Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski
KAZALO: UVOD... stran 3 DEFINICJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU.. stran 4 Sinusni izrek.... stran 4 Kosinusni izrek....stran 5 DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI.stran 6 GRAF IN LASTNOSTI.stran 8 Lastnosti kotne funkcije sinus Lastnosti kotne funkcije kosinus POMEMBNEJŠE FORMULE..stran 9 Stran
UVOD: Trigonometrične (trigonometríjske) ali kotne fúnkcije so pomembne matematične funkcije. Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota. Starejše ime za te funkcije je kotomerne ali goniometrične (grško γωνία: lonía - kot) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija. Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu, oziroma kot neskončne vrste. Kot zanimivost obstaja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Sekans in kosekans se v novejšem času opuščata. Predstavila bom samo dve kotni funkcij in sicer kosinus in sinus. Oznaka: Kotno funkcijo sinus kota x označujemo z oznako sinx. Kotno funkcijo kosinus kota x označujemo z oznako cosx. Stran 3
DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje med kotom nasprotne katete in hipotenuzo. sinα = b c Sinusni izrek: Sínusni izrek pravi, da je v trikotniku razmerje med sinusom kota in dolţino nasproti leţeče stranice enako za katerikoli par stranica-nasprotni kot. Zato za trikotnik na sliki velja zveza: Stran 4
Kotna funkcija kosinus je definirana kot razmerje med kotu prileţno kateto in hipotenuzo. Kosinusni izrek cosα = a c Kosinusni izrek nam omogoča, da v trikotniku, kjer poznamo dolţini dveh stranic in velikost kota med njima, izračunamo tretjo stranico. Nalogo lahko tudi obrnemo in pri danih treh stranicah trikotnika poiščemo kateregakoli izmed kotov. Ime je dobil po kotni funkciji kosinus, ki se pojavi v enačbi. Za trikotnik na sliki tako veljajo naslednje zveze: Če je kateri izmed kotov pravi (torej meri 90 oz. π se kosinusni izrek poenostavi v Pitagorov izrek. radianov), je njegov kosinus enak 0, tedaj Stran 5
0 30 45 60 90 sinα 0 1 3 1 cosα 1 3 1 0 Primer: Izračunaj: sin45 + cos60 = + 1 = + 1 DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI: Kot v geometriji definiramo kot del ravnine, omejen z dvema poltrakoma, ki imata skupno izhodišče. Ta definicija je primerna za kote od 0 do 360. Na splošno si kot raje predstavljamo kot zasuk: v koordinatnem sistemu pozitivni del abscisne osi zasukamo okoli koordinatnega izhodišča. Pri taki definiciji kota lahko govorimo tudi o kotih, ki so večji od 360, pa tudi o kotih, ki so manjši od 0 (zasuk v negativni smeri). Pozitivni del abscisne osi imenujemo fiksni krak kota, zasukani poltrak pa gibljivi krak kota. Pri sukanju gibljivega kraka okoli izhodišča koordinatnega sistema potuje točka A(1, 0) po enotski kroţnici. Dolţina poti (d), ki jo ta točka opravi pri določenem kotu oziroma zasuku, se imenuje velikost kota v radianih. Stran 6
Ker je obseg enotske kroţnice enak π, vidimo, da je 360 = π radianov. Pri radianih po dogovoru izpuščamo oznako enote, torej pišemo kar 0 30 45 60 90 180 360 radiani 0 π π π π π π 6 4 3 Sinus kota je ordinata točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko kroţnico. Kosinus kota je abscisa točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko kroţnico. Osnovna zveza kotnih funkcij sinus in kosinus: sin x + cos x = 1 Opomba: Potence kotnih funkcij po dogovoru označujemo (v Evropi) na krajši način: (sin x) n = sin n x. Tak način označevanja smo uporabili tudi v zgornji zvezi. Po tem dogovoru pomeni tudi zapis sin 1 x = (sin x) 1 Stran 7
GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA: Opomba: Pri risanju grafov kotnih funkcij vedno privzamemo, da je argument x kot v radianih. f x = sin x PREIODIČNOST: Funkcija sinus je periodična funkcija s periodo π. LIHOST/SODOST: Funkcija sinus je liha funkcija. DEFINICIJSKO OBMOČJE: Definicijsko območje funkcije sinus je cela realna os ZALOGA VREDNOSTI: Zaloga vrednosti funkcije sinus je interval [-1,1]. NIČLE: Funkcija sinus ima ničle v točkah kπ; k je element celih števil. MAKSIMUMI: Funkcija sinus ima maksimume v točkah π + kπ ; k element celih števil. MINIMUMI: Funkcija sinus ima minimume v točkah 3π + kp; k element celih števil. ZVEZNOST: Funkcija sinus JE zvezna funkcija. f x = cos x PREIODIČNOST:Funkcija kosinus je periodična funkcija s periodo π. LIHOST/SODOST: Funkcija kosinus je soda funkcija. DEFINICIJSKO OBMOČJE: Definicijsko območje funkcije kosinus je cela realna os. ZALOGA VREDNOSTI: Zaloga vrednosti funkcije kosinus je interval [-1,1]. NIČLE: Funkcija kosinus ima ničle v točkah π + kπ; k je element celih števil. MAKSIMUMI: Funkcija kosinus ima maksimume v točkah π + kπ ; k element celih števil. MINIMUMI: Funkcija kosinus ima minimume v točkah π + kπ; k element celih števil. ZVEZNOST: Funkcija kosinus JE zvezna funkcija. Stran 8
POMEMBNEJŠE FORMULE: Adicijski izreki Adicijski izrek nam pove, kako se kosinus in sinus vsote dveh kotov izraţata z vrednostmi obeh funkcij pri posameznih členih. Primer: Izračunaj sin75? sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos x y = cos x cos y + sin x sin y sin75 = sin 30 + 45 = sin30 cos45 + sin45 cos30 = 1 + 3 = 4 + 3 4 Funkcije dvojnih kotov sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x Faktorizacija kotnih funkcij Primer: x + y x y sin x + sin y = sin cos x y x + y sin x sin y = sin cos x + y x y cos x + cos y = cos cos x + y x y cos x cos y = sin sin Natančno izračunajmo vrednosti sin35.5 + sin4.5. sin35.5 + sin4.5 = sin Razčlenjevanje kotnih funkcij 35.5 + 4.5 35.5 4.5 cos = sin30 cos5.5 = cos5.5 sin x sin y = 1 (cos(x + y) cos(x y)) cos x cos y = 1 (cos(x + y) + cos(x y)) sin x cos y = 1 (sin(x + y) + sin(x y)) Stran 9
Izraţanje funkcij s številskimi vrstami Trigonometrične funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih): Kotne funkcije komplementarnih kotov Prehod na ostri kot sin(π α) = sinα sin(π + α) = sinα cos(π α) = cosα cos(π + α) = cosα Kotne funkcije dvojnih kotov sinα = sinαcosα cosα = (cosα) (sinα) Kotne funkcije trojnih kotov sin3α = 3sinα 4(sinα) 3 cos3α = 4(cosα) 3 3cosα Stran 10