oderné deláanie pre edomotnú poločnoť/ Projekt je poluinancoaný o drojo EÚ PEVNOSŤ A PLASTICITA Staebná akulta Doc Ing ical Tomko, PD Ing Tomáš Polanký
Táto publikácia nikla a inančnej podpor Európkeo ociálneo ondu rámci Operačnéo programu VZDELÁVANIE Prioritná o Reorma deláania a odbornej prípra Opatrenie Voké škol a ýkum a ýoj ako motor rooja edomotnej poločnoti Náo projektu: Balík donko pre ďalšiu reormu deláania na TUKE ITS 69 Náo : PEVNOSŤ A PLASTICITA Autori: Doc Ing ical Tomko, PD, Ing Tomáš Polanký Vdaateľ: Tecnická unierita Košiciac Rok: 5 Vdanie: pré Počet ýtlačko: Roa: 97 ISBN: 978-8-55-5-6 Rukopi neprešiel jakoou úpraou Za odbornú a obaoú tránku odpoedajú autori
ilí študenti Táto učebná pomôcka je určená Vám, študentom Staebnej akult, ab te a jednoducšie orientoali problematike naroania prko užíaním penoti a aticit taebnýc materiálo Snaou bolo jednotliýc kapitolác preentoať princíp naroania a poudoania prko užitím atickýc reer jednotliýc prko a materiálo Dúam, že Vá uedený potup oloí a nájdete ňom užitočnú pomôcku na ládnutie a pocopenie danej problematik ical Tomko Penoť a aticita Nonú čať taebnýc konštrukcií toria najčatejšie materiál ako oceľ, betón, dreo prípadne tel Pri tatickom náru je potrebné ponať mecanické latnoti týcto materiálo, modul pružnoti, mede klu a penoti Ab bolo možné o tatickéo ale aj ekonomickéo ľadika práne narnúť konštrukciu je potrebné ponať ýpočtoé potup pružnej aj atickej oblati pôobenia V prai a najčatejšie pružno-atickej oblati narujú konštrukcie robené ocele Oceľ je polkrštalický materiál, ktoréo rná majú ájomnú orientáciu Krštalograické mriežk kaujú bodoé, priamkoé a porcoé poruc Na raniciac ŕn ú rône nečitot Všetk tieto ja oňujú latnoti ocele a jej pôobenie Pod om onkajšíc íl a menia nútorné il pôobiace medi atómami a krštalograická mriežka a deormuje ateriál a môže pretárať pružne alebo atick Platické coanie materiálu je dôledkom rorušenia mediatómoýc pojení a niku noýc pojení Platické deormácie ú neratné Pri äčšení namáania a atické deormácie rošíria na uedné čati
Oba: ateriáloé model 6 Praconé diagram 6 Idealioané praconé diagram 8 V rýcloti aťažoania 9 4 Cowper Smond model 9 5 Jonon Cook model Základné ťa teórie pružnoti Všeobecný Hooko ákon Hlané napätia a deormácie Roklad na drotatickú a deiatorickú čať 5 Platicita 9 Funkcia aticit 9 Podmienk aticit Trecoa podmienka aticit 4 Von ieoa podmienka aticit 5 oroa Coulomboa podmienka aticit 4 6 Druckeroa Prageroa podmienka aticit 5 7 Spenenie materiálu 7 8 Iotropné penenie 8 9 Kinematické penenie 8 Kombinoané penenie 9 4 Porušenie materiálu 4 Jonon Cook model porušenia 5 Pružnoatický a atický ta prúto namáanýc ilami a momentmi 5 Prk namáané ťaom alebo tlakom 5 Prk namáané šmkom 5 Prk namáané jednoducom krútení 54 Prk namáané obom 55 Priere namáaný oboými momentmi 8 56 Priere namáaný oboými momentmi a normáloou ilou 9 57 Kombinácia namáania priereu I oboým momentom a normáloou ilou 4 58 Prok namáaný kombináciou obu, ooéo ťau/tlaku a šmku 4 59 Iteračná metóda pružnéo riešenia 4 5 etóda redukoanýc priereo 47 6 Dikretiácia čae - metóda centrálnc dierencií 49 6 Príklad ýpočtu pomocou eicitnej metód 55 4
7 Dnamická analýa nárau do konštrukcie oceľoéo rámu 7 7 odel oceľoéo rámu 7 7 ateriáloý model 7 7 Impactor 7 74 Sieť konečnýc prko 74 75 Kontakt 78 76 Analýa 78 77 Kái tatická analýa 79 78 Analýa nárau 8 79 Poronanie impactoro 9 Literatúra 96 5
ateriáloé model Polanie kapitol Pocopenie aťažoacej kúšk ťau a použitie praconýc diagramo Ciele kapitol Po preštudoaní kapitol b me mali edieť: - Aké ú praconé diagram? - Aký je rýcloti aťažoania? Praconé diagram Základné mecanické latnoti materiálu a určujú na áklade tatickej kúšk ťau Skúška ťau a konáa podľa účane atnej STN EN ISO 689-, ktorej ú deinoané tar a romer kúšanýc oriek Hlané tp kúšobnýc oriek ú na Obr Skúšobná orka obdĺžnikoéo priereu je na Obr Základným ýledkom mecanickej kúšk ťaom je anamenaný gra áiloti aťažujúcej il F od predĺženia ocele S5 je obraená na Obr L Ukážka ánamu tracieo troja pre orku Obr Tp priereo kúšobnýc oriek Obr Skúšobná orka 6
Obr Zánam tracieo troja Praconý diagram materiálu a určí na áklade ýledko tracieo troja prepočítaním aťažujúcej il F na normáloé napätie a predĺženia ťao L na pomerné predĺženie pomocou naledujúcic F, () S L, () L kde S je priereoá oca kúšanej ork a L je pôodná meraná dĺžka ork obraená na Obr Výledný praconý diagram jadruje áiloť napätia a pomernej deormácie Tpický praconý diagram pre úženaté materiál je na Obr4 Praconý diagram každéo materiálu áií od teot a rýcloti aťažoania Obr 4 Praconý diagram úženatýc materiálo 7
Húženaté materiál a načujú tým, že majú jednonačne oddelenú pružnú čať od atickej Po medu úmernoti pr (angl proportional limit) je ťa medi napätím a deormáciou lineárn Po prekročení mede klu (angl ield point) a opätonom odľačení otanú materiáli atické (neratné) deormácie V pružnej oblati atí Hooko ákon V atickej óne natáa najkôr tárnenie materiálu, a ktorým naleduje penenie materiálu, pri ktorom a doiane meda penoti (maimálne napätie) u (angl ultimate trengt) Poledným štádiom je tečenie materiálu, ktorom naratajú deormácie aj be šoania napätia až pokiaľ a nedoiane meda porušenia d (angl racture point) Na áklade ťaoej kúšk a určuje aj ťažnoť materiálu, ktorá a jadruje % a je deinoaná ťaom kde L u je meraná dĺžka ork po pretrnutí Idealioané praconé diagram Lu L A, () L atematické popíanie atickej oblati praconéo diagramu je pri riešení ikálnc úlo pomerne ložité, preto a pri úloác atickej oblati použíajú idealioané praconé diagram, ktoré jednodušujú áiloť napätia a pomernej deormácie atickej oblati Idealioané praconé diagram úloác malými deormáciami dotatočne tiujú práanie materiálu a rodeľujeme ic na ideálne tuoatický, ideálne pružnoatický, tuoatický lineárnm penením, pružnoatický lineárnm penením Idealioané praconé diagram ú náornené na Obr 5 Obr 5 Idealioané praconé diagram: a) Ideálne tuoatický, b) Ideálne pružnoatický c) Tuoatický lineárnm penením d) Pružnoatický lineárnm penením 8
V rýcloti aťažoania Takmer u šetkýc koo a pri ýšenej rýcloti aťažoania šuje odnota medi klu, medi penoti a šuje a aj odnota ťažnoti Poronanie praconýc diagramo ocele S5 pri rônc rýclotiac aťaženia je na Obr 6 Obr 6 Poronanie praconýc diagramo ocele S5 pri rônc rýclotiac aťaženia Na torenie komenéo materiáloéo modelu pre konkrétn materiál je potrebné ponať jeo práanie pri širokej škále rýclotí aťaženia Táto kutočnoť iedla k toreniu materiáloýc modelo oľadňujúcic rýcloť aťaženia, napríklad Cowper Smond model Jonon Cook model Zerilli Armtrong model Tanimura Ludwik model Tanimura Hockett/Serb model Ruinek Klepacko model 4 Cowper Smond model Cowper Smond materiáloý model umožňuje deinoať dnamickú medu klu pre penenie áiloti na rýcloti deormácie Výledná dnamická meda klu je deinoaná takto kde d P & C, (4) je tatická meda klu, & je rýcloť deormácie a C a P ú Cowper Smondoe konštant 9
5 Jonon Cook model Jonon Cook materiáloý model (Jonon, GR, Cook, WH, 98) je áilý na rýcloti deormácie aj na teote odel je odný pre analýu eľkýc deormácií a tiež ak men teot pôobené atickými deormáciami môžu mať ýraný na práanie materiálu Tento model je imementoaný mnoýc otéroc a je jadrený ronicou n m ( A B )( C ln )( T * ) &, (5) p p kde A, B, C, m a n ú materiáloé konštant je eektína atická deormácia, p je p & & & rýcloť atickej deormácie pre & a T * je omogénna teota Oodnoťte a ami Ako te pocopili oba kapitol, odpoedajte na oták: - Aké ú tp priereoýc oriek pri ťaoýc kúškac? - Aké ú idealioané praconé diagram? - Ako počítame pomernú deormáciu? Základné ťa teórie pružnoti Polanie kapitol Pocopenie ákladnýc ťao pružnoti Ciele kapitol Po preštudoaní kapitol b me mali edieť: - Ako je ormuloaný Hooko ákon? - Ako ú ormuloané lané napätia a deormácie? Všeobecný Hooko ákon Prietoroú napätoť šeobecne aťaženéo telea popiuje šeť neáilýc ložiek napätia, medi ktoré patria tri normáloé ložk, a, šeť šmkoýc ložiek τ, τ, τ τ, τ a ktoré a pomocou et o ájomnoti šmkoýc íl redukujú na tri ložk šmkoéo napätia τ, τ a τ Zložk napätia ú náornené na Obr Šeť neáilýc ložiek napätia ú uporiadané tĺpcoej matici τ,
() τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Obr Zložk napätia prietoroej napätoti Podobné je pretorenie elementárneo kádra carakterioané šietimi ložkami deormácie, medi ktoré patria tri normáloé ložk (relatíne predĺženie), koenie) γ, matici γ a a a tri šmkoé ložk (šmkoé γ Zložk deormácie podobne ako ložk napätia ú uporiadané tĺpcoej () γ γ γ V lineárnej teórií pružnoti je ťa medi napätím a deormáciou lineárn a pre iotropný materiál tačí ponať de materiáloé konštant Youngo modul pružnoti E a Poiono účiniteľ ν Z nic je možné počítať modul pružnoti šmku E G () ν ( )
Pri prietoroej napätoti atia pre ložk deormácie naledujúce ťa ( ν ν ), (4) E ( ν ν ), (5) E ( ν ν ) E, (6) γ τ G ( ν) E τ, (7) γ τ G ( ν) E τ, (8) γ τ G ( ν) E τ (9) Ronice (4)-(9) ú maticoom tare apíané ako γ γ γ ν ν E ν ν ν ν ( ν) ( ν) τ τ τ ( ν) () alebo kde C e, () C e je matica pružnej poddajnoti materiálu Ineriou ťau () je šeobecný Hooko ákon, alebo jadrenie napätia pomocou deormácie tare kde ( C ) D e e, ()
ν ν ν ν ν ν E ν ν ν D e () ( ν)( ν ),5ν,5ν,5ν je matica pružnej tuoti materiálu, ktorá je inerná k matici pružnej poddajnoti Hlané napätia a deormácie Hodnot ložiek napätia ú áilé od napätoti danom bode a od olenej úta úradníc, ktorej ložk napätia jadrujeme Pri otáčaní úta úradníc a menia odnot jednotliýc ložiek napätia, ašak materiál otáa ronakom tae Preto je potrebné jadriť napätotný ta materiálu pomocou inarianto napätia, čo ú odne deinoané eličin, ktoré majú ronakú odnotu pre akúkoľek útau úradníc Príkladom inariantu je tredné napätie m ( ), (4) ktoré popiuje drotatickú čať tau napätia Inými inariantmi ú lané napätia, a, ktoré a počítajú ako korene carakteritickej ronice τ τ det τ τ (5) τ τ Ide o kubickú ronicu, ktorá ma žd tri korene, a, pričom niektorýc prípadoc môžu bť korene iacnáobné, tn že de alebo šetk tri lané napätia majú ronakú odnotu Pre jednooí ťa alebo tlak je pri odnej oľbe úta úradníc jedinou ložkou napätia carakteritická ronica (5) nadobudne tar, takže koreňmi a, roine ú nenuloé iba ložk napätia tar a jej korene ú ( ), (6), ktoré ú ároeň aj lanými napätiami Pri roinnej napätoti, a τ, takže carakteritická ronica (5) má [ ( ) τ ] (7)
4,, ± τ (8) Pre drotatický tlak atí < m a τ τ τ, takže carakteritická ronica (5) má tar ( ) m (9) a má trojnáobný koreň m V tomto prípade ú šetk lané napätia ronaké m Hlané deormácie podobne ako lané napätia deinuje carakteritická ronica tare det γ γ γ γ γ γ () Stĺpcoé matice () a ( majú carakter tenoru druéo rádu, ic norma a nedá počítať ako norma pre klaický ektor euklidokom prietore Norma napätia a počíta ako τ τ τ, () maticoom tare P T, () kde P () je t škáloacia matica Pre normu deormácie atí γ γ γ, (4) maticoom tare P T, (5) kde
P (6),5,5,5 je inerná škáloacia matica Roklad na drotatickú a deiatorickú čať Hdrotatická napätoť natáa iotropnom materiáli ak ú šetk ložk normáloéo napätia ronaké a ložk šmkoéo napätia ú nuloé Po doadení do (4)-(9) τ τ τ je relatína deormácia ľubooľnom mere a ν m E (7) ateriál a teda ľubooľnom mere naťauje alebo kracuje ronakým pôobom Napríklad kocka a tranormuje opäť na kocku, iba a menia jej romer Pri drotatickej napätoti nedocáda k mene taru, ale iba k mene objemu Pod om napätia a materiál deormuje a mení oj tar aj objem Elementárn káder romermi d, d a d a objemom dv ddd a mení na ronobežnoten objemom dv ' ( ( dv O ), kde ( ) O onačuje člen, ktoré ú účin doc alebo troc ložiek normáloýc deormácií a a predpokladu malýc deormácií je možné ic anedbať Relatína mena objemu rep objemoá deormácia a jadrí ako Relatína mena objemu dv ' dv V (8) dv V nemôže áiieť od oľb úta úradníc, muí bť účet ložiek normáloýc deormácií o šetkýc troc naájom kolmýc oiac ronaký Ide teda o inariant Po doadení roníc (4)-(6) je relatína mena objemu jadrená ako kde V E ν E ( ν ν ) ( ν ν ) ( ν ν ) E ( ) ( ν ) E E m K ( υ) m, (9) E K () 5
je objemoý modul pružnoti a m tredné napätie deinoané (4) Celkoá deormácia a môže žd roložiť na de čati, ktorýc jedna odpoedá iba mene objemu a druá iba mene taru Objemoá čať deormácie predtauje ronomerné natianutie rep krátenie o šetkýc meroc, odpoedajúce priemernej odnote normáloej deormácie m ( ) V () Po odčítaní m od jednotliýc normáloýc ložiek deormácie, otane šná čať deormácie, ktorá odpoedá mene taru a naýa a deiatorická deormácia Jej normáloé ložk ú onačené e, e, e () m m m Roklad deormácie na objemoú a deiatorickú čať maticoom tare je jadrený ako e m e m e m γ γ γ γ γ γ () alebo ako i e, (4) m kde i (5) je pomocná tĺpcoá matica a e je tĺpcoá matica deiatorickýc ložiek deormácie e, e, e, γ, γ a γ Pre iotropne lineárn materiál je možné relatínu menu objemu V počítať o trednéo m napätia m podľa (9) Podobne ako deormáciu tak aj napätie je možné rodeliť na de čati, takže atí p, (6) 6
7 kde i p m je drotatická čať a deiatorická čať je τ τ τ, (7) kde ( ) m, (8) ( ) m, (9) ( ) m, (4) ú normáloé ložk deiatorickéo napätia Objemoé a taroé men na úroni materiáloéo bodu je možné kúmať oddelene Vťa medi deiatorickými a normáloými ložkami napätia a deormácie a môžu ododiť roníc () užitím (4)-(6), (9), () a (8)-(4) Napríklad pre ložku e atí ťa ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) m m m m m m E E E K E e ν ν ν ν ν ν ν (4) Platí aj (4) Do ýrau (4) a môže namieto ν ν doadiť ν, čím a abepečí, že deiatorická deormácia e je úmerná deiatorickému napätiu podľa orca G E e ν (4) Analogick ú ododené aj ťa medi e a a medi e a Šmkoé ložk napätia a deormácie majú čito deiatorický carakter, otáajú be men aticoý ápi je jadrený ako
8 G e e e τ τ τ γ γ γ (44) alebo P e G, (45) kde P je škáloacia matica deinoaná () Naopak áiloť deiatorickýc napätí na deiatorickýc deormáciác jadruje ťa e P G, (46) kde P je inerná škáloacia matica deinoaná (6) aticu pružnej tuoti e D, ktorá a objauje maticoej podobe šeobecnéo Hookoo ákona () je možné roložiť na objemoú a deiatorickú čať Pri roložení napätia podľa (6) a uatnení ťao (9) a (45) atí e P í i G K V m (47) Pre objemoú deormáciu atí T í V (48) Deiatorickú deormáciu je možné jadriť pomocou ( ) I i i I i i i i e D T T V m, (49) kde I je jednotkoá matica a T D i i I I (5) je matica tranormujúca celkoú deormáciu na deiatorickú Po doadení do (47) je Hooko ákon jadrený ako
9 ( ) I P i i I P i i e P i D T D T G K G K G K V, (5) matica pružnej tuoti je 4 4 4 G K G K D T e I P i i D (5) Oodnoťte a ami Ako te pocopili oba kapitol, odpoedajte na oták: - Vetlite šeobecný Hooko ákon - Vetlite ýpočet trednéo napätia - Vetlite čo je Youngo modul pružnoti Platicita Polanie kapitol Pocopiť ýoj pružno-atickýc a atickýc deormácií Ciele kapitol Po preštudoaní kapitol b me mali edieť: - Čo je unkcia aticit? - Aké ú podmienk aticit? Funkcia aticit Všeobecná unkcia aticit má tar ( ), () a atí pre ňu podmienka atickej príputnoti ( ), ()
Pre atick iotropné materiál, ktoré majú medu klu ťau a tlaku ronakú nadobúda podmienka tar (, ) () Ak uažujeme model be penenia, potom a meda klu poča aťažoania nemení (je konštantná) a unkcia aticit áií iba od aktuálneo napätia ( ) (4) Pri ooom aťažení (jednoducý ťa alebo tlak) pôobí materiáli iba jedna ložka napätia pôobí že a unkcia aticit redukuje na tar, čo ( ) (5) Hodnota unkcie aticit jednonačne deinuje ta materiálu a to naledujúcim pôobom (, ) < pružná oblať, (6) (, ) atická oblať (7) Vťa (7) a naýa podmienka aticit Podmienk aticit Pri jednoooej napätoti má unkcia aticit jednoducý tar (5) a po doadení do ťao (6) a (7) nikne podmienka aticit pre jednoooú napätoť < pružná oblať, (8) atická oblať (9) Pri prietoroej napätoti tupuje šeť ložiek napätia (), ktoré jadrujú napätotný ta každom bode a unkcia aticit b obaoala šeť premennýc Pre iotropný materiál je možné užitím inarianto počet premennýc redukoať na tri, ktoré budú jadroať napätotný ta pri ľubooľne olenom téme úradníc Pri jednoooej napätoti je podmienka aticit jadrená pomocou mede klu a normáloéo napätia, ktoré naradíme odnou kalárnou eličinou Najpoužíanejšie podmienk aticit ú Trecoa podmienka aticit, Von ieoa podmienka aticit, oroa Coulomboa podmienka aticit, Druckeroa Prageroa podmienka aticit Trecoa podmienka aticit Trecoa podmienka aticit predpokladá, že atické pretáranie ačína ak maimálne šmkoé napätie doiane kritickú odnotu
kde ( ) ma ma ( ) τ τ τ je maimálne šmkoé napätie a jadruje o ťa τ ma ( ) Po doadení do () nikne unkcia aticit tare pri predpoklade, že Pre kritické šmkoé napätie atí, () ma min () ma min ( ) τ, () () ma, min Výledný tar Trecoej podmienk aticit má tar 4 Von ieoa podmienka aticit τ (4) ( ) ( ma min) (5) Podľa on ieoej podmienk aticit, atické pretáranie ačína, keď druý inariant deiatorickéo napätia J doiane kritickú odnotu kde J ( ) J, (6) τ T ( ) P ( ) τ τ τ (7) Po olení úradnicoýc oi meroc lanýc napätí, a a doadení do (7) nikne jednoducší ťa jadrený pomocou deiatorickýc čatí lanýc ložiek napätia ( ) ( ) J (8) Druý inariant deiatorickéo napätia J je možné jadriť priamo celkoéo napätia, be rokladania na deiatorickú a drotatickú čať Vťa (7) nadobudne po doadení a deiatorické ložk normáloýc napätí podľa (8)-(4) tar J [ ] τ τ τ ( ) ( ) ( ) ( ) (9) 6 Pri ápie pomocou lanýc napätí a tento ťa jednoduší na
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) J () 6 V prípade jednoducéo šmku, ked je jedinou nenuloou ložkou napätia napr τ ú podľa (8) lané napätia a po doadení do () je Pre jednoooý ťa má ťa (9) tar τ, τ, () J J ( ) τ () 6, () ( ) ( ) čo poronaní (4) jadruje ronakú odnotu ako tredné napätia Zo ťao (6), (), () pri uatnení podmienk aticit (7) pre kritické šmkoé napätie atí Výledný ťa on ieoej podmienk aticit má tar τ (4) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (5) Pri poronaní ťao (4) a (4) je pomer medi medou klu a kritickým šmkoým napätím τ pre on ieou podmienku aticit a Trecou podmienku aticit rôn Podmienk aticit je možné obraiť graick pomocou t oc aticit Poronanie oc aticit pre Trecou podmienku aticit a pre on ieou podmienku aticit je obraené na Obr Ploca Trecoej podmienk aticit predtauje nekonečný praidelný šeťboký ranol, ktoréo o je odná t drotatickou oou pre ktorú atí (6) Ploca on ieoej podmienk predtauje nekonečný alec, ktoréo o je odná drotatickou oou
Obr Ploca aticit pre Trecou a on ieou podmienku Roin kolmé na drotatickú o a naýajú deiatorické roin a ic prienik ocou aticit ú deiatorické re Poronanie deiatorickýc reo pre Trecou a on ieou podmienku ú na Obr Pre roinnú napätoť roine ( ) ieoej podmienk aticit obraené na Obr je graické náornenie Trecoej a on Obr Deiatorický re pre Trecou a on ieou podmienku aticit Obr Roinná napätoť pre Trecou a on ieou podmienku aticit
5 oroa Coulomboa podmienka aticit Podľa oroej Coulomboej podmienk aticit ačína atické pretáranie, keď na roine telea doiane kombinácia šmkoéo napätia τ a normáloéo napätia kritickú odnotu τ c tanφ, (7) kde c je údržnoť (angl coeion), φ je uol nútornéo trenia a normáloé napätie je uažoané ako kladné (ťa) Na Obr 4 je náornená oroa kružnica roine τ, ktorá pretína o bodoc maimálneo a minimálneo napätia ma a min a priamka ktorej ronica je (7) Geometrick je možné ododiť ťa naradujúci ronicu priamk (7), ktorá oraničuje pružnú a atickú oblať práania materiálu Ododený ťa ma naledujúci tar ma min coφ ma min ma min c inφ tanφ (8) Obr 4 oroa kružnica Výledný ťa oroej Coulomboej podmienk aticit má na áklade (8) tar ( c) ( ) ( ) inφ c coφ (9), ma min ma min Graickým jadrením unkcie aticit (9) je šeťboký ilan rcolom bode na ťaanej trane drotatickej oi, čo je obraené na Obr 5 p ccot φ, () 4
Obr 5 Ploca aticit pre orou Coulombou podmienku aticit Pri predpoklade, že uol nútornéo trenia je φ a údržnoť je c τ je oroa Coulomboa podmienka aticit odná Trecoou podmienkou aticit 6 Druckeroa Prageroa podmienka aticit Podľa Druckeroej Prageroej podmienk aticit ačína atické pretáranie, keď kombinácia druéo inariantu deiatorickéo napätia J a drotatickéo napätia p kde η a c ú materiáloé konštant Pre ( ) p c J η, () η a J ( ) p c η je podmienka () odná on ieoou podmienkou aticit (6) Graickým jadrením Druckeroej Prageroej podmienk aticit je kužeľ, ktoréo o je totožná drotatickou oou, čo je obraené na Obr 6 Obr 6 Ploca aticit pre Druckerou Pragerou podmienku aticit Výledný ťa Druckeroej Prageroej podmienk aticit je odné napíať tare (, c) J ( ) η pξ c, () 5
kde c je údržnoť a parametre η a ξ ú olené tak, ab aproimoali orou Coulombou podmienku aticit Najbežnejšie a parametre η a ξ olia tak, ab oca kužeľa precádala onkajšími alebo nútornými rcolmi šeťbokéo ilana Vonkajšie rcol pretína ak a nútorné ak 6inφ 6coφ η, ξ () ( inφ) ( inφ) 6inφ 6coφ η, ξ (4) ( inφ) ( inφ) Graické náornenie deiatorickéo reu je na Obr 7 Obr 7 Deiatorický re pre orou Coulombou a Druckerou Pragerou podmienku aticit Vnútorný kužeľ aproimuje orou Coulombou podmienku aticit pri jednoooom ťau a dojooom tlaku, naopak onkajší kužeľ pri jednoooom tlaku a dojooom ťau Pre roinnú napätoť a materiál, ktoré majú rônu medu klu ťau a medu klu tlaku je obtiažné nájť odnú aproimáciu oroej Coulomboej podmienk aticit Pre jednoooé namáanie atia ťa kde φ in c t c t, c tanφ c, (5) t c t c je penoť jednoooom tlaku a t je penoť jednoooom ťau Parametre η a ξ jadruje naledujúci ťa inφ coφ η, ξ (6) Táto aproimácia šak netiuje dojooé namáanie lane pre materiál okým pomerom c t, pre ktorý je potrebné oliť inú aproimáciu, napríklad tare 6
inφ coφ η, ξ (7) Poronanie týcto doc aproimácií pre roinnú napätoť oroou Coulomboou podmienkou aticit je obraené na Obr 8 Obr 8 Roinná napätoť pre orou Coulombou a Drucker Pragerou podmienku aticit oroa Coulomboa a Drucker Prageroa podmienka aticit je odná pre materiál nútorným trením ako ú napríklad emin, ornin alebo betón Pre materiál nútorným trením je carakteritické, že atické pretáranie je áilé aj od drotatickej ložk napätia, a že majú rodielnu medu klu ťau a tlaku 7 Spenenie materiálu Platické deormácie, ktoré nikajú po prekročení mede klu ú neratné a po pätnom poklee napätia pod medu klu otáajú materiáli, čo oňuje jeo práanie pri opätonom prekročení mede klu Záiloť medi napätím a deormáciou atickej oblati jadruje naledujúci ťa kde & &, (8) E ep E ep je pružnoatický tangenciáln modul Pomocou modulu penenia (angl ardening) H je pružnoatický tangenciáln modul jadrený ako E E H ep E H (9) Funkcia aticit uažoaním penenia je tare ( ) ~ ( ), (4) 7
kde ~ ( ) je ekialentné napätie Napríklad pre on ieou podmienku aticit je ekialentné ~ J napätie roné ( ) ( ) Základné tp penenia použíané pre úženaté materiál ú iotropné penenie, kinematické penenie, kombinoané penenie 8 Iotropné penenie Spenenie je iotropné ted, keď a oca aticit jednotne roširuje, pričom a jej tar nemení eda klu pri iotropnom penení áií od kumuloanej atickej deormácie, čo jadruje ťa kde ( ~ ) ~ ( ) ( ~ ), p ~ p je kumuloaná atická deormácia deinoaná ako, (4) t p ~ & dt, (4) p p kde & p je tenor rýclotí atickej deormácie Graické jadrenie iotropnéo penenia kombinácií on ieoou podmienkou aticit je obraené na Obr 9 Obr 9 Deiatorický re a praconý diagram iotropné penenie 9 Kinematické penenie Spenenie je kinematické ted, keď oca aticit nemení oj tar ani eľkoť ale a poúa prietore lanýc napätí ako tué teleo Pri eperimentálnc meraniac bolo itené, že niektoré materiál (äčšina koo) po doianutí mede klu a nálednom penení jednom mere (napr ťa), kaujú níženú medu klu opačnom mere (napr tlak) Tento ja a naýa Baucingero eekt a tiuje o kinematické penenie Funkcia aticit po donení o kinematické penenie a mení na tar 8
kde (, ) ~ b ( b) b je pätné napätie (angl back tre) a je deinoané ťaom, (4) b H P p (44) Ronica (4) predtauje elanoo Prageroo praidlo kinematickéo penenia, ktoré dobre unguje kombinácií on ieoou podmienkou aticit Graické jadrenie Baucingeroo eektu a kinematickéo penenia kombinácií on ieoou podmienkou aticit ú obraené na Obr Obr Baucingero eekt Kombinoané penenie Kombináciou ťao (4) a (4) nikne ťa (, ~ ) ~ ( ) ( ~ ), b p b, (45) ktorý jadruje kombináciu iotropnéo a kinematickéo penenia Pri kombinoanom penení a oca aticit poúa a ároeň mení oju eľkoť, čím tiuje iotropné latnoti koo ako aj Baucingero eekt Eitujú aj iné model penenia, medi ktoré patrí aj kôr pomenutý Jonon Cook model p Oodnoťte a ami Ako te pocopili oba kapitol, odpoedajte na oták: - Aké podmienk aticit ponáte? - Aké je kinematické peňoanie materiálu? 9
4 Porušenie materiálu Polanie kapitol Pocopenie prečo docáda k porušenéo materiálu Ciele kapitol Po preštudoaní kapitol b me mali edieť: - Od akýc parametro áií model porušenia materiálu Porušenie materiálu jadruje níženie nútornej integrit materiálu pôobenej nikom, šírením a ájomným pojoaním malýc trlín, dutín a podobnýc deekto, ktoré môžu ieť k niku äčšíc trlín a rúteniu celej konštrukcie Na rodiel od lomoej mecanik a poškodenie materiálu popiuje rámci pojitéo protredia, a teda užíajú a klaické ronice mecanik kontinua Pri jednoooom namáaní je normáloé napätie jadrené ťaom F A, (4) kde F je ila a A je pôodná priereoá oca Pri porušení materiálu nikajú trlin alebo dutin a pôodná priereoá oca a menšuje od oca Pri pôobení konštantnej il atí kde je eektíne napätie Po úprae nadobudne ťa (4) tar A A až po A kde A je eektína priereoá A A, (4) A β, (4) A kde pomer β A A je kalárna eličina carakteriujúca integritu materiálu Čatejšie a šak použía parameter porušenia (angl damage), ktorý je jadrený ako A A A Ad ω β (44) A A A kde A d A A je poškodená čať pôodnej oc Pre neporušený materiál je odnota parametra porušenia podľa ťau (44) ω a dôledkom niku a šírenia trlín a dutín ratie a pri únom porušení doiane odnotu ω, ktorá odpoedá priereu nuloou eektínou ocou A Napätie pomocou parametra porušenia jadruje ťa Parameter porušenia a určí na áklade ťau ( ω) E (45)
kde p ω d p ( η, & ) d je príratok atickej deormácie a ( η & ) p p, (46), je pomerná deormácia pri porušení (angl racture train), ktorá je áilá od rýcloti atickej deormácie & p a η p q kde p je drotatické napätie a q je napätie on ie Na Obr 4 je náornený praconý diagram ýojom porušenia materiálu Obr 4 Praconý diagram ýojom porušenia materiálu 4 Jonon Cook model porušenia Jonon Cook model porušenia jadruje pomernú deormáciu pri porušení ťaom & & p ( η, T ) [ D D ep( D η) ] D ln ( D T ), p 4 5 &, (47) kde D, D, D, D 4 a D 5 ú eperimentálne itené materiáloé konštant, & je reerenčná rýcloť deormácie a T je omogénna teota Kombináciou Hookoo ákona, on ieoej podmienk aticit, Jonon Cook materiáloéo modelu a Jonon Cook modelu porušenia nikne komený materiáloý model o penením, ktorý je áilý od rýcloti aťažoania aj teot a dotatočne tiuje latnoti koo pri dnamickej analýe o šetkýc štádiác namáania Oodnoťte a ami Ako te pocopili oba kapitol, odpoedajte na oták: - Ako je carakterioaný Jonon Cook model porušenia?
5 Pružnoatický a atický ta prúto namáanýc ilami a momentmi Polanie kapitol Pocopenie rooja pružno-atickýc a atickýc deormácií pri náru prútoýc konštrukcií Ciele kapitol Po preštudoaní kapitol b me mali edieť: - Aký je rooj napätí a deormácií pri ákladnýc tpoc namáania? - Aké ú potup riešenia pri pružno-atickýc ýpočtoc? 5 Prk namáané ťaom alebo tlakom edný ta únonoti natane ak pre normáloú ilu atí (ráik, 98) N A, (5) kde je meda klu ocele a A je oca priereu Súčin na praej trane naýame atická únonoť priereu ťau, alebo tlaku a onačujeme ilu N 5 Prk namáané šmkom Šmkom naýame také namáanie elementu konštrukcie, kde na ranác niká šmkoé napätie τ V kutočnoti ide žd o roinnú napätoť lanými napätiami šmku τ podľa podmienk aticit je τ, τ eda klu τ (5) 5 Prk namáané jednoducom krútení Ak je krútenie jednoducé nikajú iba šmkoé napätia roine priereu Tangenciálne napätie τ a šetk normáloé napätia ú nuloé Platí τ τ a τ τ, potom τ τ (5) Podmienka aticit a pri medi klu šmku τ / r (odpoedá podmienke potenciálnej energie men taru telea) dotaneme τ τ (54) τ
Deinujeme unkciu atickýc napätí Φ Ab táto unkcia oela ronici (5) muí atiť Φ Doadením do podmienk aticit (54) dotaneme Φ τ, τ (55) Φ Φ τ (56) Z analógie jednoducéo krútenia pružnom tae nie, že atický krútiaci moment bude Φ( ),, t da, A (57) deinujúci atickú únonoť priereu jednoducom krútení a je roný dojnáobnému objemu medenéo ocou Φ atickýc šmkoýc napätí Pre kruoý priere polomerom r má oca Φ tar kužeľa o ýške τ r Platický krútiaci moment počítame, t τ π r (58) Pre obdlžníkoý priere atický krútiaci moment a počíta ako účet objemo telie o ýške τ /, ilanu nad ocou a trojbokéo ilanu nad ocou ( ) b, teda, t τ ( b ) τ b τ (59) 54 Prk namáané obom Priere doma oami metrie V prieree pôobí oboý moment Obr 5 Priere je potupne aťažoaný a precáda ce pružné, pružnoatické a atické pôobenie V prípade pružnéo pôobenia ú napätia a pomerné deormácie po prieree rodelené lineárne Obr 5a Pružný ta je oraničený doianutím mede klu krajnýc láknac priereu Prílušný oboý moment má odnotu I el da da W A A,, (5) ktorý naýame pružný medný oboý moment Doianutím mede klu krajnýc láknac nie je čerpaná únonoť priereu Pri äčšoaní oboéo momentu a äčšujú pomerné deormácie celom prieree Priebe pomernýc deormácií je lineárn a napätia a äčšujú týc láknac ktorýc a nedoiala meda klu V atioanýc láknac majú napätia konštantnú odnotu
Obr 5b Oboý moment tomto pružnoatickom tae, carakterioaný pomernou deormáciou na okraji priereu je možné určiť podľa ťau, da da da A el d A A A ( Wel, S, ) W e da d ( W S S ) el,,,, (5) kde A e je čať oc priečneo reu, ktorá otaa pružnom tae, A, A orná a dolná čať d oc priečneo reu, ktorá je atickom tae, W, priereoý modul pružnej čati priereu, el d S, S, S, tatický moment atioanej čati priereu na jednej trane k oe X abolutnej odnote a W je pružnoatický priereoý modul Ďalšie štádium pružnoatickéo tau je náornené na Obr 5c V tomto štádiu je pružná čať pomerne malá a je útredená okolo neutrálnej oi Pre ýpočet oboéo momentu a približne uažuje obdlžníkoé rodelenie napätí ťaanej a tlačenej čati priereu Zanedbáa a ted pružná čať priereu ( W e ) Oboý moment idealioanom atickom tae priereu a naýa atickým oboým momentom a počíta a podľa ťau, (5), S, W, kde S, je tatický moment poloice oc k neutrálnej oi abolútnej odnote a W, je atický priereoý modul b d p X d p el el a b c 4
el el a b c Obr 5 Pružný (a), pružnoatický (b) a atický ta (c) oýbanéo priereu I doma oami metrie Úne atioaný priere nie je copný prenášať ďalšie äčšenie oboéo momentu a pri konštantnom namáaní a pootáča, práa a ako kĺb Preto o naýame atickým kĺbom Platický kĺb a líši od konštrukčnéo kĺbu Sú tam da ákladné rodiel: Konštrukčný kĺb nie je copný prenášať oboý moment - atický kĺb prenáša konštantný oboý moment Konštrukčný kĺb je obojmerný (otáčanie praotočiom aj ľaotočiom mle) - atický kĺb a môže otáčať len mle pôobenia oboéo momentu Odľačenie prebiea pružne Zmenšujú a pri tom len pružné deormácie, atické deormácie otáajú tralé V prieree muí bť nená aj podmienka účtu normáloýc íl, ktorá a pre atický ta priereu jadrí ronicou A da A d da, (5) ktorej a počíta A d A A Táto podmienka rodelenia oc priereu na de ronaké čati určuje polou neutrálnej oi Odľačoanie prebiea pružne Ak pri aťažení a doialo atickéo mednéo oboéo momentu, úne odľačenie priereu natane pridaním, W, ápornéo oboéo momentu W čoo ýa, W, W (54) 5
Z too nie W, (55) W Zbtkoé napätie na okrajoc priereu ú Priere jednou oou metrie W, W (56) Nec je o Y oou metrie a nec oboý moment pôobí roine YZ Obr 5a Potupným äčšoaním aťaženia oboým momentom a najkôr atiuje dolný okraj priereu, potom i orný okraj Proce áií na taru priečneo reu, na poloe ťažikoej oi Z podmienk ronoá normáloýc íl atí da da, A A d (57) dáa ronaký ýledok ako A d A A, (58) to namená, že neutrálna o X a netotožňuje ťažikoou oou Ronica udáa podmienku pre určenie polo neutrálnej oi omentoá podmienka ronoá prieree je d da da ( S S ) W,, A A d, (59) Platický priereoý modul je deinoaný ako účet abolútnc odnôt tatickýc momento poloíc ôc k neutrálnej oi d W, S, S, (5) 6
b X X d Y d d, b a b c d Obr 5 Napätoť atickom kĺbe priereu jednou oou metrie (a, b), pri nepružnom odľačoaní (c) a btkoej napätoti (d) Odľačenie priereu, ktorom a toril atický kĺb, neprebiea pružne Pružne odľačenie priereu jednou oou úmernoti je možné len ted ak je priere určitom štádiu pružnoatickom tae Na obr je ú náornené napätia pre proce odľačenia úne atioanéo priereu Ak b odľačoanie prebiealo pružne, bolo b rodelenie napätí od odľačujúceo oboéo momentu podľa prerušoanej čiar na Obr 5c Potom b bol účet napätí od aťaženia a odľačenia Obr 5b,c medi ťažikoou oou X a neutrálnou oou X äčšou ako Táto oblať je procee odľačoania lúčená únonoti Vnikajú nej len atické deormácie Pretože a menší aktína oca priečneo reu, muí a na nej äčšiť napätie, ako to náorňuje ná čiara na Obr 5c neutrálna o a od ťažikoej oi preunie Zbtkoé napätie ako účet napätí od aťažení a mlenéo napätia od odľačenia je náornené na Obr 5d Napätie na ornom okraji nemuí žd triedať namienko Záií to od polo ťažikoej oi, ak je blíko okraja napätie je menšie ako Príklad: Platický priereoý modul priereu I doma oami metrie (obr5) Vtupné údaje b mm, d p mm, 7mm, d mm, 7mm W W, (6 575) 5545mm, (575 75,5) 975mm Platický priereoý modul priereu I jednou oou metrie (obr5) Vtupné údaje b mm, d mm, b 4mm, d 6mm, 7mm, d mm, A 84mm Neutrálna o X atickom tae 7
A 9mm, (9 ) / 6 mm, (9 46) / 44mm 4, 7 6 44 46448 4975mm W W, (575 66 76) 756mm 55 Priere namáaný oboými momentmi Obdĺžnikoý priere Obr 5 je namáaný oboými momentmi eda klu ťau a tlaku je ronaká Neutrálna o je pod ulom α Obr 5a Ak c tanα / b a dotaneme u b tan α, b tan, (5) 6 α kde oboý moment odolnoti b / 4 u W a W, kde W b / 6 a W b / 6 Iterakčný diagram je na Obr5b V bode B Po eliminácií α (5) dotaneme u 4 u, ( b) /, (5) / u 4 u, ( / b) / (5) a b / 4 (54) kde b / 4 u u / β α χ& / b/ b/ n u W C E β B D W A α χ& u a b Obr 5 Obdĺžnikoý priere namáaný momentmi (a), iteračný diagram (b) 8
9 56 Priere namáaný oboými momentmi a normáloou ilou Obdĺžnikoý priere Obr 54a je namáaný oboými momentmi a normáloou ilou Tlačená óna kleá propec ťaanej ón a il c b N Sila únonoti je u b N Obr 54 Priere namáaný obom a normáloou ilou Výledné ťau ú naledoné 4 u u u N N, (55) a 4 u u u N N (56) Pre ituáciu ak je neutrálna o podľa Obr 54c atí ( ) a d b N, d a d, a b a d (57) Elimináciou parametro a a d a aedením reerenčnýc odnôt u u u N,, dotaneme 9 6 u u u u u N N N N N N (58) / / b/ b/ A B c α d a a b c n n n
57 Kombinácia namáania priereu I oboým momentom a normáloou ilou Priere I je namáaný momentom a normáloou ilou N Obr 55 Normáloú ilu uažujeme, že pôobí ťau Uažujeme neomogénn priere, kde meda klu pánice je, a meda klu ten p je, V áiloti od eľkoti normáloej il N, môžu natať da prípad: neutrálna o pretína tenu, neutrálna o pretína pánicu b X N d d p d p e, N e, N N,, p, p a b c d Obr 55 Idealioané rodelenie napätia po ýške priereu I pri kombinácií namáania obom a ťaom - neutrálna o precáda tenou Neutrálna o pretína tenu Výledné napätia prieree N ( e), d, p Ap, A, d e, p Ap, d e, (59) N, p Ap, d, d e, e, (5) 4 4 kde,e je atický oboý moment k oi X čati ten o ýške e Poledná ronica a ýodne píše pomernýc odnotác N, e (5) Z ronice (59) dotaneme e N N, (5) d N,, potom 4
N, N N, (5) Neutrálna o pretína pánicu Obr56 Ronice ýledníc napätoti ú N A b( e ), (54),, p N e e, p b (55) Pre omogénn priere atí, p, b d p e X N e d d p, p N N N,,, p a b c d Obr 56 Idealioané rodelenie napätia po ýške priereu I pri kombinácií namáania obom a ťaom - neutrálna o precáda pánicou 58 Prok namáaný kombináciou obu, ooéo ťau/tlaku a šmku Predpokladáme jednoducé riešenie aložené na deinícií čerpania únonoti atioaním celéo priereu, pričom šmkoé napätie priudujeme len tene Riešenie môžeme rodeliť na da prípad: neutrálna o pretína tenu, neutrálna o pretína pánicu Uažujeme neomogénn priere, medou klu pánici, p, tene, Neutrálna o pretína tenu Obr 57 Podmienk ronoá N NV ( e) d e d ( ), (56), p Ap, p Ap d e V τ d NV, (57) 4
NV N V e d, p d p Ap d d e, p A p d p, p A p (58) b X NV d d p d p N, p V N V, τ e e a b c Obr 57 Predpoklad rodelenia normáloéo a šmkoéo napätia po ýške priereu I pri namáaní obom ľadom k oi X, šmkom a ťaom - neutrálna o precáda tenou Pomocou šmkoéo napätia τ je možné ronicu (57) napíať Výlednú ronicu je možné napíať tare N V V,, V (59) NV V N V V, V V N (54) Jednotlié onačenia ú V V, p,,, p, p Ap, 4 4 V V,, d, d V V N, V V N N, p N,, (54) N N A A, p, p p, V V,,, d V V N 4
V, A Neutrálna o pretína pánicu Obr 58 Podmienk ronoá N V A A b e, (54) p V τ A NV, (54) NV, p b e ( ) e (544) Po jadrení e a doadení a úprae dotaneme, NV V N N V V N N, p V, / d N V N, p / N, N N, d p 4 p V N, V V N N, p V, (545) b X NV d Y d p d p N, p V N V, τ a b c e e Obr 58 Predpoklad rodelenia normáloéo a šmkoéo napätia po ýške priereu I pri namáaní obom ľadom k oi X, šmkom a ťaom - neutrálna o precáda pánicou 59 Iteračná metóda pružnéo riešenia Nelineárn ťa medi napätím a pomerným pretorením jadríme ýraom ( ψ) E (546) 4
a ú normáloé napätie a pomerné predĺženie protom ťau ψ( ) ýajúca taru praconéo diagramu protom ťau Obr 59 ψ je unkcia pretorenia tg α E tg α E α α ψ ψ ( ) ψ E E E ( ) Obr 59 Praconé diagram rônmi modulmi pružnoti ( E - počiatočný modul pružnoti, modul penenia, ψ - redukčný účiniteľ) D B C E - (547) Podmienk ronoá prieree ú N da, A A, da A da (548) (549) (55) Doadením (546) a (547) do (548) až (55) uážením podmienok pre tanoenie ťažika priereu A A da a da dotaneme ýra pre účinitele D N Nψ E A E I, (55) 44
B ψ, (55) E I E I C E I ψ, (55) E I pričom A N E ψ da ψ, A E ψ da ψ, (554) (555) A E ψ da ψ (556) Po doadení (55) až (55) do (547) dotaneme ýra pre pomerné pretorenie, apíšeme ako účet pružnéo pretorenia pr a korekcie ψ pr, (557) ψ N pr, (558) E A E I E I N ψ ψ ψ (559) E A E I E I Ak doadíme (557) do (546) Výra pre normáloé napätie je jadrené účtom pružnéo napätia pr a korekcia ψ, ktorý nie nelineárneo praconéo diagramu pr, (56) ψ N pr, (56) A E I E I Pri ýpočtoc potupujeme takto: ( ψ) E ψ (56) ψ ψ pr I I I I V I priblížení počítame podľa teórie pružnoti ( ψ,, ) a poronáame I bod atickej oblati ( ) ψ ψ > určíme II priblížení ψ II ψ( ) Pre buď grau alebo o orca 45
Obr 59 a potom korekcia nútornýc íl II N ψ, II ψ, II ψ podľa orca (554) až (556), počítame II Opraili me ýledk I priblíženia a prenili ranice atickýc oblatí Pokračujeme ronakým pôobom tak dlo, až ú rodiel o ýledkoc doc naledujúcic priblížení dotatočne malé V polednom priblížení ýpočet uarieme tanoením napätia, orcom (56) až (56) Náledne pretorenie počítame Ak uažujeme noník o tálm priereom jedenkrát úmerný Noník je namáaný aťažením pôobiacom roine úmernoti, odujúcim oboým momentom je Čať noníka je atioaná Pomerné pretorenie použitím orca (547) a (55) Poronaním o ťaom námm teórie pružnoti kde ρ je polomer krioti oboej čiar, nie ψ C (56) E I ρ, (564) ψ (565) ρ E I d p d p I ψ bψ p t 6 bψ p t t p p p b a b ψ p b Obr 5 a, Skutočný b, redukoaný priere pre ýpočet korekcie momentu otračnoti K tanoení priebu, prípade natočenia priereu je možné užiť oroé et teórie pružnoti Je potrebné počítať pružnými oboými momentami äčšenými o kerekciu iet je momentoá čiara druženéo noníka od ideálneo aťaženia kutočnéo noníka a čiara poúajúcic íl na druženom noníku od aťaženia natočenia priereu kutočnéo noníka Doaďme do orca (549) a o orca (546), / ρ podľa orca (564) ψ Podľa týcto q / ρ oboou čiarou q / ρ je čiarou 46
E ρ ( I I ), (566) ψ I A da, (567) I ψ ψda A Aψ da ψ (568) Namieto äčšoania oboýc momento môžeme menšiť moment otračnoti Doadením (566) do (565) nie ρ E( I I ψ ) (569) Korekcia I ψ momentu otračnoti môžeme počítať ako moment otračnoti redukoanéo priereu, loženéo elementárnc ôšok da ψ da ψ 5 etóda redukoanýc priereo Túto metódu etlíme pre prok namáaný ooou ilou a obom lanej roine úmernoti Vťa medi normáloým napätím a pomerným predĺžením apíšeme takto Vo orci (57) Obr 5, χ( ) Napätie je roné χe (57) χ E / E je pomer ečnicoéo a počiatočnéo dotčnicoéo modulu pružnoti χ je unkciou pomernéo pretorenia, atí χ ψ N A χ N I χ χ, (57) da χ χda, (57) χ A da, Aχ χ (57) Aχ da A χ χ, (574) 47
I χ Aχ χ da χ (575) a pre prieb N E I N χ (576) Ideálnm aťažením oroéo pôobu tanoenia deormácií je pri N q E I (577) Pracuje a ýradne redukoaným priereom, kde redukčným účiniteľom je χ, orec (57) Ako príklad uažujeme jednooí metrick priere I namáaný tlakom N a obom χ Stanoíme priebe redukčnéo účiniteľa χ Obr 5 určujúceo redukoaný priere Pre atickú oblať, o orca (57) dotaneme χ (578) E Pomerné pretorenie itíme úmerou pre áiloti graick jadrené Obr 5c po doadení do (578) je a e χ j a j (579) Platická oblať A a e e a e A e N d e a j a e e χ d d χ e A A a b c d e Obr 5 a, Satioaná čať noníka, b, kutočný priere, c, priebe normáloéo napätia, d, priebe redukčnéo účiniteľa, e, I redukoaný priere 48
Z podmienok ronoá pre neredukoaný priere nú áiloti pre tanoenie ýšk a pružnej čati priereu a napätia podnej pánici a 6 A e a N N d N N e, (58) N N a d / A Polou neutrálnej oi, od nej meriame j, tanoíme úmer Obr 5, N A (58) e a (58) Ďalšia metóda, ktorú je možné užiť pri riešení pružno-atickýc úlo je metóda potupnej atiikácie Oodnoťte a ami Ako te pocopili oba kapitol, odpoedajte na oták: - Ako niká atický kĺb? - Ako počítame na oýbanom prieree? - Ako počítame na oýbanom a ťaanom (tlačenom) prieree? 6 Dikretiácia čae - metóda centrálnc dierencií Polanie kapitol Pocopiť potup ýpočtu dnamickej eicitnej metód Ciele kapitol Po preštudoaní kapitol b me mali edieť: - V čom počía riešenie eicitnej dnamickej metód? Pri riešení pružno-atickýc a atickýc úlo, je možné použiť aj dnamické potup pri riešení tatickýc úlo Výodnou a jaí aj eicitná dnamická metóda, ktorá cáda metód centrálnc dierencií Preentoaná metóda je odná na riešenie ložitýc kontaktnýc a pružnoatickýc úlo oblati tatik aj dnamik 49
Predpokladáme čaoé pámo od [,T] a ronaké delenie ubinteraloc [ t ] t < < < tn T tn t t < n T/N, t n n, kde t Rýcloť a rýclenie ú deriácie čae aproimoané metódou centrálnc dierencií a ú jadrené tare ( u u ) u u &, t n / n n / t n / ( u u ) t ( u u u )/ t u& ( u& & )/ t &, t un n n / u / / n n n n n / n/ t tun / tun/ t un, (6) n un tun / t u (6) Zrýclenie je aproimoané tare u F, (6) t n n druéo Newtonoo ákona F m a Eicitná metóda edi eicitné integračné metód patrí aj metóda centrálnc dierencií (Iančo, ) Pri nej a aproimujú uloé rýcloti a rýclenia centrálnmi dierenciami V čae t i a eličin jadria pomocou uloýc pounutí čaoc t i t t i, t i a t t t i i, & t ( ) i i i &, (64) t Po doadení do poboej ronice dotaneme ktorej ak ponáme pounutia ( ) & (65) i i i i t ( i i i ) Ri Fi i a i ieme počítať pounutia i, (66) čae t t i Z uedenéo ýa, že počítané rýcloti a rýclenia ú žd o jeden čaoý krok poadu a pounutiami V prom kroku čae t i t neponáme pounutia i čaoom kroku t i t ak nie ú náme ačiatočné rýclenia & & ronice a upraia na tar a a & t & (67) & t 5
Sčítaním týcto roníc lúčime nenáme pounutia a po úprae dotaneme V ďalšom kroku poboej ronice (66) určíme čae & F R & t & t (68) & & t rýclenia & & ( F ) & (69) R Náledne môžeme ačať čaoou integráciou poboýc roníc Poboá ronica má tar Po doadení do (64) dotaneme & C& K F & (6) i i i i i i C K i t i i t i F i (6) Pre uloé pounutia čae t t t i i ú ~ ~ i F i, (6) kde ~ C t t ~ t t C t, F i Fi Ki i i (6) Výpočet lineárnc úta metódou centrálnc dierencií prebiea naledujúcic krokoc Začiatočné ýpočt, ktoré a urobia iba ra: načítanie počiatočnýc odnôt a &, otaenie matíc, K a C, ýpočet onkajšíc íl F a nútornýc íl R Κ, ýpočet & ( F ) ýpočet &, R t & & t & Numerická integrácia čaoýc krokoc i až i n bod Ak ýpočet eektínej matice motnoti ýpočet pounutí naledujúcom čaoom kroku ýpočet rýclotí & i a rýclení ~ i & & i roníc () ma : a eektíneo ektora onkajšíc íl F ~ i roníc (6), i ~ ~ F, i< n odnota a äčší o a o ýpočte a pokračuje od bodu i 5
Ak ú matice a C diagonálne odpadá nutnoť riešenia eľkéo počtu roníc a ronica (6) a ropadne na útau neáilýc roníc, ktorýc je možné priamo určiť pounutia i k i i ( F R ) k k t kk kk i k t Ckk kk C kk t i k, (64) kde i k onačuje k -tý prok ektora i, mbol i k a i F k onačujú k -té prk ektoro i a F i kk a C kk ú diagonálne prk matíc, C a mbolom nútornýc íl i R k je onačený k -tý prok ektora Analogick je možné potupoať aj u nelineárnc úta a použitím diagonálnc matíc motnoti a tlmenia núť a riešeniu roníc Tým a ýrane níži ča riešenia jednotliýc čaoýc kroko, ktorý je priamo úmerný počtu nenámc pounutí Čaoé príratk t nemuia bť konštantné Neýodou eicitnej metód je podmienečná tabilita Ak je čaoý krok äčší ako kritická odnota, riešenie a tane netabilným, čo a prejaí nálm nereálnm náratom pounutí Kritický čaoý krok pre lineárnu netlmenú útau je cr ω t, (65) ma kde ω ma je maimálna latná rekencia ýpočtoéo modelu Táto meda tabilit je približne roná čau potrebnému pre precod pružnej napäťoej ln najmenším prkom Pre nelineárne prípad tlmením atí ťa cr ω ma ( ξ ξ) t, (66) kde ξ je podiel kritickéo tlmenia najššej latnej rekencie Určenie maimálnej latnej rekencie je ýpočtoo náročné, je šak dokáané, že maimálne latné čílo úta je oraničené maimálnmi latnými čílami šetkýc konečnýc prko tárajúcic danú útau V prútoýc prkoc je tento ča daný podielom dĺžk prku l a rýcloti c podĺžnej ln t l, c c E ρ, (67) kde E je modul pružnoti a ρ je utota materiálu Ča precodu pružnej ln noníkoým prkom dĺžk l, ktoréo priere má ocu A a kadratický moment I je t c l I I Al Al (68) 5
Rýcloť šírenia pružnej ln roinnýc prkoc podmienkac roinnej napätoti a škrupinoýc prkoc je a odad kritickéo čaoéo kroku je E c (69) ρ ( µ ) l t c V prípade roinnej deormácie a podĺžna lna šíri rýcloťou (6) E( µ ) ( µ )( µ ) c (6) ρ Ča precodu pružnej ln trojromerným konečným prkom je ronaký ako prípade roinnej deormácie l t t c Rýcloti šírenia podĺžnej ln o branýc materiálo ú Tab 6 Tab 6 ateriál E [Pa] (6) ρ [kg/m ] µ c [m/] c [m/] c [m/] Konštrukčná oceľ 785 57 54 6 Hliníkoá liatina 74 7 55 5546 67 Keramika 978 6 45 Betón 4 5 55 574 6 V prípade rônorodýc materiálo je nutné tarotlio ážiť, aká má bť utota iete a aký eľký a má oliť čaoý krok Na Obr 6 a Obr 6 ú ýojoé diagram eicitnej metód riešenia pružnej a atickej oblati 5
Poun jednom kroku t tn n un tun/ t u, n ( u ), n Výpočet pomernýc deormácií, napätí a íl E n, n et (, ) F, n F un n t Fn Výpočet rýclenia, Newtono druý ákon A n t u n F n odiikácia rýcloti Vn / tun / u n/ An t Obr 6 Scéma eicitnéo ýpočtu pružnej oblati 54
Poun jednom kroku t tn n un tun/ t u, n & ( u& ) n Výpočet pomernýc deormácií, napätí a íl n ( t, t, &,,,,), p p et (, ) F, n F un n t Fn Výpočet rýclenia, Newtono druý ákon A n t u n F n odiikácia rýcloti Vn / tun / u n/ An t Obr 6 Scéma eicitnéo ýpočtu pružno-atickej a atickej oblati 6 Príklad ýpočtu pomocou eicitnej metód Stabilita čaoéo kroku Príklad č V uedenom príklade priam prút dĺžk L a priereu A je na koncoc budený rýcloťou Obr 6 Dnamickou eicitnou metódou je prút riešený pri rônc čaoýc krokoc t a je ledoaná tabilita a prenoť riešenia 5 5 E ; ρ 8 6 ; L ; A Kritický čaoý krok počítame cr t < / ω Obr 6 Prút budený rýcloťami 55
Ooú tuoť a motnoť ( L / ) K, AE L / 6 m ρ A L / 8 / 8 Vlatná rekencia bude K ω m 8 a kritický ča 5 t cr / ω / 5 4 Výclka a rýcloť ule čílo je ( t) u( t) u in ω, 5 5 ( t) u ω co( ω t) u, ω náledne ( t) inω ω ( t) u Periódu počítame podľa ťau π / ω π / 5 56 T V čae od t do t ýclk uloc počítame podľa ťao u ( t) t, u ( t ) t Pomerná deormácia a určí ( u ( t ) u ( t )) L t / L / Napätie a ooá ila podľa ťao E, A tea / L A Zrýclenia uloc a počítame naledone ( t) m, a ( t) / m a / Rýcloti bodoc a čae 5 počítame podľa ťao ( t ) t ( t EA/ Lm) ( 4 t E / ρ ) ( t5 ) a L, ( t ) t ( t EA/ Lm) ( 4 t E / ρ ) ( t5 ) a L Náledne počítame ýclk bodoc a ( t ) ( ) ( )( t5 t u t ) ( t ) ( t ) t u ( t )( ) u ( ω t, t) u u ( ω t Ak t) u 5 t / ω potom u( t) u( t) a tém dierguje 56
Na obr 64, 65, 66 ú náornené ýledk ýcliek, rýcloti a rýclenia t čaoom kroku Na Obr 67, 68, 69 ú náornené ýledk ýcliek, rýcloti a rýclenia čaoom kroku t Na Obr 6, 6, 6 ú náornené ýledk ýcliek, rýcloti a rýclenia čaoom kroku t,,, Výclk -, -, -,,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 64 Výclk pri použití čaoéo kroku t (riešenie dierguje) 4 9 4 Rýcloti - -6 - -6,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 65 Rýcloti pri použití čaoéo kroku t (riešenie dierguje) 57
8 6 4 Zrýclenia - -4-6 -8,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 66 Zrýclenia pri použití čaoéo kroku t (riešenie dierguje),5,,5 Výclk -,5 -, -,5,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 67 Výclk pri použití čaoéo kroku t (amitúda preauje odnotu ),6,4, Rýcloti -, -,4 -,6,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 68 Rýcloti pri použití čaoéo kroku t 58
Zrýclenia - - -,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 69 Zrýclenie pri použití čaoéo kroku t,5,,5 Výclk -,5 -, -,5,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 6 Výclk pri použití čaoéo kroku t,6,4, Rýcloti -, -,4 -,6,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 6 Rýcloti pri použití čaoéo kroku t 59
Zrýclenia - - -,5,,5,,5,,5,4,45,5 t [] Obr 6 Zrýclenie pri použití čaoéo kroku t Príklad č Na Obr 6 je náornené oidlo o motnoti m uctené pružinou tuoťou k, ktoré je budené ilou F ( t) Dĺžka budenia je F(t) k m F(t) t Obr 6 Voidlo motnoti m, tuoti k a budiaca ila F ( t) Čaoý krok bol olený 5 Vtupné údaje: m 8, k, t 5 Vlatná uloá rekencia bude k ω 77 m 8 Kritický čaoý krok počítame cr / ω / 7,9 t Potup ýpočtu: Okrajoé podmienk čae t,, & 6
Výpočet rýclenia & & & ( F k ) &, m () & 8 & 68 Výpočet ýclk pre ča t & t &, t t 5 ( 5 )( ) 68 785 4 Výpočet ýclk pre ča t 5 { t F ( m t k) m }, m { 5 ( ( 8) 5 )( 8 )785} 785 8 5 Výpočet ýclk { t F ( m t k) m } m, 8 { 5 5( ( 8) 5 )785( 8 )} 74 6 Výpočet rýclenia & & & ( F k ) &, m & 8 ( 5(785) ) 46 88 & 7 Výpočet rýcloti & 74 & 74 t (5) 8 Opakoanie kroko 5,6 a 7 pre ďalší čaoý krok Výpočet ýclk { t F ( m t k) m } m,,8 { 5 ( ( 8) 5 )74( 8 )785} 546 Výpočet rýclenia & & & ( F k ) &, m & 8 ( (74) ) 56 & 6
Výpočet rýcloti & 74 785 & 468 t (5) 4 Opakoanie kroko 5,6 a 7 pre ďalší čaoý krok Na Obr 64 ú náornené ýclk, rýcloti a rýclenia čaoom úeku 4 7 6 5 4 Výclka Rýcloť Zrýclenie - -,5,5,5,5 4 t [] Obr 64 Výclk, rýcloti a rýclenia čaoom úeku 4 Príklad č Na Obr 65 je náornená tč dĺžk L rodelená na prk L L L Obr 65 Tč dĺžk L rodelená na prk Vtupné odnot: L, ρ 7 6
6 atice tuoti Prút ( ) [ ] L A E k Prút ( ) [ ] L A E k Celkoá matica tuoti [ ] L A E K atice motnoti Prút ( ) [ ] A L m ρ Prút ( ) [ ] A L m ρ Celkoá matica motnoti [ ] L A ρ Výpočet latnýc rekencií [ ] [ ] ( ){ } { } K ω, A L L E A ρ ω Determinant roný nule L A L E A ρ λ, kde ω λ, delením L A ρ a ubtitúciou L E ρ µ dotaneme λ µ µ µ λ µ Riešením dotaneme
λ µ ± µ, λ 6µ, λ 4µ, ω 77 µ, ω 85 kde µ, E ρ L 6 µ 4 ( 7)( ) Vlatné rekencie dotaneme ω a 56 76 ω Výpočet latnýc taro A E L ρ A L ω, kde a a počíta, a ω a doadí ω a potom ω Vkrelené latné tar: 7 7 Eicitná metóda latný tar latný tar Na Obr 66 je náornený prút budený ilou F ( t) L F(t) F(t) F(t) t L L Obr 66 Prút budený ooou ilou F ( t) 64
Vtupné údaje: 6 7, A, E, L ρ Globálne dnamické ronice ú A E L ρ A L kde R nenáma reakcia ule && R && && F ( t), Čaoý krok muí bť menší ako čaoý krok počítaný týcto doc ýrao 4 5, ma 76 t, ω praktickýc ýpočtoc 5 4,98 4 ωma 76 t Vo ýpočte použijeme čaoý krok t 5 Potup ýpočtu Okrajoé podmienk čae Výpočet rýclení { & & } { & } [ ] ({ F} [ K]{ }) &, && / t, { }, { } & A E { & } && ρ A L L t & Okrajoé podmienk ú a & & { & } && && ρ A L 7 4 t & Výpočet ýcliek čae t t t { } { } ( ){ } { } ( ) t & &, 4 Výpočet ýcliek čae, potom ( ) ( 5 ) 5 t { } [ ] ( t) { F} [ [ ] ( t) [ K] ]{ } [ ]{ } { }, 74 856 65
66 ( ) ( ) ( )( ) 4 856 7 5 7 5 / 7 65 / 7, 858 5 Výpočet ýcliek { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) [ ] [ ]{ } [ ]{ } { } K t F t, ( ) ( ) ( )( ) 7 858 5 7 5 / 7 4 466 6 65 / 7, 99 6 Výpočet rýclení & & { } [ ] { } [ ]{ } ( ) K F & &, ( ) 4 858 / 7 && &&, 45 56 && && 7 Výpočet rýclotí & { } { } { } ( ) t &, ( ) 598 44 5 99 & &
67 8 Opakoanie od bodu 5, 6 a 7 5 Výpočet ýcliek { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) [ ] [ ]{ } [ ]{ } { } K t F t, ( ) ( ) ( )( ) 4 858 7 99 5 7 5 / 7, 597 96 6 Výpočet rýclení & & { } [ ] { } [ ]{ } ( ) K F & &, ( ) 4 99 / 7 && &&, 46 5 && && 7 Výpočet rýclotí & { } { } { } ( ) t &, ( ) 978 9 5 858 597 96 & & 8 Opakoanie od bodu 5, 6 a 7 Na Obr 67 ú náornené ýclk pri použití čaoéo kroku t a na Obr 68 ú náornené ýclk pri použití čaoéo kroku t
Obr 67 Výclk pri použití čaoéo kroku t Obr 68 Výclk pri použití čaoéo kroku t 68
Oodnoťte a ami Ako te pocopili oba kapitol, odpoedajte na oták: - Aké je princíp metód centrálnc dierencií? - Aké je užitie eicitnej dnamickej metód pri riešení pružno-atickýc úlo? 69
7 Dnamická analýa nárau do konštrukcie oceľoéo rámu Nára do dojpodlažnéo jednopoľoéo oceľoéo rámu je modeloaný pomocou metód konečnýc prko otéri ABAQUS/Eicit 7 odel oceľoéo rámu Geometria modelu Romer dojpodlažnéo rámu ú obraené na Obr 7 Oceľoý rám je torený proilu taru H a jeo romer ú na Obr 7 Uloženie tĺpo (detail A ) je namodeloané pomocou pätnéo ecu rúbk mm a štroc kotenýc tčí 4 Ro oceľoéo rámu (detail B a detail C ) ú tužené ecmi rúbk mm Detail A, B a C ú obraené na Obr 7 Obr 74 až Obr 75 Impactor (teleo, ktoré naraí do oceľoéo rámu) má tar alca, a jeo romer ú obraené na Obr 76 Obr 7 Romer dojpodlažnéo rámu Obr 7 Romer priereu 7
Obr 7 Detail A Obr 74 Detail "B" Obr 75 Detail "C" Obr 76 Impactor 7
7 ateriáloý model Oceľoý rám Pri numerickej imulácií nárau do oceľoéo rámu je potrebné uažoať atickým práaním a materiálu, pričom ýnamnú úlou oráa aj rýcloť atickej deormácie Z toto dôodu je použitý Jonon Cook materiáloý model Pre porušenie materiálu je použitá kombinácia doc materiáloýc modelo porušenia Porušenie ťau tiuje Jonon Cook model porušenia a porušenie šmku je uažoané pomocou Sear criterion otéri ABAQUS/Eicit (SIULIA, 4b) Fikálno mecanické latnoti ocele ú Tab 7 Ziťoanie materiáloýc konštánt pre Jonon Cook materiáloý model a Jonon Cook model porušenia nie je obaom tejto práce, preto boli íkané literatúr pre oceľ ST-7 (ekialent S5) a ú Tab 7 V analýe a om teot neuažuje Záiloť medi napätím a atickou deormáciou pre rône rýcloti deormácie jadrená pomocou Jonon Cook materiáloéo modelu je náornená na Obr 77 a Obr 78 Vtupné odnot pre porušenie šmku ú íkané literatúr a porušenie šmku ačína naratať pri atickej deormácií odnotou, 97 p Tab 7 Fikálno mecanické latnoti ocele Hutota ρ [kg/m ] odul pružnoti E [GPa] Poionoo čílo ν [-] 7 85, Tab 7 ateriáloé konštant pre Jonon - Cook materiáloý model A [Pa] B [Pa] C n m,9,4,888,, Tab 7 ateriáloé konštant pre Jonon - Cook model porušenia D D D D 4 D 5,5,44 -,,,6 7
Obr 77 Jonon Cook materiáloý model pre oceľ ST-7 Obr 78 Jonon Cook materiáloý model pre oceľ ST-7 7 Impactor Impactor pri analýe nárau do oceľoéo rámu repreentuje teleo lineárne pružným práaním a a motnoťou t Ab bolo možné poronať tuoti impactora na práanie a oceľoéo rámu poča nárau, boli pri imulácií použité da impactor rodielnm modulom pružnoti Fikálno mecanické latnoti impactora ú 74 Tab 74 Fikálno mecanické latnoti impactora Č Hutota ρ [kg/m ] odul pružnoti E [GPa] Poionoo čílo ν [-],, 7
74 Sieť konečnýc prko Všetk čati modelu ú dikretioané pomocou 8 uloýc šeťteno préo rádu redukoanou integráciou (CD8R) Priemerná eľkoť a počet konečnýc prko pre jednotlié čati modelu ú Tab 75 Tab 75 Priemerná eľkoť a počet konečnýc prko Priemerná eľkoť Náo konečnýc prko Počet konečnýc prko [mm] Stĺp a priečle 468 Výtu 48 Pätný ec 58 Kotené tče 4 98 atice kotenýc tčí,5 95 Podložk 5 644 Impactor 5 Podlaa 9 Konečno prkoý model a kladá celkoéo počtu 5 555 konečnýc prko a 78 69 ulo Obr 79 Stĺp a priečle ieť konečnýc prko 74
Obr 7 Výtua ieť konečnýc prko Obr 7 Pätný ec ieť konečnýc prko Obr 7 Kotená tč ieť konečnýc prko 75
Obr 7 atica kotenýc tčí ieť konečnýc prko Obr 74 Podložka ieť konečnýc prko Obr 75 Impactor - ieť konečnýc prko 76
Obr 76 Podlaa - ieť konečnýc prko Tué pojenie pomocou kontaktu je torené medi pätným ecom a tĺpmi, ýtuami a tĺpmi a medi ýtuami priečľami Sieť konečnýc prko rou oceľoéo rámu je obraená na Obr 77 Ronakým pôobom ú torené aj kotené tče pomocou tuéo pojenia medi kotenou tčou a maticou Sieť konečnýc prko kotenia tĺpa je obraené na Obr 78 Obr 77 Ro oceľoéo rámu - ieť konečnýc prko 77
Obr 78 Kotenie - ieť konečnýc prko Ak parameter porušenia o šetkýc uloc konečnéo prku doiane odnotu ω, potom je konečný prok necaný ďalšieo ýpočtu 75 Kontakt Pre modeloanie kontakto je užitý pokročilý algoritmu na iťoanie kontakto General contact Kontakt je deinoaný medi šetkými čaťami modelu Pre kolmý kontakt je olená možnoť Hard Contact a pre dotčnicoý kontakt je ormulácia trenia deinoaná pomocou Penalt koeicientom trenia,6 76 Analýa Numerická analýa je rodelená do doc čatí: Kái tatická analýa Analýa nárau Stručný popi a dĺžka trania analý je rnutá Tab 76 Tab 76 Dĺžka trania a popi čati analý Čať Dĺžka trania [] Popi Kái tatická analýa, aikoanie aťaženia, doianutie požadoanej rýcloti impactora Analýa nárau, nára impactora Celkoá dĺžka analý je,4 78
77 Kái tatická analýa Zaťaženie V kái tatickej analýe je aikoané aťaženie latnou tiažou pomocou graitačnéo rýclenia odnotou 9,8 m/ a tatické aťaženie na orný porc ornýc pánic priečli pomocou tlaku odnotou 5 kpa, čo b pre prútoý model odpoedalo odnote 45 kn/m Vlatná tiaž a tatické aťaženie je aikoané potupne ratúcou amitúdou čae, tak ab a predišlo negatínemu u prýc latnýc taro kmitania oceľoéo rámu Okrajoé podmienk Kotené tče pod úroňou pätnéo ecu ú abepečené proti pounu o šetkýc meroc, čo je obraené na Obr 79 Spodná rana podla je tiež abepečená proti pounu, tak ab podlaa mola niť oju unkciu V kái tatickej analýe je deinoané rýclenie odnotou m/ pre impactor, ktoré abepečí, že čaoom okamiu, doiane impactor rýcloť m/ Okrajoé podmienk polu o aťažením ú obraené na Obr 7 Obr 79 Kotenie okrajoé podmienk 79
Obr 7 Okrajoé podmienk a aťaženie 78 Analýa nárau V analýe nárau pôobí latná tiaž a tatické aťaženie na konštrukciu oceľoéo rámu konštantnou amitúdou Zrýclenie impactora je deaktioané a impactor a až do okamiu kontaktu oceľoým rámom pobuje konštantnou rýcloťou m/ Výledk Impactor E GPa Von ie napätia na oceľoom ráme od latnej tiaže a tatickéo aťaženia po kái tatickej analýe ú obraené na Obr 7 aimálne odnot napätia ú podľa očakáania rooc oceľoéo rámu a ú obraené podrobnejšie na Obr 7 Pri kái tatickom aťažoaní nedošlo k doianutiu mede klu a nenikli žiadne atické deormácie Logaritmické deormácie (pružné) na ráme ú obraené na Obr 7 8
Obr 7 Von ie napätia od latnej tiaže a tatickéo aťaženia [Pa] Obr 7 Von ie napätia rou oceľoéo rámu od latnej tiaže a tatickéo aťaženia [Pa] 8
Obr 7 Logaritmické deormácie od latnej tiaže a tatickéo aťaženia Poča nárau impactora do tĺpu oceľoéo rámu došlo k porušeniu kotenýc tčí a k nadmerným deormáciám miete nárau ako aj rou tĺpa Von ie napätia na oceľoom ráme na konci analý ( čae t,4 ) ú náornené na Obr 74 Obr 74 Von ie napätia čae t,4 [Pa] Poča nárau aborbuje äčšinu kinetickej energie impactora oceľoý rám protredníctom atickýc deormácií Výoj rýcloti impactora čae je obraený na Obr 75 8
Obr 75 Výoj rýcloti impactora čae Výoj on ieoýc napätí čae je obraený na Obr 76 až Obr 78 Obr 76 Výoj on ieoýc napätí miete nárau t, až t,5 [Pa] 8
Obr 77 Výoj on ieoýc napätí miete nárau t, až t,4 [Pa] 84
Obr 78 Výoj on ieoýc napätí miete nárau t,5 až t,5 [Pa] Výoj on ieoýc napätí oblati kotenia polu porušením krutiek je náornený na Obr 79 a Obr 7 Obr 79 Výoj on ieoýc napätí kotenie t, až t,5 [Pa] 85
Obr 7 Výoj on ieoýc napätí kotenie t, až t,5 [Pa] Hlaným dôodom lania kotenýc tčí bolo porušenie šmku, pričom porušenie ťau nebolo ýrane Poronanie kritérií porušenia je obraené na Obr 7 86
Obr 7 Poronanie kritérií porušenia pre porušenú kotenú tč Ďalším mietom, kde došlo k okej koncentrácií napätia je ro oceľoéo rámu Výoj on ieoýc napätí rou oceľoéo rámu je náornený na Obr 7 až Obr 74 V rou oceľoéo rámu bolo porušenie ťau a šmku poronateľné, ale poča analý nedošlo k únému porušeniu, čo je obraené na Obr 75 Obr 7 Výoj on ieoýc napätí ro rámu t, až t,5 [Pa] 87
Obr 7 Výoj on ieoýc napätí ro rámu t,6 až t,5 [Pa] 88
Obr 74 Výoj on ieoýc napätí ro rámu t,75 až t, [Pa] 89