5 Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,,τότε : ( ) : Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε,στη δύναμη f: με f () η οποία στην περίπτωση που είναι 0<,λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α Αν είναι α=,τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f (),ορίζουμε την συνάρτηση : -7-6 - - 5 4 4 5 6 7 Κάθε συνάρτηση της μορφής f () με α>, αποδεικνύεται ότι: - Έχει πεδίο ορισμού το - Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών Είναι γνησίως αύξουσα στο Δηλαδή για κάθε,, ισχύει :,τότε αν Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα ý στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των Κάθε συνάρτηση της μορφής 0<α<, αποδεικνύεται ότι : f () με 5 Έχει πεδίο ορισμού το Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών Είναι γνησίως φθίνουσα στο Δηλαδή για κάθε,, ισχύει :, τότε αν -7-6 - - 4 - - 4 5 6 7 Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ý στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ []
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 5 4 Παρατήρηση : Για τις συναρτήσεις f () και -7-6 - - - - 4 5 6 7 g() παρατηρούμε ότι για κάθε ισχύει : g() f ( ) Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα ý 5 Παρατήρηση : 4 Η γραφική παράσταση της e είναι : -7-6 - - 4 5 6 7 - - O αριθμός e Ισχύει : e = lim v + + v v Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e=,788 Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής ct Η εκθετική συνάρτηση Q(t) Q0 e, με βάση το e, γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής, εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t Το Q0 είναι η αρχική τιμή του Q (για t=0) και είναι Q0 0,ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή Αν c > 0, η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c < 0, η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ []
Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α) Έστω φ() μια παράσταση του και 0 < α Τότε η εξίσωση: α φ() = β έχει λύση μόνο αν β > 0 Προσπαθώντας να γράψουμε β = α γ, παίρνουμε: α φ() = β α φ() = α γ φ() = γ β) Εξισώσεις της μορφής: λα + μα + ν = 0 λύνονται με την αντικατάσταση α =, όπου πραγματικός Με την αντικατάσταση αυτή η εξίσωση γίνεται: λ + μ + ν = 0 η οποία λύνεται κατά τα γνωστά γ) Εξισώσεις της μορφής: λα + μβ + νγ = 0, με β = αγ λύνονται ως εξής: Διαιρούμε με γ και παίρνουμε: και θέτουμε α γ, όπου > 0 α α λ μ ν 0 γ γ Τονίζουμε ότι η εμφάνιση δυνάμεων με διαφορετική βάση μαρτυράει και τον τρόπο λύσης της εξίσωσης δ) Οι λύσεις εξισώσεων της μορφής: [α()] φ() = αναζητούνται στη λύση των επιμέρους εξισώσεων: ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ []
α() = Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές, αρκεί να ορίζονται τα α() και φ() φ() = 0 Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση (Αρκεί να είναι α() 0) α() = Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση (Αρκεί ο φ() να είναι άρτιος) ε) Η λύση της εξίσωσης: [α()] φ() = [α()] ω() (δεν είναι εκθετική με την αυστηρή έννοια) ανάγεται στη λύση των εξισώσεων: α() = Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές α() = Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση (Αρκεί οι εκθέτες φ() και ω() να είναι συγχρόνως άρτιοι ή συγχρόνως περιττοί) φ() = ω() Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση (Να μην προκύψει η μορφή 0 0 ) α() = 0 Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση (Αρκεί να μην είναι φ() 0 ή ω() 0) Σχόλιο φ() Η εξίσωση α() α() ω() είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: ω() φ() ω() ω() φ() ω() α() α() 0 α() 0 Þ α() οι οποίες λύνονται με τον τρόπο που προηγήθηκε Παραδείγματα σε όλες τις κατηγορίες ασκήσεων θα παρουσιαστούν στα θέματα που ακολουθούν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ α) Οι εκθετικές ανισώσεις λύνονται ανάλογα Επισημαίνουμε ωστόσο ότι: ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [4]
φ() ω() φ() ω(), αν α α α φ() ω(), αν 0 α Έτσι, η βάση είναι πολύ σημαντική παράμετρος για τον τρόπο λύσης της ανίσωσης β) Σε ορισμένες περιπτώσεις εισάγουμε βοηθητικό άγνωστο και παραγοντοποιούμε Η χρήση πίνακα είναι σ αυτές τις περιπτώσεις μεγάλης σημασίας Τονίζουμε ότι παραστάσεις της μορφής α φ() + θ, με θ > 0, είναι πάντα θετικές ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα εκθετικά συστήματα λύνονται: Με τη βοήθεια των παραπάνω παρατηρήσεων που ισχύουν για τις εξισώσεις Με εισαγωγή βοηθητικών αγνώστων και μετατροπή τους σε αλγεβρικά συστήματα Με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση κάποιων εξισώσεών τους ή ακόμα με πρόσθεση ή αφαίρεση ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑ Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αναφοράς τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()=5, και g()= 5 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) f () 5 g() 5 i () 5 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f β) f γ) f δ) f e ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [5]
4 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: ι) f()= ιι) g()=( +5+) 5 Αν f (),να βρεθούν οι τιμές του α ώστε : ιιι) h()= i) να ορίζεται η f να είναι γνησίως φθίνουσα i να είναι σταθερή στο 6 Δίνεται η εκθετική συνάρτηση: f() = ( + α) i) Να βρείτε τις τιμές του α i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f() Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(, 4) Ποια είναι η μονοτονία της f στην περίπτωση αυτή; 7 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 5 9 iν) 7 ν ) 7 4 6 4 5 4 5 4 ν) νi i) 8 9 i 5 65 νi) 8 i) 4 7 9 84 8 54 8 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + - + + + =48 5 8 5 i 0 iv) 45 7 9 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 9 5 0 i 4 0 0 Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 i) 7 5 5 5 5 6 iν) e e e + - = + + e i 4 5 65 iv) 5 - - 75 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [6]
Να λυθεί η εξίσωση : 4 Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : 5 4 Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 8 4 8 0 4 iv) 4 8 0 ν) 6 6 i 8 5 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 7 6 i) 4 4 i 4 8 6 iv) 6 4 0 9 6 Να λύσετε τις ανισώσεις: i) (e + )(e ) > 0 4 8 0 7 Να λυθούν τα συστήματα: 4 8 i) 55 5 5 i iv) 4 9 4 4 7 8 Να λυθεί το σύστημα : 5 5 4 4 8 8 Β ΟΜΑΔΑ 9 a Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε ότι f()> R* _ a 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να βρεθούν οι τιμές του α αν a γνωρίζουμε ότι f()> * R λ - λ - Δίνεται η συνάρτηση f() = λ + 6 Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις οποίες: i)η f() είναι σταθερή, η f() είναι εκθετική συνάρτηση, iη f() είναι γνησίως αύξουσα, ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [7]
iv)η f() είναι γνησίως φθίνουσα, v)ισχύει f() = 8 Δίνεται η εκθετική συνάρτηση: i) Να βρείτε τις τιμές του λ i iv) λ f () λ Για ποιες τιμές του λ η f() είναι γνησίως αύξουσα; Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα Αν λ =, να λύσετε την ανίσωση: λ f ( ) λ Δίνονται οι συναρτήσεις f()= e e e e Να δειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και ότι f ()-g ()=, για κάθε R Επίσης να δείξετε ότι: f(α+β)=f(α)f(β)+g(α)g(β) g(α-β)=g(α)f(β)-g(β)f(α) 4 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4 9 56 9 +6 =4 και g()= i 4 4 49 5 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 6 iv) i 6 Να λυθεί η εξίσωση : 7 Να λυθεί η εξίσωση : 8 6 44 9 8 Να λυθεί η εξίσωση:4 +9 =56 9 Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 9 9 9 0 9 0 i + - + - +4 <5 + + iv) 8 +8-7 0 0 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f()= ( e )( 4)( ) ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [8]
Δίνεται η συνάρτηση f() = e + Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, e e 0, για κάθε R Να λυθούν τα συστήματα: 4 45 i) 4 i Να λυθεί το σύστημα : 5 4 7 5 604 4 Να λυθεί το σύστημα : 4 77 7 5 Να λυθεί το σύστημα : 9 5 7 457 6 5 4 890 6 Να λυθεί το σύστημα : 5 5 7 4 Να λυθεί το σύστημα : 9 8 Ένας βιολόγος μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδους βακτηριδίων παρατηρεί ότι: α) ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400 β) 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 00 Αν ο τύπος που δίνει το αριθμό των βακτηριδίων σε t ώρες δίνεται από τη σχέση P(t) kt o, όπου Ρ 0 το αρχικό πλήθος των βακτηριδίων και k σταθερά που εξαρτάται από το είδος των βακτηριδίων τότε: i) Να βρείτε τη σταθερά k Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων i Σε πόσα λεπτά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί; ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [9]
9 Σ ένα ασθενή με υψηλό πυρετό χορηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακο Η θερμοκρασία (πυρετός) Θ(t) του ασθενούς t ώρες μετά την λήψη του φαρμάκου δίνεται από τον τύπο Θ( t) Κελσίου 64 t σε βαθμούς i) Να βρείτε πόσο πυρετό είχε ο ασθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμακο Να βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα πάρει την φυσιολογική τιμή των 6,5 C i Αν η επίδραση του αντιπυρετικού διαρκεί 4 ώρες πόση θα είναι η θερμοκρασία του ασθενούς μόλις σταματήσει η επίδραση του φαρμάκου 40 Ο πληθυσμός μιας πόλης ήταν 5000 κάτοικοι το 990 και αυξάνει κατά % κάθε 0 χρόνια Αν η συνάρτηση που περιγράφει την ct αύξηση αυτή του πληθυσμού είναι P(t) P 0( r),όπου r το ποσοστό αύξησης του να βρεθεί ο πληθυσμός της πόλης το 00 4 Εστω Q(t) η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ), t έτη μετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν 00000 ευρώ, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής Αν είναι γνωστό ότι ισχύει at Q(t) = e, t 0 όπου α, β ΙR, τότε: i) να δείξετε ότι Q(t) = 4 t, t 0, να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με / 6 της αρχικής του τιμής, i να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το 9 της αρχικής του τιμής 4 α) Να λύσετε την εξίσωση: 4 5 4 5 f 4 5 και g 4 5 β) Δίνονται οι συναρτήσεις (Ιούνιος 00) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [0]
4 Δίνεται η γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ 4 β) Να λύσετε την ανίσωση: f 7 5 f 5 f 5 γ) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται A,9 από το σημείο δ) Αν, να λύσετε την εξίσωση f f g e e α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή συνάρτηση f g για κάθε 44 Δίνονται οι συναρτήσεις f e e και β) Να αποδείξετε ότι γ) Να αποδείξετε ότι g gfgf,, δ) Να λύσετε την εξίσωση f g 45 Δίνεται η συνάρτηση f 4 4 α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρείτε το ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο,9 γ) Αν,, να λύσετε την ανίσωση f f 5 6 δ) Αν 4, να λύσετε την ανίσωση f 9 56 0 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ []