2 ZÁKLADY VŠEOBECNEJ TEÓRIE VEDENIA ELEKTROMAGNETICKÝCH VĹN VLNOVODMI

Transcript

1 ÁKLADY VŠEOBECNEJ EÓRIE VEDENIA ELEKROMAGNEICKÝCH VĹN VLNOVODMI Pod pojmom lnood sa najšeobecnejšom zmysle rozumie systém odičo alebo dielektrík pozdĺž ktorých je možný usmernený prenos elektromagnetickej energie. Podmienky pre usmernený prenos energie spĺňajú napr. kooé trubice ľubooľného, ale konštantného profilu. Elektromagnetické pole je uzareté stenami trubice a môže sa šíriť iba pozdĺž jej osi. Pri eľmi ysokých frekenciách až do optickej oblasti sa tento typ lnoodo použía najčastejšie. Rôzne arianty trubicoých lnoodo sú znázornené na obr..1a, b, c, d ( poradí praouhlý lnood, cylindrický lnood, Π lnood, H lnood). Podmienky pre usmernený prenos elektromagnetickej energie spĺňajú aj dojodičoé systémy, ako napr. paralelné edenie (dojlinka) podľa obr..1e a koaxiálny lnood (koaxiálny kábel) znázornený na obr..1f. Koaxiálny lnood sa dnes použía na prenos energie do oblasti eľmi ysokých frekencií až do 1 GHz, čo súisí s ýojom noých, eľmi kalitných dielektrík. Paralelné edenie má pri eľmi ysokých frekenciách nedostatok, že značná časť ysokofrekenčnej energie je yžaroaná priečnom smere. Vyžaroanie možno znížiť zmenšoaním zdialenosti odičo, ašak to edie k znižoaniu maximálneho preneseného ýkonu, pretože sa zyšuje nebezpečie elektrického prierazu medzi odičmi. V koaxiálnom lnoode problém yžaro-ania nie je, pretože elektromagnetické pole je sústredené medzi nútorným cylindric-kým odičom a plášťom lnoodu. hľadiska efektínosti prenosu, hlane eľkých ýkono, má aj koaxiálny lnood nedostatky. Elektrické a magnetické pole o nútri koaxiálneho edenia je nepriamo úmerné zdialenosti od osi edenia, a teda je maximálne na porchu nútorného odiča. Pretože dielektrikum, ktoré ypĺňa koaxiál-ny kábel má konečnú nenuloú odiosť, môžu straty dielektriku nadobúdať značné hodnoty. Ako lnood môže slúžiť aj obyčajný dielektrický alec (obr..1g), prípadne dielektrická trubica (obr..1h) tieto systémy sa šak častejšie yužíajú ako prky dielektrických antén. Cylindrický odič (obr..1i) alebo odič pokrytý rstou dielektrika (.1j) majú tiež lastnosti lnoodu. Dobré prenosoé lastnosti má aj páskoé edenie (obr..1k), ktoré je ýrobne eľmi nenáročné. lášť ýhodné je pre yužitie mikrolnoej integroanej technike. V tejto kapitole budú podané šeobecné metódy riešenia roníc elektromagnetického poľa pre homogénne úseky lnoodo ľubooľného priečneho prierezu s ideálne odiými stenami. Pod homogénnym (alebo regulárnym) úsekom lnoodu budeme rozumieť úsek, pozdĺž ktorého priečny profil a materiáloé parametre prostredia zostáajú konštantné. Partikulárne riešenia roníc poľa možno získať za predpokladu, že sú formuloané hraničné podmienky pre ektory yplýajúce zo šeobecnej podmienky E t (E t tangenciálna zložka elektrického poľa) na ideálne odiých stenách lnoodu. parti- 47

2 kulárnych riešení možno zostaiť šeobecné riešenie, ktoré pri zadaných hraničných podmienkach je jediným riešením. Obr..1.1 Pozdĺžna záislosť ektoro elektromagnetického poľa o lnoode Predpokladajme, že lnood ľubooľného priečneho profilu je yplnený bezstratoým dielektrikom s permitiitou ε a permeabilitou µ. Ak takomto lnoode existuje čase harmonické elektromagnetické pole s časoým faktorom e jωt, potom jeho ektoroé amplitúdy E(r) a H(r) musia yhooať roniciam (1.4), teda 48

3 E( r) + β E( r) (.1a) H( r) + β H( r) (.1b) kde β ω (εµ) je fázoý koeficient prostredia. Pre ďalšiu analýzu lastností elektromagnetického poľa o lnoode je hodné zaiesť systém alcoých súradníc u 1, u a z taký, že os z je totožná s osou lnoodu a u 1, u sú priečne, predbežne ľubooľné súradnice (napr. praouhlé, polárne a i.) podľa obr... Pri takej oľbe súradníc je hodné napísať Laplaceo operátor tare + (.) z kde Τ je časť Laplaceoho operátora záislá iba od priečnych súradníc u 1 a u. Využitím (.) možno lnoé ronice prepísať do taru E( u1, u, z) E( u1, u, z) + + β E( u1, u, z) (.3a) z H( u1, u, z) H( u1, u, z) + + β H ( u1, u, z) (.3b) z Obr.. Pri zolených súradniciach sa ektory E a H dajú písať tare súčinu doch funkcií, z ktorých prá (ektoroá) je funkciou iba priečnych súradníc u 1, u a druhá (skalárna) je funkciou z. Nech teda E(u 1, u, z) E'(u 1, u )(z) (.4a) H(u 1, u, z) H'(u 1, u )(z) (.4b) 49

4 V ďalšom texte čiarkoané ektoroé funkcie E' a H' budú ždy predstaoať iba funkcie priečnych súradníc. Dosadením ýrazo (.4) do roníc (.3) prejdú tieto na tar d E + E + β E (.5a) dz d H + H + β H (.5b) dz Ronice (.5) sú formálne ronaké, preto ďalšom postačí zaoberať sa riešením prej z nich. Vydelením ronice (.5a) funkciou a jej úpraou dostaneme zťah 1 d E E + β (.6) dz V ronici (.6) záisí ľaá strana iba od priečnych súradníc, čo yžaduje, aby aj praá strana záisela iba od priečnych súradníc. o je možné iba tedy, ak ýraz zátorke na praej strane sa roná konštante. Položme teda alebo 1 d + β dz 1 d dz k β k γ (.7) kde γ a k sú konštanty. Neskôr sa uidí, že γ je koeficient šírenia a k je lnoé číslo. Riešením poslednej ronice je funkcia taru ± γz ( z) C e (.8) kde C je ľubooľná konštanta, napr. C 1. Výraz (.8) je hľadaná z-oá záislosť funkcií (.4). Kompletné ýrazy pre ektory poľa o lnoode možno teda s yužitím (.8) napísať tare jωt ± γz E(u 1, u, z, t) E'(u 1, u )e (.9a) jωt ± γz H(u 1, u, z, t) H'(u 1, u )e (.9b) Riešenia (.9) predstaujú superpozíciu doch ĺn šíriacich sa pozdĺž osi lnoodu kladnom a zápornom smere osi z. V praxi najčastejšie ide o lnu postupujúcu zo zdroja a odrazenú lnu. V ďalšom bez ujmy na šeobecnosti budeme analyzoať iba lny šíriace sa kladnom smere osi z, s faktorom e γz. taru ýrazo (.9) idieť, že ak γ je rýdzoimaginárne číslo, o lnoode sú možné riešenia lnoých roníc, pre ktoré je charakteristická lnoá záislosť rozloženia elektromagnetického poľa pozdĺž osi lnoodu a teda aj osi možného šírenia lny. Podobne je to roinnej EM-lne. 5

5 Vektoroé funkcie priečnych súradníc E' a H' sú riešeniami lnoých roníc (.6), ktoré možno napísať tare E' + k E' (.1a) kde H' + k H' k γ + β (.1b) (.11) Funkcie E' a H' musia spĺňať okrajoé podmienky na stenách lnoodu. Ronice (.1) sú formálne ronaké ako ronice, s ktorými sa možno stretnúť teórii kmito pružných membrán a preto sa často nazýajú ronice membrány. Ich riešenia udáajú priečne záislosti elektromagnetických polí o lnoodoch.. Priečne a pozdĺžne zložky elektromagnetického poľa o lnoode a ich zájomný súis Vo zolenom súradnicoom systéme je účelné rozložiť ektory poľa na de zložky a to: 1. zložky E a H (alebo E' a H' ) roine priečnej k osi z,. zložky E z a H z (alebo E' z a H' z ) pozdĺž osi z. Pri takejto oľbe zložiek možno ektory poľa napísať tare E E + E z z H H + H z z (.1a) (.1b) kde z je jednotkoý ektor smere osi z. Podobné ýrazy možno napísať pre funkcie priečnych súradníc E a H, t. j. E' E' + E' z z H' H' + H' z z Dosaďme ýrazy (.13) do roníc (.1). Po úprae dostaneme (.13a) (.13b) ( E' + k E' ) + ( E' z + k E' z )z (.14a) ( H' + k H' ) + ( H' z + k H' z )z (.14b) Ľaé strany roníc (.14) predstaujú súčet doch ektoro, z ktorých prý leží priečnej roine a druhý je pozdĺžny. Keďže tento súčet sa roná nule, potom jednotlié sčítance sa musia ronať nule. Musí teda platiť E' + k E' E' z + k E' z H' + k H' H' z + k H' z (.15a) (.15b) (.15c) (.15d) 51

6 akto sme dostali de ronice pre ektory E' a H' a de ronice pre zložky E' z a H' z, ktoré pri zadaných okrajoých podmienkach úplne opisujú priečne zložky elektromagnetického poľa o lnoode s časoo-pozdĺžnou záislosťou e jωt γz. Ukazuje sa, že pre úplný opis elektromagnetického poľa o lnoode netreba riešiť šetky štyri ronice systému (.15). Výhodou zaedenia priečnych a pozdĺžnych zložiek poľa je skutočnosť, že tieto zložky nie sú nazájom nezáislé, ale sú iazané fundamentálnymi ronicami elektromagnetického poľa (1.4), ktoré majú šeobecnejšiu platnosť ako z nich ododené ronice. V princípe stačí nájsť riešenia roníc (.15b,d) pre pozdĺžne zložky poľa E' z a H' z, ktorými sú dané aj pozdĺžne zložky E' a H'. úis medzi priečnymi a pozdĺžnymi zložkami poľa možno nájsť nasledone: Napíšeme prú Maxwellou ronicu (1.18a) integrálnom tare l E dl jωµ H d (.16) kde l je uzaretá krika priečnom reze lnoodu a je ľubooľná plocha ohraničená touto krikou. Vydelením ronice faktorom e jωt γz a yužitím zápisu (.13) prejde ronica (.16) na tar z z l ( + E z ) l j ( H + H z ) E d ωµ d (.17) Na ľaej strane tejto ronica k hodnote integrálu neprispiea ektor E z z, pretože je kolmý na dl. Podobne na praej strane k toku ektora H plochou neprispiea ektor H, pretože leží roine, ktorej leží krika l. Ronica (.17) prejde teda na tar alebo na diferenciálny tar l j z l E d ωµ H z d (.18) rot E' jωµh' z z (.19) Ronica (.19) udáa súis medzi priečnymi a pozdĺžnymi zložkami poľa danom prípade súis medzi ektormi E' a H' z z ašak jej priame yužitie na ýpočet E' nie je ýhodné, pretože ide o diferenciálnu ronicu. Všimnime si šak, že praá strana ronice (.19) je pozdĺžny ektor, čo yžaduje, aby aj ľaá strana bola pozdĺžnym ektorom. o je skutočne prada, pretože E' záisí iba od priečnych súradníc, takže rot E' Τ E' kde Τ je Hamiltono operátor priečnych súradníc. Ronicu (.19) možno teda napísať tare Τ E' jωµh' z z (.) Vynásobme teraz ronicu (.) operátorom Τ ektoroo zľaa, čím dostaneme ýraz Τ ( Τ E' ) jωµ Τ (H' z z ) (.1) 5

7 Ak uážime operátorou identitu a skutočnosť, že prejde ronica (.1) do taru Ďalej uážme, že z čoho plynie, že Podľa ronice (.15a) Τ ( Τ ) Τ ( Τ.) grad di Τ (H' z z ) Τ H' z z grad H' z z grad di E' E' jωµ grad H' z z (.) die + z ( E + Ez z ) z E z E + di E γez z di E' γe' z (.3) E' k E' (.4) Pomocou zťaho (.3) a (.4) možno dať ronici (.) konečný tar k E' γ grad E' z + jωµ grad H' z z (.5) druhej Maxwelloej ronice a z ronice di H možno podobnými úahami dôjsť k ýrazu pre H tare k H' γ grad H' z jωε grad E' z z (.6) Výrazy (.5) a (.6) umožňujú ypočítať priečne zložky E' a H' zo známych pozdĺžnych zložiek, ktoré sú riešeniami roníc (.15b, d) pri zadaných okrajoých podmienkach na stene lnoodu..3 Okrajoé podmienky pre pozdĺžne zložky elektromagnetického poľa o lnoode. E-lny a H-lny, lny EM o lnoode Okrajoá podmienka pre pozdĺžnu zložku elektrického poľa o lnoode plynie okamžite zo šeobecnej podmienky E t na porchu odiča Pretože pozdĺžna zložka elektrického poľa E z trubicoom lnoode je tangenciálna k stenám lnoodu, musí sa na týchto stenách ronať nule, teda E z na stenách lnoodu. (.7) 53

8 Výraz (.7) je okrajoou podmienkou pre pozdĺžnu zložku elektrického poľa o lnoode. Okrajoá podmienka pre magnetickú zložku poľa H z sa formuluje trochu zložitejšie. Vyjdeme z podmienky (.7) podľa ktorej ektor elektrického poľa musí byť kolmý na stenu lnoodu, čo možno zapísať ronicou n E na stenách lnoodu (.8) kde n je jednotkoý ektor normály k stene lnoodu. Na stene lnoodu E E, pretože tam E z. Podmienku (.8) na stene lnoodu možno napísať o tare n E (.9) Ak tejto ronici dosadíme za E ýraz plynúci zo zťahu (.5), dostaneme n γ grad E z + jωµ n (grad Η z z ) (.3) Pretože grad E z smeruje pozdĺž normály k stene lnoodu, prý člen poslednej ronici sa roná nule, a tak platí n (grad Η z z ) (.31) Podľa praidla dojného ektoroého súčinu ronica (.31) prejde na tar grad Η z (n.z ) z.(n.grad Η z ) (.3) Prý člen tejto ronici sa roná nule, pretože n z, teda n grad Η z (.33) Ľaá strana tejto ronice je deriácia Η z podľa normály k stene lnoodu, t. j. H z na stene lnoodu (.34) n Výraz (.34) je okrajoou podmienkou pre pozdĺžnu zložku magnetického poľa. Predelením podmienok (.7) a (.34) lnoým faktorom e jωt γz dostaneme okrajoé podmienky pre funkcie E' z a H' z tare E z H z n na stene lnoodu (.35) (.36) ktoré treba aplikoať pri riešení roníc (.15b, d). Charakteristickou zláštnosťou okrajoých podmienok (.35) a (.36) je skutočnosť, že pri ideálnej odiosti stien lnoodu sú z-oé zložky elektrického a magnetického poľa o lnoode nazájom nezáislé. toho dôodu môžu o lnoode existoať nazájom nezáisle tri typy ĺn: 54

9 1. Vlny elektrické (E-lny), u ktorých E z a H z. Pretože magnetické pole týchto ĺn nemá pozdĺžny zložku, tieto lny sa niekedy nazýajú transerzálnemagnetické lny (M-lny). Označenie E a M sa použía úplne ronocenne.. Vlny magnetické (H-lny), pre ktoré E z a H z. Elektrické pole týchto ĺn nemá pozdĺžnu zložku, tieto lny sa nazýajú aj transerzálne-elektrické lny, označoané tiež ako E-lny. 3. Vlny transerzálne elektromagnetické (EM-lny), u ktorých súčasne E z aj H z. EM-lny sa šak môžu šíriť iba o ybraných typoch lnoodo (doja iacodičoých lnoodoch). E-lny teda dostaneme riešením ronice (.15b) s okrajoou podmienkou (.35) a H- lny riešením ronice (.15d) s okrajoou podmienkou (.36). Každá z týchto úloh má nekonečné množsto diskrétnych, lineárne nezáislých riešení, dôkaz čoho je predmetom matematickej fyziky a čo bude ďalšom ilustroané radom príklado riešení polí konkrétnych lnoodoch. Každému takému riešeniu zodpoedá jednoznačná hodnota parametra k, nazýaná lastná hodnota alebo lnoé číslo. akto je jednoznačne určená aj hodnota konštanty šírenia γ, daná ýrazom (.7). matematického hľadiska treba pri obidoch typoch ĺn riešiť lnoú ronicu s alternatínymi hraničnými podmienkami Ψ + k Ψ (.37) Ψ Ψ, n na stene lnoodu. (.38) Dôležitou je skutočnosť, že ak na prierezoej krike lnoodu sú zadané nuloé okrajoé podmienky (Ψ alebo Ψ/ n ), potom lnoé čísla k sú reálne čísla. Dôkaz tohto trdenia je podaný Doplnku I..4 Dĺžka lny o lnoode a kritická lnoá dĺžka. Rýchlosť šírenia elektromagnetických ĺn o lnoodoch Charakter pozdĺžneho rozloženia poľa o lnoode určuje poaha koeficientu šírenia γ k ω εµ k β (.39) kde k je reálne kladné číslo. Pre dané k môže byť γ záislosti od frekencie ω reálne číslo, nula alebo rýdzoimaginárne. V prípade ak k ω < (.4) εµ je γ α reálne číslo a lnoý faktor e jωt γz možno napísať tare e αz e jωt 55

10 ento faktor udáa časoo premenný dej, tlmený pozdĺž osi z s koeficientom útlmu α. Elektromagnetické pole sa pri frekenciách obmedzených podmienkou (.4) o lnoode šíriť nemôže dôsledku jeho rýchleho tlmenia pozdĺž osi lnoodu. Ak platí, že k ω > (.41) εµ potom je imaginárne číslo, a lnoý faktor je taru γ jβ j ω εµ k (.4) j(ωt βz) e ento faktor opisuje lnu postupujúcu lnoodom s konštantnou amplitúdou. Fáza lny sa mení so súradnicou z a s časom t, pričom rýchlosť zmeny fáze je charakterizoaná fázoým koeficientom β. Podmienka (.41) ymedzuje frekenčný interal, ktorom sa elektromagnetická lna bezstratoom lnoode šíri s netlmenou amplitúdou. Dôležitý je hraničný prípad, ak k ω ωkr (.43) εµ ktorý určuje medznú, alebo kritickú frekenciu ω kr. V tomto prípade γ a lnoý faktor sa redukuje na e jωt, čo znamená, že elektromagnetické pole o lnoode má kmitaý charakter ( priečnom smere) a od súradnice z nezáisí. Vlnood sa teda choá ako hornofrekenčný priepust je "priezračný" pre elektromagnetické lny s frekenciou ω > ω kr a neprepúšťa lny s frekenciami ω < ω kr. praktického hľadiska je teda dôležitý hlane prípad ω > ω kr, kedy o lnoode postupuje elektromagnetická lna. Ak ω > ω kr potom yužitím ýrazu (.43) možno ýraz pre fázoý koeficient napísať tare β ω kr ω ω kr ω εµ k ω εµ ω krεµ ω εµ 1 1 (.44) ω ω kde 1/ (εµ) c/ (ε r µ r ) je rýchlosť setla neohraničenom prostredí (c je rýchlosť setla o oľnom priestore). V oblasti eľmi ysokých frekencií sa popri frekencii častejšie pracuje s dĺžkou lny. V neohraničenom prostredí dĺžka lny súisí s frekenciou a dĺžkou lny o ákuu zťahom π (.45) f ω ε µ r r 56

11 Je teda hodné zaiesť popri kritickej frekencii tiež kritickú lnoú dĺžku π π kr (4.46) ω k Výraz (.44) pre fázoý koeficient β možno pomocou ýrazo (.45) a (.46) napísať tare Pre fázoý koeficient lny neohraničenom dielektriku platí kr π β 1 (.47) kr ω π π β ε r µ r (.48) a podobným spôsobom pre fázoý koeficient o lnoode možno písať β β f ω π (.49) kde f je fázoá rýchlosť lny o lnoode a je dĺžka lny o lnoode. Použitím ýrazo (.47) až (.49) možno pre tieto eličiny napísať ýrazy (.5) 1 kr f 1 kr (.51) ýrazo (.5) a (.51) plynú dôležité uzáery: ýrazu (.5) predošetkým plynie, že dĺžka lny o lnoode je ždy äčšia ako dĺžka lny neohraničenom prostredí (pri tej istej frekencii) a ak kr, potom. ýrazu (.51) plynie, že fázoá rýchlosť f lny o lnoode je ždy äčšia ako rýchlosť a pre kr fázoá rýchlosť f. áto skutočnosť neodporuje princípom teórie relatiity, pretože fázoou rýchlosťou sa prenáša iba fáza lny, t. j. jej tar. Elektromagnetická energia a s ňou spojené informácie sa prenášajú inou rýchlosťou a to rýchlosťou, ktorú nazýame grupoou (skupinoou) rýchlosťou. ento fakt bude dokázaný odseku. 9. atiaľ čo fázoá rýchlosť je daná ýrazom 57

12 f ω 1 β β (.5) ω je grupoá rýchlosť definoaná ýrazom 1 g dβ (.53) dω Ak ýraz (.44) zderiujeme podľa ω a dosadíme do ýrazu (.53), dostaneme g ω εµ ω εµω kr εµ β εµω f (.54) z čoho plynie známy súis medzi fázoou rýchlosťou, grupoou rýchlosťou a rýchlosťou tare f g Grupoá rýchlosť o lnoode je teda daná ýrazom g f 1 kr (.55) a je ždy menšia ako rýchlosť (o oľnom priestore menšia ako rýchlosť c)..5 Vzťahy pre ýpočet E- a H-ĺn o lnoodoch Výrazy (.5) a (.6) umožňujú ypočítať priečne zložky elektromagnetického poľa o lnoode o šeobecnom prípade, ak sú nenuloé obide pozdĺžne funkcie E z a H z. V prípade, ak sa jedna z funkcií roná nule (prípad E-, alebo H-ĺn), potom sa zťahy pre ýpočet priečných zložiek zjednodušia. Rozoberieme zlášť prípad E-ĺn a H-ĺn. Budeme predpokladať, že frekencia je yššia ako kritická, takže γ jβ. E-lny: V tomto prípade H z ' a zo zťaho (.5) a (.6) plynie, že β E j grad Ez (.56) k H j ωε grad z Ez k (.57) 58

13 Ak z ýrazu (.56) yjadríme grad E z a dosadíme do ýrazu (.57) dostaneme ýraz ωε H β z E (.58) Výrazmi (.56) a (.57) sú dané priečne funkcie E a H ĺn typu E o lnoode ľubooľného priečneho profilu. Vzťah (.58) udáa zájomnú orientáciu ektoro E a H. ri ektory E, H a z sú nazájom kolmé a toria praotočiý súradnicoý systém. Pomer amplitúd priečnych funkcií E / H definuje dôležitú eličinu charakteristickú lnoú impedanciu lnoodu pre daný typ lny. o zťahu (.58) plynie pre charakteristickú impedanciu E ĺn typu E ýraz E E H β ωε β ωε f 1 kr (.59) kde (µ/ε) je charakteristická impedancia neohraničeného prostredia. Charakteristická impedancia E je pre < kr (ω > ω kr ) reálna a menšia ako impedancia neohraničeného prostredia. H-lny: V tomto prípade E z, takže ýrazy pre priečne funkcie E a H získané z ýrazo (.5) a (.6) sú taru β H j grad H z k (.6) E j ωµ grad H z k (.61) posledných doch ýrazo možno napísať zťah medzi ektormi E a H ωµ E H β z (.6) z ktorého idieť, že ektory E, H a z toria praotočiý súradnicoý systém. Charakteristická impedancia pre H-lny je H E H ωµ ωµ β β f 1 1 kr (.63) ýrazu pre H idieť, že charakteristická impedancia lnoodu je celom pásme jeho priezračnosti eličina reálna a ždy äčšia ako impedancia. Priebehy normoaných impedancií 59

14 6 1 kr g f E (.64) a 1 1 kr g f H (.65) záislosti od / kr sú znázornené na obr..3. Obr..3 Pre > kr sú charakteristické impedancie obidoch typo ĺn o lnoode imaginárne, čo znamená, že elektrické a magnetické lny sú o lnoode posunuté o fáze o π/ a pole je tlmené pozdĺž osi z s koeficientom útlmu 1 π kr α γ (.66)

15 .6 Výkon prenášaný lnoodom a straty stenách lnoodu tredný ýkon P prenášaný lnoodom možno ypočítať integráciou Poyntingoho ektora (1.37) cez priečny prierez lnoodu, teda { E H } d 1 P Re (.67) Je zrejmé, že k ýkonu prenášanému pozdĺž osi lnoodu budú prispieať iba priečne zložky poľa E a H, ktoré sú naiac nazájom kolmé. Okrem toho, pre ľubooľný typ lny o lnoode platí E H (.68) kde je charakteristická impedancia lnoodu pre daný typ lny a E E H H uážením hore uedených skutočností a zťahu (.68) možno ýraz (.67) napísať tare P 1 1 Re d d E H E (.69) alebo 1 P d H (.7) Výkon prenášaný lnoodom je yjadrený ýrazmi (.69) a (.7) cez priečne zložky poľa. oto yjadrenie šak možno urobiť aj cez pozdĺžne zložky E z a H z. Ak o ýrazoch (.69) a (.7) dosadíme za E a H podľa (.56) a (.6) dostaneme pre ýkon prenášaný E-lnami a H-lnami ýrazy P E E β grad E 4 z k 1 d (.71) Podľa Doplnku I platí P H β grad H 4 z k 1 H d (.7) grad Ψ d k Ψ d (.73) 61

16 kde Ψ predstauje funkciu E z, alebo H z. Pomocou zťahu (.73) možno dať ýrazom (.71) a (.7) konečný tar 1 β PE E z k E d [W] (.74) 1 β PH H H z k d [W] (.75) K ododeniu ýrazu pre straty stenách lnoodu možno yužiť ýraz (1.7) pre plošné straty o odiči ktorým tečie ysokofrekenčný prúd. Podľa neho plošné straty na jednotku plochy porchu odiča sú dané ýrazom Rf ps H t [W/m ] Integráciou tohoto ýrazu po prierezoej krike lnoodu dostaneme ýraz pre straty ýkonu na jednotku dĺžky lnoodu tare P Rf dl psdl t d l [W/m] H (.76) l l l kde H t je tangenciálna zložka funkcie H na nútorných stenách lnoodu a l je prierezoá krika lnoodu..7 Útlm o lnoodoch V praxi, keď treba uažoať straty energie o lnoode, či už dôsledku nedokonalej odiosti stien lnoodu, alebo stratoého dielektrika yplňujúceho lnood koeficient šírenia γ je komplexným číslom, ktoré možno napísať tare γ α + jβ kde α je koeficient útlmu o lnoode. ýrazo pre zložky elektromagnetickej lny o lnoode je zrejmé, že intenzita elektrického a magnetického poľa pozdĺž lnoodu bude klesať exponenciálne s faktorom e αz. Ak teda nejakej referenčnej roine (obr..4) má elektrické pole amplitúdu E, potom o zdialenosti z smere šírenia lny amplitúda klesne na hodnotu E e αz. áislosť amplitúdy elektrického poľa na zdialenosti z možno teda napísať tare E(z) E e αz 6

17 Výkon, ktorý je úmerný štorcu amplitúdy elektrického poľa, bude pri postupe lnoodom tiež exponenciálne klesať a jeho záislosť od z má tar P(z) P e αz Obr..4 kde P je ýkon postupujúci referenčnou roinou. Výkon sa na zdialenosti dz zníži o hodnotu dp(z) αp e αz dz z čoho úbytok ýkonu na jednotku dĺžky lnoodu je dp αp e dz αz αp ento úbytok šak predstauje eličinu P danú ýrazom (.76). Platí teda z čoho koeficient útlmu α P αp P P [m 1 ] 1 (.77) Útlm (tlmenie), prípadne zosilnenie (zisk) elektrických dojbrán sa často udáa decibeloch (db), teda aj útlm lnoodu na jednotku dĺžky je hodne udáať decibeloch na meter (db/m). Podľa definície je útlm A na dĺžke z metro lnoodu daný ýrazom P A 1log (log e) αz [db] P( z) a útlm na jednotku dĺžky lnoodu A α ( loge) α 8,686α z [db/m] 1 V staršej literatúre sa často útlm podľa zťahu (.77) udáal jednotkách Np/m (neper na meter) a nie m 1. Neper (Np) nie je jednotka I-sústay. 63

18 kde α je dané ýrazom (.77). Pokiaľ má byť útlm yjadrený jednotkách db/m, treba ďalšom texte ododené ýrazy pre α ynásobiť číselnou konštantou log e 8, Dielektrické straty o lnoodoch Vlnoody obyčajne yplňuje zduch, ktorý keď je suchý má ýborné dielektrické lastnosti (permitiitu blízku elektrickej konštante ákua ε a zanedbateľný stratoý uhol), takže útlm spôsobený prítomnosťou zduchu o lnoode je zanedbateľný. V špeciálnych prípadoch, keď je lnood yplnený stratoým dielektrikom, je koeficient útlmu α daný súčtom koeficientu útlmu stenách lnoodu α c a koeficientu útlmu dielektriku α d, teda α α c + α d Veličiny α c a α d o šeobecnosti nie sú nezáislé a preto určenie celkoého útlmu o lnoode môže byť zložité. Pri posúdení dielektrických strát o lnoode sa preto obmedzíme na prípad, keď straty stenách α c sú zanedbateľné a straty dielektriku sú malé, alebo naopak eľmi eľké. Ako je známe, stratoom dielektriku je permitiita komplexná eličina σ ε1 d ε j ε ( 1 jtgδ ) (.78) ωε kde σ d je konduktiita a δ je stratoý uhol dielektrika. Vo lnoode naplnenom stratoým dielektrikom bude teda koeficient šírenia γ komplexnou eličinou γ k ω ε µ k ω εµ + jωµσ α + jβ (.79) d d d kde β d je fázoý koeficient lny stratoom dielektriku. Ak uážime, že k π/ kr a µ ε, potom posledný ýraz možno napísať tare kde π σ d γ j 1 j (.8) π 1 kr je dĺžka lny o lnoode a je dĺžka lny neohraničenom dielektriku. je charakteristická impedancia neohraničeného stratoého dielektrika (o šeobecnosti komplexná eličina). 64

19 V ďalšom sa obmedzíme na yjadrenie koeficientu šírenia nízkostratoom dielektriku. Budeme predpokladať, že imaginárnu časť možno zanedbať, a ak konduktiita σ d je malá, taká že platí d σ π potom odmocninu o ýraze (.8) možno rozinúť do radu a obmedziť sa na pré da členy rozoja. Výraz (.8) nadobudne tar π γ j 1 1 j «1 σ d σ d π + j π Poronaním tohto ýrazu s ýrazom (.8) idíme, že nízkostratoom dielektriku koeficient útlmu je σ d π α d tgδ (.81) a fázoý koeficient π β d (.8) čo znamená, že malé dielektrické straty prom priblížení nespôsobia zmenu lnoej dĺžky. Dielektrické straty súčasných polymérnych a iných materiálo použíaných mikrolnoej technike sú eľmi nízke. traty o lnoode majú ply na jeho charakteristickú impedanciu, ktorá je takom prípade komplexnou eličinou. Na záer posúdime útlm ysokostratoých materiálo (dobrých odičo, ako sú koy) o lnoode. Koy obyčajne neyplňujú lnoody, ale často predstaujú skratoacie doštičky na koncoch lnoodo a teda postupujúca elektromagnetická lna niká do istej eľmi malej hĺbky kooého zakončenia lnoodu. Predpokladajme teda, že materiál yplňujúci (lepšie poedané, zakončujúci) lnood má takú ysokú konduktiitu σ, že platí k ω εµ «ωµσ V takom prípade ýraz (.79) možno napísať približnom yjadrení z čoho idieť, že ωµσ γ jωµσ ( 1+ j) (.83) ωµσ 1 α β (.84) δ teda koeficient útlmu aj fázoý koeficient sú prerátenými hodnotami hĺbky niku pri skinefekte. Konštanty útlmu koo majú eľmi ysoké hodnoty. Pre meď pri frekencii 65

20 1 GHz je α 1,3.1 7 db/m. Výrazy (.84) pre koeficient útlmu a fázoý koeficient platia pre obida typy, E- aj H-ĺn. Charakteristická impedancia pre E-lny je a pre H-lny γ ωµ E ( 1+ j) ( 1+ j) R f (.85a) σ + jωε σ jωµ ωµ H ( 1+ j) ( 1 + j) R f (.85b γ σ kde R f 1/(σδ) je ysokofrekenčný odpor kooého materiálu. Poronaním posledných doch ýrazo idíme, že charakteristické impedancie obidoch typo ĺn sú ronaké a záisia iba od frekencie, permeability a konduktiity materiálu. Elektrický a magnetický ektor sú posunuté o fáze o Rýchlosť prenosu energie o lnoode Rýchlosť prenosu energie o lnoode možno definoať podobne, ako rýchlosť prúdenia kapaliny trubicou množsto energie W na jednotku dĺžky lnoodu ynásobené rýchlosťou prenosu energie sa roná energii, ktorá pretečie lnoodom za jednotku času, teda ýkonu P prenášanému prierezom lnoodu takže W P Energia W na jednotku dĺžky lnoodu je daná ýrazom P (.86) W 1 W ( E + E z ) + ( H + H z ) d ε E + µ H 1 ε µ d (.87) a ýkon P je daný ýrazom (.74), prípadne (.75). Na príklade H-ĺn ukážeme, že rýchlosť prenosu energie sa roná grupoej rýchlosti. Pre H-lny energia ( ε E + µ H + µ H z ) 1 W 4 d Využitím ýrazo (.6) a (.61) možno poslednému ýrazu dať tar β ( + µ ) + µ H 1 W ε H z d (.88) 4 k 66

21 Dosadením ýrazo (.75) a (.88) do (.86) dostaneme pre rýchlosť prenosu energie o lnoode na H-lne ýraz β H k β H β ωµε f ( ε H + µ ) + µ k Podobným spôsobom možno ukázať, že rýchlosť prenosu energie E-ĺn sa tiež roná grupoej rýchlosti. g.1 Všeobecné lastnosti EM-ĺn o lnoodoch EM-lny majú niekoľko špecifických zláštností, ktoré posúdime na záer tejto kapitoly. Predošetkým EM-lnách sú obide pozdĺžne zložky E z a H z roné nule, takže podľa ýrazo (.5) a (.6) je k E k H Keďže obide priečne zložky musia byť rôzne od nuly (to je podmienka existencie EMlny), musí byť k takže podľa (.39) je kde γ ω εµ jω εµ jβ ω π β ω εµ (.89) podmienky k plynie dôležitá skutočnosť, že pre EM-lny neexistuje kritická frekencia, resp. že tá sa roná nule. EM-lna môže byť prenášaná lnoodom pri ľubooľnej frekencii (ľubooľnej lnoej dĺžke), čítane statických elektrických a magnetických polí. Rýchlosť šírenia lny 1/ (εµ) sa roná rýchlosti lny neohraničenom prostredí a predstauje súčasne fázoú a grupoú rýchlosť. ýrazu (.89) idieť, že dĺžka EM-lny o lnoode sa roná dĺžke roinnej elektromagnetickej lny neohraničenom prostredí. Vlnoý faktor EM-lny je j( ωt β z ) π z exp jω t exp jωt z e Vektory E a H EM-lne o lnoode ležia priečnej roine zhľadom na os lnoodu a sú nazájom kolmé. O tom sa možno presedčiť analýzou Maxwelloej ronice (1.18a) napísanej pre priečne polia tare rot E jωµh 67

22 ktorú možno prepísať do formálneho taru E E + z jωµ H z Praá strana tejto ronice je priečny ektor, a teda ľaá strana musí byť tiež priečnym ektorom. Prý člen na ľaej strane je pozdĺžny ektor, ktorý sa musí ronať nule, takže E z jωµ H (.9) z Keďže E z jβe možno poslednú ronicu napísať tare ωµ z E H (.91) β ýrazu (.91) idieť, že ektory E a H sú o lnoode nazájom kolmé a s jednotkoým ektorom z toria praotočiý súradnicoý systém. Charakteristická impedancia lnoodu pre EM-lnu je E ωµ µ EM H β ε (.9) a teda sa roná charakteristickej impedancii neohraničeného prostredia. Výsledky (.91) a (.9) možno získať aj z druhej Maxwelloej ronice (1.18b). Čo sa týka priečnych zložiek EM-lny, teda funkcií E a H, možno tieto dostať riešením roníc (.15a) a (.15c) za podmienky k. ieto ronice majú potom tar E H (.93) Ronice (.93) sú dojrozmerné Laplaceoe ronice, ktorých riešenia pri zadaných hraničných podmienkach sú také isté, ako riešenia elektrostatických a magnetostatických problémo. Je šak známe, že nenuloé riešenia roníc (.93) môžu existoať ohraničenej oblasti (o nútri lnoodu) iba špeciálnych prípadoch. ak napr. dutej kooej trubici nekonečnej dĺžky nemôže existoať ani statické elektrické, ani statické magnetické pole. Ich prítomnosť predpokladá existenciu aspoň jedného ďalšieho odiča pozdĺž osi trubice, ktorý je na istom potenciáli oproti trubici (plášťu lnoodu). V tomto zmysle sa dutá kooá trubica podstatne odlišuje napr. od koaxiálneho lnoodu, ktorom statické polia sú možné, teda existuje nenuloé riešenie roníc (.93). Na obr..5 sú znázornené konfigurácie statických elektrických a magnetických polí koaxiálnej trubici s nútorným odičom, ďalej medzi doma blízkymi páskoými odičmi a tiež okolí paralelných cylindrických odičo. ieto polia sú riešením roníc (.93) a teda predstaujú funkcie E a H pre EM-lny o lnoodoch typu koaxiálneho edenia, páskoého edenia a dojodičoého edenia (dojlinky). 68

23 Na základe uedených úah možno konštatoať, že dutých kooých trubiciach, ktorých prierez z matematického hľadiska torí jednoducho súislú oblasť (neexistuje ani jeden nútorný odič), EM-lny nemôžu existoať. ento dôležitý uzáer možno potrdiť aj čisto fyzikálnymi argumentmi. Ak by dutej kooej trubici existoala EMlna, potom by jej magnetické indukčné čiary museli byť uzareté kriky priečnej roine, pretože H z. Podľa Ampéroého zákona (1.3) by sa tieto čiary museli uzatárať okolo odiých, alebo posuných prúdo, ktoré by museli mať smer osi z. Vodiých prúdo smere osi lnoodu niet, pretože nútorný odič neexistuje. V smere osi lnoodu neexistujú ani posuné prúdy, pretože E z, a teda aj E z / t. a týchto okolnosti magnetické pole o lnoode nemôže existoať a tým nie je možná ani existencia EM-lny takom lnoode. V dutej trubici môžu existoať iba E-, prípadne H-lny, alebo ich superpozícia. Vo lnoodoch, ktorých prierez predstauje iacnásobne súislú oblasť (iacodičoé lnoody) môžu sa šak okrem EM-ĺn šíriť aj lny yšších typo E-lny a H-lny, čo ukážeme pri analýze elektromagnetických polí koaxiálnom lnoode. Obr..5 Výkon prenášaný prierezom lnoodu lnou EM možno ypočítať integráciou Poyntingoho ektora cez prierez lnoodu s ýnimkou prierezo odičo, pretože nich sú elektrické a magnetické polia podľa predpokladu nuloé. traty stenách lnoodu možno ypočítať z ýrazu (.76), pričom integroať treba po prierezoej krike každého odiča. 69

24 7 Úloha 15. Dokážte, že o lnoode naplnenom bezstratoým dielektrikom s relatínou permitiitou ε r (µ r 1) je lnoá dĺžka daná ýrazom kr r ε a charakteristická (lnoá) impedancia pre H-lny ýrazom kr r ε kde je dĺžka lny o oľnom priestore, kr π/k je kritická lnoá dĺžka a ε µ 376,73 Ω je charakteristická impedancia oľného priestoru.