TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 2009/2010

Σχετικά έγγραφα
TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 2014/2015

1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:

MEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004

Tretja vaja iz matematike 1

Tehniška mehanika 1 [N]

Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.

IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica drugega telesa, ki nanj učinkuje.

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

386 4 Virtualni pomiki in virtualne sile. A 2 x E 2 = 0. (4.99)

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

FIZIKA. Predavanje 1. termin. dr. Simon Ülen Predavatelj za fiziko. Študijska smer: Fizioterapija PREDSTAVITEV SPLETNE UČILNICE

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

FIZIKA. Predavanja. Študijska smer: Fizioterapija. Evropsko središče Maribor

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

2. VAJA IZ TRDNOSTI. Napetostno stanje valja je določeno s tenzorjem napetosti, ki ga v kartezijskem koordinatnem. 3xy 5y 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

Funkcije več spremenljivk

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

r T = 1. Redukcija sile 2. Telo in težišče telesa

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

MEHANIKA. Osnovni pojmi, principi in metode mehanike togega in trdnega telesa

OSNOVE STROJNIŠTVA (OST)

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK MEHANIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Ponedeljek, 30. avgust 2010 SPLOŠNA MATURA

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

UVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Splošno o interpolaciji

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

Kotni funkciji sinus in kosinus

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK MEHANIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 27. avgust 2009 SPLOŠNA MATURA

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Državni izpitni center *M * SPOMLADANSKI ROK MEHANIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 9. junij 2007 SPLOŠNA MATURA

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK MEHANIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 31. avgust 2011 SPLOŠNA MATURA

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

MEHANIKA. Ljubljana Predmetni izpitni katalog za splo{no maturo

6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Državni izpitni center *M * SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MEHANIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 28. maj 2010 SPLOŠNA MATURA

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

UVOD : RAZVOJ SKOZI ZGODOVINO :

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

Glavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo: P. δ Pomik δ 10 :δ 10 = P (2L ) Reakciji pri levi in desni podpori: ΣV=0

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Aksialne obremenitve DOPUSTNE NAPETOSTI IN DIMENZIONIRANJE

KLASIČNA MEHANIKA. Peter Prelovšek

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2

VEKTORJI. Operacije z vektorji

Klasična mehanika 2 ELASTOMEHANIKA & HIDRODINAMIKA

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

Dinamika togih teles

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Poglavja: Navor (5. poglavje), Tlak (6. poglavje), Vrtilna količina (10. poglavje), Gibanje tekočin (12. poglavje)

Kotne in krožne funkcije

SILA VZGONA. ma = F V F g = m v g m g = ρ v V v g ρ V g ma = V g (ρ v ρ), kjer smo upoštevali, da je telo v celoti potopljeno, sicer V <> V v.

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Če se telo giblje, definiramo še vektorja hitrosti v in pospeška a:

Optimiranje nosilnih konstrukcij

1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu 145. Vzdolž nevtralne osi oklepajo normale ravnin glavnih napetosti s smerjo x naslednje kote

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

reologija Andreja Zupančič Valant UL FKKT Katedra za kemijsko biokemijsko in ekološko inženirstvo

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:

- Geodetske točke in geodetske mreže

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

ENOTE IN MERJENJA. Izpeljana enota je na primer enota za silo, newton (N), ki je z osnovnimi enotami podana kot: 1 N = 1kgms -2.

ZBIRKA NALOG IZ STROJNIH ELEMENTOV I. del

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε

Mašinsko učenje. Regresija.

Statično in kinetično trenje

Uvod v fiziko. z rešenimi problemi za študente tehniških smeri

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK MEHANIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 29. avgust 2008 SPLOŠNA MATURA

Elementi spektralne teorije matrica

LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij. Višja dinamika. Rešene naloge iz analitične mehanike. Dr. Janko Slavič. 22.

Transcript:

TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 009/010 BF : Viskokošolski strokovni študij 5 10 09 KINEMATIKA IN DINAMIKA TOČKE Kinematika Osnovne kinematične količine: položaj P, vektor hitrosti v = r = P, brzina v = v, vektor pospeška a = v = r = P Kartezični zapis r = x i + y j + z k, v = ẋ i + ẏ j + ż k, a = ẍ i + ÿ j + z k, v = ẋ + ẏ + ż Geometrijski pomen vektorja hitrosti: vektor hitrosti je tangentni vektor na tir gibanja Geometrijski pomen vektorja pospeška: smer zavijanja Pojem zaviranja, pospeševanja Primer: premočrtno gibanje Primer: kroženje, enakomerno, neenakomerno, kotna hitrost Newtonovi zakoni in Newtonova enačba m a = F Osnovna naloga dinamike Pogoj mirovanja 6 10 09 TOGO TELO IN SISTEM MATERIALNIH TOČK Definicija togega gibanja in togega telesa Razcep togega gibanja na translatorno in rotacijsko gibanje Dinamika sistema materialnih točk Razdelitev sil; zunanje, notranje; pisava F ji sila j-te točke na i-to točko Tretji Newtonov zakon, zakon akcije in reakcije F ji = F ij Masno središče Primer: masno središče sistema dveh točk Zapis masnega središča sistema kot masno središče dveh masnih središč njunih podsistemov r = 1 m N m i r i = Primer: masno središče sistema treh točk, težišče trikotnika Enačba gibanja masnega središča m a = F i=1 1 ˆm 1 + ˆm ( ˆm 1 r 1 + ˆm r ) 1 10 09 STATIKA Navor sile F i s prijemališčem v P i glede na polo: Ni (O) = OP i F i Navor zunanjih, navor notranjih sil sil Pojem centralne sile Če so notranje sile centralne, je navor notranjih sil enak nič Vrtilna količina točke L i (O) = OP i m i ri, vrtilna količina sistema točk L(O) = N i=1 L i (O) Izrek o vrtilni količini Enačbe gibanja togega telesa Dinamika togega telesa je natanko določena z začetnimi pogoji ter rezultanto sil in navorov Togo telo se ne giblje natanko tedaj, ko 1

a) miruje v začetnem trenutku; b) rezultanta vseh zunanjih sil je enaka nič; c) rezultanta navorov zunanjih sil je enaka nič; Nezadostnost posameznih pogojev Sistem sil F = {(P 1, F 1 ),, (P n, F n )}, rezultanta sil sistema sil R(F) = n i=1 F i, moment sistema sil N(F, O) = n i=1 OP i F i Dinamika togega telesa pod vplivom sistema sil F je natanko določena z R(F) in N(F 1, O) Odvisnost momenta od pola Velja N(F, O 1 ) = O 1 O R(F) + N(F, O ) Definicija Sistema sil F 1 in F sta ekvipolentna, če R(F 1 ) = R(F ) in N(F 1, O) = N(F, O) 13 10 09 Če sta sistema sil F 1 in F ekvipolentna, je N(F 1, Ô) = N(F, Ô) za vsak pol Ô Če za dva sistema sil F 1 in F velja N(F 1, Ô) = N(F, Ô) za vsak Ô, sta sistema sil ekvipolentna Operacije nad razredom ekvipolentnih sistemov sil: a) princip o aditivnosti sil s skupnim prijemališčem; b) princip o polznosti sile; c) princip o uravnoteženemu paru sil Redukcija ravninskega sistema {(P 1, F 1 ), (P, F )} dveh sil na skupno prijemališče: a) F 1 F ; b) F 1 F in F 1 F > 0; c) F 1 F, F 1 F < 0 in F 1 F ; Dvojica sil Dvojica sil kot prosti vektor {(P 1, F ), (P, F )} {(P 1 + a, F ), (P + a, F )} za poljubni a Poljubni ravninski sistem dveh sil {(P 1, F 1 ), (P, F )}, ki ni dvojica, moremo reducirati na sistem z eno samo silo {(P 0, F 1 + F )}, kje je P 0 skupno prijemališče Definicija Sistem sil je dvojica, če je R(F) = 0 in N(F, O) 0 Moment dvojice je neodvisen od pola; N(F, O 1 ) = N(F, O ) za poljubna pola O 1 in O 19 10 09 Konstrukcija dvojice sil za dani moment Unija dveh dvojic je dvojica Redukcija prostorskega sistema sil na poljubno izbrano redukcijsko točko; prestavitveni moment Izbira redukcijske točke tako, da sta rezultanta in moment glede na redukcijsko točko vzporedna; os sistema Invarianta sistema sil I(F) = R(F) N(F, O) Trditev Invarianta sistema sil je neodvisna od pola O Redukcija sistema sil 1) I(F) = 0 1a) R(F) = 0 in N(F, O) = 0; ravnovesni sistem sil; 1b) R(F) 0 in N(F, O) = 0; sistem sil s skupnim prijemališčem v O; 1c) R(F) = 0 in N(F, O) 0; dvojica sil ) I(F) 0; redukcija sistema sil na os sistema Primer: sistem sil z vzporednimi silami F = m if0 Če je m = N i=1 m i 0 je ta sistem sil ekvipolenten rezultanti mf 0, ki ima prijemališče v masnem središču 0 10 09 Poljubni ravninski sistem sil lahko reduciramo na dve sili, ki imata prijemališči v poljubnih dveh točkah Poljubni prostorski sistem sil lahko reduciramo na tri sile, ki imajo prijemališča v poljubnih treh točkah Primeri: a) ravnovesje dveh klad na gladki dvostranski strmini; b) ravnovesje lestve naslonjene na gladko steno; c) enostavno podprt togi nosilec Statično določene, statično nedoločene naloge

6 10 09 Primer: enakomerno vrtenje vitla Določitev sil v ležajih in sile navijanja Paličje; sile v palicah, natezne, tlačne v število spojev, p število palic; Formula za ravninsko paličje : v 3 = p, za prostorsko 3v 6 = p Primer: paličje dveh enakokrakih pravokotnih trikotnikov, določitev sil v podporah in palicah 11 09 Primer: škripčevje Sistem togih teles, spoji med telesi, sile in navori v spojih členkasti, Ravnotežne enačbe sistema sestavljenega iz togih podsistemov Primer: A lestev Trenje Dotikalno(oprijemalno), drsno trenje Coulombov zakon trenja Klasifikacija, vrtljiv, pomičini, tečaj, 3 11 09 Sila podlage je rezultanta ploskovne porazdelitve sil v normalni smeri, sila trenja pa v smeri ravnine stika teles Kotalni moment, vrtilni moment; kotalno in vrtilno trenje Tabela koeficientov oprijemalnega(koeficient lepenja) in drsnega trenja Torni kot Spuščanje, dvigovanje klade po strmini Radialni ležaj, določitev obratovalnega momenta, torni radij 9 11 09 Primeri: a) Dvigovanje/spuščanje bremena ob steni z zagozdo; pogoj samozapornosti b) Zabijanje zagozde v deblo c) Kotalno trenje 10 11 09 Trenje vrvi na kolutu, formula S = S 1 e kα TRDNOST Klasifikacija sil, linijske, površinske, volumenske; gostota linijske, površinske in volumenske sile Gostoti površinske sile pravimo vektor napetosti Primer: linijska obremenitev nosilca; določitev ekvipolentne točkovne sile a) enakomerna obremenitev; b) linearna obremenitev; 16 11 09 Notranje sile na preseku telesa Normalna napetost, strižna napetost Primer: enoosna obremenitev palice Nosilci: redukcija površinske sile na središče preseka T rezultanta površinske sile, M rezulturajoči moment Projekciji rezulturajočega momenta na normalo preseka pravimo torzijski moment M je vsota torzijskega in upogibnega momenta Ravni nosilci: os nosilca je ravna, obremenitev je pravokotna na os nosilca in enakomerna po širini nosilca Primer: določitev poteka strižne sile in upogibnega momenta za enostavno podprt nosilec s točkovno obremenitvijo 17 11 09 Določitev točke obremenitve, ki daje maksimalen upogibni moment Grafični potek upogibnega momenta za dvotočkovno obremenitev Linijska obremenitev nosilca Primer: enakomerna obremenitev Izpeljava formule d M dx = T Potek upogibnega momenta, vrednosti na krajiščih, stacionarna vrednost Primer: linearno obremenjen nosilec 3

30 11 09 Enakomerno obremenjen previsni nosilec a) Določitev sil podpor b) Potek strižne sile c) Potek upogibnega momenta Konzolno vpeti nosilec Določitev sil v pritrdišču; strižna napetost, linearni potek osne napetosti Deformacija Pisava; referenčni, deformirani položaj Mere deformacije, relativna sprememba dolžin Cauchyjeva mera deformacije p 1 p P 1 P P 1 P Lokalna mera deformacije, gradient deformacije; dp = F dp 1 1 09 Deformacijski tenzor E = 1 (F T F I) Zveza s Cauchyjevo mero deformacije d p dp dp = d P dp E Osnovni tipi deformacije: a) enakomerna enoosna deformacija, mera ɛ = l l b) neenakomerna enoosna deformacija, mera ɛ = du c) večosna deformacija, mere ɛ x = lx l x, ɛ y = ly l y dx, ɛ z = lz l z d) strižna deformacija, mera γ = w l Zapis deformacijskega tenzorja pri mjhnih deformacijah E ɛ = ɛ x γ xy γ xy γ xz γ ɛ yz y γ xz γ yz ɛ z d P d P Relativna sprememba volumna pri mahjnih deformacijah δv V = ɛ x + ɛ y + ɛ z Zveza med deformacijo in napetostjo Deformacijsko napetostni diagram za enoosno deformacijo Značilne točke in območja na deformacijsko napetostnem diagramu Razlika med togostjo in trdnostjo Nominalna napetost in deformacija, prava napetost in deformacija Tabela Youngovih modulov 8 1 09 Tabela mej tečenj σ Y in nateznih trdnosti σ T Za dano palico izračunaj dopustno obremenitev Utrjevanje Kompresijski test Kompoziti Efektivni modul v smeri vlaken E = v f E f + v m E m ( ) 1 1 1 Efektivni modul v prečni smeri E = v f E f + v m E m Velja: E < E 4

14 1 09 Hitri lom, pogoj hitrega loma σ πa = EG c = K c Tabela koeficientov lomne žilavosti K c in pripadajoče energije loma G c Primer : določitev dopustne predlomne obremenitve Upogib nosilca Nevtralna os, deformacija vlaken ɛ = y R, upogib nevtralne osi w(x) Euler - Bernoullijeva zveza M = EI R Aproksimacija 1 R = d w dx ( ) Ravnovesna enačba d EI d w = f dx dx Primer: upogib konzolno vpetega nosilca s točkovno obremenitvijo na koncu nosilca 15 1 09 Izbor materiala nosilca z najmanjšo maso pri predpisanem dopustnem upogibu Izbor cenovno najugodnejšega materiala Primer: upogib členkasto vpetega nosilca z enakomerno linijsko obremenitvijo Pregled robnih pogojev za enačbo upogiba nosilca Uklon nosilca, palice Določitev kritične obremenitve F c = π EI l 1 1 09 Uklon konzolno vpete palice, F c = 4π EI l Določitev smeri ravninskega upogiba in uklona Odvisnost drugih ploskovnih momentov od smeri 1 09 Poissonov količnik ν, omejitev 0 ν 1, tabela vrednosti za ν Strižna deformacija, strižna napetost, strižni modul Primeri: a) zakovice; b) zabijanje; c) vrtanje 5 1 10 Posplošeni Hookov zakon Zapis zveze med t in ɛ Simetrije elastičnega tenzorja: a) anizotropija; b) monoklinična; c) ortotropična; d) tranzverzalna izotropija; d) izotropija; Zapis zveze med ɛ in t 11 1 10 Hookov zakon za izotropični material ɛ = 1 + ν E t ν (Sl t )I E t = µɛ + λ(sl ɛ )I Zveza E, ν, G in Lamejevima koeficientoma λ, µ Enakomerna kompresija, kompresijski modul k = Termoeleastičnost ɛ = α T I Tabela koeficientov termalnega razteska Primer: izračun napetosti pri spremembi temperature a) ɛ 11 = 0, t = t 33 = 0; b) ɛ 11 = ɛ = 0, t 33 = 0; c) ɛ 11 = ɛ = ɛ 33 = 0 5 E 3(1 ν)

Zapis ravnovesne enačbe za elastostatiko: 1 1 10 t 11 x + t 1 y + t 13 z = ρf 1 t 1 x + t y + t 3 z = ρf t 13 x + t 3 y + t 33 z = ρf 1 Torzija Torzija gredi s krožnim presekom Strižna deformacija γ = rφ Gφ L, strižna napetost τ = Gγ, torzijski moment N = L moment preseka Primer: Izračun torzijskega kota pri danih G, L, N in polmeru preseka Časovna odvisnost materialov; reologija Relaksacija, lezenje Enoosni reološki modeli z vzmetjo in dušilko Maxwellov model Kelvinov model Relaksacijski spekter, amplituda, relaksacijski čas J, kjer je J polarni 6