FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA.

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. OANA CONSTANTINESCU 1. Introducere Acest curs se doreste a o scurta introducere in tratarea metrica a geometriei plane. Principalul motiv il constituie prezenta a numeroase probleme practice legate de lungimi de segmente. Partea teoretica a cursului este inspirata din: O. Constantinescu, M. Crasmareanu, M. I. Munteanu, Elemente de geometrie superioara, Matrix Rom, Bucuresti, 2007; E. Moise, Geometrie elementara dintr-un punct de vedere superior, E.D.P Bucuresti, 1980; R.S. Millman, G.D. Parker, Geometry: a metric approach with models, Springer-Verlag, 1982; A. Precupanu, Bazele analizei matematice, Ed. Univ. Al. I. Cuza, Iasi, 1993. Teme propuse pentru seminar (cu o minima sugestie bibliograca) 1. Aplicatii in topograe (C. Mihu, T. Danet, Probleme pentru aplicarea matematicii in practica, E. D. P. Bucuresti, 1982) 2. Probleme de minim si maxim bazate pe inegalitatea triunghiulara (D. Smaranda, N. Soare, Transformari geometrice, Ed. Acad. R. S. R., Bucuresti, 1988). Incepand cu clasa a VI-a, geometria euclidiana plana este introdusa pornind de la notiunile primare de punct, dreapta, plan, relatia primara de apartenenta (incidenta) a unui punct la o dreapta. Axiomele de incidenta sunt prezentate ca propozitii evidente. Toate aceste elemente ale teoriei axiomatice sunt date initial intr-un mod intuitiv. Apoi profesorul explica elevilor ca punctul, dreapta, planul vor privite ca niste concepte abstracte. Pe parcursul intregului an, cel mai dicil obiectiv al predarii geometriei va tocmai formarea conceptelor abstracte. Dupa argumentarea (pe baza axiomelor) a pozitiilor relative a doua drepte in plan, se introduce axioma riglei ce arma existenta unui sistem de coordonate pe orice dreapta. Aceasta armatie nu socheaza elevii, deoarece inca din clasa I ei au reprezentat numerele naturale pe o dreapta, au masurat apoi lungimi de segmente. Deci, intr-un mod intuitiv, neriguros, elevii au fost familiarizati cu ideea de distanta si sistem de coordonate. Dar de abea acum, in clasa a VI-a, se introduce printr-o axioma acest adevar deja familiar lor. De asemenea se deneste distanta intre doua puncte ale unei drepte. Date: October 5, 2012. 1

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. 2 Faptul ca exista o bijectie intre multimea punctelor oricarei drepte si multimea numerelor reale, va ajuta la introducerea unei alte relatii, acum derivate, aceea de a intre pe multimea punctelor. Chiar daca elevii nu cunosc o constructie riguroasa a multimii numerelor reale, ei stiu sa compare numere rationale. Relatia de ordine pe multimea numerelor rationale, cat si cea pe multimea numerelor reale (chiar daca neriguros introdusa) ii ajuta sa simta cand un punct-abstract este situat intre alte doua puncte-abstracte. Ideea este deci de a incerca construirea unei teorii deductive axiomatice folosind proprietatile numerelor reale, deoarece elevii au lucrat deja multi ani cu conceptul abstract de numar (ce-i drept, cel mult rational). Avand acest concept deja format, treptat ei vor ajunge sa simta si punctul, dreapta, planul ca niste concepte abstracte. Facand aceasta paralela intre proprietatile numerelor si a notiunilor primare geometrice, vor invata sa demonstreze o propozitie matematica adevarata doar pe baza axiomelor si a propozitiilor adevarate deja demonstrate (teoreme). Intr-un cuvant, se vor obisnui cu demonstratiile riguroase. Deoarece modul de predare al geometriei plane in clasa a VI-a se bazeaza pe sistemul axiomatic al lui Birkho, iar acesta este un exemplu de tratare metrica a geometriei plane, vom face o introducere in aceasta metoda de constructie a unei teorii deductive. Vom pune accentul pe proprietatile functiei distanta si pe ideea de sistem de coordonate pe o dreapta. Vom reaminti si cateva notiuni legate de spatii liniare euclidiene, spatii metrice si spatii liniare normate. Pentru o tratare mai generala a acestui subiect va invitam sa parcurgeti si cursul online (www.math.uaic.ro/~oanacon) Didactica matematicii: Curs VII: Structura Matematicii: teorii deductive. Sisteme axiomatice bazate pe distanta. 2. Sistem de coordonate pe o dreapta Geometrie de incidenta. Pornim constructia geometriei noastre de la structura [S, L, Π] formata dintr-o multime S nevida, ale carei elemente le vom numi puncte, doua submultimi nevide L P(S), Π P(S) ale caror elemente le vom numi drepte, respectiv plane. Notiunile primare de punct, dreapta, plan, cat si relatiile primare de apartenenta (incidenta) a unui punct la o dreapta, repectiv a unui punct la un plan, sunt introduse prin intermediul unor axiome de incidenta. Prezentam o varianta simplicata, cu rol didactic, a acestui set de axiome: (I 0 ) Toate dreptele si planele sunt multimi de puncte. Cand un punct apartine unei drepte/unui plan vom spune ca el se aa pe acea dreapta/ in acel plan, sau ca punctul este incident dreptei/planului respectiv. (I 1 ) Prin doua puncte diferite trece o singura dreapta. Trei sau mai multe puncte ce apartin unei aceleiasi drepte se numesc coliniare. (I 2 ) Prin trei puncte diferite, necoliniare, trece un singur plan. Patru sau mai multe puncte ce apartin unui aceluiasi plan se numesc coplanare. (I 3 ) Daca doua puncte se aa intr-un plan, atunci dreapta care le contine este situata in acel plan. (I 4 ) Daca doua plane se intersecteaza, atunci intersectia lor este o dreapta. Observam pana acum ca aceste axiome sunt vericate de o structura de tipul [S = {A}, L = {{A}}, Π = {{A}}]. Pentru a evita o astfel de situatie limita introducem:

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. 3 (I 5 ) Orice dreapta contine cel putin doua puncte. S contine cel putin trei puncte necoliniare. Orice plan contine cel putin trei puncte necoliniare. S contine cel putin patru puncte necoplanare. O structura [S, L, Π] care verica axiomele anterioare se numeste geometrie de incidenta. Urmatoarele propozitii sunt simple consecinte ale acestor axiome. (P1) Doua drepte diferite se intersecteaza in cel mult un punct. (P2) Daca o dreapta intersecteaza un plan care nu o contine, atunci intersectia este formata dintr-un singur punct. (P3) Printr-o dreapta si un punct exterior ei trece un singur plan. (P4) Daca doua drepte distincte se intersecteaza, atunci reuniunea lor este continuta intr-un unic plan. Astfel se determina pozitiile relative cunoscute a doua drepte in spatiu, a unei drepte fata de un plan si a doua plane in spatiu. Functia distanta - geometrie metrica. Imbogatim structura initiala cu o noua notiune primara, aceea de distanta, alei carei proprietati sunt introduse tot printrun set de axiome [S, L, Π, d]. (D 0 ) d este o functie d : S S R. (D 1 ) d(p, Q) 0, P, Q S. (D 2 ) d(p, Q) = 0 P = Q. (D 3 ) d(p, Q) = d(q, P ), P, Q S. Remark. Se stie ca orice functie distanta trebuie sa verice si inegalitatea triunghiulara. Putem introduce o noua axioma (D) d(p, Q) d(p, R) + d(r, Q), P, Q, R S. Dar aceasta poate dedusa dintr-o serie de alte axiome si proprietati derivate (E. Moise, pag. 93). Intr-un paragraf ulterior vom da exemple de functii distanta si vom verica efectiv satisfacerea inegalitatii triunghiulare. Denition 2.1. Fie dreapta l L. Un sistem de coordonate (o rigla) pe l este o functie surjectiva f : l R ce verica (2.1) d(p, Q) = f(p ) f(q), P, Q l. Numarul f(p ) se numeste coordonata lui P in raport cu rigla f. Exercise 2.2. Demonstrati, folosind proprietatile functiei distanta, ca orice sistem de coordonate este o functie injectiva, deci bijectiva. In continuare ne vom limita studiul la geometria plana. Spunem ca tripletul (S, L, d) ce verica axiomele (D 0 ) (D 3 ) determina o geometrie metrica daca in plus este vericata si axioma riglei: (D 4 ) Orice dreapta admite un sistem de coordonate. Denition 2.3. Perechea (S, d) se numeste spaµiu metric. Un spaµiu metric este marginit daca M > 0 a.î. A, B S : d(a, B) M. Funcµia ϕ : (S, d) ( S, d) intre doua spaµii metrice este o izometrie daca este surjectiva si invariaza distanµa: A, B S : d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)).

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. 4 Deci unsistem de coordonate pe dreapta l este o izometrie f : (l, d l ) (R, ). Proposition 2.4. Fie f : l R un sistem de coordonate pe dreapta l, ε = ±1 ³i a R. Atunci funcµia h f,ε,a : l R, h f,ε,a (P ) = εf(p ) + a este sistem de coordonate pe l. Demonstraµie Fie x R oarecare ³i numarul real x a ε. Cum f este surjectiva A l a.î. f(a) = x a ε h f,ε,a (A) = x. Deci h f,ε,a este surjecµie. Fie A, B l oarecare: h f,ε,a (B) h f,ε,a (A) = εf(b) εf(a) = ε f(b) f(a) = d(a, B). Astfel, h f,ε,a este un sistem de coordonate pe l. Exemple: h f,1,0 = f, h f,1,a este translaµia de marime a, iar h f, 1,0 este simetria faµa de origine. Theorem 2.5. (Teorema de asezare a riglei)fie dreapta l intr-o geometrie metrica ³i A, B l distincte. Atunci exista un sistem de coordonate g pe l cu g(a) = 0 ³i g(b) > 0. Demonstraµie Fie f un sistem de coordonate pe l, a = f(a) ³i h f,1, a sistemul de coordonate dat de propoziµia anterioara. Avem h f,1, a (A) = f(a) a = 0. Daca h f,1, a (B) > 0 luam g = h f,1, a, iar daca h f,1, a (B) < 0 luam g = h f,1, a = h f, 1,a. Sistemul de coordonate g dat de teorema riglei se nume³te sistemul de coordonate cu originea A ³i B pozitiv. Proposition 2.6. Fie l o dreapta in geometria metrica (S, L, d) ³i f, g doua sisteme de coordonate pe l. Atunci ε { 1, +1} ³i a R a.î. g = h f,ε,a. Demonstraµie Fie P 0 l a.î. f(p 0 ) = 0 ³i e a = g(p 0 ). Avem pentru P S: f(p ) = f(p ) f(p 0 ) = d(p, P 0 ) = g(p ) g(p 0 ) = g(p ) + a, adica f(p ) { = ±(g(p ) + a). Presupunem prin reducere la absurd ca P 1, P 2 f(p1 ) = g(p S\{P 0 } 1 ) + a a.î. f(p 2 ) = g(p 2 ) a. Avem: g(p 2 ) g(p 1 ) = d(p 1, P 2 ) = f(p 2 ) f(p 1 ) = g(p 2 ) a g(p 1 ) a = = g(p 1 ) + g(p 2 ) + 2a. Cazul I. g(p 2 ) g(p 1 ) = g(p 1 ) + g(p 2 ) + 2a g(p 1 ) = a = g(p 0 ) P 0 = P 1 fals. Cazul II. g(p 2 ) g(p 1 ) = g(p 1 ) g(p 2 ) 2a g(p 2 ) = a = g(p 0 ) P 0 = P 2 fals. Deci P S avem sau f(p ) = g(p ) + a g = h f,1, a sau f(p ) = g(p ) a g = h f, 1, a. In momentul de fata am vazut ce inseamna o geometrie metrica (S, L, d) si am determinat toate tipurile de sisteme de coordonate existente pentru o astfel de geometrie xata.

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. 5 Modele de geometrie metrica plana. Fie S = R 2. Consideram multimea dreptelor euclidiene ca ind multimea L E = {L a, L m,n / a, m, n R}a tuturor dreptelor verticale : L a = {(x, y) R 2 / x = a} si neverticale: L m,n = {(x, y) R 2 / y = mx+n}. Se verica imediat ca E = (R 2, L E ) verica axiomele de incidenta. E este un model pentru planul euclidian. Vom introduce trei geometrii metrice diferite pe planul euclidian E. Denim urmatoarele functii distanta: (1) distanta euclidiana: (2.2) A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d E (A, B) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 ; (2) distanta taxiului : (2.3) A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d T (A, B) = x 1 x 2 + y 1 y 2 ; (3) distanta maximului: (2.4) A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d M (A, B) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }. Exercise 2.7. Vericati ca toate cele trei functii verica axiomele (D 0 ) (D 4 ), deci ele sunt distante pe R 2. Theorem 2.8. (E, d E ), (E, d T ), (E, d M ) sunt geometrii metrice, adica este vericata axioma riglei. Proof. Stim deja ca avem trei geometrii de incidenta si ca cele trei functii sunt distante pe planul euclidian. Mai ramane sa demonstram ca pentru orice dreapta putem determina un sistem de coordonate. Pentru d E : e dreapta L m,n si f m,n : L m,n R, f m,n (x, mx + n) = 1 + m 2 x. Evident aceasta este o bijecµie. Pentru A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) L m,n avem: d E (A, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (mx 2 + n mx 1 n) 2 = = x 2 x 1 1 + m 2 = 1 + m 2 x 2 1 + m 2 x 1 = = f m,n (B) f m,n (A), ceea ce arata ca f m,n este un sistem de coordonate pe L m,n. Pentru o dreapta verticala este si mai simplu: f a : L a R, f a (a, y) = y. Pentru d T : denim f m,n : L m,n R, f m,n (x, mx + n) = (1 + m )x. Aceasta funcµie este bijecµie. In plus d T (A, B) = x 2 x 1 + mx 2 + n mx 1 n = x 2 x 1 + mx 2 mx 1 = = (1 + m ) x 2 x 1 = (1 + m )x 2 (1 + m )x 1 = = f m,n (B) f m,n (A). Pentru dreptele verticale sistemul de coordonate se deneste ca si pentru distanta euclidiana. Lasam ca exercitiu determinarea unui sistem de coordonate pe dreapta L m,n pentru distanta d max.

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. 6 Deci pe spatiul de puncte al unei geometrii de incidenta putem construi o functie distanta care sa verice axioma riglei. Insa nu orice functie distanta pe o geometrie de incidenta verica axioma riglei. Contraexemplul urmator sprijina cele armate: Proposition 2.9. Fie spaµiul metric (S, d). Atunci { d d(a, B), d(a, B) 1 (A, B) = 1, d(a, B) > 1 este o metrica pe S ³i nu exista o geometrie de incidenµa a.î. geometrie metrica. (S, L, d ) sa e Demonstraµie Pozitivitatea ³i simetria lui d sunt evidente. Partea a doua a concluziei este consecinµa faptului ca (R, ) este spaµiu metric nemarginit, iar (S, d ) este spaµiu metric marginit M = 1. Inegalitatea triunghiulara. Sa vericam ca distantele denite anterior satisfac intr-adevar inegalitatea triunghiulara. Reamintim ca orice norma pe un spatiu liniar induce o distanta (metrica) pe acel spatiu liniar. Daca V este un spatiu liniar si : V R este o norma pe V, atunci d : V V R, d(u, v) = u v, u, v V, este o metrica pe V. Observam ca d T este distanta denita de T : R 2 R, (x, y) T = x + y. Sa vericam ca T verica proprietatile unei norme: evident (x, y) T 0, (x, y) R 2 si egalitatea cu 0 are loc daca si numai daca x + y = 0 (x, y) = (0, 0). λ(x, y) T = (λx, λy) T = λx + λy = λ( x + y ) = λ (x, y) T (x, y) R 2, λ R. (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) T = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) T = x 1 + x 2 + y 1 + y 2 x 1 + y 1 + x 2 + y 2 = (x 1, y 1 ) T + (x 2, y 2 ) T. Analog d max este distanta indusa de norma max : : R 2 R, (x, y) max = max{ x, y }. Vericati ca functia max este intr-adevar o norma pe R 2. Pentru d E pornim de la E : R 2 R, (x, y) E = x 2 + y 2. Vericam doar inegalitatea triunghiulara, restul proprietatilor din denitia normei ind evidente. Inegalitatea triunghiulara revine la a demonstra (x1 + x 2 ) 2 + (y 1 + y 2 ) x 2 21 + y21 + (2.5) x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y2 2 x 2 1 + y2 1 x 2 2 + y2 2. Fie functia φ(t) = (x 1 + tx 2 ) 2 + (y 1 + ty 2 ) 2, t R. Observam ca φ(t) = (x 2 2 + y 2 2)t 2 + 2t(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + (x 2 1 + y 2 1) si x 2 2 + y 2 2 0. Deoarece φ(t) 0, t R, rezulta ca t = (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 (x 2 2 + y 2 2)(x 2 1 + y 2 1) 0, relatie echivalenta cu cea pe care doream sa o demonstram.

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. 7 Remark 2.10. Probabil recunoasteti ca E este norma indusa de produsul scalar canonic pe R 2, denit prin < (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) >= x 1 x 2 + y 1 y 2. Ori stim ca orice norma indusa de un produs scalar pe un spatiu liniar verica inegalitatile lui Cauchy si cea a lui Minkowski! Inegalitatea lui Cauchy: < u, v > u v, u, v V. Are loc egalitate daca si numai daca u = λv, λ R. Inegalitatea lui Minkowski: u + v u + v, u, v V. Are loc egalitate daca si numai daca u = λv, λ 0. Exercise 2.11. 1. Demonstrati inegalitatile lui Cauchy si Minkowski pentru orice norma denita de un produs scalar pe un spatiu liniar. 2. Vericati ca normele T, max nu provin dintr-un produs scalar! 3. Reprezentati grac cercurile cu centrul in (0, 0) de raza 1 denite de cele trei metrici d E, d T si d max.