ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως Σωστές ή Λάθος ) ν η f είνι πργωγίσιµη στο τότε η f είνι πάντοτε συνεχής στο ) ν η f δεν είνι συνεχής στο, τότε η f είνι πργωγίσιµη στο γ) ν η f έχει δεύτερη πράγωγο στο, τότε η f είνι συνεχής στο Β) Ν ντιστοιχίσετε τη συνάρτηση της στήλης Α µε την εφπτοµένη της στο στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β 3 f () = 3, = y - - + π π f () =ηµ, = y= + 4 γ f () = 3, = 3 y = 9-6 δ f () =, = 4 4 y = -9 + 5 5 δεν υπάρχει (-ο) 49 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
Û Ù fi Ô 6 Α) ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί z, z Ν ποδείξετε ότι: z z = z z Α) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Γι κάθε µιγδικό ριθµό z: z = zz z = z γ z = z δ z = z ε iz = z Β) Αν z= 3+ 4i κι z = 3i ν γράψετε στο τετράδιό σς τους ριθµούς της Στήλης Α κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ της Στήλης Β έτσι ώστε ν προκύπτει ισότητ Στήλη Α Στήλη Β z z 4 3 z z γ 5 4 z δ 5 5 iz ε στ 5 ζ Β) Αν γι τον µιγδικό ριθµό z ισχύει z =, ν δείξετε ότι z= (-ο) z 63 Α) Έστω συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αν F είνι µί πράγουσ της f στο, τότε Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G() = F() + c, c R είνι πράγουσες της f στο κι Κάθε άλλη πράγουσ G της f στο πίρνει τη µορφή G() = F() + c, c R Α) Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω σχέσεις ώστε ν προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµτος ) λ f ()d =, ) (f () + g())d =, γ) ( f () g())d λ +µ =, λ, µ R κι f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] wwwstoosedugr 5 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Β) Ν ρείτε τη συνάρτηση f γι την οποί ισχύει: f () = 6+ 4, R κι η γρφική της πράστση στο σηµείο της A(, 3) έχει κλίση Β) Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: ) (e + )d ) π 4 3 d γ) ( 3 v)d ηµ + συ (-Επν) 64 Α Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι ν f '() = γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Αν f '() > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του τι συµπερίνετε γι τη µονοτονί της f ; Β Γι τη συνάρτηση f ισχύουν: f ''() f () = γι κάθε R κι f () = f '() Ν ποδείξετε ότι: i Η συνάρτηση g() = [f ()] [f '()] + είνι στθερή ii g () =, γι κάθε R Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στον ριθµό που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση i Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ κι πργωγίσιµη σε υτό, τότε f '() > γι κάθε ii Αν f '() > γι κάθε R, τότε τ σηµεί A (, ) κι Β(, 4) νήκουν κι τ δύο στη γρφική πράστση της f iiiαν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη µε συνεχή πράγωγο σε έν διάστηµ κι ισχύει f '() γι κάθε, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο (-ΟΕΦΕ) 65 Α) Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ] Αν G είνι µι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν δείξετε ότι f (t)dt= G( ) G( ) Β) Έστω η συνάρτηση f () =ηµ Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f () =συ v Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση ) Αν η συνάρτηση f είνι ορισµένη στο [, ] κι συνεχής στο (, ], τότε η f πίρνει πάντοτε στο [, ] µί µέγιστη τιµή ) Κάθε συνάρτηση που είνι «-» στο πεδίο ορισµού της, είνι γνησίως µονότονη γ) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι lim f () = τότε lim f () = δ) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R τότε f ()d= f () f ()d ε) Αν lim f () > τότε f () > κοντά στο (-ο) 5 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
66 Α) Αν z =ρ( συvθ + i ηµθ ) κι z =ρ( συvθ + i ηµθ ) είνι δύο µιγδικοί σε τριγωνοµετρική µορφή, ν δείξετε ότι : zz =ρρ ( συv( θ +θ ) + i ηµ ( θ +θ )) Û Ù fi Ô Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση ) Αν f ()d τότε κτ νάγκη θ είνι f (), [, ] ) Η εικόν f ( )ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς κι µη στθερής συνάρτησης f είνι διάστηµ γ) Αν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν είνι ντιστρέψιµη τότε υπάρχει κλειστό διάστηµ [, ] στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle δ) Αν νι συνάρτηση f είνι ορισµένη κι πργωγίσιµη στο [, ] κι σηµείο [, ] στο οποίο η f προυσιάζει τοπικό µέγιστο, τότε πάντ ισχύει f ( ) = ε) Αν η συνάρτησηf είνι συνεχής στο [, ] κι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f ( )f ( ) < () 67 Έστω η συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] µε f () f () Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ριθµό η µετξύ των f () κι f () υπάρχει ένς τουλάχιστον ριθµός (, ), ώστε f () = η Έστω οι ριθµοί,, λ R µε < κι η πργωγίσιµη στο R συνάρτηση f Ν χρκτηρίσετε ως Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις πρκάτω προτάσεις: i Αν γι την f ισχύει το θεώρηµ του Rolle στο διάστηµ [, ], τότε η γρφική της πράστση έχει σ έν τουλάχιστον σηµείο της οριζόντι εφπτοµένη ii Υπάρχουν, [, ] µε f () f () f (), γι κάθε [, ] iii Αν f () f () >, τότε η f δεν έχει ρίζ στο (, ) iv Ισχύει v f ()d = λ = ( f ()d) f () λ f () d, γι κάθε λ R γ ίνοντι οι µιγδικοί z, z κι έστω Α, Β οι εικόνες τους στο µιγδικό επίπεδο Ν ποδείξετε ότι: i Η εξίσωση z z = z z πριστάνει την µεσοκάθετο του ευθ τµήµτος ΑΒ ii Αν z = i z το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές (Ο είνι η ρχή των ξόνων) δ Ν ποδείξετε ότι, ν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σ έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό (-ΟΕΦΕ) wwwstoosedugr 5 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 68 Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό Β) Τι σηµίνει γεωµετρικά το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού; Γ) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση ) Αν z έν µιγδικός ριθµός κι z ο συζυγής του, τότε ισχύει: z = z = z ) Έστω µί συνάρτησηf, πργωγίσιµη σε έν διάστηµ κι δύο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν f () > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι κυρτή στο γ) Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιµη σε έν διάστηµ ισχύει f ()d= f () + c, c R δ) Αν µι συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστηµ, τότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σηµείο του ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση ε) Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η fείνι πργωγίσιµη στο κι f ( ) =, τότε η f προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο (3-ο) 69 Α) Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν F είνι µί πράγουσ της στο, ν ποδείξετε ότι: ) Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G() = F() + c, c R είνι πράγουσες της στο κι ) κάθε άλλη πράγουσ G της f στο πίρνει τη µορφή Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί στην κάθε πρότση ) Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύει πάντ z z z+ z z + z ) Έστω µι συνάρτηση f πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (, ) µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του, στο οποίο όµως η f είνι συνεχής Αν f () > στο (, ) κι f () < στο (, ) τότε το f ( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f γ) Μί συνάρτηση f : R R είνι συνάρτηση - ν κι µόνο ν γι οποιδήποτε, Α ισχύει η συνεπγωγή: ν = τότε f ( ) = f ( ) δ) Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις µε συνεχή πρώτη πράγωγο, τότε ισχύει: f () g ()d= f ()g() f ()g()d Γ) Πότε µι ευθεί = λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης f ; (3-ο-Επν) 53 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
Û Ù fi Ô 6 Α Έστω η συνάρτηση f () = συν Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f '() = ηµ Έστω οι συνρτήσεις f, g συνεχείς σε έν διάστηµ γι τις οποίες ισχύει: f '() = g'() γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Ν ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε ν ισχύει: f () = g() + c γι κάθε γ Έστω µι συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α Ν δώσετε τον ορισµό: Πότε η f προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος Αν µι συνάρτηση f : A R έχει ντίστροφη συνάρτηση f, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι f ( ) >, τότε f () > γι τις τιµές του κοντά στο γ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη κι γνησίως ύξουσ στο [,] τότε, υπάρχει (,) τέτοιος ώστε ν ισχύει f '( ) > δ Έστω η συνάρτηση f η οποί είνι κυρτή στο διάστηµ κι δύο φορές πργωγίσιµη σε υτό Τότε ισχύει f ''() > γι κάθε ε Αν f συνεχής στο [,] µε f () κι ισχύει f ()d >, τότε υπάρχει [,] τέτοιος ώστε f ( ) > στ Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είνι πντού ίση µε µηδέν στο [,] κι ισχύει f ()d=, τότε η f πίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές (3-ΟΕΦΕ) 6 Α Έστω µι συνάρτηση f η οποί είνι ορισµένη σε έν διάστηµ Αν ) Η f είνι συνεχής στο κι ) f () = γι κάθε στο εσωτερικό του, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως Σωστές ή Λάθος ) Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είνι κι πργωγίσιµη σε υτό ) Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικών ριθµών είνι ίσο µε την πόστση των εικόνων τους γ) Αν f, g δύο συνρτήσεις µε πεδίο ορισµού το R κι ορίζοντι οι συνθέσεις f g κι g f, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες δ) Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y = που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy ε) Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε στο, k Ν κι k lim f () = lim f (), εφόσον f () κοντά k k Γ Ν ορίσετε πότε λέµε ότι µι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστηµ (, ) κι πότε σε έν κλειστό διάστηµ [, ] (4-ο-Επν) wwwstoosedugr 54 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Α) Έστω µι συνάρτηση f η οποί είνι ορισµένη σε έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν ποδείξετε ότι f ( ) = Β) Πότε µι συνάρτηση f λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Γ) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως Σωστές ή Λάθος ) Η δινυσµτική κτίν του θροίσµτος δύο µιγδικών ριθµών είνι το άθροισµ των δινυσµτικών κτίνων τους ) lim f () =lν κι µόνο ν lim f () = lim f () =l + γ) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: (f g) ( ) = f ( )g ( ) δ) Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το διάστηµ (4-ο) 63 Α Ν ποδείξετε το θεώρηµ: Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [,] Αν η f είνι συνεχής στο [,] κι f () f () τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ των f () κι f () υπάρχει ένς τουλάχιστον (,) τέτοιος ώστε f ( ) = η Β Η συνάρτηση f, που η γρφική της πράστση φίνετι στο σχήµ, είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της µε συνεχή δεύτερη πράγωγο Ν ρείτε, ν η τιµή των ολοκληρωµάτων I,I, I3 είνι θετική ή ρνητική Ι = 3 f ()d Ι = 3 f '()d Ι = 3 3 f ''()d 55 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
Û Ù fi Ô Γ Ν ντιστοιχίσετε κθέν πό τ όρι της στήλης Α µε την τιµή του της στήλης Β Στήλη Α ηµ lim lim(ηµ ) 3 lim ln + 4 lim e Στήλη Β ) ) γ) δ) + v Έστω η συνάρτηση f (), v Ν {,} = Ν ποδείξετε, ότι η συνάρτηση f είνι v πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f '() = v (4-ΟΕΦΕ) 64 Α ) Έστω µι συνάρτηση f η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [, ] Αν η f είνι συνεχής στο [, ] κι f ( ) f ( ), δείξτε ότι γι κάθε ριθµό n µετξύ των f () κι f () υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) τέτοιος ώστε f ( ) = n ) Πότε η ευθεί y=λ + λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης f στο + ; Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως Σωστές ή Λάθος ) Αν η f είνι συνεχής στο [, ] µε f ( ) < κι υπάρχει ξ (, ) ώστε f ( ξ ) =, τότε κτ νάγκη f ( ) > ) Αν υπάρχει το lim (f () + g()) τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim f () κι lim g() γ) Αν η f έχει ντίστροφη συνάρτηση f - κι η γρφική πράστση της f έχει έν κοινό σηµείο Α µε την ευθεί y =, τότε το σηµείο Α νήκει στην γρφ πρ της f - δ) Αν lim f () = κι f () > κοντά στο, τότε lim =+ f () ε) Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι, τότε ισχύει: ( f (t)dt) = f () f ( ), στ) Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι δε µηδενίζετι σε υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε ή είνι ρνητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί στθερό πρόσηµο στο (5-ο) wwwstoosedugr 56 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 65 Α) Έστω συνάρτηση f µε f () = Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο (, + ) κι ισχύει: f () = Α) Πότε µι συνάρτηση f : A R λέγετι «-» Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως Σωστές ή Λάθος ) Τ εσωτερικά σηµεί του διστήµτος, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση µε το, λέγοντι κρίσιµ σηµεί της f στο διάστηµ ) Έστω µι συνάρτηση f πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (, ) µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (, ) ή ντιστρόφως, τότε το σηµείο A(,f ( )) είνι υποχρεωτικά σηµείο κµπής της C f γ) Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικών ριθµών είνι ίσο µε την πόστση των εικόνων τους δ) Αν γι δύο συνρτήσεις f, g ορίζοντι οι f g κι g f τότε υποχρεωτικά f g g f ε) Οι εικόνες δύο συζυγών µιγδικών ριθµών z, z είνι σηµεί συµµετρικά ως προς τον άξον στ) Αν η συνάρτηση f έχει πράγουσ σε έν διάστηµ κι λ R *, τότε ισχύει: λ f ()d=λ f ()d (5-ο-Επν) 66 Α Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι:αν f '() > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Β Έστω η συνάρτηση f () = µε R κι > Ν ποδείξετε ότι: f '() = Γ Ν πντήσετε ν είνι Σωστή ή Λάθος κάθε µι πό τις πρκάτω προτάσεις Μι συνάρτηση f : A R είνι ν κι µόνο ν γι κάθε, A ισχύει η συνεπγωγή: = τότε f ( ) = f ( ) Αν lim f () < lim g() τότε f () < g() κοντά στο 3 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε f () f () < 4 Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [,] κι γνησίως ύξουσ, τότε υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f '( ) < 5 Αν f ()d= κι η συνάρτηση f δεν είνι πντού ίση µε µηδέν στο [,], τότε f () γι κάθε [,] (5-ΟΕΦΕ) 57 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
Û Ù fi Ô 67 Α) Έστω µι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Αν f () < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Α) Έστω µι συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο ; Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση ) Γι κάθε µιγδικό ριθµό z ισχύει: z = z ) Αν υπάρχει το lim f () > τότε f () > κοντά στο γ) Η εικόν f ( ) ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς κι µη στθερής συνάρτησης f είνι διάστηµ δ) Ισχύει ο τύπος (3 ) = 3, R όπου f,g ε) Ισχύει η σχέση f ()g ()d = [f ()g()] f ()g()d συνρτήσεις στο [, ] είνι συνεχείς (6-ο) 68 Α) ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί z, z Ν ποδείξετε ότι: z z = z z Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση ) Έστω f πργµτική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το κι Έστω επίσης f (), Αν lim f () =+ τότε lim f () = ) Έστω, πργµτικοί ριθµοί Στο µιγδικό επίπεδο οι εικόνες Μ(, ) κι M (, ) των συζυγών µιγδικών z=+ i κι z= i είνι σηµεί συµµετρικά ως προς τον πργµτικό άξον γ) Αν µι πργµτική συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σηµείο, τότε δε µπορεί ν είνι κι πργωγίσιµη στο δ) Έστω η συνάρτηση f () = µε ΠΟ = [, + ), τότε f () = (, + ) ε) Αν έν τουλάχιστον πό τ πλευρικά όρι της f στο είνι + ή, τότε η ευθεί = λέγετι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f στ) Έστω δύο συνρτήσεις f, g ορισµένες σε έν διάστηµ Αν Οι f, g είνι συνεχείς στο κι f () = g () γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε υπάρχει στθερό c τέτοιο ώστε γι κάθε ισχύει: f () = g() + c (6-ο-Εσπ) wwwstoosedugr 58 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 69 Α) Ν ποδείξετε ότι: ( συ v) = ηµ, R Α) Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Τι ονοµάζουµε ρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο ; Β) Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση )Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύει: z z z+ z ) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες στο κι g( ), τότε η συνάρτηση f g f f ( )g ( ) f ( )g( ) είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( ) ( ) = g [g( )] γ) Γι κάθε ισχύει [ln ] = δ) Μι συνάρτηση f : A R είνι «-» ν κι µόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f () = y έχει κριώς µί λύση ως προς ε) Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ] Αν G είνι µί πράγουσ της f στο [, ], τότε f (t)dt= G( ) G( ) (6-ο-Επν) 6 Α ) Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν ποδείξετε ότι: f '( ) = ) Πότε η ευθεί = λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης f ; Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος i Μι συνάρτηση f : A R είνι " " ότν γι κάθε, Α ισχύει η συνεπγωγή: f ( ) = f ( ) τότε = ii Αν υπάρχει το lim (f () g()) τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim f () κι lim g() iii Αν lim f () =+ ή τότε f () γι τις τιµές του κοντά στο iv Αν µι συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιµη σ έν διάστηµ κι δεν προυσιάζει κµπή σε κνέν σηµείο του, τότε f ''() γι κάθε v Αν f ()d= κι < τότε κτ νάγκη ισχύει f () = γι κάθε [, ] (6-ΟΕΦΕ) 59 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
6 Α Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί, ν ποδειχθεί ότι: z z = z z Û Ù fi Ô Α Πότε δύο συνρτήσεις f, g λέγοντι ίσες; Α3 Πότε η ευθεί y=l λέγετι οριζόντι σύµπτωτη της γρφ πράστ της f στο + ; Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιο σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος ν η πρότση είνι λνθσµένη, ισχύει f() τότε Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστηµ [,] κι γι κάθε [ ] f ( ) d> Έστω f µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργώγισιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του γ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεση τους gof είνι συνεχής στο δ Αν f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε g ( ) f( t) dt = f( g( ) ) g ( ) µε την προϋπόθεση ότι τ χρησιµοποιούµεν σύµολ a έχουν νόηµ ε Αν > τότε lim a = (7) 6 Α ) Ν διτυπώσετε το θεώρηµ του Fermat ) Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι ισχύει f () > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος ΠΡΟΤΑΣΗ Σ Λ Αν γι µι συνάρτηση f : Α R ισχύει f () κ όπου κ R γι κάθε R, τότε το κ είνι η µέγιστη τιµή της f Αν υπάρχει το lim f () =, τότε υπάρχει το όριο της f () στο κι είνι lim f () = 3 Αν γι µι συνάρτηση f ισχύουν f ( ) f ( ) < κι f () γι κάθε (, ), τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ] 4 Αν γι δύο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει f () = g () γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f ()=g() γι κάθε 5 Αν γι µι συνάρτηση f υπάρχει πράγουσ στο διάστηµ, τότε γι κάθε λ R ισχύει : λ f ()d=λ f ()d 6 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f ()<g() γι κάθε R τότε f ()d< g()d (7-ΟΕΦΕ) wwwstoosedugr 6 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 63 Α ) Έστω δύο συνρτήσεις f, g ορισµένες σε έν διάστηµ Αν οι f, g είνι συνεχείς στο κι f () = g () γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Ν ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ν ισχύει : f () = g() + c v ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () =, v N {,} είνι πργωγίσιµη στο R κι v ισχύει : f () = v Β Έστω οι µιγδικοί ριθµοί z,z Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λνθσµένη (Λ) : Η δινυσµτική κτίν του θροίσµτος των z κι z είνι το άθροισµ των ) δινυσµτικών τους κτίνων Σ Λ ) Είνι : z+ z = z+ z Σ Λ γ) Είνι : z z z+ z z + z Σ Λ δ) Η εξίσωση z z = z z µε z z πριστάνει τη µεσοκάθετο του τµήµτος µε άκρ τ σηµεί Α(z ) κι B(z ) Σ Λ Γ Έστω η συνάρτηση F() = f (t)dt, όπου f η συνάρτηση του διπλνού σχήµτος που η γρφική της πράστση ποτελείτι πό τ ευθύγρµµ τµήµτ ΟΑκι ΑΒ Το εµδόν του γρµµοσκισµένου χωρίου Ω είνι Ε(Ω)=36 τµ Ν συµπληρώσετε τις ισότητες : F()= F(4)= γ F()= (8-ΟΕΦΕ) 64 Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f () = ln, R * είνι πργωγίσιµη στο R * κι ισχύει : (ln ) = Α Πότε µι συνάρτηση f λέµε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [, ] ; Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη )Αν µι συνάρτηση f : A R είνι -, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση f σχύει : f (f ()) =, A κι f (f (y)) = y, y f (A) )Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσηµο σε κθέν πό τ διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της γ)ότν η δικρίνουσ της εξίσωσης z + z+γ= µε,, γ R κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των µιγδικών δ)αν µι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στο R κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f () > γι κάθε πργµτικό ριθµό ε)αν η f είνι συνεχής σε διάστηµ κι,, γ τότε ισχύει γ f ()d= f ()d+ f ()d (8) γ 6 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ
Û Ù fi Ô 65 Α Έστω µί συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η f είνι συνεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f ()=, ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Β Πότε µί συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της ; Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί, τότε ισχύει zz = z z Μί συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότν f () f ( ) γι κάθε A συv γ lim = δ Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό ε Αν µί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστηµ [, ] κι ισχύει f()< γι κάθε [, ], τότε το εµδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι τον άξον είνι E( Ω ) = f ()d 66 Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν δείξετε ότι : f ( ) = Β Πότε η ευθεί y=λ + λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + ; Πότε µι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [, ] ; (9) Γ Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λνθσµένη (Λ) : Ισχύει lim f () = l lim f (+ h) = l Σ Λ h lim Αν < < τότε = Αν η f είνι συνεχής στο [, ] τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά κρόττ τ f() 3 κι f() Γι τις συνρτήσεις f κι g που έχουν συνεχείς πργώγους στο [, ] ισχύει : 4 5 f ()g ()d f ()g()d=[ f ()g()] Σ Λ Σ Λ Σ Λ Αν γι κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιµών της f (), η f ( χ ) =ψ έχει λύση ως προς Σ Λ τότε η f είνι - (9-ΟΕΦΕ) wwwstoosedugr 6 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ