MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan Eks

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC

Ilustrasi Fungsi Peluang Bersama Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, kita dapat menentukan peluang bersyarat (yang artinya juga menentukan peluang bersama) dari parameter kecelakaannya. Selain itu, kita juga dapat menentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya.

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = P(X = x, Y = y)

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Catatan: 1 Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama 2 {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Fungsi peluang bersama p X,Y memenuhi sifat-sifat berikut: 1 p X,Y (x, y) 0, (x, y) 2 (x, y) R 2 : p X,Y (x, y) 0 terhitung 3 x,y p X,Y(x, y) = 1

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, p X (x) = y p X,Y (x, y), x R dan p Y (y) = x p X,Y (x, y), y R adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y.

Latihan Fungsi Peluang Bersama Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat 1. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): X\Y 2 3 4 5 Total 2 3 0 0 0 3 14 12 2 0 28 4 2 11 5 1 Total 23 50 a. Hitung p X,Y (3, 2) b. Tentukan fungsi peluang bersama dari X dan Y

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Solusi: X\Y 2 3 4 5 Total 2 0.06 0.00 0.00 0.00 0.06 3 0.28 0.24 0.04 0.00 0.56 4 0.04 0.22 0.10 0.02 0.38 Total 0.38 0.46 0.14 0.02 1.00

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y, F X,Y adalah F X,Y (x, y) = P(X x, Y y), x, y R

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yang sama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P(a < X b, c < Y d) = F X,Y (b, d) F X,Y (b, c) F X,Y (a, d) + F X,Y (a, c)

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Fungsi non-negatif f X,Y adalah fungsi peluang bersama dari X dan Y untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P(a X b, c Y d) = b a d c f X,Y (x, y) dxdy Catatan: f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y(x, y) = 2 y x F X,Y(x, y)

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Suatu fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi 2 sifat berikut 1. f X,Y (x, y) 0 untuk semua (x, y) R 2 2. f X,Y(x, y) dxdy = 1

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Maka f X (x) = f X,Y (x, y)dy, x R dan f Y (y) = f X,Y (x, y)dx, y R adalah fungsi peluang marginal dari X dan Y.

Latihan Fungsi Peluang Bersama Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama (i) f (x, y) = c (y 2 x 2 ) e y, y x y, 0 < y < (ii) f (x, y) = c x y 2, 0 x 1, 0 y 1 a. Tentukan c b. Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y c. Hitung P(Y > 2X) d. Apakah X dan Y saling bebas?

Solusi: a. Untuk menentukan c: 1 = Fungsi Peluang Bersama y 0 y Jadi c = 1/8. b. Fungsi peluang marginal: Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat c (y 2 x 2 ) e y dx dy = 8c c. P(Y > 2X) = f X (x) = 1/4 e x (1 + x ) f Y (y) = 1/6 y 3 e y, y 0 y/2 0 y d. X dan Y tidak saling bebas. Catatan: X dan Y saling bebas jika c (y 2 x 2 ) e y dx dy = f (x, y) = f X (x) f Y (y)

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat 2. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y. Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) = 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1), x > 1, y > 1 a. Tentukan f X (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3.

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Solusi: a. f X (x) = 1 = b. P(1 < Y < 3 X = 2) = 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1) dy 3 1 ( fx,y (x, y) = = 8/9 f X (x) ) dy X=2

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika p X (x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi: p Y X (y x)), adalah p Y X (y x) = p X,Y(x, y), y R p X (x) Jika p X (x) = 0, kita definiskan p Y X (y x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang!

Peluang Bersama - Diskrit Peluang Bersama - Kontinu Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika p X,Y (x, y) = p X (x) p Y (y) x, y R

Definisi Fungsi Peluang Bersama Definisi Sifat Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) = x x p X (x) dan E(X) = x f X (x) dx dimana p X dan f X adalah fungsi peluang dari X.

Definisi Sifat Catatan: 1. adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. = mean = momen pertama 3. suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!)

Latihan Fungsi Peluang Bersama Definisi Sifat 1 Pengurus dan Anggota KOHATI sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jakarta dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). (Solusi: 40.2667) 2 Jika X Pois(λ), tentukan E(X). (Solusi: λ) 3 Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin 1, 0, 1 dan peluang: p( 1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3 Hitung E(X 2 ). (Solusi: 0.5)

Sifat-sifat Fungsi Peluang Bersama Definisi Sifat 1 E(g(X)) = g(x) f X(x) dx 2 E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y) 3 E(XY) = E(X) E(Y), jika X dan Y saling bebas. 4 E(X) = 0 P(X > x) dx, untuk X > 0 (*) 5 E(X r ) = xr f X (x) dx (momen ke-r) 6 E((X µ X ) r ) = (x µ X) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7 E((X µ X ) 2 ) = Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8 E(e tx ) = etx f X (x) dx = M X (t) (fungsi pembangkit momen) 9 M X (0) = E(X), M X (0) = E(X2 )

Latihan Fungsi Peluang Bersama Definisi Sifat 1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y 0 1 2 3 4 5 6 p(y) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05 Misalkan K adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol?

Definisi Sifat Solusi: P(Y 3) = 0.4 = P( sukses ) = p E(K) = n p = 4 (0.4) = 1.6

Definisi Sifat 2. Diketahui fungsi peluang: f (x) = c (4x 2x 2 ), 0 < x < 2 Hitung E(X) dan P(1/2 < X < 3/2)

Definisi Sifat Solusi: 2 f (x) dx = 0 2 0 c(4x 2x 2 ) dx = 1 Diperoleh c = 3/8. E(X) = x 3/8 (4x 2x 2 ) dx = 1 P(1/2 < X < 3/2) = 3/2 1/2 3/8 (4x 2x 2 ) dx = 11/16

Ilustrasi-1 Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cedera setiap kecelakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua. Asumsikan bahwa banyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan saling bebas dengan banyaknya kecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang terluka rata-rata per minggu?

Ilustrasi-2 Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat?

Definisi Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, E(Y X = x) = y f X,Y(x, y) f X (x) dy = y f Y X (y x) dy

Definisi Kovariansi dan Korelasi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka E(Y) = E(Y X = x) f X (x) dx atau E(Y) = E(E(Y X = x))

Definisi Kovariansi dan Korelasi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ( (Y ) ) 2 X Var(Y X = x) = E E(Y X = x) = x

Definisi Kovariansi dan Korelasi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka Var(Y) = E(Var(Y X = x)) + Var(E(Y X))

Latihan Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi 1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f (x, y) = e x(y+1), 0 x, 0 y e 1 a. Tentukan f Y (y) b. Hitung P(X > 1 Y = 1 2 ) c. Hitung E(X Y = 1 2 )

Definisi Kovariansi dan Korelasi Solusi: P(X > 1 Y = 1 2 ) = = 1 1 = e 3/2 e x(y+1) 1/(y + 1) dx 3 2 e 3 2 x dx

Definisi Kovariansi dan Korelasi 2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Seragam pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah?

Definisi Kovariansi dan Korelasi Solusi: Y U(0, 60), X Y = y U(20, 20 + (2y)/3). E(X) = 60 0 E(X Y = y) f Y (y) dy = 30

Definisi Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi Kovariansi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan Cov(X, Y), adalah ( (X ) ( ) ) Cov(X, Y) = E E(X) Y E(Y) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y) = 0 (implikasi).

Sifat-sifat kovariansi Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Cov(X, X) = Var(X) Cov(a X, Y) = a Cov(X, Y) ( n Cov i=1 X i, ) m j=1 Y j = n m i=1 j=1 Cov(X i, Y j )

Definisi Kovariansi dan Korelasi Perhatikan bahwa: ( n ) n n Var X i = Cov X i, i=1 i=1 j=1 X j n n = Cov(X i, X j ) = i=1 i=1 j=1 n Var(X i ) + Cov(X i, X j ) i j

Definisi Kovariansi dan Korelasi Korelasi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan ρ(x, Y), didefinisikan sebagai ρ(x, Y) = Cov(X, Y Var(X) Var(Y), asalkan Var(X) dan Var(Y) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa 1 ρ(x, Y) 1

Definisi Kovariansi dan Korelasi Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y. Nilai ρ(x, Y) yang dekat dengan +1 atau 1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(x, Y) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi.

Latihan Fungsi Peluang Bersama Definisi Kovariansi dan Korelasi 1 Tunjukkan bahwa Cov(X, E(Y X)) = Cov(X, Y) 2 Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh P(I = 1) = P(I = 0) = 1/2. Didefinisikan Y = X, jika I = 1; Y = X, jika I = 0 Tunjukkan bahwa Cov(X, Y) = 0

Angkot datang mulai pukul 7 pagi, setiap 15 menit sekali. Li datang ke tempat menunggu angkot pada suatu waktu yang berdistribusi Uniform antara jam 7 dan 7.30. Berapa peluang bahwa Li harus menunggu kurang dari 5 menit? lebih dari 10 menit?

Solusi: Misalkan X peubah acak yang menyatakan menit setelah pukul 7, berdistribusi Uniform pada selang (0, 30). P(10 < X < 15) + P(25 < X < 30) = = 1/3 P(0 < X < 5) + P(15 < X < 20) =

Sepuluh tahun lalu, di perusahaan Syafhira BumiPuteri, nilai klaim untuk asuransi rumah berdistribusi eksponensial. Diketahui, 25% klaim kurang dari 1000 (dolar). Kini, nilai klaim tetap berdistribusi eksponensial. Tapi, karena inflasi, setiap klaim yang diajukan memiliki nilai dua kali lebih besar dari klaim yang sama yang diajukan 10 tahun lalu. Tentukan peluang sebuah klaim yang diajukan hari ini kurang dari 1000.

Solusi: Misalkan X nilai klaim sepuluh tahun lalu, P(X < 1000) = 0.25. Diperoleh, λ = ln(0.75)/( 1000). Misalkan Y = 2X. P(Y < 1000) = P(2X < 1000) = P(X < 500) = 1 exp( 500 λ)

Sebuah koin memiliki peluang θ untuk muncul MUKA. Pelantun koin akan dikatakan sukses jika lantunan koinnya muncul M (pertama kali). Tentukan banyak lantunan yang diharapkan (expected number of flips) untuk sukses.

Solusi: Misalkan L peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan, M peubah acak menyatakan muncul MUKA, E(L) = E(L M = 1)P(M = 1) + E(L M = 0)P(M = 0) = E(L M = 1) θ + E(L M = 0) (1 θ) = 1 θ + (1 + E(L)) (1 θ) Jadi, E(L) = 1/θ

Hista akan membaca satu bab buku Prob atau satu bab buku Stats. Banyak kesalahan ketik pada sebuah bab buku Prob adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean 2; pada buku Stats dengan mean 5. Asumsikan bahwa Hista memilih buku Prob atau Stat secara acak. Tentukan banyak kesalahan ketik yang diharapkan yang akan Hista temukan.

Solusi: Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya kesalahan ketik. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan pilihan buku. E(X) = E(X Y = 1)P(Y = 1) + E(X Y = 0)P(Y = 0) = 2(1/2) + 5(1/2) = 7/2

Ayus saat ini berada di rumah tahanan (rutan) alias penjara. Dia ingin melarikan diri namun hal ini tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa kalau Ayus hendak keluar dari rutan dia kan menghadapi tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu dua jam. Pintu kedua pun demikian, akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu tiga jam. Sedangkan pintu ketigalah yang membawa Ayus langsung bebas. Jika diasumsikan bahwa Ayus memilih pintu-pintu 1, 2 dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of hours) yang dibutuhkan Ayus untuk bebas?

Solusi: Misalkan X adalah lama (jam) yang dibutuhkan Ayus untuk keluar dari rutan dan mendapatkan kebebasan. E(X) = E(X I 1 )P(I 1 ) + E(X I 2 )P(I 2 ) + E(X I 3 )P(I 3 ) = E(X I 1 )(0.5) + E(X I 2 )(0.3) + E(X I 3 )(0.2) = (2 + E(X))(0.5) + (3 + E(X))(0.3) + (0)(0.2) = 9.5