Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ. Να βρεθεί ο λ R ώστε f() = ln ( +λ+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: 4 - α)f ()= ( -) β) f ()= - - + 4 - - γ) f () = - + - - - 8 - δ) f () = 5 - - ε) f () = log ( + - ) + log - στ) f () = e - + - ln ζ) f () = συν ημ - +, [0, π] εφ - Β. Γραφική παράσταση 4. Για ποιες τιμές του χ η C f βρίσκεται πάνω, η κάτω από των χχ όταν: I) f() = -5+6 ii) f() e iii) f() log 5( ) iv) f() 5. Έστω η συνάρτηση f () = - +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),, t, h R. 6. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι f () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις 7. Εξετάστε ποιες από τις επόμενες συναρτήσεις είναι ίσες και σε ποιο σύνολο ι) f(), g() ιι) f(), g() 7
ιιι) f() 4 5, g() 5 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8. Δίνεται η συνάρτηση f () = +. α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = - - f ()= - f () = f 4 () = ( + ) f 5 () = lne + f 6 () = eln (+) β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = - f () = f () = - f 4()= ( -) - f 5 ()= f 6 () = - α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. β)να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = α, g()= - ( -) α,αr, > 0. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g β) Για ποια τιμή του α ισχύει f = g; Δ. Πραξεις με συναρτήσεις, [0,], (,). Δίνονται οι συναρτήσεις f() g() 6, (,6) [,] Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g, f.g, f g 8
. Δίνονται οι συναρτήσεις, f () =, και g () = ln, -, 0 Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) f + g β) f g Ε. Σύνθεση συναρτήσεων. Έστω οι συναρτήσεις f() και g() ln( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ι. f g ιι. g f ιιι. f f ιv. g g 4. Να ορισθούν οι συναρτήσεις f g, g f, f f, g g όταν, [, ), 0 f(), g() X. (,), 0 5. Βρείτε συνάρτηση f τέτοια ώστε i) (f g)(), αν g()=- ii) 4 (f g)(), αν g() = iii) (g f)() 5 4,αν g() 7 6 6. Δίνεται συνάρτηση f : [0,] R. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων I) f( ), ii) f( ) iii) f( ) 7.ίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, ]. Ποιο είναι το πεδίο α) f ( ) β) f ( - 4) γ) f (ln) ορισμού των συναρτήσεων: 9. Ποια καμπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g () = f (f (f ())), αν f () = 0.Να γράψετε τη συνάρτηση f () =, > 0 ως σύνθεση δύο άλλων συναρτήσεων.. Αν για κάθε R ισχυει f() α να δειχθει ότι f f () ; -. Δινεται η συναρτηση f, τετοια ώστε f() f, R Βρειτε το τυπο της f.. Δινεται η συναρτηση f, για την οποια ισχυει η σχεση f( χ + ψ) = f()+ f(ψ), χ,ψ R. Δειξτε 9
I) ότι f(0)=0 ii) f( k)=kf(), k N iii) Η f είναι περι τ τη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 4. Εστω η αρτια συναρτηση f : R R, για την οποια ισχυει f(α β) f(α) f(β), να δειξτε ότι. Ι) f() 0. ιι) f(α) f(β) f(α β) α,βr. 5. Αν f e g () e και g() ln, 0. Να βρεθει ο τυπος της f 6. Αν f() g() και g() f(), R, να δειχθει ότι (f g)() (g f)() f() 7. Δινεται η συναρτηση f : R R για την οποια ισχυει f( ) f( ), R. να δειχθει ότι Ι) f() f( ) ιι) f( ) f() 6 0. Ιιι) Να βρεθει ο τυπος της f 8. Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f ( + y) + f ( - y) = f () + f (y) για κάθε, y R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι f ( ) = f (). 9. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f () - f ( ) =, 0,ναβρείτετο f (). 0. Αν f(f()) να βρεθει η f().. Αν f(f()) να δειχθει ότι f( ) f(), R ΣΤ. Μονοτονια Συναρτησης. Θεωρουμε τη συναρτηση f με f() 4. Ι) Να δειχθει ότι η f είναι γνησιως αυξουσα στο Α= 0, Ιι) Να δειχθει ότι η εξισωση f() 0 εχει μοναδικη λυση στο Α. Ιιι) Να λυθει η ανισωση f() 0 στο Α.. Να βρεθουν οι τιμες του α R ώστε η α f() α να είναι Ι) γνησιως αυξουσα στο R ιι) γνησιως φθινουσα στο R 0
4. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα. β) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog. γ) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f () = ln [ln ()], >. 5.Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στo διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α]. 6. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. f g 7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f: Δ. Αν,,. 00Δ με. 00 ισχύει: f( )+ f( ). f ( 00), να δείξετε ότι: f( ) 0,0 8. Εστω η συναρτηση f : (0, ) R με f(0) 0, η οποια είναι γνησίως αύξουσα και η συναρτηση f() g(), 0. ln( ) Να αποδείξετε ότι g() 0 για κάθε χ > 0. 9. Αν Ζ. Συναρτηση - f(f()), R.Να αποδειξετε ότι ι) f()= ii) αν g()= f()+, η g δεν είναι - 40. Δίνεται η συνάρτηση f() = e - +χ +. ί) Να αποδείξετε ότι η f είναι -. Ιι) Να λύσετε την εξίσωση f() = 4. Ιιι) Να λύσετε την ανίσωση e - + χ - > 0 4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει - συνάρτηση f: R >R με την ιδιότητα f () < f()f(a - ), για κάθε R, όπου α σταθερός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός.
4. Δίνονται οι συναρτήσεις f: Α R και g : f(a) R. Αν η συνάρτηση g ο f είναι -, να αποδείξετε ότι: ΐ) η f είναι - ii) η g είναι - 4. Αν η f, g είναι - να δειξετε ότι η g f είναι -. Η. Αντιστροφη Συναρτηση 44. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, για τηνοποίαισχύει (fof) () - f () =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. 45. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις της μορφής f () = α + β, α 0, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: α) f = f - β) f = - f - γ) f = f - + c (c 0, σταθερά) 46. Δίνεται η συνάρτηση f () =. α) Νααποδείξετε ότι η f είναι -. β) Να βρείτε την f -. 47.Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f() = 4 48. Δινεται η συναρτηση f() = ln - e I) Να αποδειχθει ότι αντιστρεφεται ιι) Να λυθει η εξισωση f () 49. Βρειτε αν υπαρχουν τις αντιστροφες των επομενων συναρτησεων ι) f() ιι) f() 4 ιιι) f() ιv), f() 5, v), [0,] f(), [,] 50. Δινεται η συναρτηση f :R + R τετοια ώστε f(χ+ψ)=f()+f(ψ). Αν η f είναι αντιστρεψιμη να δειξτε ότι f (α).f (β) f (α β) 5. Μια συνάρτηση f: IR IR έχει την ιδιότητα (f ο f)() + f 00 () = χ 00, για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = - χ- ln. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι, γνησίως φθίνουσα. ii) Να,λύσετε την εξίσωση, f() = f() iii) Να λύσετε την ανίσωση χ + l ηχ >. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = e + χ + χ +. i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, ii) Να λύσετε την εξισωση e + ( - ) + - χ = e + + (χ + ) +
54. Αν η συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα f (f()) = + f() για κάθε R, να αποδειχθεί ότι: i) η f είναι αντιστρέψιμη ii) f(0) = 0 iii) f () f() f(r) 55. Αν η συναρτηση f : R R είναι γνησιως μονοτονη και η γραφικη της παρασταση διερχεται από τα σημεια Α(,) και Β(5,9) ι) Να λυθει η εξισωση f( f ( )) 9 ιι) Να λυθει η ανισωση f(f ( 8) ) 56. Δινεται η συναρτηση f ( ) ι) Να δειξετε ότι η f αντιστρεφεται ιι) Να λυθει η εξισωση f ( ) f ( ) ιιι) Να λυθει η ανισωση f ( ) 57. Οι συναρτήσεις f, g : R R έχουν την ιδιότητα (g ο f)() = + f() + για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 58.Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο Α. α) Δείξτε ότι ορίζεται η f και ότι είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. β) Δείξτε ότι το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f () = f() αν και μόνο αν είναι ρίζα της εξίσωσης f()=. Δώστε γεωμετρική ερμηνεία αυτής της πρότασης. γ) Λύστε την εξίσωση g () = g(), όπου g() = ln + 5. 59. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύει (fof) () - f () =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. 60. α) Δίνεται η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της Α. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Α. β) Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία στο παραπάνω συμπέρασμα. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) e, ii) 6 8 0. 6. Αν f : με f(0)= και f(+y) e f(y) για κάθε,y, να δειχθεί ότι f()=e για κάθε 6. Έστω η συνάρτηση f: (,+ ), για την οποία ισχύει f () + = f() + e για κάθε χ. i) Να βρείτε τον τύπο της f και να αποδείξετε ότι είναι «-». ii) Να βρείτε τον τύπο της f -.
6. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο τέτοια ώστε να ισχύουν: ln[f()] + e = 0, και f() 0 για κάθε. i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Ιι)Βρείτε την f -. iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f - με την ευθεία ψ =. 4