Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod

Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6

Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna iteracija metoda negibne točke 7 Sistemi nelinearnih enačb Sistemi linearnih enačb Določeni sistemi Nedoločeni sistemi Aproksimacija predoločeni sistemi 4 Interpolacija in numerično odvajanje 8 4 Interpolacija in zlepki 8 4 Numerično odvajanje 5 Numerično integriranje 6 Robni problemi 44 7 Diferencialne enačbe začetni problemi 47

Predgovor Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod je nastala kot učno gradivo za pripravo na izpit iz predmeta Numerične metode na Fakulteti za elektrotehniko V prvi vrsti je tako namenjena študentom te fakultete Marsikaj zanimivega pa lahko najdejo v njej tudi študentje drugih predvsem tehniških fakultet saj pokriva večino standardnih poglavij iz numeričnih metod ki se predavajo na fakultetah kjer to ni glavni predmet Podlaga za zbirko so naloge ki so se pojavljale na izpitih med leti in 5 Snov iz nalog obsega poglavja ki se predavajo pri predmetu Numerične metode in sicer reševanje nelinearnih enačb (bisekcija tangentna in sekantna metoda Newtonova metoda za sisteme) sisteme linearnih enačb (direktne in iterativne metode) aproksimacijo (metoda najmanjših kvadratov) interpolacijo numerično odvajanje in integriranje (Newton-Cotesova in Gaussova kvadraturna pravila) reševanje navadnih diferencialnih enačb (Eulerjeve metode) ter robnih problemov v eni in dveh dimenzijah (metoda končnih razlik) Pri vsakem poglavju je nekaj nalog rešenih z vsemi postopki nekatere pa so dane bralcu v razmislek in reševanje Vse naloge pa spremljajo rezultati in večinoma primerjave s točnimi vrednostmi Pri nekaterih nalogah rezultate ilustriramo tudi s slikami Ni namen te zbirke da bi preko nje spoznavali numerična programska orodja kot sta Matlab R in Octave pač pa da naloge rešujemo klasično na papir Upava da bo pričujoča zbirka marsikomu v pomoč pri pripravi na izpit pa tudi v veselje pri spoznavanju novih orodij ki so uporabna na marsikaterem strokovnem področju Avtorja se zahvaljujeva recenzentoma prof dr Tomažu Slivniku in prof dr Emilu Žagarju za strokovni pregled ter konstruktivne in umestne pripombe Tudi z njuno pomočjo je zbirka dobila dokončno obliko in vsebino

Iterativno reševanje nelinearnih enačb Rešujemo nelinearne enačbe oblike f(x) Bisekcija Vrednosti v krajiščih začetnega intervala [x x torej f(x ) in f(x ) morata biti različnega predznaka V vsaki iteraciji izračunamo nov približek po formuli x n+ x n + x n x n ki je ekvivalentna formuli x n+ x n +x n vendar stabilnejša Če je f(x n ) f(x n+ ) < izberemo za nov interval [x n x n+ sicer pa [x n+ x n Sekantna metoda Začnemo s primerno izbranima začetnima približkoma x in x V vsaki iteraciji izračunamo nov približek po formuli x n x n x n+ x n f(x n ) f(x n ) f(x n ) Metoda regula falsi Za začetni interval [x x mora veljati f(x ) f(x ) < V vsaki iteraciji izračunamo nov približek po formuli x n x n x n+ x n f(x n ) f(x n ) f(x n ) Če velja f(x n ) f(x n+ ) < izberemo za nov interval [x n x n+ sicer pa [x n+ x n Newtonova (tangentna) metoda Začnemo s primerno izbranim začetnim približkom x V vsaki iteraciji izračunamo nov približek po formuli x n+ x n f(x n) f (x n ) Naloge Z Newtonovo iteracijo določite vrednost na tri decimalna mesta natančno Rešitev: Rešujemo lahko enačbo x z uporabo Newtonove metode Za začetni približek vzamemo x Z iteracijo x n+ x n x n x n (x n + ) x n dobimo zaporedje približkov Po treh korakih metode je x 6 x x x x x 4 64 6 6 4

Zapišite iteracijsko shemo sekantne metode za reševanje nelinearne enačbe f(x) kjer je f(x) x + (x +) Napravite tri korake metode če za začetna približka izberete x in x Rešitev: Pri sekantni metodi uporabimo iteracijo x n+ x n f(x n ) x n x n f(x n ) f(x n ) in z uporabo izbranih začetnih približkov dobimo zaporedje približkov x x x x x 4 x 5 x 6 57 5 6 8 Po treh korakih metode je x 4 6 točna rešitev za primerjavo je x Zapišite iteracijsko shemo metode regula falsi za reševanje nelinearne enačbe f(x) kjer je f(x) x + sin x Napravite tri korake metode če za začetna približka izberete x in x Rešitev: Pri metodi regula falsi uporabimo iteracijo x n+ x n f(x n ) x n x n f(x n ) f(x n ) kjer na vsakem koraku izberemo tisti podinterval kjer je v krajiščih funkcija različno predznačena (enako kot pri metodi bisekcije) Z uporabo izbranih začetnih približkov dobimo zaporedje približkov x x x x x 4 x 5 5 5 6498 65745 6884 69495 Po treh korakih metode je x 4 6884 točna rešitev za primerjavo je x 75694 4 Na intervalu [ ležita dva korena enačbe x e x 5 Poiščite večjega od njiju in ga določite na 4 decimalna mesta natančno Rezultati: Iskana korena sta x max 9 x min 89 5 Pokažite da leži na intervalu I [ vsaj en koren enačbe f(x) x x Poiščite ga z metodo bisekcije tako da bo napaka manjša od Koliko korakov bisekcije je potrebnih? Rezultati: Ker je odvod f (x) x na intervalu [ pozitiven je funkcija f na tem intervalu strogo naraščajoča kar pomeni da ima na tem intervalu največ en koren Ker je funkcija f v krajiščih intervala različno predznačena ima na tem intervalu natanko en koren in sicer ˆx 4 Za izračun le-tega na željeno natančnost je potrebnih korakov bisekcije 6 Z Newtonovo metodo določite in 5 na pet decimalnih mest natančno Rezultati: Iščemo korena funkcij x in x 5 ter dobimo 75 in 5 8798 5

7 Z metodo bisekcije določite vrednost 5 Napaka naj bo manjša od 4 Rezultat: Iščemo koren funkcije x 5 in dobimo 5 94 8 Pokažite da leži na intervalu I [ vsaj en koren enačbe f(x) x e x Poiščite ga z metodo bisekcije in z Newtonovo metodo tako da bo napaka manjša od Koliko korakov iteracije je potrebnih? Pri Newtonovi metodi vzemite za začetni približek x Rezultati: Funkcija f je na intervalu I strogo naraščajoča in v krajiščih intervala različno predznačena zato ima na tem intervalu natanko en koren in sicer x 9 Za izračun le-tega na željeno natančnost je potrebnih 9 korakov metode bisekcije in samo koraka Newtonove metode 9 Z Newtonovo metodo poiščite pozitivno rešitev enačbe Rezultat: Pozitivna rešitev je x 796 x cos x Z Newtonovo metodo določite en kompleksni koren enačbe z + Za začetni približek vzemite z + i in izračunajte z Rezultat: Iskani kompleksni koren je z 7569 + 9974i Z Newtonovo metodo rešite enačbo x + 4 x + Ali iteracija konvergira ne glede na to kako izberemo začetni približek? Rezultat: Rešitev enačbe je x 5 Iteracija ne konvergira za vsak začetni približek Zapišite tri korake sekantne metode za enačbo x + x + kjer za začetna približka vzamete x in x Rezultati: Prvi trije koraki so x 6 x 6444 in x 4 595 S sekantno metodo poiščite rešitev enačbe x + cos x če za začetna približka vzamete x in x Napravite 7 korakov sekantne metode Rezultati: Prvih sedem korakov je x 457 x 5656 x 4 78769 x 5 64894 x 6 6678 x 7 665 in x 8 6698 4 S pomočjo Newtonove metode poiščite rešitev nelinearne enačbe na 6 decimalnih mest natančno Rezultat: Rešitev enačbe je x 6947 e x e x 6

Navadna iteracija metoda negibne točke Rešitvam enačbe x f(x) pravimo negibne točke Tiste v katerih je absolutna vrednost odvoda pod ena torej f (x) < imenujemo privlačne tiste v katerih je absolutna vrednost odvoda nad ena torej f (x) > pa odbojne negibne točke Privlačne negibne točke lahko poiščemo z navadno iteracijo x n+ f(x n ) kjer je x primerno izbran začetni približek Naloge Z Newtonovo iteracijo poiščite rešitev enačbe x f(x) kjer je f(x) (x + ) Izberite začetni približek x Ali lahko dobimo rešitev enačbe tudi z navadno iteracijo x n+ f(x n ) s primerno izbranim začetnim približkom? Rešitev: Newtonova iteracija za enačbo f(x) x je x n+ x n f(x n) x n f (x n ) x n x n x n x n Z začetnim približkom x dobimo zaporedje približkov x n + x n x x x x x 4 x 5 4 85 4 Rešitev enačbe je torej x Absolutna vrednost odvoda f (x) x v točki x je f ( ) > To pomeni da je negibna točka odbojna (glejte sliko) in navadna iteracija ne konvergira 5 5 5 5 5 5 Na intervalu [ ima enačba f(x) x kjer je f(x) xe x dve rešitvi Katero od teh dveh rešitev je mogoče poiskati z navadno iteracijo s primerno izbranim začetnim približkom x? x n+ f(x n ) x n+ x n e xn 7

Rešitev: Najprej z Newtonovo iteracijo x n+ x n f(x n) x n f (x n ) poiščemo rešitvi enačbe f(x) x Izberemo en začetni približek x ter drugi začetni približek x in dobimo zaporedje približkov x x x x 7 748 7594 8598 849 8498 Absolutna vrednost odvoda f (x) e x ( x) x v izračunanih točkah je za prvo negibno točko ter f (7594) 658 > f (8498) 4869 < za drugo negibno točko To pomeni da je prva točka odbojna druga pa privlačna (glejte sliko) torej lahko z navadno iteracijo poiščemo le drugo negibno točko 8 6 4 4 6 8 Enačbo x b x( x) rešujemo za različne vrednosti parametra b V kakšnih mejah se mora gibati parameter b da iteracija x n+ b x n ( x n ) s primerno izbiro začetnega približka konvergira k pozitivni rešitvi enačbe? Rešitev: Enačba ima dve rešitvi x in x b b Da bo ta rešitev pozitivna mora biti b > Z gornjo iteracijo lahko poiščemo samo privlačne negibne točke torej take kjer je odvod desne strani enačbe f(x) b x( x) po absolutni vrednosti manj kot ena Ker je f (x) b ( x) dobimo ( ) b f b < b ki ima rešitev za b ( ) 8

4 Pokažite da leži na intervalu I [ natanko en koren enačbe x + log x ter ga nato poiščite z Newtonovo metodo Funkcije f(x) log x g(x) e x h(x) x + e x imajo natanko eno negibno točko na danem intervalu I ki se ujema s korenom zgornje enačbe V katerih primerih je ta točka privlačna in v katerih odbojna? Z drugimi besedami v katerih primerih lahko poiščemo začetni približek različen od negibne točke tako da iteracija konvergira in kdaj to ni mogoče? Rešitev: Z uporabo Newtonove iteracije x n+ x n x n + log x n + x n dobimo koren enačbe ˆx 5674 Funkcija F (x) x + log x je strogo naraščajoča in ima za zalogo vrednosti vsa realna števila zato ima enačba F (x) en sam koren Ker je F () 59 in F () le-ta leži na intervalu I [ Preverimo absolutne vrednosti odvodov danih funkcij v tem korenu Dobimo f (x) x g (x) e x h (x) e x f (ˆx) 76 > g (ˆx) 5674 < h (ˆx) 648 < Ker je odvod prve funkcije po absolutni vrednosti večji od je prva točka odbojna in iteracija x n+ log x n ne konvergira Odvoda druge in tretje funkcije po absolutni vrednosti sta manjša od zato sta ti dve točki privlačni in iteraciji x n+ e xn ter x n+ xn+e xn konvergirata 5 Na intervalu [ ima enačba f(x) kjer je f(x) xe x 4 dve rešitvi Katero od teh dveh rešitev je mogoče poiskati z navadno iteracijo x n+ f(x n ) + x n x n+ x n e xn 4 + x n s primerno izbranim začetnim približkom x? Rezultati: Ugotovimo da je x 7 odbojna točka x 684 privlačna točka 6 Pokažite da ima enačba f(x) x + 4x en koren na intervalu [ Uporabite Newtonovo metodo Katera od iteracijskih oblik a) x g(x) x x 4x + b) x h(x) x c) x k(x) 4+x je najugodnejša za metodo navadne iteracije? Rezultati: Ker je odvod f (x) x + 8x na intervalu [ pozitiven je funkcija f na tem intervalu strogo naraščajoča kar pomeni da ima na tem intervalu največ en koren Ker je funkcija f v krajiščih intervala različno predznačena ima na tem intervalu natanko en koren in sicer ˆx 65 Iteracija a) divergira iteraciji b) in c) pa konvergirata vendar zadnja hitreje 9

7 Določite interval začetnih približkov za katerega konvergira iteracija e x n x n+ in določite negibno točko na dve decimalni mesti natančno Rezultati: Iskani interval je I ( log ) negibna točka pa ˆx 9 8 Na intervalu [ leži natanko ena negibna točka funkcije f(x) x e x + Poiščite jo z Newtonovo iteracijo na 4 decimalna mesta natančno Ali je negibna točka privlačna ali odbojna? Rezultati: Negibna točka ˆx 7778 je privlačna 9 Pokažite da navadna iteracija x n+ f(x n ) kjer je f(x) (x ) konvergira k rešitvi ki leži na intervalu [ za vsak začetni približek x [ Rezultat: Negibna točka ˆx 776 je privlačna za vsak začetni približek iz danega intervala Poiščite negibni točki funkcije ter določite njun tip f(x) xe x + Rezultati: Negibna točka x 96 je odbojna negibna točka x pa privlačna Enačba a) x f(x) kjer je f(x) x e x b) x f(x) kjer je f(x) x e x + ima dve rešitvi S pomočjo Newtonove metode ju določite na 6 mest natančno Ugotovite katera je privlačna in katera je odbojna točka za navadno iteracijo x n+ f(x n ) Rezultati: a) Točka x 8854 je odbojna točka x 79 pa privlačna (glejte sliko) b) Točka x 746 je odbojna točka x 4985 pa privlačna (glejte sliko) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Sistemi nelinearnih enačb Rešujemo sistem nelinearnih enačbe oblike F(x) Newtonova metoda za sisteme Začnemo z začetnim približkom x V vsaki iteraciji izračunamo nov približek po formuli x n+ x n J (x n ) F(x n ) kjer je J Jacobijeva matrika Inverza v praksi ne računamo pač pa rešitev poiščemo preko reševanja sistema linearih enačb Naloge Zapišite iteracijsko shemo Newtonove metode za reševanje sistema nelinearnih enačb x + y x + y [ [ x / Naredite en korak metode če je začetni približek / Rešitev: Iščemo presečišča krožnice in premice ki se sekata v dveh točkah: x 7 y + 7 4 4 Iteracijska shema se glasi [ xn+ y n+ [ xn y n y in x + 7 4 [ J f(xn y (x n y n ) n ) g(x n y n ) y 7 4 Ker je f(x y) x + y in g(x y) x + y + je Jacobijeva matrika enaka J [ fx (x y) f y (x y) g x (x y) g y (x y) [ x y Računamo en korak iteracje za x y [ [ [ x x J f(x y (x y y y ) ) g(x y ) [ [ [ / / / 5/ [ [ [ / 5/ + / / Izračun [ [ / 5/ napravimo tako da rešimo sistem linearnih enačb [ [ z z [ / 5/ oziroma z + z in z + z 5 ki ima rešitev z in z Inverza matrike pri numeričnih metodah v praksi običajno nikoli zares ne računamo saj je izračun časovno potraten in numerično nestabilen Predvsem to velja za velike matrike Za matrike reda imamo sicer preprosto formulo za izračun inverza ki pa se je ne da preprosto posplošiti na matrike višjega reda Tako da v praksi za vse matrike namesto inverza računamo rešitev pripadajočega sistema enačb

Dani sta krožnici x + y in (x ) + y Z uporabo [ Newtonove [ iteracijske sheme za sisteme naredite dva koraka metode z začetnim približkom x y Rešitev: Newtonova iteracijska shema za reševanje sistema f(x y) x + y in g(x y) (x ) + y je [ [ [ xn+ xn J f(xn y (x n y n ) n ) g(x n y n ) y n+ y n Ker so parcialni odvodi enaki f x x f y y g x (x ) in g y y je Jacobijeva matrika Sledi [ x y [ x y [ [ fx f J y g x [ [ / g y [ [ x y (x ) y [ [ / [ /4 /4 [ / 7/8 [ [ [ [ z Izračun napravimo tako da rešimo sistem z z + z in z ki ima rešitev z in z [ [ [ [ /4 z Podobno izračunamo tako da rešimo sistem /4 z oziroma z + z 4 in z + z 4 ki ima rešitev z in z 8 [ [ x Za primerjavo točna rešitev je / y / Zapišite iteracijsko shemo Newtonove metode za reševanje sistema nelinearnih enačb [ oziroma [ /4 /4 x + y (x ) + y [ [ x Naredite en korak metode če je začetni približek [ Rezultat: Jacobijeva matrika je J y x y (x ) y prvi korak pa [ x y [ / 4 Zapišite iteracijsko shemo Newtonove metode za reševanje sistema nelinearnih enačb x + y 4 x + y [ [ x / Naredite dva koraka metode če je začetni približek y [ x y Rezultat: Jacobijeva matrika je J y prvi korak [ [ x 695 korak pa 69 y [ x y [ 7455 688 drugi

Sistemi linearnih enačb Določeni sistemi Naloge Izračunajte neskončno in prvo normo matrike A 5 Rešitev: Neskončna norma matrike A je največja vrstična vsota absolutnih vrednosti A max i n j n a ij V našem primeru dobimo A max {4 4 7} 7 Prva norma matrike A je največja stolpična vsota absolutnih vrednosti n A max a ij j n V našem primeru dobimo A max {6 6 } 6 Izračunajte pogojenostno število matrike [ A v prvi in neskončno normi i + 4 Rešitev: Pogojenostno število matrike A je definirano kot κ(a) A A Izračunajmo najprej inverz matrike A kjer uporabimo formulo za inverz matrike velikosti krat : [ [ a b A A d b c d ad bc c a Sledi A [ Pogojenostni števili v prvi in neskončno normi sta Ali je matrika pozitivno definitna? 5 + 5 4 5 κ(a) A A 4 55 6 κ(a) A A 6 A Rešitev: Matrika je pozitivno definitna če so vsi glavni minorji matrike pozitivni Ker je M > M > in M 4 > je matrika A pozitivno definitna Ekvivalenten pogoj za pozitivno definitnost je da so vse lastne vrednosti matrike A pozitivne Tudi ta pogoj je izpolnjen saj so lastne vrednosti enake λ 5858 λ in λ 44

4 Dan je sistem Ax b kjer je A 4 4 4 in b Določite LU razcep (brez pivotiranja) matrike A ter z uporabo tega razcepa rešite gornji sistem enačb Rešitev: Matriki L in U v LU razcepu matrike A L 4 6 7 in U 5 4 4 7 4 7 dobimo z algoritmom kjer napravimo redukcijo matrike A 4 4 4 A 4 7 7 4 4 4 7 U Elemente v spodnjem trikotniku matrike L dobimo tako da na vsakem koraku v pripadajočem stolpcu delimo elemente s pripadajočim diagonalnim elementom S premo substitucijo najprej rešimo sistem Ly b ki ima rešitev y [ 7 T nato pa z obratno substitucijo še sistem Ux y ki ima rešitev x [ T 5 Pokažite da je matrika koeficientov sistema linearnih enačb Ax b kjer je [ [ A b pozitivno definitna ter rešite sistem z razcepom Choleskega Rešitev: Matrika A pozitivno definitna če so vsi glavni minorji matrike pozitivni minorja sta M > in M 5 > Glavna ki sta oba pozitivna torej je dana matrika pozitivno definitna Razcep Choleskega napravimo tako da dano matriko razcepimo na produkt A L L T kjer je L spodnja trikotna matrika [ [ [ [ α a T ρ ρ r T ρ ρr a A r L L T T ρr rr T + L L T Sledi V našem primeru dobimo α ρ ρ α a T ρr T r T a T /ρ A L L T + rr T L L T A rr T α ρ a T r T A L L T 5 L 5 4

Faktor Choleskega je torej L [ 5 Sistem rešimo tako da ga razbijemo na dva trikotna sistema L L T x b L T x y L y b ki ju rešimo z direktnim (premim) oziroma obratnim vstavljanjem Z rešitvijo trikotnih sistemov [ [ [ y x y 5 5 dobimo rešitev y [ 5 in x [ 5 5 6 Prepričajte se da je matrika A [ 4 pozitivno definitna in napravite razcep Choleskega Rešitev: Dana matrika je pozitivno definitna saj so glavni minorji enaki M 4 > in M det A > Matriko razcepimo na A L L T kjer je L spodnja trikotna matrika [ [ [ [ 4 α α β α αβ β γ γ αβ β + γ Sledi α β in γ 7 Določite razcep Choleskega za matriko Faktor Choleskega je tedaj [ L A 5 5 5 5 8 5 Rešitev: Matriko L v razcepu Choleskega matrike A L L T : 5 L dobimo z algoritmom kjer napravimo redukcijo matrike A 5 5 5 5 5 A 5 8 9 5 9 5 L Pri tem na vsakem koraku diagonalni element korenimo poddiagonalne elemente delimo z novim diagonalnim elementom ter poračunamo elemente podmatrike enega reda manj desno spodaj: [ [ 8 [ [ 9 5 9

8 Pokažite da lahko sistem Ax b kjer je [ A [ b rešimo s pomočjo Jacobijeve iteracijske metode in zapišite tretjo iteracijo Za začetni približek vzemite vektor Rešitev: Sistem rešimo z Jacobijevo iteracijo x n+ R J x n + c J kjer je R J D (L + U) Jacobijeva iteracijska matrika c J D b pa iteracijski vektor Pri tem matriko A koeficientov sistema razcepimo na A D L U kjer je D diagonalna matrika L spodnji trikotnik U pa zgornji trikotnik matrike A V našem primeru dobimo razcep A D (L + U) [ [ Iteracijska matrika in vektor sta [ [ R J D (L + U) [ [ [ c J D b Lastni vrednosti iteracijske matrike R J dobimo iz enačbe λ λ λ λ ± [ Ker sta po absolutni vrednosti manj kot je Jacobijeva iteracija konvergentna Iz iteracijske sheme [ [ x n+ x n + dobimo zaporedje približkov [ x x [ / [ / x / [ / x /4 Za primerjavo točna rešitev je enaka x [ 9 Pokažite da lahko sistem Ax b kjer je [ A [ b rešimo s pomočjo Gauss-Seidlove iteracijske metode in zapišite tretjo iteracijo Za začetni približek vzemite vektor Rešitev: Sistem rešimo z Gauss-Seidlovo iteracijo x n+ R GS x n + c GS kjer je R GS (D L) U Gauss-Seidlova iteracijska matrika c GS (D L) b pa iteracijski vektor Pri tem matriko A koeficientov sistema razcepimo na A D L U kjer je D diagonalna 6

matrika L spodnji trikotnik U pa zgornji trikotnik matrike A V našem primeru dobimo razcep [ [ A (D L) U Iteracijska matrika in vektor sta R GS (D L) U c GS (D L) b [ [ [ [ [ [ Lastni vrednosti iteracijske matrike R GS dobimo iz enačbe λ λ (λ λ ) λ λ Ker sta po absolutni vrednosti manj kot je Gauss-Seidlova iteracija konvergentna Iz iteracijske sheme [ [ x n+ x n + dobimo zaporedje približkov x [ x [ / [ / x /4 [ /4 x 7/8 Za primerjavo točna rešitev je enaka x [ Pokažite da lahko sistem Ax b kjer je 4 A b rešimo s pomočjo Jacobijeve iteracijske metode Zapišite točno rešitev in tretjo iteracijo Za začetni približek vzemite vektor Rešitev: Matrika koeficientov sistema je diagonalno dominantna zato Jacobijeva iteracija konvergira Zapišimo Jacobijevo iteracijo po komponentah x (n+) ( ) x (n) x (n) 4 x (n+) ( ) x (n) x (n) x (n+) ( ) x (n) in dobimo zaporedje iteracij x x 5 5 x 47 8 75 x 54 944 479 Za primerjavo točna rešitev je enaka x 5 45 7

Pokažite da lahko sistem Ax b kjer je 4 A b rešimo s pomočjo Gauss-Seidlove iteracijske metode Zapišite točno rešitev in tretjo iteracijo Za začetni približek vzemite vektor Rešitev: Matrika koeficientov sistema je diagonalno dominantna zato Gauss-Seidlova iteracija konvergira Zapišimo Gauss-Seidlovo iteracijo po komponentah in dobimo zaporedje iteracij x x x (n+) ( ) x (n) x (n) 4 ( x (n+) x (n+) 5 5 75 ( x (n+) x (n) x (n+) x ) 98 77 45 ) x 94 55 458 Za primerjavo točna rešitev je enaka x 5 45 Ali lahko rešimo sistem Ax b kjer je A b z Gauss-Seidlovo iteracijo? Izračunajte prve tri korake iteracije Za začetni približek izberite x [ T Kdaj bi se lahko zgodilo da nas iteracijska metoda pripelje do rešitve v končno korakih? Rešitev: Gauss-Seidlova iteracija je konvergentna ker ima iteracijska matrika R GS (D L) U samo ničelne lastne vrednosti Ker je iteracijska matrika R GS zgornja trikotna z diagonalo enako nič je njena tretja potenca identično enaka nič Zato se tretja iteracija ujema s točno rešitvijo x x [ T Raziščite konvergenco iteracijske sheme x n+ a + A x n kjer je a in A 4 4 7 Rešitev: Da bo iteracijska shema konvergirala morajo biti vse lastne vrednosti matrike A po absolutni vrednosti manjše od Lastne vrednosti matrike A so λ 4 λ in λ torej je pogoj za konvergenco izpolnjen in iteracijska shema konvergira 8

Vemo tudi da je spektralni radij ρ(a) torej največja lastna vrednost po absolutni vrednosti manjši od katerekoli matrične norme ρ(a) < A Zato niti ni potreben izračun lastnih vrednosti saj lahko preverimo ali je kakšna matrična norma manjša od kar posledično pomeni da so tudi vse lastne vrednosti absolutno manjše od Če izberemo neskončno normo matrike to je največjo vrstična vsota po absolutni vrednosti dobimo A < kar pomeni da je pogoj za konvergenco izpolnjen in iteracijska shema konvergira [ 969 8648 4 Izračunajte pogojenostno število matrike A 6 44 Rezultat: Pogojenostno število je κ(a) A A 497 8 5 Določite LU razcep brez pivotiranja za matriko A 4 7 5 5 4 6 7 8 Rezultati: Faktorja LU razcepa sta L 6 Ali lahko rešimo sistem [ x iterativno z Jacobijevo iteracijo? Poiščite rešitev [ in U Rezultat: Da ker je matrika koeficientov šibko diagonalno dominantna Rešitev je x 7 Določite prve tri zaporedne približke Gauss-Seidlove iteracije za sistem enačb Uporabite začetni približek x [ T 4x + x 4 x + 4x x x + 4x 4 Rezultati: Prvi: x [55 85 5469 T drugi: x [46 888 59 T tretji približek: x [879 968 58 T točna: x [ 4 5 T 8 Rešite sistem Ax b kjer je A 5 4 4 in b z Jacobijevo in Gauss-Seidlovo iteracijsko metodo Ali zaporedje iteracij po obeh metodah konvergira? Koliko iteracij je potrebnih da pade neskončna norma razlike med zadnjo iteracijo in pravilno rešitvijo pod? Za začetni približek vzamite vektor x [ T Rezultati: Obe iteraciji konvergirata saj je matrika koeficientov (strogo) diagonalno dominantna Točna: x [6 6 8 T število iteracij: N Jacobi 7 N Gauss-Seidel 5 9 Pokažite da lahko sistem Ax b kjer je 4 A in b 9 [

rešimo s pomočjo Jacobijeve in Gauss-Seidlove iteracijske metode Zapišite točno rešitev in tretjo iteracijo Za začetni približek vzemite vektor x [ T Rezultati: Obe iteraciji konvergirata saj je matrika koeficientov (strogo) diagonalno dominantna Točna: x 5 Jacobi: x J 4444 Gauss-Seidel: x GS 4744 5 99 5 479 485 Ali lahko rešimo sistem Ax b kjer je A in b z Jacobijevo in Gauss-Seidlovo iteracijsko metodo? Izračunajte prve tri korake za obe iteraciji ter rezultate primerjajte s točno rešitvijo Za začetni približek vzemite vektor x [ T Kdaj bi se lahko zgodilo da bi nas iteracijska metoda pripeljala do rešitve v končno korakih? Rezultati: Obe iteraciji konvergirata saj imata obe iteracijski matriki samo ničelne lastne vrednosti Točna: x 5 Jacobi: x J 5 Gauss-Seidel: x GS 5 Do rešitve v končno korakih gotovo pridemo ko je iteracijska matrika nilpotentna To pomeni da je neka potenca iteracijske matrike ničelna matrika Ali lahko rešimo sistem Ax b kjer je 4 A b z Jacobijevo in Gauss-Seidlovo iteracijsko metodo? Izračunajte prvi korak za obe iteraciji ter rezultate primerjajte s točno rešitvijo Za začetni približek vzemite vektor x [ T Koliko je prva norma razlike posameznega približka in točne rešitve? Rezultati: Obe iteraciji konvergirata saj je matrika koeficientov sistema (strogo) diagonalno dominantna Točna: x [ T Jacobi: x J [ T 4 Gauss-Seidel: x GS [ 4 5 4 T Prvi normi razlike: x x J x x GS Dan je sistem Ax b kjer je A 4 in b Ali Jacobijeva iteracija konvergira? Odgovor utemeljite! Naredite dva koraka Jacobijeve iteracije z začetnim približkom x [ T Rezultati: Jacobijeva iteracija konvergira saj je matrika A (strogo) diagonalno dominantna Točna rešitev: x [ T prva in druga iteracija: x [ 4 T x [ T Dan je sistem Ax b kjer je A 4 in b Ali Jacobijeva iteracija konvergira? Odgovor utemeljite! Naredite dva koraka Jacobijeve iteracije z začetnim približkom x [ T 6 4

Rezultati: Jacobijeva iteracija konvergira saj je matrika A (strogo) diagonalno dominantna Točna rešitev: x [ T prva in druga iteracija: x [ 4 T 4 x T [ 85 6 4 4 Dan je sistem Ax b kjer je A [ 4 in b [ 5 Ali Jacobijeva in Gauss-Seidlova iteracija konvergirata? Odgovor utemeljite! [ Naredite tri korake Jacobijeve in Gauss-Seidlove iteracije z začetnim približkom x Rezultati: Jacobijeva in Gauss-Seidlova [ iteracija konvergirata saj je matrika A (strogo) diagonalno dominantna Točna rešitev: x Prve tri iteracije z Jacobijevo metodo: [ [ [ x J 5/ x J 5/ x J 5/8 5/6 5/6 prve tri iteracije z Gauss-Seidlovo metodo: [ [ x GS 5/ x GS 5/8 5/6 5/6 5 Dan je sistem Ax b kjer je A [ 4 5 [ x GS in b [ 5 5/6 Ali Gauss-Seidlova iteracija konvergira? [ Odgovor utemeljite! Naredite tri korake Gauss-Seidlove iteracije z začetnim približkom x Rezultati: Ker sta lastni vrednosti iteracijske matrike λ 4 5 in λ po absolutni vrednosti [ 6/5 manjši kot Gauss-Seidlova iteracija konvergira Tretji korak: x točna rešitev: 44/5 x [ 5 6 Določite katerega od linearnih sistemov enačb A i x b i kjer je [ [ [ A A b lahko rešite s pomočjo Jacobijeve iteracije Vzemite začetni približek x [ T in zapišite tretjo iteracijo x Rezultati: Prva Jacobijeva iteracijska matrika ima obe lastni vrednosti enaki druga pa ima lastni vrednosti enaki ± torej lahko z Jacobijevo iteracijo rešimo le prvi sistem Dobimo x x [ T ki pa je že točna rešitev 7 Določite katerega od linearnih sistemov enačb A i x b i kjer je [ [ [ A A b lahko rešite s pomočjo Gauss-Seidlove iteracije Vzemite začetni približek x [ T in zapišite tretjo iteracijo x Rezultati: Prvi sistem ni rešljiv pri drugem pa ima Gauss-Seidlova iteracijska matrika lastni vrednosti enaki in 4 Dobimo x [ T x [ 4 T in x [ 9 6 T Točna rešitev je x [ T

Nedoločeni sistemi Naloge Poiščite točko ravnine ki leži najbliže koordinatnemu izhodišču Rešitev: Rešujemo sistem Ax b kjer je x + 4x + 5x 5 A [ 4 5 b 5 in x [ x x x T Sistem je nedoločen in ima neskončno rešitev Iščemo tisto rešitev x katere druga norma x je najmanjša Če je matrika A polnega ranga kar pomeni da so vrstice linearno neodvisne potem obstaja enolična rešitev danega problema ki jo izračunamo po formuli V našem primeru dobimo x A T y AA T y b y (AA T ) b x A T (AA T ) b x 4 5 Iskana točka je tako T ( 4 5 ) [ 4 5 Poiščite rešitev sistema Ax b kjer je [ A ki ima najmanjšo evklidsko normo 4 5 in b 5 [ Rešitev: Rešitev z najmanjšo evklidsko normo x iščemo po formuli kjer je y rešitev sistema Ker je AA T [ x A T y AA T y b ima ta sistem (4y +6y in 6y +y ) rešitev y sistema je tedaj x Poiščite rešitev sistema Ax b kjer je z najmanjšo evklidsko normo Rezultat: Rešitev sistema je x [ [ 4 6 6 [ 6 5 6 A [ in b [ 4 5 Iskana rešitev nedoločenega

Aproksimacija predoločeni sistemi Pri aproksimaciji z metodo najmanjših kvadratov iščemo vektor x R n ki minimizira drugo normo b A x kjer je A R m n b R m m > n in matrika A polnega ranga Normalni sistem QR razcep A T A x A T b R x Q T b A Q R Matrika Q R m n ima ortonormirane stolpce (Q T Q I) matrika R R n n pa je zgornja trikotna s pozitivnimi diagonalnimi elementi Naloge Poiščite vektor x ki minimizira evklidsko normo b Ax kjer je A b Rešitev: Iskani vektor x je rešitev normalnega sistema A T Ax A T b ki ima enolično rešitev če je matrika A polnega ranga To pomeni da so stolpci matrike A linearno neodvisni torej mora biti v tem primeru rang enak kar pa je izpolnjeno Ker je [ [ A T 6 A in A T b 6 4 5 je rešitev sistema [ 6 6 4 [ x x [ 5 enaka x in x Iskani vektor je tedaj x [ Poiščite vektor x ki minimizira evklidsko normo b Ax kjer je A 4 Rešitev: Iskani vektor x je rešitev sistema b Rx Q T b kjer je matrika A Q R Napravimo najprej QR razcep matrike A Prvi stolpec matrike A delimo z njegovo drugo normo in dobimo prvi stolpec matrike Q q ( 4 ) ( 4 ) ( r 6 ) 6

Drugi stolpec matrike Q dobimo tako da od drugega stolpca matrike A odštejemo pravokotno projekcijo drugega stolpca matrike A na prvi stolpec matrike Q r 6 ( 4 ) ( ) 7 q ( ) r ( 6 6 6 ) ( ) 7 6 ter nato dobljeni vektor delimo z njegovo drugo normo q q ( 9 8 5 9 ) 8 r 8 6 ( 6 ) 6 ( ) 9 8 54 5 8 77 8 54 Neničelni elementi matrike R so koeficienti r r in r Sledi 9 8 [ 6 54 Q 5 8 7 77 R 6 Ker je 6 8 54 dobimo sistem [ 7 Q T b 6 8 6 [ 5 8 59 [ x x [ 5 8 ki ima rešitev x 8 59 in x 59 Iskani vektor je tedaj x 59 8 6 [ 8 59 59 ( 9 8 5 9 ) 8 Aproksimirajte podatke v tabeli x n y n 4 po metodi najmanjših kvadratov z linearno funkcijo f(x) a x + a Rešitev: Sestavimo sistem linearnih enačb v matrični obliki Aa b kjer je x y A x in b y x y 4 Rešitev ki minimizira evklidsko normo b Aa dobimo iz normalnega sistema A T Aa A T b kjer je [ [ A T 4 6 A in A T 9 b 6 8 Ta sistem ima rešitev a [ a a Linearna funkcija ki najbolje aproksimira podatke iz tabele po metodi najmanjših kvadratov je [ y x 4

4 Aproksimirajte podatke v tabeli x n 4 y n po metodi najmanjših kvadratov s polinomom druge stopnje p(x) a x + a x + a in poiščite najmanjšo vrednost tega polinoma Rešitev: Sestavimo sistem linearnih enačb v matrični obliki Aa b kjer je x x y A x x x x 4 9 in b y y x 4 x 4 6 4 y 4 Rešitev po metodi najmanjših kvadratov dobimo iz normalnega sistema A T Aa A T b kjer je 54 A T A in A T b 4 4 Ta sistem ima rešitev a a a a 5 695 875 Kvadratna funkcija ki najbolje aproksimira podatke iz tabele po metodi najmanjših kvadratov je y 5x 695x + 875 Najmanjšo vrednost tega polinoma dobimo tam kjer je odvod y 5x 695 to je pri x min 78 in sicer y min 95 5 Aproksimirajte podatke v tabeli x n 4 5 y n 4 89 7 67 64 48 po metodi najmanjših kvadratov s funkcijo f(x) a e a x tako da uvedete nove spremenljivke za katere postane problem linearen Rešitev: Nove spremenljivke uvedemo tako da enačbo y a e a x logaritmiramo log y log a + a x označimo ter aproksimiramo podatke v tabeli Y log y in X x X n 4 5 Y n 4 4 45 7 z linearno funkcijo Y a X + a kjer je a log a in a a Dobimo sistem enačb Aa b kjer je A in b 4 4 4 45 5 7 5

Rešimo ga z uporabo normalnega sistema A T Aa A T b kjer je [ [ A T 55 5 A in A T 745 b 5 6 9 Ta sistem ima rešitev Sledi [ a a a [ 5 7 a a 5 in a e a 7 Podatke iz tabele aproksimiramo s funkcijo f(x) 7e 5x (glejte sliko) 8 6 6 Podatke x 4 y aproksimirajte z linearno funkcijo y αx + β po metodi najmanših kvadratov ter določite koeficienta α in β Rezultati: Koeficienta sta α in β iskana premica je y x + 7 Podatke x 4 y 5 aproksimirajte z linearno funkcijo y αx + β po metodi najmanših kvadratov ter določite koeficienta α in β Rezultati: Koeficienta sta α in β 6 iskana premica je y x + 6 8 Poiščite vektor x ki minimizira evklidsko normo Ax b kjer je a) A b c) A b b) A b d) A b Rezultati: [ 7 a) x [ b) x [ 7 c) x [ d) x 4 6

9 Poiščite premici ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilegata danim točkam a) T ( ) T ( ) in T ( ) b) T ( ) T ( ) in T ( 4) Rezultati: Iskani premici sta a) y x + b) y x Določite parametra a in b tako da se bo graf funkcije y a + b x čim bolj prilegal podatkom: a) { ( ) ( ) ( 8)} b) { ( ) ( ) ( 4)} Rezultati: Iskani parametri in premica so: a) a 44 96 b 7 6 475 y 44 7 6 x b) a 65 7 98 b 8 75 y 8 x + 65 7 S pomočjo linearizacije določite parametra a in b tako da se bo graf funkcije y a e bx čimbolje prilegal podatkom { ( ) ( ( ) 8)} Rezultati: Parametri: a 986 b 97 y 986e 97x (glejte spodnjo sliko) linearizacija: log y log a bx 8 6 4 Dano tabelo eksperimentalnih podatkov x n 5 5 75 y n 5 579 65 745 846 aproksimirajte po metodi najmanjših kvadratov s funkcijo y b e ax tako da problem linearizirate in dosežete najboljše prileganje grafa funkcije podatkom Rezultati: Parametri: a 557 b 75 y 75e 557x linearizacija: log y log b + ax Dano tabelo eksperimentalnih podatkov x n 4 5 y n 5 54 45 7 aproksimirajte po metodi najmanjših kvadratov s funkcijo y x e ax tako da problem linearizirate in dosežete najboljše prileganje grafa funkcije podatkom Rezultati: Parametri: a 998 y x e 998x linearizacija: log y x ax 7

4 Interpolacija in numerično odvajanje 4 Interpolacija in zlepki Polinomska interpolacija Klasična oblika: y p n (x) a n x n + a n x n + + a x + a Newtonov interpolacijski polinom (deljene razlike) Newtonova oblika: kjer je deljena razlika p n (x) n i [x x x i f (x x j ) i j [x x x k f { f (k) (x ) k! x x k [x x k f [x x k f x k x sicer Naloge Določite enačbo parabole skozi točke T ( ) T ( ) in T ( ) Rešitev: Rešujemo sistem y i ax i + bx i + c i z neznanimi koeficienti a b in c Zapišemo ga v matrični obliki a 4 b 4 c Rešitev je a 4 b 4 in c Parabola ki poteka skozi dane tri točke je podana s predpisom y 4 x + 4 x + Funkcija f je podana tabelarično x 5 4 f(x) 5 4 5 S pomočjo kvadratne interpolacije izračunajte f() Rešitev: Funkcijo f interpoliramo skozi dane točke s kvadratno funkcijo p(x) ax + bx + c Ko vstavimo podatke iz tabele dobimo sistem enačb za iskane koeficiente 5 4a + b + c 4 65a + 5b + c 5 6a + 4b + c ki ima rešitev a 5 b 45 in c 5 Iskana kvadratna funkcija je p(x) 5x 45x + 5 iskana funkcijska vrednost pa f() p() 675 8

Funkcija f je podana tabelarično x 4 5 f(x) S pomočjo kubične interpolacije izračunajte f() Rešitev: Funkcijo f interpoliramo skozi dane točke s kubičnim polinomom p(x) ax + bx + cx + d Ko vstavimo podatke iz tabele dobimo sistem enačb za iskane koeficiente a + b + c + d 8a + 4b + c + d 64a + 6b + 4c + d 5a + 5b + 5c + d ki ima rešitev a b 5 c 6 in d Iskani kubični polinom je p(x) x + 5 x + 6 x iskana funkcijska vrednost pa f() p() 5 6 58 4 Dane so tri točke v ravnini A( ) B( ) in C( ) Skozi te tri točke interpolirajte polinom druge stopnje Z Newtonovo metodo določite teme tako dobljene parabole Rešitev: Vse tri točke vstavimo v enačbo parabole y ax + bx + c in dobimo sistem 4a b + c a + b + c 9a + b + c ki ima rešitev a b 7 in c 6 5 Torej je enačba parabole y x 7 x 6 5 Teme dobimo tam kjer je odvod y 5 x 7 Za Newtonovo metodo potrebujemo še drugi odvod y 5 in primerno izbran začetni približek npr x Rešitev dobimo že po prvem koraku x x y (x ) y (x ) 7 6 Teme je v točki T ( 7 6 9 56) 5 Zapišite Newtonov interpolacijski polinom skozi točke x i 4 f i 4 Rešitev: Z uporabo formule za deljene razlike kjer so vse točke x i različne [x x k f [x x k f [x x k f x k x 9

dobimo shemo Newtonov interpolacijski polinom je x i [f [ f [ f [ f [ f 5 4 7 4 4 9 5 6 4 89 p(x) (x + ) + 5 7 89 (x + )(x ) (x + )(x )(x ) + (x + )(x )(x )(x ) 4 6 Z uporabo deljenih razlik izračunajte f(8) če je funkcija f podana tabelarično Rešitev: Tabela deljenih razlik je D x i 8 8 8 y i 6 76 75 x [x f y x [x f y [x x f y y x x x [x f y [x x f y y x x [x x x f [x x f [x x f x x vrednost funkcije v točki x izračunamo s polinomom p(x) y + [x x f(x x ) + [x x x f(x x )(x x ) V našem primeru je tabela deljenih razlik 8 6 D 8 76 6 8 75 5 55 iskana funkcijska vrednost pa p(8) 6 + 6(8 8) 55(8 8)(8 8) 8 7 Točke (x y) ki so podane tabelarično x i 4 y i interpolirajte s kubičnim zlepkom (p q) kjer je p(x) a + a x + a x + a x x [ in q(x) b + b x + b x + b x x [ 4 V točki x se naj se ujemata še prvi in drugi odvod polinomov p(x) in q(x) Rešitev: Zapišimo sistem enačb ki ima 8 enačb in 8 neznank y i p(x i ) a + a x i + a x i + a x i i y j q(x j ) b + b x j + b x j + b x j j 4 5 p (x ) q (x ) p (x ) q (x )

V našem primeru se ta sistem glasi a a + a + a + a a + a + 4a + 8a b + b + 4b + 8b b + b + 9b + 7b b + 4b + 6b + 64b a + 4a + a b 4b b a + a b b in ima rešitev a a 6 a a 6 b 7 b 95 6 b 8 in b 7 6 Iskani kubični zlepek (p q) je tedaj p(x) + 6 x x + 6 x x [ q(x) 7 + 95 6 x 8x + 7 6 x x [ 8 Interpolirajte polinom druge stopnje skozi točke T ( ) T ( ) in T ( ) Določite še koordinati temena dobljene parabole Rezultati: Interpolacijski polinom je y 5x + 55x + teme pa T ( 8 7958) 9 Dani sta točki A( ) in B( ) v ravnini Določite koeficienta a in a tako da bosta točki A in B ležali na grafu funkcije f(x) a e x + a e x Graf funkcije f seka abscisno os v natanko eni točki S pomočjo Newtonove metode poiščite približno vrednost abscise te točke na dve decimalni mesti natančno Rezultati: Koeficienta sta a 779549 in a funkcijski predpis f(x) 779549e x e x iskana abscisa pa x 95888 Poiščite polinom ki interpolira podatke v tabeli x f(x) 4 5 8 Rezultat: Interpolacijski polinom je p(x) x + 5 x 89 6 x + 4 Poiščite Newtonov interpolacijski polinom ki interpolira tabelarično podane podatke x i 5 5 65 9 y i 5 4 7 Rezultat: Newtonov interpolacijski polinom je p(x) + (x ) + )(x 5)(x 5) + 44 (x )(x 5)(x 5)(x 65) (x )(x 5) 55 (x Poiščite Newtonov interpolacijski polinom p stopnje 5 za katerega velja p() 4 p () 4 p () 8 p() p () in p () Rezultat: Newtonov interpolacijski polinom je p(x) 4 4x+4x x +x (x ) x (x )

4 Numerično odvajanje Naloge Določite uteži formule za numerično odvajanje oblike f (x) ω f(x h) + ω f(x) + ω f(x + h) tako da bo točna za polinome stopnje manjše ali enake Rešitev: Zapišimo sistem enačb kjer vstavimo f(x) { x x } ω + ω + ω ω (x h) + ω x + ω (x + h) x ω (x h) + ω x + ω (x + h) Rešitev mora biti neodvisna od x kar hitro ugotovimo z upoštevanjem prve enačbe v drugi in tretji ter dobljene druge enačbe v tretji Po krajšanju z x dobimo sistem enačb ω + ω + ω ω h + ω h ω h + ω h ki ima rešitev ω h ω in ω h Sledi formula za numerično odvajanje oblike f f(x + h) f(x h) (x) h Določite uteži formule za numerično odvajanje oblike f (x) ω f(x h) + ω f(x h) + ω f(x) tako da bo točna za polinome stopnje manjše ali enake Rešitev: Zapišimo sistem enačb kjer vstavimo f(x) { x x } ω + ω + ω ω (x h) + ω (x h) + ω x x ω (x h) + ω (x h) + ω x Rešitev mora biti neodvisna od x kar hitro ugotovimo z upoštevanjem prve enačbe v drugi in tretji ter dobljene druge enačbe v tretji Po krajšanju z x dobimo sistem enačb ω + ω + ω ω h ω h 4ω h + ω h ki ima rešitev ω h ω h in ω h Sledi formula za numerično odvajanje oblike f f(x h) 4f(x h) + f(x) (x) h Določite uteži kvadraturne formule za odvajanje oblike f (x) ω f(x) + ω f(x + h) + ω f(x + h) da bo točna za polinome stopnje manjše ali enake Rezultati: Uteži so ω h ω h in ω h 4 Določite uteži kvadraturne formule za odvajanje oblike f (x) ω f(x h) + ω f(x h) + ω f(x) da bo točna za polinome stopnje manjše ali enake Rezultati: Uteži so ω h ω h in ω h

5 Numerično integriranje Računamo integrale oblike b a f(x) dx Veljajo oznake: x a x n b h b a n x i x + i h i n (vozli x i so ekvidistantni) f i f(x i ) f(x + i h) Trapezno pravilo x x f(x) dx h (f + f ) h f () (ξ) Sestavljeno trapezno pravilo ima uteži ( ) Simpsonovo pravilo x x f(x) dx h (f + 4f + f ) 9 h5 f (4) (ξ) Sestavljeno Simpsonovo pravilo ima uteži ( 4 4 4 4 ) Triosminsko pravilo x f(x) dx h x 8 (f + f + f + f ) 8 h5 f (4) (ξ) Sestavljeno triosminsko pravilo ima uteži ( ) Pravokotniško (sredinsko) pravilo x x f(x) dx h f + h f () (ξ) Sestavljeno pravokotniško (sredinsko) pravilo ima uteži ( ) Gaussova integracijska pravila b a f(x) dx n ω i f(x i ) + Rf Vozle x i in uteži ω i določimo tako da je pravilo točno za polinome do čim višje stopnje Naloge Izračunajte integral I i x e x dx s pomočjo trapeznega Simpsonovega in triosminskega pravila za n 6 Rezultate primerjajte s točno rešitvijo Rešitev: Ker je n 6 a in b sledi h b a n x i : vozli pa so v točkah Izračun integrala s trapeznim pravilom: I trapez h ) (f( ) + f( ) + f() + f( ) + f() + f( ) + f() 67 Izračun integrala s Simpsonovim pravilom: I Simpson h ) (f( ) + 4f( ) + f() + 4f( ) + f() + 4f( ) + f() 8675 Izračun integrala s triosminskim pravilom: I /8 h ) (f( ) + f( 8 ) + f() + f( ) + f() + f( ) + f() 865 Za primerjavo točna vrednost integrala na 4 decimalna mesta je I 664

Izračunajte integral I xe x dx z uporabo trapezne in Simpsonove tretjinske formule za n 6 Rezultate primerjajte s točno vrednostjo integrala (per partes) Rešitev: Ker je h b a n I trapez h in f(x) xex dobimo s trapezno metodo ( ( ) ( ( f( ) + f + f( ) + f ) + f() + f ) ) + f() 4 s Simpsonovo tretjinsko metodo pa I Simpson h Točna vrednost integrala je I ( ( ) ( ( f( ) + 4f + f( ) + 4f ) + f() + 4f ) ) + f() 895 xe x dx xe x Sestavite enostavno kvadraturno formulo oblike e x dx xe x ex f(x) dx f(ξ ) + f(ξ ) 6e 8 kjer vozla ξ in ξ izberete tako da bo formula točna za monome f(x) { x x } S pomočjo dobljene formule izračunajte približno vrednost integrala in jo primerjajte s točno vrednostjo sin(πx) dx Rešitev: Za f(x) je pogoj na prazno izpolnjen Za f(x) x in f(x) x zapišimo sistem enačb ki ima rešitev ξ x dx (ξ + ξ ) x dx ( ξ + ξ ) ( ± ) Gornji integral izračunamo z dobljeno formulo sin(πx) dx ( ( ( )) ( ( ))) sin π + sin π + 669 in rezultat primerjamo s točno vrednostjo I π 666 4 Sestavite enostavno kvadraturno formulo oblike f(x) dx ω f ( ) + ω f() + ω f ( ) da bo točna za polinome stopnje S pomočjo dobljene formule izračunajte približno vrednost integrala in jo primerjajte s točno vrednostjo 4 xe x dx

Rešitev: Najprej določimo uteži kvadraturne formule tako da bo točna za monome f(x) { x x } Dobimo sistem enačb f(x) : f(x) x : f(x) x : dx x ω + ω + ω x dx x x dx x ω + ω 4 ω + 4 ω ki ima rešitev ω ω 4 in ω Kvadraturna formula je tedaj Gornji integral izračunamo z dobljeno formulo f(x) dx 4 f ( ) f() + 4 f ( ) xe x dx in rezultat primerjamo s točno vrednostjo I 758 5 Sestavite enostavno kvadraturno formulo oblike ( ) e e 6948 f(x) dx ωf(ξ ) + ωf(ξ ) Utež ω in vozla ξ in ξ izberite tako da bo formula točna za monome f(x) { x x } S pomočjo dobljene formule izračunajte približno vrednost integrala in jo primerjajte s točno vrednostjo Rešitev: Zapišimo sistem enačb e x dx f(x) : f(x) x : f(x) x : dx ω x dx ωξ + ωξ x dx ωξ + ωξ ki ima rešitev ω in ξ ± Kvadraturna formula je tedaj f(x) dx f Gornji integral izračunamo z dobljeno formulo ( ) ( ) + f e x dx e + e 47 in rezultat primerjamo s točno vrednostjo I e e 54 5

6 Poiščite približno vrednost integrala z enostavnim Gaussovim kvadraturnim pravilom xe x dx f(x) dx ωf(ξ) + ωf( ξ) Utež ω in vozel ξ določite tako da bo formula točna za monome f(x) { x x } Rezultat primerjajte s točno vrednostjo Rešitev: Izpolnjeni morajo biti pogoji x n dx ωξ n + ω( ξ) n n Od tod dobimo sistem enačb (prvi dve enačbi sta odvisni) ω (n ) ωξ + ω( ξ) (n ) ωξ + ω( ξ) (n ) ki ima rešitev ω in ξ 6 Gornji integral izračunamo z dobljeno kvadraturno formulo xe x dx ( ξe ξ + ( ξ)e ( ξ)) 754 in rezultat primerjamo s točno vrednostjo I e e 66 7 Sestavite enostavno kvadraturno formulo oblike f(x) dx ωf(ξ) Utež ω in vozel ξ izberite tako da bo formula točna za f(x) in f(x) x S pomočjo dobljene formule izračunajte približno vrednost integrala sin x x in jo primerjajte z vrednostjo natančno na štiri decimalna mesta ki jo dobite s pomočjo razvoja v Taylorjevo vrsto funkcije f v okolici točke Rešitev: Zapišimo sistem enačb ki ima rešitev ω in ξ Sledi sin x x dx dx ω x dx ωξ sin x dx lim x x Razvijemo funkcijo sin x v Taylorjevo vrsto v okolici točke in dobimo sin x x x! + x4 5! 6

Nato integriramo po x v mejah od do in dobimo sin x x dx x x! + x5 5 5!! + 5 5! Če želimo da se delna vsota n členov razlikuje od točne vrednosti za manj kot 4 mora biti absolutna vrednost (n + )-ega člena manj kot 4 Takšno oceno napake lahko naredimo zato ker je vrsta alternirajoča Iz (n )(n )! < 4 sledi da je n > 4 in zato sin x x dx! + 5 5! 7 7! 897 8 Sestavite formulo za približno računanje singularnih integralov oblike π/6 f(x) dx x /4 ωf(ξ) kjer je ξ π 6 Formula naj bo točna za konstanto in polinom prve stopnje Po gornji formuli izračunajte približno vrednost integrala in jo primerjajte s točno vrednostjo π/6 cos(x) dx x /4 Rešitev: Najprej določimo utež ω in vozel ξ tako da bo formula točna za f(x) in f(x) x Dobimo sistem ki ima rešitev f(x) : ω f(x) x : ωξ π 6 π 6 π x /4 dx 4x/4 6 4 4 x π x /4 dx 4 5 x5/4 6 4 5 ω 4 4 π 6 459 ξ π 47 Z uporabo dobljene formule izračunamo integral π/6 cos(x) dx x /4 Za primerjavo točna vrednost integrala je I 56 4 4 π 6 cos π 895 π 6 4 ( π ) 5 6 9 Sestavite enostavno kvadraturno formulo za singularne integrale oblike f(x) x dx ω f() + ω f ( ) + ω f() Uteži ω i i izberite tako da bo formula točna za monome f(x) { x x } S pomočjo dobljene formule izračunajte približno vrednost integrala cos x x dx in jo primerjajte z vrednostjo natančno na štiri decimalna mesta ki jo dobite s pomočjo razvoja v Taylorjevo vrsto funkcije f v okolici točke 7

Rešitev: Zapišimo sistem enačb dx x ω + ω + ω x x dx ω + ω x x dx 5 4 ω + ω ki ima rešitev ω 4 5 ω 6 5 in ω 5 Sledi Razvijemo funkcijo f(x) cos x in izračunamo integral cos x dx 4 6 x 5 cos + 5 cos 4 + 5 cos 955 v Taylorjevo vrsto v okolici x f(x) x 8 + x4 84 ( ) x/ x 8 + x7/ dx 9558 84 Rezultat se razlikuje od točne vrednosti za manj kot 468 7 5 kolikor je maksimalna vrednost prvega izpuščenega člena v razvoju v Taylorjevo vrsto (alternirajoča vrsta) Poiščite približno vrednost integrala / e x x dx s popravljenim Simpsonovim kvadraturnim pravilom za singularne integrale / f(x) dx ω f() + ω f ( ) x 4 + ω f ( ) in primerjajte rezultat z vrednostjo točno na štiri decimalna mesta ki jo dobite s pomočjo razvoja v Taylorjevo vrsto funkcije f v okolici točke Rešitev: Zapišimo sistem enačb x dx ω + ω + ω x x dx x x dx ki ima rešitev ω 5 ω 8 5 in ω / 6 4 ω + ω 6 ω + 4 ω 5 Sledi e x dx ( x 5 6e + 8e /6 + e /4) 477 Razvijemo funkcijo f(x) e x v Taylorjevo vrsto v okolici x f(x) x + x4 in izračunamo integral ( ) / x / + x7/ dx ( x x 5 x5/ + 9 x9/) / 484 8

Določite enostavno kvadraturno formulo za integrale oblike f(x)e x dx ω f() + ω f(ξ) tako da bo točna za monome f(x) { x x } Pomagajte si z integralom Izračunajte približno vrednost integralov a) I b) I x + e x dx in x e x dx x e x dx Točna vrednost prvega integrala je I 7894 drugega pa I 8867 Izračunajte relativno napako v obeh primerih Poskusite razložiti zakaj je v prvem primeru napaka mnogo manjša kot v drugem Rešitev: Ker je e x dx xe x dx in ω + ω ω ξ in ω ξ x e x dx dobimo sistem enačb ki ima rešitev ω ω in ξ Dobimo Î + 66 in Î 7 Relativna napaka Î I /I je v prvem primeru enaka 97 v drugem primeru pa Razvoj funkcije x + v Taylorjevo vrsto v okolici točke je x + + x 4 x ± kar pomeni da se ta funkcija dobro aproksimira s polinomom v okolici točke medtem ko se funkcije x ne da razviti v Taylorjevo vrsto v okolici točke Odvod v točki gre preko vseh meja Izračunajte integral π cos x π x dx s Simpsonovo tretjinsko metodo kjer interval [ π razdelite na n 6 enako dolgih podintervalov Rezultat: S Simpsonovo metodo dobimo vrednost I Simpson 7768 točna vrednost je I točna 776 Izračunajte integral sin x x s Simpsonovo tretjinsko metodo kjer interval [ razdelite na n 6 enako dolgih podintervalov Rezultat: S Simpsonovo metodo dobimo vrednost I Simpson 654 točna vrednost je I točna 654 4 Izračunajte integral s Simpsonovo triosminsko metodo a+h a f(x) dx h 8 sin x x dx dx (f(a) + f(a + h) + f(a + h) + f(a + h)) kjer interval [ razdelite na n 6 enako dolgih podintervalov Rezultat: S triosminsko metodo dobimo vrednost I /8 94685 točna vrednost je I točna 9468 9

5 Izračunajte približno vrednost naslednjih integralov: a) I sin x + x dx b) I x/4 e x dx Rezultati: a) I 584 b) I 484 6 Izračunajte približno vrednost naslednjih integralov na 4 decimalna mesta natančno: a) I cos x e x e x dx b) I dx c) I dx x x x Rezultati: a) I 89 b) I 95 c) I 6 7 Določite uteži ω ω ω tako da bo kvadraturna formula točna za polinome najvišje možne stopnje: a) b) Rezultati: f(x) x dx ω f() + ω f ( ) + ω f() f(x) dx ω f ( ) + ω f ( ) a) ω 5 ω 6 5 ω 4 5 b) ω 4 ω 8 Sestavite formulo za približno računanje integralov oblike f(x) dx x ωf(ξ) kjer je ξ Formula naj bo točna za konstanto in polinom prve stopnje Po gornji formuli izračunajte približno vrednost integrala in jo primerjajte s točno vrednostjo ( + x ) dx x Rezultati: Utež: ω vozel: ξ približna: I točna: I 4 9 Določite uteži ω ω in ω ter vozel ξ tako da bo kvadraturna formula f(x) dx ω f() + ω f(ξ) + ω f() točna za polinome najvišje možne stopnje Izračunajte približno vrednost naslednjih integralov ter jih primerjajte s točno vrednostjo na decimalna mesta natančno ki jo izračunate s pomočjo razvoja v Taylorjevo vrsto: a) sin x dx b) x/4 sin x x dx c) sin x x dx Rezultati: Uteži so ω ω 6 in ω vozel pa ξ a) Približna: I 5 točna: I 584 b) Približna: I 59 točna: I 65 c) Približna: I 47 točna: I 4 4

Določite utež in vozel kvadraturnih formul a) b) f(x) x dx ωf(ξ) f(x) 5 x dx ωf(ξ) kjer je < ξ < da bosta točni za f(x) in f(x) x Z uporabo teh formul nato izračuanjte približno vrednost integralov: a) b) Rezultati: e x x dx sin x 5 x dx a) Utež: ω vozel: ξ 5 približna: I e/5 774 točna: 459 b) Utež: ω 5 4 vozel: ξ 4 9 približna: I 5 4 sin 4 9 57445 točna: 58 Določite utež in vozel kvadraturne formule h f(x) x dx ωf(ξ) kjer je < ξ < h da bo točna za f(x) in f(x) x Z dobljeno formulo izračunajte še približno vrednost integrala π sin x dx x Rezultati: Utež: ω h vozel: ξ h približna: I 5 točna: I 9855 Določite uteži kvadraturne formule f(x) x dx ω f ( 4) + ω f() da bo formula točna za f(x) in f(x) x Z uporabo te formule nato izračuanjte približno vrednost integrala e x dx x Rezultati: Uteži: ω 8 9 ω 9 približna: I 58855 točna: I 66877 Sestavite enostavno kvadraturno formulo oblike f(x) dx ω f(ξ ) + ω f(ξ ) Uteži ω in ω ter vozla ξ in ξ izberite tako da bo formula točna za monome f(x) { x x x e x } S pomočjo dobljene formule izračunajte približno vrednost integrala dx x in jo primerjajte s točno vrednostjo Rezultati: Uteži: ω ω vozla: ξ ξ približna: I 98 točna: I 45 4