Lucrarea nr. 7: prezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate. Scopul lucrării Se va face analiza comportării în frecvenţă a sistemelor de reglare automate (reprezentarea hodografului şi caracteristicilor semilogaritmice ale funcţiei de transfer). Se vor face precizări asupra stabilităţii sistemelor în buclă închisă cu ajutorul criteriilor de stabilitate Nyquist şi Bode. 2. Breviar teoretic Cu schimbarea de variabilă sjω, funcţia de transfer H(s) a unui sistem se poate scrie: ω ω ω ω ω ω ω () jω jarg H ( jω ) H(j ) H(j ) e H(j ) e H(j )+j H(j )U( )+jv( ) Analiza în frecvenţă a unui sistem constă în studiul regimului permanent armonic al mărimii de iesire la o intrare armonică de amplitudine constantă şi pulsaţie (frecvenţă) variabilă. Se introduc următoarele trei tipuri de reprezentări sau caracteristici ale funcţiei de transfer: locul de transfer (hodograful sau locul lui Nyquist); caracteristicile semilogaritmice de frecvenţă (amplitudine - pulsaţie şi fază - pulsaţie); caracteristica amplitudine - fază. Locul de transfer-hodograful sau locul lui yquist Maniera de reprezentare specifică hodografului este de tipul coordonate polare într-un plan ce are drept axe H(s), H(s).
Fig.. Caracteristici ale funcţiei de transfer: a - Locul de transfer; b - Caracteristicile semilogaritmice de frecvenţă; c - Caracteristica amplitudine - fază. La o reprezentare analitică a hodografului se preferă ca ea sa fie privită ca o transformare conformă a planului s denumit contur Nyquist care are următoarele proprietăţi: porţiunea sa principală este pe axa imaginară pe care sjω deci corespunzătoare răspunsului în frecvenţă eventualii poli pe care H(s) îi are pe axa imaginară sunt ocoliţi cu semicercuri de rază mică situaţi în semiplanul drept închiderea conturului Nyquist se face cu un semicerc de rază mare ce cuprinde întregul semiplan drept al planului s Sensul pe conturul Nyquist este dictat de sensul de creştere a pulsaţiei ω. Fig.2. Conturul yquist Se consideră k r( s) H ( s) q o _ s, p( s) unde r _ () p _ () şi se introduce noţiunea def e grad[ p( s)] grad[ r( s)], excesul polilor faţă de zerouri. _ - 2 -
Caracteristici semilogaritmice Caracteristica amplitudine - pulsaţie asimptotică Pentru trasarea caracteristicii pe axa ordonatelor se vor tece valorile (în decibeli) H(j ω) 2lg H(j ω) iar pe axa absciselor se figurează valorile (de obicei, db axa în decade, intervale de frecvenţă pentru care ω k ω ). k m ( + jω T i ) Scriind H(jω ) în formulă : K H j i ( ω ) n q ( jω ) ( + jω T k ) k şi punând fiecare termen complex sub formă de modul şi argument, se obţine: jϕ ( ω ) H ( jω ) H ( jω ) e (2) jϕ ' jϕ 2 ' jϕ m ' K ( H ' e ) ( H 2 ' e )... ( H m ' e ) jα π / 2 jϕ ' jϕ n ' ( e ) ( H ' e )... ( H ' n e ) (3) ' din care rezultă imediat: H( jω) 2lg H( jω) K + H H db m n idb i k laţia (4) permite trasarea caracteristicii asimptotice amplitudine-pulsaţie a unui sistem automat pentru care se cunosc elementele tip din funcţia de transfer (prin însumarea grafică a caracteristicilor acestora). Pentru elementele tip caracteristicile amplitudine-pulsaţie sunt date în tabela. gulile generale de trasare a caracteristicii sunt prezentate pe exemplul următor:. Se factorizează cu coeficienţi reali numărătorul şi numitorul lui H(s) - în general, acest lucru este dat din start. 32( s +. 2)( s + 5) H ( s) (5) 2 2 s ( s +. 4s + )( s + 8s + 6) 2. Elementele ce compun funcţia de transfer se aduc la o formă ce evidenţiază termenii tip (constantele de timp). 32 *. 2 * 5( + 5s )( +. 2s) 2( + 5s )( +. 2s) H ( s) 2 2 2 2 6s ( s +. 4s + )( s + s + ) s( s +. 4s + )( s + s + ) 6 2 6 2 3. Se identifică elementele standard ce compun funcţia de transfer şi se determină parametrii necesari trasării: pulsaţiile de frângere (inversul constantelor de timp identificate la punctul ) factorii de amortizare pentru elementele de ordinul 2. element de anticipare de ordinul H a +5s; T 5; ω t /T.2 H a +.2s; T 2.2; ω t2 /T 2 5 ε 3dB kdb (4) - 3 -
element de întârziere de ordinul 2 H I ( s) ; T ; t ; 2 T. 4. 2 2 3 ω 3 ζ 3 ζ s +. 4s + T 3 ε( ωt 3) db 2lg 2ζ 2lg. 4 8dB H I ( s) ; T ; t ; T. 4 ω 4 4 2ζ 4 ζ 2 4 T 2 s + s + 4 6 2 ε( ωt 4 ) db 2lg 2ζ 2lg. 2 4dB 4. Partea de joasă frecvenţă a caracteristicii este o dreaptă cu panta (-q 2 db/dec) trecând prin punctul de coordonate ω si K db 2 lgk K 2; K db 2 lg K 2 lg 2 2*.3 6 db q panta de joasă frecvență de - 2 db/dec 5. Considerând pulsaţiile de frângere ordonate crescător, se prelungeşte panta de joasă frecvenţă până la cea mai mică pulsaţie de frângere ω t. Cunscând tipul elementului standard cu pulsaţia de frângere ω t, se calculează panta rezultantă pe următoarea pulsaţie de frângere, ş.a.m.d. Ca verificare, panta porţiunii de înaltă frecvenţă trebuie să rezulte de (-e 2 db/dec) Caracteristica exactă amplitudine-pulsaţie se obţine corectând caracteristica asimptotică amplitudine - pulsaţie cu erorile făcute prin aproximarea respectivă. Acestea sunt de 3dB (în pulsaţiile de frângere) la elementele standard de ordinul I şi la elementele de ordinul II se calculează cu relaţia ε( ωt ) lg ζ db 2 2 Caracteristica fază-pulsaţie Trasarea acestei caracteristici se face analitic pe baza expresiei funcţiei ϕ sau cu şabloane de trasare a caracteristicilor standard componente (tabelul ). Din scrirea sub formă complexă a lui H(s), relaţia (), se deduce expresia: H( jω) f ( ω) arctg care arată dependenţa de pulsaţia fazeiϕ. Pentru sistemul H( jω) descris de funcţia de transfer (3) rezultă imediat: f m n π ( ω) ϕi '( ω) ϕ j( ω) q (6) i j 2 Aşadar după trasarea caracteristicilor fază-pulsaţie ale elementelor componente prin sumare se obţine caracteristica fază-pulsaţie a funcţiei de transfer considerate. Caracteristicile amplitudine-pulsaţie exacte şi faza pulsaţie pentru H(s) definit prin relaţia (5) sunt reprezentate în figura 3. - 4 -
Fig.3. Caracteristicile exacte amplitudine-pulsaţie şi faza pulsaţie prezentările în frecvenţă a funcţiilor de transfer sunt folosite la aprecierea stabilitaţii sistemelor descrise de aceste funcţii. Se spune că un sistem fizic realizabil este stabil faţă de o situaţie de echilibru staţionar, dacă sub acţiunea unei perturbaţii exterioare (impuls Dirac) îşi paraseşte starea de echilibru stabil, tinzând să revină, după un timp finit (perturbaţia încetând) la o noua stare de echilibru staţionar cu sau fară eroare staţionară. Dacă acest lucru nu este realizat, în sensul că mărimea de ieşire are o variaţie cu amplitudine din ce în ce mai mare în timp (oscilant sau aperiodic) se spune că sistemul este instabil. Aprecierea stabilităţii se poate face direct prin criteriul Hurwitz sau apelând la analiza frecvenţei prin criteriile Nyquist si Bode. Stabilitatea SRA poate fi analizată prin Criteriul yquist pe baza hodografului funcţiei de transfer din bucla H b (s). Se trasează hodograful pentru H b (s) şi se analizează stabilitatea pentru H (s) H b ( s ). + H b ( s) Criteriul Nyquist generalizat: Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca locul de transfer (hodograful) lui H b (s) să înconjoare punctul critic (-,j) în sens trigonometric de atâtea ori câţi poli are H b (s) în interiorul conturului yquist. Criteriul Nyquist simplificat: Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca hodograful lui H b (s) să nu înconjoare punctul critic (-,j) (se consideră H b (s) stabil). - 5 -
Criteriul Bode Acest criteriu analizează stabilitatea SRA pe baza caracteristicilor semilogaritmice ale funcţiei de transfer din bucla deschisă H b (s), permiţând determinarea rezervei de stabilitate a sistemului H (s). zerva de stabilitate a unui SRA se evaluează prin două mărimi caracteristice: marginea de amplitudine (rezerva de stabilitate în modul): mdb H b ( jω Π ) db marginea de fază (rezerva de stabilitate în fază): γ 8 o + ϕ ( ωt ) unde ω t este pulsaţia de tăiere ( Hb ( jω t ) ) iar ω db Π pulsaţia la care sistemul H b (s) are o fază egală cu -Π. Criteriul Bode reprezintă transpunerea în scara logaritmică a criteriului Nyquist simplificat. El se exprimă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca reprezentarea fază-pulsaţie să intersecteze axa ω într-un punct situat după intersecţia cu aceeaşi axă a reprezentării amplitudine pulsaţie (deci ω Π >ω t ). Fig.4. Criteriul yquist simplificat Fig.5. Criteriul Bode - 6 -
3. Chestiuni de studiat. Urmărind regulile generale ale trasării caracteristicilor semilogaritmice să se traseze caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie pentru sistemul definit prin funcţia de transfer de mai jos: Hb ( s). Să se verifice ( s+. )( s+. 8)( s+ 5 ) forma caracteristicilor cu ajutorul funcţiilor Matlab. 2. Urmărirea stabilitaţii următoarelor sisteme, caracterizate de funcţiile de transfer în circuit deschis, cu ajutorul criteriilor Bode şi Nyquist: k Hb ( s) ( s+. )( s+. 8)( s+ 5 ), k, k 5 k 2 Hb ( s) s( s+ 3)( s+ 3 ), k 2, k 2 Observaţii: Pentru reprezentare în frecvenţă se folosesc funcţiile nyquist(num,den) şi bode(num,den). Amănunte despre folosirea acestor funcţii se pot obţine tastând în linia de comandă Matlab: >> help nyquist >> help bode - 7 -
Nr. Crt. Tabelul nr.. Denumirea termenului tip Funcţia de transfer Element constant: Locul de transfer Caracteristici semilogaritmice H ( jω ) k k 2 Element derivativ: H ( jω) jω l d K ω+ ω + 3 Element integrator: Hl i ( jω) jω 4 Element de anticipare de ordinul : H ( jω) jωt + L i 5 Element de întârziere de ordinul : ω+ ω + ω+ ω + H L i ( jω) jωt + ω+.5 ω + 6 Element de anticipare de ordinul 2: 2 2 ( ) H ( jω) T ω + jω2ζ T Q i ω+ ζ 2ζ ω + 7 Element de întârziere de ordinul 2: k H Q i ( jω) T + jω 2ζ T 2 2 ( ω ) ω+.5 ζ 2ζ ω + 8