Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai cunoscute rezultate din logica matematică. De-a lungul timpului, au fost propuse diverse demonstraţii ale acestui rezultat cheie din logică, demonstraţii care ulterior au fost adaptate pentru a furniza teoreme de completitudine şi pentru alte sisteme logice. Demonstraţia iniţială propusă de Gödel se bazează pe aducerea enunţurilor la forma normală Skolem. În prezent, această demonstraţie are doar un interes istoric. În lucrarea de faţă prezentăm patru dintre cele mai cunoscute demonstraţii ale teoremei de completitudine pentru logica de ordinul I. Dintr-o simplă analiză a acestor demonstraţii aparent total diferite, se observă că deşi fiecare foloseşte instrumente matematice diferite, ele au totuşi o substanţă comună. Pentru a susţine această teză, prezentăm în Secţiunea 6 doua analize paralele între demonstraţiile prezentate în lucrare. Prima demonstraţie prezentată în Secţiunea 2 este demonstraţia dată de Henkin [2, 3]. Ideea de bază a acestei demonstraţii este de a extinde limbajul L la un limbaj L(C), de acelaşi cardinal cu L, prin adăugarea unei mulţimi C de constante noi, apoi extinderea unei teorii din limbajul L la o teorie Henkin maximală consistentă în limbajul L(C) şi, în final, construirea modelului canonic asociat unei teorii Henkin. Demonstraţia propusă de Rasiowa şi Sikorski [5, 6, 7] prezentată în Secţiunea 3 este o demonstraţie de natură algebrică ce foloseşte algebra Lindenbaum- Tarski asociată unui limbaj L. Forcingul este o metodă inventată de P.J. Cohen pentru demonstrarea independenţei axiomei alegerii şi a ipotezei continuului în raport cu sistemul 1 Facultatea de Matematică şi Informatică, Universitatea din Bucureşti ddiaconescu@funinf.cs.unibuc.ro 1

de axiome ZF [1]. Demonstraţia prin forcing descrisă în Secţiunea 4 se bazează pe o generalizare a forcingului sintactic al lui Robinson [8, 9] din teoria modelelor, generalizare introdusă de Keisler [4]. Noţiunile principale cu care se operează în teoria forcingului sunt mulţimile generice şi modelele generate de acestea (modele generice). Teorema modelului generic asigură existenţa unui model generic pentru orice condiţie. Demonstraţia sa are două componente: existenţa unei mulţimi generice ce conţine o anumită condiţie şi construcţia unui model generic plecând de la o mulţime generică oarecare. Teorema de completitudine apare ca o consecinţă imediată a teoremei modelului generic. Ultima demonstraţie prezentată în această lucrare se bazează pe proprietăţi de consistenţă, modele abstracte ale familiei mulţimilor consistente de formule. Rezultatul central în teoria proprietăţilor de consistenţă este teorema de existenţă a unui model (orice mulţime de formule ce aparţine unei proprietăţi de consistenţă admite un model). Teorema de completitudine apare ca un caz particular în care proprietatea de consistenţă este familia mulţimilor consistente. Pentru a uşura munca cititorului şi a avea notaţii bine definite şi clare, am inclus în finalul lucrării, în Anexa 1, descrierea calculului cu predicate clasic. 2 Demonstraţia prin metoda Henkin În continuare vom nota limbajul L λ cu L, fără a menţiona tipul acestuia. Cardinalul limbajului L este dat de L = F orm(l. Presupunem că V, mulţimea variabilelor, este numărabilă şi că mulţimile de operaţii, relaţii şi constante sunt cel mult numărabile. În acest caz spunem că L este un limbaj numărabil. Dacă C este o mulţime de constante noi (distincte de constantele lui L), considerăm limbajul L(C) obţinut prin adăugarea constantelor din C. O structură a lui L(C) este de forma (A, a c ) c C, unde A este o structură corespunzătoare lui L şi a c A, pentru orice c C. Fie în continuare C o mulţime de constante noi şi L(C) limbajul extins. Lemă 2.1 Fie ϕ(x) o formulă în L, c o constantă din C şi ϕ(c) enunţul din L(C) obţinut prin înlocuirea lui x cu c. Atunci, pentru orice teorie T a lui L, avem T ϕ(c) în L(C) T ( x)ϕ(x) în L. 2

Dacă α 1 (c),..., α n (c) = ϕ(c) este o demonstraţie formală a lui ϕ(c) din T în L λ (C), atunci α 1 (x),..., α n (x) este o demonstraţie formală a lui ϕ(x) din T în L λ. Atunci T ϕ(x) în L λ, deci T ( x)ϕ(x) prin regula generalizării. Dacă T ( x)ϕ(x) în L λ, atunci T ( x)ϕ(x) în L λ (C). Cum ( x)ϕ(x) ϕ(c), rezultă T ϕ(c) în L λ (C). Lemă 2.2 Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci T este consistentă şi în L(C). Presupunem prin absurd că T nu este consistentă în L λ (C). Deci există ϕ(c 1,..., c n ) în L λ (C) astfel încât T ϕ(c 1,..., c n ) ϕ(c 1,..., c n ), unde c 1,..., c n C. Conform Lemei 2.1, T ( x 1 )... ( x n )(ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n )), deci T ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n ) în L λ, ceea ce este o contradicţie cu faptul că T este consistentă în L λ. În continuare vom consid- Numim o teorie închisă o mulţime de enunţuri. era doar teorii închise. Definiţie 2.1 Fie T o teorie consistentă în L(C). T se numeşte teorie Henkin dacă pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă x, există c C astfel încât T ( x)ϕ(x) ϕ(c). Observaţie 2.1 Implicaţia T ϕ(c) ( x)ϕ(x) are loc întotdeauna. Lemă 2.3 Fie L şi C astfel încât L, C, L(C) sunt numărabile. Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci există o teorie Henkin T în L(C) astfel încât T T. Fie C = (c n ) n<ω o enumerare a lui C cu c n c m, pentru orice n m. Fie (ϕ n (x n )) n<ω o enumerare a formulelor lui L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă. Construim prin inducţie: un şir de teorii (T n ) n<ω ale lui L λ (C) cu T 0 = T şi un şir de constante (e n ) n<ω din C cu proprietăţile: 3

(i) T n consistentă în L λ (C) (ii) T n+1 = T n {( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )}, unde e n este o constantă din C ce nu apare în T n şi x n = { variabilă liberă a lui ϕn, dacă există orice variabilă, dacă ϕ n nu are variabile libere Vom lua definiţia prin recurenţă a teoriilor T n ca fiind dată de (ii). Rămâne să arătăm că dacă T n este consistentă, atunci şi T n+1 este consistentă. Presupunem prin absurd că T n {( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )} este inconsistentă în L λ (C). Deci T n (( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )), echivalent cu T n ( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n ), deci T n ( x n )ϕ n (x n ) şi T n ϕ n (e n ). Conform Lemei 2.1, T ( x n ) ϕ n (x n ), de unde obţinem că T n ( x n )ϕ n (x n ), ceea ce este o contradicţie cu faptul că T n este consistentă. Fie T = n<ω T n. Se verifică uşor că T este consistentă. Să arătăm că T este o teorie Henkin. Fie ϕ(x) în L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă x. Deci există n cu ϕ(x) = ϕ n (x n ). Avem ( x)ϕ(x) ϕ(e n ) = ( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n ) T n+1 T. Atunci T ( x)ϕ(x) ϕ(e n ) şi deci T este o teorie Henkin. Lemă 2.4 Dacă T este o teorie Henkin şi T este o teorie consistentă astfel încât T T, atunci şi T este o teorie Henkin. Fie Σ o teorie maximală consistentă care este şi teorie Henkin în L(C). Considerăm pe mulţimea C următoarea relaţie binară: c d c = d Σ Σ c = d. Lemă 2.5 este o relaţie de echivalenţă. Vom considera mulţimea cât A = C/ şi vom nota cu c clasa de echivalenţă a lui c C în raport cu. Lemă 2.6 Fie t(x 1,..., x n ) un termen al lui L şi c 1,..., c n C. Atunci ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) în L(C). 4

Fie ϕ(x) formula t(c 1,..., c n ) = x din L(C). Atunci avem următoarele: ϕ(t(c 1,..., c n )) ( x)ϕ(x) t(c 1..., c n ) = t(c 1,..., c n ) ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) t(c 1..., c n ) = t(c 1,..., c n ) ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) Lemă 2.7 Fie t(x 1,..., x n ) un termen al lui L şi c 1,..., c n C. Atunci există d C astfel încât Σ t(c 1,..., c n ) = d. Conform Lemei 2.6, ( x)t(c 1,..., c n ) = x. Cum Σ este o teorie Henkin, există d C astfel încât Σ ( x)t(c 1,..., c n ) = x t(c 1,..., c n ) = d, deci Σ t(c 1,..., c n ) = d prin modus ponens. Vom organiza A ca o structură pentru L(C): Fie f un simbol de operaţie n-ară. Definim operaţia n-ară f A pe A prin: f A ( c 1,..., c n ) = d Σ f(c 1,..., c n ) = d. Conform Lemei 2.7, pentru orice c 1,..., c n C există d C astfel încât Σ f(c 1,..., c n ) = d. Se arată cu uşurinţă că f A este bine definită. Fie R un simbol de relaţie n-ară. Definim relaţia n-ară R A pe A prin: R A = {( c 1,..., c n ) Σ R(c 1,..., c n )}. Se arată cu uşurinţă că R A este bine definită. Fie d o constantă a lui L. Conform Lemei 2.7, există c C astfel încât Σ d = c. Definim d A = c Σ d = c. Definiţia lui d A este corectă. Dacă c C, atunci definim c A = c. În acest fel am obţinut o structură A a limbajului L(C). Lemă 2.8 Dacă t(x 1,..., x n ) este un termen şi c 1,..., c n C, atunci t A ( c 1,..., c n ) = c Σ t(c 1,..., c n ) = c. 5

Demonstrăm prin inducţie după modul de formare al termenului t. Considerăm doar cazul când t este de forma f(t 1 (x 1,..., x n ),..., t m (x 1,..., x n )), restul cazurilor fiind evidente din definiţia lui A. Presupunem că echivalenţa este adevărată pentru t 1,..., t m. Conform Lemei 2.7 există d 1,..., d m C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, pentru 1 i m. Din ipoteza de inducţie obţinem că t A i ( c 1,..., c n ) = d i, pentru 1 i m. Atunci avem următoarele echivalenţe: t A ( c 1,..., c n ) = c f A (t A 1 ( c 1,..., c n ),..., t A m( c 1,..., c n )) = c f A ( d 1,..., d m ) = c Σ f(d 1,..., d n ) = c Σ f(t 1 (c 1,..., c n ),..., t m (c 1,..., c n )) = c Σ t(c 1,..., c n ) = c. Propoziţie 2.1 Pentru orice formulă ϕ(x 1,..., x n ) din L şi pentru orice c 1,..., c n C avem A = ϕ[ c 1,..., c n ] Σ ϕ(c 1,..., c n ). Vom arăta prin inducţie după modul de formare al formulei ϕ: ϕ este de forma t 1 (x 1,..., x n ) = t 2 (x 1,..., x n ) Conform Lemei 2.7 există d i C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, unde 1 i 2. Aplicând Lema 2.8 obţinem t A i ( c 1,..., c n ) = d A i, pentru 1 i 2. În acest caz avem: A = ϕ[ c 1,..., c n ] t A 1 ( c 1,..., c n ) = t A 2 ( c 1,..., c n ) d A 1 = d A 2 d 1 = d 2 Σ d 1 = d 2 Σ t 1 (c 1,..., c n ) = t 2 (c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ). ϕ este de forma R(t 1,..., t m ), cu t i = t i (x 1,..., x n ), unde 1 i m. Conform Lemei 2.7 există d i C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, 1 i m. Aplicând Lema 2.8 obţinem t A i ( c 1,..., c n ) = d A i, pentru 1 i m. Atunci: A = ϕ[ c 1,..., c n ] (t A 1 ( c 1,..., c n ),..., t A m( c 1,..., c n )) R A ( d 1,..., d m ) R A Σ R(d 1,..., d m ) Σ R(t 1 (c 1,..., c n ),..., t m (c 1,..., c n )) Σ ϕ(c 1,..., c n ). 6

ϕ este de forma ψ(x 1,..., x n ) Din ipoteza de inducţie ştim că A = ψ[ c 1,..., c n ] Σ ψ(c 1,..., c n ) ψ(c 1,..., c n ) Σ. Atunci A = ϕ[ c 1,..., c n ] A / = ψ[ c 1,..., c n ] Σ/ ψ(c 1,..., c n ) ψ(c 1,..., c n ) / Σ = ψ(c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ) Σ. Am folosit faptul că Σ este maximal consistentă. ϕ este de forma ψ χ. Demonstraţia rezultă imediat din ipoteza de inducţie. ϕ este de forma ( x)ψ(x, x 1,..., x n ) Avem următoarele echivalenţe: A = ϕ[ c 1,..., c n ] există c A astfel încât A = ψ[ c, c 1,..., c n ] există c A astfel încât Σ ψ(c, c 1,..., c n ) Σ ( x)ψ(x, c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ). În demonstraţie am folosit faptul că Σ este teorie Henkin. Observaţie 2.2 Conform Propoziţiei 2.1, pentru orice enunţ ϕ L λ (C), A = ϕ ϕ Σ. Atunci A = Σ. A construit anterior se numeşte modelul Henkin asociat teoriei Σ şi se notează A Σ. Teoremă 2.1 Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci ea admite un model. Fie T o teorie consistentă în L. Fie C o mulţime de constante noi cu C = L. Conform Lemei 2.3, există o teorie Henkin T în L(C) astfel încât T T. Fie Σ o teorie maximală consistentă a lui L(C) cu T Σ. Conform Lemei 2.4, Σ este teorie Henkin. Considerăm modelul Henkin A Σ asociat lui Σ. Conform Propoziţiei 2.1, pentru orice ϕ(x 1,..., x n ) L λ si c 1,..., c n C avem A Σ = ϕ[ c 1,..., c n ] ϕ(c 1,..., c n ) Σ. Cum T Σ, rezultă că A = T. 7

Teoremă 2.2 (Teorema de completitudine tare) Pentru orice teorie Σ şi orice ϕ, Σ ϕ Σ = ϕ. Implicaţia de la stânga la dreapta se demonstrează cu uşurinţă prin inducţie după definiţia lui Σ ϕ. Pentru cealaltă implicaţie, presupunem prin absurd că Σ / ϕ. Deci Σ { ϕ} este consistentă. Conform Teoremei 2.1 există o structură A astfel încât A = Σ { ϕ}. Atunci A = Σ şi A =/ ϕ, în concluzie Σ =/ ϕ, ceea ce este o contradicţie. Corolar 2.1 (Teorema de completitudine) ϕ = ϕ. În Teorema 2.2 considerăm Σ =. 3 Demonstraţia prin metoda Rasiowa-Sikorski Fie B o algebră Boole oarecare şi (x i ) i I o familie oarecare de elemente ale lui B. Lemă 3.1 Presupunem că există în B infimumul i I x i al familiei (x i ) i I. În acest caz, există în B supremumul familiei ( x i ) i I şi este dat de x i. i I x i = i I Lemă 3.2 Dacă în B există i I x i, atunci în B există i I x i şi este dat de i I x i = i I Cele două leme de mai sus reprezintă generalizarea legilor lui de Morgan pentru algebre Boole. x i. 8

Definiţie 3.1 O algebră Boole B se numeşte completă dacă pentru orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B există i I x i şi i I x i. Propoziţie 3.1 Sunt echivalente următoarele afirmaţii: (i) B este o algebră Boole completă. (ii) Orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B admite supremum. (iii) Orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B admite infimum. Propoziţie 3.2 (Rasiowa-Sikorski) Fie B o algebră Boole şi A n = {x ni i N}, n N, un şir de submulţimi numărabile ale lui B, astfel încât pentru orice n N există următorul infimum a n = x ni. i N În aceste condiţii, pentru orice y B, y 0, există un ultrafiltru F al lui B, astfel încât y F şi pentru orice n N avem Deci x ni F, pentru orice i N a n F. Vom construi prin inducţie un şir din B b 1, b 2,..., b n,... astfel încât: (1) b n A n, pentru orice n N (2) y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0, pentru orice n N. Presupunem prin absurd că pentru orice b A 1 avem y (a 1 b) = 0. (y a 1 ) (y b) = 0 de unde rezultă y a 1 = 0 şi y b = 0, pentru orice b A 1. Avem egalităţile b = (y b) b = (y b) ( b b) = (y b) 1 = y b, de unde rezultă y b, pentru orice b A 1. Aceasta nu înseamnă altceva decât că y i N x 1i = a 1. Rezultă y = y a 1 = 0, ceea ce este o contradicţie. Deci va exista b 1 A 1 astfel încât y (a 1 b 1 ) 0. Deci (1) şi (2) au fost verificate pentru n = 1. Presupunem că am găsit elementele b 1,..., b n B astfel încât: 9

(1 ) b 1 A 1,..., b n A n (2 ) y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0. Presupunem prin absurd că pentru orice b A n+1 avem y (a 1 b 1 )... (a n b n ) (a n+1 b n+1 ) = 0. Notând z = y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0, avem z (a n+1 b) = 0. Prin acelaşi raţionament ca mai sus, cu z în locul lui y, rezultă contradicţia z = 0. Deci există b n+1 A n+1 astfel încât y (a 1 b 1 )... (a n b n ) (a n+1 b n+1 ) 0. Cu aceasta inducţia este terminată. Considerăm următoarea mulţime: M = {y, y (a 1 b 1 ),..., y (a 1 b 1 )... (a n b n ),...}. M este un şir descrescător: y y (a 1 b 1 )... y (a 1 b 1 )... (a n b n )... Filtrul lui B generat de M este: (M) = {x B există z 1,..., z m M, z 1... z m x}. Vom arăta că (M) este filtru propriu. Presupunând prin absurd că (M) nu ar fi propriu, am avea 0 (M), deci ar exista z 1,..., z m M astfel încât z 1... z m = 0. Cum elementele lui M formează un şir descrescător, vom putea ordona mulţimea {z 1,..., z n }: z i1 z i2... z im. Se subînţelege că z i1, z i2,..., z im sunt elementele z 1,..., z m în altă înşiruire, deci 0 = z 1... z m = z i1 z i2... z im = z i1. Conform (2), toate elementele lui M sunt nenule, deci z i1 0. Contradicţia este evidentă, deci (M) este propriu. Vom putea atunci considera un ultrafiltru F al lui B astfel încât y M (M) F. Pentru orice n N avem y (a 1 b 1 )... (a n b n ) F a n b n F, conform definiţiei filtrului. Rezultă a n b n F, pentru orice n N. 10

Cum orice ultrafiltru este filtru prim, rezultă că a n F sau b n F. Dacă x ni F, pentru orice i N, atunci în particular b n F, deci nu putem avea b n F, deoarece F este propriu. Vom avea deci a n F. Demonstraţia este terminată, cealaltă implicaţie fiind evidentă. Forma duală a teoremei Rasiowa-Sikorski este următoarea: Propoziţie 3.3 Fie B o algebră Boole şi A n = {x ni }, n N un şir de submulţimi numărabile ale lui B, astfel încât pentru orice n N există a n = x ni. i N În aceste condiţii, pentru orice y B, y 0, există un ultrafiltru F al lui B astfel încât y F şi pentru orice n N avem: a n F există i N, astfel încâtx ni F. Fie şirul de submulţimi ale lui B A n = { x ni i N}, n N. Conform Lemei 3.2 există a n = i N x ni = i N x ni = a n. Aplicând Propoziţia precedentă, va exista un ultrafiltru F al lui B astfel încât y F şi pentru orice n N să avem: x ni F, pentru orice i N a n F. Pentru orice n N, avem următoarele echivalenţe: a n F a n = a n / F există i N, astfel încât x ni / F există i N, astfel încâtx ni F. Teoremă 3.1 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ. 11

Presupunem că / σ. Vom arăta că există o structură A astfel încât A =/ σ, unde σ este închiderea lui σ. Va rezulta că σ nu este universal adevărată ( =/ σ), deci demonstraţia va fi terminată cu aceasta. Conform Lemei A.3 avem / σ. În algebra Lindenbaum-Tarski F/ acest fapt se exprimă prin σ 1, deci σ = σ 0. Pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ este validă relaţia: (i) ( x)ϕ(x)= { ϕ(v) v V } Cum mulţimea formulelor lui L λ este numărabilă, în (i) avem o mulţime numărabilă de infimumuri. Aplicând teorema Rasiowa-Sikorski rezultă existenţa unui ultrafiltru al lui F/ astfel încât σ şi pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ avem: (ii) ( x)ϕ(x) ϕ(v), pentru orice v V Definim pe V următoarea relaţie binară : x y x = y Se arată cu uşurinţă că este o relaţie de echivalenţă pe V. A = V/ şi cu x clasa de echivalenţă a lui x V. Pentru orice simbol de relaţie n-ar R, definim pe A relaţia R prin: ( ) ( x 1,..., x n ) R n R n (x 1,..., x n ) Notăm cu Faptul că definiţia de mai sus nu depinde de reprezentanţi rezultă imediat. Prin inducţie asupra modulului de formare a formulelor lui L λ vom arăta că pentru fiecare formulă ϕ(x 1,..., x n ) a lui L λ este valabilă relaţia: ( ) pentru orice v 1,..., v n V. A = ϕ[ v 1,..., v n ] ϕ(v 1,..., v n ), Pentru formule atomice, relaţia ( ) este chiar relaţia ( ). Dacă ϕ = ψ(x 1,..., x n ), atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] A =/ ψ[ v 1,..., v n ] ψ(v 1,..., v n )/ 12

ψ(v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Dacă ϕ = ψ 1 ψ 2, atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] A = ψ 1 [ v 1,..., v n ] şi A = ψ 2 [ v 1,..., v n ] ψ 1 (v 1,..., v n ) şi ψ 2 (v 1,..., v n ) ψ 1 (v 1,..., v n ) ψ 2 (v 1,..., v n ) ψ 1 (v 1,..., v n ) ψ 2 (v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Presupunem că ϕ = ( x)ψ(x, x 1,..., x n ). Din (ii) deducem: ( x)ϕ(x) = (( x) ϕ(x)) ( x) ϕ(x)/ există v V astfel încât există v V astfel încât ϕ(x)/ ϕ(x) Atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] există v A astfel încât A = ψ[ v, v 1,..., v n ] există v A astfel încât ψ(v, v 1,..., v n ) xψ(x, v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Cu aceasta relaţia ( ) a fost demonstrată. Din relaţia ( ) şi din faptul că σ, rezultă A = σ, deci A =/ σ. Am arătat că σ nu este validă în A, deci =/ σ. Astfel teorema a fost demonstrată. 13

4 Demonstraţia prin forcing Fie L un limbaj de ordinul I numărabil, C o mulţime numărabilă de constante noi şi L(C) limbajul numărabil obţinut prin adăugarea constantelor din C la L. Notăm cu F orm(l) mulţimea formulelor lui L(C). Definiţie 4.1 O proprietate forcing este un triplet P = (P,, f) astfel încât: (i) (P, ) este o mulţime parţial ordonată cu 0 (ii) f este o funcţie de la P în mulţimea enunţurilor atomice din L(C) (iii) p q f(p) f(q) (iv) pentru orice termeni t, t din L(C) şi orice p P avem: (t = t ) f(p) există q p, t = t f(q) (t = t ), ϕ(t) f(p), ϕ(t) atomică există q p, ϕ(t ) f(q) există c C si q p, t = c f(q) Elementele lui P se numesc condiţii. Definiţie 4.2 Pentru orice proprietate forcing P = (P,, f), definim relaţia forcing, P F, prin: (a) ϕ atomică: p ϕ ϕ f(p) (b) p = ϕ pentru orice q p, q / ϕ (c) p ϕ ψ p ϕ şi p ψ (d) p ( x)ϕ există c C, p ϕ(c) Definiţie 4.3 G P se numeşte mulţime generică dacă: (i) p G, q p q G (ii) p, q G există r G, p, q r (iii) pentru orice ϕ F, există p G astfel încât p ϕ sau p ϕ Definiţie 4.4 O mulţime generică G generează modelul M dacă ϕ F, p G si p ϕ M = ϕ 14

Modelul M este generic pentru p P dacă M este generat de o mulţime generică ce conţine p. Modelul M este generic dacă este generat de o mulţime generică pentru 0. Fie în continuare P = (P,, f) o proprietate forcing. Lemă 4.1 Orice p P aparţine unei mulţimi generice G. Fie ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... o enumerare o formulelor lui L(C). condiţii p 0 p 1 p 2... astfel: Definim un şir de p 0 = p presupunem definite p 1... p n : dacă p n ϕ n, luăm p n+1 = p n dacă p n / ϕ n, există q p n cu q ϕ n şi p n+1 va fi un astfel de q Mulţimea G = {q P există n, q p n } este generică şi p G. Lemă 4.2 Fiecare mulţime generică G generează un model. Notăm T = {ϕ L(C) există p G, p ϕ}. T are următoarele proprietăţi: (1) (t = t ) T (t = t) T Dacă (t = t ) T, atunci există p G astfel încât p t = t. Cum G este generică, înseamnă că există q G astfel încât q t = t sau q (t = t). Cum există r G, p, q r, avem r t = t şi (r t = t sau r (t = t)). Dacă r (t = t), atunci pentru orice r 1 r, r 1 / t = t, ceea ce nu este posibil. (2) (t = t ) T, ϕ(x) formula atomică şi ϕ(t) T ϕ(t ) T (3) pentru orice t termen din L(A), există c C astfel încât (c = t) T (4) pentru orice formulă ϕ, exact una din formulele ϕ sau ϕ este în T Fie ϕ o formulă din L(C). Atunci există p G cu p ϕ sau p / ϕ, deci ϕ T sau ϕ T. Dacă ϕ T şi ϕ T, atunci există p 1, p 2 G, p 1 ϕ, p 2 ϕ. Luând p G cu p 1, p 2 p, avem p ϕ şi p ϕ, ceea ce este o contradicţie. 15

(5) ϕ ψ T ϕ, ψ T (6) ( x)ϕ(x) T există c C, ϕ(c) T Pe mulţimea C introducem următoarea relaţie: c d (c = d) T Din (1) şi (2) rezultă că este o relaţie de echivalenţă. Fie a c clasa de echivalenţă a lui c C şi M = {a c c C}. dacă f este un simbol de funcţie n-ar, atunci definim f M : M n M prin f M (a c1,..., a cn ) = a c (f(c 1,..., c n ) = c) T dacă R este un simbol de relaţie n-ar, atunci definim R M M n prin R M (a c1,..., a cn ) R(c 1,..., c n ) T Conform (2) şi (3), definiţiile de mai sus sunt corecte. Interpretările constantelor se definesc folosind (3). M este înzestrată cu o structură pentru L(C) în care fiecare constantă c C este interpretată prin a c. Aratăm că pentru orice ϕ F, ( ) M = ϕ ϕ T Afirmaţia ( ) se demonstrează prin inducţie după ϕ. ϕ atomic: din definiţia lui M ϕ = ψ: M = ϕ M =/ ψ ψ / T ipoteza de inducţie ψ T din (4) cazurile când ϕ = ψ 1 ψ 2 si ϕ = ( x)ψ se demonstrează similar folosind (5) şi (6). Modelul M construit mai sus are proprietatea: pentru orice formulă ϕ din L(C), M = ϕ există p G, p ϕ 16

Teoremă 4.1 (Teorema modelului generic) Dacă P este o proprietate forcing şi p P, atunci există un model generic pentru p. Rezultă imediat din Lemele 4.1 şi 4.2. Să considerăm în continuare: P = mulţimea mulţimilor consistente finite din L(C) f(p) enunţurile atomice din p Atunci P = (P,, f) este o proprietate forcing. Lemă 4.3 Pentru orice p P şi ϕ L(C), avem: p {ϕ} P există q p, q ϕ Demonstrăm prin inducţie după structura lui ϕ: ϕ atomic: din definiţia forcingului ϕ = ψ: Conform ipotezei de inducţie asupra lui ψ avem că pentru orice q P, Deci a demonstra q ψ orice r q, r / ψ q {ψ} / P. revine la a stabili echivalenţa: p { ψ} P există q p, q ψ p { ψ} P există q p, q {ψ} / P Presupunem q p, q {ψ} / P, deci ( q ψ). Cum q P, avem / ( q (ψ ψ)), deci / ( g ψ) sau / ( g ψ). Rezultă / ( g ψ), deci q { ψ} P, deci p { ψ} P. Presupunem q = p { ψ} P. Atunci este evident că q {ψ} = p {ψ, ψ} / P. 17

ϕ = ψ 1 ψ 2 : q p, q ψ 1 ψ 2 q p, q ψ 1 si q ψ 2 p {ψ 1 }, p {ψ 2 } P / ( p ψ 1 ) si / ( p ψ 2 ) / ( p (ψ 1 ψ 2 )) p {ψ 1 ψ 2 } P ϕ = ( x)ψ(x): q p, q ϕ există c C, q ψ(c) există c C, p {ψ(c)} P / ( p ψ(c)) / ( p ( x)ψ(x)) p {( x)ψ(c)} P p {( x)ψ(x)} P există c C, p {( x)ψ(c)} {ψ(c)} P există c C, există q p {( x)ψ(c)}, q ψ(c) există q p, q ( x)ψ(x) Teoremă 4.2 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ Presupunem / ϕ, deci { ϕ} este consistentă. Considerând proprietatea forcing descrisă mai sus, obţinem { ϕ} P. Din Lema 4.3 rezultă că există q P astfel încât q ϕ şi ϕ q. Aplicând Teorema 4.1, găsim un model M generic pentru q. Deci M = ϕ, adică M =/ ϕ, ceea ce este o contradicţie. 5 Demonstraţia prin proprietăţi de consistenţă Fie L un limbaj de ordinul I numărabil, C o mulţime numărabilă de constante noi şi L(C) limbajul numărabil obţinut prin adăugarea constantelor din C la L. Un termen primitiv al lui L(C) este un termen de forma f(c 1,..., c n ), unde f este un simbol de operaţie n-ar şi c i C, orice i 1, n. 18

Definiţie 5.1 Oricărei formule ϕ din L îi asociem o nouă formulă ϕ definită astfel: dacă ϕ este atomică, atunci ϕ = ϕ ( ϕ) = ϕ (ϕ ψ) = ϕ ψ (ϕ ψ) = ϕ ψ (( x)ϕ) = ( x) ϕ Propoziţie 5.1 ϕ ϕ Definiţie 5.2 Fie S o familie de mulţimi de formule din L(C). Atunci S se numeşte proprietate de consistenţă dacă pentru orice Γ S, următoarele aserţiuni sunt adevărate, pentru orice formule ϕ, ψ din L(C): (C0) dacă Γ, atunci S (C1) ϕ Γ sau ϕ Γ (C2) dacă ϕ Γ, atunci Γ {ϕ } S (C3) dacă ϕ ψ Γ, atunci Γ {ϕ} S şi Γ {ψ} S (C4) dacă ϕ ψ Γ, atunci Γ {ϕ} S sau Γ {ψ} S (C5) dacă ( x)ϕ Γ, atunci pentru orice c C, Γ {ϕ(c)} S (C6) dacă ( x)ϕ Γ, atunci există c C, Γ {ϕ(c)} S (C7) dacă c, d C si (c = d) Γ, atunci Γ {d = c} S (C8) dacă c C, t termen primitiv, (c = t) Γ şi ϕ((t) Γ, atunci Γ {ϕ(c)} S (C9) pentru orice termen primitiv t, există c C astfel încât Γ {c = t} S Lemă 5.1 Dacă S satisface condiţiile (C1)-(C9), atunci S = {Γ Γ, S} satisface condiţiile (C0)-C(9). Definiţie 5.3 Fie S o proprietate de consistenţă. O funcţie f : S S este admisibilă peste S dacă pentru orice Γ S următoarele condiţii sunt satisfăcute: (i) Γ f(γ) 19

(ii) c C c apare în ϕ f(γ) = {c C c apare în ϕ Γ} + m, pentru m < ω Teoremă 5.1 (Teorema de existenţă a unui model) Fie S o proprietate de consistenţă şi < f α α < F orm(l) > o familie de funcţii admisibile peste S. Atunci pentru orice Γ S, există un model (A, a c ) c C al lui Γ ce satisface condiţiile: (i) A = {a c c C} şi A F orm(l) (ii) pentru orice α < F orm(l), există S astfel încât Γ f α ( ) {ϕ (A, c C ) = ϕ} Presupunem ω = F orm(l) si Γ S. Definim o secvenţă < Θ α α ω >. Fie Θ 0 = Γ. Presupunem că Θ α S a fost definit, pentru α < ω şi construim Θ α+1 astfel: Θ α = Θ α, dacă Θ α {ϕ α } / S Θ α = Θ α {ϕ α }, altfel Θ α = Θ α {ϕ s }, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ϕ s ϕ t şi Θ α {ϕ s S} Θ α = Θ α {ϕ t }, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ϕ s ϕ t şi Θ α {ϕ s / S} Θ α = Θ α, altfel = Θ α {ψ(c)}, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ( α)ψ şi c este cel mai mic membru al lui C astfel încât Θ α {ϕ α, ψ(c)} S Θ α Θ α = Θ α, altfel Θ iv α = Θ α {c = τ α }, unde c este cel mai mic element din C astfel încât Θ α {c = τ α } S Θ α+1 = f α (Θ iv α ) Evident Θ α+1 S. În final, luăm Θ = α<ω Θ α. Rezultă imediat că Θ S. Pentru orice formule ϕ, ψ din L(C) avem următoarele condiţii îndeplinite: (1) ϕ / Θ sau ϕ / Θ (2) dacă ϕ Θ, atunci ϕ Θ (3) dacă ϕ ψ Θ, atunci ϕ, ψ Θ (4) dacă ϕ ψ Θ, atunci ϕ Θ sau ψ Θ 20

(5) dacă ( x)ϕ Θ, atunci pentru orice c C, ϕ(c) Θ (6) dacă ( x)ϕ Γ, atunci există c C, ϕ(c) Θ (7) dacă c, d C şi (c = d) Θ, atunci d = c Θ (8) dacă c C, t termen primitiv, (c = t) Θ şi ϕ((t) Θ, atunci ϕ(c) Θ (9) pentru orice termen primitiv t, există c C astfel încât c = t Θ (10) pentru orice α < ω, există S astfel încât Γ f α ( ) Θ Toate aceste condiţii se demonstrează cu uşurinţă. De exemplu, să presupunem că ϕ, ϕ Θ. Atunci există α < ω astfel încât ϕ, ϕ Θ α, ceea ce contrazice Θ α S. Considerăm următoarea relaţie binară pe C: pentru orice c, d C c d c = d Θ (11) este o relaţie de echivalenţă pe C Afirmaţia (11) se arată cu uşurinţă folosind punctele (7), (8). (12) Dacă ϕ(v 1,..., v m ) este o formulă din L(C), c 1,..., c m C, d 1,..., d m D astfel încât c i d i, pentru orice 1 i m, şi ϕ(c 1,..., c m ) Θ, atunci ϕ(d 1,..., d j, c j+1,..., c m ) Θ, pentru orice j m. Demonstrăm (12) prin inducţie după j. Cazul j = 0 este trivial. Presupunem afirmaţia (12) adevărată pentru j, cu j + 1 m şi că ϕ(c 1,..., c m ) Θ. Din ipoteza de inducţie obţinem că ϕ(d 1,..., d j 1, c j,..., c m ) Θ. Fie ψ formula ϕ(d 1,..., d j 1, v, c j+1,..., c m ). Atunci d j = c j Θ (din (7)) şi ψ(c j /v) Θ. Din (8) rezultă ϕ(d 1,..., d j, c j+1,..., c m ) Θ. Dacă în (12) considerăm j = m obţinem următoarea proprietate a lui Θ: (13) Dacă ϕ(v 1,..., v m ) este o formulă din L(C), c 1,..., c m C, d 1,..., d m D astfel încât c i d i, pentru orice 1 i m, şi ϕ(c 1,..., c m ) Θ, atunci ϕ(d 1,..., d m ) Θ. Fie A = C/. Definim o structură A pentru L, având universul A. Notăm cu [c] clasa de echivalenţă a lui c în raport cu. Dacă f este un simbol de operaţie n-ar, definim: f (A) ([c 1 ],..., [c n ]) = [d] d = f(c 1,..., c n ) Θ Dacă R este un simbol de relaţie n-ar, definim: ([c 1 ],..., [c n ]) R A R(c 1,..., c n ) Θ 21

Fie A = (A, [c]) c C. În final arătăm că pentru orice formulă ϕ din L(C) avem următoarea proprietate: (14) Dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ, şi dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ. Demonstrăm cele două proprietăţi prin inducţie după structura lui ϕ: Dacă ϕ este o formulă atomică, atunci proprietăţile se arată printr-o nouă inducţie după numărul de simboluri de operaţii din ϕ. Presupunem că proprietăţile sunt adevărate pentru ϕ şi să arătăm că sunt adevărate şi pentru ϕ. Este suficient să arătăm că dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ. Din (2), ( ϕ) Θ, i.e. ϕ Θ, deci A = ϕ din ipoteza de inducţie. Presupunem că (14) este adevărată pentru ϕ şi ψ. Întâi presupunem că ϕ ψ Θ. Din (3), ϕ, ψ Θ, rezultă din ipoteza de inducţie că A = ϕ, A = ψ, deci A = ϕ ψ. Acum presupunem că (ϕ ψ) Θ. Din (2) obţinem că (ϕ ψ) Θ, i.e. ϕ ψ Θ. Din (4), ϕ Θ sau ψ Θ, deci din ipoteza de inducţie A = ϕ sau A = ψ, deci A = (ϕ ψ). Presupunem că ( x)ϕ Θ. Din (5), ϕ(c) Θ, pentru orice c C. Din ipoteza de inducţie obţinem că A = ϕ(c), pentru orice c C, deci A = ( x)ϕ. Dacă ( x)ϕ Θ, din (2) avem (( x)ϕ) Θ, i.e. ( x) ϕ Θ. Din (6) există c C astfel încât ϕ(c) Θ. Din ipoteza de inducţie obţinem A = ϕ(c), deci A = ( x)ϕ. Cum Γ Θ, din (14) rezultă că A = Γ. Evident A are forma (A, [c]) c C, cu A = {[c] c C}. Dacă α ω, din (10) şi (14) rezultă că există S astfel încât Γ f α ( ) Θ {ϕ A = ϕ}. Folosind Lema 5.1, obţinem cea mai simplă formă a teoremei de existenţă a unui model: Corolar 5.1 Dacă F orm(l) = ℵ 0 şi S o familie de mulţimi de formule din L(C) ce satisface condiţiile (C1)-(C9) din Definiţia 5.2, atunci orice Γ S are un model (A, a c ) c C, cu A = {a c c C}. Propoziţie 5.2 Fie S mulţimea tuturor mulţimilor consistente Γ de formule din L(C) cu proprietatea că c C c apare în ϕ Γ < C. Atunci S este o proprietate de consistenţă. Fie Γ S. Se verifică cu uşurinţă condiţiile (C0)-(C9) pentru Γ. Să arătăm, de exemplu, (C9). Alegem c C astfel încât c nu apare în termenul t şi nici 22

în Γ. Dacă Γ {c = t} / S, atunci Γ (c = t). Dacă în demonstraţie lui (c = t) din Γ, înlocuim c cu o variabilă nouă x, obţinem Γ (x = t), deci Γ x (x = t). Obţinem Γ (t = t), deci Γ este inconsistentă, ceea ce este o contradicţie. Teoremă 5.2 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ Presupunem că / ϕ şi obţinem că { ϕ} este consistentă. Aplicăm Teorema 5.1 pentru proprietatea de consistenţă dată de Propoziţia 5.2 şi găsim un model A astfel încât A = ϕ, deci A =/ ϕ. 6 Comparaţie între cele patru demonstraţii Fiecare din cele patru demonstraţii prezentate mai sus este, în primul rând, o metodă de a construi modele ale teoriilor de ordinul I. La nivelul observaţiei directe, cele patru demonstraţii au parţi asemănătoare. Ar fi interesant de studiat în ce măsură această substanţă comună poate căpăta o formă matematică (de exemplu, dacă se obţin modele izomorfe). În acest sens, menţionăm două paralele între demonstraţiile anterioare: Se observă o strânsă legătură între demonstraţia lui Henkin şi demonstraţia Rasiowa-Sikorski. În primul rând se observă că noţiunea de Q-ultrafiltru poate fi privită ca o algebrizare a teoriilor Henkin maximale consistente. Lema Rasiowa-Sikorski este corespondentul rezultatului prin care orice teorie consistentă se scufundă într-o teorie Henkin maximală consistentă, iar construcţiile modelelor în cele două demonstraţii au numeroase elemente de similaritate. Un rezultat al lui Lablanquie stabileşte o corespondenţă între proprietăţile de consistenţă şi forcing: Dacă S este o proprietate de consistenţă, atunci P = (S,, f) este o proprietate forcing, unde f(s) este mulţimea formulelor atomice. dacă s S, ϕ s, atunci s ϕ teorema de existenţă a modelului implică teorema modelului generic Dacă P este o proprietate forcing, atunci S(P) = {s p p P }, s p {ϕ p ϕ}, este o proprietate de consistenţă. 23

A Sistemul formal al calculului cu predicate A.1 Sintaxă Definiţie A.1 O structură de ordinul I este de forma A = (A, {f i} i I, {R j} j J, {c k } k K ) unde A este o mulţime nevidă (universul structurii), f i : A n i A este o operaţie n i-ară, pentru orice i I, R j A m j este o relaţie m j-ară pe A, pentru orice j J şi c k A este o constantă, pentru orice k K. Tipul structurii A este λ = ({n i} i I, {m j} j J, 0 k K ). Fiecărei clase de un tip fixat λ îi vom asocia un sistem formal L λ, numit sistemul formal al calculului cu predicate asociat lui λ. Fie λ = ({n i} i I, {m j} j J, 0 k K ) un tip. Alfabetul sistemului L λ este format din următoarele simboluri: o mulţime infinită de variabile V simboluri de operaţii: f i, pentru orice i I simboluri de relaţii: R j, pentru orice j J simboluri de constante: c k, pentru orice k K simbolul de egalitate = conectorii, simbolul de cuantificare universală paranteze Mulţimea termenilor lui L λ se defineşte prin inducţie: a) variabilele şi constantele sunt termeni b) dacă f este un simbol de operaţie n-ară şi t 1,..., t n sunt termeni, atunci f(t 1,..., t n) este termen. Formulele atomice ale lui L λ sunt definite astfel: a) dacă t 1, t 2 sunt termeni, atunci t 1 = t 2 este formulă atomică b) dacă R este un simbol de relaţie n-ar şi t 1,..., t n sunt termeni, atunci R(t 1,..., t n) este o formulă atomică. Formulele lui L λ sunt definite prin inducţie astfel: a) formulele atomice sunt formule b) dacă ϕ este formulă, atunci ϕ este formulă c) dacă ϕ, ψ sunt formule, atunci ϕ ψ este formulă d) dacă ϕ este formulă şi x variabilă, atunci ( x)ϕ este formulă. 24

Pe lângă conectorii,, ( x), putem defini următorii conectori: ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ = (ϕ ψ) ϕ ψ = (ϕ ψ) (ψ ϕ) ( x)ϕ = ( x) ϕ Definim prin inducţie F V (t), mulţimea variabilelor termenului t, astfel: a) dacă t este variabilă x, atunci F V (t) = {x} b) dacă t este constantă c, atunci F V (t) = c) dacă t este de forma f(t 1,..., t n), atunci F V (t) = n i=1 F V (ti). Definim prin inducţie F V (ϕ), mulţimea variabilelor libere din formula ϕ: a) dacă ϕ este de forma t 1 = t 2, atunci F V (ϕ) = F V (t 1) F V (t 2) b) dacă ϕ este de forma R(t 1,..., t n), atunci F V (ϕ) = n i=1 F V (ti) c) dacă ϕ este de forma ψ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) d) dacă ϕ este de forma ψ χ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) F V (χ) e) dacă ϕ este de forma ( x)ψ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) \ {x}. Dacă x F V (ϕ), atunci x se numeşte variabilă liberă a lui ϕ; altfel x se numeşte variabilă legată. O formulă în care nu apare nicio variabilă liberă se numeşte enunţ. Pentru a specifica că x 1,..., x n sunt variabile libere ale unei formule ϕ, vom nota ϕ(x 1,..., x n). Dacă avem o formulă ϕ(x) şi un termen t, formula ϕ(t) obţinută prin substituţia variabilei x cu t se defineşte astfel: dacă y este o variabilă din t, se înlocuieşte y cu o variabilă v care nu apare în ϕ(x) sau în t în toate apariţiile legate ale lui y în t; se înlocuieşte apoi x cu t. Pasul următor în descrierea sintaxei lui L λ este definirea teoremelor sale. Axiomele lui L λ sunt formule care au una din următoarele forme: (A0.1) ϕ (ψ ϕ) (A0.2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (A0.3) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) (A1) ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ), daca x / F V (ϕ) (A2) ( x)ϕ(x, y 1,..., y n) ϕ(t, y 1,..., y n) (A3) x = x (A4) (x = y) (t(v 1,..., x,..., v n) = t(v 1,..., y,..., v n)) (A5) (x = y) (ϕ(v 1,..., x,..., v n) t(v 1,..., y,..., v n)) Axiomele (A0.1)-(A0.3) sunt axiomele calcului propoziţional, iar axiomele (A3)- (A5) poartă numele de axiomele egalităţii. Regulile de deducţie ale sistemului formal L λ sunt: ϕ,ϕ ψ ψ (modus ponens) ϕ ( x)ϕ (generalizarea) 25

O demonstraţie formală a unei formule ϕ este un şir finit de formule ϕ 1,..., ϕ n = ϕ astfel încât, pentru orice 1 i n, să fie verificată una din condiţiile următoare: ϕ i este axiomă există j, k < i astfel încât ϕ k = ϕ j ϕ i există j < i astfel încât ϕ i = ( x)ϕ j. Dacă pentru o formulă ϕ există o demonstraţie formală, atunci ϕ se numeşte teoremă a sistemului formal L λ. Notăm cu ϕ faptul că ϕ este o teoremă a lui L λ. Deci mulţimea T a teoremelor lui L λ este obţinută din axiomele lui L λ prin aplicarea celor două reguli de deducţie de mai sus. Fie Σ o mulţime de formule ale lui L λ. Spunem că o formulă ϕ este dedusă din ipotezele Σ dacă există un şir finit de formule ϕ 1,..., ϕ n = ϕ astfel încât, pentru orice 1 i n, este verificată una din condiţiile de mai jos: ϕ este axiomă ϕ Σ există j, k < i astfel încât ϕ k = ϕ j ϕ i există j < i astfel încât ϕ i = ( x)ϕ j. Vom nota cu Σ ϕ faptul că ϕ este dedusă din Σ. Dacă Σ =, atunci este evident că avem ϕ ϕ. Deci teoremele sunt formulele deduse din ipoteza vidă. Lemă A.1 Pentru orice formulă ϕ, avem ϕ ϕ. Lemă A.2 Pentru orice formule ϕ, ψ şi χ, avem (ψ χ) ((ϕ ψ) (ϕ χ)). O formulă deschisă este o formulă care nu conţine niciun cuantificator. Dacă ϕ(x 1,..., x n) este o formulă ale cărei variabile libere sunt x 1,..., x n, atunci prin închiderea lui ϕ(x 1,..., x n) vom inţelege enunţul ( x 1)... ( x n)ϕ(x 1,..., x n). Lemă A.3 Pentru orice formulă ϕ(x 1,..., x n) avem ϕ(x 1,..., x n) ( x 1)... ( x n)ϕ(x 1,..., x n). 26

O formulă a lui L λ este teoremă dacă şi numai dacă închiderea ei este o teoremă. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al adevărurilor sintactice, este suficient să considerăm enunţurile care sunt teoreme. O mulţime Σ de formule se numeşte inconsistentă dacă Σ ϕ, pentru orice formulă ϕ. În caz contrar, Σ se numeşte consistentă. Propoziţie A.1 Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (1) Σ inconsistentă (2) există o formulă ϕ astfel încât Σ ϕ ϕ (3) există o formulă ϕ astfel încât Σ ϕ şi Σ ϕ (4) pentru orice formulă ϕ, Σ (ϕ ϕ) (5) există o formulă ϕ astfel încât Σ (ϕ ϕ). Propoziţie A.2 (i) Σ {ϕ} inconsistentă Σ ϕ (ii) Σ { ϕ} inconsistentă Σ ϕ. O mulţime se numeşte maximală consistentă dacă este un element maximal în mulţimea părţilor consistente ale lui L λ. Propoziţie A.3 Orice mulţime consistentă se scufundă într-o mulţime maximală consistentă. Propoziţie A.4 Fie Σ o mulţime maximală consistentă. următoarele proprietăţi: (1) Σ ϕ ϕ Σ (2) Σ ϕ ψ Σ ϕ sau Σ ψ (3) pentru orice formulă ϕ, avem Σ ϕ sau Σ ϕ. Atunci sunt adevărate Observaţie A.1 Pentru orice formule ϕ, ψ, Σ ϕ ψ Σ ϕ şi Σ ψ. Propoziţie A.5 Dacă Σ este consistentă, atunci sunt echivalente: (1) Σ maximală consistentă (2) pentru orice ϕ, ψ, Σ ϕ ψ Σ ϕ sau Σ ψ (3) pentru orice ϕ, Σ ϕ sau Σ ϕ 27

A.2 Algebra Lindenbaum-Tarski Algebra Lindenbaum-Tarski asociată sistemului formal al calculului cu predicate este o algebră Boole obţinută prin factorizarea mulţimii formulelor printr-o relaţie de echivalenţă canonică. Proprietăţile sintactice ale sistemului formal se vor reflecta în proprietăţi algebrice ale algebrei Lindenbaum-Tarski. Pe mulţimea F orm(l λ ) a formulelor sistemului formal L λ considerăm următoarea relaţie ϕ ψ ϕ ψ si ψ ϕ. Conform Lemei A.1, este reflexivă şi conform Lemei A.2 este tranzitivă. Este evident că este simetrică, deci este o relaţie de echivalenţă pe F orm(l λ ). Vom nota cu ϕ clasa de echivalenţă a lui ϕ. Pe mulţimea cât F orm(l λ )/ considerăm următoarele operaţii: ϕ ψ= (ϕ ψ) ϕ ψ= (ϕ ψ) ϕ= ( ϕ) 0 = (ϕ ϕ) 1 = (ϕ ϕ) (F orm(l λ )/,,,, 0, 1) are o structură de algebră Boole şi se numeşte algebra Lindenbaum-Tarski asociată sistemului formal L λ. Propoziţie A.6 Pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ, în algebra Lindenbaum-Tarski F orm(l λ )/, sunt verificate următoarele egalităţi: A.3 Semantica ( x)ϕ(x) = { ϕ(v) v V } ( x)ϕ(x) = { ϕ(v) v V } Fie A o structură corespunzătoare limbajului L λ. Dacă f (respectiv R, c) este un simbol de operaţie (respectiv de relaţie, de constantă), atunci vom nota cu f A (respectiv R A, c A ) operaţia (respectiv relaţia, constanta) corespunzătoare din A. O interpretare (evaluare) a lui L λ în A este o funcţie s : V A. Pentru orice termen t şi pentru orice interpretare s, definim prin inducţie t A (s) A prin: dacă t este variabilă v, atunci t A (s) = s(v) dacă t este constantă c, atunci t A (s) = c A dacă t este de forma f(t 1,..., t n), atunci t A (s) = f A (t A 1 (s),..., t A n (s)). Pentru orice formulă ϕ şi orice interpretare s, definim ϕ(s) = ϕ(s) A L 2 = {0, 1} astfel: pentru formulele atomice: 28

{ 1, dacă t A dacă ϕ este de forma t 1 = t 2, atunci ϕ(s) = 1 (s) = t A 2 (s) 0, altfel dacă ϕ este de forma R(t 1,..., t n), atunci ϕ(s) = 1 (t A 1 (s),..., t A n (s)) R A pentru formulele oarecare, definim prin inducţie: pentru formulele atomice a fost definit dacă ϕ = ψ, atunci ϕ(s) = ψ(s) dacă ϕ = ψ χ, atunci ϕ(s) = ψ(s) χ(s) dacă ϕ = ( x)ψ, atunci ϕ(s) = a A ψ(sx a), unde sx a : V A este { a, dacă v = x interpretarea definită de s x a(v) = s(v), dacă v x Avem următoarele consecinţe imediate: (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) ( x)ϕ(s) = a A ϕ(sx a) Lemă A.4 Fie s 1, s 2 două interpretări. Pentru orice termen t, dacă s 1 F V (t) = s 2 F V (t), atunci t A (s 1) = t A (s 2). Propoziţie A.7 Fie s 1, s 2 două interpretări. Pentru orice formulă ϕ, dacă s 1 F V (ϕ) = s 2 F V (ϕ), atunci ϕ(s 1) = ϕ(s 2). Fie t(x 1,..., x n) un termen, ϕ(x 1,..., x n) o formulă şi a 1,..., a n A. Atunci definim: t A (a 1,..., a n) = t A s ϕ(a 1,..., a n) = ϕ(s), unde s : V A este o interpretare ce verifică s(x i) = a i, pentru orice 1 i n. Conform Lemei A.4 şi Propoziţiei A.7, definiţiile de mai sus sunt corecte. Vom nota prin A = ϕ[a 1,..., a n] faptul că ϕ(a 1,..., a n) = 1. Folosind această notaţie, putem transcrie unele proprietăţi din definiţia : dacă ϕ(x 1,..., x n) = (t 1(x 1,..., x n) = t 2(x 1,..., x n)), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] t A 1 (a 1,..., a n) = t A 2 (a 1,..., a n) dacă ϕ(x 1,..., x n) = R(t 1(x 1,..., x n),..., t n(x 1,..., x n)), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] (t A 1 (a 1,..., a n),..., t A n (a 1,..., a n)) R A dacă ϕ(x 1,..., x n) = ψ(x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] A =/ ψ[a 1,..., a n] 29

dacă ϕ(x 1,..., x n) = ψ(x 1,..., x n) χ(x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] [A = ψ[a 1,..., a n] A = χ[a 1,..., a n]] dacă ϕ(x 1,..., x n) = ( x)ψ(x, x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] pentru orice a A, A = ψ[a, a 1,..., a n] Observăm că dacă ϕ este un enunţ, atunci ϕ(s) nu depinde de interpretarea s şi în acest caz putem nota ϕ = ϕ(s). De asemenea, A = ϕ ϕ = 1. Dacă A = ϕ, spunem că enunţul ϕ este adevărat în A sau că A este un model pentru ϕ. Dacă Γ este o mulţime de enunţuri, atunci spunem că A este model al lui Γ dacă A = ϕ, pentru orice ϕ Γ. Dacă ϕ(x 1,..., x n) este o formulă, atunci A este model al lui ϕ(x 1,..., x n) (A = ϕ(x 1,..., x n)) dacă A = x 1... x nϕ(x 1,..., x n). Dacă Σ este o mulţime de formule, atunci A este model al lui Σ dacă A = ϕ, pentru orice ϕ Σ. 30

Bibliografie [1] P.J. Cohen. Set Theory and the Continuum Hypothesis. W.A.Benjamin Inc., 1966. [2] L. Henkin. The completeness of the first-order functional calculus. J. Symb. Logic, pages 159 166. [3] L. Henkin. The discovery of my completeness proofs. Bull. Symb. Logic, pages 127 158. [4] H.J. Keisler. Forcing and the omitting type theorem. Studies in Model Theory, pages 96 133. [5] H. Rasiowa. An Algebraic Approach to Non-classical Logics. North-Holland, 1974. [6] H. Rasiowa and R. Sikorski. A proof of the completeness theorem of gödel. Fund. Math., pages 193 200. [7] H. Rasiowa and R. Sikorski. The Mathematics of Metamathematics. Polish Scientific Publ., 1963. [8] A. Robinson. Forcing in model theory. Symposia Math., pages 64 82. [9] A. Robinson. Infinite Forcing in Model Theory. North-Holland, 1971. 31