MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24
3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II ( YMM374) 1 Õppeaine maht 4 ainepunkti 2 Eeldusaine YMM3731 3 Õppeaine eesmärk Õppeaine eesmärk: Anda teoreetilised alused mitme muutuja funktsioonide diferentsiaal- ja integraalarvutuse teooriale ning ridade teooriale Õpetada lahendama mainitud teooriaga seotud põhilisi ülesandeid Näidata mitme muutuja funktsioonide diferentsiaal- ja integraalarvutuse ning ridade võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadusharudes Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga 4 Põhiõpik Tammeraid I Matemaatiline analüüs II Tallinn, TTÜ kirjastus, 23 5 Täiendav kirjandus 1 Piskunov N S iferentsiaal- ja integraalarvutus II Tallinn, Valgus,1983 2 Kangro G Matemaatiline analüüs II Tallinn, 1968 3 Lõhmus A, Petersen I, Roos H Kõrgema matemaatika ülesannete kogu Tallinn, Valgus, 1989
4 4 Reimers E Matemaatilise analüüsi praktikum II Tallinn, Valgus, 1988 5 Ruustal E Matemaatiline analüüs II Harjutused Tallinn, TTÜ kirjastus, 1994 6 Berman G N Sbornik zadaq po kursu matematiqeskogo analiza Moskva, Nauka, 1965 7 Puusemp P Lineaaralgebra Tallinn, Avita, 2 6 Õppeaine programm Järgnevalt loetletakse teemad, mis tuleb üliõpilastel omandada Iga teema järel on antud leheküljed põhiõpikust, kus antud teemat käsitletakse 61 Mitme muutuja funktsioon (lk 6 19) Hulgad mitmemõõtmelises ruumis Silindrilised ja sfäärilised koordinaadid Funktsiooni mõiste Nivoojooned ja nivoopinnad Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 62 Osatuletised ja täisdiferentsiaalid (lk 19 36) Osatuletise mõiste Täisdiferentsiaalid ja nende rakendused Liitfunktsiooni osatuletised Ilmutamata funktsiooni osatuletised Pinna puutujatasand ja normaal 63 Taylori valem ja ekstreemumid (lk 37 51) Taylori valem Lokaalne ekstreemum Tinglik ekstreemum Globaalne ekstreemum 64 Väljateooria põhimõisted (lk 51 58) Skalaarväli ja vektorväli Gradient ivergents Rootor Hamiltoni ja Laplace i operaatorid Suunatuletis 65 Arvread (lk 67 87) Arvrea mõiste Rea koonduvuse tarvilik tingimus Positiivsete arvridade võrdlustunnused Alembert i tunnus Cauchy tunnus Integraaltunnus Vahelduvate märkidega read Leibnizi tunnus Rea absoluutne koonduvus Rea tingimisi koonduvus 66 Astmeread (lk 87 112) Funktsionaalrea koonduvus ja ühtlane koonduvus Abeli teoreem Taylori rida ja Maclaurini rida Lihtsamate elementaarfunktsioonide Maclaurini reaksarendused Astmeridade rakendused
5 67 Fourier rida (lk 112-134) Ortogonaalsed polünoomid Fourier rida ortogonaalse süsteemi järgi Besseli võrratus Parsevali võrdus Fourier rida trigonomeetrilise süsteemi järgi Koosinusrida ja siinusrida Fourier rea komplekskuju 68 Fourier teisendus (lk 134-141) Fourier integraalvalem Fourier teisendus ja Fourier pöördteisendus Koosinusteisendus ja siinusteisendus 69 Kahekordne integraal (lk 148-174) Kahekordse integraali definitsioon ja omadused Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides Muutujate vahetus kahekordses integraalis Kahekordse integraali rakendused 61 Kolmekordne integraal (lk 174-191) Kolmekordse integraali definitsioon ja omadused Kolmekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides Muutujate vahetus kolmekordses integraalis Kolmekordse integraali rakendused 611 Joonintegraalid (lk 192 215) Esimest liiki joonintegraal Teist liiki joonintegraal Greeni valem Joonintegraalide rakendused 612 Pindintegraalid (lk 215 224) Esimest liiki pindintegraal Teist liiki pindintegraal Gauss-Ostrogradski valem Stokesi valem Pindintegraalide rakendused 7 Tüüpülesanded Üliõpilane peab oskama lahendada järgmisi ülesandeid ja neile sisult lähedasi ülesandeid Soovitav on enamus neist ülesannetest iseseisvalt ära lahendada Kui esitatud ülesandega sarnane ülesanne on lahendatud põhiõpikus näitena (lühend N), siis on sulgudes lisatud viide sellele Kui esitatud ülesandele sarnane ülesanne on lahendatud antud juhendi kaheksandas punktis näiteülesandena (lühend J), siis on sulgudes lisatud viide sellele Jaotises 8 on esitatud Näited, mis ei esine põhiõpikus Näiteülesannete lahendustes esinevad viited on kas põhiõpiku Lausele või valemile 71 Leidke funktsiooni z = 2 1 1 4y 2 määramispiirkond ja kujutage see graafiliselt (J81, st juhendi Näide 81) 72 Leidke funktsiooni z = + 4 y + arcsin ( y ( 1 + 2)) määramispiirkond ja kujutage see graafiliselt (J81)
6 73 Leidke funktsiooni z = 2 /4 + y 2 nivoojooned ja kujutage need graafiliselt (N117, st põhiõpiku punkti 11 Näide 7) 74 Leidke funktsiooni z = min(, y) nivoojooned ja kujutage need graafiliselt (N118) 75 Leidke funktsiooni w = z 2 + y 2 nivoopinnad Skitseerige 76 Näidake, et positiivsete, y, z ja w korral rahuldab ψ (, y) = (ln ) (ln y) seost ψ (y, zw) = ψ (, z) + ψ (, w) + ψ (y, z) + ψ (y, w) (J82) ( ) 77 Leidke f(, y), kui f y, + y = y (J83) 78 Olgu + y + z = 1 pinna võrrand ristkoordinaatides Leidke selle pinna võrrand: 1) silinderkoordinaatides; 2) sfäärkoordinaatides (J84) 79 Olgu 2 + y 2 + z = 1 pinna võrrand ristkoordinaatides Leidke selle pinna võrrand: 1) silinderkoordinaatides; 2) sfäärkoordinaatides (J84) 71 On antud joone võrrand y-tasandil 2 + y 2 = R 2 Leidke selle joone pöörlemisel ümber y-telje tekkiva pöördpinna võrrand Ümber -telje? Skitseerige saadud pind (J85) 711 On antud joone võrrand z-tasandil = 1 Leidke selle joone pöörlemisel ümber z-telje pöörlemisel tekkiva pöördpinna võrrand Skitseerige saadud pind Leidke ümber -telje pöörlemisel tekkiva pöördpinna võrrand (J85)? 4 4 y 3 712 Leidke piirväärtus lim (,y) (,) 6 + y 6 (N122) 2 y 2 713 Leidke piirväärtus lim (,y) (,) 2 + y 2 (N121) 714 Uurige funktsiooni f(, y) = 4 3 y 4 6 + y 6, kui 2 + y 2 ; 1, kui 2 + y 2 = pidevust punktis (; ) (N123) y 715 Leidke funktsiooni z = esimest järku osatuletised (N132) 2 y2 ( ) z 716 Leidke funktsiooni w = esimest järku osatuletised (N131) y 717 Leidke funktsiooni z = arctan esimest ja teist järku osatuletised (N133) y 718 Leidke funktsiooni z = arccos esimest ja teist järku osatuleti- 2 + y 2 sed (N133) 719 Leidke funktsiooni z = ln 2 + y 2 esimest ja teist järku osatuletised (N133)
7 72 Näidake, et funktsioon z = y y rahuldab seost (J86) z + yz y = ( + y + ln z) z 721 Näidake, et funktsioon z = arctan y rahuldab seost z + z yy = (J86) 722 Näidake, et z = f(y/), kus f(t) on suvaline diferentseeruv funktsioon, rahuldab seost z + yz y = (J87) 723 Näidake, et u = k f(z/; y/), kus f (p, q) on suvaline diferentseeruv kahe muutuja funktsioon, rahuldab seost u + yu y + zu z = ku (J87) 724 Leidke võrrandiga y z = ln z 3 esitatud ilmutamata funktsiooni z = z(, y) esimest ja teist järku osatuletised (J88) 725 Leidke võrrandiga + y + z = ep ( + y + z) esitatud ilmutamata funktsiooni z = z(, y) esimest ja teist järku osatuletised (J88) 726 Leidke z ja z y, kui f( y + z, yz) =, kus f(u, v) on suvaline diferentseeruv kahe muutuja funktsioon (J89) 727 Näidake, et f(, y, z) = y y = 1 y y z z = 1 (J89) 728 Leidke funktsiooni u = ln 2 + y 2 esimest järku täisdiferentsiaal (N141) 729 Leidke funktsiooni u = 2 + y 2 esimest ja teist järku täisdiferentsiaalid (N143) 73 Leidke ligikaudu ln( 3 13 + 4 98 1), kasutades täisdiferentsiaali (N142) 731 Leidke ligikaudu 13 96, kasutades täisdiferentsiaali (N142) 732 Leidke funktsiooni z = + y esimest järku Taylori arendus punkti (1; 1) ümbruses (J81) ( 733 Leidke punktis 2; 2; π ) pinnale z = arctan y konstrueeritud puutujatasandi ja normaali võrrandid (N171) 4 734 Leidke ellipsoidi 2 + 2y 2 + z 2 = 1 puutujatasandid, mis on paralleelsed tasandiga y + 2z = (N172) 735 Näidake, et pinnale yz = a 3 suvalises selle pinna punktis konstrueeritud puutujatasand moodustab koos koordinaattasanditega tetraeedri, mille ruumala ei sõltu pinnapunkti valikust (N172) 736 Leidke funktsiooni z = 2 + y + y 2 2 3y statsionaarsed punktid (N191) 737 Leidke võrrandiga 5 2 + 5y 2 + 5z 2 2y 2z 2yz 72 = esitatud funktsiooni z = z(, y) statsionaarsed punktid (N162 ja N191) 738 Leidke funktsiooni z = 2 + y + y 2 2 3y lokaalsed ekstreemumid (J811) 739 ( Veenduge, et funktsioonil z = 2 + y + y 2 + a 3 / + a 3 /y on punktis a/ 3 3, a/ 3 3 ) lokaalne miinimum (J811) 74 Leidke funktsiooni z = + y 2 2 ln (y) lokaalsed ekstreemumid (J811) 741 Leidke funktsiooni z = ep (y) tinglik ekstreemum lisatingimusel + y = 1 (N111) 742 Leidke funktsiooni z = y tinglik ekstreemum lisatingimusel 2 + y 2 = 1 (N111)
8 743 Leidke funktsiooni z = 2y 3 suurim ja vähim väärtus võrratustega, y, + y 1 määratud piirkonnas (N1111) 744 Leidke funktsiooni z = 2 y 2 suurim ja vähim väärtus ringis 2 + y 2 4 (N111) 745 Leidke grad u, kui u = arctan (y/z) (N1121) ( 746 Leidke divf ja rotf, kui F = y, y z, z ) (N1122 ja N1123) 747 Leidke divf ja rotf, kui F = ( ln( 2 y 2 ), arctan (z y), yz ) (N1122 ja N1123) 748 Leidke funktsiooni w = 2 y 2 z 2 suunatuletis punktis A vektori AB suunas, kui A(1; 1; 3) ja B(; 1; 1) (N1124) 749 Leidke funktsiooni z = 2 + y 2 suunatuletis punktis ( 3; 4), seda punkti läbiva funktsiooni nivoojoone normaali suunas (N1124) 75 On antud rea neli esimest liiget 2 3 arctan 5 + 4 arctan 3 9 + 5 arctan 4 13 + 6 arctan 5 17 + Leidke nende põhjal rea üldliikme võimalik kuju (J812) 751 Leidke rea 752 Leidke rea S (N214) 753 Uurige rea 1 (k + 1) (k + 3) osasumma S n ja rea summa S (N214) ( k ) + 2 2 k + 1 + k osasumma S n ja summa 1 koonduvust (N221) (3k 1) 3k 754 Uurige rea 3π sin 4 k koonduvust (N224) 755 Uurige rea (k + 2) (k + 4) koonduvust (N223) (2k + 1) (2k + 3) (2k + 5) 756 Uurige rea 2π tan koonduvust (N224) 5k 757 Uurige rea ( 3 ) 2 k 3 k 1 koonduvust (N226) 758 Uurige rea 759 Uurige rea 76 Uurige rea 3 k koonduvust (N231) (3k + 1)! (2k 1)!! koonduvust (N232) (3k 2)!!! 2 k 761 Uurige rea 2k ( k + 2 k + 1 4 koonduvust (N231) (k + 1) ) k 2 koonduvust (N242) 762 Uurige rea π tank koonduvust (N241) 3k 763 Uurige rea 2k + 3 lnk koonduvust (N241) k + 1 764 Uurige rea 1 k=3 koonduvust (N252) k (ln k) (ln ln k)
765 Uurige rea 1 k=2 k ln 1+α (α > ) koonduvust (N252) k 766 Uurige rea ( 1)k k sin π absoluutset ja tingimisi koonduvust 2k (J814) 767 Uurige rea (ln k) (ln (k + 1)) k=2 ( 1)k+1 absoluutset ja tingimisi koonduvust (J814) 1 k + 2 768 Uurige rea cos k k 2 koonduvust (N263) + 1 769 Uurige rea 2k + 1 1k + 2 sin kπ absoluutset ja tingimisi koonduvust 2 (J814) 77 Leidke funktsionaalrea 771 Leidke funktsionaalrea k= k= ( 1)k arcsin k koonduvuspiirkond (J815) sin ( 3 k ) koonduvuspiirkond (J815) k3 + 1 772 Leidke funktsionaalrea 2 k+1 k= ( 1)k koonduvuspiirkond (J815) k ( + 2) koonduvuspiirkond ja koonduvus- 773 Leidke astmerea 3 k+1 k k= ( 1)k+1 k + 1 raadius (N281) koonduvuspiirkond ja koonduvusraa- 774 Leidke astmerea k= dius (N281) 3 k koonduvuspiirkond ja koonduvus- 775 Leidke astmerea k= raadius (N281) 776 Leidke astmerea k= (N282) 777 Leidke 778 Leidke k k 2 k ( + 3) k k! (k + 1) ( 2) k (k) k k! 9 astmerea summa (N283) kk astmerea summa (N284) koonduvuspiirkond ja koonduvusraadius 779 Leidke funktsiooni f() = cos 2 Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N292) 3 78 Leidke funktsiooni f() = e 3/ 7 Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N292) 781 Leidke funktsiooni f() = Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N294) 2 2 782 Leidke funktsiooni f() = 2 ln ( 3 2) Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N293) 783 Leidke funktsiooni f() = cos Taylori rida punkti a = π/2 ümbruses Leidke selle rea koonduvuspiirkond (J816)
1 784 Leidke funktsiooni f() = 1 Taylori rida punkti a = 1 ümbruses 1 Leidke selle rea koonduvuspiirkond (N295) 785 Leidke funktsiooni f() = ln Taylori rida punkti a = 1 ümbruses Leidke selle rea koonduvuspiirkond (N295, N293) 786 Leidke integraal 2 d astmerea abil (N212) e 2 787 Leidke integraal sin d astmerea abil (N213) 788 Leidke integraal ln ( 1 2 2) d astmerea abil (N213) 2 789 Leidke integraal 1 1 ch (3) 2 2 d astmerea abil (N212) 79 Leidke funktsiooni arctan Maclaurini rida Lähtuge seosest arctan = d ja kasutage astmerea liikmeti integreerimist (J817) 1 + 2 791 Leidke astmerea abil diferentsiaalvõrrandi y + y = algtingimust y( 1) = 1 rahuldav erilahend (N214) 792 Leidke astmerea abil diferentsiaalvõrrandi y y = üldlahend (N215) 793 Leidke astmeridade abil diferentsiaalvõrrandi y + 4y = algtingimusi y() = 1 ja y () = rahuldav erilahend (N215) 794 Leidke e 3 Maclaurini arenduse abil täpsusega 1 4 Millist järku osasumma annab juba sellise täpsuse (N211)? 795 Leidke sin 1 Maclaurini arenduse abil täpsusega 1 4 Millist järku osasumma annab juba sellise täpsuse (N211)? 796 Leidke cos 2 Maclaurini arenduse abil täpsusega 1 4 Millist järku osasumma annab juba sellise täpsuse (N211)? 797 Arendage funktsioon f() = e Fourier ritta vahemikus ( π; π) 2πperioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2141) 798 Arendage funktsioon f() = Fourier ritta vahemikus ( π; π) 2πperioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2141) 799 Arendage funktsioon f() = 1 Fourier ritta vahemikus ( 1; 1) perioodilise trigonomeetrilise süsteemi, perioodiga 2, järgi (N2141) 71 Arendage funktsioon f() = H() 2H( 5) + H( 1) Fourier ritta vahemikus ( 1; 1) perioodilise trigonomeetrilise süsteemi, perioodiga 2, järgi (N2141) Seejuures H() on Heaviside i funktsioon 711 Arendage funktsioon koosinusritta vahemikus (; π) 2π-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2151) 712 Arendage funktsioon cos siinusritta vahemikus (; 1) 2-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2151) 713 Leidke funktsiooni f() = H() H( π) Fourier teisend (N2171) 714 Leidke funktsiooni f() = (1 ) (H( + 1) H( 1)) Fourier teisend (N2171) 715 Leidke funktsiooni g(ω) = H(ω + 2π) H(ω + π) + H(ω π) H(ω 2π) Fourier pöördteisend (N2172)
11 716 Leidke funktsiooni f() = { 2, kui 1,, kui > 1 Fourier koosinusteisend (N2181) 717 Leidke funktsiooni {, kui [ 2; 2], f() =, kui ( ; 2) (2; + ) Fourier siinusteisend (N2182) 718 Hinnake integraali I = ( + y + 2) ds, kui on võrratustega 1 2 ja y 2 määratud ristkülik (J818) 719 Arvutage kahekordne integraal ddy ( + y + 1) 2, kui : 1 y 1 (N321) 711 Arvutage kahekordne integraal sin( + y)ddy, kui : π y π (N321) 7111 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on rööpkülik külgedega y =, y = 9, y = ( 3) /2, y = ( + 6) /2 (J82) 7112 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on määratud võrratustega y 2, y 2, y 12 (J82) 7113 Muutke avaldises 1 d f(, y)dy integreerimise järjekorda (J821) 2 7114 Muutke avaldises r dy y f(, y)d integreerimise järjekorda r r 2 y2 (J821) 7115 Muutke avaldises 1 dy 3 2y y f(, y)d integreerimise järjekorda (J821) 7116 Arvutage 4 2 y 2 ddy, kui on ringi 2 + y 2 4 teises veerandis paiknev osa (N822) 7117 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kasutades polaarkoordinaate, kui piirkond on määratud ringjoontega 2 + y 2 = 2y, 2 + y 2 = 4y ja sirgetega y = ning y = /2 (J822) 7118 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kasutades polaarkoordinaate, kui piirkond on määratud võrratustega, y ja ( 2 + y 2 ) 3 4a 2 2 y 2 (a > ) (J822) 7119 Teisendage integraal R R dy R 2 y 2 f(, y)d polaarkoordinaatidesse (J823) 712 Teisendage integraal R/ 1+R 2 dy Ry f (/y) d + R R/ 1+R 2 dy R 2 y 2 f(/y)d polaarkoordinaatidesse (J823) 7121 Arvutage integraal R dy R 2 y 2 ln(1 + 2 + y 2 )dy, teisendades polaarkoordinaatidesse (J823) 7122 Arvutage integraal R2 2 y 2 ddy, kus on ring 2 +y 2 Ry (N331)
12 7123 Arvutage kolmekordne integraal c d 2 dy +y y 22 y 2 zdz (N362) 7124 Arvutage ddydz, kus Ω on määratud tasanditega =, Ω (4 + + y + z) 3 y =, z =, + y + z = 4 (N362) 7125 Ω y sin(z + )ddydz, kus Ω on pindadega y =, y =, z = ja + z = π/2 piiratud piirkond (N363) 7126 Määrake rajad kolmekordses integraalis f(, y, z)ddydz antud Ω Ω korral, kasutades silinderkoordinaate, kui Ω on piirkond, mis on piiratud silindriga 2 + y 2 = 2y, tasandiga z = ja paraboloidiga z = 2 + y 2 (N371) 7127 Määrake rajad kolmekordses integraalis f(, y, z)ddydz antud Ω korral, kasutades silinderkoordinaate, kui Ω on Ω kahe kera 2 + y 2 + z 2 R 2 ja 2 + y 2 + (z R) 2 R 2 ühisosa (N372) 7128 Arvutage 2 2 d 4 2 4 2 dy 4 2 y 2 4 2 y 2 2 + y 2 + z 2 dz, kasutades sfäärilisi koordinaate (J824) 7129 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega z = 2 + y 2, =, y =, z =, + y = 2 (N343) 713 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega = y, y = 2 y, z =, y + z = 4 (N343) 7131 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 = R 2, 2 + z 2 = R 2 (N381) 7132 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega z 2 = y, + y = 1, z = (z ) (N381) 7132 1/45 7133 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 = R 2, z = 2 + y 2, z + y = 2R (N381) 7134 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 = R 2, Rz = 2R 2 2 y 2, z = (N381) 7135 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 + z 2 = R 2, 2 + y 2 = Ry (N381) 7136 Leidke koonuse z 2 = 2 + y 2 osa, mis ülalpool tasandit z = ja allpool tasandit z = ( ) 3 2 + 1, pindala (N344) 7137 Leidke koonuse z 2 = 2 +y 2 osa, mis on välja lõigatud silindriga z 2 = 2p, pindala (N344) 7138 Leidke pinna 2 + y 2 + z 2 = R 2 osa, mis on välja lõigatud silindriga 2 + y 2 = Ry, pindala (N344) 7139 Leidke ühtlase pindtihedusega kesknurgaga α ja raadiusega R ringi segmendi raskuskeskme koordinaadid (N347) 714 Leidke (ühtlase pindtihedusega ρ) ringi, raadiusega R, inertsmoment puutuja suhtes (N348) 7141 Leidke pindadega =, y =, z =, = 2, y = 4, + y + z = 8 piiratud, tihedusega ρ (, y, z) = + y + z, keha massikeskme koordinaadid (N382) 7142 Leidke (ühtlase tihedusega γ ) kera, raadiusega R, inertsmoment diameetri suhtes (N382)
7143 Arvutage joonintegraal ds Γ + y, kus Γ on sirge y = 2 osa punktide 3 A(; 2) ja B(3; 1) vahel (N391) 7144 Arvutage joonintegraal Γ (2 + y 2 ) n ds, kus Γ on ringjoon = a cos t, y = a sin t (N392) 7145 Arvutage joonintegraal Γ 2yds, kus Γ on tsükloidi = a(t sin t), y = a(1 cos t) esimene kaar (N392) 7146 Γ (3z 2 + y 2 )ds, kus Γ on = t cos t, y = t sin t, z = t ( t 2π) (N392) 7147 Leidke punktide A(; ; ) ja B(3; 3; 2) vahel paikneva kaare = 3t, y = 3t 2 ja z = 2t 3 pikkus (N3121) 7148 Arvutage joone = at, y = at 2 /2, z = at 3 /3 ( t 1) mass, kui joontihedus ρ (, y, z) = 2 2y/a + 12z/a (N3122) 7149 Arvutage ühtlase tihedusega ρ ringjoonekujulise kujundi inertsmoment diameetri suhtes (raadius R) (N3122) 715 Arvutage teist liiki joonintegraal Γ y2 d y dy, kus Γ on sirge a + y b = 1 sirglõik punktist (a; ) punkti (; b) (N312) 7151 Arvutage y 3 d 3 dy Γ ( 2 + y 2 2, kus Γ on poolringjoon = R cos t, y = R sin t ) (t = t = π) (N311) 7152 Arvutage yd + dy + (2 y + z)dz, kus Γ on sirglõik punktist Γ ( 1; 1; 1) punkti (2; ; 3) (N311) 7153 Arvutage Γ yzd + z R 2 y 2 dy + ydz, kus Γ on joone = R cos t, y = R sin t, z = at osa lõikumisest tasandiga z = lõikumiseni tasandiga z = a 2π (N311) 7154 Teisendage joonintegraali Γ (1 3 )yd + (1 + y 3 )dy Greeni valemi abil, kui Γ on kinnine sile joon, mida läbitakse positiivses suunas (N3111) 7155 Teisendage Greeni valemi abil integraali (f( + y) + f( y)) d + (f( + y) f( y)) dy, kui f on suvaline diferentseeruv funktsioon ja Γ on kinnine sile joon, mida läbitakse positiivses suunas Γ (N3112) 7156 Arvutage Greeni valemi abil Γ ey d + e dy, kui Γ on kolmnurga, tippudega A (; ), B (1; ) ja C (1; 1), rajajoon (N3111) 7157 Leidke Greeni valemi abil Γ arctan y dy ln + yd, kui Γ on ringjoon 2 + y 2 = R 2 (N3111) 7158 Arvutage (2;3) yd + dy (N3113) ( 1;2) 7159 Taastage joonintegraali abil kahe muutuja funktsioon u tema täisdiferentsiaali du = 2 d + y 2 dy põhjal (N3128) 716 Leidke joonintegraali abil kinnise joonega = a cos 3 t, y = a sin 3 t ( t 2π) piiratud kujundi pindala (N3126) 7161 Leidke joonintegraali abil kinnise joonega ( 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( 2 y 2 ) piiratud kujundi pindala (N3127) 13
14 7162 Arvutage pindintegraal (z + 2 + 4y/3)dσ, kus Σ on tasandi Σ 2 + y 3 + z = 1 osa, mis paikneb esimeses kaheksandikus (N3131) 4 7163 Arvutage pindintegraal ( Σ 2 + y 2) dσ, kus Σ on koonuse z = 2 + y 2 osa, mis rahuldab tingimusi 1 2 + y 2 4 (N3131) 7164 Arvutage pindintegraal Σ dσ, kus Σ on sfääri 2 + y 2 + z 2 = R 2 osa, mis on esimeses kaheksandikus (N3131) 7165 Leidke pindtihedusega ρ(, y, z) = 1 kolmnurkse kooriku + y + z = 1 (, y, z ) inertsmoment koordinaatide alguspunkti suhtes (N3152) 7166 Leidke paraboolse kooriku z = ( 2 + y 2) /2 ( z 1), pindtihedusega ρ(, y, z) = z, mass (N3152) 7167 Arvutage pindintegraal dydz + yddz + zddy, kus Σ on tasandi Σ + y + z = 1 see osa, mis paikneb esimeses oktandis Valige pinnapool, millel normaal moodustab koordinaattelgede suundadega teravnurgad (N3132) 7168 Arvutage Σ yzddy, kus Σ on poolsfääri z = R 2 y 2 alumine pinnapool (N3132) 7169 Leidke vektori F = (y, z, ) voog läbi tasanditega =, y =, z = ja + y + z = 1 määratud püramiidi välise pinnapoole (N3141) 717 Leidke Gauss-Ostrogradski valemi abil yzddy + zdudz + yddz, Σ kus Σ on pindadega 2 + y 2 = R 2, =, y =, z =, z = H esimeses kahesandikus määratud keha välispinna väline pinnapool (N3141) 7171 Leidke Gauss-Ostrogradski valemi abil yz ddy, kus Σ on pindadega Σ z = ja z = R 2 2 y 2 määratud keha väline pinnapool (N3141) 7172 Kasutades Stokesi valemit, teisendage joonintegraali Γ (2 + z 2 )d + ( 2 + z 2 )dy + ( 2 + y 2 )dz (N3144) Vastused 5 y 71 1 y 5 1 5 72 y 1/ ( 1 + 2), 1 y 1 y = 1/ ( 1 + 2) 3 y C = 3 73 Ellipsid 2 /4 + y 2 = C 2 2 4 6 (C = 1; 2; 3),
15 C = 1 y C = 2 2 74 min(, y) = C 1 (C = 1; 1; 2), 1 1 2 75 Koonused z 2 + y 2 = C (C = ; 1; 2), z 1 C = 2 C = 1 C = 1 C = 2 y 77 f(, y) = y2 ( + 1) 2 78 ρ cos ϕ + ρ sin ϕ + z = 1, ρ sin ψ cos ϕ + ρ sin ψ sin ϕ + ρ cos ψ = 1 79 ρ 2 + z = 1, ρ 2 sin 2 ψ + ρ cos ψ = 1 z 71 Sfäär 2 + y 2 + z 2 = R 2 R 2 + y 2 + z 2 = R 2 R R y 711 Silinderpind 2 + y 2 = 1, tasand = 1 z 2 + y 2 = 1 712 713 Sellest funktsioonist ei eksisteeri piirväärtust punktis (; ) 714 Katkev punktis (; ) 715 z = y/ ( 2 y 2 ) 3, z y = 2 / ( 2 y 2 ) 3 y
16 ( ) z 716 w = ln z y y, w y = ( ) z, w z = ( ) z y y z y y 717 z = y 2 + 2, z y = y 2 + 2, z = 2y (y 2 + 2 ) 2, z y = 2 y 2 (y 2 + 2 ) 2, 2y z yy = (y 2 + 2 ) 2 718 z = y y 2 + 2, z y = z yy = 2y (y 2 + 2 ) 2 719 z = y 2 + 2, z y = y 2 + 2, z = z yy = 2 y 2 (y 2 + 2 ) 2 z 2 724 z = (y + z), z y = z y + z, z yy = z2 (y + z) 3, yz 2 z y = (y + z) 3, z = z2 y 2 2 (y + z) 3 725 z = z y = 1, z = z y = z yy = 2y (y 2 + 2 ) 2, z y = y2 2 (y 2 + 2 ) 2, y y 2 + 2, z = y2 2 (y 2 + 2 ) 2, z y = 2y (y 2 + 2 ) 2, 726 z = f u( y + z, yz) + yzf v ( y + z, yz) f u ( y + z, yz) + yf v ( y + z, yz), z y = f u( y + z, yz) zf v ( y + z, yz) f u ( y + z, yz) + yf v ( y + z, yz) 728 du = 729 du = d + y dy 2 + y 2 d + y dy 2 + y 2, d2 u = y2 (d) 2 2y ddy + 2 (dy) 2 ( ( 2 + y 2 ) 3 ) 73 5 731 13 732 + y = 2 + 1 2 2 + y 1 2 2 ( 1)2 + 2 ( 1) (y 1) + (y 1) 2 8 (2 + θ ( 1) + θ (y 1)) 3 733 z + π 4 = 1 4 ( 2) + 1 2 (y + 2), 4 1/4 = y + 2 1/4 = z + π/4 ( 1 734 ± 2 ) ( y 1 ) ( + 2 z ± 4 ) = 22 22 22 736 (1/3; 4/3) 737 P 1 (1; 1; 4), P 2 ( 1; 1; 4) 738 min z = z (1/3; 4/3) = 7/3 74 min z = z(2; 1) = 3 ln 4 741 min z = z (1/2; 1/2) = 4 e +y=1
17 742 min z = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = 1/2, 2 +y 2 =1 ma z = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = 1/2 2 +y 2 =1 743 min z = z(; 1) = 5, ma z = z (1; ) = 2 744 min z = z(; ±2) = 4, ma z = z (±2; ) = 4 ( ) yz 745 z 2 + 2 y 2, z z 2 + 2 y 2, y z 2 + 2 y 2 1 746 y + 1 z + 1, ( y/z 2, z/ 2, /y 2) ( ) 2 747 2 y 2 1 1 + z 2 2zy + y 2 + y, 1 z 1 + (z y) 2, yz, 2y 2 y 2 748 22 749 1 75 k + 2 arctan k + 1 4k + 1 n (5n + 13) 751 12 (n 2 + 5n + 6), 5 12 752 1 2 + n + 2 n + 1, 1 2 753 Koonduv 754 Koonduv 755 Hajuv 756 Hajuv 757 Koonduv 758 Koonduv 759 Koonduv 76 Hajuv 761 Koonduv 762 Koonduv 763 Koonduv 764 Hajuv 765 Koonduv 766 Tingimisi koonduv 767 Tingimisi koonduv 768 Absoluutselt koonduv 769 Hajuv 77 ( sin 1; sin 1) 771 R 772 ( ; 4) (; + ) 773 ( 1/3; 1/3], 1/3 774 R, + 775 ( 1; 5), 3 776 [ e 1, e 1), e 1 777 ln (1 ) 778 / ( 1) 2
18 779 78 781 ( 1) k 2 2k 2k k= 3 2k (2k)!, R 3 k k k= 7 k k!, R + (2k 1)!! 2 2 2k+5 k! 2k+1, [ 2; 2 ) 782 2 ln 3 2k+2 k3 k, ( 3; 3 ) 783 ( 1) k+1 ( π/2) 2k+1, R k= (2k + 1)! 784 ( + 1) k 2 k+1, ( 3; 1) k= 785 ( 1) k+1 ( 1) k, [; 2) k 786 ( 1) k 2 2k+1 k= (2k + 1) k! 787 C + ( 1) k 2k+1 (2k + 1)! (2k + 1) k= 788 C 789 79 k= 2 k 2k 1 k(2k 1) 3 2k (4k 2) (2k)! ( 1) k 2k+1 2k + 1 791 1 2 ( + 1) + 3 ( 1) k ( + 1) k k! k=2 792 C 2 + (C 1 C 2 ) + C 2 793 ( 1) k 2 2k 2k k= (2k)! 794 4 481 7, 9 795 998, 3 796 98, 2 797 e sh π π + 2 sh π π 798 2 k=2 ( 1) k+1 sin k k 799 1 5 + 4 π 2 k= ( 1) k k k! ( 1) k (cos k + k sin k) 1 + k2 cos ((2k + 1) π) (2k + 1) 2
19 71 f() 1 2 sin kπ 1 + ( 1) k 2 cos kπ 2 =1 cos (kπ) + 2 sin (kπ) π k k 711 π 2 4 cos (2k 1) π (2k 1) 2 ( (; π)) ( ) 712 cos 2π k 1 + ( 1) k+1 cos 1 sin (kπ) ( (; 1)) 713 sin πω ω + i cos πω 1 ω k 2 π 2 1 714 2 (1 cos ω) / ( ω 2) 1 sin 2π sin π 715 π 716 2 ( ω 2 sin ω 2 sin ω + 2ω cos ω ) / ( πω 3) 717 2 2 ( sin ω cos ω 2ω cos 2 ω + ω ) / ( πω 2) 718 6 I 12 719 ln 4 3 711 4 7111 1 2 d (+6)/2 f(, y)dy + 4 1 d (+6)/2 ( 3)/2 + 7 4 d 9 f(, y)dy ( 3)/2 f(, y)dy+ 7112 4 d 2 f(, y)dy + 9 4 d f(, y)dy + 16 d f(, y)dy 9 12 7113 1 dy y f(, y)d y r 7114 d 2r 2 f(, y)dy 7115 1 d 2 f(, y)dy + 3 1 d (3 )/2 f(, y)dy 7116 4π/3 7117 π/4 arctan 5 dϕ 4 sin ϕ ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ 2 sin ϕ 7118 3π/2 dϕ a sin 2ϕ ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ π 7119 3π/2 dϕ R ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ π/2 R 2 π/2 712 f (cot ϕ) dϕ 2 arctan(1/r) π [( 7121 ) 1 + R 2 ln ( 1 + R 2) R 2] 4 R 3 [ 7122 π 4 ] 3 3 15 7123 8 c8
2 7124 ln 2 5/16 7125 π/4 1/2 7126 π dϕ 2 sin ϕ ρdρ ρ 2 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz 7127 2π dϕ R 3/2 ρdρ R 2 ρ 2 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz R R 2 ρ2 7128 16π 7129 8/3 713 128/15 7131 16R 3 /3 7132 1/45 7133 4πR 3 /3 7134 3πR 3 /2 7135 4R 3 (π/2 2/3) /3 7136 24 2π 7137 2 2πp 2 7138 2R 2 (π 2) 7139 raskuskese asetseb nurga α poolitajal kaugusel (4R sin (α/2)) / (3α) tsentrist 714 5πR 4 ρ/4 7141 (471/344; 81/86; 743/344) 7142 8πγR 5 /15 7143 1 (ln 2) /2 7144 2πa 2n+1 7145 4πa a 7146 4 [ (1 2 ) ] + 2π 2 3/2 1 /3 7147 5 7148 2a ( 3 3 1 ) /3 7149 πρr 3 715 ab 2 /2 7151 3π/4 7152 7 7153 7154 ( 3 + y 3) ddy 7155 7156 2 e 1/e 7157 7158 8 7159 ( 3 + y 3) /3 + C 716 3πa 2 /8 7161 2a 2 7162 4 61 7163 15 2π/2 7164 πr 3 /4 7165 3/4 7166 ( 2 + 12 3 ) π/15
21 7167 1/2 7168 7169 717 R 2 H ( 2R 3 + πh 8 ) 7171 7172 2 ( y) ddy + (y z) dydz + (z ) ddz Σ 8 Näidisülesanded koos lahendustega 81 Leiame funktsiooni 4 y 2 z = ln (1 2 y 2 ) määramispiirkonna ja kujutame selle graafiliselt Kuna 4 y 2 on määratud, kui 4 y 2, ja ln ( 1 2 y 2) on määratud, kui 1 2 y 2 >, ning jagatis 4 y 2 / ln ( 1 2 y 2) on määratud, kui ln ( 1 2 y 2), st 1 2 y 2 1, siis tingimuste ehk (miks?) { 4 y 2, 1 2 y 2 >, 1 2 y 2 1 4 y 2, 1 > 2 + y 2 > abil saame uuritava funktsiooni määramispiirkonna Skitseerime y-tasandil parabooli 4 = y 2 ja ringjoone 2 + y 2 = 1 ning punkti A(; ) : 2 + y 2 = 1 y A 4 = y 2 Nii parabool kui ka ringjoon jaotavad y-tasandi kahte ossa, kusjuures ühes neist on vastav võrratus rahuldatud Viirutame piirkondade (milliste?) ühisosa Noolekesed rõhutavad viirutamisel, et ringjoone punktid ei kuulu määramispiirkonda Samuti ei kuulu määramispiirkonda punkt A 1
22 82 Näitame, et funktsioon ϕ (, y) = y rahuldab seost ϕ (a + bz, cy + dw) = acϕ (, y) + bcϕ (z, y) + adϕ (, w) + bdϕ (z, w) Et ϕ (a + bz, cy + dw) = (a + bz) (cy + dw) = ja = acy + adw + bczy + bdzw acϕ (, y) + bcϕ (z, y) + adϕ (, w) + bdϕ (z, w) = = acy + bczy + adw + bdzw, siis seos on rahuldatud 83 Leiame f(, y), kui f ( y, + y) = 2 + y 2 2y Olgu u = y ja v = + y Sellise tähistuse korral = (u + v) /2 ja y = (v u) /2 ning f (u, v) = ((u + v) /2)2 + ((v u) /2) 2 2 ((u + v) /2) ((v u) /2) = u2 + v 2 v 2 u 2 Seega f(, y) = 2 + y 2 y 2 2 84 Olgu 2 + y 2 z 2 = pinna võrrand ristkoordinaatides Leiame selle pinna võrrandi: 1) silinderkoordinaatides; 2) sfäärkoordinaatides 1) Et ristkoordinaate, y, z ja silindrilisi koordinaate ρ, ϕ ning z seovad valemid (vt (111), st põhiõpiku valemid (111)) siis ehk = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, (ρ cos ϕ) 2 + (ρ sin ϕ) 2 z 2 = ρ 2 z 2 = on vaadeldava pinna võrrand silinderkoordinaatides Kuna ristkoordinaate, y, z ja sfäärilisi koordinaate ρ, ϕ ning ψ seovad valemid (vt (112)) = ρ sin ψ cos ϕ, y = ρ sin ψ sin ϕ, z = ρ cos ψ, siis ehk või (ρ sin ψ cos ϕ) 2 + (ρ sin ψ sin ϕ) 2 (ρ cos ψ) 2 = ρ 2 sin 2 ψ ρ 2 cos 2 ψ = ρ = tan 2 ψ = 1
23 Et ψ [, π], siis tan 2 ψ = 1 ( ψ = π/4 ψ = 3π/4) Seega ρ =, ψ = π/4 ja ψ = 3π/4 on vaadeldava pinna võrrandid sfäärkoordinaatides 85 Olgu + z = joone võrrand z-tasandil Leida selle joone pöörlemisel ümber z-telje tekkiva pöördpinna võrrand Ümber -telje? Skitseerige ümber z-telje pöörlemisel tekkiv pind Kui joon on antud y-tasandil, siis joone pöörlemisel ümber y-telje tuleb: 1 joone võrrandist avaldada ; 2 leida 2 ; 3 asendada saadud esituses 2 suurusega 2 + y 2 Seega + z = 1 = z 2 2 = ( z) 2 3 2 + y 2 = z 2 Skitseerime tekkiva koonuse z z 2 = 2 + y 2 y Analoogiliselt saame joone + z = ümber -telje pöörlemisel tekkiva pöördpinna võrrandi + z = z = z 2 = ( ) 2 z 2 + y 2 = 2 86 Näitame, et funktsioon z = arctan y rahuldab seost z + z yy = Kuna y z = y 2 + 2, z = 2y (y 2 + 2 ) 2, z y = y 2 + 2, z 2y yy = (y 2 + 2 ) 2 siis z + z yy = 2y (y 2 + 2 ) 2 + 2y (y 2 + 2 ) 2 =
24 87 Näitame, et z = f( 2 y 2 ), kus f(t) on suvaline diferentseeruv ühe muutuja funktsioon, rahuldab seost Kuna z = z = f(2 y 2 ) z = z y = f(2 y 2 ) y yz + z y = = f(2 y 2 ) ( 2 y 2 ) ( 2 y 2 = f ( 2 y 2 )2, ) = f(2 y 2 ) ( 2 y 2 ) ( 2 y 2 = f ( 2 y 2 ) ( 2y), ) y siis yz + z y = 2yf ( 2 y 2 ) 2yf ( 2 y 2 ) = 88 Leiame võrrandiga 2 y 2 + z 2 = a 2 esitatud ilmutamata funktsiooni z = z(, y) esimest ja teist järku osatuletised Funktsiooni z = z(, y) esimest järku osatuletisted leidmisel rakendame põhiõpiku valemeid (167): z = 2 2z = z, z y = 2y 2z = y z Seega ( ) z=z(,y) ( 1) z ( ) z z = (z ) = = z z 2 = ( z + ) = z z 2 = 2 + z 2 z 3, ( ) z=z(,y) z ( ) z y y z y = (z ) y = = z z 2 = z z 2 ( y ) z yy = (z y ) y = z y y z=z(,y) = 1 z y z y z 2 = = y z 3, z y y z z 2 = z2 y 2 z 3 89 Näitame, et seosest ϕ(c az, cy bz) =, kus ϕ (u, v) on suvaline diferentseeruv kahe muutuja funktsioon ja u = c az ning v = cy bz, järeldub seos az + bz y = c
25 Saame Seega z (167) = (ϕ(u, v)) (ϕ(u, v)) z (156) = ϕ u(u, v) u + ϕ v (u, v)v ϕ u (u, v) u z + ϕ v (u, v) v z = ϕ u (u, v) c = ϕ u (u, v) ( a) + ϕ u (u, v) ( b) = cϕ u (u, v) aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v), z y (167) = (ϕ(u, v)) y (ϕ(u, v)) z (156) = ϕ u(u, v) u y + ϕ v (u, v)v y ϕ u (u, v) u z + ϕ v (u, v) v z = ϕ v (u, v) c = ϕ u (u, v) ( a) + ϕ u (u, v) ( b) = cϕ v (u, v) aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v) cϕ u (u, v) az + bz y = a aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v) + b cϕ v (u, v) aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v) = c 81 Leiame funktsiooni z = 1 + y (2; 3) ümbruses esimest järku Taylori arenduse punkti siis Kuna 1 z = z y = ( + y) 2, z 2 = z y = z yy = ( + y) 3, z (2; 3) = z y (2; 3) = 1 25, z (2 + θ ( 2) ; 3 + θ (y 3)) = z y (2 + θ ( 2) ; 3 + θ (y 3)) = = z yy (2 + θ ( 2) ; 3 + θ (y 3)) = 2 (5 + θ ( 2) + θ (y 3)) 3 ja valemite (184) ning (185) abil saame 1 + y = 1 5 2 25 y 3 25 + ( 2)2 + 2 ( 2) (y 3) + (y 3) 2 (5 + θ ( 2) + θ (y 3)) 3 811 Leiame funktsiooni z = 2 2 + 4y + 2y 2 4 y 4 lokaalsed ekstreemumid Kuna z = 4+4y 4 3 ja z y = 4+4y 4y 3, siis funktsiooni statsionaarsete punktide leidmiseks tuleb lahendada süsteem { 4 + 4y 4 3 = 4 + 4y 4y 3 = Lahutades süsteemi teise võrrandi esimesest, saame 4y 3 4 3 = = y
26 Seega 8 4 3 = 4 ( 2 2) = ja statsionaarseid punkte on kolm: P 1 (, ), P 2 ( 2, 2), P 3 ( 2, 2) Et z = 4 12 2, z y = 4, z yy = 4 12y 2, siis z (P 1 ) = 4, z y (P 1 ) = 4, z yy (P 1 ) = 4, z (P 2 ) = z (P 3 ) = 2, z y (P 2 ) = z y (P 3 ) = 4, z yy (P 2 ) = z yy (P 3 ) = 2 Et (vt Lauset 191 ) z (P 2 ) z yy (P 2 ) (z y (P 2 )) 2 = 384 > z (P 3 ) <, z (P 3 ) z yy (P 3 ) (z y (P 3 )) 2 = 384 > z (P 3 ) <, siis funktsioonil on punktides P 2 ja P 3 lokaalne maksimum, kusjuures z(p 2 ) = z(p 3 ) = 8 Kuna z (P 1 ) z yy (P 1 ) (z y (P 1 )) 2 = 4 4 4 2 =, siis punkti P 1 korral ei ole Lause 191 rakendatav Leiame funktsiooni neljandat järku Taylori arenduse punkti (; ) ümbruses z = 1 ( 4 2 + 8y + 4y 2) + 1 2! 4! = 2 ( + y) 2 ( 4 + y 4) ( 24 4 24y 4) = Kui = y, siis punkti P 1 (; ) küllalt väikeses ümbruses z > Kui = y, siis z Seega punktis P 1 ei ole funktsioonil lokaalset ekstreemumit 812 On antud rea neli esimest liiget 3 6 7 12 + 11 24 15 + Leiame nende 48 põhjal rea üldliikme võimaliku kuju Rea liikmed on murrud Murdude lugejad on saadavad eelneva murru lugejast nelja liitmisel Lugeja on 4k 1, kus k on rea liikme number Antud murdude nimetajad on saadavad eelneva murru nimetajast kahega korrutamisel Nimetaja on 6 2 k 1 = 3 2 k Rea liikmete märgid vahelduvad Selle kirjeldamiseks korrutame murdu teguriga ( 1) k+1 Astmenäitajaks valime k + 1, et saada k = 1 korral kordajaks pluss üks Järelikult ( 1) k+1 4k 1 on rea üldliikme võimalik 3 2k kuju 813 Uurime rea sin kπ 2 koonduvust Kuna lim sin kπ k 2, siis ei ole täidetud rea a k koonduvuse tarvilik tingimus lim a k =, st uuritav rida on hajuv k 814 Uurime rea 3 k + 2 ( 1)k+1 absoluutset ja tingimisi koonduvust k + 7 Kuna ( 1)k+1 3 k + 2 k + 7 = 3 / k + 2 3 k + 2 lim k + 7 k k + 7 1 6 k = 1,
siis rea 1/ 6 k hajuvusest (vt Näidet 251) järeldub (vt Lauset 224), et rida 3 k + 2 on hajuv Seega uuritav rida ei ole absoluutselt koonduv k + 7 Et lim k ( 1)k+1 3 k + 2 k + 7 = lim 1/ 6 k + 2/ k k ( 1)k+1 1 + 7/ k =, ( ) 3 k + 2 siis on täidetud rea koonduvuse tarvilik tingimus Jada ( k ) ei ole + 7 monotoonselt kahanev k N korral ja Leibnizi ( tunnus ) (Lause ( 261) ei ole vahetult rakendatav Muutuja k funktsioonil 3 k ) k + 2 / + 7 on lõplik arv lokaalseid ekstreemume, st muutuja k teatud väärtusest alates on vaadeldav jada monotoonselt kahanev Rakendame Lauset 212 ja Leibnizi tunnust Seega on uuritav rida tingimisi koonduv 815 Leiame funktsionaalrea k= lnk (e) koonduvuspiirkonna Fikseerime muutuja väärtuse Saame arvrea k= lnk (e) Uurime saadud arvrea absoluutset koonduvust, st uurime arvrea k= ln k (e) koonduvust Kasutame positiivse arvrea k= ln k (e) koonduvuse uurimiseks Cauchy tunnust Kuna ln k (e) k = lim ln (e) = ln (e), k siis lim k ln (e) < 1 1 < ln (e) < 1 e 1 < e < e e 2 < < 1 korral on uuritav arvrida absoluutselt koonduv Kui fikseerisime muutuja väärtuse selliselt, et ( e 2 ; 1 ), siis arvrida k= lnk (e) koondub absoluutselt Seega uuritav funktsionaalrida koondub absoluutselt vahemikus ( e 2 ; 1 ) Et / ( e 2 ; 1 ) ln (e) 1, siis / ( e 2 ; 1 ) korral ei ole täidetud rea koonduvuse tarvilik tingimus ja ( ; e 2 ] [1; + ) on funktsionaalrea hajuvuse piirkond Märgime, et antud ülesande korral funktsionaalrea koonduvuse ja absoluutse koonduvuse piirkonnad ühtivad 816 Leiame funktsiooni f() = sin Taylori rea punkti a = π ümbruses Leiame selle rea koonduvuspiirkonna Kuna sin = sin (( π) + π) = sin ( π) cos π + cos ( π) sin π = sin ( π), 27
28 siis sin = [ ] rakendame seost (291), sin ( π) = asendades π = ( 1) k ( π) 2k+1 = ( 1) k+1 ( π) 2k+1 (2k + 1)! (2k + 1)! k= k= π <+ = Saadud reaksarendus koondub, kui π < + 817 Leiame funktsiooni arcsin Maclaurini rea Lähtume seosest arcsin = d ja kasutame astmerea liikmeti integreerimist 1 2 Kuna ( 1 + ( 2 )) 1/2 (2914) = 1 + = 1 + ( ) ( 1 2 1 2 1) ( 1 2 k + 1) ( ) 2 k = k! 1 3 (2k 1) 2 k 2k = 1 + k! (2k 1)!! 2 k 2k, k! siis arcsin = = + d = 1 2 ( 1 + (2k 1)!! 2k+1 2 k k! (2k + 1) ) (2k 1)!! 2 k 2k d = k! 818 Hindame integraali (2 + 3y + 4)dS, kui : 42 + y 2 9 Hindamiseks kasutame Lauset 317 Hindame esiteks integreeritava funktsiooni f(, y) = 2 + 3y + 4 väärtusi piirkonnas Uurime funktsiooni f(, y) lokaalseid ekstreemume piirkonnas Selleks leiame funktsiooni f(, y) statsionaarsed punktid võrrandisüsteemist: (2 + 3y + 4) = (2 + 3y + 4) = y { 2 = 3 = funktsioonil f(, y) puuduvad statsionaarsed punktid Kuna f(, y) on diferentseeruv piirkonnas, siis funktsioonil f(, y) puuduvad lokaalsed ekstreemumid selles piirkonnas Uurime funktsiooni f(, y) ekstremaalseid väärtusi piirkonna rajajoonel 4 2 + y 2 = 9, st funktsiooni f(, y) tinglikke ekstreemume lisatingimusel 4 2 + y 2 = 9 Lause 112 põhjal võib funktsiooni f(, y) tinglik ekstreemum olla abifunktsiooni Φ(, y, λ) = 2 + 3y + 4 + λ ( 4 2 + y 2 9 )
29 statsionaarses punktis Saame Φ = Φ y = Φ λ = = 1/ (4λ) y = 3/(2λ) 4 2 + y 2 9 = 2 + 8λ = 3 + 2λy = 4 2 + y 2 9 = λ = ± 1/6 = 3 1/2 y = 9 1/1 ja funktsiooni f(, y) suurima f(3 1/2, 9 1/1) = 4 + 3 1 ning vähima väärtuse f( 3 1/2, 9 1/1) = 4 3 1 piirkonnas Kuna S = π 3, siis Lause 317 põhjal 2 3 = 9π 2 ( 4 3 1 ) 9π 2 (2 + 3y + 4)dS ( 4 + 3 1) 9π 2 819 Määrame rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on võrratustega 2 + y 2 4 ja y määratud poolring Teeme joonise = 4 y 2 y y = 4 2 1 2 1 1 2 = 4 y 2 Piirkond on normaalne (vt efinitsiooni 322) nii -telje kui ka y-telje suhtes, sest = {(, y) ( 2 2)} ( y ) 4 2, = {(, y) ( y 2)} ( 4 y 2 ) 4 y 2 Lause 322 ja Märkuse 321 abil saame vastavalt f(, y)ddy = f(, y)ddy = 2 2 2 d dy 4 2 4 y 2 4 y 2 f(, y)dy, f(, y)d
3 82 Määrame rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on rööpkülik külgedega y =, y = 9, y = ( 3) /2 ja y = ( + 6) /2 Teeme joonise y y = 9 = 4 y = ( + 6)/2 = 1 y = III y = ( 3)/2 II I 2 4 7 Jaotame piirkonna lõikudega, mis on parallelsed y-teljega, kolmeks -telje suhtes normaalseks (vt efinitsiooni 322) osapiirkonnaks I = {(, y) ( 2 1) ( y ( + 6) /2)}, II = {(, y) (1 4) (( 3) /2 y ( + 6) /2)}, III = {(, y) (4 7) (( 3) /2 y 9 )} Kasutame Lauseid 314 ja 322 f(, y)ddy = f(, y)ddy + = 1 2 d (+6)/2 I f(, y)dy + 4 d 1 (+6)/2 ( 3)/2 II f(, y)ddy + f(, y)dy + III f(, y)ddy = 7 d 4 9 ( 3)/2 f(, y)dy 821 Muudame avaldises I = 1 dy integreerimise järjekorda 3+ 1 y 2 1+ 1 y 2 f(, y)d + 2 1 dy 2+ 2y y 2 2 2y y 2 f(, y)d Esimese integraali rajadele vastavad võrrandid y =, y = 1, = 1+ 1 y 2 ja = 3 + 1 y 2 ning teisele võrrandid y = 1, y = 2, = 2 2y y 2 ja = 2 + 2y y 2 Teeme integreerimispiirkonna joonise
31 y 2 = 2 2y y 2 1 y = 2 2 y = 1 + 4 2 3 = 2 I II = 3 = 2 + 2y y 2 y = 6 2 8 = 1 + 1 y = 3 + 2 1 y 2 III 1 2 3 4 Jaotame piirkonna sirgete = 2 ja = 3 abil normaalseteks piirkondadeks (vt efinitsiooni 322) I, II ning III -telje suhtes { ( I = (, y) (1 2) 2 2 y 1 + 4 2 3)}, { ( II = (, y) (2 3) y 1 + )} 4 2 3, { ( III = (, y) (3 4) y )} 6 2 8 Seega Lause 322 põhjal 2 1+ 4 2 3 3 I = d f(, y)dy + d 1 4 + d 3 2 2 6 2 8 f(, y)dy 2 1+ 4 2 3 f(, y)dy+ 822 Määrame rajad kahekordses integraalis f(, y)ds, kasutades polaarkoordinaate, kui on Bernoulli lemniskaadi ( 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( 2 y 2 ) (a > ) poolt hõlmatud piirkond Esitame lemniskaadi võrrandi polaarkoordinaatides ((ρ cos ϕ) 2 + (ρ sin ϕ) 2 ) 2 = a 2 ((ρ cos ϕ) 2 (ρ sin ϕ) 2 ) ρ 4 = a 2 ρ 2 cos 2ϕ ρ = a cos 2ϕ Teeme joonise ( [ ϕ π 4, π ] [ 3π 4 4, 5π ]) 4 ϕ = 3π/4 II ϕ = 5π/4 ϕ = π/4 I ϕ = π/4 a
32 kusjuures = I II on lemniskaadi poolt piiratud ala Seejuures I = {(ϕ, ρ) ( π/4 ϕ π/4)}, II = {(ϕ, ρ) (3π/4 ϕ 5π/4)} Valemi (334) põhjal saame f(, y)ds = π/4 π/4 + dϕ 5π/4 3π/4 dϕ a cos 2ϕ a cos 2ϕ ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ + ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ 823 Teisendame integraali 2R R/2 d 2R 2 f(, y)d polaarkoordinaatidesse Integraali rajadele vastavad võrrandid = R/2, = 2R, y = ja y = 2R 2 Esitame rajajoonte võrrandid polaarkoordinaatides Teeme joonise ρ cos ϕ = R 2 ρ = R 2 cos ϕ, ρ cos ϕ = 2R ρ = 2R cos ϕ, ρ sin ϕ = ρ = ϕ = ϕ = π, ρ sin ϕ = 2Rρ cos ϕ (ρ cos ϕ) 2 ρ = 2R cos ϕ y = R R y = = 2R 2 2 ρ = 2R cos ϕ 3 ρ = R 2 2 cos ϕ ρ = 2R 2 ϕ = π cos ϕ 3 Valemi (334) põhjal saame R/2 R ϕ = 2R 2R R/2 d 2R 2 f(, y)d = π/3 dϕ 2R cos ϕ R/(2 cos ϕ) ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ
33 824 Arvutame R R dy R 2 y 2 R 2 y 2 dz R 2 y 2 z 2 ( 2 + y 2 )d, kasutades sfäärilisi koordinaate Integraali rajadele vastavad võrrandid y = R, y = R, z = R 2 y 2, z = R 2 y 2, = ja = R 2 y 2 z 2 Teeme joonise y R = R 2 y 2 z 2 ρ = R R z See poolsfäär on sfäärkoordinaatides määratud võrratustega Rakendame valemit (376) = π/2 π/2 = R R π 2 ϕ π, ψ π, ρ R 2 dy R 2 y 2 dz R 2 y 2 R 2 y 2 z 2 ( 2 + y 2 )d = π R dϕ dψ ρ 2 sin ψ ( ρ 2 cos 2 ϕ sin 2 ψ + ρ 2 sin 2 ϕ sin 2 ψ ) dρ = π/2 π/2 π R dϕ sin 3 ψdψ = 4R5 15 ρ 4 dρ = R5 5 π/2 π/2 π/2 π/2 dϕ = 4πR5 15 π dϕ sin 3 ψdψ =
34 9 Teadmiste kontroll ja hindamine Käesolev kursus lõpeb eksamiga Eksamil kontrollitakse teadmisi nii teooriast kui ka ülesannete lahendamise oskust Alajaotises 7 on esitatud ülesannete tüübid, mida üliõpilane peab oskama lahendada Semestri jooksul teostatakse kaks kontrolltööd (õppejõu juuresolekul TTÜ ruumes), millede alusel võib üliõpilane saada jooksvalt eksamihinde Kontrolltöödesse lülitatav materjal 1 kontrolltöö: teooria: programmis esitatud teemad 61 65 ülesanded: tüüpülesanded 71 769 2 kontrolltöö: teooria: programmis esitatud teemad 66 612 ülesanded: tüüpülesanded 77 7172 Mõlemat kontrolltööd hinnatakse 1 punkti süsteemis Eksamihinne h määratakse kahe kontrolltöö hinde aritmeetilise keskmise k alusel järgnevalt: kui k 91, siis h = 5; kui 81 k 9, siis h = 4; kui 71 k 8, siis h = 3; kui 61 k 7, siis h = 2; kui 51 k 6, siis h = 1; kui k 5, siis h = Kui üliõpilane eelistab kontrolltööde asemel oma teadmisi näidata eksamil, siis eksamil tuleb sooritada ülalkirjeldatud kahe kontrolltöö baasil koostatud ühine kontrolltöö, mida hinnatakse samuti 1 punkti süsteemis Eksamihinne h määratakse sellisel juhul saadud kontrolltöö hinde k järgi ülaltoodud tingimustel Eksami-, kontrolltööde- ja konsultatsioonide ajad teatakse õppetöö korraldamise graafikuga jooksval semestril Juhendi koostaja: Ivar Tammeraid TTÜ matemaatikainstituudi matemaatilise analüüsi professor