ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015
Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού Laplace Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση Heaviside
Ορισμός - Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = 0 e st f(t) dt.
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = 0 e st f(t) dt.
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = 0 [ e st s ] t=0 e st f(t) dt.
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = 0 e st f(t) dt. [ e st s ] t=0 = 1 s.
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = f(t) = e at : L{e at } 0 e st f(t) dt. [ ] e st s t=0 = 1 s.
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = 0 e st f(t) dt. [ ] e st s t=0 = 1 s. f(t) = e at : L{e at } = 0 e st e at dt =
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = 0 [ ] e st s f(t) = e at : L{e at } = 0 e st e at dt = e st f(t) dt. t=0 = 1 s. [ ] e (s+a)t (s+a) t=0 = s+a 1.
Ορισμός - Παραδείγματα Παραδείγματα L{f(t)} = F(s) ορισμός = f(t) = 1 : L{1} = 0 e st dt = 0 [ ] e st s f(t) = e at : L{e at } = 0 e st e at dt = f(t) = t : L{t} = = 0 [ te st e st t dt s = 0 + 1 s ] [ e st t=0 + 1 s s ] t=0 e st f(t) dt. t=0 = 1 s. 0 = 1 s 2. [ ] e (s+a)t (s+a) t=0 = s+a 1. e st dt
Παράδειγμα - συνάρτηση Heaviside u(t) = { 0 αν t <0, 1 αν t 0.
Παράδειγμα - συνάρτηση Heaviside L{u(t a)} = u(t) = { 0 αν t <0, 1 αν t 0.
Παράδειγμα - συνάρτηση Heaviside u(t) = { 0 αν t <0, 1 αν t 0. L{u(t a)} = 0 e st u(t a) dt =
Παράδειγμα - συνάρτηση Heaviside u(t) = { 0 αν t <0, 1 αν t 0. L{u(t a)} = 0 e st u(t a) dt = a e st dt =
Παράδειγμα - συνάρτηση Heaviside L{u(t a)} = 0 u(t) = { 0 αν t <0, 1 αν t 0. e st u(t a) dt = a e st dt = [ e st s ] t=a = e as, s
Πίνακας μετασχηματισμών Laplace f(t) C L{f(t)} = F(s) C s t 1 s 2 t 2 s 2 3 t 3 s 6 4 t n s n! n+1 e at 1 sin ωt cos ωt sinh ωt cosh ωt u(t a) s+a ω s 2 +ω s 2 s 2 +ω ω 2 s 2 ω s 2 s 2 ω 2 e as s
Γραμμικότητα L{Cf(t)} = 0 e st Cf(t) dt = C e st f(t) dt = CL{f(t)}. 0
Γραμμικότητα L{Cf(t)} = 0 e st Cf(t) dt = C e st f(t) dt = CL{f(t)}. 0 Εστω ότι A, B, και C τυχαίες σταθερές, τότε L{Af(t) + Bg(t)} = AL{f(t)} + BL{g(t)},
Προσοχή! L{f(t)g(t)} L{f(t)}L{g(t)}.
Προσοχή! L{f(t)g(t)} L{f(t)}L{g(t)}. εν έχουν όλες οι συναρτήσεις μετασχηματισμό Laplace Π.χ. οι tan t και e t2.
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός - Εστω F(s) = L{f(t)} για κάποια συνάρτηση f(t).
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός - Εστω F(s) = L{f(t)} για κάποια συνάρτηση f(t). Ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως εξής L 1 {F(s)} ορισμός = f(t).
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός - Εστω F(s) = L{f(t)} για κάποια συνάρτηση f(t). Ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως εξής Παράδειγμα - F(s) = 1 s+1 L 1 {F(s)} ορισμός = f(t).
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός - Εστω F(s) = L{f(t)} για κάποια συνάρτηση f(t). Ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως εξής Παράδειγμα - F(s) = 1 s+1 L 1 {F(s)} ορισμός = f(t). L 1 { 1 s + 1 } = e t.
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός - Εστω F(s) = L{f(t)} για κάποια συνάρτηση f(t). Ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως εξής Παράδειγμα - F(s) = 1 s+1 L 1 {F(s)} ορισμός = f(t). L 1 { 1 s + 1 Παράδειγμα - F(s) = s2 +s+1 s 3 +s F(s) = s2 + s + 1 s 3 + s } = e t. = 1 s + 1 s 2 + 1.
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός - Εστω F(s) = L{f(t)} για κάποια συνάρτηση f(t). Ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως εξής Παράδειγμα - F(s) = 1 s+1 L 1 {F(s)} ορισμός = f(t). L 1 { 1 s + 1 Παράδειγμα - F(s) = s2 +s+1 s 3 +s F(s) = s2 + s + 1 s 3 + s { } L 1 s 2 { + s + 1 s 3 = L + s 1 1 s } = e t. = 1 s + 1 s 2 + 1. } + L 1 { 1 s 2 + 1 } = 1 + sin t.
Μετασχηματισμοί παραγώγων L { g (t) } = e st [ g (t) dt = e st g(t)] 0 t=0 0 = g(0) + sl{g(t)}. ( s) e st g(t) dt
Μετασχηματισμοί παραγώγων L { g (t) } = e st [ g (t) dt = e st g(t)] 0 t=0 0 = g(0) + sl{g(t)}. ( s) e st g(t) dt f(t) g (t) L{f(t)} = F(s) sg(s) g(0) g (t) s 2 G(s) sg(0) g (0) g (t) s 3 G(s) s 2 g(0) sg (0) g (0)
Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace x (t) + x(t) = cos 2t, x(0) = 0, x (0) = 1.
Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace x (t) + x(t) = cos 2t, x(0) = 0, x (0) = 1. L{x (t) + x(t)} = L{cos 2t}, s 2 s X(s) sx(0) x (0) + X(s) = s 2 + 4.
Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace x (t) + x(t) = cos 2t, x(0) = 0, x (0) = 1. L{x (t) + x(t)} = L{cos 2t}, s 2 s X(s) sx(0) x (0) + X(s) = s 2 + 4. s 2 X(s) 1 + X(s) = s s 2 + 4.
Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace x (t) + x(t) = cos 2t, x(0) = 0, x (0) = 1. L{x (t) + x(t)} = L{cos 2t}, s 2 s X(s) sx(0) x (0) + X(s) = s 2 + 4. s 2 s X(s) 1 + X(s) = s 2 + 4. s X(s) = (s 2 + 1)(s 2 + 4) + 1 s 2 + 1.
Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace x (t) + x(t) = cos 2t, x(0) = 0, x (0) = 1. L{x (t) + x(t)} = L{cos 2t}, s 2 s X(s) sx(0) x (0) + X(s) = s 2 + 4. s 2 s X(s) 1 + X(s) = s 2 + 4. s X(s) = (s 2 + 1)(s 2 + 4) + 1 s 2 + 1. X(s) = 1 3 s s 2 + 1 1 3 s s 2 + 4 + 1 s 2 + 1.
Επίλυση Σ Ε με μετασχηματισμούς Laplace x (t) + x(t) = cos 2t, x(0) = 0, x (0) = 1. L{x (t) + x(t)} = L{cos 2t}, s 2 s X(s) sx(0) x (0) + X(s) = s 2 + 4. s 2 s X(s) 1 + X(s) = s 2 + 4. s X(s) = (s 2 + 1)(s 2 + 4) + 1 s 2 + 1. X(s) = 1 3 s s 2 + 1 1 3 s s 2 + 4 + 1 s 2 + 1. x(t) = 1 3 cos t 1 cos 2t + sin t. 3
Η συνάρτηση Heaviside u(t) = { 0 αν t <0, 1 αν t 1. -1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.00 1.00 0.75 0.75 0.50 0.50 0.25 0.25 0.00 0.00-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε f(t) = u(t π) sin t.
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε f(t) = u(t π) sin t. 2. f(t) είναι 1 στο διάστημα [1, 2) και μηδέν αλλού
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε f(t) = u(t π) sin t. 2. f(t) είναι 1 στο διάστημα [1, 2) και μηδέν αλλού f(t) = u(t 1) u(t 2).
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε f(t) = u(t π) sin t. 2. f(t) είναι 1 στο διάστημα [1, 2) και μηδέν αλλού f(t) = u(t 1) u(t 2). 3. f(t) ίση με t όταν το t [0, 1], ίση με t + 2 όταν t [1, 2] και μηδέν αλλού
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε f(t) = u(t π) sin t. 2. f(t) είναι 1 στο διάστημα [1, 2) και μηδέν αλλού f(t) = u(t 1) u(t 2). 3. f(t) ίση με t όταν το t [0, 1], ίση με t + 2 όταν t [1, 2] και μηδέν αλλού f(t) = t ( u(t) u(t 1) ) + ( t + 2) ( u(t 1) u(t 2) ).
Παραδείγματα χρήσης 1. f(t) είναι ένα σήμα και ότι έχουμε αρχίσει να λαμβάνουμε το σήμα sin t την χρονική στιγμή t { 0 αν t <π, f(t) = sin t αν t π. τότε f(t) = u(t π) sin t. 2. f(t) είναι 1 στο διάστημα [1, 2) και μηδέν αλλού f(t) = u(t 1) u(t 2). 3. f(t) ίση με t όταν το t [0, 1], ίση με t + 2 όταν t [1, 2] και μηδέν αλλού f(t) = t ( u(t) u(t 1) ) + ( t + 2) ( u(t 1) u(t 2) ).
Ιδιότητες μετατώπισης 1. 2. L{u(t a)} = e as. s L{f(t a)u(t a)} = e as L{f(t)}.
Παράδειγμα Σ Ε x (t) + x(t) = u(t 1) u(t 3), x(0) = 0, x (0) = 0,
Παράδειγμα Σ Ε x (t) + x(t) = u(t 1) u(t 3), x(0) = 0, x (0) = 0, s 2 X(s) + X(s) = e s s e 3s s X(s) = e s s(s 2 + 1) e 3s s(s 2 + 1).
Παράδειγμα Σ Ε x (t) + x(t) = u(t 1) u(t 3), x(0) = 0, x (0) = 0, s 2 X(s) + X(s) = e s L 1 { 1 s(s 2 + 1) } s e 3s s X(s) = = 1 cos t (?)L{1 cos t} = e s s(s 2 + 1) e 3s s(s 2 + 1). 1 s(s 2 + 1)
Παράδειγμα Σ Ε x (t) + x(t) = u(t 1) u(t 3), x(0) = 0, x (0) = 0, s 2 X(s) + X(s) = e s L 1 { L 1 { 1 s(s 2 + 1) e s s(s 2 + 1) } } s e 3s s X(s) = = 1 cos t (?)L{1 cos t} = e s s(s 2 + 1) e 3s s(s 2 + 1). 1 s(s 2 + 1) = L 1 { e s L{1 cos t} } = ( 1 cos(t 1) ) u(t 1).
Παράδειγμα Σ Ε x (t) + x(t) = u(t 1) u(t 3), x(0) = 0, x (0) = 0, s 2 X(s) + X(s) = e s L 1 { L 1 { 1 s(s 2 + 1) e s s(s 2 + 1) } } s e 3s s X(s) = = 1 cos t (?)L{1 cos t} = e s s(s 2 + 1) e 3s s(s 2 + 1). 1 s(s 2 + 1) = L 1 { e s L{1 cos t} } = ( 1 cos(t 1) ) u(t 1). x(t) = ( 1 cos(t 1) ) u(t 1) ( 1 cos(t 3) ) u(t 3)
Γραφική παράσταση της λύσης 0 5 10 15 20 2 2 1 1 0 0-1 -1-2 0 5 10 15 20-2