Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Οδηγός λύσης θέματος 1 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Αρχείο δεδομένων (DataSet1.txt) Χρονικές εποχές παρατηρήσεων (t) 2.0100000e+03 2.0100027e+03 2.0100055e+03 2.0100082e+03 2.0100110e+03 2.0100137e+03 2.0100164e+03 2.0100192e+03 2.0100219e+03 2.0100247e+03 2.0100274e+03 2.0100301e+03 2.0100329e+03 2.0100356e+03 2.0100384e+03 2.0100411e+03 2.0100438e+03 2.0100466e+03 2.0100493e+03 2.0100521e+03 2.0100548e+03 2.0100575e+03.. -4.8239718e+01 9.7515287e+00 7.2523579e-01-4.5779464e+00-6.2374765e+01-5.2162873e+01-1.9410029e+01-1.0269457e+02-1.2340916e+02-5.4784506e+01-2.3313465e+02-1.5554233e+02-4.1539288e+01-1.5578116e+02-1.5443122e+02-1.7417736e+02-8.6341620e+01-1.9722706e+02-1.4282049e+02-8.9869976e+01-1.1753386e+02-9.9781782e+01.. Τιμές παρατηρήσεων (b)
Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; 300 200 100 0 Παρατηρήσεις (b) -100-200 -300 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 150 200 150 100 150 100 100 50 50 50 0 0 0-50 -50-50 -100-100 -150-100 Κυρίαρχη τάση (m) -150 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 250 200-200 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 Σήματα (s) -150 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 Σφάλματα (v) 150 100 50 0-50 -100-150 -200-250 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 Συνολική εκτίμηση συνάρτησης στα σημεία μέτρησης (y)
Τι (άλλο) προσπαθούμε να κάνουμε ; 300 200 100 0 y 2 =? y 3 =? -100-200 y 1 =? -300 2010 2010.5 2011 2011.5 2012 2012.5 2013 2013.5 t A = 2010.089 t B = 2012.10 t Γ = 2013.10 Πρόγνωση τιμών της άγνωστης συνάρτησης σε τρία σημεία που δεν διαθέτουμε μετρήσεις
Περιοδικό μοντέλο κυρίαρχης τάσης 400 200 0-200 T = 1 year + -400 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 400 200 0-200 T = 0.5 year -400 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 400 200 0-200 -400 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 m( t ) A cos( 2 t ) B sin( 2 t ) A cos( 4 t ) B sin( 4 t ) 1 1 2 2
Signal co-variance Συνάρτηση συμ-μεταβλ. σήματος 4000 C(0) 3000 C s, s o i j 2 2 1 A C( ) 2000 C(0)/2 1000 0 0 10 20 30 40 50 60 8 Time lag (days) (*) το σήμα μεταξύ σημείων που απέχουν > 25-30 days έχει πρακτικά αμελητέα συμμεταβλητότητα!
Signal co-variance Συνάρτηση συμ-μεταβλ. σήματος 4000 C(0) 3000 C s, s o i j 2 2 1 A C( ) 2000 C(0)/2 1000 0 0 10 20 30 40 50 60 8 Time lag (days) (*) για τον αριθμητικό υπολογισμό των τιμών C(τ), η απόσταση τ πρέπει να εισαχθεί σε decimal years (όχι σε days)!
Signal correlation Συνάρτηση συσχέτισης σήματος 1 0.8 R( ) 0.6 0.4 0.5 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 8 Time lag (days) (*) το σήμα μεταξύ σημείων που απέχουν > 25-30 days έχει πρακτικά αμελητέα συσχέτιση!
Διαδικασία λύσης & προ-επεξεργασία δεδομένων
Βασικές συμβουλές (για εκτέλεση υπολογισμών στο MATLAB) o Εισάγετε τα δεδομένα από το αρχείο και αποθηκεύστε τις τιμές των χρονικών εποχών (t) και των παρατηρήσεων (b) σε αντίστοιχα διανύσματα. o Δημιουργήστε και αποθηκεύστε όλους τους βασικούς πίνακες που χρειάζονται για την εφαρμογή των αλγορίθμων της συνόρθωσης (Α, Α', C v, C s, C s's, C s' ). o Για την ανάγνωση τoυ αρχείου και την αποθήκευση των δεδομένων, καθώς και για τη δημιουργία των πινάκων συμμεταβλητοτήτων των σημάτων, μπορείτε να συμβουλευτείτε τις σχετικές οδηγίες που δίνονται στο σύντομο εγχειρίδιο του ΜATLAB (διαθέσιμο από την ιστοσελίδα του μαθήματος).
Απόσπασμα του πίνακα σχεδιασμού Α (731 4) Α1 Β1 Α2 Β2 t i 1.000000000000000-1.37036645377e-13 1.000000000000000-2.740732907543e-13 0.999856104618958 0.016963786611567 0.999424459887594 0.033922691202057 0.999402948354976 0.034550641374395 0.997612506361236 0.069060025714252 0.998673029179333 0.051499328051691 0.994695638420449 0.102861979892165 0.997612506361226 0.069060025714389 0.990461425696656 0.137790290684604 0.996297434989872 0.085973373974753 0.985217157934795 0.171310103936943 0.994695638420435 0.102861979892301 0.978838826185272 0.204632725516325 0.992732158755412 0.120344758809094 0.971034278054362 0.238940224414903 0.990547806374879 0.137167938257872 0.962369913428169 0.271742800692599 0.987981457784036 0.154572439571000 0.952214721850139 0.305429408361183 0.985217157934771 0.171310103937078 0.941305696578135 0.337555307452796 0.982169321688460 0.187998466839577 0.929313152931937 0.369292653308594 cos(2πt i ) sin(2πt i ) cos(4πt i ) sin(4πt i )
Πίνακας σχεδιασμού Α' (3 4) Α1 Β1 Α2 Β2 t Α 0.8477 0.5305 0.4371 0.8994 t Β 0.8090 0.5878 0.3090 0.9511 t Γ 0.8090 0.5878 0.3090 0.9511 cos(2πt i ) sin(2πt i ) cos(4πt i ) sin(4πt i )
Απόσπασμα του πίνακα C v (731 731) 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600
Απόσπασμα του πίνακα C s (731 731) s 1 (at t 1 ) s 2 (at t 2 ) s 3 (at t 3 ) s 4 (at t 4 ) s 5 (at t 5 ) s 1 (at t 1 ) s 2 (at t 2 ) s 3 (at t 3 ) s 4 (at t 4 ) s 5 (at t 5 ) 3600 3555.166 3419.303 3216.250 2951.913 3555.166 3600 3551.817 3419.303 3207.618 3419.303 3551.817 3600 3555.166 3419.303 3216.250 3419.303 3555.166 3600 3551.817 2951.913 3207.618 3419.303 3551.817 3600 o s, s i j 2 2 1 A ij C (*) η τιμή της απόστασης τ ij πρέπει να είναι εκφρασμένη σε decimal years (όχι σε days)!
Πίνακας C s' (3 3) s' 1 (at t A ) s' 2 (at t B ) s' 3 (at t Γ ) s' 1 (at t A ) 3600 2.959010-4 5.889610-5 s' 2 (at t B ) 2.959010-4 3600 0.0048 s' 3 (at t Γ ) 5.889610-5 0.0048 3600 o s, s i j 2 2 1 A ij C (*) η τιμή της απόστασης τ ij πρέπει να είναι εκφρασμένη σε decimal years (όχι σε days)!
Απόσπασμα του πίνακα C s's (3 731) s 1 (at t 1 ) s 2 (at t 2 ) s 3 (at t 3 ) s 4 (at t 4 ) s 5 (at t 5 ) s' 1 (at t A ) 58.7215 65.3571 73.2227 81.9162 92.2813 s' 2 (at t B ) 2.488510-4 2.501310-4 2.514710-4 2.527710-4 2.541310-4 s' 3 (at t Γ ) 5.241910-5 5.260210-5 5.279310-5 5.297710-5 5.317010-5 o s, s i j 2 2 1 A ij C (*) η τιμή της απόστασης τ ij πρέπει να είναι εκφρασμένη σε decimal years (όχι σε days)!
Αποτελέσματα συνόρθωσης
Αποτελέσματα συνόρθωσης Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Εκτιμήσεις Α1 65.993 ± 13.633 Β1-36.972 ± 13.899 Α2-72.680 ± 13.309 Β2-3.481 ± 13.554 1 T 1 T 1 xˆ A M A A M b T 1 1 Cxˆ ( A M A)
Πίνακας συντελεστών συσχέτισης για εκτιμήσεις παραμέτρων Α1 Β1 Α2 Β2 Α1 1.0000 3.22 10-15 -0.0379 2.90 10-14 Β1 1.0000 2.64 10-14 2.94 10-4 Α2 1.0000 5.36 10-14 Β2 1.0000 1 T 1 T 1 xˆ A M A A M b T 1 1 Cxˆ ( A M A)
Eκτίμηση κυρίαρχης τάσης 300 Data Estimated trend 200 100 0-100 -200 mˆ ( t) -300 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 mˆ ( t ) Aˆ cos(2 t ) Bˆ sin(2 t ) Aˆ cos(4 t ) Bˆ sin(4 t ) 1 1 2 2
Τιμές της κυρίαρχης τάσης στα σημεία μετρήσεων και η ακρίβεια τους 300 Data Estimated trend 200 100 0-100 -200 mˆ Axˆ -300 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 19.5 19.4 19.3 SQRT diag( C ) mˆ 19.2 19.1 19 18.9 18.8 18.7 18.6 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012
Εκτίμηση σημάτων & σφαλμάτων (στα σημεία μετρήσεων) 200 100 0-100 -200 2010 2010.5 2011 2011.5 2012 1 sˆ C M ( b Axˆ ) s 200 100 0-100 -200 2010 2010.5 2011 2011.5 2012 1 vˆ C M ( b Axˆ) v
Εκτίμηση σημάτων & σφαλμάτων (στα σημεία μετρήσεων) Στατιστικά στοιχεία αποτελεσμάτων Σήματα Σφάλματα max 190.0524 112.3692 min -150.7017-121.2188 mean 4.5787 0.1230 σ 61.9565 37.2000 Sqrt(Co) = 60 (θεωρητική τυπική απόκλιση σήματος) σ v = 40 (θεωρητική τυπική απόκλιση θορύβου)
Ακρίβεια εκτίμησης σημάτων (στα σημεία μετρήσεων) 28 27.5 27 26.5 26 SQRT diag( C es ) ˆ 25.5 25 24.5 24 C es ˆ... 23.5 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012
Συνολική εκτίμηση της συνάρτησης (στα σημεία μετρήσεων) 300 200 100 0-100 -200-300 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 yˆ Axˆ sˆ
Ακρίβεια εκτίμησης των τιμών της συνάρτησης (στα σημεία μετρήσεων) 41.6 41.4 41.2 41 40.8 40.6 40.4 40.2 C ey ˆ... 40 39.8 2010 2010.2 2010.4 2010.6 2010.8 2011 2011.2 2011.4 2011.6 2011.8 2012 SQRT diag( C ey ) ˆ
Εκτίμηση σημάτων (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα t A = 2010.089 = -67.4897 ± 24.0616 ŝ t Β = 2012.100 = 0.9162 ± 59.9975 t Γ = 2013.100 ŝ 3 = 0.0002 ± 60.0000 ŝ 1 2 1 sˆ C M ( b Axˆ ) C es ˆ ss...
Εκτίμηση των τιμών της συνάρτησης (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα yˆ Axˆ sˆ C ey ˆ t A = 2010.089 = -66.0635 ± 40.7176 ŷ t Β = 2012.100 = 6.8039 ± 63.0153 ŷ t Γ = 2013.100 ŷ 3 = 5.8879 ± 62.9927... 1 2
Παρατηρήσεις σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού των αποστάσεων τ
Αρχείο δεδομένων Ημερήσιες εποχές 2.0100000e+03 2.0100027e+03 2.0100055e+03 2.0100082e+03 2.0100110e+03 2.0100137e+03 2.0100164e+03 2.0100192e+03 2.0100219e+03 2.0100247e+03 2.0100274e+03 2.0100301e+03 2.0100329e+03 2.0100356e+03 2.0100384e+03 2.0100411e+03 2.0100438e+03 2.0100466e+03 2.0100493e+03 2.0100521e+03 2.0100548e+03 2.0100575e+03.. -4.8239718e+01 9.7515287e+00 7.2523579e-01-4.5779464e+00-6.2374765e+01-5.2162873e+01-1.9410029e+01-1.0269457e+02-1.2340916e+02-5.4784506e+01-2.3313465e+02-1.5554233e+02-4.1539288e+01-1.5578116e+02-1.5443122e+02-1.7417736e+02-8.6341620e+01-1.9722706e+02-1.4282049e+02-8.9869976e+01-1.1753386e+02-9.9781782e+01.. Αντίστοιχες παρατηρήσεις
Οι χρονικές εποχές των παρατηρήσεων (t) Ημερήσιες εποχές (στο διάστημα 2010-2012) t 1 = 2010.0000 t 2 = 2010.0027 t 3 = 2010.0055 t 4 = 2010.0082 t 5 = 2010.0110 t 6 = 2010.0137 t 7 = 2010.0164 t 8 = 2010.0192. t 1 = 2010.0000 t 2 = 2010.0000 + 1/365 = 2010.002739726027397 t 3 = 2010.0000 + 2/365 = 2010.005479452054795 t 4 = 2010.0000 + 3/365 = 2010.008219178082192 t 5 = 2010.0000 + 4/365 = 2010.010958904109589 t 6 = 2010.0000 + 5/365 = 2010.013698630136986 t 7 = 2010.0000 + 6/365 = 2010.016438356164384 t 8 = 2010.0000 + 7/365 = 2010.019178082191781.. Τιμές από το αρχείο DataSet1.txt Τιμές από αναλυτικό υπολογισμό
Οι αποστάσεις μεταξύ των εποχών των παρατηρήσεων Έχουμε δεδομένα σε κάνναβο ή όχι ; Δt 1,2 = 0.0027 Δt 2,3 = 0.0028 Δt 3,4 = 0.0027 Δt 4,5 = 0.0028 Δt 5,6 = 0.0027 Δt 6,7 = 0.0027 Δt 7,8 = 0.0028. Δt 1,2 = 0.002739726027397 Δt 1,2 = 0.002739726027397 Δt 3,4 = 0.002739726027397 Δt 4,5 = 0.002739726027397 Δt 5,6 = 0.002739726027397 Δt 6,7 = 0.002739726027397 Δt 7,8 = 0.002739726027397. Με βάση τις αρχικές τιμές από το αρχείο DataSet1.txt Με βάση αναλυτικό υπολογισμό
Δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τον υπολογισμό του πίνακα C s. load DataSet1.txt Ιnput = DataSet1; t = Input(:,1); b = Input(:,2); A = 862.2438; Co = 3600.000; Cs = zeros(length(t)); for i = 1:1:length(t) for j = 1:1:length(t) tau = abs((j - i) / 365); Cs(i,j) = Co / ((1+(A*(tau^2)))^2); end end... load DataSet1.txt Ιnput = DataSet1; t = Input(:,1); b = Input(:,2); A = 862.2438; Co = 3600.000; Cs = zeros(length(t)); for i = 1:1:length(t) for j = 1:1:length(t) tau = abs( t(j) t(i) ); Cs(i,j) = Co / ((1+(A*(tau^2)))^2); end end..
Oι τιμές των αποστάσεων τ με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις 0 0.0027 0.0055 0.0082 0.0110 0.0137 0.0164 0.0192 0.0219 0.0247 0.0274 0.0301 0.0329 0.0356 0.0384 0 0.0027 0.0055 0.0082 0.0110 0.0137 0.0164 0.0192 0.0219 0.0247 0.0274 0.0301 0.0329 0.0356 0.0384
Oι τιμές των αποστάσεων τ με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις 0 0.00273972602739726 0.00547945205479452 0.00821917808219178 0.0109589041095890 0.0136986301369863 0.0164383561643836 0.0191780821917808 0.0219178082191781 0.0246575342465753 0.0273972602739726 0.0301369863013699 0.0328767123287671 0.0356164383561644 0.0383561643835616 0 0.00270000000000437 0.00549999999998363 0.00819999999998800 0.0109999999999673 0.0136999999999716 0.0163999999999760 0.0191999999999553 0.0218999999999596 0.0246999999999389 0.0273999999999432 0.0300999999999476 0.0328999999999269 0.0355999999999312 0.0383999999999105
Απόσπασμα του πίνακα C s με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 3600 3553.849 3420.600 3214.600 2956.077 3553.849 3600 3553.849 3420.600 3214.600 3420.600 3553.849 3600 3553.849 3420.600 3214.600 3420.600 3553.849 3600 3553.849 2956.077 3214.600 3420.600 3553.849 3600 1 η προσέγγιση
Απόσπασμα του πίνακα C s με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 3600 3555.166 3419.303 3216.250 2951.913 3555.166 3600 3551.817 3419.303 3207.618 3419.303 3551.817 3600 3555.166 3419.303 3216.250 3419.303 3555.166 3600 3551.817 2951.913 3207.618 3419.303 3551.817 3600 2 η προσέγγιση
Αποτελέσματα συνόρθωσης Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Εκτιμήσεις Α1 66.020 ± 13.633 Β1-36.977 ± 13.899 Α2-72.668 ± 13.309 Β2-3.457 ± 13.554 1 η προσέγγιση
Αποτελέσματα συνόρθωσης Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Εκτιμήσεις Α1 65.993 ± 13.633 Β1-36.972 ± 13.899 Α2-72.680 ± 13.309 Β2-3.481 ± 13.554 2 η προσέγγιση
Εκτίμηση σημάτων (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα t A = 2010.089 = -67.1621 ± 24.0635 t Β = 2012.100 = 0.9145 ± 59.9975 t Γ = 2013.100 ŝ 3 = 0.0002 ± 60.0000 ŝ 1 ŝ 2 1 η προσέγγιση
Εκτίμηση σημάτων (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα t A = 2010.089 = -67.4897 ± 24.0616 t Β = 2012.100 = 0.9162 ± 59.9975 t Γ = 2013.100 ŝ 3 = 0.0002 ± 60.0000 ŝ 1 ŝ 2 2 η προσέγγιση
Τεχνική έκθεση o Αναλυτική περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης του θέματος και όλων των σχετικών αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκαν. o Παράθεση των αποτελεσμάτων σε κατάλληλους πίνακες με τη βοήθεια συνοδευτικών γραφημάτων. o Παράθεση του σχετικού κώδικα ή των υπολογιστικών φύλλων που δημιουργήσατε. o Κριτικός σχολιασμός των αποτελεσμάτων.