ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i είναι Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης 4 1 + 3i είναι k 1/4 e (kπi+πi/3)/4, k, 1,, 3. 1/4 e πi/6, 1 1/4 e πi/3, 1/4 e 7πi/6 και 3 1/4 e 5πi/3. ακαδ. έτος 11 1. Αν n N, να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης n 1, C. Να διακρίνετε τις περιπτώσεις (i) n 1, (ii) n και (iii) n 3. Λύση. (i) n 1: Τότε 1 και η λύση της εξίσωσης είναι 1. (ii) n : Τότε και οι λύσεις της εξίσωσης είναι x R, δηλαδή όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. (iii) n 3: Μία λύση της εξίσωσης n 1 είναι η. Αν, τότε η εξίσωση n 1 συνεπάγεται ότι n 1 n 1 1. Επομένως για n 1 n 1 και οι λύσεις της εξίσωσης n 1 είναι οι n-οστές ρίζες της μονάδας, δηλαδή k e kπi/n, k, 1,,..., n 1. Άρα για n 3 οι λύσεις της εξίσωσης n 1 είναι, 1, e πi/n, e 4πi/n,..., e (n 1)πi/n}, 1, ω, ω,..., ω n 1}, όπου ω e πi/n. 3. Εστω η συνάρτηση f : C C με f() αν, αν. Αποδείξτε ότι ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauch Riemann στο σημείο (, ) ενώ δεν υπάρχει η παράγωγος f (). Λύση. Για x R, x, είναι και επομένως f(x, ) f(, ) x x /x x 1 f f(x, ) f(, ) (, ) lim 1. x x x 1
Παρόμοια, για R,, είναι f(, ) f(, ) (i) /i i και επομένως f f(, ) f(, ) (, ) lim i. Άρα f (, ) i f (, ) 1, δηλαδή ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauch Riemann στο σημείο (, ). x Θα αποδείξουμε τώρα ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Παρατηρούμε ότι για κάθε C,, είναι f() f() f() Παίρνουμε το x + iλx C με λ R και x. Τότε, και επομένως το όριο f() f() ( ) x + iλx x + iλx f() f() lim x+iλx ( ). ( ) 1 iλ 1 + iλ ( 1 λ iλ 1 + λ ( 1 λ iλ ) 1 + λ εξαρτάται από το λ. Άρα, η παράγωγος f () δεν υπάρχει. Σημείωση. Για να αποδείξουμε ότι ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauch Riemann στο σημείο (, ) μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής: Αν x + i, τότε Επομένως f u + iv με 3 (x i)3 x + x3 3x x + + i 3 3x x +. ) u(x, ) x 3 3x x + αν (x, ) (, ), αν (x, ) (, ) και v(x, ) 3 3x x + αν (x, ) (, ), αν (x, ) (, ). Είναι u x (, ) v (, ) 1 και u (, ) v x (, ), δηλαδή ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauch Riemann στο σημείο (, ). 4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f() (3x 3 + e cos x) + i(3x x 3 e sin x + 3) είναι αναλυτική στο C και υπολογίστε την παράγωγο f (). Αφού εκφράσετε την f σαν συνάρτηση του, υπολογίστε με ένα δεύτερο τρόπο την παράγωγο f (). Λύση. Είναι f () u (x, ) + iv (x, ), με u (x, ) 3x 3 + e cos x και v (x, ) 3x x 3 e sin x + 3. Οι συναρτήσεις u, v έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο R. Για να είναι η f αναλυτική στο C θα πρέπει να ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauch Riemann. Πράγματι, για κάθε (x, ) R είναι } ux v 6x e sin x. u v x 3x 3 + e cos x
Η παράγωγος δίνεται από τον τύπο Ως γνωστόν f () f x (x, ) (6x e sin x) + i(3 3x e cos x). f () u (, ) + iv (, ) cos + i ( 3 sin + 3 ) e i i 3 + 3i. Επομένως, f () ie i 3i. 5. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : G C είναι αναλυτική στον τόπο(ανοικτό, συνεκτικό σύνολο) G C. Αν για κάθε G είναι είτε f() ή f (), αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή στο G. Υπόδειξη. Θεωρείστε την f. Λύση. Η συνάρτηση g : f είναι αναλυτική στο ανοικτό και συνεκτικό σύνολο G. Από την υπόθεση είναι g () f()f () για κάθε G. Επομένως, από το βασικό παράδειγμα η g είναι σταθερή στο G και κατά συνέπεια η g f θα είναι σταθερή G. Άρα η f είναι σταθερή στο G οπότε και πάλι από το βασικό παράδειγμα η f θα είναι σταθερή στο G. 6. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση u(x, ) 3 3x x x +, (x, ) R \ (, )}, είναι αρμονική στο R \ (, )} και στη συνέχεια να βρεθεί η αναλυτική συνάρτηση f u + iv στο C \ } με f (1) 1. Λύση. Η u έχει συνεχείς μερικές παραγώγους ης τάξης στο R \ (, )} με και u x 6x + x (x + ), u xx 6 + x(3 x ) (x + ) 3 u 3 3x + x (x + ), u 6 + x(x 3 ) (x + ) 3. Είναι u xx + u και επομένως η u είναι αρμονική στο R \ (, )}. Εστω v η συζυγής αρμονική της u, δηλαδή η f u + iv είναι αναλυτική συνάρτηση στο C \ }. Από την εξίσωση Cauch Riemann u v x έχουμε v x 3 + 3x x (x + ). Επομένως, v(x, ) 3x + x 3 + x + + c(). Από τη δεύτερη εξίσωση Cauch Riemann u x v προκύπτει ότι 6x + x (x + ) 6x + x (x + ) + c () c () c() c. Δηλαδή v(x, ) 3x + x 3 + x + + c και η αναλυτική συνάρτηση στο C \ } f() u(, ) + iv(, ) 1 + i(3 + c), c R. 3
Ομως f(1) 1, οπότε c 1. Άρα, f () 1 + i3 i. 7. Αποδείξτε ότι ο μετασχηματισμός w cos cos(x+i) cos x cosh i sin x sinh απεικονίζει τη λωρίδα Ω x + i : x π }, του -επιπέδου στο 4ο τεταρτημόριο του w-επιπέδου. Λύση. Είναι w cos u(x, ) + iv(x, ) με u(x, ) cos x cosh και v(x, ) sin x sinh. Θα βρούμε πρώτα την εικόνα του συνόρου της λωρίδας Ω μέσω του μετασχηματισμού w cos. Αν x,, τότε u cosh, και v. Δηλαδή η εικόνα της ευθείας x, (θετικός φανταστικός ημιάξονας) είναι το ευθ. τμήμα [1, ) του πραγματικού άξονα Ou. Αν x π,, τότε u και v sinh,. Δηλαδή η εικόνα της ευθείας x π, είναι ο αρνητικός φανταστικός ημιάξονας. Αν με x π, τότε u cos x και v. Δηλαδή η εικόνα του ευθ. τμήματος, x π, είναι το ευθ. τμήμα [, 1] του πραγματικού άξονα Ou. Επομένως το σύνορο της λωρίδας Ω απεικονίζεται στον πραγματικό θετικό ημιάξονα και στον αρνητικό φανταστικό ημιάξονα. Αν >, x π, τότε u cos x cosh και v sin x sinh. Δηλαδή η εικόνα του ευθ. τμήματος >, x π, είναι το τμήμα της έλλειψης u cosh + v sinh 1 στο 4ο τεταρτημόριο. Καθώς το < < μεταβάλλεται, οι εικόνες των ευθυγράμμων τμημάτων, x π, που είναι τμήματα ελλείψεων στο 4ο τεταρτημόριο, θα καλύπτουν το 4ο τεταρτημόριο. Άρα, η εικόνα της λωρίδας Ω μέσω του μετασχηματισμού w cos είναι το 4ο τεταρτημόριο. 8. Αποδείξτε ότι το ολοκλήρωμα [ R,R] γ R d R 3 πi, 4
όπου γ R το ημικύκλιο του άνω ημιεπιπέδου με κέντρο, ακτίνα R > και θετική φορά διαγραφής. Λύση. Η παραμετρική εξίσωση του ημικύκλιου γ R είναι (t) Re it, t π και επομένως d d + d [ R,R] γ R [ R,R] γ R R R R 3 πi. x x dx + x dx + π R R e it ire it dt x dx + i π R R 3 dt 9. Για κάθε 1, C είναι e e 1 e d, όπου [ 1, ] είναι το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το 1 και πέρας το. Αν R 1, R, αποδείξτε ότι e e 1 1. Λύση. Επειδή R 1, R, για κάθε [ 1, ] είναι R. Επομένως, e e 1 e d [ 1, ] e d [ 1, ] [ 1, ] [ 1, ] [ 1, ] 1. e R d d (R ) Συμβολισμός: I Im, R Re Παράδοση των ασκήσεων έως 5/7/1 5