Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Η σ.κ.π. F() είναι παντού συνεχής F PX t dt H σ.π.π. df d Ισχύει ότι d F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 ()
Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 () Υπολογισμός πιθανότητας διαστήματος F F X P X P X P X P
Ομοιόμορφη (Uniorm) κατανομή X ~ U(,) Όλες οι τιμές στο διάστημα [, ] είναι ισοπίθανες Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) 0 () F() 0 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (3) dt t X P F 0
Εκθετική (Eponntil) κατανομή X ~ E(λ) Για διάρκεια ζωής και χρόνους αναμονής. Ανάλογη της Γεωμετρικής κατανομής σε διακριτούς χώρους. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.), 0 λ: παράμετρος κλίσης της κατανομής X ~ Ep Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (4)
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.), 0 F P X F PX t 0 t dt dt 0 t dt Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (5)
Crl Fridrich Guss (777 855) H Κανονική ή Γκαουσιανή κατανομή (Norml or Gussin distriution) X ~ N(μ, σ ) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (6)
H Κανονική ή Γκαουσιανή κατανομή (Norml or Gussin distriution) Η σπουδαιότερη κατανομή. Χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές. Πολλά χαρακτηριστικά στη φύση περιγράφονται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή. Τα τυχαία σφάλματα (θόρυβος) σε μετρήσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ενισχύεται από το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Κ.Ο.Θ.), σύμφωνα με το οποίο όλες οι μεταβλητές μακροσκοπικά καταλήγουν σε αυτήν. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (7)
(Γ). Κανονική ή Γκαουσιανή κατανομή (συν.) Συμβολισμός X ~ N,, Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) d μ: παράμετρος θέσης, σ>0 : παράμετρος μεταβλητότητας (πλάτος) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (8)
Κανονική κατανομή Συμμετρική γύρω από το μ, N Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (9) X P X P
Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (0)
Υπολογισμός της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F z-μετασχηματισμός τυποποίησης Τότε: PX t F t z z t z t t όπου d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 ()
X ~ N, μετασχηματισμός Z X ~ N 0, F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 ()
Πίνακας υπολογισμού της t dt Παρατηρήσεις: Μόνο τιμές για > 0 Λόγω συμμετρίας ισχύει ότι: Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (3)
Παραδείγματα () Η διάρκεια ζωής μιας μπαταρίας είναι μια τ.μ. Χ~Ν(μ=3 έτη, σ =0.5). Ποια είναι η πιθανότητα η μπαταρία να λειτουργήσει το 4 ο έτος? Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (5)
() Το βάρος μιας φιάλης είναι μία κανονική τ.μ. Χ ~ Ν(μ=000 gr, σ = 8 ). Αν η φιάλη είναι μικρότερη από 990 gr τότε απόρριπτεται. α) Τι ποσοστό των φιαλών πρόκειται να απορριφθεί? β) Ποια θα πρέπει να είναι η τιμή του σ έτσι ώστε να μην απορριφθεί περισσότερο από %? Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (6)
(3) Ανταλλακτικό κινητήρα έχει διάρκεια ζωής (Χ) που ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ Α = 50, σ Α = 5) αν είναι τύπου Α και την Ν(μ Β = 30, σ B = 5) αν είναι τύπου Β. Είναι γνωστό ότι η αδέσμευτη πιθανότητα ένα ανταλλακτικό να είναι τύπου Α είναι 0,75. α) Ποια είναι η πιθανότητα η διάρκεια ζωής ενός οποιουδήποτε ανταλλακτικού να είναι μικρότερη των 40 ετών; β) Ποια είναι η πιθανότητα ένα ανταλλακτικό να είναι τύπου Β, αν γνωρίζετε ότι η διάρκεια ζωής του είναι μικρότερη των 40 ετών? Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (7)
(4) Μία αθλήτρια του άλματος εις ύψος, επεξεργαζόμενη στοιχεία από τις προπονήσεις της, ανακαλύπτει ότι κατόρθωσε να ξεπεράσει τα.85 μ στο 0% των προπονήσεών της, ενώ τα.70 στο 90% των προπονήσεών της. Υποθέτοντας ότι το ύψος Χ που μπορεί να υπερπηδήσει η αθλήτρια είναι μία τ.μ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή, να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων μ, σ της κατανομής. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (8)
5) Μία μηχανή ενός εργοστασίου γεμίζει αυτόματα μια παρτίδα από φιάλες με ένα υγρό. Η πραγματική ποσότητα υγρού που αποθηκεύεται στις φιάλες είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μ=360 ml και τυπική απόκλιση σ=4 ml. α) Σε τι ποσοστό από τις φιάλες ο όγκος του υγρού που θα αποθηκευτεί είναι λιγότερος από 355 ml ; β) Ποιο πρέπει να είναι η τιμή της παραμέτρου μ της κατανομής της μηχανής ώστε μόλις στο.5 % των φιαλών να αποθηκευθεί υγρό μικρότερο από 355 ml; Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (9)
H Γάμμα κατανομή X ~ G(α,λ)
Συνάρτηση Γάμμα (α > 0) Ιδιότητες o d! δηλ. αναδρομική συνάρτηση??? αν α είναι ακέραιος Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 ()
Συνάρτηση Γάμμα (α > 0) Ιδιότητες o d! δηλ. αναδρομική συνάρτηση αν α είναι ακέραιος Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 ()
Συνάρτηση Γάμμα (α > 0) Ιδιότητες δηλ. αναδρομική συνάρτηση αν α είναι ακέραιος d o Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (3)! sin,,3,, 5 3
Συνάρτηση Γάμμα 3! o d!! Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (4)
Γάμμα κατανομή, X ~ G(α,λ) συνάρτηση πυκνότητας:, 0 παράμετροι κατανομής: α > 0 και λ >0 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (5)
Γάμμα κατανομή, X ~ G(α,λ) συνάρτηση κατανομής: z t o dz z dt t dt t X P F 0 0 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (6) z
Οικογένεια Γάμμα κατανομών, X ~ G(α,λ) Η κατανομή Γάμμα είναι μία οικογένεια κατανομών. Η μορφή της ποικίλλει για διάφορες τιμές των α, λ Αν α= τότε δηλ. η Εκθετική κατανομή : G(,λ) = Ep(λ) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (7)
Οικογένεια Γάμμα κατανομών, X ~ G(α,λ) Αν α=n τότε n n ( n )! που ονομάζεται κατανομή Erlng (άθροισμα n εκθετικών μεταβλητών, δηλ. συνολικός χρόνος ζωής n εκθετικών συστημάτων) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (8)
Οικογένεια Γάμμα κατανομών, X ~ G(α,λ) Αν α=ν/ και λ=/ τότε / / / / κατανομή χ (χι-τετράγωνο) με ν βαθμούς ελευθερίας Εφαρμογές στην Στατιστική για εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης και στον έλεγχο υποθέσεων. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (9)
Άλλες κατανομές συνεχών τ.μ. Κατανομή Βήτα (χρησιμοποιείται για ποσοστά) συνάρτηση Βήτα: 0, ) (, ) ( ) ( ) ( ) (, 0 d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (30)
Άλλες κατανομές συνεχών τ.μ. Κατανομή Wiull (για χρόνο ζωής σύνθετων συστημάτων), 0 h συνάρτηση διακινδύνευσης (ρυθμός διακοπής) αν β= -> h()=β σταθερός (εκθετική) αν β> -> h() αυξάνει ο ρυθμός διακοπής αν β< -> h() φθίνει ο ρυθμός διακοπής Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (3)
Άλλες κατανομές συνεχών τ.μ. Κατανομή Cuchy Κατανομή Lplc Κατανομή Mwll 0,, R 0,, R 0 0,, 4 3 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (3)
Κυριότερες γνωστές συνεχείς κατανομές Κατανομή Ομοιόμορφη [, ] Εκθετική 0 Κανονική - + Γάμμα 0 Συνάρτηση πυκνότητας () /( ) Συνάρτηση Κατανομής F() F F F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (33)
Γενικές Ασκήσεις () Η θερμοκρασία ενός υγρού είναι τ.μ. Χ με σ.π.π. α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου c. β) Να βρείτε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα η θερμοκρασία του υγρού να είναι τουλάχιστον 0 βαθμοί. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (34)
() () c - 0 Έστω τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) () που φαίνεται παραπάνω. α) Βρείτε την μορφή της (). β) Βρείτε την μορφή της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F() της τ.μ. Χ. γ) Βρείτε το σημείο για το οποίο συμβαίνει P( X < ) = 0.5 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 (35)