ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ. στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο Ε Κ Θ ΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα της Τράπεζας Θεμάτων του Υπουργείου Προτεινόμενα Θέματα Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathp.gr Συντονισμός: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος 1

Σωστό-Λάθος Α. Ερωτήσεις Αντικειμενικού τύπου Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Η συνάρτηση f a με 1 a είναι γνησίως φθίνουσα.. Αν a με a 1, τότε για οποιαδήποτε 1, ισχύει: 3. Ισχύει ln e 1 4. Για, 1 και ισχύει 5. Η συνάρτηση f a με a 1 log log log a 1 a 1 a log είναι γνησίως φθίνουσα στο. 1 6. Αν a 1 ισχύει πάντα η ισοδυναμία a a 1 7. Αν τότε για κάθε ισχύει η ισοδυναμία ln e 8. Ισχύει log a ( 1 ) loga 1 loga ( 1 και 1, ) 9. Ισχύει (log ) log ( 1 και ) a a c t 1. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής εκφράζεται από τη σχέση Q( t) Q e. 11. Αν 1, τότε για κάθε ισχύει log 1. Αν με 1, τότε ισχύει log 1. 13. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε 1, a a Δ με 1 ισχύει f ( 1) f ( ). 14. Η συνάρτηση f ln, με είναι γνησίως αύξουσα στο. Συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε, τα κενά στις επόμενες ισότητες, ώστε να είναι αληθείς : α. 1 log... (, 1, και 1) 1 β. a... ( 1, ) γ. ln1... δ. ln e... ε. log1...

Β. Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Αν με 1,τότε για οποιαδήποτε 1,, να αποδείξετε ότι: log log log 1 1. Να αποδείξετε ότι αν με a 1, τότε για οποιοδήποτε και ισχύει: log log 3. Να διατυπώσετε τον ορισμό του λογαρίθμου του ως προς βάση το. 3

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 1 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() 3 με IR. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g() 3 1 και h() 3 1, μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g και ποια της γραφικής παράστασης της h; (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ Δίνεται συνάρτηση α : IR 38 4 (, ) με α α, a (,1) (1, ) α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης f() α αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 13) β) Να λύσετε την ανίσωση -1 1 35. (Μονάδες 1) 4

ΘΕΜΑ 3 α) Να λύσετε την εξίσωση: ln 8 ln7 β) Να λύσετε την ανίσωση: ln 8 ln7 (Μονάδες 13) (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η συνάρτηση f() ln( 3), 3 α) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() ln β) Σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Ποια είναι η ασύμπτωτη της C f ; 5

ΘΕΜΑ 5 α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται η παράσταση A ln ln( 6) β) Να λύσετε την εξίσωση 1 ln ln( 6) ln(49) (Μονάδες 1) (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 6 f() ln e e 1. Δίνεται η συνάρτηση α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() (Μονάδες 1) (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f() ln 4 και g() ln ln4. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. β) Να λύσετε την εξίσωση f() g(). (Μονάδες 1) (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η συνάρτηση f() ln3 1. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() (Μονάδες 13) (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η συνάρτηση f() ln( 1) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. 6

β) Να βρείτε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και yy. (Μονάδες 1) γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της y ln. 7

ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 4 ο Όταν ένας ασθενής παίρνει μια δόση ενός φαρμάκου, τότε ο οργανισμός του το μεταβολίζει έτσι ώστε η ποσότητά του να μειώνεται σύμφωνα με τη συνάρτηση t f(t) q α, t, όπου t ο χρόνος (σε ημέρες), f(t) η ποσότητα του φαρμάκου (σε mg) και οι αριθμοί α, q είναι κατάλληλες θετικές σταθερές. α) Να εξηγήσετε τι παριστάνει η σταθερά q στο πλαίσιο του προβλήματος και να αιτιολογήσετε γιατί ισχύει α 1. (Μονάδες 6) β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία ημέρα μετά τη λήψη του φαρμάκου, η ποσότητά του στον οργανισμό του ασθενούς έχει υποδιπλασιαστεί. i. Να αποδείξετε ότι 1 α (Μονάδες 5) ii. Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης f, εκφράζοντας τις τιμές συναρτήσει της αρχικής τιμής q. (Μονάδες 4) t 1 3 4 5 6 7 8 f(t) q q γ) Υποθέτουμε τώρα ότι α 1 και ότι η ποσότητα του φαρμάκου που παραμένει στον οργανισμό στο τέλος της 4 ης ημέρας είναι 5 mg. i. Να υπολογίσετε την ποσότητα της δόσης που πήρε ο ασθενής. (Μονάδες 5) ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [,6] (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Σε μια περιοχή της ευρωπαϊκής ένωσης λόγω των μέτρων που πάρθηκαν ο πληθυσμός των αγροτών (σε χιλιάδες) μειώνεται σύμφωνα με τον νόμο της εκθετικής μεταβολής Q(t) Q e. Ο αρχικός πληθυσμός ήταν 8 χιλιάδες αγρότες και μετά από δύο χρόνια ct έμεινε ο μισός. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που δίνει τον πληθυσμό των αγροτών μετά από t χρόνια t ln είναι: Q(t) 8e (Μονάδες 1) 8

β) Ποιος θα είναι ο πληθυσμός των αγροτών ύστερα από τέσσερα χρόνια; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) γ) Πόσος χρόνος θα έχει περάσει όταν ο αγροτικός πληθυσμός της περιοχής θα έχει μειωθεί στους χίλιους αγρότες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η συνάρτηση f() α β για κάθε IR και α,βir. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(1,3) και Β(,13) α) Να αποδείξετε ότι α 5 και β 7. β) Να βρείτε το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y y. γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. δ) Να λύσετε την ανίσωση f 31 3. (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ 4 Μια ποσότητα ραδιενεργού υλικού (σε κιλά) θάβεται και με την πάροδο του χρόνου t (σε έτη), μειώνεται ακολουθώντας το νόμο της εκθετικής μεταβολής Q(t) Q ct e. α) Αν γνωρίζουμε ότι μετά από δύο χρόνια έχει απομείνει το 1 3 της αρχικής ποσότητας, να 1 δείξετε ότι Q(t) Q 3 t (Μονάδες 1) β) Αν μετά από τέσσερα χρόνια η ποσότητα που έχει απομείνει είναι 1 κιλό, να βρείτε την αρχική ποσότητα που θάφτηκε. γ) Να βρείτε μετά από πόσα χρόνια, η ποσότητα που θα έχει απομείνει θα είναι (Μονάδες 6) 1 81 κιλά. 9

ΘΕΜΑ 5 3 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() α β 6, α,βir. α) Να υπολογίσετε τις τιμές των α και β ώστε το πολυώνυμο Ρ() να έχει παράγοντα το 1 και η αριθμητική τιμή του για = να είναι ίση με 1. β) Για α και β=3 i. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το - ii. Να λύσετε την ανίσωση P() 14. (Μονάδες 5) iii. Να λύσετε την ανίσωση P(ln) ln 14. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f() ln e 1 και g() ln. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. β) Να λύσετε τις ανισώσεις f() και g(). γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln3) και g. e δ) Να λύσετε την εξίσωση f() f() g e 1. (Μονάδες 4) (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 7 Δίνεται η συνάρτηση f() log( ). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να υπολογίσετε τον αριθμό log 6 1 (Μονάδες 5) 1

f () f() log 6 γ) Να λύσετε την εξίσωση 44 9 1 4 (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 8 Σε ένα ανοιχτό δοχείο υπάρχουν 1 lt ενός υγρού. Το υγρό εξατμίζεται έτσι ώστε ο όγκος του να μειώνεται κατά 15% ανά εβδομάδα. α) Να βρείτε την ποσότητα του υγρού που υπάρχει στο δοχείο στο τέλος της 1 ης και στο τέλος της ης εβδομάδας. β) Ο όγκος του υγρού μετά από t εβδομάδες δίνεται από τη συνάρτηση V(t) V t α όπου V και α σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς V και α. γ) Να βρείτε πότε ο όγκος του υγρού που υπάρχει στο δοχείο είναι μικρότερος από το μισό της αρχικής του τιμής. (Δίνεται ότι: log5,7 και log85 1,93 ) ΘΕΜΑ 9 Σε ένα πείραμα εργαστηρίου, o αριθμός των βακτηρίων δίνεται από τον τύπο P(t) e ct, όπου t ο χρόνος σε ώρες από την αρχή του πειράματος. Σε μία ώρα ο αριθμός των βακτηρίων ήταν 38. (Δίνεται ότι: log(1,64),5 και log1,3 ) α) Να βρείτε τον αριθμό των βακτηρίων όταν ξεκίνησε το πείραμα. β) Να αποδείξετε ότι c 1 γ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο o αριθμός των βακτηρίων είναι μεγαλύτερος από το δεκαπλάσιο και μικρότερος από το εκατονταπλάσιο της αρχικής του τιμής. 11

ΘΕΜΑ 1 Το φορτίο ενός πυκνωτή που εκφορτίζεται μειώνεται εκθετικά. Το φορτίο του πυκνωτή δίνεται ως συνάρτηση του χρόνου (σε ms) από τον τύπο φορτίο του πυκνωτή (σε μcb). λt Q(t) Qe, όπου Q το αρχικό α) Αν τη χρονική στιγμή t ms το φορτίο είναι ίσο με το 1 4 της αρχικής του τιμής, να δείξετε ότι λ ln. β) Αν τη χρονική στιγμή t 1 ms το φορτίο του είναι 6 μcb, να αποδείξετε ότι Q 1 μcb. γ) Πότε το φορτίο του πυκνωτή γίνεται μικρότερο από 15 μcb; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 11 Δίνεται η συνάρτηση f() ln e. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() 3ln γ) Να λύσετε την ανίσωση f() 3ln ΘΕΜΑ 1 Δίνεται η συνάρτηση f() log 4 1 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() log3 log7 γ) Να λύσετε την ανίσωση f() log3 log7 1

ΘΕΜΑ 13 3 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() 5 8 α με αir. α) Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το να βρείτε το αir. β) Για α 8 να λύσετε την εξίσωση Ρ(). γ) Να λύσετε την εξίσωση ΘΕΜΑ 14 3 (ln 1) 8 (ln 1) 1 5 Δίνεται η συνάρτηση f() ln(e 1). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την ανίσωση f() f(). γ) Να λύσετε την εξίσωση ΘΕΜΑ 15 Δίνεται η συνάρτηση f 3 ημ f(συν) στο διάστημα π,. ln(3 11) f() ln( 5) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() (Μονάδες 5) (Μονάδες 13) γ) Αν 6 να λύσετε την ανίσωση f() 1 ΘΕΜΑ 16 Δίνεται η συνάρτηση f() ln( 1) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) 13

f e f e 3ln β) Να λύσετε την εξίσωση f e f e 3ln γ) Να λύσετε την ανίσωση (Μονάδες 1) (Μονάδες 1) 14

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Α. Να λύσετε την εξίσωση: 4 17 16 Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Γ. Να λύσετε την εξίσωση: f ( ) ln 4. 1 f ( ) ln 16. ΘΕΜΑ Α. Δίνεται η συνάρτηση f log 6 log 1 Α1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Α. Να λύσετε την εξίσωση: Β. Να λύσετε την ανίσωση : ΘΕΜΑ 3 log 6 log 1 3log 1 1 1 4 Δίνεται η συνάρτηση f a lne Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, όπου a πραγματικός αριθμός. Β. Να βρείτε το a ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A ln 3, 1 Γ. Για a 1, να λύσετε την εξίσωση f ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η συνάρτηση f a lne Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, όπου a πραγματικός αριθμός. Β. Να βρείτε το a ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A ln 3, 1 Γ. Για a 1, να λύσετε την εξίσωση f ΘΕΜΑ 5 Δίνονται οι συναρτήσεις 1 f ln και g log9 3 15

Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. Β. Nα λύσετε την εξίσωση: Γ. Nα λύσετε την ανίσωση: f ln 3ln g g 1 log ΘΕΜΑ 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ln( e e 1) και g( ) ln( e 1) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g. Γ. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln g. Δ. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) ln g ΘΕΜΑ 6 A. Να δείξετε ότι: B. Να λύσετε την εξίσωση: 3 log 3 8 3 3 log log log 3 3 3 8 ΘΕΜΑ 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f () log(5 4 5 ) και 1 g() 5 5 5. Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g. B. Να λύσετε την εξίσωση f () 1 g(). Γ. Να αποδείξετε ότι f ( 1) f() log g(1) log13 3. 16

Γ. Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για, 1 και ισχύει β. Η συνάρτηση γ. Ισχύει ln1 f a με a 1 log είναι γνησίως φθίνουσα στο. c t δ. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής εκφράζεται από τη σχέση Q( t) Q e ε. Αν με 1, τότε ισχύει log 1. (Μονάδες 5=1) B. Αν με 1,τότε για οποιαδήποτε 1,, να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ ο Δίνεται συνάρτηση α : IR log log log 1 1 38 4 (, ) με α α, a (,1) (1, ) (Μονάδες 15) α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης f() α αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 13) β) Να λύσετε την ανίσωση: ΘΕΜΑ 3 ο -1 1 35. (Μονάδες 1) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης M 3, 4 f 1 4 8 διέρχεται από το σημείο 17

Α. Να βρείτε την τιμή του Β. Να λύσετε την ανίσωση f Γ. Να λύσετε την εξίσωση 5 e e f 5 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f() ln e 1 και g() ln. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. β) Να λύσετε τις ανισώσεις f() και g(). γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln3) και g. e δ) Να λύσετε την εξίσωση f() f() g e 1. (Μονάδες 4) (Μονάδες 6) 18

Διαγώνισμα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για, 1 και ισχύει β. Ισχύει ln e 1 γ. Η συνάρτηση f a με 1 log a είναι γνησίως φθίνουσα στο. δ. Ισχύει log a ( 1 ) loga 1 loga ( 1 και 1, ) 1 ε. Αν a 1 ισχύει πάντα η ισοδυναμία a a 1 (Μονάδες 5=1) Β. Να αποδείξετε ότι αν με a 1, τότε για οποιοδήποτε και ισχύει: log log ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() ln3 1. (Μονάδες 15) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() (Μονάδες 13) (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f ln 3 5. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) Β. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα 19

Γ. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 4 ο 3 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() α β 6, α,βir. α) Να υπολογίσετε τις τιμές των α και β ώστε το πολυώνυμο Ρ() να έχει παράγοντα το 1 και η αριθμητική τιμή του για = να είναι ίση με 1. β) Για α και β=3 i. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το - ii. Να λύσετε την ανίσωση P() 14. (Μονάδες 5) iii. Να λύσετε την ανίσωση P(ln) ln 14. (Μονάδες 6)