αλλαγή γίνεται δίνοντας τιµή ίσηµε τηντιµή τηςβασικήςµεταβλητής µε (-) ή (+) χαρακτηρισµό και ελάχιστη τιµή στην εισερχόµενη βασική µεταβλητή και επαναπροσδιορίζοντας τις τιµές των υπολοίπων βασικών µεταβλητών ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισµοί παροχής και ζήτησης 20

Αλγόριθµος επίλυσης Το τελευταίο είναι ισοδύναµο µε αφαίρεσηήπρόσθεσητηςτιµής της νέας µεταβλητής στις προηγούµενες βασικές µεταβλητές ανάλογα µε τοπρόσηµο του χαρακτηρισµού Η διαδικασία του χαρακτηρισµού, της απαλοιφής και του επαναπροσδιορισµού τιµών ονοµάζεται Αλγόριθµος Κύκλου Αλλαγών Με βάση τον Κανόνα της Βορειοδυτικής Γωνίας και τους Αλγορίθµους S και Κύκλου Αλλαγών, µπορούµενασυνθέσουµε µια πλήρη προσέγγιση στο πρόβληµα µεταφοράς όπως ο Αλγόριθµος Μεταφοράς που ακολουθεί: Βήµα 1: ιαµόρφωσε µια βασική εφικτή λύση µε τον Κανόνα Βορειοδυτικής Γωνίας. Βήµα 2: Υπολόγισε του Πολλαπλασιαστές Simplex µε τον Αλγόριθµο S και τα οριακά καθαρά εισοδήµατα. Αν όλα τα οριακά καθαρά εισοδήµατα είναι µη αρνητικά, τότε η λύση είναι βέλτιστη ΤΕΛΟΣ. ιαφορετικά πήγαινε στο Βήµα 3. Βήµα 3: Επέλεξε τη µηβασική µεταβλητή που αντιστοιχεί στο ελάχιστο αρνητικό οριακό καθαρό εισόδηµα. Εφάρµοσε τον Αλγόριθµο Κύκλου Αλλαγών και επέστρεψε στο Βήµα 2. 21

Παράδειγµα εφαρµογής Επιστρέφοντας στο παράδειγµά µας, βλέπουµε ότιηµεταβλητή x 43, είναιυποψήφιαπροςένταξηστηβάσηµια και x 43 = -1 Εποµένως το στοιχείο (4,3) του πίνακα C χαρακτηρίζεται µε (+) Εξετάζοντας την τρίτη στήλη του Πίνακα, βλέπουµε ότιυπάρχειµόνο µια άλλη βασική µεταβλητή (x 23 ), η οποία χαρακτηρίζεται µε (-) Στη συνέχεια εξετάζουµε τηγραµµή 2 στην οποία έγινε η τελευταία αλλαγή και επιλέγουµε τοστοιχείο(2,4) για αύξηση - δεξιόστροφη επιλογή Πηγαίνοντας στην τέταρτη στήλη, χαρακτηρίζουµε µε (-) το µέγιστο στοιχείο (4,4) και µε (0) το στοιχείο (3,4) Η διαδικασία καταλήγει στην τέταρτη γραµµή, όπου αρκεί ο χαρακτηρισµός µε (0) τουτελευταίουστοιχείου 22

Παράδειγµα εφαρµογής Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί: 10 (0) 20 (0) 30 30 (0) 20 (-) 30 (+) 80 10 (0) 10 (+) 40 (-) 20 (0) 60 10 50 20 80 20 Επιλέγοντας τη βασική µεταβλητή µε θετικό ή αρνητικό χαρακτηρισµό και ελάχιστη τιµή (δηλαδή τη µεταβλητή x 23 µεταξύ των x 23, x 24 και x 44 ), µπορούµε ναπροβούµε σε προσδιορισµό της νέας λύσης, όπως στον Πίνακα που ακολουθεί: 10 20 30 30 50 80 10 10 20 20 20 60 10 50 20 80 20 23

Παράδειγµα εφαρµογής Με τη νέα αυτή βασική εφικτή λύση επιστρέφουµε στοβήµα 2 του αλγορίθµου µεταφοράς και υπολογίζουµε τουςνέους πολλαπλασιαστές Simplex και τα νέα οριακά καθαρά εισοδήµατα που παρατίθενται στους πίνακες που ακολουθούν Επειδήόλατακαθαράεισοδήµατα είναι µη αρνητικά, ηλύσηείναι βέλτιστη και ο αλγόριθµος µεταφοράς σταµατά u 3 4 6 8 9 5 2 2 4 5 5 3 2 2 2 3 2 1 3 3 2 4 2 2 v -2-1 0 2 0 0 0 1 1 4 1 0 1 0 2 3 2 1 0 1 1 2 0 0 0 24

Άλλες µέθοδοι επιλογής θέσης Τα πραγµατικά προβλήµατα επιλογής θέσης που οι επιχειρήσεις καθηµερινά αντιµετωπίζουν είναι τόσο πολύπλοκα που απαιτούν χρήση εξειδικευµένων υπολογιστικών προγραµµάτων Ας πάρουµε το παράδειγµα πουαντιµετωπίζει ένας µεσαίος κατασκευαστής, καθώς έχει να διανείµει χιλιάδες προϊόντα από τις αποθήκεςτουήσταθµούς διανοµής σε διάφορα κέντρα ζήτησης Θα πρέπει να καθορίσει τον αριθµό, µέγεθος, τοποθεσία και τρόπο διανοµής των προϊόντων του από τις διάφορες αποθήκες του Μπορεί να χειρίζεται χιλιάδες κέντρα ζήτησης, διάφορες παραγωγικές µονάδες σε διάφορα σηµεία, πολλές γραµµές παραγωγής και εκατοντάδεςεναλλακτικέςτοποθεσίεςαποθηκών Για τον σκοπό της ανάλυσης τέτοιου είδους πολύπλοκων προβληµάτων τρία βασικά είδη µοντέλων ηλεκτρονικού υπολογιστή έχουν αναπτυχθεί: προσεγγιστικές (ευρετικές) µέθοδοι, προσοµοίωση και βελτιστοποίηση 25

Ευρετικές Μέθοδοι Πρόκειται για κατευθυντήριες οδηγίες λύσης ή εµπειρικούς κανόνες που βρίσκουν εφικτές, αλλά όχι απαραίτητα βέλτιστες, λύσεις σε πολύπλοκα προβλήµατα Στα πλεονεκτήµατα τους συµπεριλαµβάνονται αποτελεσµατικότητα και ικανότητα να χειρίζονται γενικά προβλήµατα Μια από τις πρώτες ευρετικές µεθόδους για την επίλυση προβληµάτων επιλογής θέσεως αναπτύχθηκε περισσότερο από τρεις δεκαετίες πριν για τον χειρισµό αρκετών εκατοντάδων πιθανών τοποθεσιών αποθηκών και αρκετών χιλιάδων κέντρων ζήτησης από τους Kuehn and Hamburger Πολλές άλλες ευρετικές µέθοδοι είναι σήµερα διαθέσιµες για την επίλυση µιας µεγάλης ποικιλίας διαφορετικών καταστάσεων 26

Προσοµοίωση Μια τεχνική που αναπαράγει την αναµενόµενη συµπεριφορά του συστήµατος και για αυτό χειρίζεται το πρόβληµα πιο ρεαλιστικά λέγεται προσοµοίωση Τα µοντέλα προσοµοίωσης επιτρέπουν στον αναλυτή να εκτιµήσει διάφορες εναλλακτικές τοποθεσίες µε την µέθοδο δοκιµής και λάθους Εναπόκειται στον ίδιο τον αναλυτή να προτείνει τις πιο λογικές εναλλακτικές 27

Βελτιστοποίηση Η µέθοδος µεταφοράς είναι µια από τις πρώτες διαδικασίες βελτιστοποίησης που χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση ενός µέρους του προβλήµατος επιλογής θέσεως εγκατάστασης σε δίκτυο Η µέθοδος τοπικών ακρότατων που επίσης παρουσιάσθηκε ανήκει στην κατηγορία αυτή Σε αντίθεση µε τις ευρετικές µεθόδους και την προσοµοίωση, η βελτιστοποίηση παρέχει την βέλτιστη λύση ενός προβλήµατος Παρόλο που η µέθοδος αυτή µοιάζει καλύτερη, χρησιµοποιεί απλουστευµένες και λιγότερο ρεαλιστικές εκδοχέςενόςπροβλήµατος 28