ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΣΤΑ ΟΡΙΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΟΡΙΑ. α. Αν στην δοθείσα σέση θέσω =ψ=0 θα έω ƒ(0) = (ƒ(0)) ƒ(0)(ƒ(0) ) = 0 ƒ(0) = αφού δίδεται ότι ƒ(0) 0 β. θέτω = h = + h οπότε ƒ() = ƒ( + h) = [ƒ( ) ƒ(h)] = ƒ( ) ƒ(h) = ƒ( ) ƒ(0) = ƒ( ) h h h 2. Θέτοντας στην αρική =ψ= έω ƒ() = ƒ() + ƒ() ƒ() = 0 Θέτω = h = h Άρα 3. ƒ() = ƒ( h) = [ƒ( ) + ƒ(h)] = ƒ( ) + ƒ(h) = h h h = ƒ( ) + ƒ() = ƒ( ) + 0 = ƒ( ) Ισύει ότι 0 ƒ () ƒ () + g () 0 Από κριτήριο παρεμβολής έω ƒ () = 0 ƒ () = 0 ƒ() = 0 Αλλά ισύει ƒ() ƒ() ƒ() και από κριτήριο παρεμβολής έω ότι ƒ() = 0 Παρόμοια και g() = 0 Από την σέση ƒ 2 () + g 2 () 2ημƒ() ƒ 2 () + g 2 () 2ημƒ() + ημ 2 ημ 2 (ƒ() ημ) + g () ημ οπότε όπως και προηγουμένως έω επειδή 0 (ƒ() ημ) + g () ημ και ημ = 0 και 0 (ƒ() ημ) (ƒ() ημ) + g () και [(ƒ() ημ) + g ()] = 0

(ƒ() ημ) = 0 (ƒ() ημ) = 0 (ƒ() ημ) = 0 και ƒ() ημ ƒ() ημ ƒ() ημ έουμε από κριτήριο παρεμβολής ότι Παρόμοια για την g() 4. [ ƒ() ημ] = 0 θέτοντας g() = ƒ() ημ ƒ() = g() + ημ ƒ() = [ g() + ημ] = g() + ημ = 0 Προσθέτω και αφαιρώ στον αριθμητή το ƒ() και έω ƒ() ƒ() + ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ( = ) ( + )( ) ƒ()( ) ( + )( ) = = ( + ) ƒ() ƒ() ƒ() ( + ) = 2 l 2 ƒ() = (l ƒ()) 2 5. 3( ) = 0 και 2( ) = 0 Άρα από κριτήριο παρεμβολής και ƒ() = 0 για = αν θέσω στη δοθείσα έω 0 ƒ() 0 άρα ƒ() = 0 Αν > τότε ->0 οπότε διαιρώντας την δοθείσα έω ƒ() ( ) 3( + ) ƒ() 2( + + ) και 3( + ) = 0 και 2( + + ) = 6 Άρα από κριτήριο παρεμβολής έω ότι ƒ() = 6 Παρόμοια όταν < τότε -<0 Άρα ƒ() ( ) 3( + ) ƒ() 2( + + ) Άρα ƒ() = 6 Άρα και ƒ() = 6 2

ιν. Διαιρώ με το - και έω ƒ() () = = 6 ƒ() διότι = 6 και θέτοντας -=ν του τότε ν 0 Άρα 6. ημ( ) ημν = ν = ( 2ημ(4) ) = 0 και ( 8 + ) = 0 Άρα από κριτήριο παρεμβολής ƒ() = 0 Αν >0 τότε 2ημ(4) ƒ() 8 + 2ημ(4) 2ημ(4) Αλλά = = 8 και 0 0 0 8 + ƒ() = 8 και = 0 7. Θα πρέπει ƒ() = ƒ() ( 2ημ) = 2 = α + β + γ () Επίσης ƒ() = 0 = α + β + γ (2) ƒ() (αημ + β + γ) συν = (αημ + β + γ) Από τις σέσεις (),(2) αφαιρώντας κατά μέλη έω 2α = 2 α = και για α = έω β + γ =. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία +ψ=- 3

8. Θέτω g() = ƒ() ƒ(x) g(x) + g(x) l = ƒ(x) l ƒ() ƒ(x)(g(x) ) = l( g(x) ) ƒ(x) = (()) () l( g(x) ) l( 0 ) ƒ(x) = = = l g(x) 0 9. Αφού η ƒ είναι άρτια τότε ƒ( ) = ƒ()και έω αν θέσω = u τότε = u και όταν το u ƒ() = l ƒ( ) = l ƒ(u) = l ƒ() = l Αν η ƒ είναι περιττή τότε ƒ( ) = ƒ()και έω αν θέσω = u τότε = u και όταν το u ƒ() = l ƒ( ) = l ƒ(u) = l ƒ(u) = l ƒ() = l 0. 3 2 x x x x0 2 2 x x Διαιρώντας με θα έω 4

ημ + εφ ημ + εφ = διότι ημ = ημ ημ και επειδή 2 ( ) = = 0 από κριτήριο παρεμβολής και ημ = 0 Παρόμοια και ημ = ημ = εφ = β. Θέτω -π=ν τότε =π+ν και έω π έω -π 0 και ν 0 ημ (π + ν) ( ημ(ν)) (ημ(ν)) ημν = = = ημν ν ν ν ν = 0 = 0 γ. Θέτω 2=ν και έω 0 και ν 0 τότε ημημ(ημ2) = ημημ(ημν) Θέτω ημν=ω και έω ν 0 και ημν 0 και ω 0 τότε ημημ(ημν) = ημ(ημω) Θέτω ημω=ψ και έω ω 0 και ημω 0 και ψ 0 τότε ημ(ημω) = ημψ = 0. 5

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΣΤΑ ΟΡΙΑ 2x 2 2x 2 2x + 2 ƒ(x) ƒ(x) (x 2) (x 2) 2x + 2 2x 4 (x 2) 2x + 2 2 ƒ(x) (x 2) 2x + 2 ƒ(x) 2(x 2) ƒ(x) (x 2) 2x + 2 2 ƒ(x) ( 2x + 2) x 2 ƒ(x) ( ) = 2 Άρα ƒ() = 2. α + + 2 = 2 (α + + 2 ) = (4α + 4) ( ) 2 α + + 2 2 αν α > = απροσδ. αν α = + αν α < για α=- έω α + + 2 + + 2 ( 2)( + ) = = = (x + ) = 3 2 2 2 x + β + 2 ημ( 2) = x + β + 2 2 ημ( 2) 2 x + β + 2 = = (2β + 6)(+ ) 2 και έω x + β + 2 2 + αν β > 3 = απροσδιο. αν β = 3 αν β < 3 για β=-3 έω x + β + 2 2 = x 3 + 2 2 = ( ) = 6

Αν α<- και β>-3 έει όριο το + και αν α>- και β<-3 έει όριο το - 3. διότι α = 0 όταν α > + 2 + 3 + 5 + e = + 0 + 0 + 0 + 0 = β. 2 + 3 2 = + 3 2 + 3 3 2 2 = + 3 2 3 + 3 2 2 3 + = 0 + 3 0 + = 3 γ. 2 3 2 = + 3 2 2 3 2 = + 3 3 2 2 3 2 3 + 3 = 3 δ. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για την τιμή της παραμέτρου α αν α>2, αν α=2 και αν α<2 Αν α>2 τότε θα έω Αν α<2 τότε θα έω α + 2 α + 2 = α 2 α + 4 2 α α α α + 2 2 = α α 0 + 4 0 α + 2 0 = 0 α + 2 α + 2 = α α 2 + 4 α 0 + 4 α α 2 + 2 2 = 2 α 0 + 2 = 2 Αν α=2 τότε έω 4. α + 2 α + 2 = 2 2 + 2 4 6 2 4 2 = + 2 2 6 2 = 7

(2 + )ƒ() 3 + (2 + )ƒ() 3 + + 3 (2 + )ƒ() + + 3 + 3 2 + ƒ() + + 3 2 + Επειδή + 3 + + 3 2 + = 3 και 2 + = 3 και ƒ() = 3 διότι ƒ()ημ ƒ()ημ = = ƒ() ημ = 3 5.Από την δοθείσα έω ημ,, ημu u = α. ƒ () ƒ() + > ƒ () ƒ() > 0 ƒ()(ƒ() 2) > 0 που ισύει διότι το σύνολο τιμών της ƒ είναι (2,+ ) δηλ ƒ()>2 β.από την δοθείσα έω Αλλά και ƒ () 3ƒ() + 3 = + 2 ƒ() για κάθε > 0 ƒ () 3ƒ () + 3ƒ() 2 = (ƒ() 2)(ƒ () ƒ() + ) = > 0 ƒ() 2 = 0 < ƒ () ƒ() + < ƒ () ƒ() + διότι > 0 και ƒ () ƒ() + > 0 άρα ισύει Αλλά < ƒ() 2 < ( ) ( ƒ() 2) ( ) = 0 και = 0 άρα και ( ƒ() 2) = 0 ƒ() = 2 6. 8

Αν στη δοθείσα θέσω α=β= θα έω ƒ(2) = ƒ () + Από την ƒ() = θέτω g() = ƒ() g() + = ƒ()και επομένως 0 θέτω -=u τότε το u 0 και =u+ ƒ() = [g() + ] = 0 + = 2 ƒ() ƒ() (u + ) 2 ƒ(u + ) ƒ() = 7 u 0 u (u + ) [ƒ(u) ƒ() + u] ƒ() = 7 u = 7 (u + ) ƒ(u) ƒ() + u(u + ) ƒ() = 7 u [(u + ) ƒ(u) )]ƒ() + u(u + ) = 7 u [u ƒ(u) + 2uƒ(u) + ƒ(u) ]ƒ() + (u + ) = 7 u uƒ(u) + 2ƒ(u) + ƒ(u) ƒ() +(u + ) = 7 u ƒ(u) 0 + 2 + ƒ() + = 7 3ƒ() = 6 ƒ() = 2 u Από την ƒ(2) = ƒ () + ƒ(2) = 2 + = 5 7. ƒ(2 + ) ƒ(2 ) + 3 4 ημ2 = = ƒ(2 + ) ƒ(2) ƒ(2 + ) ƒ(2) ƒ(u) ƒ(2) = u 2 ƒ(2 + ) ƒ(2) ƒ(2) + ƒ(2 ) + 3 4 ημ2 4 ημ2 ƒ(2 ) ƒ(2) = 3 aφού αντικαταστήσουμε u = + 2 = u 2 και 0 το u 2 Παρομοίως αν αντικαταστήσω 2 = u τότε = 2 u και όταν 0 το u 2 και Αρα ƒ(2 ) ƒ(2) ƒ(u) ƒ(2) ƒ(u) ƒ(2) = = = 3 2 u u 2 = 9

ƒ(2 + ) ƒ(2) ƒ(2 ) ƒ(2) + 3 4 ημ2 = 3 + 3 + 3 4 2 = 9 2 8. Άρα 9. Θέτω ƒ(3) ƒ( ) ƒ(3) = 3 3 = 3 ƒ(u) u ƒ( ) = = ƒ(u) u ƒ(3) + ƒ( ) ημ(α) 4 ημ = 7 9 3α 4 = 9 αντικαταστήσαμε 3 = u = 3 αντικαταστήσαμε = u ƒ(3) + ƒ( ) ημ(α) 4 ημ = 7 = 7 9 3α = 2 3α = 2 α = 4 ƒ() () = g()και έω g() = 8 και έω ƒ() = ( 2) g() συν π 4 4 συν π 4 2 = συν = ( 2) g() + 4 ( 2)g() + 2 + 2 = 4 π(u + 2) 4 u συν π 4 4 = 0 8 4 = 0 ( 2)g() = + + 2 πu συν 4 + π 2 πu ημ 4 = = u u συν π 4 2 = π 4 + 2 ƒ() = 0 π 4 4 = π 6 20. Από την δοθείσα για α=β= έω ƒ()=ƒ()+ƒ() ƒ()=0 Άρα ƒ() ƒ() ƒ() = = 2 Θέτω = u τότε = uξ και όταν ξ το u Επιπλέον αφού το (ξ,ƒ(ξ)) είναι σημείο της ψ= τότε ƒ(ξ)=ξ. Επομένως ƒ() ƒ(ξ) ƒ(uξ) ξ uƒ(ξ) + ξƒ(u) ƒ(ξ) = = = ξ uξ ξ uξ ξ ξƒ(u) ƒ(ξ)(u ) ƒ(u) + = ξ(u ) ξ(u ) (u ) + ƒ(ξ) = 2 + = 3 αφού ƒ(ξ) = ξ ξ 2. 0

Θέτω h() = ƒ () () ƒ () + () ƒ () () ƒ () () ƒ () () ƒ () ƒ () + () = ƒ () συν + () ημ () ƒ () () ƒ() + g() Άρα ƒ() g() h() ƒ() + g() και ( ƒ() g() ) = 0 και ( ƒ() + g() ) = 0 και απο κριτήριο παρεμβολής h() = 0 22. Επειδή ( α) = α < 0 και α < 0 κοντα στο 0 Επειδή ( + α) = α > 0 και + α > 0 κοντά στο 0 α + α + α α Αρα = = 2 που 2 = λ ( ) = λ και = + και λ = λ ( ) ( ). αν -λ>0 >λ τότε το όριο είναι + 2. αν -λ<0 <λ τότε το όριο είναι - 3. αν λ= τότε έω θέτοντας όπου λ το στην αρική ( ) = ( ) ( + ) = ( ) + = (± ) άρα δεν υπάρει το ( ) 23. Από τη δοθείσα έω α + 2 + β 4 2 = ƒ() ( 5 + 6) Επειδή ƒ() = 0 και ( 5 + 6) = 0 έουμε και (α + 2 + β 4 2) = 0 5α + β 2 = 0 β = 2 5α κοντά στο 3 σε κατάλληλη περιοή το + 2 > 0 και 4 < 0 άρα Άρα ƒ() = α( + 2) + (2 5α)( + 4) 2 = ( 3)( 2) 6α 2 ƒ() = 2 = 6α 8α 2 + 6 (6α 2)( 3) = ( 3)( 2) ( 3)( 2) = 6α 2 2 (6α 2) = 0 6α 2 = 0 α = 2 και από την β = 2 5α β = 8

24. I. Πρέπει ƒ() g() π. < = 0 και ( ) = 0 ΙΙ. Πρέπει να υπάρουν τα ƒ() και g() ΙΙΙ. Δεν αληθεύει ο ισυρισμός αφού μπορεί να μην υπάρει το ƒ() π. Για ƒ() = είναι ƒ() = 5 ενώ δεν υπάρει το ƒ() Ιν. Πρέπει g() ƒ() h() κοντά στο 2 και όι όταν ε, 6 όπου δεν ανήκει το 2 25. Ι.Είναι αληθής διότι και δεν ξενάμε ότι το αποτέλεσμα έρεται μετά τη μάη ƒ() = ƒ() = ƒ() = L ΙΙ. Είναι ψευδής αν 0 διότι π. ƒ() = τότε ƒ() = 0 2 αν = 0 ΙΙΙ. Είναι ψευδής διότι π. = 0 με = 0 Ιν. Είναι ψευδής,όι για κάθε σύνολο κοντά αλλά σε κατάλληλο σύνολο κοντά στο π. ( 2) = > 0 όμως όταν ϵ(,3) (3,5) το -2<0 όταν ϵ(,2) 2

νι Θα ήταν σωστό αν υπήρε το όριο το όριο της ƒ() 26. Διαιρώντας τη δοθείσα με 2 4 3 ημ 2 ημ έω = = + + 4 + ημ + 4 + ημ 4 διότι ημ = 0 και επειδή η παράσταση 4 + ημ 4 + ημ > 0 θα έω = 4 ημ + + = 0 + 0 = 0 και + ημ 2 = 2 και + 2 ημ 4 + ημ 4 = + 27. ƒ() = 2 +2 ημ 3 + 2 2 2 +2 3 + 2 ημ 2 2 +2 3 ( ημ + 2) + 2 2 +2 3 3 Αλλά + 2 + 2 + 2 3 + 2 = + 2 3 = 0 g() = συν4 2 + ημ 2 + ημ2 2 Αλλά + + ημ2 2 = 0 28 Θέτω h() = ƒ() εφ ƒ() = h() εφ και t() = 2 g() συν () g() = Αρα 2 ƒ() g() = h() εφ t() συν εφ συν = h()t() = h()t() ημ 2 2 Αλλά 3

ημ = ημ και ημ Απο κριτήριο παρεμβολής και = 0 ημ(ƒ()) ημ(g()) = κ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΣΤΑ ΟΡΙΑ ημ(ƒ()) ƒ() ƒ() g() διότι θέτοντας ƒ() = w τότε w = 0 και 29. = = 0 g() ημ(g()) = κ = κ ημ(ƒ()) ημw = ƒ() w w = Από την ƒ () + ƒ() = ƒ()(ƒ () + ) = ƒ() = 0 < ƒ () < ƒ () + ƒ() = 0 < ƒ() < 0 < ƒ() ƒ() από κριτήριο παρεμβολής το = 0 Από την ƒ () + ƒ() = ƒ() = ƒ() Αρα < οπότε ƒ() ƒ > 0 όταν (0, + ) () + ƒ() = = 0 Αρα ƒ() = 0 ƒ() = ƒ() ƒ() = = 30. f() = ( + β + ) = α + β + και f() = (2) = 2α. Για να υπάρει τον f() θα πρέπει f() = f() α + β + = 2α α + β + 2α = 0 (α ) + β = 0 α = και β = 0 3. με μ και κ θα έω (μ ) + (κ 2) 4 (μ ) (κ ) = = + 3 (κ ) μ κ = μ κ = μ κ (+ ) Και διακρίνουμε τις περιπτώσεις Α) με κ έω μ > 0 (κ )(μ ) > 0 (κ > και μ > ) ή (κ < και μ < ). Τότε το ζητούμενο κ 4

όριο είναι + μ < 0 (κ )(μ ) < 0 (κ > και μ < ) ή (κ < και μ > ). Τότε το ζητούμενο κ όριο είναι και αν μ (κ 2) 4 = 0 μ =. Για μ = η αρική γίνεται κ (κ ) + 3 = κ 2 κ = = κ 2 (+ ) με κ 2. Οπότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις κ Α) κ 2 > 0 (κ 2)(κ ) > 0 κ (, )U(2, + )τότε το ζητούμενο κ όριο είναι + Α2) κ 2 < 0 (κ 2)(κ ) < 0 κ (,2) τότε το ζητούμενο κ 4 Α3) αν κ = 2 τότε έουμε 4 + + Β) Αν κ = τότε το αρικό όριο γίνεται + = μ 3 = μ 3 Β) αν μ 3 Β2) αν μ 3 Β3) αν μ 3 2 + 3 = 2 = 0 (μ ) 4 3 4 (+ ) με μ και διακρίνουμε περιπτώσεις > 0 μ > τότε το όριο είναι + < 0 μ < τότε το όριο είναι 3 (μ ) 4 = = + 3 (μ ) 4 3 4 3 4 = 0 μ = οπότε το = = + 3 + 3 5