ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, ( είναι y = λ(, ( ( όπου λ= lim ( (. Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. lim ( ( Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με (. Δηλαδή: ( ( ( = lim.
3. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Για έχουμε οπότε ( ( ( ( = (, ( ( lim[( ( ] = lim ( ( ( = lim lim( = ( =, αφού η είναι παραγωγίσιμη στο είναι συνεχής στο. ΣΧΟΛΙΟ. Επομένως, lim( = (, δηλαδή η Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, δεν ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο.
4. Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α; H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A. 5. Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β του πεδίου ορισμού της; Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α,. β 6. Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της; Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β και επιπλέον ισχύει ( ( α lim R + α α και 7. Έστω η σταθερή συνάρτηση = c ( ( β lim β β R. (, c R. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( =, δηλαδή (c =. Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: ( ( cc = δηλαδή ( c =. =. Επομένως, ( ( lim =,
8. Έστω η συνάρτηση = (. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( =, δηλαδή ( = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: ( ( = =. Επομένως, lim ( ( lim = =, δηλαδή ( =. 9. Έστω η συνάρτηση ν = (, {,} R ν. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( = ν ν, δηλαδή ( = ν ν ν Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: ( ( ( ( + + + = + + + = = ν ν ν ν ν ν ν ν, οπότε lim( ( ( lim = + + + = + + + = ν ν ν ν ν ν ν ν, δηλαδή ( = ν ν ν.. Έστω η συνάρτηση = (. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, ( + και ισχύει ( =, δηλαδή ( = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, ( +, τότε για ισχύει:
, ( ( ( ( + = = = = ( ( + ( ( + + Οπότε ( ( lim = lim +, = δηλαδή. ( =. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση + g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( + g ( = ( + g ( Για, ισχύει: ( + g( ( + g( + g ( ( ( ( ( ( ( ( = g = Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g + ( + g( ( + g( ( ( g( g( lim = lim + lim = ( + g (, Δηλαδή + g ( = ( + g (. (. Έστω η συνάρτηση ( παραγωγίσιμη στο Πράγματι, για κάθε * R και ισχύει * R έχουμε: = ν, * ν N. Η συνάρτηση είναι ( = ν, δηλαδή ν ν ( = ν ν.
ν ν ν ν ( ( ν ( = ν ν = = = ν ν ( ν 3. Έστω η συνάρτήση ( = εφ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R = R { συν= } και ισχύει ( =, δηλαδή (εφ = συν Πράγματι, για κάθε R έχουμε:. συν ηµ (ηµ συν ηµ (συν συνσυν+ ηµ ηµ (εφ = = = συν συν συν συν + ηµ = =. συν συν 4. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g (, τότε η συνάρτηση g ( g ( = ( g( g ( είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο g (, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ( ( g( = ( g( g (. Δηλαδή, αν u= g(, τότε ( u = ( u u (. 5. Η συνάρτηση ( (, + και ισχύει = α, α RZ είναι παραγωγίσιμη στο ( = α, δηλαδή α α ( = α α
Πράγματι, αν Επομένως, y e α α ln = = και θέσουμε u α ln =, τότε έχουμε α y e e u e u u α ln α α = ( = = α = = α. y u = e. 6. Η συνάρτηση ( = α, α > είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( = α lnα, δηλαδή ( α = α lnα Πράγματι, αν Επομένως, ln y α e α = = και θέσουμε u= lnα, τότε έχουμε u u ln y = ( e = e u = e α lnα = α lnα. y u = e. 7. Η συνάρτηση ( = ln, ισχύει (ln = * R είναι παραγωγίσιμη στο * R και Πράγματι. αν >, τότε (ln = (ln =, ενώ αν <, τότε ln = ln(, οπότε, αν θέσουμε y= ln( και u=, έχουμε y= ln u. Επομένως, y = (ln u = u = ( = u και άρα (ln =. 8. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y= (, τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο ; Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y= (, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο (.
9. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β και ( α = ( β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β τέτοιο, ώστε: ( ξ = Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M ( ξ, ( ξ να είναι παράλληλη στον άξονα των. y Μ(ξ,(ξ Α(α,(α Β(β,(β O α ξ ξ β. Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ. Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β τέτοιο, ώστε: ( ξ = ( β ( α β α
Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M ( ξ, ( ξ να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. y M(ξ,(ξ A(a,(a Β(β,(β Ο a ξ ξ β. Να αποδείξετε ότι: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και ( = για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ( = (. Πράγματι Αν =, τότε προφανώς ( = (. Αν <, τότε στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ (, τέτοιο, ώστε ( ξ = ( (. ( Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ( ξ =,οπότε, λόγω της (, είναι ( = (. Αν <, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι. ( = (.Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι ( = (.. Να αποδείξετε ότι:έστω δυο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι, g είναι συνεχείς στο Δ και ( = g ( για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: ( = g( + c
Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( g ( = ( g ( =. Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει ( g( = c, οπότε ( = g( + c. y y=g(+c y=g( O 3. Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ. Αν ( > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν ( < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι ( >. Έστω, με <. Θα δείξουμε ότι ( < (. Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, ( ( υπάρχει ξ (, τέτοιο, ώστε ( ξ =, οπότε έχουμε ( ( = ( ξ ( Επειδή ( ξ > και >, έχουμε ( ( >, οπότε ( < (. Στην περίπτωση που είναι ( < εργαζόμαστε αναλόγως. ΣΧΟΛΙΟ
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική στο εσωτερικό του Δ. 4. Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο. Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ( ( ( δ, + δ. για κάθε A Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το ( τοπικό μέγιστο της. Μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχειδ >, τέτοιο ώστε ( ( ( δ, + δ., για κάθε A Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το ( τοπικό ελάχιστο της. 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat. ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ( = ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο y τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( ( δ, + δ και ( ( ( ( δ, + δ., για κάθε O δ +δ Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, ( ( ( ( ( = lim = lim. + αν ( δ,, τότε, λόγω της (, θα είναι έχουμε ( ( = ( lim αν (, + δ, τότε, λόγω της (, θα είναι έχουμε ( (, οπότε θα ( ( (, οπότε θα ( ( = ( lim + Έτσι, από τις ( και (3 έχουμε ( =. Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.. (3 ΣΧΟΛΙΟ:Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Επομένως, οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων
τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι:. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται.. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται. 3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ. 6. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής. i Αν ( > στο ( α, και ( < στο (, β, τότε το ( είναι τοπικό μέγιστο της. (Σχ. 35α ii Αν ( < στο ( α, και ( > στο (, β, τότε το ( είναι τοπικό ελάχιστο της. (Σχ. 35β iii Aν η ( διατηρεί πρόσημο στο ( α, (, β, τότε το ( δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο ( α, β. (Σχ. 35γ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Eπειδή ( > για κάθε ( α, και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, ]. Έτσι έχουμε ( (, για κάθε ( α, ]. ( Επειδή ( < για κάθε (, β και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β. Έτσι έχουμε: ( (, για κάθε [, β. (
y > < y > < 35a ( ( O a β O a β Επομένως, λόγω των ( και (, ισχύει: ( (, για κάθε ( α, β, που σημαίνει ότι το ( είναι μέγιστο της στο ( α, β και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ii Εργαζόμαστε αναλόγως. y y 35β < > < > O a β O a β iii Έστω ότι ( >, για κάθε ( α, (, β. y > y > 35γ > > O a β O a β Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ( α, ] και [, β. Επομένως, για < < ισχύει ( < ( < (. Άρα το ( δεν είναι τοπικό ακρότατο της. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β. Πράγματι, έστω, ( α, β με <.
Αν, ( α, ], επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, ], θα ισχύει ( < (. Αν, [, β, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [, β, θα ισχύει ( < (. Τέλος, αν < <, τότε όπως είδαμε ( < ( < (. Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει ( < (, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β. Ομοίως, αν ( < για κάθε ( α, (, β. 7. Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και Παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε προς τα κάτω; Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. 8. Πότε το σημείο Α(, ( ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της ; Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του. Αν η είναι κυρτή στο ( α, και κοίλη στο (, β, ή αντιστρόφως, και η C έχει εφαπτομένη στο σημείο A(, (,
τότε το σημείο A(, ( ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της. 9. Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ; Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim (, + lim ( είναι + ή, τότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της. 3. Πότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + (αντιστοίχως στο ; Αν lim ( =l (αντιστοίχως lim ( =l, τότε η ευθεία y=l λέγεται + οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + (αντιστοίχως στο. 3. Πότε η ευθεία y= λ+ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο+, (αντιστοίχως στο ; Η ευθεία y = λ+ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο+, αντιστοίχως στο, αν αντιστοίχως lim[ ( ( λ+ β ] =, + lim[ ( ( λ+ β ] =. 3. Να διατυπώσετε τους κανόνες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή
Αν lim ( =, lim g ( =, R {, + } και υπάρχει το (πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: ( lim g ( ( ( lim = lim. g( g ( ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή + + Αν lim ( =+, ( lim g ( lim g ( (πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: =+, R {, + } και υπάρχει το ( ( lim = lim. g( g (
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμες στο οι συναρτήσεις: α. β. γ., (= ηµ, > + 3+, (= 5, > ηµ, (=, = = = =. Αν η είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( = ( + 5 3.( είναι παραγωγίσιμη στο. 3. Αν η είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( = ( + 3.( είναι παραγωγίσιμη στο. 4. Αν για κάθε R ισχύει - + ( 3-5 + 4. α. Να αποδειχθεί ότι: (= β. Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρεθεί το (. 5. Αν για κάθε R ισχύει 3 ( + e Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρεθεί το (. 6. Δίνεται συνάρτηση : R R με ( ( α. Να αποδειχθεί ότι: (= β. Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρεθεί το (. 7. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο = και για κάθε R ισχύει ηµ ( ηµ + να βρείτε: α. Το (. β. Το (.
8. Δίνεται συνάρτηση : R R με είναι παραγωγίσιμη στο =. ( ηµ +5 3, R. Να δείξετε ότι η 9. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: R R με g (= και ( g(, R. Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο =.. Να βρείτε την παράγωγο της στο, όταν: α. ( + για κάθε R και =. β. γ. ( ηµ 4 για κάθε R και =, ( =. ( + για κάθε R και =.. Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο και για κάθε R, ισχύει 3 ( + ( = ηµ. Να αποδείξετε ότι ( =.. Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο και για κάθε 3 R, ισχύει ( ( + ( = ηµ. Να αποδείξετε ότι ( =. 3. Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση 3, ( = α + β, < είναι παραγωγίσιμη στο =. 4. Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση + ( = α + β, + 5, > είναι παραγωγίσιμη στο =. 5. Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση α ( = +, 3 +, < β είναι παραγωγίσιμη στο =. + 3, < 6. Αν (=, να βρείτε τα α, β Rέτσι, ώστε η να είναι α +β, παραγωγίσιμη στο =.
7. Για την συνάρτηση : R R ισχύουν (= και (=3. Να βρείτε τις τιμές των α, β R ώστε να είναι παραγωγίσιμη στο ή [ ] 3 (, < g( = aβ, ( 8. Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R και ισχύει lim = 4. Αν η + 3 είναι συνεχής στο, τότε να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. 9. Έστω, g συναρτήσεις ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: Η είναι παραγωγίσιμη στο. ( g( lim = 3 και lim = 4. Να βρείτε: α. την ( β. ( γ. το ( lim g(. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( = (. g( = (, > (, είναι παραγωγίσιμη στο με. Δίνεται η συνάρτηση : R R η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 3. (3, Αν g( = (5, > να αποδείξετε ότι (3 = και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο,. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, να υπολογίσετε τα όρια : ( h ( + 5 h h α. lim h β. ( h ( + 5 h lim h h ( h + ( + 5 h ( h γ. lim h
3. Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο α. α. Να δειχθεί ότι a lim a ( ( a =α (α-α(α a β. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο α, να βρεθεί το: g( a ( g( ( a lim a a 4. Για μια συνάρτηση ισχύει: 9 [(] + 8(= 4 για κάθε R και η είναι συνεχής στο =. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο =. 5. Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, < (= στο σημείο Α(, (., 6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Μ(, ( όταν: + ( 3 5+6 για κάθε R. 7. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: α. (=3εφ σφ β. (=ln γ. (=t e ημ + δ. (= ζ. (= ηµ + ηµ ε. (= ln ηµt e η. (= στ. (= ηµ θ. (= 3 συν ln 8. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο : α. (= 3, =4 β. (=4ln +, = + γ. (=e ημ, = δ. 3 (= ln, =
9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α. +, < (= συν, β. 3 g(=, 4, > 3. Δίνεται η συνάρτηση, < (= ln, α. Να βρείτε την. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α(-, (- 3. Αν μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: (4 = και α. Να βρεθεί ο τύπος της. ( ( = ( για κάθε R, τότε: β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε της C, που είναι παράλληλη στην ευθεία δ: y= +8. 3. Να βρείτε πολυώνυμο P(, ώστε να είναι ( για κάθε R. = e P( e ( 33. Να βρείτε την πολυωνυμική συνάρτηση αν ( ( = ( για κάθε R και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(,. 34. Να βρείτε πολυώνυμο P( με P( = 4 για το οποίο ισχύει: ( 8P( = P ( P (, για κάθε R. a + β, 35. Δίνεται η συνάρτηση (=. Να βρείτε τις τιμές των α, β, 3 + γ, > γ R για τις οποίες η γραφική της παράσταση έχει στο σημείο Α(, ( εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία: ε: -8+y+8=. 36. Έστω ( = 5. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένη της C που διέρχεται από το σημείο Α(5,-4. 37. Αν ( το σημείο Α(,-6. 3 =, να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένη της C που διέρχεται από
38. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: α.(=( 3 +3 4 β. (= + + γ. (= +σφ 3 δ.(=ln(3 + 4 9 + ε. (=ηµ(4+5 ζ.(=συν(5+8 5 η. (=e + 4 θ. (= + e ι. (=ln( + + 5 39. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης: α. g( =ημ ( β. g(=(e συν γ. g(=( (+(+3 3. 4. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + R τέτοια ώστε: (+( = 3ln +4, για κάθε >. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Α(,(. 4. Δίνεται η άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R και η συνάρτηση g : R R έτσι ώστε: g(= +.(+3. Να δείξετε ότι g ( = 3. 4 4. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R είναι παραγωγίσιμη και έχει την 3 3 ιδιότητα: ( + +=7 για κάθε R. Να βρείτε: α. την παράγωγο της στο = 3. β. Την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α(3, (3. 43. Έστω μια συνάρτηση : R R παραγωγίσιμη για την οποία υποθέτουμε ότι: (e = e, για κάθε R. α. Να βρείτε την (. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Α(,(. 44. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει: (ln = ln-, >. α. Να αποδείξετε ότι η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C, στο σημείο με τετμημένη. γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου, το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C στο σημείο της με τετμημένη = και τους άξονες και y y. 45. Έστω μια συνάρτηση : R R παραγωγίσιμη για την οποία υποθέτουμε ότι: (µ-=(µ++, R. α. Να βρείτε τον αριθμό (µ. β. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο Α(μ, (μ είναι κάθετη στην ευθεία δ: y= +8.
46. Μια πολυωνυμική συνάρτηση έχει την ιδιότητα: ( = ( 3+, R. Να βρείτε: e e α. Τον βαθμό της. β. Την συνάρτηση. 47. Έστω η συνάρτηση ( = e +, R. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση ορισμού της. β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η της οποίας να βρείτε το πεδίο είναι παραγωγίσιμη στο ( R, να βρείτε την ( (. π π 48. Έστω η συνάρτηση ( = ηµ, A =,. α. Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη να βρείτε την (. 49. Έστω η συνάρτηση 3 ( = e + +, R. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση ορισμού της. β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η την ( (. 5. Έστω η συνάρτηση της οποίας να βρείτε το πεδίο είναι παραγωγίσιμη στο ( R, να βρείτε 3 ( = + +. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση της οποίας να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της με τετμημένη = 3. 5. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln + =, έχει μοναδική ρίζα στο (,. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς (,, ώστε η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h( = + ln, > στο σημείο της με τετμημένη (,, να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5. Νερό ρέει σε κωνική δεξαμενή ακτίνας 6m και ύψους m με σταθερό ρυθμό m 3 /min. Πόσο γρήγορα ανέρχεται το επίπεδο του νερού, όταν το νερό έχει βάθος 8m; Πόσο γρήγορα αυξάνεται η ακτίνα του επιπέδου αυτού;
53. Μια σκάλα μήκους m είναι ακουμπισμένη σε ένα κάθετο τοίχο. Αν το κάτω μέρος της σκάλας γλιστρά από τον τοίχο με ρυθμό m/sec, όταν απέχει από τον τοίχο 6m, να βρεθεί πόσο γρήγορα γλιστρά το πάνω μέρος της σκάλας. 54. Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα m/sec, εντοπίζεται από παρατηρητή Α που απέχει 3m από το σημείο απογείωσης. Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο η γωνία στο Α και η απόσταση r του παρατηρητή από το αερόστατο μεταβάλλονται, όταν το αερόστατο βρίσκεται 4m από το έδαφος. 55. Ένα αερόστατο είναι m πάνω από το έδαφος και ανεβαίνει κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα 5m/sec. Ένα αυτοκίνητο περνά κάτω από το αερόστατο και προχωρά κατά μήκος ενός ίσιου δρόμου με σταθερή ταχύτητα 7 km/h. Πόσο γρήγορα αλλάζει η απόσταση μεταξύ τους ένα δευτερόλεπτο αργότερα; 56. Ένας άνθρωπος ύψους m περπατάει με ταχύτητα m/sec προς ένα στυλό της ΔΕΗ, με το φως στο πάνω άκρο του να βρίσκεται σε ύψος 8m από το έδαφος. α. Με τι ρυθμό αλλάζει μήκος η σκιά του; β. Με τι ρυθμό κινείται η κορυφή της σκιάς του; dλ 57. Η ευθεία ε στρέφεται γύρω από το Α(4, με ρυθμό = 5, όπου dt λ (, + ο συντελεστής διεύθυνσης της. Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες O, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΝ ως προς τη χρονική στιγμή που η ευθεία διέρχεται από το σημείο Β(5,4. 58. Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm 3 /sec. α. Να βρείτε τον ρυθμό αύξησης της επιφάνειας της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα της είναι ρ=5cm. β. Ποια είναι η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η επιφάνειά της αυξάνεται με ρυθμό cm /sec. 59. Ένας ποντικός βρίσκεται στην κορυφή μιας σκάλας ύψους 3m που είναι στερεωμένη πλάγια σε έναν τοίχο. Αν η βάση της σκάλας γλιστράει με ρυθμό 3m/sec, όταν είναι 5m από τον τοίχο, να βρεθεί ο ρυθμός που πέφτει ο ποντικός.
6. Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα 3m/sec εντοπίζεται από ένα αποστασιόμετρο σε ένα σημείο Α, που απέχει 6m από το σημείο απογείωσης Β. Βρείτε το ρυθμό με τον οποίο η γωνία Θ = ΒΑΜ ˆ και η απόσταση S=(ΑΜ (όπου Μ η θέση του αερόστατου μεταβάλλονται όταν το μπαλόνι βρίσκεται 6m πάνω από το έδαφος. 6. Έστω > και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, το οποίο έχει κορυφές τα σημεία Ο(,, Α(4, και Β(, -. Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε όταν = 9 cm. 6. Δίνεται η συνάρτηση ( =ln, > και το σημείο Μ(α,lnα, α >. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Μ. β. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; γ. Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα ψ ψ με σταθερή ταχύτητα υ = m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 63. Σημείο Μ κινείται στην παραβολή y =, > και ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης είναι 3cm/sec. α. Τη χρονική στιγμή που η απόσταση ΟΜ του σημείου από την αρχή των αξόνων είναι 68 cm, να βρείτε: i. Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης. ii. Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου που έχει τις δύο πλευρές του στους άξονες και διαγώνιο ΟΜ. iii. Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ= MO ˆ. β. Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ όταν οι ρυθμοί μεταβολής των συντεταγμένων του είναι ίσοι. 9 4+ 9, αν 64. Δίνεται η συνάρτηση ( =.Να εξετάσετε αν +, αν > εφαρμόζεται τα θ. Rolle στο διάστημα [, ] για τη συνάρτηση. 65. Δίνεται η συνάρτηση ( = ηµ, αν. Να βρείτε τις τιμές α, α +β, αν > β Rγια τις οποίες η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημα
[-π, ] και έπειτα να βρείτε όλα (-π, για τα οποία ισχύει ( =. 66. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο [,3] και (3 ( = ln3-ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,3, ώστε ( ξ =. ξ 67. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β και ( α ( β = α β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α, β τέτοιο, ώστε: ( =. 68. Δίνεται η συνάρτηση (=(3α β 4 +(3β α 3 α β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ(ξ,(ξ της C με ξ (, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο Μ να είναι παράλληλη στον άξονα. 69. Έστω η συνάρτηση (=( α μ ( β ν όπου α < β και μ, ν θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι υπάρχει, ένας, τουλάχιστον, (α, β τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της Μ(,( να είναι παράλληλη στον άξονα. 7. Δίνεται η συνάρτηση (=συν. Να δείξετε: π π α. η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημα,, π π β. η εξίσωση εφ= έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα, 7. Έστω δυο συναρτήσεις, g συνεχείς στο διάστημα [α, β], παραγωγίσιμες στο (α, β για τις οποίες ισχύουν: i g( στο [α, β] και g ( στο (α, β και ii (βg(α (αg(β= Να αποδείξετε ότι: α. Για τη συνάρτηση H(= ( εφαρμόζεται το θ. Rolle στο [α, β] g( '( ( β. υπάρχει ένας, τουλάχιστον, (α, β τέτοιος, ώστε: = g'( g( 7. Έστω μια συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα [, e] και παραγωγίσιμη στο (, e για την οποία ισχύει (e=+(. Να αποδείξετε ότι: α. Η συνάρτηση g(=( ln ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημα [, e]. β. Υπάρχει ένας, τουλάχιστον, (, e τέτοιος, ώστε ( =.
73. Δίνεται η συνάρτηση (=κ 3 +λ ++, R όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί με κ>λ και κ+λ< -. Να δείξετε ότι: α. Η εξίσωση (= έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (-,. β. λ 3κ 74. Αν η εξίσωση 4 + α 3 + 3β + γ + δ = έχει τέσσερες ρίζες πραγματικές και άνισες μεταξύ τους (α,β,γ,δ R, να αποδείξετε α >8β. 75. Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν: i Είναι συνεχής στο [α,β] ii Είναι παραγωγίσιμη στο (α,β και iii (α = (β =. Να αποδείξετε ότι: α. Για τη συνάρτηση g( = ( όπου c [α, β] εφαρμόζεται το θ. Rolle στο c διάστημα [α, β]. β. Αν c [α,β], τότε υπάρχει (α, β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο της (, ( να διέρχεται από το σημείο (c,. 76. Να δειχθεί ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα. 3 + 3 = 8, έχει το πολύ μια 77. Έστω η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο [α, β], <α<β, παραγωγίσιμη στο (α, β και τέτοια ώστε: υπάρχει ξ (α, β τέτοιο ώστε: ξ (ξ=8(ξ. 8 8 β (α=α (β. Να δειχθεί ότι 78. Έστω η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο [5, ], παραγωγίσιμη στο (5, και τέτοια ώστε: ξ (5, τέτοιο ώστε: ξ (ξ=8(ξ. 8 8 (5=5 (. Να δειχθεί ότι υπάρχει 79. Έστω η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο [,3], παραγωγίσιμη στο (,3 και τέτοια ώστε: 3(=(3. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (,3 τέτοιο ώστε: ξ (ξ=(ξ. 8. Δίνεται η συνάρτηση (=(-8ημ. Να δείξετε ότι: α. Η εξίσωση (=, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 8. β. Η εξίσωση +εφ=8, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 8. 8. Να αποδείξτε ότι μεταξύ δύο τυχαίων ριζών της εξίσωσης e ημ = βρίσκεται μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e συν + =.
c= ( c ν = v+ ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ v+ v+ ν ( ( ( = v+ ηµ= ( συν = ( ηµ ( ( συν ( συν= ( ηµ = ( συν ( ( ηµ ( e = ( e ( ( e ( = ( e α α = lnα εφ συν ( α = lnα ( = εφ ( συν ( ( = σφ ( ηµ ( ( = ln ( ( ( α ( = ( ( = ( σφ ( ηµ =, ( ln = > ( ( = ( ( = ( ( ( = ( ( + = ( + ( g ( ( g( + = ( (g( (g ( (g( (g( (g ( ( = g ( g( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( = + = ( e ( e ( e (
8. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ( για κάθε R. α. Δείξτε ότι η εξίσωση (= έχει το πολύ δύο ρίζες στο R. β. Λύστε την εξίσωση 8 = 7+ 83. Έστω η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β και (α = (β =. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β, ώστε να ισχύει: (ξ+(ξ=. 84. Έστω η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β και (α = (β =. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β, ώστε να ισχύει: (ξ=8(ξ. 85. Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [-, ], για την οποία ισχύει: (=(-. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (-, τέτοιο, ώστε: (ξ+ξ(ξ=. 86. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β, <α<β με (α=(β+ln β Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον α (α, β τέτοιος ώστε ( += 87. Έστω : [,] R παραγωγίσιμη με ( =( =. Δείξτε ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε: ( + 8( =. 4 3 88. Δίνεται η συνάρτηση ( = α + β + γ + δ+ ε, α,β, γ,δ, ε R. Αν ισχύει η ισότητα α + β + γ + δ + ε=, τότε να αποδείξετε ότι η 5 4 3 εξίσωση ( = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R. 89. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: ( ( 6 ξ, =. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( τέτοιο ώστε (ξ = 3ξ + 6ξ. 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[,e] R η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (,e. Αν (e =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,e τέτοιο ώστε: ξ (ξlnξ= (ξ. 9. Θεωρούμε τη συνάρτηση παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο 7 [, ] για την οποία ισχύουν ( = ( και ( > 4. Να αποδείξετε ότι: 3 α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε ( =. ξ, τέτοιο ώστε (ξ = 4ξ. β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον (
9. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β με (α = 3β και (β = 3α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο Μ(ξ,(ξ, να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω = 3π. 93. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [,3] με ( = 7 και ( για κάθε (,3, να αποδείξετε ότι 6 (3 8. 94. Αν η συνάρτηση ( είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι ( =, να αποδείξετε ότι: (<(< (. 95. Έστω μια συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] με (α > (β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας, τουλάχιστον, (α, β τέτοιος, ώστε ( <. 96. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στοr για την οποία ισχύουν: (7= η ( είναι γνησίως φθίνουσα στοr. Να αποδείξετε ότι: (8<(8< (7. 97. Έστω μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει η σχέση [( (] [( (]< Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C παράλληλη στον άξονα. 98. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] με (=8 και (=6. Να αποδείξετε ότι: α. Η εξίσωση (=7 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, β. Υπάρχουν α, β (, τέτοιοι ώστε να ισχύει: + '(α '(β = 99. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο [, 8], παραγωγίσιμη στο (, 8 με (= και (8=8. Να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχει (, 8 τέτοιος ώστε ( + =8. β. Υπάρχουν ξ, ξ (, 8 τέτοιοι ώστε (ξ (ξ =. Δίνεται η συνάρτηση με (5= η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [,5] και ( [3,5] για κάθε [, 5]. Να αποδείξετε ότι: α. 5 ( 5 β. Η γραφική παράσταση της τέμνει ακριβώς μια φορά τον άξονα όταν (,5. γ. Ορίζεται η αντίστροφη της στο [,5]. δ. Να λυθεί η εξίσωση (3+ ( 3 = στο [,5] όταν το Μ(, C.
. Έστω μια συνεχής συνάρτηση : [, ] R με ( για κάθε (,. Να αποδείξετε ότι: α. ( ( β. Υπάρχει (, τέτοιο ώστε 5( = ( + 3( γ. 3 5 Υπάρχουν ξ, ξ, ξ (,,τέτοια ώστε + =. (ξ (ξ (ξ. Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R. α. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο R και α R να δείξετε ότι: i (-(α (α < < ( για κάθε > α -α ii (-(α ( < < (α για κάθε < α -α β. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο R και α R να δείξετε ότι: i (-(α ( < < (α για κάθε > α -α ii (-(α (α < < ( για κάθε < α -α 3. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, 3] τέτοια ώστε: ( + (3 = (. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 3 τέτοιο ώστε: (ξ=. 4. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] και ισχύει: (=3 και ( για κάθε (,. Να αποδείξετε ότι: α. για κάθε [, ] υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε ( = (- (ξ +( β. ( 5 για κάθε [, ]. 5. Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [α, β], α < β και δύο φορές α+ β παραγωγίσιμη στο (α, β. Αν (α= =(β να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β ώστε (ξ=. 6. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ότι (6 ( ξ,ξ,6, διαφορετικά = +. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( μεταξύ τους, ώστε (ξ + (ξ = 5.
7. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ότι ( (6 ( = =. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (,6, 5 3 διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε (ξ + (ξ =. 8. Δίνεται συνάρτηση : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη, της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο -5 και ισχύουν: ( ( ( 4 ( lim = 7 και lim =8 α. Να δείξετε ότι ( = 3 και ( =. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε ( = 9. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο Rσυναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει: (=g(, g (= (. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση h(= (+g ( είναι σταθερή στο R.. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει: (=e +( για κάθε R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(=e +e ( είναι σταθερή.. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο Rσυναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει: (= g (, g (= (. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(= 3 (+g 3 ( είναι σταθερή. Αν (= και g(= να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h.. Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει (+(= για κάθε R τότε: α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(= (e, R είναι σταθερή. β. Να βρείτε τον τύπο της αν (=3. 3. Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν οι σχέσεις (=-6 και (=(+8 για κάθε R. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(=e [(+8], R είναι σταθερή στο R. β. Να βρείτε τον τύπο της. 4. Έστω μια συνάρτηση : R R για την οποία ισχύουν: (+(= για κάθε R και (=(=. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g(=(( +( ( +(ημ+ (συν είναι σταθερή στο R και έπειτα να βρείτε τον τύπο της g.
5. Έστω : R R μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη, με ( = ( = και (- (+(=- για κάθε R. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παράγωγο. β. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. g(=((+e, R έχει σταθερή 6. Nα βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R στις παρακάτω περιπτώσεις: α. ( (= για κάθε R, με (=. β. (=(, με ( = και ( > για κάθε R. γ. δ. (=e ( για κάθε R με ( =. =, (= και ( για κάθε R. (+ ( 7. Έστω :(, + R παραγωγίσιμη συνάρτηση με: ( (ln+ = για κάθε >. Αν στο σημείο Μ(e, (e η C έχει οριζόντια εφαπτομένη, να βρείτε τον τύπο της. 8. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση: : (, + R για την οποία ισχύει = e τύπο της. και ( = ( ( για κάθε >. Να βρείτε τον π 9. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση: : (, R για την οποία ισχύει π π π 6 = e και (ηµ (συν= (ηµ για κάθε (,. Να 6 βρείτε τον τύπο της.. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ( + ( = για κάθε R. Επίσης η εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ(, ( έχει εξίσωση y= 5+ 3. Να βρείτε: α. Τις τιμές ( και (. β. Τον τύπο της.
. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( = 3 και ( ( = + 3 για κάθε R. Να βρείτε τον τύπο της.. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( = και ( ( = + 3 5 για κάθε R. Να βρείτε τον τύπο της. 3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α. 3 ( = 3+ β. γ. ( = ln-+ δ. ε. ( = ln( + 4 3 ζ. 3 ( = + 3 ( = e ( = e + 4, ή 4 4. Δίνεται η συνάρτηση ( = 3 4, < < 4 α. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής. β. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της. 5. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α. γ. 4 ( = 4e + + 6 4+ β. ( = 4ηµ 3 4+ + δ. ( = ln + ( = ln 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. γ. + +ln = β. e (++ln( + = δ. + 3 + 4 = 9 3. + 4.3 = 3.6 7. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει [ ] [ ] 7 9 3 ( + ( + ( = + e +, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο R. 8. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ( > 8, R Να αποδείξετε ότι: ( > + 8 στο (, + α. ( β. ( ( < + 8 στο (,.
9. Έστω, g δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο R, για τις οποίες υποθέτουμε ότιg ( = ( + ηµ + e + για κάθε R. Να αποδειχτεί ότι: g( ( ( g( + > + για κάθε >. 3. Αν < α < 8, να αποδείξετε ότι για κάθε > είναι: 8 α αe + 8 > 8 e + α. 3. Αν ( = ln+ και < α < β να δειχτεί ότι: 3. Αν ( = ln- και < α < β να δειχτεί ότι: lnα lnβ < β α α α β ln > β 33. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών στις παρακάτω εξισώσεις: α. 4 3 + + 6 = β. 3 +3 ++ = γ. 3 3+ = δ. 34. Δίνεται η συνάρτηση: 4 3 3 + 4 + 4 = 3 ( = 6 + + ln. α. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( = 8 έχει μοναδική ρίζα. 35. Έστω η συνάρτηση ( = e 8. α. Να μελετηθεί η μονοτονία της. β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (, + = 8e έχει μια ακριβώς λύση στο 36. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις α. γ. ( = 8+3 β. ( = e 4+5 ε. ( = 37. Δίνεται η συνάρτηση δ. στ. 3 ( = + 3 9+5 ln ( = ( = 4 3 ( = 5 + 36-3. α. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της. β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία της C με τετμημένες τις θέσεις τοπικών ακροτάτων της και το Ο(, είναι συνευθειακά.
38. Η συνάρτηση α ( = + β + 3 το ( β 7,α ]. Να δείξετε ότι α= και β= 9. 39. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης τις διάφορες τιμές του λ R. 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e διάφορες τιμές του α R., με β> 3α και α, έχει σύνολο τιμών 3 3 9 λ 3 + 3 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( λ = για = αe για τις ln e = για τις διάφορες τιμές του λ R. 4. Θεωρούμε συνάρτηση g( = ln και παραγωγίσιμη συνάρτηση :(,+ R για την οποία ισχύει κάθε >. Να αποδείξετε ότι: α. ( = 4ln για κάθε >. (e = e 4 και β. Οι C και Cgέχουν μοναδικό κοινό σημείο. ( = 4 για γ. Στο κοινό τους σημείο οι C και Cgέχουν κοινή εφαπτομένη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 43. Έστω η συνάρτηση : R R παραγωγίσιμη τέτοια ώστε: 5 ( +( = e +8, για κάθε R. Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 44. Για μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Rισχύει ότι: 3 3 (+ (+3( = + 6-, για κάθε R. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης (= στο ανοικτό διάστημα (,. 45. Να αποδείξετε ότι στις παρακάτω περιπτώσεις η παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα. α. β. e ( + ( = +ln για κάθε >. 3 3 (+3( = + 3+ για κάθε R.
46. α. Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g( = ln +, > β. Να λύσετε την εξίσωση g(= γ. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + για την οποία ισχύει η σχέση: 3 3 (+8(=ln- +8, > i Να αποδείξετε ότι η έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο ii Να εξετάσετε αν η έχει στο τοπικό ακρότατο. 47. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο(, + για την οποία ισχύουν: (=e και ( e + για κάθε >. Να αποδείξετε ότι (+=e. 48. Έστω : (,+ R παραγωγίσιμη και για κάθε > ισχύει: ( e + ln+ + με (=e+. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α(,e+. 49. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: (=8 και ( 8+ ηµ, R. Να βρείτε: α. το ( β. την εξίσωση της εφαπτομένης της c στο σημείο της Α(, (. 5. Αν για κάθε R ισχύει: 3α + 5β + 7γ 5, όπου α,β,γ R * +, να δείξετε ότι: 3 5 7 α β γ =. 5. Δίνεται συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει: ( (α + (β, για κάθε α,β R με α< β. Να αποδείξετε ότι: α. (α = (β β. Η εξίσωση ( = έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. 5. Να εξετάσετε ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής τη + συνάρτηση (=. 53. Δίνεται η συνάρτηση 3 α β ώστε η, να έχει σημείο καμπής το A(, 4. ( = + + +. Να βρεθούν τα α, β R 54. Έστω μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο Rγια την οποία ισχύει: 3 3 ( ( + ( = e +, R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν έχει σημείο καμπής.
55. Δίνεται η συνάρτηση ( = ( + e, R. Να δείξετε ότι: α. Η C έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. β. Η εφαπτομένη της C στο σημείο καμπής της είναι κάθετη στην ευθεία y 8 = + 56. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ( 4α 6α α 5 α 4 3 = + + + + + δεν έχει σημείο καμπής για κάθε α R. 57. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( = 3 + lnα, R και α>. α. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα και το σημείο καμπής της C. β. Έστω, είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της και 3 θέση σημείου καμπής της. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(, (, B(, ( και Γ( 3, ( 3 είναι συνευθειακά. γ. Αν η ευθεία ΑΒ διέρχεται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε τον α. 3 58. Έστω η συνάρτηση α 9β 54 3β( µ ( = + + + όπου αβ. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες το Α(, ( είναι σημείο καμπής της C και η εφαπτομένη της C στο Α είναι κάθετη στην ευθεία δ: 45y 8 + + =. 59. Έστω μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ( στο R και η συνάρτηση g τέτοια, ώστε g( (=( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το Α(, (, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Β (, g( είναι παράλληλη στην ευθεία δ: ψ = -8. 6. Έστω μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύουν: (>4( ( ( για κάθε R και η έχει στο σημείο R τοπικό ακρότατο το μηδέν. Να αποδείξετε ότι: α. η συνάρτηση g(=(e είναι κυρτή στο R. β. ( για κάθε R. 6. Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει ( για κάθε R και η συνάρτηση g τέτοια ώστε: g( (= -( για κάθε R.
Αν η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το Α(,(, να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Β(,g( και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 6 τ.μ. 6. Δίνεται η συνάρτηση, ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει: ( + ( α. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. β. Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα. γ. Για κάθε R να δειχθεί ότι ( ( δ. Για κάθε R να δειχθεί ότι (+>( ε. Να λυθεί η εξίσωση ( -5+7=( 9 = e + 63. Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο [α, β],α<β για την οποία ισχύουν: δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β]. Η στρέφει τα κοίλα άνω στο [α, β]. (α=(β=. Να δειχθεί ότι ( < για κάθε (α, β. 64. Αν η συνάρτηση : R R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και (. (=8 για κάθε R, να δείξετε ότι η δεν έχει σημεία καμπής. 65. Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, που έχει στη θέση =3 τοπικό ακρότατο. Αν η στρέφει τα κοίλα κάτω στο [, 5], να δείξετε ότι: (+3 (5 <. 66. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης: 5 4 3 (= + 5α + β + + + παρουσιάζει τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι α > β. 67. Δίνεται η συνάρτηση 4 ( = e +. α. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. β. Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της Α( 4 8+ γ. Να αποδείξετε ότι: για κάθε R. e + 7 68. α. Να αποδείξετε ότι e > για κάθε R. β. Δίνεται η συνάρτηση i. Να βρείτε την εφαπτομένη της 3 4 ( = e, (. C στο σημείο της Α( ii. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα., (.
iii. Να αποδείξετε ότι: 69. Δίνεται η συνάρτηση 4 3 e + + + για κάθε R. l n 3 ( = ( + 4 α. Να βρείτε τις και. β. Να μελετήσετε την ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. γ. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία. δ. Να βρείτε το πρόσημο της καθώς και το σύνολο τιμών της. ε. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης n 3 4 l + =. 7. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [9, 3], παραγωγίσιμη στο (7, και (8=(=. Aν η στρέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα [7, ], να αποδειχθεί ότι: α. (7 ( > β. H παρουσιάζει ελάχιστο στο (7, 7. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α. ( = δ. ( = + 3 β. ( = + 4+ 5 ε. ( = ln + 3 5 + γ. ( = ζ. ( = e. + + 3 7. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (=8+. 73. Αν lim +4+ 3 (α+β =, να προσδιορίσετε τους + α, β R. Ποια η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της σχέσης; 74. Έστω ότι η ευθεία y=+5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο +. ( α. Να βρείτε τα: lim και lim [ ( ] + + µ(+4 β. Να βρείτε τον μ R αν: lim = + ( +3
75. Έστω ότι η ευθεία y=+ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ( µ + ν ( + 8 συνάρτησης στο +. Αν lim =μ, + ( + 7 μ, ν R να δειχθεί ότι τα σημεία Μ(μ, ν βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρεθεί η εξίσωση. 76. Έστω μια συνάρτηση : (,+ R για την οποία ισχύει e ( για κάθε >. Να δείξετε ότι ο άξονας είναι ασύμπτωτη της C. 77. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έει στο + ασύμπτωτη την ευθεία ψ=+, να βρείτε τον μ R, ώστε: 9 + ( + 3µ + 4 lim =. + 4 3 ( + + + 78. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: R R για τις οποίες ισχύει: ( g( = 4 για κάθε R. Η y= 3 7 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. α. Να υπολογίσετε τα όρια: g( g(+5+ηµ A= lim B= lim + + (-3 + β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y= 3 7 είναι ασύμπτωτη της C g στο +. 5 79. Μια συνάρτηση έχει την ιδιότητα: +8 ( +8+ 4 για κάθε * R. Να αποδείξετε ότι η C έχει πλάγια ασύμπτωτη. 8. Για μια συνάρτηση : R R ισχύει ότι: 3 8 + 6 + 5 8+6 ( - 4, Να εξετάσετε αν η C έχει πλάγια ασύμπτωτη. * R. 8. Θεωρούμε Α το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( = - +α παρουσιάζει ακρότατο και Β το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της g με g( = 3-3β. Αν τα Α και Β βρίσκονται στην κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης h με h( = e 3, να αποδείξετε ότι (ΑΒ = 3μ. e
8. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: Α = ηµ lim συν Β = 3 5 + 8 4 lim 3 Γ = e e lim ηµ Δ = lim ln ln Ε = lim e Z = lim e ηµ 83. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: Α = 3+ ln lim + ln + Β = lim e + + + 4e + + 3 Γ = 3 ln(+ lim + ln( + 84. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: Α = Δ = lim( ln + lim ( ln -e + Β = + Ε = + lim (e lim (+ + Γ = lim[ ln ln(+ ] ln +α β, > 85. Δίνεται η συνάρτηση ( =, =. Να βρείτε τις τιμές e ln( +α, < των α,β ώστε η να είναι συνεχής στο =. 86. Να βρείτε τις τιμές των α, β R, ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες στο όταν: + α. ( = αe, και =. ηµ+βσυν, > ln +α, > β. ( = - e +β β, και =. 87. Έστω μια συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ηµ ( + e = ( ηµ+ e για κάθε R. Να βρείτε την (.
88. Έστω η συνάρτηση : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Να αποδείξετε ότι: (+ h 3 ( + ( h lim h h = 3 (. 89. Θεωρούμε συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν τα εξής: Η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Παρουσιάζει ακρότατο στο =. και (=. Να αποδείξετε ότι: +( lim = ( 9. Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: ((+-3(e + lim = 8 + α. Να υπολογίσετε το όριο A = lim + e + β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. 9. Δίνεται η συνάρτηση : (, R με Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C. 9. Δίνεται η συνάρτηση ( 8 e (. = + ( = eηµ+ 8,να αποδείξετε ότι: α. Η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο β. Η Cτέμνει την παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ. Έστω η συνάρτηση : R R δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει (+ = (3 και ( για κάθε R. α. Να λύσετε την εξίσωση ( =. β. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,3 ] και ισχύει: ( < ( να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις ολικών ακροτάτων στο [,3 ].. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [ α, β ] ( < α < β συνάρτηση για την ( ( ( β ( β οποία ισχύουν: a a lim = lim + + = + Να δείξετε ότι: α. (α < α και (β > β β. Αν g( = τότε η C και C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο (, y με (α, β γ. Υπάρχει θ ( α,β > ώστε ( θ και 3. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R, τέτοιες ώστε 3 ( = 4 4 + 5 και g( 3 = για κάθε R. α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της σε καθένα από τα διαστήματα μονοτονίας της. γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( =. δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς τρείς εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της g οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ν(4, 5. 4. Δίνεται μη σταθερό πολυώνυμο P( για το οποίο ισχύει: 4P( = ( P ( για κάθε R και ( α. Το πολυώνυμο P(. lim P( =, να βρείτε: +
β. Το όριο lim ( + ηµ ( P( γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της g όπου. P( g( =. 5. Δίνεται συνάρτηση με ( = e + + 8. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι - β. Να δείξετε ότι η C και η C -δεν έχουν κοινά σημεία. γ. Να λύσετε την εξίσωση: 3 + 4 + 4 e - e = (4- ( 6. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: ( 3 lim = και (3 = 3. α. Να αποδείξετε ότι ( = 3. β. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(, 3. γ. Να αποδείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία y= τουλάχιστον μία φορά στο διάστημα (, 3. δ. Να αποδείξετε ότι, αν η είναι κυρτή, τότε παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο διάστημα (, 3. 7. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με D = [, ] για την οποία 6 ( ( 7 ισχύει: ( = + + 8 ( για κάθε [, ] α. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( = έχει μοναδική λύση στο [, ]. β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, τέτοιο ώστε (ξ = -3 γ. Να βρείτε τον τύπο της. δ. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της -. 3 ( -4 8. Δίνεται η συνάρτηση =. - α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα. γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C είναι πάνω από τον άξονα.
δ. Να εξετάσετε αν η C έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας. ε. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. στ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. ζ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3 α 4+α=, όπου α R. 9. Δίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση, για την οποία ισχύει: π π (eηµ = e για κάθε,. α. Να δείξετε ότι ( =. C στο Α ( β. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της, ( είναι η y= +. γ. Αν ένα σημείο κινείται πάνω στην προηγούμενη ευθεία και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό cm/sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου. 3. Δίνεται η συνάρτηση ( = 5 + 4. α. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να λύσετε την εξίσωση ( = λ για τις διάφορες τιμές του λ R. δ. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της αν υπάρχουν.. α. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g( ln =. β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της ( = e ln. γ. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.. α. Να δείξετε ότι: ln + για κάθε > β. Να δείξετε ότι η g( = ln + έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, e. γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( = e ln ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. δ. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της συνάρτησης του προηγούμενου ερωτήματος.
3. α. Να λύσετε την εξίσωση 3 + = 5. β. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R με ( = ( για κάθε R. i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( = e ( είναι σταθερή στο R. ii. Να βρείτε τον τύπο της αν ( =. iii. Αν h,φ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R, με h ( + h( = φ ( + φ( για κάθε Rκαι h( = φ(, τότε να δείξετε ότι h= φ. 4. Δίνεται συνάρτηση ( = e ln(+ α. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να λύσετε την εξίσωση ( =. δ. Αν για τους αριθμούς α,β R με α+ β> και α+ β >, ισχύει: α+ β α+ β e ln(α β e ln(α β + + + να υπολογίσετε τους α,β R.