Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13

Περιεχόµενα Πρόλογος... 11 Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 1.1 Εισαγωγή...13 1.2 ειγµατοχώρος και γεγονότα...18 1.3 Τεχνικές απαρίθµησης...20 1.4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετικών ειδών σε αντίστοιχες οµάδες...22 1.5 Aπλές µεταθέσεις...23 1.6 Κυκλικές µεταθέσεις...23 1.7 ιατάξεις...25 1.8 Επαναληπτικές διατάξεις...27 1.9 Συνδυασµοί...29 1.10 Ορισµός της πιθανότητας...33 1.11 Ορισµός για πεπερασµένα σύνολα...33 1.12 Ορισµός µε βάση τη σταθερότητα των σχετικών συχνοτήτων σε αριθµήσιµα σύνολα...34 1.13 Μετροθεωρητικός ορισµός για µη αριθµήσιµα σύνολα...36 1.14 Yποκειµενική πιθανότητα...36 1.15 Πιθανότητα χώρος πιθανοτήτων...37 1.16 Παραδείγµατα χώρων πιθανοτήτων...38 1.16.1 Πεπερασµένος δειγµατοχώρος...38

6 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.16.2 Αριθµήσιµος δειγµατοχώρος...39 1.16.3 Ο δειγµατοχώρος είναι υποσύνολο του R...40 1.17 Βασικές ιδιότητες και σηµαντικά θεωρήµατα...43 1.18 Υπό συνθήκη (ή δεσµευµένη) πιθανότητα...52 1.19 Στατιστική ανεξαρτησία...62 1.20 Κανόνας της ολικής πιθανότητας...66 1.21 Το θεώρηµα Bayes...67 1.22 Ασκήσεις...72 Στοχαστικές (ή τυχαίες) µεταβλητές... 79 2.1 Εισαγωγή...79 2.2 ιακριτές Τ.Μ...81 2.3 Συναρτήσεις κατανοµών πιθανοτήτων διακριτών Τ.Μ....82 2.4 Συνεχείς συναρτήσεις κατανοµών πιθανοτήτων...86 2.5 Ιδιότητες των συναρτήσεων κατανοµής...90 2.6 Κύριες περιγραφικές παράµετροι κατανοµών µιας Τ.Μ....94 2.7 Ροπογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις...106 2.8 Η ανέλιξη (ή διαδικασία) Βeroulli...109 2.9 Κατανοµή (ή διαδικασία) ηµιτονοειδούς κυµατοµορφής...109 2.10 ιωνυµική κατανοµή...109 2.11 Πολυωνυµική κατανοµή...116 2.12 Γεωµετρική κατανοµή...119 2.13 Υπεργεωµετρική κατανοµή...123 2.14 Περιγραφικές παράµετροι της υπεργεωµετρικής κατανοµής...127 2.15 Σχέση υπεργεωµετρικής και διωνυµικής κατανοµής...129 2.16 Η οµοιόµορφη κατανοµή...135 2.17 Η κατανοµή Βήτα µε παραµέτρους α και β...136 2.18 Η κατανοµή Cauchy...136 2.19 Η εκθετική κατανοµή...137 2.20 Η κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους λ και ν...137 2.21 Η κατανοµή Poisso...138 2.22 Ιδιότητες της κατανοµής Poisso...143 2.23 Προσέγγιση της κατανοµής Poisso µε διωνυµική κατανοµή...147 2.24 Η κανονική κατανοµή...148

Περιεχόµενα 7 2.25 Προσέγγιση της κατανοµής Poisso µε κανονική κατανοµή...150 2.26 Τυπική κανονική συνάρτηση πιθανότητας...157 2.27 Προελεύσεις της απόκλισης (σύµφωνα µε ISO 3534-2)...166 2.28 Τυχαία απόκλιση (κοινή αιτία)...167 2.29 Προσδιορίσιµη (assigable) απόκλιση (ειδική αιτία)...168 2.30 Αποκλίσεις στα ηλεκτρονικά συστήµατα...168 2.30.1 Αιτίες...168 2.31 Μεταβλητές και χαρακτηριστικά γνωρίσµατα (ιδιότητες)...169 2.32 ειγµατοληψία και µέσες τιµές...169 2.33 Αξιοπιστία της διαδικασίας (process capability)...172 2.34 είκτες αποδοτικότητας της διαδικασίας...173 2.35 Η κατανοµή t (studet)...185 2.36 Συγκριτική παρουσίαση της κατανοµής Studet και άλλων κατανοµών...193 2.37 Η κατανοµή Weibull...195 2.38 Η κατανοµή Χ 2...202 2.39 Μερικές χρήσιµες ανισότητες...205 2.40 Ο νόµος των µεγάλων αριθµών...207 2.41 Το κεντρικό οριακό θεώρηµα...208 2.42 εσµευµένες κατανοµές...211 2.43 Ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές...212 2.44 Πολυδιάστατες µεταβλητές...216 2.45 Ασκήσεις...222 Συναρτήσεις τυχαίων µεταβλητών... 241 3.1 Συναρτήσεις µε µία τυχαία µεταβλητή...241 3.1.1 Συναρτήσεις µε περισσοτέρες από µία τυχαίες µεταβλητές...242 3.2 Θεωρία δειγµατοληψίας...245 3.3 ειγµατοληπτικά σφάλµατα...256 3.4 Μη δειγµατοληπτικά σφάλµατα...256 3.5 Θεωρία εκτιµήσεων...262 3.6 Σηµειακή εκτίµηση: η µέθοδος των ροπών...263 3.7 Σηµειακή εκτίµηση: η µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας...264

8 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3.8 Κατανοµή της δειγµατικής µέσης τιµής...269 3.9 Η έννοια του διαστήµατος εµπιστοσύνης...273 3.10 Εκτίµηση δίπλευρου διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη µέση τιµή πληθυσµού όταν είναι γνωστή η διασπορά του...274 3.11 Εκτίµηση δίπλευρου διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη µέση τιµή πληθυσµού όταν είναι άγνωστη η διασπορά του...276 3.12 Εκτίµηση µονόπλευρου διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη µέση τιµή πληθυσµού όταν είναι γνωστή η διασπορά του...278 3.12.1 Ασκήσεις...278 3.13 Ανάλυση παλινδρόµησης συσχέτισης...279 3.14 Ιδιότητες των εκτιµητριών της µεθόδου ελάχιστων τετραγώνων...287 3.15 Υπό συνθήκη διασπορά...288 3.16 Στατιστικός έλεγχος των εκτιµήτριων...295 3.17 Έλεγχος παραµέτρων...297 3.18 Έλεγχος µέσης πρόβλεψης...297 3.19 Έλεγχος ατοµικής πρόβλεψης...297 3.20 Μονόπλευρος ή δίπλευρος t-έλεγχος...298 3.21 Μονόπλευρος ή δίπλευρος F-έλεγχος...298 3.22 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων...299 3.23 ιαδικασία ελέγχου στατιστικών υποθέσεων...304 3.24 Έλεγχος του µέσου µ (παράµετρος) ενός πληθυσµού...305 3.25 Έλεγχος προσαρµοστικότητας...307 3.26 Η δοκιµασία Χ 2 για τον προσαρµοστικό έλεγχο...309 3.27 Εκτίµηση παραµέτρων γραµµικού µοντέλου πολλών µεταβλητών...312 3.28 Το άθροισµα τετραγώνων SST...316 3.28.1 Συνολικό άθροισµα τετραγώνων...316 3.28.2 Το άθροισµα τετραγώνων SSR...316 3.29 Κατανοµή των αθροισµάτων SSR, SSE, SST...317 3.30 Οι βαθµοί των πινάκων Α 1, Α 2, Α 3...318 3.31 Ο πίνακας Aova (Aalysis of variatio)...318 3.32 ιορθωτικός παράγοντας...319 3.33 Συντελεστής προσδιορισµού...320 3.34 ιορθωµένος συντελεστής προσδιορισµού...321 3.35 Έλεγχοι υποθέσεων πολλών µεταβλητών...321 3.36 Στατιστικός έλεγχος υπόθεσης για σχέσεις παραµέτρων...324 3.37 Έλεγχος πιθανότητας...326 3.38 Ασκήσεις...327

Περιεχόµενα 9 Π Παράρτηµα: Πίνακες Κατανοµών Πιθανότητας... 329 Poisso...333 Αθροιστική κατανοµή Poisso...334 Β Βιβλιογραφία... 335

2 Στοχαστικές (ή τυχαίες) µεταβλητές 109 2.8 Η ανέλιξη (ή διαδικασία) Βeroulli Μια τυχαία µεταβλητή θα λέγεται Τ.Μ. Beroulli 11, αν για p 0,1 η προσδοκώµενη τιµή [ ] 1 ( 1) 0 ( 0) E X = P X = + P X = = p (Η προσδοκώµενη τιµή µιας Τ.Μ. Beroulli είναι η πιθανότητα ότι η τιµή της είναι 1). Κάθε δοκιµή έχει δύο µόνο δυνατά αποτελέσµατα. Πιθανότητα πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου είναι σταθερή (ίδια για όλες τις δοκι- µές). Οι δοκιµές είναι στατιστικά ανεξάρτητες. 2.9 Κατανοµή (ή διαδικασία) ηµιτονοειδούς κυµατοµορφής Σε γενικές γραµµές, όταν ένα σήµα µε θόρυβο εφαρµόζεται σε ένα µη γραµµικό ενισχυτή, οι µη γραµµικότητες θα καταστείλουν είτε το σήµα είτε το θόρυβο. Η ιδιότητα αυτή χρησιµοποιείται όταν το σήµα εισόδου εφαρµόζεται σε γραµµικούς και µη γραµµικούς ενισχυτές και ένα κύκλωµα εξόδου διαµορφώνει τις διαφορές τους. Έχει βρεθεί ότι ένα τέτοιο κύκλωµα µπορεί να βελτιώσει σηµαντικά το λόγο σήµατος προς θόρυβο (S / N) από ένα σήµα εισόδου που περιέχει ισχυρό θόρυβο. Τέτοιου είδους προβλήµατα στηρίζονται στις κατανοµές ηµιτονοειδούς κυµατοµορφής για την οποία περισσότερες πληροφορίες µπορεί να αντληθούν στην εκτεταµένη βιβλιογραφία, ό- πως Daveport [21], σελ. 306. 2.10 ιωνυµική κατανοµή Ενδιαφερόµαστε για την απλούστερη µορφή πειραµατικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσµάτων χαρακτηρίζεται µόνο ως «επιτυχής» ή «ανεπιτυχής» (δοκιµές Beroulli). Ορίζουµε λοιπόν µία τυχαία µεταβλητή X που λαµβάνει µόνο δύο τιµές, µία για κάθε δυνατή έκβαση του πειράµατος. Αν για παράδειγµα ορίσουµε τη µεταβλητή X που εκφράζει µια δοκιµή Beroulli όπου 11 James Beroulli, Ελβετός µαθηµατικός

110 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ X 1, επιτυχής = 0, ανεπιτυχής Η διακριτή συνάρτηση µάζας πιθανότητας δίνεται από την p X ( x) p, x= 1 = 1 p, x = 0 όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας. Η Μ.Τ. αυτής της τυχαίας µεταβλητής είναι [ ] ( 1) ( 0)( 1 ) E X = p+ p = p 2 2 και ( ) = ( 1 ) + ( 0 ) ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 + ) = ( 1 ) Var X p p p p p p p p p p Η συγκεκριµένη επιλογή τιµών για τη X οδηγεί σε Μ.Τ. ίση µε την πιθανότητα επιτυχίας έκβασης του πειράµατος. Σε µία ακολουθία επαναλαµβανόµενων δοκιµών όπου οι επαναλήψεις του πειράµατος είναι στατιστικά ανεξάρτητες ανά δύο κάθε µία έχει διττή έκβαση (επιτυχή ή ανεπιτυχή) η πιθανότητα επιτυχίας παραµένει η ίδια για κάθε επανάληψη του πειράµατος διακρίνουµε τα χαρακτηριστικά της κατανοµής Beroulli. Η πιθανότητα ανεπιτυχούς έκβασης ενός πειράµατος σε µια ακολουθία Beroulli συµβολίζεται στο εξής µε q. Προφανώς q= 1 p. Παράδειγµα 2.15 Σε µια ακολουθία τριών δοκιµών Beroulli, η ύπαρξη µιας επιτυχίας και δύο αποτυχιών µπορεί να συµβεί µε έναν από τους ακόλουθους τρόπους 1 η οκιµή X 1 2 η οκιµή X 2 3 η οκιµή X 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Έτσι, η πιθανότητα να συµβεί την πρώτη φορά επιτυχία θα είναι P (επιτυχία στην πρώτη δοκιµή)= 2 (( 1 1) ( 2 0) ( 3 0) ) (( 1 1) ( 2 0) ( 3 0) ) = P X = X = X = = P X = P X = P X = = pqq = pq

2 Στοχαστικές (ή τυχαίες) µεταβλητές 111 Αντίστοιχα προκύπτει ότι P (επιτυχία στη δεύτερη δοκιµή)= qpq = pq P (επιτυχία στην τρίτη δοκιµή)= qqp = pq 2 Αν στην ακολουθία των τριών δοκιµών οριστεί η Τ.Μ. Y του πλήθους επιτυχιών, αυτή θα παίρνει τιµές 0, 1, 2 ή 3. Έτσι, η πιθανότητα P µιας µόνο επιτυχίας σε τρεις δοκιµές είναι PY=1 ( ) = P( ( επιτυχία στην α δοκιµή) ( επιτυχία στην β δοκιµή) ( επιτυχία στην γ δοκιµή) ) 2 (( επιτυχία στην α δοκιµή) ( επιτυχία στην β δοκιµή) ( επιτυχία στην γ δοκιµή) ) = P + P + P 2 = 3pq Η κατανοµή Beroulli ή ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους p, R, p+ q= 1 και Z. Η Σ.Π.Π. είναι σ.π.π. διωνυµικής κατανοµής 0,35 0,3 0,25 πιθανότητα 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 αριθµός επιτυχιών Σχήµα 2.8

112 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ α.σ.κ. ιωνυµικής Κατανοµής, =8, p=0,6 πιθανότητα 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 αριθµός επιτυχιών Σχήµα 2.8 (συνέχεια) f k = P Y = k = p q k k k ( ) ( ) ( k είναι η τιµή της διακριτής Τ.Μ. Y ). Προφανώς, η Α.Σ.Κ. είναι Σηµείωση 2.13 Αν θεωρήσουµε ότι k k F ( k) = P( Y k) = p q j= 0 j j j =, τότε η προηγούµενη σχέση γίνεται F ( ) = P( Y ) = p q j= 0 j j j που είναι το ανάπτυγµα του διώνυµου του Newto, δηλαδή Παράδειγµα 2.16 ( ) = ( + ) = 1 F p q Σε µια διαδικασία Beroulli η πιθανότητα επιτυχίας είναι 0,20. Να βρεθεί ο αριθµός των ανεξάρτητων δοκιµών που πρέπει να εκτελεστούν, ώστε η πιθανότητα µιας τουλάχιστον επιτυχίας να είναι µεγαλύτερη ή ίση του 0,5.

2 Στοχαστικές (ή τυχαίες) µεταβλητές 113 Η Τ.Μ. X εκφράζει τον αριθµό των επιτυχιών. Ζητείται η τιµή του, ώστε P( X 1) 0,5. Η πιθανότητα του συµβάντος X 1 προκύπτει, αν αθροίσουµε τις τιµές της Σ.Π.Π., που είναι f xp = pq x x x ( ) Γιατί το συµβάν X 1 πραγµατοποιείται, όταν συµβεί ένα από τα συµβάντα x = 1, x = 2,..., x=,... Άρα x x ( 1) 0,2 0,8 1 0,2 0 = = 0,8 = 1 ( 0,8) P X Άσκηση 2.1 x= 1 x 0 1 8 5 8 5 1 ( 0,8) log log 2 10 10 10 10 [ ] 0,90309 1 0, 69897 1 3,106 = 4 Ένα σύστηµα επιθεώρησης ποιοτικού ελέγχου απαιτεί ότι, από την ηµερήσια παραγωγή µιας γραµµής παραγωγής, ένα δείγµα 10 παραγόµενων προϊόντων επιλέγεται και ελέγχεται. Αν 2 ή περισσότερα στοιχεία του δείγµατος είναι ελαττωµατικά, ολόκληρη η ηµερήσια παραγωγή καταστρέφεται. Αν η πιθανότητα να παραχθεί ένα ελαττωµατικό αντικείµενο είναι 0,05, ποια είναι η πιθανότητα απόρριψης ολόκληρης της ηµερήσιας παραγωγής; (Θέµα εξέτασης Σεπτεµβρίου 2001) Αντιπαράδειγµα 2.1 Μια µηχανή κατασκευάζει 120 πηνία ανά ώρα. Από αυτά 5% δεν ανταποκρίνονται στο πρότυπο της εταιρείας. Ποια η πιθανότητα να βρεθούν 3 ελαττωµατικά πηνία σε έλεγχο τυχαία επιλεγµένου δείγµατος 6 πηνίων;

114 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αν χρησιµοποιηθεί η κατανοµή Beroulli, η πιθανότητα στο δείγµα των 6 να υπάρχουν 3 µη αποδεκτά πηνία θα είναι 120 0,05 3 0,95 3 0,86 P = = 6 Το αποτέλεσµα δεν είναι σωστό, διότι στο σύνολο των 120 πηνίων υπάρχουν µόλις 6 µη αποδεκτά. ύσκολα κανείς περιµένει ότι σε τυχαία επιλογή 6 πηνίων θα είναι σχεδόν βέβαιο ( P = 0,86) ότι θα επιλέγονται τόσα πολλά µη αποδεκτά πηνία. Προφανώς το λάθος βρίσκεται στο ότι, όταν επιλεγεί ένα πηνίο, η επόµενη επιλογή θα γίνει από πληθυσµό µε 119 πηνία. Έτσι, δεν ισχύει η στατιστική ανεξαρτησία των δοκιµών, που είναι µία από τις τρεις απαραίτητες προϋποθέσεις για την κατανοµή Beroulli. Η ορθή απάντηση βρίσκεται ως εξής: Το σύνολο των δυνατών εξάδων που είναι δυνατό να επιλεγούν ως δείγµα σε διάρκεια µίας ώρας είναι ( 120 6 ). Επειδή είναι γνωστό ότι το 5% αυτών είναι µη αποδεκτά, απο- µένουν 114 πηνία προς χρήση. Άρα, οι τριάδες που έχουν τρία ακριβώς παραδεκτά πηνία είναι δυνατό να επιλεγούν µε ( 114 3 ) τρόπους. Οι τριάδες µε τα τρία µη παραδεκτά είναι ( 6 3 ). Το σύνολο των επιτυχών περιπτώσεων είναι το γινόµενο ( 6 )( 114 3 3 ). Έτσι, η πιθανότητα υπολογίζεται να είναι P = 0,0013. Παράδειγµα 2.17 υο ισοδύναµοι παίκτες παίζουν σκάκι. Α) Ποιο είναι το πιο πιθανό να κερδίσει κάποιος τα 3 παιχνίδια από τα 4 ή τα 5 από τα 8 ; Β) Να κερδίσει τουλάχιστον τα 3 από τα 4 ή τουλάχιστον τα 5 από τα 8 ; Ξέρουµε πως οι δυο παίκτες είναι ισοδύνα- µοι, άρα η πιθανότητα νίκης και η ήττας είναι ίδια. 1 p= q= 2 Η πιθανότητα νίκης στις 3 από τις 4 παρτίδες είναι P ( 3 ακριβώς στις 4 παρτίδες) 4! 1 1 = = 3! 16 4

2 Στοχαστικές (ή τυχαίες) µεταβλητές 115 Η πιθανότητα νίκης στις 5 από τις 8 παρτίδες είναι P ( 5 ακριβώς στις 8 παρτίδες) 8! 1 7 = 5! = 256 32 3! Άρα, η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος τις 3 από τις 4 είναι µεγαλύτερη. Η πιθανότητα νίκης τουλάχιστον στις 3 από τις 4 παρτίδες είναι 1 1 5 P( τουλάχιστον 3 στις 4 παρτίδες) = P( 3 στις 4) + P( 4 στις 4) = + = 4 16 16 Η πιθανότητα νίκης στις 5 από τις 8 παρτίδες είναι P ( τουλάχιστον 5 στις 8 παρτίδες) = P( 5 στις 8) P( 6 στις 8) P( 7 στις 8) P( 8 στις 8) = + + + = 7 1 93 = + ( 28 + 8 + 1) = 32 256 256 Επειδή 93 > 256 16 5, η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος τουλάχιστον τις 5 από τις 8 παρτίδες είναι µεγαλύτερη. Άσκηση 2.2 Σε επαναλαµβανόµενο τυχερό παιχνίδι παίζουµε το ποσό a κάθε φορά. Η πιθανότητα να κερδίσουµε το ίδιο ποσό είναι 0,46 και η πιθανότητα να χάσουµε είναι 0,54. Ποια η πιθανότητα σε = 25 παιχνίδια να έχουµε χάσει τουλάχιστον 15a ; Πού τείνει η παραπάνω πιθανότητα, όταν ; Για να χάσει κανείς 15a, σηµαίνει ότι στις 25 δοκιµές έχασε τις 20 και κέρδισε τις 5. Η κατανοµή έχει τα χαρακτηριστικά της διωνυµικής και έτσι 25 20 5 P( 20 επιτυχιών / 25 δοκιµές) = ( 0,54 )( 0, 46 ) = 0, 00486 20

116 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Επειδή ζητούµε την πιθανότητα να χάσει τουλάχιστον 15a, θα υπολογιστούν αντίστοιχα και οι περιπτώσεις να χάσει 21, 22, 23, 24 και 25 παιχνίδια. Τελικά η ζητούµενη πιθανότητα είναι P ( τουλάχιστον 20 επιτυχιών / 25 δοκιµές) = 0, 006563 Σε δοκιµές θα πρέπει να χάσει x φορές και να κερδίσει y φορές, ώστε x + y = 2.11 Πολυωνυµική κατανοµή Στη θεωρία των πιθανοτήτων η πολυωνυµική κατανοµή είναι µια γενίκευση της διωνυµικής κατανοµής. Η διωνυµική κατανοµή είναι η κατανοµή πιθανότητας των αριθ- µών των «επιτυχιών» σε ανεξάρτητες δοκιµές Beroulli, µε την ίδια πιθανότητα «επιτυχίας» σε κάθε δοκιµή. Έστω τώρα τα γεγονότα A1, A2,..., A, τα οποία µπορούν να πραγµατοποιηθούν σε µια δοκιµή µε αντίστοιχες πιθανότητες p1, p2,..., p, όπου p1 + p2 +... + p = 1. Αν οι τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2... X µε X1 + X2 +... + X = N παριστάνουν αντίστοιχα το πόσες φορές πραγµατοποιήθηκε το καθένα από τα A1, A2,..., A σε N δοκιµές, τότε η κοινή συνάρτηση πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X1, X2... X είναι η εξής: N x1 x2 x P( X1 = x1, X2 = x2,..., X = x) = p1 p2... p = x1, x2,..., x N! N! p p p p όπου x i θετικός ακέραιος µε i i= 1 x1 x2 x = 1 2... = x1! x2!... x! i= 1 x i! i= 1 x = N και 0 p i 1. Η παραπάνω συνάρτηση πιθανότητας ονοµάζεται πολυωνυµική κατανοµή, καθότι το δεξιό µέλος της προκύπτει από την πολυωνυµική σειρά ως ο γενικός όρος της. N p1 + p2 +... + p = p1, p2... p x1, x2,..., x x1, x2,..., x N x1 x2 ( ) x xi i

2 Στοχαστικές (ή τυχαίες) µεταβλητές 117 Η µαθηµατική προσδοκία ή Μ.Τ. (expected value) δίνεται από τον τύπο [ ] E X i = Np Η µεταβλητότητα (variace) δίνεται από τον τύπο [ X ] = Np ( p ) var 1 i i i Η συνδιακύµανση (covariace) δίνεται από τον τύπο cov X, X = Np p i j i j Ο συντελεστής συσχέτισης (correlatio coefficiet) δίνεται από τον τύπο i p ij = pp i ( 1 pi)( 1 pj) j Εφαρµογή 2.1 1) Ρίχνουµε ένα ζάρι 6 φορές. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να έρθουν: Λύση α) 3 άσοι, 2 δυάρια, 1 τριάρι. β) όλα τα δυνατά αποτελέσµατα από 1 φορά. α) Έχουµε τα γεγονότα: A 1: «να έρθει άσος» A 2 : «να έρθει δύο» A 3 : «να έρθει τρία» Έστω τώρα οι τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2, X 3 µε X1 + X2 + X36 = οι οποίες παριστάνουν αντίστοιχα το πόσες φορές θέλουµε να πραγµατοποιηθεί το καθένα από τα A 1, A 2, A 3 στις 6 ρίψεις. Το κάθε γεγονός έχει πιθανότητα πραγµατοποίησης ίση, οπότε σύµφωνα µε την πολυωνυµική κατανοµή η ζητούµενη πιθανότητα είναι µε 1 6 3 2 1 6! 1 1 1 60 P( X1 = 3, X2 = 2, X3 = 1) = = = 0, 001286 3!2!1! 6 6 6 46.656

118 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ β) Οµοίως, σύµφωνα µε την πολυωνυµική κατανοµή, η ζητούµενη πιθανότητα είναι Εφαρµογή 2.2 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1) P X = X = X = X = X = X = = 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 6! 1 1 1 1 1 1 720 = = = 0, 015432 1!1!1!1!1! 6 6 6 6 6 6 46.656 Ένα κουτί περιέχει ένα πολύ µεγάλο πλήθος κόκκινων, άσπρων, µπλε και κίτρινων σφαιρών σε αναλογία 4:3:2:1. Υπολογίστε την πιθανότητα να τραβήξουµε σε 10 τραβήγµατα α) 4 κόκκινες, 3 άσπρες, 2 µπλε και 1 κίτρινη και β) 8 κόκκινες και 2 κίτρινες σφαίρες. Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι: P ( κόκκινη σε 1 τράβηγµα) = 0,4 P ( άσπρη σε 1 τράβηγµα) = 0,3 P ( µπλε σε 1 τράβηγµα) = 0,2 P ( κίτρινη σε 1 τράβηγµα) = 0,1 α) Έστω τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2, X 3, X 4, οι οποίες παριστάνουν αντίστοιχα το πόσες φορές θέλουµε να επιλέξουµε την κάθε µπάλα. Άρα, σύµφωνα µε την πολυωνυµική κατανοµή θα έχουµε ότι 10! 4 3 2 1 P( X1 = 4, X2 = 3, X3 = 2, X4 = 1) = 0,4 0,3 0,2 0,1 = 0,03483 4!3!2!1! β) Οµοίως προκύπτει ότι 10! 8 0 0 2 P( X1 = 8, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 2) = 0,4 0,3 0,2 0,1 = 0,0002949 8!0!0!2!