ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΑ Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α Β)=Ρ(Α) Ρ(Α Β). Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Α. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα f μιας παρατήρησης ενός δείγματος. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6 Μονάδες γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g())) =f (g()) g () Μονάδες δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν o συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M), η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P(A) λ και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι 7 P(K) λ όπου λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 6<Ν(Ω)<7, τότε λ Β. Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68 Μονάδες 6 Β. Να υπολογιστεί η τιμή του λ Μονάδες 8 Β. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6
Β. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f% έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0), Β(0, 0), Γ(, 0), (, y ),(6, y ), Ζ(8, 0), Η(0, 0) όπου y, y οι τεταγμένες των κορυφών και Ε του πολυγώνου ΑΒΓΕΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y και y των κορυφών και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 00 ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα. Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f%. Μονάδες Γ. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων f% της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Γ. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Γ. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ ερώτημα. ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση 0 f() e,. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με A B και Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Α Β), P(A B), Ρ(Β Α). Μονάδες 8. ίνεται η συνάρτηση f() e, α) Να λυθεί η εξίσωση f()=h(). β) Aν < < οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και v, Μονάδες =,, οι συχνότητες των παρατηρήσεων τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδας. Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδας. Α. Η σχετική συχνότητα εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων με τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ. Α.(α) Λάθος, (β) Λάθος, (γ) Σωστό, (δ) Λάθος, (ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. Επειδή λ λ 0 σχέση, () 6 N(Ω) 76 Ν(Ω) 7 y N(M) P(M) N(Ω) N(M) () N(Ω) () 6 N(Ω) 76 Ν(Ω) 7 6 Ν(Μ) 8 6 Ν(Μ) 8 N(M) 7.Από τη σχέση () προκύπτει N(Ω) 68. Από τη *,επειδή N(M) N τότε 7 Β. P(K) P(M) P(A) λ λ Το τριώνυμο έχει ρίζες τις,.για λ P(A) άτοπο. Συνεπώς η ρίζα λ απορ. εκτή η Β. Β. N(A) P(A) Ν(Α) 7 N(Ω) άσπρες σφαίρες. N(A B) P(A B) 0,. N(Ω) 6 λ.για N(K) P(K) Ν(Κ) N(Ω) λ και λ : P(A) και κόκκινες σφαίρες. P(K) ΘΕΜΑ Γ Γ.Από τα δεδομένα της εκφώνησης τα κέντρα των κλάσεων είναι : 0,,, 6, 8. Η πρώτη κλάση είναι της μορφής α,α c),άρα α c 0 α c (). Όμοια η δεύτερη κλάση είναι της μορφής α c,α c), άρα α c α c () Από την επίλυση του συστήματος των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει ότι: c γνωρίζουμε ότι : και α. Επίσης f % f % f % f % f % 00 y y 60 (). Επειδή το τμήμα Ε είναι παράλληλο στον οριζόντιο άξονα προκύπτει ότι y y(). Από τις σχέσεις () και () έχουμε : y y 0%.
Γ.Το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων είναι: 0 Ε 0 Γ f 0 Β Ζ Α Η 0 0 6 8 0 6 8 0 Ποσά σε χιλιάδες ευρώ Γ.Ο πίνακας κατανομής σχετικών συχνοτήτων είναι: Κλάσεις f % [9 ) 0 0 [ ) 0 [ ) 0 [ 7) 0 6 [7 9) 0 8 Σύνολα 00 - Γ. Εφάπαξ επιπλέον ποσό θα πάρουν οι πωλητές οι οποίοι ανήκουν στις κλάσεις,7) και 7,9).ηλαδή f % f % 0% των πωλητών. Γ. Το εμβαδόν του πολυωνύμου συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. ηλαδή ν 80. Άρα το πλήθος των πωλητών που δικαιούνται εφάπαξ είναι 0% 80. ΘΕΜΑ. Για η f είναι παραγωγίσιμη με: ( ) ( ) 0 0 f () [e ] e [ ( )] 0 ( 0 ) ( ) 0 e [ )] e ( ) 0 f () 0 f () 0 ( ) 0 αφού και ρίζες τις και. ( ) 0 e 0 για κάθε R. 0,
f () 0 0 ή (, ) και και f () 0 για.επειδή η f () 0 για κάθε τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, ).Επειδή η f () 0 για κάθε (, ) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ]..Αφού f 0 και f () 0 για παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Όμοια,τότε για P(A) και P(B) και f () 0 για f 0 (, ) και f () 0 για,τότε για η f και f () 0 για η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.αφού A B.Επειδή Α Β Α Β A ΡΑ Β ΡA ειδή Α Β Α Β Β ΡΑ Β ΡΒ. α. Για R, f. P(B A) P(B) P(A B). h() 0 ή 6 0 β. 0,,.Για =,, προκύπτουν τότε. P(A B) P(A) P(A B) 0.Επ. Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι και η. v,= v, v 7,με 0 7 ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ Τα θέματα φέτος ήταν πιο δύσκολα και πιο απαιτητικά από άλλα χρόνια. εν υπήρχε το εύκολο θέμα και το τέταρτο θέμα ήταν συνδυαστικό από όλα τα κεφάλαια. Το ποσοστό των άριστων γραπτών θα είναι πολύ χαμηλότερο σε σχέση με τα προηγούμενα χρόνια. Να σημειωθεί ότι το δεδομένο της μέσης τιμής στο τρίτο θέμα ήταν περιττό, με αποτέλεσμα πολλά παιδιά να μπερδευτούν. ΣΠΥΡΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ΓΑΛΑΡΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ