ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο () =. Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A = (, ) (, + ) και είναι συνεχής σε αυτό, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στη θέση = και πλάγιες για + και. Έχουμε : + + + lim () = lim = lim[( ) ] = +, διότι: lim = 3 και ( ) + lim = +. + Και lim () = lim = lim[( ) ] =, διότι: lim ( ) = 3 lim =. Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. Εξετάζουμε τώρα αν υπάρχει στο + πλάγια ασύμπτωτη η οποία θα έχει εξίσωση y =λ +β. Όπου () λ= lim = lim = lim = lim = lim = + + + ( ) + + και ( ) β= lim ( () λ ) = lim ( () ) = lim ( ) = lim = lim = + + + + +
Επομένως η ευθεία y= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι η ευθεία y= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C και στο. Για να βρούμε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής :. Αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται. Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δεν είναι συνεχής. Για να έχουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη σε κάποιο,πρέπει ένα τουλάχιστον από τα lim (), lim () να ισούται με ±. + _. Αναζητούμε πλάγιες ασύμπτωτες στο + και της μορφής y=λ +β () όπου λ= lim και β= lim (() λ ) για ασύμπτωτη στο + και αντίστοιχα + + () λ= lim και β= lim (() λ ) για ασύμπτωτη στο Αν λ= έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y = β.
Παράδειγμα. Να βρείτε τα α, β, για τα οποία ισχύει lim ( α β + ) = + Αρκεί να βρούμε τα α, β, ώστε α β + = lim ( ) + Ισοδύναμα lim ( ) + + α +β = ή lim ( ) + + α +β+ = ή + α β = lim [ ( )] + Δηλαδή αρκεί να βρούμε τα α, β ώστε η ευθεία y=α β να είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο () = +. () Τότε θα πρέπει lim = α και + lim (() α ) = β. + Δουλεύουμε για +, δηλαδή για τα (, + ) και έχουμε : ( + ) + + () + lim = lim = lim = lim = lim = + + + + + lim + =, άρα α= + και lim (() ) lim (() ) lim ( ) + + + α = = + = lim + ( + )( + + ) ( + + ) = + + + lim = lim = lim = ( + + ) ( + + ) ( + + ) + + + 3
+ + = lim = lim lim = + + + + + + + Άρα 3 β = β= + β=. Για να υπολογίσουμε παραμέτρους αβ, ώστε το lim ( () ( α +β )) = απαιτούμε η ευθεία + y=α +β να είναι ασύμπτωτη της C στο +, δηλαδή πρέπει () α= lim και β= lim (() α ).(Με ανάλογο τρόπο εργαζόμαστε αν ) + + 4
Παράδειγμα 3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο () =., > Ο τύπος () = της συνάρτησης ισοδύναμα γίνεται () =, < Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A = (,) (, + ) και είναι συνεχής σε αυτό, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στη θέση = και πλάγιες για + και. Κατακόρυφη ασύμπτωτη στο =. Έχουμε lim () = lim = + και lim () = lim = + άρα η C + + έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = δηλαδή τον άξονα y y. () Πλάγια ασύμπτωτη στο + της μορφής y=λ +β με λ= lim και β= lim (() λ ). + + () Έχουμε lim = lim = lim = άρα λ= + + + Και lim ( () λ ) = lim () = lim =, άρα β= + + + Συνεπώς η ευθεία y=, δηλαδή ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι η ευθεία y=,δηλαδή ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C και στο. Για να βρούμε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής :. Αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται. Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δεν είναι συνεχής. Για να έχουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη σε κάποιο,πρέπει ένα τουλάχιστον από τα lim (), lim () να ισούται με ±. + _ 5
. Αναζητούμε πλάγιες ασύμπτωτες στο + και της μορφής y=λ +β () όπου λ= lim και β= lim (() λ ) για ασύμπτωτη στο + και αντίστοιχα + + () λ= lim και β= lim (() λ ) για ασύμπτωτη στο Αν λ= έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y = β. 6
Παράδειγμα 4. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : e i. lim ii. ln lim + iii. iv. v. lim e lim (ln ) + + lim ( ln ) + i. Έχουμε lim(e ) = και lim = Τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital θα έχουμε () e (e ) lim = lim = lim e = e =. Για τον υπολογισμό του () lim g() με {, + },όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή ή, εφαρμόζουμε τον κανόνα de l hospital και υπολογίζουμε ισοδύναμα το ( ()) lim (g()) (εφόσον αυτό υπάρχει). ii. Έχουμε lim ln = + και + lim + = + Τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital θα έχουμε ln (ln ) lim = lim = lim = lim = ( ) + + + + 7
() Για τον υπολογισμό του lim με {, + },όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή g() ή, εφαρμόζουμε τον κανόνα de l hospital και υπολογίζουμε ισοδύναμα το ( ()) lim (εφόσον αυτό υπάρχει). (g()) iii. Έχουμε lim + = + και lim e + = + Τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital θα έχουμε ( ) () lim = lim = lim = lim = lim = lim = = e (e ) e (e ) e e + + + + + + Η εφαρμογή του κανόνα De L Hospital,με σκοπό να αρθεί η απροσδιοριστία,κατά τον υπολογισμό ενός ορίου,μπορεί να γίνει περισσότερες από μια φορές. iv. Παρατηρούμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή ln Τότε lim (ln ) = lim [( )] = διότι: + + ln (ln ) lim = lim = lim = lim = και lim = + + + () + + + ln Άρα lim (ln ) = lim [( )] = + ( ) = + + Αν lim () = ± και lim g() = ± και αναζητούμε το lim[() g()] και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή ( ) τότε εργαζόμαστε ως εξής: Εκτελούμε τις πράξεις στην () g() ή Βγάζουμε κοινό παράγοντα το () ή το g() και υπολογίζουμε αντίστοιχα τα όρια 8
g() lim ()[ ] ή () () lim g()[ ]. g() v. Παρατηρούμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή ( ). Τότε lim ( ln ) ln = lim + + Τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital θα έχουμε (ln ) lim = lim = lim ( ) = + + + ( ) Αν lim () = και lim g() = ± και αναζητούμε το lim[() g()] Αρκεί να υπολογίσουμε ισοδύναμα το () lim g() ή το g() lim () έτσι ώστε να καταλήξουμε σε απροσδιόριστη μορφή ή και να εφαρμόσουμε τον κανόνα De L Hospital. 9
Παράδειγμα 5. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο () = e + e. Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A = (,) (, + ) και είναι συνεχής σε αυτό, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στη θέση = και πλάγιες για + και. Αναζητούμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στο = Έχουμε e + lim () = lim = lim[(e + ) ] = e e διότι : lim (e + ) = και lim = e Άρα η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = δηλαδή τον άξονα y y. Αναζητούμε πλάγια ασύμπτωτη στο + ευθεία της μορφής y =λ +β e + () e + e + e + λ= lim = lim e = lim = lim = lim lim + + + (e ) + e + + e Τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital θα έχουμε (e + ) e lim lim = lim lim = = (e ) e + + + + άρα λ= Και e + β= lim ( () λ ) = lim () = lim =, άρα β= + + + e Άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο + Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο.
Για να βρούμε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής :. Αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται. Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δεν είναι συνεχής. Για να έχουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη σε κάποιο,πρέπει ένα τουλάχιστον από τα lim (), lim () να ισούται με ±. + _. Αναζητούμε πλάγιες ασύμπτωτες στο + και της μορφής y=λ +β () όπου λ= lim και β= lim (() λ ) για ασύμπτωτη στο + και αντίστοιχα + + () λ= lim και β= lim (() λ ) για ασύμπτωτη στο Αν λ= έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y = β.
Παράδειγμα 6. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( ) Το πεδίο ορισμού της είναι το D = (,) (, + ) = ηµ Έχουμε ηµ ηµ με lim =, άρα ± lim ( ) = lim ηµ = ηµ = ± ± άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο +, Για την αναζήτηση οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης της στο +, lim lim =, εξετάζουμε αν ισχύει ( ) = ή ( ) +
Παράδειγμα 7. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης ( ) = 3 + 5 + + Το πεδίο ορισμού της είναι το D = (, ) (, + ) Κατακόρυφη ασύμπτωτη Είναι: 3 + 5 + lim ( ) = lim lim ( 3 5 ) ( )( ) + + = + + + = + = + + 3 + 5 + lim ( ) = lim = lim ( 3 + 5 + ) = ( )( ) = + + + Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη Είναι: 3 5 + + ( ) 3 + 5 + 3 λ= lim = lim + = lim lim 3 ± = = ± ± ± + και ( ) 3 + 5 + + β= lim ( 3) = lim ( 3) = lim = lim = ± ± + ± ± + Άρα η ευθεία y = 3 + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο + και στο 3
Παράδειγμα 8. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης 3 () =. Το πεδίο ορισμού της είναι το D = (,) (, + ) Κατακόρυφη ασύμπτωτη Είναι: 3 3 lim ( ) lim lim lim = = = = + Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη Πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη στο + lim = lim = + θα υπάρχει Επειδή ( ) + ( α, + ) 3 3 + α> ώστε ( ) 3 g = > για κάθε Είναι 3 3 3 3 ( ) λ= lim = lim = lim = lim = lim = + 3 3 3 + + + + 3 + + + β= lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) = και ( ) Άρα η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο + Πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη στο lim = lim =,θα υπάρχει Επειδή ( ) (, β ) 3 3 β< ώστε ( ) 3 g = < για κάθε 4
Είναι : 3 3 3 ( ) + λ= lim = lim = lim = lim = + 3 3 + + + 3 β= lim ( + ) = lim ( + ) = lim ( ) = + + + και ( ) Άρα η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. Οι κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούνται στα ανοικτά άκρα του διαστήματος του πεδίου ορισμού ή στα σημεία του, όπου η δεν είναι συνεχής Όταν +, άκρα του D για να βρούμε πλάγια-οριζόντια ασύμπτωτη της μορφής y=λ +β, εξετάζουμε αν υπάρχουν λ, β τέτοιοι ώστε: ( ) λ= lim, lim ( ( ) λ ) =β ± ± 5
Παράδειγμα 9. Να βρείτε το όριο lim () π, με ( ) συν = π Το πεδίο ορισμού της είναι το π π D =,, + Ισχύει lim συν = και π π lim = π συν ( συν) ηµ π lim = lim = lim = ηµ = π π π π π Όταν έχουμε απροσδιοριστία της μορφής του με lim ( ) =, ( ) ( ) ( ) lim g ( ) ( ) = lim g lim g = και υπάρχει το και οι,g είναι παραγωγίσιμες σε μια περιοχή lim g ( ) ( ) τότε 6
Παράδειγμα. Να βρείτε το όριο lim ( ), ( ) + ln µε = ln ( + ) ( + 3) Το πεδίο ορισμού της είναι το D =, (, + ) Ισχύει lim ln ( ) + 3 + = + και lim ln ( 3) + + = + + ( ) ( ( )) ( ln + + ln + + ) lim = lim = lim + = lim + = ln ( + 3) 3 ( ln ( + 3) ) ( + 3) 3 + 3 + + + + + ( ) 3 + 6 + 6 6 + + + lim = lim = lim = = 3 3 + 3 3 3 ( + ) Όταν έχουμε απροσδιοριστία της μορφής ± ± του με lim () = ±, lim g() = ± και υπάρχει το και οι,g είναι παραγωγίσιμες σε μια περιοχή () lim τότε g () () () lim = lim. g() g () 7
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση : και ευθεία y = + πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής () + παράστασης της συνάρτησης στο +. Να βρείτε το lim. + () Η ευθεία y = + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο + () Άρα lim = () και + lim (() ) = () + Τότε () () ( + ) + λόγω (),() () + + lim = lim = lim = =. () (() ) () + + + Για να υπολογίσουμε ένα όριο συνάρτησης που ο τύπος της περιέχει τον τύπο της συνάρτησης, έχοντας ως δεδομένο ότι η ευθεία y=α +β, είναι ασύμπτωτη της C στο + ( ή ), προσπαθούμε με κατάλληλες πράξεις να μετασχηματίσουμε τον τύπο της συνάρτησης του () ορίου, εμφανίζοντας το α= lim και το β= lim (() α ). ± + 8
Παράδειγμα. ηµ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = +, με.να αποδείξετε ότι η ευθεία y= είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της () στο +. Αρκεί να δείξουμε ότι lim (() ) = + ηµ ηµ Έχουμε lim ( () ) = lim ( + ) = lim + + + Άλλα ηµ ηµ ηµ και ηµ lim ( ) = lim = άρα λόγω κριτηρίου παρεμβολής lim = + + + Άρα η ευθεία y = είναι ασύμπτωτη της C στο +. Για να αποδείξουμε ότι η ευθεία y=α +β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο +, αρκεί να δείξουμε ότι: lim ( () ( α +β )) = + 9
Παράδειγμα 3. Να κάνετε μελέτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο ( ) + 4 () = ) H έχει πεδίο ορισμού το {}. ) Η είναι συνεχής ως ρητή. 3) Έχουμε + + + + ( ) ( ) ' ( ) 4 4 ( 4) ( ) ( 4)( ) 3 () = [ ] = [ ] = = Οι ρίζες της είναι - και 3 και το πρόσημό της δίνεται στον παραπάνω πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα. Έχουμε επίσης ( )( ) ( )( 3) 8 () = = ( ) ( ) 4 3. Η δεν έχει ρίζες και το πρόσημό της δίνεται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. 4) Επειδή C. lim () = +, + lim () =, η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της
Εξετάζουμε τώρα αν υπάρχει στο + ασύμπτωτη της μορφής y =λ +β. Έχουμε: () + 4 + + lim = lim =, οπότε λ= και + 4 4 lim ( () λ ) = lim = lim = + + + Επομένως, η ευθεία y Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθεία y Επίσης έχουμε:, οπότε β=. = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C και στο. + 4 lim () lim = = και + 4 lim () lim + + = = +. 5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση.
Για να μελετήσουμε και να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής: ) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. ) Εξετάζουμε τη συνέχεια της στο πεδίο ορισμού της. 3) Βρίσκουμε τις παραγώγους και και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της, ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής. 4) Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.) 5) Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται και πίνακας μεταβολών της και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της. Για καλύτερη σχεδίαση της C κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της. ΣΧΟΛΙΟ ) Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είναι άρτια, τότε η C έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy, ενώ αν είναι περιττή, η C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα A, με. ) Αν μια συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ ένα διάστημα πλάτους Τ.
Παράδειγμα 4. Να βρείτε το όριο lim (), με ( ) = e ( ) Το πεδίο ορισμού της είναι Είναι: lim e ( ) ( ) D = = (απροσδιόριστη μορφή) οπότε: ( ) ( e ) lim e ( ) = lim = lim = lim = lim = lim =. e e e + + ( ) ( e ) Σημείωση: Παντού στα επόμενα, η γραφή: ( ± ),, +, ( + ) κτλ. (απροσδιόριστη μορφή) σημαίνει ότι δεν εφαρμόζονται τα σχετικά θεωρήματα εύρεσης ορίων, αφού οδηγούμαστε στην αναγραφόμενη απροσδιόριστη μορφή. Όταν έχουμε απροσδιοριστία της μορφής ( ± ) τότε την μετατρέπουμε στη μορφή ή ± με τον μετασχηματισμό: () g() ()g() = =. g() () ± 3
Παράδειγμα 5. Να βρείτε το όριο lim () +, με () = + ln( + ) Το πεδίο ορισμού της είναι το D = (, + ) Είναι: lim ln ( ) οπότε: + ( ) ( ) ( ) ( ( )) + + = + + (απροσδιόριστη μορφή ) ( + ) ln lim + ln + = lim + = ( + ) ( ) = + + + + αφού: + ( ) ln(+ ) + ( ln( + ) ) + lim = lim = lim + = lim = lim = + + + + + + ( + ) + + + Όταν έχουμε απροσδιοριστία της μορφής ( + ) ( + ) τότε την μετατρέπουμε στη μορφή ή ± ± βγάζοντας κοινό παράγοντα το ( ) ή το g( ) 4
Παράδειγμα 6. lim, µε = + 5 Να βρείτε το όριο ( ) ( ) ( ) + Το πεδίο ορισμού της είναι D = (,) (, + ) Επειδή: ( ) ( ) lim + 5 = + (απροσδιόριστη μορφή ) μετασχηματίζουμε τον τύπο της : + ln ( + 5) ln( + 5 ) = + 5 = e = e ( ) ( ) Επειδή: + ln ( + 5) + ( ln ( + 5) ) lim = lim = lim + 5 = lim = lim = lim = + + + + + 5 + + παίρνουμε: ( ) ( ) ln( + 5) lim + 5 = lim e = e = + + Όταν έχουμε απροσδιοριστία της μορφής ( ) ±, κάνουμε τον μετασχηματισμό: (), ± τότε g() g()ln() = e και βρίσκουμε το όριο του εκθέτη. 5
Παράδειγμα 7. Να βρείτε το όριο lim () () = +, με ( ) 3 Το πεδίο ορισμού της είναι D =, (, + ) Ισχύει ( ) 3 lim + = ± (απροσδιόριστη μορφή ) Μετασχηματίζουμε τον τύπο της : ( ) ( ) ln 3 3 ( + ) = + = e = e ( 3) ( + ) ln Βρίσκουμε το όριο του εκθέτη ln ( + ) ( ln ( + ) ) lim = lim = lim + = 3 3 3 άρα ( + ) ln 3 3 lim () = lim e = e. 3 Όταν έχουμε απροσδιοριστία της μορφής ( ) ±, κάνουμε τον μετασχηματισμό: (), τότε g() g()ln() = e και βρίσκουμε το όριο του εκθέτη. 6
Παράδειγμα 8. Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = ln( + ) + ο Βήμα: Το πεδίο ορισμού της είναι το D = (, + ) ο Βήμα: Η συνάρτηση () είναι συνεχής στο D = (, + ) 3 ο Βήμα: () = + = + + η οποία έχει ρίζα τον αριθμό = 4 ο Βήμα: ( + ) () = ( + ) η οποία μηδενίζεται στο = D = (, + ) 5 ο Βήμα: lim () = και = + + = + + = +. lim () lim ln( ) + + 6 ο Βήμα: Η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. Επίσης αφού: ln( + ) + () ln ( + ) lim = lim = lim + = + + + + + ln ( + ) + ( ln ( + ) ) lim = lim = lim + = ( ) + + + και = + + = + + = + lim () lim ln( ) + + άρα η C δεν έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη 7 ο Βήμα: Ο πίνακας μεταβολών της είναι 7
8 ο Βήμα : η γραφική παράσταση της είναι Για να παρασταθεί γραφικά μια συνάρτηση ακολουθούμε τα εξής βήματα. ο Βήμα: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. ο Βήμα: Εξετάζουμε τη συνάρτηση ως προς την συνέχεια στο D. 3 ο Βήμα: Βρίσκουμε την για τη μελέτη της μονοτονίας και των ακρότατων. 4 ο Βήμα: Βρίσκουμε την για τη μελέτη της κυρτότητας. 5 ο Βήμα: Εξετάζουμε την συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού της. 6 ο Βήμα: Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες της. 7 ο Βήμα: Τα παραπάνω συμπεράσματα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα που ονομάζουμε πίνακα μεταβολών. 8 ο Βήμα: Τέλος χαράσσουμε την γραφική παράσταση. 8
Σχόλια: Εξετάζουμε αν η είναι άρτια οπότε η C έχει άξονα συμμετρίας τον yy ή περιττή οπότε η C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο Επομένως για την μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης περιοριζόμαστε στο Α= D (,+ ) Εξετάζουμε αν η είναι περιοδική με περίοδο T Επομένως για την μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης περιοριζόμαστε σε ένα διάστημα πλάτους T Συμπληρωματικά, όταν μπορούμε βρίσκουμε τα σημεία τομής της C με τους άξονες. Σημείωση: Το προτεινόμενο παραπάνω πλήθος των βημάτων για την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι ενδεικτικό. 9
ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και lim () =, να αποδειχθεί ότι η + γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει στο + οριζόντια ασύμπτωτη. Έστω ότι η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +. Τότε lim () =β, β () + Η συνάρτηση είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σε κάποιο διάστημα [, + ],όπου +, παραγωγίσιμη στο (, + ), δηλαδή πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα (, + ). Άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, + ) ώστε ( + ) () ( ξ ) = = ( + ) () + () Αλλά lim ( + ) = lim () =β διότι: + + Αν θέσουμε + = u, με + τότε u + άρα ()) lim ( + ) = lim (u) =β (λόγω της + u + Τότε lim[( + ) ()] = άρα ( ξ ) = δηλαδή καταλήξαμε σε άτοπο, αφού + lim () =. + Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη εργαζόμαστε ως εξής: i. θεωρούμε ότι η C έχει την ευθεία y = β οριζόντια ασύμπτωτη στο + (ή ) ii. Με την βοήθεια των δεδομένων της άσκησης καταλήγουμε σε άτοπο. 3
Παράδειγμα. i. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ( ) = e. ii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης α. α e =, για τις διάφορες τιμές του i. Βήμα: Το πεδίο ορισμού της () είναι το D =. Βήμα: Η συνάρτηση () είναι συνεχής στο D =. 3 Βήμα: ( ) = e άρα ( ) () και ( ) () οπότε η δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. 4 Βήμα: Έχουμε ( ) = ( ) e και η εξίσωση ( ) 5 Βήμα: Έχουμε ( ) = ( e ) και η εξίσωση ( ) =. 6 Βήμα: Είναι: ( ) ( ) lim () lim + + ( ) + + + + + = έχει ρίζα τον αριθμό = = έχει ρίζα τον αριθμό lim = lim e = lim = lim = lim = e e ( )( + ) = lim e = lim e = = +. ( e ) 7 Βήμα: Η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο +. 8 Βήμα: Ο πίνακας μεταβολών της είναι: 3
9 Βήμα: Η γραφική παράσταση της είναι: ii. Είναι: e e ( ) α = α= =α () Αν e εξίσωση () δεν έχει ρίζες. α> τότε η ευθεία y = α δεν τέμνει την γραφική παράσταση της ( ) άρα η Αν α= τότε η ευθεία y = α εφάπτεται στη γραφική παράσταση της ( ) σε ένα μόνο e σημείο, το M, e. Άρα έχουμε μία ρίζα την =. 3
Αν e σημεία άρα η εξίσωση () έχει δύο ρίζες. <α< τότε η ευθεία y = α τέμνει τη γραφική παράσταση της ( ) σε δύο Αν α τότε η ευθεία y = α τέμνει τη γραφική παράσταση της ( ) σε ένα μόνο σημείο άρα η εξίσωση () έχει μία ρίζα. Όταν θέλουμε να βρούμε το πλήθος των ριζών μιας παραμετρικής εξίσωσης, = α ένας τρόπος είναι να μετασχηματίσουμε την εξίσωση στη μορφή ( ) και να την επιλύσουμε γραφικά όπως υποδεικνύεται στο παράδειγμα. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/ 33