ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Διδακτορική διατριβή Σταύρος Δ. Βολογιαννίδης URL: htt://anadrass.math.auth.gr/s.vologannds.htm Emal: svol@math.auth.gr Επιβλέπων καθηγητής: Α.Ι. Βαρδουλάκης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Η/Υ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
Στόχοι της διατριβής ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Απαντήσεις σε θεωρητικά προβλήματα της πολυωνυμικής θεώρησης του αυτομάτου ελέγχου. Ορισμός μιας νέας ισοδυναμίας μεταξύ κανονικών πολυωνυμικών πινάκων και συστημάτων διακριτού χρόνου που περιγράφονται μέσω αυτών. Ορισμός μιας νέας οικογένειας συνοδευουσών μορφών πολυωνυμικών πινάκων. Ανάπτυξη πολυωνυμικών υπολογιστικών μεθόδων για επίλυση προβλημάτων της θεωρίας συστημάτων και ελέγχου Υπολογισμός ελάχιστων πολυωνυμικών βάσεων του πυρήνα πολυωνυμικών πινάκων. Υπολογισμός γενικευμένων αντιστρόφων πολυωνυμικών πινάκων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών.
Στοιχειώδης ισοδυναμία Στόχοι Κίνητρα Στόχοι Ορισμός μιας νέας ισοδυναμίας μεταξύ κανονικών πολυωνυμικών πινάκων, που αφήνει αναλλοίωτη τους στοιχειώδεις διαιρέτες στο Σύνδεση αυτής της ισοδυναμίας με την συμπεριφορά AR (AutoRegressve) συστημάτων διακριτού χρόνου. Κίνητρα Έχει αποδειχθεί ότι η λύση AR συστημάτων εξαρτάται από τους πεπερασμένους και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες. Καλύπτει ένα προφανές κενό στην βιβλιογραφία όσον αφορά τις ισοδυναμίες πολυωνυμικών πινάκων.
Στοιχειώδης ισοδυναμία Εισαγωγικές έννοιες q m n Ορισμός Κάθε πολυωνυμικός πίνακας A( s) = Aq s + + A0 [ s ] είναι μονομετρικά ισοδύναμος (unmodular equvalent) με ένα πολυωνυμικό πίνακα της μορφής v vr m j mrj m n S A( s) ( s) = dag ( s λ j ),, ( s λ j ),0 m r, n r [ s] j= j= ε( s) εr ( s) όπου v j= j m j ε ( s) = ( s λ ) [ s], =,, r. Ο πίνακας S ( ) ( ) s ονομάζεται Smth μορφή του πίνακα A( s ) στο και τα πολυώνυμα ε ( s) αναλλοίωτα πολυώνυμα του A( s ). Τα ε ( s) έχουν μεγιστοβάθμιο συντελεστή τη μονάδα και την εξής ιδιότητα m ε ( s) ε + ( s), =,, r. Οι όροι ( s λ ) j j ονομάζονται πεπερασμένοι στοιχειώδεις διαιρέτες (fnte elementary dvsors) του πίνακα A( s ). Ορισμός Δυικός πίνακας (dual matrx) ενός πολυωνυμικού πίνακα A( s ) βαθμού q είναι ο πίνακας A ( ) q s s A( s ) A s q A [ s] m = = + + n. 0 Ορισμός Στοιχειώδεις διαιρέτες στο άπειρο (nfnte elementary dvsors) του πολυωνυμικού πίνακα A( s) [ s ] m n ονομάζονται οι πεπερασμένοι στοιχειώδεις διαιρέτες του δυικού του πίνακα A ( s) στο s = 0. q A s
Στοιχειώδης ισοδυναμία Εισαγωγικές έννοιες Με το σύμβολο P( m, l ) θα εννοούμε το σύνολο των ( r + m) ( r + l) πολυωνυμικών πινάκων όπου l και m είναι ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσοι με το μηδέν και το r μπορεί να max m, l. πάρει τιμές από όλους τους ακέραιους που είναι μεγαλύτεροι από το ( ) Ορισμός [A. C. Pugh and A. K. Shelton 978] Δύο πολυωνυμικοί πίνακες A ( s), A2 ( s) P( m, l ) θα λέγονται γενικευμένα αντιστρέψιμα ισοδύναμοι ή extended unmodular equvalent (e.u.e.) αν υπάρχουν πολυωνυμικοί πίνακες M ( s), N( s ) τέτοιοι ώστε A ( s) [ M ( s) A2 ( s) ] = 0 N( s) και οι σύνθετοι πίνακες A ( s) [ M ( s) A2 ( s) ], N( s) να έχουν πλήρη τάξη s. Η γενικευμένη αντιστρέψιμη ισοδυναμία συνδέει πίνακες διαφορετικών διαστάσεων και διατηρεί αναλλοίωτους τους πεπερασμένους στοιχειώδεις διαιρέτες των πολυωνυμικών πινάκων.
Παράδειγμα γεν. αντ. ισοδυναμίας s s A s s A s s 0 s + 0 s + 2 3 2 2 2 2 ( ) = [ ] ; 2( ) = [ ] 2 3 2 3 0 s s s s 0 = 0 s + 0 s + 0 M ( s) A ( s) A ( s) N ( s) 2 σχέση γενικευμένης αντιστρέψιμης ισοδυναμίας A ( s) A ( s) 2 { } S ( s) = S ( s) = dag, s + Ίδιοι στοιχειώδεις διαιρέτες στο S 0 ( s) 3 = dag s A ( s) Στοιχειώδης διαιρέτης στο τάξης 3 S 0 ( s) dag s 5 A = 2 ( s) Στοιχειώδης διαιρέτης στο τάξης 5 Παρατήρηση: Οι στοιχειώδεις διαιρέτες στο άπειρο δεν αποτελούν αναλλοίωτες της γενικευμένης αντιστρέψιμης ισοδυναμίας.
Στοιχειώδης ισοδυναμία Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός Δύο πολυωνυμικοί πίνακες A ( s), A2 ( s) [ s ] m l θα λέγονται αυστηρά ισοδύναμοι (strct equvalent) αν υπάρχουν αντιστρέψιμοι σταθεροί πίνακες m m l l M, N τέτοιοι ώστε να ισχύει A ( s) [ M A2 ( s) ] = 0. N Παρατηρήσεις Η αυστηρή ισοδυναμία συνδέει πίνακες ίδιας διάστασης και αφήνει αναλλοίωτους τους στοιχειώδεις διαιρέτες στο Η γενικευμένη αντιστρέψιμη ισοδυναμία συνδέει πίνακες ανόμοιων διαστάσεων και αφήνει αναλλοίωτους μόνο τους στοιχειώδεις διαιρέτες στο.
Ορισμός στοιχειώδους ισοδυναμίας q r r { 0 [ ] } [ s]: = A( s) = A s + + A [ s] r = ran ( A( s)), c = rq, r 2 c q s Αριθμός πεπερασμένων και άπειρων στοιχειωδών διαιρετών Ορισμός [N. Karametas, S. Vologannds, A.I. Vardulas, 2004] Οι A ( s), A2 ( s) c [ s ] θα λέγονται στοιχειωδώς ισοδύναμοι αν υπάρχουν πολυωνυμικοί πίνακες M ( s), N( s ) καταλλήλων διαστάσεων, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση A ( s) [ M ( s) A2 ( s) ] = 0 N( s) A και οι bloc πίνακες [ M ( s) A2 ( s )] ( s ) N( s) να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις παρακάτω προϋποθέσεις: ) Να έχουν πλήρη τάξη s.(ή ισοδύναμα όχι στοιχειώδεις διαιρέτες στο ). s =. 2) Να μην έχουν στοιχειώδεις διαιρέτες στο { } Θεώρημα [N. Karametas, S. Vologannds, A.I. Vardulas, 2004] Η στοιχειώδης ισοδυναμία αποτελεί σχέση ισοδυναμίας στο c [ s ]. Θεώρημα [N. Karametas, S. Vologannds, A.I. Vardulas, 2004] Οι πολυωνυμικοί πίνακες A ( s), A2 ( s) c [ s ] είναι στοιχειωδώς ισοδύναμοι (dvsor equvalent) αν-ν έχουν τους ίδιους πεπερασμένους και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες.
S S A ( s ) 5 0 A ( s) ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Παράδειγμα στοιχειώδους ισοδυναμίας 0 ( s) = 0 s 0 ( s) = 0 s S s I [ ] ( ) = ( ) ( ) [ 0 M s A s ] 2 4 2 s + 0 s 0 0 2 2 s 3 s 0 0 s s s 3 = 0 s + 2 0 0 0 s 0 s A ( s) M ( s) A ( s) N ( s) 2 2 s + s 0 s 0 2 M( s) : = [ M ( s) A2 ( s) ] = 0 0 s s 2 0 s 0 0 0 M ( s) 3 [ ] S ( s) = I 0 Όχι στοιχειώδεις διαιρέτες στο Όχι στοιχειώδεις διαιρέτες στο 2 I2 S ( s) = A ( s) 0 N ( s) 3 s s 0 A ( s) 3 N( s) : = s 0 N( s) = 2 3 s s 2 0 s S 0 ( ) 2. N ( s) s I = 0 2 A ( s) 5 Όχι στοιχειώδεις διαιρέτες στο Όχι στοιχειώδεις διαιρέτες στο Άρα οι A ( s ) και A ( ) 2 s είναι στοιχειωδώς ισοδύναμοι S S 2 0 A ( s) 2 I 0 ( s) = 0 s ( s) I 0 0 s 2 =
Στοιχειώδης ισοδυναμία AR συστήματα Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων διαφορών οι οποίες υπό μορφή πίνακα γράφονται ως εξής A( σ ) β ( ) = 0, [0, N] () όπου A( σ ) = A σ + A σ + + A [ σ ], σ ο τελεστής μετατόπισης προς τα q q q r r q 0 μπρος δηλαδή σβ ( ) β ( ), διανυσμάτων. = + ενώ [ N ] β ( ) : 0, r είναι μια ακολουθία Ακολουθώντας την ορολογία του Wllems, ονομάζουμε τις εξισώσεις () μια αυτοπαλλίνδρομη αναπαράσταση (AutoRegressve reresentaton) της συμπεριφοράς BA( σ ) (behavor) του συστήματος όπου το BA( σ ) ορίζεται ως εξής: r { β [ ] ( ) [ ]} BA( σ ) : = ( ) : 0, N : ικανοποιειται 0, N. Ορισμός [Vardulas and Antonou 2004] Δύο διακριτά αυτοπαλλίνδρομα συστήματα της μορφής A σ β = = N A s ( ) ( ) 0, 0,, 2,..., deg[ ( )] 0 όπου το σ είναι ο τελεστής μετατόπισης και A ( σ ) c, det[ A ( σ )] 0, =, 2 θα λέγονται θεμελιωδώς ισοδύναμα ή fundamentally equvalent πάνω από το = 0,, 2,..., N max deg[ A ( σ )] αν-ν υπάρχει μια πεπερασμένο διάστημα { } αμφιμονοσήμαντη πολυωνυμική απεικόνιση ανάμεσα στις αντίστοιχες συμπεριφορές, τους A ( ) A ( ) σ σ. 2
Στοιχειώδης ισοδυναμία AR συστήματα Θεώρημα [N. Karametas, S. Vologannds, A.I. Vardulas, 2004] Δύο διακριτά αυτοπαλλίνδρομα συστήματα είναι θεμελιωδώς ισοδύναμα αν-ν οι αντίστοιχοι πολυωνυμικοί πίνακες που τα περιγράφουν είναι στοιχειωδώς ισοδύναμοι. Η στοιχειώδης ισοδυναμία αποτελεί το αλγεβρικό κριτήριο για την ισοδυναμία μεταξύ διακριτών αυτοπαλλίνδρομων συστημάτων
Στοιχειώδης ισοδυναμία AR συστήματα σ 0 ξ 2 2 2 σ ξ 2 : 3 0 2, 2 : 0 σ ξ2 03 0 σ ξ 2 2 2 0 0 σ ξ 3 A ( s) A ( s) Σ = Σ = 2 Αμφιμονοσήμαντες πολυωνυμικές απεικονίσεις ανάμεσα στις συμπεριφορές, ( ) A ( ). A σ σ 2
Στοιχειώδης ισοδυναμία Περαιτέρω έρευνα Επέκταση της στοιχειώδους ισοδυναμίας για μη κανονικούς πολυωνυμικούς πίνακες. Ορισμός μιας νέας ισοδυναμίας ARMA συστημάτων Α(σ)β(κ)=Β(σ)u(κ) μέσω της στοιχειώδους ισοδυναμίας μη κανονικών πολυωνυμικών πινάκων.
Μια νέα οικογένεια συνοδευόντων πινάκων Στόχοι Κίνητρα Στόχοι Προτείνεται μια νέα οικογένεια συνοδευουσών μορφών για ένα κανονικό πολυωνυμικό πίνακα, οι συντελεστές της οποίας μπορούν να παραμετροποιηθούν ως γινόμενο απλών σταθερών πινάκων. Κίνητρα H δημοσίευση του Fedler, 2004, όπου γίνεται αναφορά μόνο σε πολυώνυμα. Οι συνοδεύοντες πίνακες πολυωνυμικών πινάκων παίζουν σημαντικό ρόλο σε πολλά ερευνητικά προβλήματα διαφόρων κλάδων, είτε σαν θεωρητικό είτε σαν υπολογιστικό εργαλείο (μελέτη των συστημάτων ταλαντώσεων, κλπ).
Μια νέα οικογένεια συνοδευόντων πινάκων Εισαγωγικές έννοιες [ ] n n ( ) = 0 + +... + n, det ( ) 0 T s T s T s T s T s για σχεδόν κάθε s Ορισμός Πρώτη συνοδεύουσα μορφή του T ( s ) ονομάζεται ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας P( s) = sp0 P, όπου T0 0 0 T T2 Tn 0 I I 0 0 P 0, P = = 0 0 0 I 0 I 0 Ορισμός Δεύτερη συνοδεύουσα μορφή του T ( s ) ονομάζεται ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας Pˆ ( s) = sp ˆ 0 P,, όπου T T I 0 0 ˆ 2 =. I P Tn 0 0 Θεώρημα Η πρώτη και δεύτερη συνοδεύουσα μορφή είναι στοιχειωδώς ισοδύναμες με τον πολυωνυμικο πίνακα T ( s ) και άρα έχουν τους ίδιους πεπερασμένους και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες.
Μια νέα οικογένεια συνοδευόντων πινάκων Ορίζουμε τους πίνακες όπου A0 = dag{ T0, I ( n ) } I ( ) 0 A = 0 C, =, 2,..., n I ( n ) A = dag{ I, T } n ( n ) n C T I =. I 0 Πρόταση [Antonou and Vologannds 2004] Η πρώτη και δεύτερη συνοδεύουσα μορφή του T ( s ) δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις P( s) = sa A A... A 0 2 Pˆ( s ) = sa A A... A. n 0 n n
Μια νέα οικογένεια συνοδευόντων πινάκων Θεώρημα [Antonou and Vologannds 2004] Έστω ένας κανονικός πολυωνυμικός πίνακας T ( s ). Τότε για κάθε δυνατή μετάθεση (, 2,..., n ) της n-άδας (, 2,..., n ) ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας Q( s ) = sa0 A A... A 2 n είναι στοιχειωδώς ισοδύναμος με τον T ( s ). Πόρισμα [Antonou and Vologannds 2004] Έστω ένας κανονικός πολυωνυμικός πίνακας T ( s ). Για καθένα από τα τέσσερα διατεταγμένα σύνολα δεικτών I = (,,..., ), =, 2,3, 4 τέτοια ώστε I I = για j και,,2, n 4 I = = {, 2,3,..., n }, ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας R s = sa A A A A A είναι στοιχειωδώς ισοδύναμος με τον T ( s ), ( ) I 0 I2 I3 n I4 AI = A A... A όταν I και,,2, n AI I ( ) 0 A = 0 C, =, 2,..., n, I ( n ) = I όταν I =. 0 I C =. I T Οι πίνακες αυτοί έχουν ίδια δομή πεπερασμένων και απείρων στοιχειωδών διαιρετών με τον αρχικό πίνακα. j όπου
Ερμητιανή γραμμικοποίηση ενός ερμητιανού πολ. πίνακα Θεώρημα [Antonou and Vologannds 2004] Έστω T ( s ) ένας Ερμητιανός πολυωνυμικός πίνακας βαθμού n, με dett0 0. Τότε η συνοδεύουσα μορφή του T ( s ) saodd Aeven για n ζυγο Rs ( s) = saeven Aodd για n περιττο όπου A..., even = A0 A2 A4 A6 A..., odd = A A3 A5 είναι ένας Ερμητιανός πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας. Για n = 4 : Για n = 5: 0 I T 0 I T T2 I Rs ( s) = s 0 I I 0 I T3 T4 T0 T I 0 I I 0 Rs ( s) = s I T 2 T3 I 0 I I 0 I T 4 T 5 * T = T
Μια νέα οικογένεια συνοδευόντων πινάκων - Περαιτέρω έρευνα Συστηματική μελέτη των μελών αυτής της οικογένειας συνοδευουσών μορφών ως προς τις υπολογιστικές ιδιότητές. Χρήση τους στην μελέτη συστημάτων που περιγράφονται από πολυωνυμικούς πίνακες με συμμετρίες. Σε αυτή την κατεύθυνση κινείται η υπό εξέταση εργασία [Antonou and Vologannds, 2005].
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση Στόχοι Κίνητρα Στόχοι Παρουσιάζεται ένας καινούριος αλγόριθμος για τον υπολογισμό μιας ελάχιστης πολυωνυμικής βάσης του αριστερού πυρήνα ενός πολυωνυμικού πίνακα. Χρησιμοποιεί ευσταθείς υπολογισμούς σε διαδοχικές Sylvester ή Wolovch απαλείφουσες. Κίνητρα Αποτελεί βασικό μέρος για πολλά προβλήματα ανάλυσης, σύνθεσης και σχεδίασης αυτομάτου ελέγχου όπως το πρόβλημα της επανατοποθέτησης των πόλων ενός συστήματος. και το πρόβλημα της εύρεσης μιας ελάχιστης πραγμάτωσης ενός ρητού πίνακα.
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός Έστω F( s) [ ] b Ορίζουμε τους πίνακες ( ) : [,..., S s I si s I ] [ s] X s S s F s s ( ) ( ) :, ( ) ( ) [ ] + m m = + m. Γενικευμένη απαλείφουσα του Sylvester (generalzed Sylvester resultant) ( ) + s m m R με ran ( ) F( s) = m και s a, b a a, a ba a = και F0 F Fq 0 0 0 F0 F F q ( m) m( q ) : + + =. 0 0 0 F0 F Fq X ( s) = R S ( s) m, q+ {,2,...,} ( ) E( s) [ s ] + m με ran ( ) E( s) = πολυωνυμικοί πίνακες τέτοιοι ώστε E( s) F( s ) = 0. Όταν ο E( s ) είναι s επιπλέον κανονικός κατά γραμμές και δεξιά αντιστρέψιμος, ο E( s ) είναι μια ελάχιστη πολυωνυμική βάση του διανυσματικού χώρου ρητών συναρτήσεων που παράγει τον αριστερό πυρήνα του F( s ) και οι βαθμοί γραμμών deg r E( s) = : µ, του E( s ) είναι οι αναλλοίωτοι δείκτες γραμμών του αριστερού πυρήνα του F( s ) ή απλούστερα οι αριστεροί ελάχιστοι δείκτες του F( s ).
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση Εισαγωγικές έννοιες = deg F( s), =,, m c ( ) =, X s M bloc dag{ S ( s)}, όπου e e + =,, m m ( m+ ) ( m + ) = M γενικευμένη απαλείφουσα του Wolovch (generalzed Wolovch resultant) Γράφοντας τον πίνακα F( s ) σαν F( s) = [ f( s), f2( s),..., fm( s)] όπου 0 [ ] ( m+ ) f ( s) = f + sf +... + s f s, m είναι οι στήλες του F( s ), ισχύει M = R R R όπου 2 m e [,,..., ] f0 f f 0 0 0 0 f f f R = 0 0 f0 f f είναι η γενικευμένη Sylvester απαλείφουσα της στήλης f ( s ), ( ) 0 ( m+ ) +, m m του F( s ). Θεώρημα Έχει αποδειχθεί ότι οι δύο γενικευμένες απαλείφουσες συνδέονται μέσω της σχέσης ( ) ( ) R = [ M,0 ] P όπου m q + m q + είναι ένας πίνακας μετάθεσης. e ( m+ ), b P
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Θεώρημα [E.N. Antonou, A.I.G. Vardulas and S. Vologannds] Έστω E( s ) μια ελάχιστη πολυωνυμική βάση του αριστερού πυρήνα του F( s ). Έστω µ = deg E r ( s ), οι αριστεροί ελάχιστοι δείκτες του F( s ) και με a ας συμβολίσουμε τον αριθμό των γραμμών του E( s ) για τις οποίες ισχύει µ = deg E r ( s ) =. Τότε όπου το E σ L v ( ) m s = 0 σ ( + ) ( + m) er L R = er L M = Im L L, ορίζεται από τη σχέση : µ < e bloc dag{ S ( s)} E ( s) = L S ( s),, µ + m, είναι ένας πολυωνυμικός πίνακας που αποτελείται από όλες τις = a τον αριθμό γραμμές του E( s ) με βαθμούς στηλών που ικανοποιούν τις σχέσεις µ = deg E r ( s ) < και L L v = ( µ ) = dm er M e = dm er R. : µ < Το θεώρημα δείχνει την σχέση μεταξύ των συντελεστών μιας ελάχιστης πολυωνυμικής βάσης του αριστερού πυρήνα του F(s) και μιας βάσης του αριστερού πυρήνα της γενικευμένης απαλείφουσας του Sylvester ή του Wolovch αντίστοιχα.
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Θεώρημα [E.N. Antonou, A.I.G. Vardulas and S. Vologannds] Έστω E ( s ) μια ελάχιστη πολυωνυμική βάση του. Ορίζω τον πίνακα L + ( µ + ) ( + m)( + ) μέσω της παρακάτω σχέσης : µ < bloc dag{ S ( s)} E ( s) = L S ( s). σ, µ + + + m, + διαστάσεων ( )( ) Έστω a + m + N + τέτοιος ώστε ο πίνακας L + : = [ L +, N+ ] διαστάσεων a + ( µ + ) ( + m)( + ) να ικανοποιεί την : µ < ranl = ( µ + ) και L M = 0 + + e( + ) : µ < + δηλαδή ο L να είναι μια βάση του L + er M e. ( + Τότε οι γραμμές του πολυωνυμικού ) πίνακα E ( s) E + ( s) : = N + ( s) σχηματίζουν μια ελάχιστη πολυωνυμική βάση του + όπου ( ) = [ ] + + + m, + ( m) a + N s : N S ( s) s. Το θεώρημα δείχνει ότι αν είναι γνωστό μέρος της ελάχιστης πολυωνυμικής βάσης E(s) του αριστερού πυρήνα του F(s) που αντιστοιχεί στις γραμμές με βαθμούς μικρότερους από, τότε μπορούν να προσδιοριστούν γραμμικά ανεξάρτητα πολυωνυμικά διανύσματα γραμμών με βαθμούς ακριβώς που να ανήκουν στον αριστερό πυρήνα του F(s)
Υπολογισμός ελάχιστη πολυωνυμική βάση - αλγόριθμος Αλγόριθμος [E.N. Antonou, A.I.G. Vardulas and S. Vologannds] Υπολογισμός ελάχιστης πολυωνυμικής βάσης ) Υπολογίζω μια ορθοκανονική βάση N του er L M e και θέτω E = N. 2) Θέτω = 2. 3) Χρησιμοποιώντας την σχέση bloc dag{ S, µ + ( s)} E ( s) = L + S + m, + ( s), υπολογίζω το L για E ( s) = E S + m,. L 4) Υπολογίζω μια ορθοκανονική βάση N του er [ M e, L ] και θέτω 5) Θέτω = +. 6) Αν { # γραμμών του E } < πηγαίνω στο βήμα 3. 7) Η ελάχιστη πολυωνυμική βάση δίνεται από τον πίνακα E S ( s ) σ SVD: πολυπλοκότητα σε κάθε βήμα O m 3 3 (( + ) ) E + m,. E 0 =. N Η SVD που υπολογίστηκε στο βήμα κ δεν λαμβάνεται υπόψιν στο επόμενο βήμα SVD udate[m. Gu and S.C Esenstat]: πολυπλοκότητα μέχρι το κ βήμα O m 3 3 (( + ) ) Συνολική 3 3 πολυπλοκότητα: O(( + m ) µ )
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση - Παράδειγμα Σημείωση Ο αλγόριθμος μπορεί να τροποποιηθεί εύκολα έτσι ώστε να υπολογίζει δεξιές ελάχιστες πολυωνυμικές βάσεις, απλά παίρνοντας τον ανάστροφο του αρχικού πολυωνυμικού πίνακα. Παράδειγμα Έστω μία συνάρτηση μεταφοράς P s = D s N s όπου ( ) L ( ) L ( ), 2 2 0 3s + 8 2s + 6s + 2 L( ) = ( + 2) ( + 3), L ( ) =. 2 2 D s s s 0 N s s + 6s + 2 2s + 7s + 8 Θέλουμε να υπολογίσουμε μια δεξιά παραγοντοποίηση της μορφής P s = N s D s. ( ) R ( ) R ( ) Υπολογισμός ελάχιστης βάσης του αριστερού πυρήνα του F( s) = [ D ( s), N ( s)]. Παρατηρούμε ότι M e = 36 και γι' αυτό κανονικοποιούμε τον πίνακα F( s ) θέτοντας F s = F s M e ( ) ( ) /. 3 2 0.028s + 0.94s + 0.444s + 0.333 0. 3 2 0. 0.028s + 0.94s + 0.444s + 0.333 F( s) = 2 0.0833s 0.222 0.028s 0.67s 0.056 2 2 0.056s 0.67s 0.056 0.083s 0.94s 0.222 L L
= = 2 ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Ελάχιστη πολυωνυμική βάση - Παράδειγμα Υπολογίζω μια ορθοκανονική βάση N του er L M e και θέτω E = N. 0.333 0.444 0.94 0.028 0. 0 0 0 0. 0 0 0 0.333 0.444 0.94 0.028 M e = 0.222 0.083 0 0 0.056 0.67 0.028 0 0.056 0.67 0.056 0 0.222 0.94 0.083 0 E =. Αριστερός πυρήνας της M e 0.333 0.444 0.94 0.028 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0.333 0.444 0.94 0.028 0 0.222 0.083 0 0 0 0.056 0.67 0.0278 0 0 0.056 0.67 0.056 0 0 0.222 0.9 M 4 0.083 0 0 e 2 =. 0 0.333 0.444 0.94 0.028 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0.333 0.444 0.94 0.028 0 0.222 0.083 0 0 0 0.056 0.67 0.028 0 0 0.056 0.67 0.056 0 0 0.222 0.94 0.083 0 E L = L =. Άρα υπολογίζω er [ M e2] 6 6 6 N 2 = 0.343 0.54 0.343 0.686 4.2270 2.560 7.4730 0.7. Θέτω E = N 2 2
= 3 ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Ελάχιστη πολυωνυμική βάση - Παράδειγμα M e 3 0.33 0.44 0.9 0.03 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0.33 0.44 0.9 0.03 0 0 0.22 0.08 0 0 0 0 0.06 0.7 0.03 0 0 0 0.06 0.7 0.06 0 0 0 0.22 0.9 0.08 0 0 0 0 0.33 0.44 0.9 0.03 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0.33 0.44 0.9 0.03 0 = 0 0.22 0.08 0 0 0 0 0.06 0.7 0.03 0 0 0 0.06 0.7 0.06 0 0 0 0.22 0.9 0.08 0 0 0 0 0.33 0.44 0.9 0.03 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0.33 0.44 0.9 0.03 0 0 0.22 0.08 0 0 0 0 0.06 0.7 0.03 0 0 0 0.06 0.7 0.06 0 0 0 0.22 0.9 0.08 0 Υπολογίζω το L 3 L 3 0.343 0.54 0.343 0.686 4.2270 2.560 = 0 0 0 0 0.343 0.54 6 6 6 7.4730 0.7 0 0 0 0 6 6 6 0.343 0.686 4.2270 2.560 7.4730 0.7
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση - Παράδειγμα N 3 [ = 0.32 0.092 0.535 0.272 0.076 0.0 7 6 0.595 0.332 6.460.770 0.224 0.038 Αριστερός πυρήνας του [ M, L ] e3 3 Θέτω E 3 0.343 0.54 0.343 0.686 4.2270 2.560 = 0.32 0.092 0.535 0.272 0.076 0.0 6 6. 6 7.4730 0.7 0 0 0 0 7 6 0.595 0.332 6.460.770 0.224 0.038 Έχουμε = 2 γραμμές στον E 3 και άρα σταματάμε την αναδρομή. E( s) = E S s, με Η ανεστραμμένη ελάχιστη πολυωνυμική βάση είναι 3 4,3 ( ) E( s) = [ N ( s) D ( s) ]. R R E ( s) = + + 7 6 2 8.902 0 s 0.3429 2.468 0 s 0.0766s + 0.37 6 6 2 2.324 0 s 0.544 3.85 0 s + 0.095s 0.098 8 2 7.54 0 s 0.3429 0.2237s 0.595s 0.535487 2 0.74s 0.6859 0.03808s 0.332s 0.27669 T N R T DR ( s) ( s)
Ελάχιστη πολυωνυμική βάση Πλεονεκτήματα Περαιτέρω έρευνα Πλεονεκτήματα Ο υπολογισμός γίνεται μόνο με ορθογώνιες αναλύσεις και οι συντελεστές της ελάχιστης βάσης έχουν το πλεονέκτημα να είναι ορθοκανονικοί. Ο αλγόριθμος είναι αριθμητικά ευσταθής και βασίζεται σε γνωστές τεχνικές όπως η SVD. Ο αλγόριθμος είναι ταχύτερος από τους μέχρι στιγμής υπάρχοντες στην βιβλιογραφία όταν μ<q. Περαιτέρω έρευνα Βελτιστοποίηση του αλγορίθμου πάνω σε συγκεκριμένα προβλήματα.
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων Στόχοι Κίνητρα Στόχοι Παρουσιάζονται δύο νέοι αλγόριθμοι για τον υπολογισμό του Moore-Penrose και Drazn γεν. αντιστρόφων πολυωνυμικών πινάκων. Χρησιμοποιούνται τεχνικές υπολογισμού/παρεμβολής και γρήγορου μετασχηματισμού Fourer. Κίνητρα Οι αυξημένες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ και μνήμη για τον υπολογισμό των γενικευμένων αντιστρόφων πολυωνυμικών πινάκων. Η συχνή χρήση των γενικευμένων αντιστρόφων σε πολλά προβλήματα αυτομάτου ελέγχου.
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Ορισμός Για κάθε πίνακα A( z ) [ z ] m, υπάρχει ένας μοναδικός πίνακας που θα συμβολίζεται ( ) ( ) m A z z και που ονομάζεται ο Moore-Penrose γενικευμένος αντίστροφος που ικανοποιεί τις παρακάτω εξισώσεις A( z ) A( z ) A( z ) = A( z ) A( z ) A( z ) A( z ) = A( z ) ( A z A z ) ( ) ( ) ( ) = A( z ) A( z ) ( ) ( ) = ( ) ( ) A z A z A z A z όπου με A( z ) συμβολίζεται ο ανάστροφος συζυγής του A( z ). Στην ειδική περίπτωση όπου ο A( z ) είναι τετράγωνος και αντιστρέψιμος, τότε ο γενικευμένος αντίστροφος συμπίπτει με τον συνηθισμένο αντίστροφο.
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Θεώρημα [Vologannds and Karametas, 2004] Έστω ο πίνακας n [ ] m A( z ) = A( z,, z ) z,, z και n a( z, s) = det si A( z ) A( z ) = a ( z ) s + a ( z ) s + + a ( z ) s + a ( z ) 0 με a ( ) 0 z =, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του γινομένου A( z ) A( z ). Έστω τέτοιο ώστε a ( z ) 0,..., a + ( z ) 0 ενώ a ( z ) 0 και Λ : = {( z ) n : a ( z ) = 0}. Τότε ο Moore-Penrose γενικευμένος αντίστροφος A( z ) του A( z ) για s z n Λ δίνεται από τη σχέση A( z ) = A( z ) B ( z ) a ( z ) με ( ) 0( ) ( ) ( ) = + + ( ) B z a z A z A z a z I αν > 0 ενώ αν = 0 τότε z Λ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά τον ίδιο αλγόριθμο. A( z ) = 0. Αν
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Ορισμός Για κάθε τετράγωνο πολυωνυμικό πίνακα A( z ) [ z ] m m, υπάρχει ένας D m m μοναδικός πίνακας A( z ) ( z ), που ονομάζεται Drazn γενικευμένος αντίστροφος που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: D A( z ) A( z ) = A( z ) για = nd( A( z )) = mn( N : ran A( z ) = ran A( z ) ), ( ) ( ) D D D A( z ) A( z ) A( z ) = A( z ), D D A( z ) A( z ) = A( z ) A( z ) Στην ειδική περίπτωση όπου ο πίνακας A( z ) είναι αντιστρέψιμος, ο Drazn γενικευμένος αντίστροφος συμπίπτει με τον κλασσικό αντίστροφο του, δηλαδή D A( z ) = A( z ).
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Θεώρημα [Vologannds and Karametas, 2004] Έστω ένας πολυωνυμικός πίνακας ( ) [ ] m A z z m και m [ ] ( ) a( s, z,, z ) = det si A( z ) = a ( z ) s + + a ( z ) s + a ( z ) n m 0 m m το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A( z ) με a0 ( z ), z n. Έστω επίσης η παρακάτω ακολουθία από m m πολυωνυμικούς πίνακες B ( z ) = a ( z ) A( z ) j + a ( z ) A( z ) + a ( z ) I, a ( z ) =, j = 0,, m j 0 j j m 0 Έστω t τέτοιος ώστε am( z ) 0,, at + ( z ) 0, at ( z ) 0, το παρακάτω σύνολο Λ = { z n : at ( z) = 0} και r τέτοιος ώστε Bm ( z ),..., Br ( z ) = 0, Br ( z ) 0. Ορίζουμε = r t. Όταν z n Λ και > 0, ο Drazn γενικευμένος αντίστροφος του A( s ) δίνεται από τη σχέση + D A( z ) Bt ( z ) A( z ) = + a ( z ) με B ( z ) = a ( z ) A( z ) + + a ( z ) A( s) + a ( z ) I. t t 0 t 2 t m Όταν z n D Λ και = 0, έχουμε A( s ) = 0. Για τα z Λ χρησιμοποιούμε τον ίδιο αλγόριθμο ξανά. t
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων - DFT Ορισμός Έστω δύο πεπερασμένου πλήθους ακολουθίες X (,, n ) και X ( r,, r n ),, r = 0,,..., M.Οι δύο αυτές ακολουθίες αποτελούν ένα DFT ζεύγος αν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: M M 2 n r nrn X ( r,, rn ) = X (,, n ) W W n = 0 = 0 = 0 2 M n M M M r n n n R r = 0r = 0 r = 0 2 n r X (,, ) = X ( r,, r ) W W 2 2π j M όπου + W = e = n R = ( M + ), 2,3,...,,. n = Η πολυπλοκότητα του υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourer ενός πολυδιάστατου πίνακα (πολυδιάστατης ακολουθίας) m mn M είναι της τάξης n 2 m = n n n Με τεχνικές FFT μειώνεται δραματικά σε n n m log m = =
Αλγόριθμος υπολογισμού/παρεμβολής για πολυωνυμικούς πίνακες FFT IFFT ) Υπολογισμός των τιμών του πολυωνυμικού πίνακα σε ένα σύνολο από n = ( deg z ( f ( A( z ))) ) επιλεγμένων n-άδων μιγαδικών αριθμών,, 2,..., R = + Σε αυτό το βήμα καταλήγουμε με R σταθερούς πίνακες A( z ), =, 2,..., R. 2) Εφαρμογή της συνάρτησης f στους σταθερούς πίνακες A( z ), =, 2,..., R. z = R. 3) Υπολογισμός των συντελεστών του πολυωνυμικού πίνακα f ( A( z )) με κάποια από τις γνωστές μεθόδους παρεμβολής όπως χρησιμοποιώντας τους πίνακες Vandermonde, την μέθοδο Newton ή την μέθοδο Lagrange. Σημείωση: Η αποτελεσματικότητα της παραπάνω τεχνικής έγκειται στην επιλογή κατάλληλων μεθόδων σε κάθε από τα παραπάνω βήματα.
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Στα πλαίσια αυτής της διατριβής αναπτύχθηκαν αλγόριθμοι για τον υπολογισμό του Moore-Penrose και Drazn γενικευμένων αντιστρόφων συνδυάζοντας: Τον αλγόριθμο υπολογισμού/παρεμβολής για πολυωνυμικούς πίνακες Τα δύο προηγούμενα θεωρήματα για τον υπολογισμό των γενικευμένων αντιστρόφων Τον γρήγορο μετασχηματισμό Fourer
Απόδοση αλγορίθμων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Πολυωνυμικοί πίνακες μιας μεταβλητής Leverrer αλγόριθμος FFT αλγόριθμος Χρόνος υπολογισμού του Moore- Penrose γεν. αντ. σε συνάρτηση με τον αριθμό των γραμμών και το βαθμό του πίνακα. Χρόνος υπολογισμού του Drazn γεν. αντ. σε συνάρτηση με τον αριθμό των γραμμών και το βαθμό του πίνακα.
Απόδοση αλγορίθμων ΑΛΓΕΒΡΟ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ Leverrer αλγόριθμος FFT αλγόριθμος Χρόνος υπολογισμού του Moore-Penrose γεν. αντ. ενός πολυωνυμικού πίνακα διαστάσεων 3x4 δύο μεταβλητών, σε συνάρτηση με τους βαθμούς του.
Υπολογισμός γεν. αντιστρόφων Πλεονεκτήματα Περαιτέρω έρευνα Πλεονεκτήματα Σημαντικό πλεονέκτημα στην ταχύτητα σχετικά με τους υπάρχοντες αλγόριθμους Χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι (FFT - IFTT) που είναι ήδη βελτιστοποιημένοι στο μέγιστο σε κάθε υπολογιστική πλατφόρμα και μπορούν να εκμεταλλευθούν την ύπαρξη συστοιχιών Η/Υ παράλληλης επεξεργασίας. Περαιτέρω έρευνα Υπολογισμός του outer nverse που γενικεύει κατηγορίες γενικευμένων αντιστρόφων όπως o Moore-Penrose, Drazn κλπ Ανάπτυξη και υλοποίηση άλλων αλγορίθμων για πολυωνυμικούς πίνακες, βασισμένων σε αντίστοιχες τεχνικές. Υλοποίηση αντίστοιχων αλγορίθμων σε πλατφόρμες που υπάρχει εξειδικευμένο υλικό για πράξεις διανυσμάτων σύγκριση των επιδόσεων.
Συμπεράσματα Ορισμός μιας νέας ισοδυναμίας μεταξύ κανονικών πολυωνυμικών πινάκων και συστημάτων διακριτού χρόνου που περιγράφονται μέσω αυτών. Ορισμός μιας νέας οικογένειας συνοδευουσών μορφών πολυωνυμικών πινάκων. Αλγόριθμος υπολογισμού ελάχιστων πολυωνυμικών βάσεων του πυρήνα πολυωνυμικών πινάκων. Αλγόριθμος υπολογισμού γενικευμένων αντιστρόφων πολυωνυμικών πινάκων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών.