ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ & ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡ/ΚΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΒΑΖΟΥΡΑ ΕΛΕΝΗ ΕΛΛΗΝΙΚΑΚΗΣ ΝΙΚΟΣ ΠΟΥΣΠΟΥΡΙΚΑΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΜΙΑΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, Σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο, Σελ. 4 Α. Σχολικό βιβλίο, Σελ. 46 47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι f() = με Η f είναι αραγωγίσιμη στο ως ρητή με f () Είναι f () = = f () > > > EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία --
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 Το ρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα μεταβολών. - + f () - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ) και αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το f() =. Β. Η f είναι αραγωγίσιμη στο ως ρητή με f () 4 4 4 8 6 4 8 4 Είναι f () = = = = ή = Το ρόσημο της f και η κυρτότητα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. - + f + f Η f είναι κοίλη στο (-, ] και στο [,+ ) και είναι κυρτή στο [, ] και έχει σημεία καμής το Α(, ) και το Β (, ). 4 4 Β. Αφού f συνεχής στο η C f δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες. Είσης lim f() lim lim και EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία --
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 lim f() lim lim Άρα η C f έχει στο - και στο + οριζόντια ασύμτωτη την y = και δεν έχει λάγιες. Β4. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ + + + + y EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία --
ΘΕΜΑ Γ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ & ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 Γ. Η e έχει ροφανή ρίζα την =. Θεωρώ συνάρτηση g() = e, H g είναι αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () e (e ) e g () (e ) = ή e e = =. Είναι e e e e ου ισχύει για κάθε Το ρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον αρακάτω ίνακα - + g () - + g + + E Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-,], είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) και αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το g() =. Άρα για κάθε, g() g() =. Άρα η = είναι η μοναδική ρίζα. Γ. Είναι f () = ( e ) Αό (Γ) είναι g() e για κάθε () Άρα η f () = ( e ) f() = e EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -4-
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 f συνεχής στο με μοναδική ρίζα την =. Άρα η f διατηρεί ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα (-, ), (, + ). Συνεώς, διακρίνουμε τις εριτώσεις: Αν f() > στα (-, ), (, + ) τότε f() = e,. Aν f() < στα (-, ), (, + ) τότε f() = e,. Αν f() > στο (-, ) και f() < στο (, + ) τότε f() = e, e, Αν f() < στο (-, ) και f() > στο (, + ) τότε f() = e, e, Γ. Είναι f() = e, Η f είναι αραγωγίσιμη στο ως αοτέλεσμα ράξεων μεταξύ αραγωγίσιμων με f () = e H f είναι αραγωγίσιμη ως αοτέλεσμα ράξεων μεταξύ αραγωγίσιμων με f () = e 4 e f () = e (4 ) Είναι f () e (4 ) e 8 e e (8 (8 4 8) ) e (8 ) με > e (8 ) f () με < e (8 ) f () EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -5-
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 Εομένως - + f () - + f () f + + Για < f f () > f () = Για > Άρα f κυρτή στο f f () > f () = Γ4. Θεωρώ συνάρτηση την g() = f( + ) f(), [,+ ). H g είναι αραγωγίσιμη στο [,+ ), αφού f(+) αραγωγίσιμη ως σύνθετη αραγωγίσιμων, με g () = f (+) f () > αφού Για κάθε + > f f (+) > f () f (+) f () > Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα και. Οότε η εξίσωση f( ημ +) f( ημ ) = f(+) f() γίνεται ισοδύναμα g( ημ ) = g() ημ = g" " ημ = ΘΕΜΑ. Είναι [f() f ()]ημd f()ημd f ()ημd f()( συν) d (f()) ημd f()συν f()( συν)d f ()ημ f()(ημ) d f()συν f()συνd f ()ημ f()συνd f()συν f ()ημ f()( ) ( f() ) f() f() () EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -6-
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 f() Είναι lim ημ Με κοντά στο =, θεωρώ συνάρτηση g() = f() ημ με lim g() Είναι f() = g()ημ άρα lim f() lim [g()ημ] Αφού f συνεχής στο lim f() f() Άρα f() = () Η () () f() () f() f() f() g()ημ ημ Ζητάμε το lim lim lim lim g() f() f() Άρα f () = lim. α) Έστω ότι υάρχει στο οοίο η f να αρουσιάζει ακρότατο Αφού η f είναι αραγωγίσιμη στο αό Θεώρημα Fermat θα ισχύει f ( ) = () Είναι e f() + = f(f()) + e, οότε αραγωγίζοντας έχουμε: e f() f () + = f (f())f () + e θέτω όου = f( ) e f ( ) + = f (f( ))f ( ) + e e = = ;Άτοο αφού f ()= αό (θα έρεε f () = για να είναι ακρότατο). Άρα δεν υάρχει ακρότατο β) Αρκεί να δείξουμε ότι f () >, Αό το (α) είναι f (), Αφού η f είναι συνεχής, διατηρεί ρόσημο Άρα f () >, ή f () <, γνωρίζουμε ότι f () = > Άρα f () >, για. Εομένως, f γνησίως αύξουσα στο. EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -7-
. Είναι ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ & ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 ημ συν f() ημ f() συν f() f() f() f() Άρα ημ συν f() f() f() ημ συν f() f() Είναι lim f() lim f( ) Αυτό γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα στο και συνεχής οότε f() = ( lim f(), lim f() ) και αφού f() =, θα είναι lim f() ημ συν Άρα αό κριτήριο αρεμβολής lim. f() 4. A Τρόος f(ln ) e e Είναι d f(ln ) d f(ln )(ln ) d Για u = ln είναι du = d και για =, u= =e, u= e Άρα f(ln ) d f(u) du. Αρκεί να δείξουμε ότι < f (u)du. Αό β) η f είναι γνησίως αύξουσα, οότε για είναι f() f() f() και αφού f() = είναι f() f(). Αό f() f ()d, (A) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και δεν είναι αντού. Αό f() f() f() f(). Αφού η f δεν είναι αντού μηδέν f() d d f()d ( ) f() d f()d (B) Αό (Α), (Β) έεται < f() d. EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -8-
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 Β Τρόος Είναι e f ln f(ln) ln ln ln lne f() f(ln) f() f(ln ) f(ln ) και f(ln ) () () () e f(ln ) d και () e f(ln ) d f(ln) e e d ln Η f δεν είναι αντού μηδέν άρα < e f(ln ) d. EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -9-