Tallnna Tehnkaülkool Mehaankansttuut Deformeeruva keha mehaanka õppetool ndrus Salupere Elastsusõpetus Loengukonspekt Tallnn 2005 1 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud kasutamseks Tallnna Tehnkaülkool ehtusteaduskonna ülõplastel elastsusõpetuse (EMD0020) kursuse õppmsel. Õppeane laendatud programm, Elastsusõpetus, EMD0020 programm (vt. http://cens.oc.ee/~salupere/loko.html), kujutab endast antud loengukonspekt lahutamatut lsa. Seal on estatud õppeane eesmärgd, maht, eeldusaned ja soovtatav krjandus nng krjeldatud antud ane õppmsel kehtvat töökorraldust. Märkused: 1. Loengukonspekt valmb käesoleva semestr jooksul nng on (pdevalt uuenevana) väljas nternets mnu koduleheküljel http://cens.oc.ee/~salupere.
2. Loengukonspekt pole mõeldud kasutamseks sesesva õpkuna. Seetõttu on õptavast anest tervklku ülevaate saamseks loengute külastamne ja vajalkus ulatuses konspekteermne hädavajalk. 3. Tekst paremas servas olevad märgd (,, jne.) tähstavad koht, kus loengus estatakse oluls selgtavad märkus. 4. Loengukonspekt psut ebaharlk väljanägemne (kaks 5 lehekülge on pagutatud ühele 4 lehele) on tngtud praktlstest kaalutlustest. Loengutel nädatakse materjal 5 lehekülgede kaupa. 5. Vabandan juba ette teksts esneda võvate trükvgade pärast. Vastavassulsed märkused on teretulnud n loengutes ku e-krjade kujul aadressl salupere@oc.ee. 2 ndrus Salupere 3 Peatükk 1 Sssejuhatus
1.1. Elastsusõpetus 4 1.1 Elastsusõpetus Katsed on nädanud, välsmõjude (pndkoormused, massjõud, soojendamne, jahutamne) tomel võvad tahked kehad deformeeruda. Ku deformatsoond e ületa teatud pr, ss välsmõjude kõrvaldamsel keha taastab oma esalgse kuju. Sellst tahke keha omadust nmetatakse elastsuseks. Elastsusteoora ehk elastsusõpetus uurb elastsete kehade deformatsoone ja lkumst. Sõltuvalt välsmõjude kõrvaldamse krusest võvad sn kaasneda teatud võnkumsed. Ku deformatsoond aga ületavad teatava pr, ss keha algne kuju e taastu täelkult osa deformatsoone sälb. Ned jäävad deformatsoone nmetatakse plastseteks deformatsoondeks. Elastsusteoora ülesandeks on määrata ja hnnata geomeetrls suurus, ms seloomustavad keha deformatsoon: läbpanded, srded jne.; ssejõude ja pnged, ms lmnevad deformatsoonprotsesss. Selleks rakendatakse matemaatls meetoded (matemaatlne analüüs, dferentsaalvõrrandte teoora jne.). 1.1. Elastsusõpetus 5 Elastsusteoora põhneb pdeva keskkonna mehaankal 1. Seega on vaja ssse tuua võ määrata: Pdeva keskkonna mõste. Ssejõudude ja deformatsoonde vahelsed seosed ehk olekuvõrrandd (vmased määratakse ekspermentdest). Geomeetrlsed suurused, ms krjeldavad keha deformatsoone. Ssejõud ja nende seos välsmõjudega. Käesoleva kursuse raames kästletakse lneaarset elastsusteoorat. 1 Pdeva keskkonna mehaanka uurb tahkste (deformeeruvate tahkete kehade), gaasde ja vedelke lkumst välsmõjude tomel.
1.2. Mehaanka harud 6 1.2 Mehaanka harud Mehaanka on teadus, ms uurb tahkete kehade, vedelke ja gaasde lkumst, selle lkumse põhjus ja tagajärg. Joons 1.1: Mehaanka harud 1.2. Mehaanka harud 7 1.2.1 Jäga keha mehaanka Teoreetlne mehaanka ehk absoluutselt jäga keha mehaanka uurb absoluutselt jäkade kehade lkumst ja pagalsesu nele rakendatud jõudude tomel. bsoluutselt jäga keha mstahes kahe punkt vahelne kaugus on konstantne. Kõk kehad, mda me antud kursuses vaatleme, loeme absoluutselt jäkadeks. Laas laastus võb teoreetlse mehaanka jagada staatkaks, knemaatkaks ja dünaamkaks. Staatka uurb: 1) kehade tasakaalu (täpsemalt öeldes kehadele rakendatud jõusüsteemde tasakaalu) ja 2) jõusüsteemde lhtsustamst ehk taandamst. Knemaatka uurb lkumse geomeetrls seaduspärasus. Klasskalne dünaamka uurb punktmassde ja jäkade kehade lkumst nele mõjuvate jõudude tomel. Lkumsena ehk mehaankalse lkumsena mõstetakse vaadeldava keha asend muutust teste kehade suhtes. Selleks valtakse tavalselt üks keha, mlle suhtes uurtakse lkumst ja seotakse sellega jägalt koordnaatsüsteem. Tulemust nmetatakse taustsüsteemks.
1.2. Mehaanka harud 8 Punktmassks nmetatakse materaalset keha, mlle mõõtmed tema lkumse uurmsel e arvestata. eg loetakse unversaalseks, st., ühtvs kulgevaks kõgs taustsüsteemdes. 1.2.2 Pdeva keskkonna mehaanka Pdeva keskkonna mehaanka (PKM) uurb tahkste (deformeeruvate tahkete kehade), gaasde ja vedelke lkumst välsmõjude tomel. Palju harusd tahkse (deformeeruva keha) mehaanka tugevusõpetus elastsusteoora plastsusteoora jne. hüdro- ja aeromehaanka hüdrostaatka 1.2. Mehaanka harud 9 hüdrodünaamka jne. 1.2.3 Tehnlne mehaanka Tehnlne mehaanka = staatka + tugevusõpetus. Tugevusõpetus on mehaanka haru, ms uurb konstruktsoonelementde psava tugevuse, jäkuse ja stablsuse saavutamst võmalkult ökonoomsel moel.
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 10 1.3 Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Täpsema ülevaate saamseks on soovtatav lugeda professor leksander Klauson loengukonspekte (vt. http://www.staff.ttu.ee/%7eaklauson/docs/tm1_loeng.htm). Staatka Joons 1.2: Jõud ja jõu mõjusrge Jõud on kehade vastastkuse mõju mõõt. Jõud on vektoraalne suurus. 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 11 Jõusüsteem on kehale mõjuvate jõudude kogum. Jäga keha mehaankas (k.a. staatkas) on jõud lbsev vektor. Tessõnu, jäga keha mehaankas võb lugeda jõudu rakendatuks oma mõjusrge mstahes punkt. Jõu projektsoon on skalaar: ku on x telje suunalne ühkvektor, ss projektsoon F x = F = F cos α. Jõu komponent on vektor: F x = F x. Joons 1.3: Jõu projektsoond ja jõu komponenedd.
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 12 Vabaks kehaks nmetatakse keha, mlle lkumst e pra mtte üksk tngmus. Vaba keha saab antud asendst üle va mstahes uude asendsse. Sde on keha lkumst ktsendav tngmus. Tavalselt moodustab sdeme mng tene keha. Sdemereaktsoon ehk reaktsoonjõud on jõud, mllega sdet moodustav keha mõjub vaadeldavale kehale. Insenerülesannete puhul nmetatakse sdemed tht ka tugedeks ja vastavad reaktsoonjõudusd toereaktsoondeks. Sdemetest vabastatavuse prntsp: Iga seotud keha võb vaadelda vaba kehana ku asendada sdemed sdemereaktsoondega. Sdemete tüübd: sle pnd, kare pnd, lkumatu lgend(tug), lkuv lgend(tug), kerge varras, panduv ühendus jne. 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 13 Jõu momendks punkt suhtes nmetatakse vektort, ms võrdub jõu rakenduspunkt kohavektor r ja jõuvektor F vektorkorrutsega. M O = r F, M O M O = Fr snϑ = Fd. (1.1) Jõu moment seloomustab jõu pööravat tomet. Joons 1.4: Jõu moment punkt suhtes. Momentvektor M O suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkt O valkust kud e sõltu punkt valkust jõu mõjusrgel.
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 14 Momentvektor M O mõjusrge määrab telje, mlle ümber jõud F püüab tektada pöörlemst. Pöörde suund määratakse kruvreeglga ku (parema käe) kruv teljeshlse lkumse suund ühtb momentvektor suunaga, ss keha pöörlemse suund ühtb kruv pöörlemse suunaga. Ja vastupd, ku kruv pöörata keha pöörlemse suunas, ss tema teljeshlse lkumse suund ühtb momentvektor suunaga. Jõu moment telje suhtes võrdub selle telje mstahes punkt suhtes letud momentvektor projektsoonga vaadeldaval teljel. See on üldlevnud määratlus ja selle põhjal on tegu skalaarga. Tegelkult võb ka jõu moment telje suhtes kästleda vektorna. Praktkas letakse moment valemst M = ±Fd, s.t. jõud korda jõu õlg, nng märk määratakse kruvreeglga. 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 15 Jõupaar moodustavad kaks võrdvastupdst jõudu F ja F mllel on ernev mõjusrge. Jõupaar moment võrdub ühe jõupaar moodustava jõu momendga tese rakenduspunkt suhtes. Jõupaar moment on vabavektor. Joons 1.5: Jõupaar ja jõupaar moment
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 16 Lemma jõu paraleellükkest. Jäga keha mstahes punkts rakendatud jõu võb paralleelselt tema mõjusrgega üle kanda uude rakenduspunkt B ku lsada punkts rakendatud jõu moment punkt B suhtes. Staatka põhteoreem (Ponsot teoreem): Iga jägale kehale rakendatud jõusüsteem saab asendada taandamstsentrsse rakendatud jõusüsteem peavektorga ja jõusüsteem peamomendga taandamstsentr suhtes. Joons 1.6: Jõusüsteem peavektor ja peamoment. Jõusüsteem peavektor: F O = n =1 F Jõusüsteem peamoment: M O = n =1 M O(F ), kus punkt O nmetatakse taandamstsentrks 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 17 Jõusüsteem on tasakaalus parajast ss ku peavektor F O ja mng punkt O suhtes letud peamoment M O on võrdsed nullga: F O = F = 0, M O = M O (F ) = 0. (1.2) Skalaarsed tasakaalu tngmused: F x = 0, F y = 0, F z = 0, M x (F ) = 0, M y (F ) = 0, M z (F ) = 0. (1.3)
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 18 Tasapnnalne jõusüsteem F x = 0, F y = 0, M Oz (F ) = 0. (1.4) lternatvsed võrrandd F x = 0, M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0 (1.5) võ võ F y = 0, M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0 (1.6) M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0, M Cz (F ) = 0, (1.7) kus punktd, B ja C e asetse samal srgel. Staatlselt määratud ja staatlselt määramata ülesanded: Ku on võmalk koostada n sama palju tasakaaluvõrranded ku palju on tundmatud toereaktsoone, ss on tegu staatlselt määratud ülesandega. Vastupdsel juhul on tegu staatlselt määramata ülesandega. Mtmetes õpkutes kasutatakse antud konteksts ka termned staatkaga määratud ülesanded ja staatkaga määramata ülesanded. 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 19 Raskuskese Skalaarkujul x C = V xdv V r C =, y C = V rdv V V ydv V. (1.8), z C = V zdv V. (1.9) Masskese: sarnased valemd, kud V m Pnnakese: sarnased valemd, kud V
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 20 Pnnamomendd. n + m astme pnnamoment x m y n d (1.10) Joons 1.7: Tasapnnalse kujund pnnamomendd. Nullastme pnnamoment pndala: = d. (1.11) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 21 Esmese astme pnnamomendd staatlsed momendd: S x = yd S y = xd. (1.12) Joons 1.8: Staatlne moment.
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 22 Tese astme pnnamomendd nertsmomendd momendd: telgnertsmomendd I x = y 2 d, I y = x 2 d; (1.13) polaarnertsmoment I ρ = ρ 2 d; (1.14) tsentrfugaalnertsmoment I xy = xyd. (1.15) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 23 Rstlõke keskteljed ja peateljed. Peanertsmomendd. Peatasandd. Joons 1.9: Rstlõge.
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 24 Tugevusõpetus Ssejõud: pkjõud, väändemoment, põkjõud, pandemoment. Joons 1.10: Pkjõud 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 25 Joons 1.11: Väändemoment
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 26 Joons 1.12: Põkjõud ja pandemoment 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 27 Joons 1.13: Ssejõudude märgreegld.
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 28 Joons 1.14: Dferentsaal- ja ntegraalseosed lauskoormuse ntensvsus Dferentsaal- ja ntegraalseosed lauskoormuse ntensvsuse ja ssejõudude vahel dn dx = N = p x, dq z dx = Q z = p z, dm y dx = M y = Q z, N(x) = N(a) Q z (x) = Q z (a) M y (x) = M y (a) x a x a x a p x (x)dx, (1.16) p z (x)dx, (1.17) Q z (x)dx. (1.18) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 29 Joons 1.15: Dferentsaal- ja ntegraalseosed ssejõud
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 30 Joons 1.16: Lõkemeetod ja pnged varda rstlõkes Lõkemeetod, pnged varda rstlõkes 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 31 Pnged varda punkts. Vaatleme varda punkt K, mda läbb pnd normaalga n. Seal mõjub pngevektor p. Vmane omab normalkomponent σ x ja tangentsaalkomponente τ xy ja τ xz. σ x normaalpnge märgreegel analoogne pkjõuga τ xy ja τ xz nhkepnge ehk tangentsaalpnge märgreegel analoogne põkjõuga Joons 1.17: Pnge varda punkts
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 32 Joons 1.18: Normaalpnge 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 33 Joons 1.19: Nhkepnge
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 34 Normaaldeformatsoon (normaalmoone) Joons 1.20: Normaaldeformatsoon: σ > 0 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 35 Joons 1.21: Normaaldeformatsoon: σ < 0
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 36 Nhkedeformatsoon ehk nhe ehk nhkemoone Joons 1.22: Nhkedeformatsoon 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 37 Joons 1.23: Nhkedeformatsoon
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 38 Elastsuskonstandd: E Young moodul ehk (normaal)elastsusmoodul; G nhkeelastsusmoodul; ν Posson tegur; G = E 2(1 + ν) (1.19) Pngete ja deformatsoonde (moonete) vahelsed seosed: ε x = σ x E, γ xy = τ xy G, γ xz = τ xz G,..., ε y = ε z = νε x (1.20) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 39 Deformatsoonenerga Vaatleme vedru, mlle elastsusjõu moodul F = kx. Elastsusjõu elementaartöö dw = F dx = kxdx Elastsusjõu töö lõplkul deformatsoonl ong võrdne vedru deformatsoonl tekknud potentsaalse energaga U = W = x1 0 dw = x1 0 kxdx = kx2 1 2. (1.21) nalooglselt vedruga letakse elastsel deformatsoonl akumuleeruvat energat. Vmane estatakse tavalselt energa thedusena. Näteks u σ = du dv = Eε2 x 2 = ε xσ x 2 = σ2 x 2E, ja summaarne deformatsoonenerga thedus u τ = du dv = Gγ2 xy 2 = γ xyτ xy 2 = τ2 xy 2G (1.22) u = u σ + u τ. (1.23)
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 40 Seos pngete ja ssejõudude vahel Joons 1.24: Pnged varda rstlõke elementaarpnnal d. N = σ x d; Q y = τ xy d; Q z = τ xz d; (1.24) M y = zσ x d; M z = yσ x d; T = (yτ xz zτ xy )d. (1.25) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 41 Pkkepnge σ x = N (1.26) Joons 1.25: Pkkepnge
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 42 Pandepnge σ x = M y I y z (1.27) Joons 1.26: Pandepnge 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 43 Nhkepnge ehk lõkepnge maxτ xz = 3 2 Q z (1.28) Joons 1.27: Lõkepnge
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 44 Pnguste lgd Joons 1.28: Pnguste lgd 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 45 Varda põhdeformatsoond Ernevad ssejõud põhjustavad vardas ernevad deformatsoone, srded ja pöörded. Joons 1.29: Varda põhdeformatsoond
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 46 Surutud srge saleda varda stablsus. Joons 1.30: Varda nõtke ja stablsuse kadu 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 47 Joons 1.31: Krtlne jõud ja stablsuse kadu
1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 48 Stablsuse kadu pandel ja kve Joons 1.32: Kve 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 49 Dünaamlne koormus Inertsjõud, D lembert prntsp, kvaasstaatlsed ülesanded Võnkumne Löök lajaotuse 1.3 kokkuvõte Kuna tugevusõpetus põhneb lneaarsel elastsusteooral, ss on nel kahel anel väga palju ühst materjald on lneaarselt elastsed, homogeensed, sotroopsed; kehtb Sant Venant prntsp 2, jne. Tesest küljest aga on tugevusõpetuse puhul tegu maksmaalselt lhtsustatud teooraga seega leavad paljud probleemd elastsusõpetuses kästlemst psut vähem lhtsustatud kujul. Näteks talade pane. Mõned järgnevates peatükkdes uurtavad probleemd pole aga üldse tugevusõpetuse uurmsobjektks, näteks plaadd. 2 Koormuse rakenduskohast psavalt kaugel e sõltu pnge koormuse seloomust (rakendusvsst).
Ssukord 50 Ssukord Eessõna 1 1 Sssejuhatus 3 1.1 Elastsusõpetus.................................. 4 1.2 Mehaanka harud................................. 6 1.2.1 Jäga keha mehaanka.......................... 7 1.2.2 Pdeva keskkonna mehaanka...................... 8 1.2.3 Tehnlne mehaanka........................... 9 1.3 Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest. 10