Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας Απριλίου 7 Αναγνώριση Παραμετρικών μοντέλών συστημάτων συνεχούς χρόνου - Εισαγωγή Με τον όρο Αναγνώριση συστημάτων εννοούμε τον προσδιορισμό ενός φυσικού μοντέλου μέσα από πειραματισμό σε μια διαδικασία. Παραμετρικά μοντέλα συστημάτων συνεχούς χρόνου είναι συστήματα που περιγράφονται στο πεδίο του χρόνου με Διαφορικές Εξισώσεις ή Εξισώσεις Κατάστασης και στο πεδίο των συχνοτήτων με Συναρτήσεις Μεταφοράς. Το πρόβλημα αναγνώρισης ενός συστήματος σημαίνει πως διεγείρουμε το σύστημα με την διέγερση u(t) και παίρνουμε την απόκριση y(t) και έπειτα προσδιορίζουμε το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ικανοποιητικά το σύστημα. Η διαδικασία της αναγνώρισης ενός συστήματος σχετίζεται με την καλύτερη επιλογή του σήματος εισόδου u(t), του μαθηματικού μοντέλου M και του κριτηρίου κόστους J. Για να αναγνωρίσουμε συστήματα συνεχούς χρόνου ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:. Μετατρέπουμε τη διαφορική εξίσωση σε ολοκληρωτική. email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com
. Διατυπώνουμε το κριτήριο κόστους και στη συνέχεια ελαχιστοποιούμε το κόστος. 3. Λύνουμε την κανονική εξίσωση. Αναγνώριση παραμέτρων Διαφορικών Ε- ξισώσεων Ενα γραμμικό σύστημα με μία είσοδο και μία έξοδο περιγράφεται από μία Διαφορική Εξίσωση της μορφής: y (n) + a n y (n ) +... + a y () + a y = b m u m +... + b u + b u, () με αρχικές συνθήκες y(), y () (),...,, y (n) (). Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους a, a,..., a n, b, b,..., b m και τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος με βάση τα δεδομένα της διέγερσης και της απόκρισης του συστήματος.. Συστήματα πρώτης τάξης Τα συστήματα περιγράφονται από την Διαφορική Εξίσωση: y () + a y = b u, () με αρχική συνθήκη y(). Το πρώτο βήμα που κάνουμε είναι να ολοκληρώσουμε μία φορά την ΔΕ () από όπου έχουμε: y () (σ)dσ + a y(σ)dσ = b u(σ)dσ, y(t) y() + a y(σ)dσ = b u(σ)dσ. (3)
Ορίζουμε τα ολοκληρώματα: f (t) = g (t) = και η εξίσωση (3) γίνεται: y(σ)dσ, u(σ)dσ, (4) y(t) = a f (t) + b g (t) + y(), (5) ή σε μορφή πινάκων y(t) = Z T (t)θ, (6) όπου f (t) Z(t) = g (t), Θ = a b y() (7) Οι μετρήσεις περιέχουν σφάλμα το οποίο δίνεται από τη σχέση e(t) = Z T (t)θ y(t). (8) Ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους J = e (t)dt = και βρίσκουμε το ελάχιστο από τη σχέση (Z T (t)θ y(t)) dt, (9) θj T θθ = Z(t)[Z T (t)θ y(t)]dt =. () Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί με τη μορφή πινάκων QΘ = H, () 3
όπου και z (t)dt Q = T z (t)z (t)dt z 3(t)z (t)dt και ονομάζεται Κανονική Εξίσωση. z (t)z (t)dt z (t)dt T z 3(t)z (t)dt z (t)z 3 (t)dt z (t)z 3 (t)dt () z 3(t)dt z (t)y(t)dt H = T z (t)y(t)dt (3) z 3(t)y(t)dt.. Παράδειγμα Ενα σύστημα περιγράφεται από μία ΔΕ πρώτης τάξης y () + a y = b u, (4) η διέγερση και η απόκριση είναι χωρίς θόρυβο και δίνονται από τις σχέσεις u(t) = + t, y(t) = t. (5) Να προσδιοριστούν οι παράμετροι a, b και οι αρχική συνθήκη του συστήματος y(). Λύση: Αρχικά υπολογίζουμε τα z (t), z (t): z (t) = f (t) = z (t) = g (t) = y(σ)dσ = u(σ)dσ = σdσ = t, ( + σ)dσ = t + t. (6) 4
Επειτα βρίσκουμε τα στοιχεία του πίνακα Q: z (t)dt = z (t)dt = z 3(t)dt = z (t)z (t)dt = z (t)z 3 (t)dt = z (t)z 3 (t)dt = t 4 4 dt =, [t + t ] dt = 9 3, dt =, [ t ][t + t [ t ]dt = 6, ]dt = 4 8, [t + t ]dt = 3, (7) και του πίνακα H z (t)y(t)dt = z (t)y(t)dt = z 3 (t)y(t)dt = [ t ]tdt = 8, [t + t ]tdt = 4, tdt =. (8) Λύνοντας το σύστημα () 4 4 9 8 6 8 6 3 3 3 a b y() = 8 4 (9) βρίσκουμε τις παραμέτρους του προβλήματος και την αρχική συνθήκη a =, b =, y() =. 5
. Συστήματα δεύτερης τάξης Τα συστήματα αυτά περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις της μορφής: y () + a y () + a y = b u () + b u, () με αρχικές συνθήκες y(), y () (). Το πρώτο βήμα που κάνουμε είναι να ολοκληρώσουμε δύο φορές την ΔΕ () και έχουμε: Από την πρώτη ολοκλήρωση: y () (σ)dσ + a y () (σ)dσ + a y(σ)dσ = b u () (σ)dσ + b u(σ)dσ, y () (t) y () () + a [y(t) y()] + a y(σ)dσ = b [u(t) u()] + b u(σ)dσ, () και τελικά από τη δεύτερη ολοκλήρωση έχουμε: y(t) y() + a y(σ)dσ + a b u(σ)dσ + b σ σ y(σ)(dσ) = u(σ)(dσ) + [y () () + a y() b u()]t. () Η εξίσωση () μπορεί να γραφεί με την παρακάτω μορφή: y(t) = a f (t) + a f (t) + b g (t) + b g (t) + d t + d, (3) όπου d = y(), d = y () () + a y() b u(), ή σε μορφή πινάκων: y(t) = Z T (t)θ, (4) 6
όπου f (t) f (t) g (t) Z(t) =, Θ = g (t) t a a b b d d. (5) Λόγω του σφάλματος e(t) = Z T (t)θ y(t) και εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων βρίσκουμε τη βέλτιστη λύση Θ από την λύση της Κανονικής Εξίσωσης QΘ = H, (6) όπου z (t)dt z (t)z (t)dt... z (t)z 6 (t)dt Q =................ z 6(t)z (t)dt z 6(t)z (t)dt... z 6(t)dt (7) και z (t)y(t)dt z (t)y(t)dt. H =. (8).. z 6(t)y(t)dt Από την λύση του παραπάνω αλγεβρικού συστήματος βρίσκουμε τις παραμέτρους του συστήματος ενώ από τις αρχικές συνθήκες τις βρίσκουμε από τις σχέσεις: y() = d, y () () = d a d + b u(). (9) 7
.. Παράδειγμα Η κρουστική απόκριση h(t) ενός ευσταθούς γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες δίνεται από τη σχέση h(t) = cte λt. Διαφορικη Εξίσωση που περιγράφει το σύστημα. Να βρεθεί η Λύση: Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος δίνεται από τη σχέση: H(s) = y(s) u(s) = L {h(t)} = c (s λ) = b s + a s + a, (3) όπου a = λ, a = λ και b = c. Από την συνάρτηση μεταφοράς βλέπουμε ότι η Διαφορική Εξίσωση που περιγράφει το σύστημα έχει την μορφή: y () + a y () + a y = b u(t). (3) 3 Αναγνώριση με ορθογώνιες συναρτήσεις Ορθογώνιες συναρτήσεις φ i (t), i =,,... ονομάζονται οι συναρτήσεις που έχουν την ιδιότητα b a constant, n = m, w(t)φ n (t)φ m (t)dt =, n m. (3) όπου w(t) μια συνάρτηση βάρους και (a, b) το διάστημα ορθογωνιότητας. Τέτοιες συναρτήσεις είναι οι Chebyshev, Legendre, Laguerre, Hermite, Fourier... Για τις ορθογώνιες συναρτησεις ισχύει φ r (σ)dσ = P φ r (t) (33) όπου P είναι ένας σταθερός πίνακας r r που η μορφή του εξαρτάται από το ειδικό διάνυσμα φ r (t). Για την αναγνώριση παραμέτρων Διαφορικών Εξισώσεων πρώτης τάξης της μορφής y () + a y = b u, (34) 8
ακολουθούμε τα ίδια βήματα με αυτά τις παραγράφου (.) μέχρι που βρίσκουμε τη σχέση: y(t) = Z T (t)θ. (35) Στο επόμενο βήμα πρεσεγγίζουμε τα y(t), Z(t) με ορθογώνιες συναρτήσεις: y(t) == y φ (t) + y φ (t) + y φ (t) +... + y r φ r (t) = Y T r Φ(t), u(t) == u φ (t) + u φ (t) + u φ (t) +... + u r φ r (t) = U T r Φ(t), (36) όπου Y T = [y, y,..., y r ], U T r = [u, u,..., u r ]. Από τις σχέσεις (36, 33) υπολογίζουμε τα παρακάτω: z (t) = f (t) = z (t) = g (t) = y(σ)dσ = u(σ)dσ = Y T r Φ T (σ)dσ = Y T r P Φ r (t), U T r Φ T (σ)dσ = U T r P Φ r (t), z 3 (t) = = E T r Φ T r (t), (37) και τελικά το διάνυσμα Z T (t) γίνεται: Z T (t) = Φ T r (t)q, (38) όπου Q είναι ο r 3 πίνακας Q = [ P T Y r P T U r E r ]. (39) Από τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε ότι QΘ = Y r, (4) όπου για να έχουμε μοναδική λύση θα πρέπει να ισχύει r n + m +, όπου για την περίπτωση μας ισχύει n =, m = και άρα r 3, και το βέλτιστο Θ δίνεται από τη σχέση: Θ = (QQ T ) Q T Y r. (4) Η παραπάνω μέθοδος γενικεύεται τόσο για συστήματα μεγαλύτερης τάξης όσο 9
και για συστήματα με πολλές εξόδους και εισόδους. 3. Παράδειγμα Ενα σύστημα περιγράφεται από τη Διαφορικη Εξίσωση y () + a y = b u, (4) με αρχικη συνθήκη y(). Δίνεται ότι u(t) = + t, y(t) = t. Να βρεθούν οι παράμετοι του συστήματος χρησιμοποιώντας τις ορθογώνιες συναρτήσεις Laguerre. Λύση: Ισχύει ότι n =, m = άρα r = 3. Προσεγγίζουμε τα u, y με τις ορθογώνιες συναρτήσεις Laguerre: φ (t) =, φ (t) = t, φ (t) = t + t, και έχουμε u(t) = φ (t) φ (t) = [,, ] = U T 3 Φ 3 (t), y(t) = φ (t) φ (t) = [,, ] = Y T 3 Φ 3 (t). Ο πίνακας P είναι ίσος με P =,
από όπου έχουμε: P T Y 3 = T = =, (43) P T U 3 = = = T 3 (44) και τελικά ο πίνακας Q δίνεται από τη σχέση: Q = 3
και η αλγεβρική σχέση γίνεται 3 a b y() =. Επιλύοντας την παραπάνω σχέση έχουμε ότι a =, b = και y() =. 4 Ασκήσεις. Η Διαφορική Εξίσωση που περιγράφει ένα σύστημα πρώτης τάξης έχει τη μορφή y () + a y = b u. (45) Εστω, για απλούστευση ότι τα u(t), y(t) δεν περιέχουν θόρυβο και είναι της μορφής u(t) =, y(t) = e t. Να εκτιμηθούν οι παράμετροι του συστήματος και η αρχική συνθήκη.. Η Διαφορική Εξίσωση που περιγράφει ένα σύστημα πρώτης τάξης έχει τη μορφή y () + a y = b u. (46) Εστω, για απλούστευση ότι τα u(t), y(t) δεν περιέχουν θόρυβο και είναι της μορφής u(t) = t +4t+3, y(t) = t + t +. Να εκτιμηθούν οι παράμετροι του συστήματος και η αρχική συνθήκη. 3. Η Διαφορική Εξίσωση που περιγράφει ένα σύστημα δεύτερης τάξης έχει τη μορφή y () + a y () + a y = b u. (47) Εστω, για απλούστευση ότι τα u(t), y(t) δεν περιέχουν θόρυβο και είναι της μορφής u(t) = t + t + 4, y(t) = t +. Να εκτιμηθούν οι παράμετροι του συστήματος και η αρχική συνθήκη.