Newton-ov zakon Isaac Newton (1643 177) Telesa se gbljejo zarad vplva drugh teles na obravnavano telo. Vzrok gbanja torej občajno lež v nterakcj ed teles. V okolc opazovanega telesa je navadno nogo teles, kar nared analzo gbanja teles težavno. To je najbrž tud vzrok, da je šele sr Isaac Newton v drug polovc 17. stoletja uspel dobro defnrat teeljne zakone (sedaj jh enujeo Newton-ov zakon) klasčne dnake (dynas (gr.) = sla), k jh je objavl v knjg z naslovo Mateatčna načela naravoslovja. Tr Newton-ove zakone za določanje gbanja točkasth teles lahko opšeo z beseda: I. Vsako telo vztraja v stanju rovanja al enakoernega gbanja po ravn črt, če ne deluje nanj nobena sla. II. Spreeba gbanja telesa je sorazerna sl, k deluje na telo n a ser te sle. III. K vsak sl (akcj) ostaja vedno nasprotno enaka sla (reakcja); al drugače, če deluje prvo telo na drugo telo z neko slo, deluje drugo telo na prvo telo z enako velko slo v nasprotn ser. K zgornj Newton-ov zakono podajo še defncj sle n telesa: Sla je kolčna, k er vplv enega telesa na drugo telo. Telo je vsak del snov, k ga lahko vsaj teoretčno ločo od okolce. Drug Newton-ov zakon zrazo v ateatčn oblk kot: F= a, (1) ozroa d( v) dg F= =, () 1
kjer je (vztrajnostna) asa točkastega telesa, k er vztrajnost telesa pr spreeb dv htrost telesa, a = je pospešek točkastega telesa, v je htrost, G= v, (3) pa gbalna kolčna točkastega telesa. Masa opsuje nožno snov n je adtvna kolčna. Enota za aso je klogra (kg). V klasčn fzk velja tud zakon o ohrantv ase. Iz vsakdanjh zkušenj po občutku tud veo, da asvnejšeu telesu težje spreeno htrost kot anj asvneu. Na prer, png-pong žogc lažje spreeno htrost kot košarkarsk žog al železnškeu vagonu. Pr obravnav Newtonovh zakonov je treba poudart, da je do časa renesanse naesto drugega Newtonovega zakona veljal Arstotelov zakon gbanja. Arstotel (384 3 pred n. št.) Arstotel je dell gbanje teles na naravna n vsljena gbanja. Naravna gbanja, takó je po Arstotelu na prer gbanje planetov, ne potrebuje nobene sle. Vsljeno gbanje, na prer prekanje voza, pa vedno potrebuje za svoje vzdrževanje od nč razlčno zunanjo slo (zunanj vzrok). Arstotel kot prer navaja, da dva konja vlečeta voz htreje kot en konj. Če pa nt eden konj n vprežen v voz, se ta ne gblje. V skladu s te razšljanje je Arstotel pršel do zaključka, da je vzdrževanje enakoernega gbanja (t.j. konstantne htrost) vedno potrebna sla. Arstotelov zakon gbanja b lahko zato ateatčno zrazl kot F v, ozroa v F, to je htrost je sorazerna sla, kar seveda n pravlno. Vdo, da je Arstotel pozabl na sle upora n slo trenja. Za vzdrževanje enakoerne htrost telesa je nareč sla potrebna zato, da preaguje slo upora n slo trenja. Če sle upora n sle trenja n (n.pr. pr gbanju telesa v vakuuu v breztežne prostoru) za vzdrževanje konstantne htrost telesa, k se gblje po ravn črt n potrebna sla, kar je vsebna I. Newtonovega zakona. 3
Kako je razšljal Arstotel? Newton.dsf v 1 v > v 1 v v 3= Prek od Arstotelovega napačnega razšljanja je naredl Galleo Galle, k je pršel do zaključka, da za vzdrževanje konstantne htrost telesa n nujno potrebna tud sla. Pač pa je sla potrebna, da telo ustavo, to je za spreebo htrost. 4
Galleo Galle (1564 164) Galleo dejansko nkol n pršel do zaključka, da se telo v odsotnost sl gblje s konstantno htrostjo po ravn črt. Vsebno I. Newtonovega zakona je prv forulral francosk ateatk n flozof René Descartes (1596 165). Latnska varanta Descartesovega prka (Cartezus) je dala e kartezčneu koordnatneu ssteu, k a paroa pravokotne os, y n z. René Descartes (1596 165) Na osnov povedanega lahko torej zaključo, da v okvru Newtonovega opsa gbanje teles za vzdrževanje stalne htrost n potrebna sla. Pač pa je sla potrebna za spreebo htrost, to je za pospešek (pojeek) telesa. Z drug beseda, vzrok za spreebo htrost enujeo slo. Masvnejšeu telesu težje spreeno htrost, zato rečeo as tud vztrajnostna asa. Sla je adtvna vektorska kolčna. Sle ed teles so občajno centralne, to se prav, da delujejo na zveznc, k povezuje dve točkast teles. Prer centralnh sl je Coulobska elektrostatska sla, k deluje ed točkasta nabojea e 1 n e : e1 e F= 4πε r r, (4) r kjer je ε nfluenčna konstanta, r pa razdalja ed nabojea, al pa gravtacjska prvlačna sla ed dvea točkasta asaa 1 n na razdalj r: r, (5) 1 F= G r r kjer je G gravtacjska konstanta. V preru gravtacjske sle ed Zeljo z aso M Z n točkast teleso z aso je gravtacjska sla Z Fg = G r r M r, (6) kjer je r razdalja od sredšča Zelje do točkastega telesa. 5
R r h ZEMLJA R poler Zelje h nadorska všna r= R+ h Velkost gravtacjske prvlačne sle, k deluje na aso lahko zapšeo tud v oblk (glejte slko): M Z M Z R Fg = G = G = g, (7) r R ( R+ h) kjer je gravtacjsk pospešek g: g= g R ( R+ h), (8) M Z = (9) g G 9.8s R pa je gravtacjsk pospešek na nadorsk všn h =. Enakost gravtacjske ase, k nastopa v gravtacjske zakonu (enačba (5)) n vztrajnostne ase, k nastopa v II. Newtonove zakonu (enačba (1)) n saouevna. O te so se znanstvenk preprčal šele z natančn poskus. Drug Newtonov zakon velja le v tako enovanh nercalnh ssteh, to je v nepospešenh ssteh. Za lustracjo s poglejo prer opazovalca v zaprte vagonu, k se gblje s pospeško a, v ser os laboratorjskega (t.j. nercalnega) opazovalnega sstea n opazuje ajhno kroglco, k je z zelo lahko ntko prtrjena na strop vagona. V vagonu, to je v pospešene (nenercalne) ssteu, deluje v ser -os na vsečo kroglco sla T snθ, kljub teu pa je pospešek kroglce za opazovalca v vagonu a =, kar je v nasprotju z veljavnostjo II. Newtonovega zakona. V pospešene vagonu torej II. Newtonov zakon ne velja: 6
y a a = Θ z y a = z OPAZOVALEC V VAGONU: T cosθ T Θ T snθ g a = y z Drug Newtonov zakon seveda velja za opazovalca v laboratorjske nercalne ssteu: v ser os: T snθ= a, (1) v ser y os: T cosθ= g, (11) kjer je asa na ntk vseče kroglce, g pa gravtacjsk pospešek. 7
OPAZOVALEC V LABORATORIJSKEM OPAZOVALNEM SISTEMU T cosθ g T T snθ a = a Če hočeo, da II. Newtonov zakon velja vsaj foralno tud v vagonu, to je v pospešene (nenercalne) ssteu, orao vpeljat tako enovano sstesko slo, k je za zgornj prer enaka F = a. (1) S Z upoštevanje ssteske sle (enačba (1)) pote tud v vagonu foralno velja II. Newtonov zakon: + + S= = g T F a, (13) k na da za pospešek kroglce vrednost a =, kar je v skladu z opažanj opazovalca v vagonu (gospodčna, k sed na stolu v vagonu). Ssteska sla ne zhaja z nterakcj z drug teles, pač pa z pospeševanja opazovalnega sstea. Vse znana ssteska sla je centrfugalna sla, k jo občuto v enakoerno vrteče se, y, z opazovalne ssteu ( ) y y r = asa ω = kotna htrost vrtenja opazovalnega, y, z sstea ( ) ϕ= ω t Za točkasto aso, k ruje v vrteče opazovalne ssteu, napšeo II. Newtonov zakon, y, z v oblk: v laboratorjske nercalne opazovalne ssteu ( ) 8
= ω, (14) Fcp r kjer je F cp centrpetalna sla, k vleče aso prot sredšču kroženja, pospešek, k je prav tako userjen prot sredšču kroženja. ω r pa je radaln V vrteče, nenercalne ssteu, na točkasto aso prav tako deluje centrpetalna sla F cp, vendar pa je pospešek ase enak nč, torej II. Newtonov zakon zopet ne velja, če ne vpeljeo ssteske sle F cf tako, da je: F F a cp+ cf = =. (15) Iz enačb (14) n (15) sled: = = ω. (16) Fcf Fcp r Ssteska sla ser krajevnega vektorja F cf, k jo enujeo centrfugalna sla, je userjena od sredšča kroženja v r. y y V vrteče opazovalne ssteu asa ruje zato je r = konst. n d r a = = r F cp F cf Poznana ssteska sla v vrteče se nenecalne ssteu je še Corolsova sla, k jo orao upoštevat, če se asa v vrteče koordnatne ssteu gblje tako, da se, y, z. sprenja njena razdalja od zhodšča koordnatnega sste ( ) Na osnov povedanega lahko defnrao nenercalne opazovalne sstee kot opazovalne sstee v katerh se opazovano telo, k n v nterakcj z noben drug teleso gblje pospešeno. Inercaln opazovaln sste pa je defnran s prv Newtonov zakono. Opazovaln sste v katere velja I. Newtonov zakon je nercaln opazovaln sste. Vdo torej, da je I. Newtonov zakon saostojn zakon, k defnra nercaln opazovaln sste v katere velja II. Newtonov zakon. Še enkrat je potrebno tud opozort, da je tud II. Newtonov zakon več kot defncja sle n ase. Glavna vsebna tega zakona je, da se vplv zunanjh teles (k jh opšeo s sla) odražajo v spreeb htrost telesa, k jo opšeo s dv pospeško a=. 9
Invarantnost pospeška telesa erjena v razlčnh nercalnh opazovalnh ssteh nas navede tud na sklep o nvarantnost sl glede na spreebo nercalnega opazovalnega sstea. V zvez s te oeno še Gallejevo načelo, k prav, da ajo zakon klasčne fzke enako oblko v vseh nercalnh ssteh. In pa ne pozabo na Gallejeve transforacje, k r=, y, z v= v, v, v povezujejo koordnate krajevnega vektorja ( ) n koponente htrost ( y z) točkastega telesa zerjene v dveh razlčnh nercalnh opazovalnh ssteh S n S'. Predpostavo, da se koordnatne os n zhodšč obeh ssteov ob času t = pokrvajo, kjer so koordnatne os paroa vzporedne. Izhodšče koordnatnega sste S ' se gblje s konstantno htrostjo v glede na zhodšče koordnatnega sstea S. y S y' S' r r ' v ' z v t z' Gallejeve transforacje za koordnate: r = r ' + v t, (17) = ' + v t, (18) y= y ', (19) z= z '. () Če enačbe (17) () odvajao po času dobo: dr v= = v ' + v, (1) d ' v= = v + v, () dy ' vy= = vy, (3) dz ' vz= = vz. (4) 1
Newtonov zakon za sste točkasth teles V oblk F = F = a (enačba (1)), kjer je F F rezultanta vseh zunanjh sl, velja II. Newtonov zakon za točkasto telo. V nadaljevanju boo II. Newtonov zakon posplošl za sste točkasth teles. Pr te se orao najprej odločt, katera telesa štejeo k ssteu n katera k okolc. V skladu z zbro (defncjo) sstea defnrao tud zunanje n notranje sle. OKOLICA = y SISTEM zunanja sla r R T asno sredšče j notranja sla r j z Zapšo II. Newtonov zakon za -to točkasto aso v ssteu: j d r Fj+ F =, = 1,,... N, (5) kjer so F j notranje sle ed delc (n.pr. F 3 je sla. delca na 3. delec v ssteu), F je rezultanta vseh zunanj sl na -to točkasto aso v ssteu, N pa je števlo točkasth as (delcev) v ssteu. Seštejeo vse enačbe (5): j j d r1 Fj1+ F1 = 1, d t d r Fj + F =, d t d rn FjN + FN = N, j d r F + F = d t j, j j. (6) 11
Prv člen v enačb (6) je enak vsot vseh dvodelčnh sl( Fj + Fj ), k pa je enaka nč saj v skladu s III.. Newtonove zakono o akcj n reakcj velja: F + F =. (7) j j Enačbo (6) lahko tako zapšeo v oblk: d = r. (8) F Če defnrao krajevn vektor R do centra ase sstea (glejte še slko) v oblk: R = = r r, (9) kjer je = celotna asa sstea, lahko enačbo (8) zapšeo kot: d R F = d t. (3) Enačba (3), to je II. Newtonov zakon za sste točkasth teles, a enako oblko kot II. Newtonov zakon za eno sao točkasto telo. Razlka je, da v II. Newtonove zakonu za eno točkasto aso (enačba (1)) nastopa pospešek d r a=, kjer je r( t) krajevn vektor do točkaste ase, v II Newtonove zakonu za sste točkasth as (enačba (3)) pa nastopa pospešek asnega sredšča, k u pravo tud težšče (če je gravtacjsk pospešek po cele ssteu enak): a R d R = V zpeljav enačbe gbanja za sste točkasth teles (enačba (3)) nso nkjer predpostavl, da so razdalje ed delc, k sestavljajo sste konstantne. Od koder sled, da se na prer po eksplozj rakete asn center delcev eksplodrane rakete gblje v vakuuu po ste tru kot če raketa sploh ne b eksplodrala. (Razlaga: sle, k delujejo na delce ed eksplozjo so notranje sle n zato v enačb (3) ne nastopajo). (31) 1
Enačbo (3) enujeo tud zrek o gbanju težšča za sste točkasth as. Newtonov zakon za togo telo Enačbo za gbanje težšča sstea točkasth as (ozroa centra točkasth as) razšro na togo telo v katere so razdalje ed posaezn del telesa konstantne. V okvru kontnuuskega opsa lahko zato uvedeo gostoto togega telesa kot: d ρ ( r ) =, (3) dv d y r R T (težšče) z kjer je d nfntezalno ajhna asa dela togega telesa z voluno dv do katerega kaže krajevn vektor r. Za togo telo se zraz (9) za računanje lege težšča transforra v: r d r d rρ dv R= = = d ρdv, (33) kjer so v enačb (9) naredl naslednje transforacje: d r r. 13
Če je gostota togega telesa konstantna prede enačba (33) v zraz: r dv R= = dv r dv V, (34) kjer je V voluen togega telesa. Ob upoštevanju enačbe (31) prepšeo enačbo (3) v oblko: d vr d R F= ar= =, (35) kjer je v R htrost težšča togega telesa. Vdo, da a zakon gbanja za togo telo enako oblko kot ustrezen zakon gbanja za točkasto telo (enačba (1)). Enačbo (35) lahko predelao tud v oblko: d G F= kjer je, (36) G= v R, (37) gbalna kolčna togega telesa. Iz enačbe (36) sled: G F d t= G = G G = G, (38) G1 1 kjer je F sunek rezultante zunanjh sl, G 1 začetna gbalna kolčna togega telesa, G pa končna gbalna kolčna, to je gbalna kolčna po delovanju sunka sle F. Enačbo (38) enujeo zrek o sunku sle. Sunek sle lahko torej določo z ertvjo spreebe gbalne kolčne togega telesa (al sstea togh teles). Če je sunek rezultante zunanjh sl enak nč, se gbalna kolčna togega telesa al sstea togh teles ohranja: G=, ozroa G = G, (39) 1 14
kjer je G1= v1 začetna gbalna kolčna, G= v pa končna gbalna kolčna. Enačbo (39) enujeo tud zrek o ohrantv gbalne kolčne. Sunek sle, ozroa sla ne sprenja le htrost telesa, apak lahko telo tud deforra. Tako lahko na prer deforacjo vjačne vzet zkorsto za erjenje (določtev) sle teže, če poznao konstanto vzet k. sla F (raztezek) V ravnovesju velja: F+ g = F= g F[ N] g (sla teže) F= k zerjene točke [ ] Zgled: prost pad togega telesa v zraku Pr proste padu togega telesa v zraku poleg sle teže g na togo telo v nasprotn ser deluje še sla upora F u. Zapšo Newtonov zakon za gbanje togega telesa: g Fu = a, (4a) od koder sled pospešek togega telesa: F u a= g. (4b) Vdo, da je pr enak sl upora, k je odvsna od velkost, oblke n htrost telesa, pospešek a večj za večje ase telesa. 15
F u g Zgled: drsenja klade po klancu navzdol F n = noralna koponenta sle podlage = asa klade ϕ = nagb klanca F tr = sla trenja g = sla teže ϕ F n ϕ g F tr Zapšo Newtonov zakon za gbanje težšča togega telesa vzdolž klanca: g snϕ F = a, tr kjer je velkost pospeška težšča klade. Sla trenja ser pravokotno na površno klanca ( g cosϕ ) : (41a) F tr je sorazerna koponent sle teže v F = k g cosϕ, (41b) tr t kjer je k t koefcent trenja. Če združo enačb (41a) n (41b) dobo: g snϕ k g cosϕ= a, ozroa t ( snϕ cosϕ) a= g k t. (4) Klada začne drset po klancu navzdol le, če je nagb zadost velk. Mejn kot dobo z pogoja: ( ϕ ϕ ) a= = g sn k l cos, (43) kjer je k l koefcent lepenja. Iz enačbe (43) sled tgϕ = k l. (44) 16
Zgled: klada na zračn klop T 1 -T utež g Klada z aso 1 je z zelo lahko vrvco preko zelo lahkega vreten povezana z utežjo, k a aso. Ker je klada na zračn blazn zanearo slo trenja. Zapšo Newtonov zakon za gbanje togega telesa (enačba (35)) posebej za klado n posebej za utež: T= a, (45) 1 g T= a. (46) Iz enačb (45) n (46) sled za velkost pospeška utež: a= g ( + ) 1. (47) Zgled: neprožen trk dveh vozčkov na zračn blazn pred trko: v v 1 1 po trku: v s + 1 Če zanearo sunek zunanjh sl se pr neprožne trku dveh vozčkov (vozčka se spreta) ohranja skupna gbalna kolčna: v + v = + v, (48) ( ) 1 1 1 s kjer je v 1 htrost prvega vozčka pred trko, v htrost drugega vozčka pred trko, v s pa htrost sprjeth vozčkov po trku. Iz enačbe (48) lahko zračunao v s : 17
1v 1+ v v = s ( + ) 1. (49) Zgled: sla curka vode na ovro OVIRA v 1 d v Spreeba gbalne kolčne dela curka vode z aso d ob trku z ovro je enaka sunku sle ovre na aso d: F = d v d v, (48) 1 kjer je F sunek sle ovre na aso d, d v končna gbalna kolčna ase d po trku z ovro, d v 1 pa začetna gbalna kolčna pred trko z ovro. Iz enačbe (48) sled ( ) F = Φ v + v, (49) 1 kjer je d Φ =, (5) asn tok curka vode, k pada na ovro. Sla curka vode na ovro F je v skladu s tretj Newtonov zakono o akcj n reakcj nasprotno enaka sl ovre na curek vode F : ( ) F= F =Φ v + v. (51) 1 Če se voda od ovre ne b odbla n b le spolzela navzdol (torej v ) b bla sla curka na ovro anjša: F Φ v, (5) 1 18
kot v prej opsane preru. Zato ajo lopatce turbn v hdroelektrarnah značlno oblko, da se curek od lopatce odbje. vpadn curek vode lopatca (presek) Zgled: vozlo na reaktvn pogon (raketa) Predpostavo, da je raketa daleč stran od Zelje n drugh nebesnh teles, tako, da na gbanje rakete vplva le sla curkov plnov, k jh raketa zpušča. Defnrajo htrost rakete ( ) r v n htrost z rakete zhajajočh plnov ( p) (, y z) daleč stran od Zelje: y v v nercalne (nepospešene) ssteu v p v r y' v v p z' ' v r z V nercalne (nepospešene) ssteu zapšeo zrek o sunku sle za ajhno aso d z rakete zhajajočega plna: F d d d t= v v, (53) p r kjer je d v gbalno kolčno ase gorva d pred zhodo z rakete (torej začetna gbalna r kolčna), d vp pa gbalna kolčna zhajajočega uplnjenega gorva (torej končna gbalna kolčna), F d t pa ustrezen sunek sle na aso d. Iz enačbe (53) sled: ( ) p r F = Φ v + v, (54) 19
kjer je d Φ =, (55) d t asn tok plnov, k jh raketa zpušča. Po tretje Newtonove zakonu o akcj n reakcj je sla z rakete zhajajočh plnov na raketo (F) nasprotno enaka sl F, torej: F= F =Φ v (56) kjer je v= vp+ vr, (57) htrost zhajajočh plnov, k jo zer opazovalec v raket, to je v pospešene opazovalne ssteu (', y', z') (glejte še slko). Zapšo sedaj II. Newtonov zakon za gbanje težšča rakete v nercalne ssteu (, y, z): dv = Φ =, (58) F v d t kjer je dv a= pospešek rakete, = Φ t, (59) pa od časa odvsna asa rakete. Začetna asa rakete se nareč s časo zanjšuje zarad zhajajočh plnov. Če je asa gorva enaka p, pote v času p t =, (6) Φ raketa porab vso gorvo. Če združo enačb (58) n (59) dobo enačbo gbanja v oblk: dv Φ v= ( Φ t). (61) Dferencalno enačbo (61) rešo z ntegracjo: v v dv Φ = v, (6) ( Φ t ) kjer vzaeo, da je htrost ob času nč enaka nč. Izvršen ntegracj v enačb (6) na podajata reštev v oblk:
v = v ln Φ t. (63) Raketa doseže aksalno htrost ob času t, ko je porabljeno vso gorvo: v = v = v a Φ t Φ t 1 1. (64) Če hočeo pr dan as gorva p (enačba (6)) povečat aksalno končno htrost rakete orao naredt večstopenjsko raketo, kjer se asa rakete anjša tud tako, da raketa sprot odetava zpraznjene dele rezervoarja gorva n na ta načn doseže večje pospeške, k je pr F dan potsn sl obratno sorazerna z aso rakete ( a= ). 1