Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 5 f( ) = (iv) f( ) = + (ii) f( ) = + + (v) f( ) = 7+ Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 5 f( ) = (ii) f( ) = 5 + (iii) f( ) = + 7 (iv) f( ) = ( ) ( ) f α f β +, α β 4 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f( ) (iv) f( ) + 5 = log 9 ( ) 5 ln 4 + f = ln 4 (ii) ( ) = (v) f( ) = ln ln( ) f = log (iii) ( ) 6 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f( ) = (iv) f( ) = 7 5 + (ii) f( ) = (iii) f( ) (v) f( ) = 6 + 6 7 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f( ) = 5 (ii) f( ) (vi) f( ) (iii) f( ) = 7 + (iv) ( ) 8 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: = f = 6 5 = = 5 6 + 6
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις f( ) = log ( 4 ) (ii) ( ) ( ) 9 f = + (iv) f( ) = 4 ln( ) (v) ( ) f = ln 9 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f log = ( ) (ii) f( ) ln( e ) 0 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το A= [ 0,8] = (iii) f( ) = ln( ln) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( ) f( ) = Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το A= [,4] Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( ) = f( 5+ ) II Παράµετροι Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R : (iii) f () α α f() = f() α α + = (ii) = ( ) + ( ) + α+ 4 (iv) f() = log ( α ) ( α+ ) + ( α+ ) Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R α f () = (ii) f () = α (α+ ) α+ α (iii) f () = l og[(α+ ) + α+ α] (iv) f () = ln( + α+ 4) 4 Για τις διάφορες τιµές του λ R να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f () = + + λ (ii) III Σύνολο τιµών συνάρτησης f () = λ + (λ )+ 5 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων: 4 + + f() = + (ii) f () = (iii) f() = + 4 6 (iv) f () = 4 + 6 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων f() = (ii) f () = 4 4
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις (iii) + f () = + + (iv) f () = + l n(+ ) 7 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων f () = 9 4 (ii) f () = + l n(+ ) α+ β 8 Για ποιες τιµές των α,β R η συνάρτηση f () = + έχει σύνολο τιµών το [,8] α 9 Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f () = + έχει σύνολο τιµών το [,] IV Συναρτησιακές σχέσεις 0 ίνετε η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) f + ψ + f ψ = 4 + ψ 5 για κάθε,ψ R Να βρείτε το f( 0 ) και κατόπιν τον τύπο της συνάρτησης f Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f :R R όταν ισχύει (ii) (iii) (iv) f ( ) = + 5 για κάθε R 4 f () 0 f () 5 για κάθε R f () + f (+ ) για κάθε R 4 f () f ( ) = + + για κάθε R (v) f (+ ) + f ( ψ) = 4(ψ ) για κάθε,ψ R * Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f : R Rγια την οποία ισχύει: f () f = 5 για κάθε R (ii) f () + f = 8 για κάθε R (iii) f() f ( ) = 4+ για κάθε R * ίνεται η συνάρτηση f : R Rγια την οποία ισχύει: f () 5ψf ()f (ψ) για κάθε,ψ R 5 Να δείξετε ότι f () = 5 5
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 4 Έστω f:(0, + ) Rσυνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε,ψ (0, + ) ισχύει: f() + f(ψ) = f(ψ) Να αποδειχθεί ότι: f() = 0 (ii) ν N (v) ( ) ν f = f() (iii) f = f(), ν N µε ν ν V Γενικές f = f() f(ψ) ψ ν (iv) f( ) = νf(), 5 Να δειχθεί ότι, δεν υπάρχει συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R, για την οποία ισχύει: f () f (5 ) = + για κάθε R 6 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R και για κάθε R ισχύει: 6 f() + f( ) = 6 + Να βρείτε τον τύπο της f (ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f 7 ίνεται η συνάρτηση f () = log + Να βρείτε το πεδίο ορισµού της (ii) Να δειχθεί ότι : f ( ) = f () για κάθε Af + (iii) Να δειχθεί ότι, για κάθε, Af ισχύει: f ( ) + f ( ) = f + 8 Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f, g όταν για κάθε R ισχύουν: f + + g + = 9 + + 7 και f( ) + 4g( + ) = 6 + 8 ( ) ( ) I Γραφική παράσταση συνάρτησης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πρέπει να γνωρίζουµε πολύ καλά τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων 9 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:, ln, > f() = +, < (ii) f() =,,, < < 6
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις (iii) f() = ln (iv) f() = (v) f() = + 0 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και από αυτές να βρείτε το σύνολο τιµών τους,<, f () = 4 (ii) f () =,, < (iii) f () = + +, < (iv) f() = (v) f() = ηµ ηµ (vi) (vii) f() () f () = ln (viii) f () = ln = f() = e f() = ln II Σηµεία τοµής της γραφικής µε τους άξονες Η γραφική πάνω, κάτω από τον άξονα 0 Να βρείτε τα σηµεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέµνουν τους άξονες Επίσης να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα f () = + 8 4 (ii) f() = 5+ 6 (iii) + 6 f () = (iv) + f () = (v) f() = + 4 (vi) f () = log( + ) log log4 Να βρείτε τα σηµεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέµνουν τους άξονες Επίσης να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα f () = e (ii) f() = 8 (iv) f() = log( log ) + log00 (v) + + f () = 4, 0 ln + 5+ 5, > 0 III Σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων Γραφική παράσταση συνάρτησης πάνω κάτω από άλλη Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων f() = και g() = (ii) f() = και g() = (iii) (v) f() = + 5 και 5 f() = + και 6 g() = (iv) + g() = + + f () = και 8 g() = 7
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της g + f() = και g() = (ii) f() = 5 + 5 και g() = 0 + 5 (iii) f() = ln και g() = ln( 5 ) 4 Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g όταν: = ηµ =, [ 0, π] f () = +, g() = (ii) f () 0, g() 5 (iii) f () 5, g() 5 + 6 8 = = (iv) l l f () = n, g() = n+ 5 ίνονται οι συναρτήσεις f() = 4 + και + g() 8 = Να βρεθούν τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g (ii) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της g IV Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και παράµετροι 6 Να αποδειχθεί ότι οι κορυφές της παραβολής σε µία παραβολή ψ= 4β+ βρίσκονται πάνω 7 Να βρεθούν οι α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 8β f() = + ( α+ ) + α+ β+ και g() = να τέµνονται πάνω στον άξονα ψψ + και η γραφική παράσταση της f να εφάπτεται του άξονα 8 ίνεται η συνάρτηση f λ λ λ 5 ( ) = ( ) + ( + ) + +, λ {} R Να βρεθεί ο λ R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α Να τέµνει τον άξονα σε δύο σηµεία β Να έχει µε τον άξονα ένα µόνο κοινό σηµείο γ Να βρίσκεται πάνω από τον άξονα (ii) Να δείξετε ότι καθώς το λ διατρέχει το R {} η C f διέρχεται από ένα σταθερό σηµείο 9 Αν f( ) = + α+ β και ( ) g = (α + ) + α 6, να βρεθούν οι α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f, g να έχουν κοινά σηµεία πάνω στον άξονα ψψ και στην ευθεία = 8
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 40 ίνονται οι συναρτήσεις α ( ) 4+ f =, και g( ) = + ( α+ β) β Να βρείτε τον α Rώστε η M,α (ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να δείξετε ότι οι C να διέρχεται από το σηµείο ( ) f C f και σηµεία Αν β=, να βρείτε τα κοινά σηµεία των C f και C g 4 Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) g() = ( α+ ) + ( β) τέµνονται πάνω στις ευθείες βρεθούν: Τα α, β R και C g έχουν δύο κοινά 4 f() α β = + + + και = και = να (ii) Τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g 4 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ) ( ) f = λ + λ + λ+ + λ λ+ λ λ καθώς το λ διατρέχει το R διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία f = + µ+ 5 + µ+ 5, µ Rκαι έστω C µ η γραφική της παράσταση ( παραβολή ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κορυφών της παραβολής όταν το µ διατρέχει 4 ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) το R (ii) Για ποια τιµή του µ η ευθεία ε :ψ= + διέρχεται από την κορυφή της C µ V Γενικές 44 Έστω f: R Rσυνάρτηση τέτοια ώστε f( ) f( ) = + για κάθε R Να βρεθεί ο τύπος της f (ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g = f, h = f +,φ = f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 45 ίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f( ) f = 4 Να βρείτε τον τύπο της f (ii) Να βρείτε τα σηµεία στα οποία η Cfτέµνει τους άξονες (iii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα 46 Έστω f : R R περιττή συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) 5 f για κάθε R 9
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις Να δείξετε ότι f( 0) = 0 (ii) Να βρείτε τον τύπο της f (iii) Να κάνετε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων: ( ) = f( ), h( ) = f( ), φ( ) f( ) g = 47 ίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε: Να βρεθεί ο τύπος της f f( + ) f( ) = + 4 5, για κάθε R g = f + (ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: ( ) ( ) ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I Ίσες συναρτήσεις 48 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις f, g είναι ίσες: (ii) f() = f() = και g() = και 9 9 g() =, (iii) f() = και g() = + 9 (iv) f() = ln και g() = ln( ) ln( ) 49 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α και για κάθε Aισχύει: ( f + g )() ( f + g )() = ( f g )() Να δειχθεί ότι, f = g 50 Να δειχθεί ότι, οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες, αν f( ) = + + και g( ) =, αν > 5 Έστω f, g συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού το A = R για τις οποίες ισχύει: f( ) + f( ψ) + g( ) g( ψ) = ( + ) 6ψ για κάθε, ψ R και ( ) να δείξετε ότι f = g g 0 = 0 0
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις II Πρόσθεση Αφαίρεση πολλαπλασιασµός διαίρεση συναρτήσεων 5 ίνονται οι συναρτήσεις: 4 f() = και g() = Να βρεθούν οι συναρτήσεις f + g, f g, g και f g 5 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f + g, f g και f g όταν: f() = και g() = + + (ii) f() = και g() = +, (iii) f() = και g() = +, > 54 ίνονται οι συναρτήσεις: 5, 0, f() = και g() = Να βρεθεί η συνάρτηση f + g +,> 0 +,> 55 ίνονται οι συναρτήσεις: +,,< f() = και g() = Να βρεθεί η συνάρτηση f + g,> +, III Σύνθεση συναρτήσεων 56 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g και g f όταν: f() = 9 και g() = (ii) f() = συν και (iii) f() = logκαι g() = 4 g() = 57 ίνονται οι συναρτήσεις f, g :R R ( )( ) f g = + 4για κάθε R Να δείξετε ότι οι C f και g f = και µε ( )( ) C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο 58 Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R Rτέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f f f = + 4 ( )( ) Να δείξετε ότι f() = 59 Αν ( f f)( ) = +, να βρείτε το ( ) f 0
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις IV Παράµετροι 60 Να βρεθεί ο α R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες: α + 4α + 4+ f () = α+ και g() = + α+ 6 ίνονται οι συναρτήσεις: (α+ ) + (α 4) f() =, και + α Να βρεθεί ο α R ώστε f = g g() = (α + ) (α 4α+ ) α+ 7 6 Να βρεθούν οι α, β Rώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες + β (α )+ f() = και g() = + β β+ 6 6 ίνονται οι συναρτήσεις Να βρεθεί ο α R ώστε η f() = + α+ 4 και g() = + C να διέρχεται από το σηµείο Μ( α,α) f g (ii) Να βρεθεί ο α Rώστε η γραφική παράσταση της f g να βρίσκεται πάνω από τον άξονα, για κάθε R α 64 ίνεται η συνάρτηση f() = Να βρεθεί ο α R ώστε για κάθε R να ισχύει: (f f )() = { } V Γενικές α+ β 65 ίνονται οι συναρτήσεις f() = µε α ότι, οι συναρτήσεις f f και g είναι ίσες στο σύνολο 66 ίνεται η συνάρτηση f( ) = l n( + ) + Η f έχει πεδίο ορισµού το R g = τότε f g= f (ii) Αν ( ) 67 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το A [,4] της συνάρτησης g( ) f( 5) = α + β 0 και g() = Να δειχθεί α R Να δειχθεί ότι, = Να βρεθεί το πεδίο ορισµού 68 ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει g f = f g f = για κάθε R, να δειχθεί ότι ( )
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις =, να βρείτε µία συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει: + f g = R 69 Αν f( ) ( )( ) για κάθε { } 70 Αν f( ) = + 4, να βρείτε δύο συναρτήσεις g για τις οποίες ισχύει: 7 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : ( )( ) ( )( ) f g = 4+ 7 R R, µε ( ) f g = + 5 Να βρεθεί ο τύπος της f g = + και 7 Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R τέτοιες ώστε, για κάθε R ισχύει Αν υπάρχει µοναδικός α R ώστε g( α) α g( ) = ( f f)( ) = να δείξετε ότι ( ) f α = α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ - ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ I Άρτιες Περιττές συναρτήσεις 7 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: f() = (ii) f() = + + (iii) f() = 5συν (iv) f() = ln(+ + ) (v) f() = ln + (vi) f() log + = + + 74 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες τότε και η συνάρτηση λf + µg, λ, µ Rείναι άρτια (ii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι περιττές τότε και η συνάρτηση λf + µg, λ, µ Rείναι περιττή (iii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες ή f, g είναι περιττές τότε η συνάρτηση f g είναι άρτια (iv) Αν η συνάρτηση f άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση f g είναι περιττή (v) Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και η συνάρτηση g είναι άρτια, τότε η συνάρτηση f gείναι άρτια (vi) Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση f g είναι άρτια 75 ίνεται η συνάρτηση f : R Rτέτοια ώστε ( ) ( ) κάθε R Να δείξετε ότι η f είναι περιττή συνάρτηση f + 4f = 5ηµσυν για
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις R R τέτοια ώστε f( ψ) f( ) f( ψ), ψ R Να δείξετε ότι: f( 0) = 0 και (ii) Η f είναι περιττή συνάρτηση 76 ίνεται η συνάρτηση f : 77 ίνεται η συνάρτηση f : + = +, για κάθε R Rτέτοια ώστε: f( + ψ) + f( ψ) = f( ) f( ψ) για κάθε, ψ R Να δείξετε ότι: f (0) = ή f (0) = 0και (ii) Η f είναι άρτια συνάρτηση 78 Να δείξετε ότι κάθε συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα «συµµετρικό» (ως προς το µηδέν) σύνολο Α γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν άθροισµα µας άρτιας και µιας περιττής συνάρτησης Εφαρµογή: f: R {,} R µε f( ) = + II Περιοδικές συναρτήσεις 79 Αν Τ, T, T περίοδοι της συνάρτηση f : R R Να δείξετε ότι και οι T, T T, λt ( λ ) + Z είναι επίσης περίοδοι της f 80 Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική µε περίοδο Τ να δείξετε ότι η συνάρτηση ( β) f α+, α> 0 είναι περιοδική µε περίοδο Τ α 8 ίνεται η συνάρτηση f : R Rτέτοια ώστε: f + f + + f + + + f + 0 = 0 για κάθε R ( ) ( ) ( ) ( ) Να δείξετε ότι είναι περιοδική και να βρείτε την περίοδο της f R R ώστε: 8 ίνεται η συνάρτηση f : { } f( ) 5 f( + α) = f( ) Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο Τ= 4α, για κάθε R, ( α R ) 0, αν ρητος 8 Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f () =, (Dirichlet), αν αρρητος Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο κάθε ρητό αριθµό Έχει ελάχιστη θετική περίοδο; 84 Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση f : περιοδική, τότε ο αριθµός λ είναι ρητός 85 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f : αριθµός δεν είναι περιοδική R R µε ( ) R Rµε ( ) f = συν+ ηµλ, λ 0 είναι f = συν+ ηµα όπου α άρρητος 4
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις III Γενικές 86 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτηση f είναι συµµετρική ως προς το σηµείο Μ(α,β) αν και µόνο αν για κάθε R ισχύει: f() + f (α ) = β Τι συµπεραίνετε αν το Μ είναι η αρχή Ο των αξόνων ; 87 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : R R είναι συµµετρική ως προς την ευθεία = α αν και µόνο αν για κάθε R ισχύει: f() f (α ) = 0 Τι συµπεραίνετε όταν α= 0 ; ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I Μελέτη συνάρτησης ως προς την µονοτονία 88 Να µελετήσετε την µονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων f () = 4 (ii) f () = 5 (iii) f () = + (iv) f () = (v) f () = (vi) f () = + 89 Να µελετήσετε την µονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων f() = ln+ (ii) f() = 4 log (iii) f() = ln + ln+ + (iv) f() = e + (v) 5 f() 5 e e = (vi) α 90 ίνεται η συνάρτηση f() = α+, α R Για ποιες τιµές του α η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R (ii) Για ποιες από τις παραπάνω τιµές του α η f είναι: α Γνησίως αύξουσα β Γνησίως φθίνουσα 9 Να βρεθεί ο α Rώστε η συνάρτηση: f = α + α να είναι γνησίως αύξουσα στο R ( ) ( ) 9 Έστω f : R Rσυνάρτηση τέτοια ώστε: f < f + h για κάθε R και για κάθε h> 0 ( ) ( ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα 5 f() = e + ln + 5
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις II Μονοτονία συναρτήσεων και λύση εξισώσεων ανισώσεων 9 Να δείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f : R Rέχει το πολύ µία πραγµατική ρίζα (ii) Να λύσετε την εξίσωση 00 00 + 5 + = 009 94 Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g : R R είναι γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι γνησίως φθίνουσα f g ( ) f g (+ 4) (ii) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( ) 95 ίνεται η συνάρτηση f() = α + (α ) α+ µε α> 0και α Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως µονότονη (ii) Να λύσετε την εξίσωση α + (α ) = α (όµοια όταν f() = α + (α α) α ) 96 Έστω f :R Rσυνάρτηση γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() είναι γνησίως φθίνουσα (ii) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τη συνάρτηση h() = α, 0< α< και να λύσετε την εξίσωση: 4 5 0 α α = 9+ 0 97 Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τις συναρτήσεις: 5 f() = ln+ + 5 8 και g() = 6 7 e (ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: f( ) > 0και g( ) 0 98 Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης: f() = log () (ii) Να λύσετε την ανίσωση: log+ log( log) () 99 Να λύσετε τις ανισώσεις: (iii) 7 5 + + 4 + 5 4 (ii) + 4 n e e < 5 l 5 + 4 (iv) III Μονοτονία και πρόσηµο συνάρτησης + 4 + 5 < 6 6 > 5+ 6 00 Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως φθίνουσα µε f( ) 0 g( ) = f( ), να βρείτε τα πρόσηµα των συναρτήσεων f και g = Αν 6
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 7 0 ίνεται η συνάρτηση f( ) ( ) ( 5 ) = + + Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία (ii) Να βρείτε το f( 0 ) (iii) Να βρείτε το πρόσηµο της f 0 Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως αύξουσα µε f( ) = 0 Να βρείτε το πρόσηµο της f (ii) Να λύσετε τις ανισότητες: f( 5 λ ) > 0 και f ( µ 5) f( 7µ 5) π (iii) είξτε ότι: αν α, β R µε 0 β α f() (iv) Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτησης g() = + < + < < < τότε f( συνα) f( συνβ) III Μονοτονία συναρτήσεων και απόδειξη ανισοτήτων 0 Αν α,β (, + ) και α< β να δείξετε ότι: α + β α < + β < 04 Έστω f, g : R Rδύο συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα και για κάθε R ισχύει f() < g() να δείξετε ότι f( g() ) < g( f() ) για κάθε R 05 Έστω f, g, h : R Rγνησίως αύξουσες συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε R ισχύει: f( ) g( ) h( ) Να δείξετε ότι: ( ) IV Γενικές ( ) ( ( )) ( ( )) f f g g h h, για κάθε R 06 Να δείξετε ότι: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και οι συναρτήσεις f + g, f gείναι γνησίως αύξουσες (ii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση f gείναι γνησίως αύξουσα (iii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση f gείναι γνησίως φθίνουσα 07 Αν η συνάρτηση f : R R είναι περιττή και γνησίως αύξουσα στο,0 0,+ διάστηµα ( ), τότε είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα ( ) (ii) Αν η συνάρτηση f : R R είναι άρτια και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,0 0,+ ( ), τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ( ) 7
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 08 Αν οι συναρτήσεις f, g :A R είναι γνησίως φθίνουσες, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f + g+ α, α R είναι γνησίως φθίνουσα (ii) Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: = + +, όπου α, β, γ ( 0,) g() α β γ (iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: 6 + 8 = 0 και + 0 + 0 + 0 f() α β + 4 + 5 = = + και (iv) Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 + 8 0 και + 4 + 5 > 09 Αν οι συναρτήσεις f, g :A R είναι γνησίως αύξουσες, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f + g+ α, α R είναι γνησίως αύξουσα (ii) Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης (iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ln + log ln = ln + log ln (iv) Να λύσετε την ανίσωση: ( ) f() = + log ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I Υπολογισµός ακρότατων τιµών συνάρτησης 0 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων f() = 4 + (ii) f() = + (iii) (iv) f () = ηµ (v) f()=συν+ f() = + Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων + + f() = (ii) f() = + + + Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων e 4 4 f() = (iι) f() = ηµ + συν + e Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης f () = 5 + 4 4 Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης: Για ποια τιµή του α ( 0,π) f () =, α 0,π συνα+ ( ) η µεγαλύτερη τιµή της f είναι 4; 8
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις II Υπολογισµός παραµέτρων 5 ίνεται η συνάρτηση f() = α+ Να βρείτε τον α Rώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σηµείο Μ(,5) (ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα α+ β 6 Να βρεθούν οι α, β R ( α 0 ), ώστε η συνάρτηση: f() = + Να έχει ελάχιστο το 9και µέγιστο το 4 (ii) Να έχει ελάχιστη τιµή αντίθετη της µέγιστης (iii) Να ισχύει fma + fmin = β 4 III Θεωρητικές 7 ίνονται οι συναρτήσεις f, g :A R Αν η f παρουσιάζει µέγιστο στο o και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο o µέγιστο στο o A A, να αποδείξετε ότι η f A g παρουσιάζει 8 ίνονται οι συναρτήσεις f, g :A R µε f() > 0και g() > 0για κάθε A Αν η f παρουσιάζει µέγιστο και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο o ότι η f g παρουσιάζει µέγιστο στο o A A, να αποδείξετε 9 Αν η συνάρτηση f :R Rείναι περιττή και παίρνει ελάχιστη τιµή, να δείξετε ότι η f παίρνει και µέγιστη τιµή IV Γενικές 0 ίνεται η συνάρτηση f() = Να κάνετε την γραφική παράσταση της f, να τη µελετήσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιµών της Από όλους τους θετικούς αριθµούς µε σταθερό άθροισµα α, α Rνα βρείτε εκείνους που έχουν το µέγιστο γινόµενο το οποίο και να υπολογίσετε (ii) Από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο, να βρείτε εκείνο που έχει το µέγιστο εµβαδόν Από όλους τους θετικούς αριθµούς µε σταθερό γινόµενο c, c Rνα βρείτε εκείνους που έχουν το ελάχιστο άθροισµα το οποίο και να υπολογίσετε (ii) Από όλα τα ορθογώνια µε σταθερό εµβαδόν, να βρείτε εκείνο που έχει την µικρότερη περίµετρο 9
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις ( + ψ) ( ψ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ψ= 4 4 (ii) Αν οι πραγµατικοί αριθµοί και ψ έχουν σταθερό άθροισµα c, να αποδείξετε ότι c το γινόµενο Γ= ψ γίνεται µέγιστο όταν = ψ= (iii) Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης f( ) 4 Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ψ) 4ψ ( ψ) =, 0 + = + (ii) Aν οι θετικοί αριθµοί και ψ έχουν σταθερό γινόµενο γίνεται ελάχιστο όταν = ψ= c (iii) Να βρείτε την µικρότερη τιµή της συνάρτησης f( ) I Μελέτη αν µια συνάρτηση είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - 5 Να εξετάσετε αν είναι οι παρακάτω συναρτήσεις: f() = + (ii) (iv) + f() = + 8 (v) 5 = + + 5 4 (iii) f() = + (vi) 6 Να εξετάσετε αν είναι οι παρακάτω συναρτήσεις: f() = e + + 5+ 4 (ii) f() = 8 4 log (iii) f() = + 4 (iv) c, το άθροισµα A= + ψ 4 = +, > 0 f() = 5 f() = + + f() = e + (v) e f()= e 7 Αν οι συναρτήσεις f, g : R Rείναι να δείξετε ότι και η συνάρτηση g f είναι (ii) Αν η συνάρτηση f :R Rείναι να δείξετε ότι και η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) h = f + f + είναι επίσης 8 ίνεται η συνάρτηση f : για κάθε R Να δείξετε ότι: R Rγια την οποία ισχύει: ( )( ) f( ) = (ii) Η συνάρτηση ( ) ( ) II Συνάρτηση και λύση εξισώσεων + f f = + 4 g = f + 4 δεν είναι 9 Α Να δείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f :R R έχει το πολύ µια πραγµατική ρίζα Β Να λύσετε τις εξισώσεις: 0
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις n+ + = 0 l (ii) e + l n+ = 00 (iii) 00 + + 5= 008 (iv) + 4 + 5 = 6 Γ Αν α, β, γ είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, ( Α = 90 ο ), να δείξετε ότι η εξίσωση β + γ = α έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα 0 Η συνάρτηση f :R R R Να δείξετε ότι η f είναι ικανοποιεί τη σχέση ( ) (ii) Να λύσετε την εξίσωση f( ) f( 4 ) + = ( ) ( ) f f + f = + για κάθε ίνονται οι συναρτήσεις f, g :R R και η συνάρτηση g f για την οποία ξέρουµε ότι είναι Αν η συνάρτηση f είναι και έχει σύνολο τιµών το R να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι + (ii) Να λύσετε την εξίσωση f( 9 ) f( 4 4 ) + = + ίνεται η συνάρτηση f( ) = συν, [ 0,π] Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία (ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f + + = + +, (,) (iii) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) συν συν Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 ( ) ( ) e + + e + + e + = 0 + (ii) ( ) ( ) + + + + = + + + 4 + + III Γενικές 4 Να δείξετε ότι η συνάρτηση (ii) Να λύσετε την εξίσωση (iii) Να λύσετε την ανίσωση 5 Να µελετήσετε την συνάρτηση (ii) Να λύσετε την εξίσωση (iii) Να λύσετε την ανίσωση f () = e + είναι 4 e e = + 4 + e e + < 0 f () = e + + ως προς την µονοτονία + e e = + + e e + 6 Αν η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως µονότονη και ισχύει f(+ f(ψ)) = f(+ ψ) +, για κάθε, ψ R να δείξετε ότι: f () = + 7 ίνεται η συνάρτηση f : * * R R τέτοια ώστε για κάθε, ψ R ισχύει: ( ) ( ) f( ψ) f ψ = f
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις Αν η εξίσωση f () = έχει µοναδική ρίζα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ I Ύπαρξη και εύρεση αντίστροφης συνάρτησης 8 Να βρείτε την αντίστροφη (αν υπάρχει ) των παρακάτω συναρτήσεων: f() = (ii) f() = (iii) 5 e (iv) f() = 4 ln( + e ) (v) f() = + e 5 f() = e 7 9 Να βρείτε την αντίστροφη (αν υπάρχει ) των παρακάτω συναρτήσεων: 0 f() = (ii) f() = ln e + + 0 + (iii) f() = ln (iv) f() = + 40 ίνεται η συνάρτηση f() = 5 Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία (ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της (iii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 4 Όµοια όταν: f() = και (ii) f 4+ αν f() = αν < 4 Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων: e e α f() = (ii) f() =, α> α 4 ίνεται η συνάρτηση f :A R τέτοια ώστε f + 5f = 0, για κάθε R ( ) ( ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την II Υπολογισµός παραµέτρων 44 ίνεται η συνάρτηση ( ) f α β = +, α, β R Να βρεθούν οι α, β στις παρακάτω περιπτώσεις: f
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις f = f (ii) f = f και (iii) f f c = + όπου c R 45 ίνεται η συνάρτηση f() = (α )+ β, α, β R Να βρεθούν οι α, β ώστε η f να αντιστρέφεται και f = f III Αντίστροφη συνάρτηση και λύση εξισώσεων - ανισώσεων 46 ίνεται η συνάρτηση 5 f() = + + Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται (ii) Να λύσετε την εξίσωση f() = f () (iii) Να υπολογίσετε το f () (iv) Να λύσετε την εξίσωση (v) Να λύσετε την ανίσωση f ( ) f (8) = f ( ) f ( 5) + 47 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R Rκαι η συνάρτηση g f για την οποία ξέρουµε ότι είναι Να δείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι (ii) Να λύσετε την εξίσωση f( + ) = f( + ) (iii) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε την ανίσωση: f ( ) < f (+ ) 48 Η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία A(,) και B(5,9) Να λύσετε την εξίσωση : ( ) (ii) να λύσετε την ανίσωση: f + f ( + ) = 9 f f ( 8) 49 H συνάρτηση f: R Rείναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(,5) και Β(,8) Να λύσετε την εξίσωση: f + f( ) = + 0 (ii) Να λύσετε την ανίσωση: f f + 8 + IV Γενικές 50 Οι συναρτήσεις f, g : R R έχουν την ιδιότητα ( ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται g f () = + f() + για κάθε R 5 Για τη συνάρτηση f γνωρίζουµε ότι ( ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την (ii) Να δείξετε ότι f(+ ) = f() + f f () = + για κάθε R f
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις (iii) Να λύσετε την εξίσωση f() = 5 Η συνάρτηση f : R Rέχει την ιδιότητα: f f = + f, για κάθε R Να αποδείξετε ότι Η f είναι αντιστρέψιµη f 0 = 0 (ii) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (iii) Αν η f έχει σύνολο τιµών το Rτότε για κάθε Rισχύει: ( ) (iv) f( ) = + f ( ) 5 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f + f = + +, για κάθε R ( ) ( ) 5 Να δείξετε ότι η f είναι περιττή (ii) Να µελετήσετε την µονοτονία της f f = f (iii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) 54 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : Να δείξετε ότι: f = ( ) (ii) Η g δεν αντιστρέφεται ( ) R R µε ( ) ( ) ( ) f f = f f = 5+ 9 και g = f +, για κάθε R 55 Αν η συνάρτηση f :A R είναι αντιστρέψιµη και για κάθε, R ισχύει ( ) = ( ) + ( ) να δείξετε ότι: f ( ψ + ψ ) = f ( ψ ) f ( ψ ), για κάθε ψ, ψ f( A) f f f 4