ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές (α) 3 d u du 5v u : 3 ης τάξης, γραμμική, άγνωστη u(v) 3 dv dv (β) d d : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη () d d d (γ) (4 )( ) d : ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη () (δ) (ε) (ζ) 4 dw 4 z z 8 ( ) : 4 ης τάξης, γραμμική, άγνωστη w(z) dz d y dy d d : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη y() dy y(3 ) : ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη u(v) d ( y) Να δείξετε ότι η ( ) είναι λύση του ΠΑΤ : (α) ( ) si( ) cos( ), ΠΑΤ: y( ) y( ), y(), y() (β) ( ) 3e, ΠΑΤ: y( ) y( ) y( ), y() 3, y() 6 Τρόπος επίλυσης: Ελέγχουμε πρώτα τις αρχικές συνθήκες αν ισχύουν για τις ( ) Αν ναι, αντικαθιστούμε τις ( ) στις δοθείσες ΣΔΕ για να δούμε αν τις ικανοποιούν 3 Να βρεθεί ο γενικός τύπος της αναδρομικής ακολουθίας Picard για το ΠΑΤ ( ) () Λύση: Η αναδρομική ακολουθία Picard ορίζεται ως ( ), ( ) f ( s, ( s)) ( ( s) ) ( ) ( ( s) ) ( ) ( ( s) ) (s )

3 3( ) ( ( s) ) (s s ) 3 3 4 3 4 ( ) ( ( s) ) ( s s s ) 3 3 3 4 3 4 3 4 4 3 5 ( ) ( ( s) ) ( s s s s ) 3 3 5 3 3 5 4 () k k k k!( k) 4 (α) Έστω ( ) (συνεχή) συνάρτηση Cauchy (β) Έστω συνάρτηση Λύση: ( ) ( ) ( ) ακολουθία συνεχών συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα στην Να δείξετε ότι η ( ) είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή) Να δείξετε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη ( ) (α) Έχουμε ότι η συγκλίνει ομοιόμορφα στη (συνεχή) συνάρτηση ( ) Δηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει Ν τέτοιο ώστε N ( ) ( ) / Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m (β) Έχουμε ότι η ( ) είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή) συνάρτηση ( ) Δηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ( ) ( ) / 3 αλλά και Ν τέτοιο ώστε N ( ) ( ) / 3 και m, N / 3 Άρα m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m 5 Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: (α) dv 4v (β) d 3 v d d cos e 5 6 (γ) dy e y d y() (δ) dy cos d y() / 4 y dy (ε) y e y (ζ) d dw w d w() (η) d e si d cos

Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες χωριζομένων μεταβλητών 8/3 (α) v ( ) C 6, C (β) si( ) e C, C 4 (γ) y( ) e e (δ) (ε) e y Ce, C (ζ) ( ),C e C (η) cos( ) y ( ) arca( ) w 4 ( ) l( ) l( ) 3 6 Να βρεθεί ο ολοκληρωτικός παράγοντας για τις πιο κάτω ΣΔΕ: (α) (β) ( ) w ( ) w( ) 4 y y Απάντηση: (α) () (β) () e 7 Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: (α) dy y e 3 d (β) y dy dy y d (γ) e d y() e (δ) dy d y() 3 3 y dw dy 4w e (ε) 4y (ζ) d d w() 4 / 3 Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες γραμμικές ης τάξης (η) dy cos( ) si cos d y 5 y( / 4) 3 3 e (α) y( ) Ce, C (β) y( ) Ce, C (δ) y ( ) 3 (ε) 5 4 y( ) C, C 5 (ζ) 3 4 e w( ) e 3 (η) (γ) y( ) e y ( ) cos( ) cos( ) 8 Έστω () λύση του ΠΑΤ d p( ) ( ) g( ) d ( ) όπου τα,, γνωστά και οι p(), g() δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις Να δειχτεί ότι s p( s) ( ) ( ) p s p d ( ) e e e g( s)

(Υπόδειξη: ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι Λύση: e p( s) Πολλαπλασιάζουμε τη ΣΔΕ με τον ολοκληρωτικό παράγοντα d d 4 ) () p( s) e και έχουμε ( ) ( ) ( ) g( ) ( s) ( s) ( s) g( s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s) g( s) s p( s) ( ) ( ) p s p d s p( s) ( ) ( ) p s p d ( ) ( ) ( ) ( s) g( s) e e e g( s) () e e e g( s) 9 Το πεδίο διευθύνσεων (direcio field) μιας ΣΔΕ δίδεται πιο κάτω Να σχεδιάσετε τη λύση που ικανοποιεί τη δοθείσα αρχική συνθήκη Απάντηση: (β) y(3) = Μία πέτρα περιέχει δύο ραδιενεργά ισότοπα, RA και RA, τα οποία ανήκουν στην ίδια ραδιενεργή σειρά αυτό σημαίνει ότι το RA διασπάται στο RA, το οποίο μετά διασπάται σε σταθερά άτομα Έστω ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA στο RA είναι 5 e kg/sec Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA είναι ανάλογος της ποσότητας του RA, την οποία συμβολίζουμε με y() Άρα ( ρυθμός μεταβολής του y() ) = (ρυθμός δημιουργίας) (ρυθμός διάσπασης) Αν η σταθερά αναλογίας (του RA) είναι k = και y() = 4 kg, να βρεθεί μια παράσταση για τη y()

Λύση: Έστω y() η ποσότητα του RA Τότε, μια και το RA διασπάται στο RA, ο ρυθμός διάσπασης του RA ισοδυναμεί με το ρυθμό δημιουργίας του RA Άρα, έχουμε dy dy 5e ky 5e y, y() 4, d d ό ό ά 5 με λύση 85 5 8 y() e e 4 4 Ένα φύλλο μαρουλιού από τα σκουπίδια περιέχει 9999 % Carbo-4 σε σύγκριση με ένα φρέσκο φύλλο μαρουλιού Αν ο χρόνος ημιζωής του Carbo-4 είναι 57 χρόνια, πόσο παλιό είναι το φύλλο από τα σκουπίδια; Λύση: Έστω C() το ποσοστό Carbo-4 στο συγκεκριμένο φύλλο τη χρονική στιγμή (σε χρόνια) k το οποίο δίνεται από C( ) C() e, k Γνωρίζουμε ο χρόνος ημιζωής του Carbo-4 είναι 57 χρόνια, που μας επιτρέπει να βρούμε το k από τη σχέση C( ) C() e Τώρα, C ( ) C() και το φύλλο είναι περίπου μηνών l k, έτσι έχουμε 57 9999 9999 e l 9999 85 Ένα μείγμα νερού με αλάτι εισέρχεται με ρυθμό 5L/mi σε ένα δοχείο το οποίο αρχικά περιείχε 5L καθαρού νερού Το καλά αναδευμένο μείγμα εξέρχεται από το δοχείο με ρυθμό L/mi Αν το μείγμα εισροής περιείχε 3 kg/l αλάτι, να βρεθεί η ποσότητα άλατος στο δοχείο οποιαδήποτε χρονική στιγμή Λύση: Έστω () η ποσότητα άλατος τη χρονική στιγμή Τότε ισχύει () και d R R I O d, όπου RI και RO, οι ρυθμοί εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα Ο ρυθμός εισόδου RI είναι RI = 3 kg/l 5L/mi = 5 Kg/mi O ρυθμός εξόδου RO υπολογίζεται ως εξής: () RO L / m έ L / m ό

Ο όγκος είναι 5 + (5L/m L/m) = 5 + 3 L Άρα, το ΠΑΤ που προκύπτει είναι d 5, () με λύση d 5 3 9 5 ( ) 45 45 (5 ) /3 6 Μετά θάνατον το σώμα, που αρχικά έχει θερμοκρασία 37 o C, αρχίζει να κρυώνει βάση του νόμου του Νεύτωνα (Newo's Law of Coolig), ο οποίος (σε αυτή την περίπτωση) λέει dh d k H M όπου H() είναι η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή (σε ώρες), M είναι η (σταθερή) θερμοκρασία του περιβάλλοντος (πχ του δωματίου όπου βρίσκεται το σώμα) και k > είναι μια σταθερά Έστω ότι μετά από ώρες η θερμοκρασία του σώματος είναι 35 o C, και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι o C Αν το σώμα βρέθηκε στις 4μμ με θερμοκρασία 3 o C, τι ώρα επήλθε ο θάνατος? Έστω H() η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή (σε ώρες) μετά θάνατο και έστω * η ώρα θανάτου (η οποία θα είναι αρνητική) Γνωρίζουμε ότι όπως επίσης και H * * ( ) 37, H( ) 35 dh k H, H() 3, d Λύνοντας το ΠΑΤ, βρίσκουμε H( ) k Από τα e H * * ( ) 37, H( ) 35 βρίσκουμε k Άρα * 65, 85 ο θάνατος επήλθε περίπου στις 7:3 πμ Μια πατάτα τοποθετείται σε ένα φούρνο θερμοκρασίας o C και ζεσταίνεται βάση της διαφορικής εξίσωσης dh k H d όπου H() είναι η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή (σε λεπτά) και k είναι μία σταθερά Αν η θερμοκρασία της πατάτας είναι αρχικά o C όταν την τοποθετήσουμε στο φούρνο, και αν μετά από 3 λεπτά η θερμοκρασία της πατάτας είναι o C, να βρείτε μια παράσταση για τη θερμοκρασία της πατάτας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή Έστω H() η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή (σε λεπτά) Γνωρίζουμε ότι

Η() =, Η(3) =, άρα έχουμε το ΠΑΤ k H dh, Η() = Η λύση του d k είναι H( ) Ce, C Αφού Η() =, βρίσκουμε C = 8 και από το 7 Η(3) =, βρίσκουμε 4 k l 7 Επομένως 3 9 7 H( ) 8 e, C 5 Να ελέξετε αν οι δοθείσες ΣΔΕ είναι ακριβής και αν ναι, να τις λύσετε με το τρόπο που είδαμε στο μάθημα Αν όχι, τότε προσπαθείστε να τις λύσετε με κάποιο άλλο τρόπο (α) dy dy (β) ( y) ( y) (γ) ( l y) dy d d y d (y 3) ( ) Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες ακριβείς (αν και η (γ) είναι επίσης χωριζομένων μεταβλητών) C 3 (α) y( ), C (β) ( ) y y C, C (γ) C / y( ) e, C dy 6 Να δείξετε ότι η ακριβής ΣΔΕ M (, y) N(, y) έχει σαν λύση την F(, y) C, d με C σταθερά, όπου η F δίδεται απο y, όπου το y y F(, y) N(, ) d M ( s, y ) ένα σταθερό σημείο στο πεδίο συνέχειας των Μ και Ν Γνωρίζουμε ότι Επίσης (, ) F (, ) F (, ) (, ) M y M s y F y M ( s, y ) g ( y ) s F (, ) N y M ( s, y ) g ( y ) N (, y y y ) y y y g( y) g( y ) N(, ) d (, ) (, ) (, ) (, ) y y M s y dy N d M s y M s y y y και η λύση δίδεται από F(, y) = σταθερά, με y F(, y) M ( s, y) N(, ) d M ( s, y) M ( s, y ) y y F(, y) N(, ) d M ( s, y ) y 7 Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: (α) y 8y 9y (β) 4y 4y y (γ) 6y y 3y (δ) u u (ε) 49y 4y y (ζ) y 8y 4y (η) 6z 65z 49z

Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι σταθερών συντελεστών, άρα οι λύσεις βρέθονται μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης 8 (α) y( ) C e C e 9 (β) y( ) C e cos(3 / ) C e si(3 / ) / / (γ) (ζ) y( ) C e C e (δ) y( ) Csi( ) Ccos( ) (ε) 3 / /3 4 3 4 3 y( ) C e C e (η) y( ) C e C e C e ( 53) /4 ( 53) /4 3 y( ) C e C e /7 /7 8 Να βρεθεί η λύση των πιο κάτω ΠΑΤ: (α) y 4y 7y, y(), y() (β) 4y 4y 5y, y(), y() / (γ) y 5y 4y, y() 5, y() (δ) 9y y 4y, y() 3, y() 3 Απαντήσεις: (α) y e (β) ( ) cos( 3 ) y e e / / ( ) 6 si( ) cos( ) (γ) y( ) e 4e 7 (δ) y( ) 3e e /3 /3 9 Να δείξετε ότι ο ολοκληρω-διαφορικός (iegro-differeial) τελεστής L που ορίζεται ως L[ y]( ) y( ) d y( ) είναι γραμμικός για οποιαδήποτε συνάρτηση y η οποία είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο [, ] Απάντηση: Ελέγχουμε ότι ισχύει L[ ay by]( ) al[ y]( ) bl[ y]( ) Να ελέγξετε αν οι δοθείσες συναρτήσεις είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (α) y ( ) cosl, y ( ) si l, > (β) y ( ) a sec, y ( ) 3 Λύση: Ελέγχουμε την ορίζουσα Wroski και βρίσκουμε ότι η απάντηση είναι ναι για το (α) και όχι για το (β) Έστω η ΣΔΕ y p( ) y q( ) y, όπου οι p, q δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις Να δείξετε ότι η αντικατάσταση y( ) u( ) v( ), όπου δοθείσα ΣΔΕ στην u f ( ) u, για κάποια (γνωστή) f Λύση: Έστω y( ) u( ) v( ), όπου v( ) ep p( ) d, μετατρέπει τη v( ) ep p( ) d Τότε y( ) u( ) v( ) y( ) u( ) v( ) u( ) v( ) y( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) με

v ( ) p( ) ep p( ) d v ( ) p( ) ep p( ) d p( ) ep p( ) d Άρα, η ΣΔΕ γράφεται ως u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) p( ) u( ) v( ) u( ) v( ) q( ) u( ) v( ) u( ) v( ) v( ) p( ) v( ) q( ) v( ) u( ) u( ) v( ) p( ) u( ) v( ) f ( ) ( ) g 9 Παρατηρούμε ότι η f() είναι γνωστή Απομένει να δείξουμε ότι g() = Πράγματι, g( ) u( ) v( ) p( ) u( ) v( ) u( ) p( ) ep p( ) d p( )ep p( ) d και έτσι έχουμε f( ) u( ) v( ) f( ) u( ) u( ) u( ) u( ) f ( ) u( ) v ( ) f ( ) Δοθέντος ότι η ( ) είναι λύση της ΣΔΕ ( ) y ( ) y ( ) y, (,) (α) να βρείτε μία δεύτερη ΓΑ λύση (σε μορφή ολοκληρώματος) (β) να βρείτε μια αναπαράσταση της λύσης από το (α), σε μορφή δυναμοσειράς (γ) να χρησιμοποιήσετε μερικά κλάσματα για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα του (α) και έτσι να βρείτε τη γενική λύση της ΣΔΕ Λύση: Πρώτα γράφουμε τη ΣΔΕ ως y( ) y( ) y ( ) ( ) (α) Τώρα, με y ( ) άγνωστη συνάρτηση Έχουμε άρα η ΣΔΕ γράφεται ως ορίζουμε τη δεύτερη λύση ως y ( ) v( ) με v() προς το παρόν y( ) v( ) v( ), y ( ) v( ) v( ) v ( ) v ( ) v( ),

v ( ) v( ) v( ) v( ) v( ) ( ) ( ) v ( ) v( ) v( ) ( ) ( ) ( ) v ( ) v( ) ( ) ( ) ( ) v( ) v( ) v( ) p( ) v( ) ( ) όπου p ( ) ( ) Θέτοντας w( ) v( ) παίρνουμε μια γραμμική ΣΔΕ πρώτης τάξης με ολοκληρωτικό παράγοντα ( ) ep p( ) d, και έτσι η λύση της προκύπτει από ( ) w( ) ( ) w( ) C w( ) Ce p( ) d v( ) w( ) d Ce d y ( ) Ce d p( ) d p( ) d όπου p ( ) ( ) ( ) (β) Από το (α), έχουμε τη λύση, αλλά είναι σε μορφή ολοκληρώματος Χρησιμοποιώντας 3 e u u u u, βρίσκουμε! 3! ( ) ( ) 3 p d p d p( ) d y( ) Ce d C p( ) d d! 3! όπου p ( ) ( ) ( ) (γ) Ολοκληρώνοντας με μερικά κλάσματα, βρίσκουμε p( ) d d l ( ) p( ) d l e e ( ) και έτσι y( ) C d C d C l C C l ( ) ( ) με τη γενική λύση να δίδεται από y( ) D C C l, C, D

3 Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: (α) y 4y a( ) (β) (γ) y y y e y 3y y (δ) u u 4 (ε) (ζ) y 4y 4y e l y y y 9 a(3l ) si( ) Απαντήσεις: (α) y( ) C cos( ) C si( ) cos( ) l 4 cos( ) (β) y( ) C e C e e l( ) (γ) C C y ( ) l( ) l ( ) (ε) y( ) C e C e l 3 (δ) ( ) y Ce Ce 4 e si(3l ) (ζ) y( ) C cos(3l ) C si(3l ) cos(3l ) l 9 cos(3l ) 4 4 Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις ( ) r r y e, y ( ) e είναι γραμμικώς ανεξάρτητες για κάθε στο (,) αν και μόνο αν r r Λύση: Υπολογίζουμε την ορίζουσα Wroski και βρίσκουμε W[ y, y ]( ) e de e e r e re e ( r r ) e e r r r r r r r r r r re re η οποία μηδενίζεται αν και μόνο αν r = r 5 Δοθέντος ότι οι y, y είναι ΓΑ λύσεις του ομοιογενούς προβλήματος, να βρείτε τη γενική λύση της δοθείσας ΣΔΕ Υποθέστε ότι > (α) y y y y e y ( ), ( ), ( ) (β) y 4y 6y, y ( ), y ( ) 3 3 (γ) y ( ) y ( ) y e, y( ) e, y( ) e l Απαντήσεις: (α) y( ) C e C ( ) (β) 3 3 3 y( ) C C l (γ) 6 y( ) C e C e l e 4 6 (α) Χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Μεταβολής των Παραμέτρων, να δείξετε ότι η γενική λύση της ΣΔΕ y y f ( ) είναι

y( ) Ccos( ) Csi( ) f ( s)si( s), όπου f() δοθείσα συνεχής συνάρτηση στο (,) και C, C σταθερές (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: si( s) si cos s si s cos ) (β) Να βρεθεί η γενική λύση της ΣΔΕ y( ) y( ) a( ), ( /, / ) (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: sec( ) d l sec( ) a( ) ) Λύση: (α) Το ομοιογενές πρόβλημα δίνει ως χαρακτηριστική εξίσωση r + =, άρα r = ± i και οι δύο ΓΑ λύσεις του είναι y( ) cos( ), y( ) si( ) με W[ y, y]( ) Η ειδική/μερική λύση είναι όπου y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p v y v y f ( ) y ( ) f ( ) y ( ) v ( ) d f ( )si( ) d, v ( ) d f ( )cos( ) d W[ y, y ]( ) W[ y, y ]( ) Επομένως, y ( ) cos( ) f ( )si( ) d si( ) f ( )cos( ) d p cos( ) f ( s)si( s) si( ) f ( s)cos( s) f ( s)cos( )si( s) f ( s)si( )cos( s) f ( s) si( )cos( s) cos( )si( s) f( s) si( s) και η γενική λύση δίδεται από y( ) Ccos( ) Csi( ) f ( s)si( s) (β) Χρησιμοποιούμε το (α) με f() = a() και έχουμε y( ) C cos( ) C si( ) a( s)si( s) si( s) Ccos( ) Csi( ) si( )cos( s) cos( )si( s) cos( s) si ( s) Ccos( ) Csi( ) si( s)si( ) cos( ) cos( s) cos ( s) Ccos( ) Csi( ) si( ) si( s) cos( ) cos( s)

y( ) C cos( ) C si( ) si( ) si( s) cos( ) sec( s) cos( s) C cos( ) C si( ) si( ) cos( ) cos() cos( ) l(sec( ) a( )) l(sec() a()) si( ) si() C cos( ) C si( ) si( ) cos( ) cos( )l(sec( ) a( )) cos( )si( ) C cos( ) C si( ) cos( )l(sec( ) a( )), C, C 3 7 Έστω η ΣΔΕ y p( ) y q( ) y με p, q συνεχείς συναρτήσεις και έστω f() μια μη-μηδενική λύση της Να βρείτε μια δεύτερη, γραμμικώς ανεξάρτητη λύση στη μορφή y() = v() f(), για κάποια συνάρτηση v() που θα πρέπει να προσδιορίσετε (Δηλαδή, να βρείτε μια παράσταση για την δεύτερη λύση, σε μορφή ολοκληρώματος, η οποία να περιέχει μόνο γνωστές ποσότητες, πχ f, p, q, κλπ) Λύση: y() = v() f() y( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) y( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) Αντικαθιστώντας στη ΣΔΕ έχουμε v ( ) f ( ) v ( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) v ( ) f ( ) v( ) f ( ) q( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) f ( ) q( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) f ( ) : g( ) : g( ) Έστω w( ) v( ) Τότε η πιο πάνω εξίσωση γράφεται ως f( ) w( ) f ( ) w( ) f ( ) p( ) f ( ) w( ) p( ) w( ) f( ) η οποία είναι γραμμική, ης τάξης, με ολοκληρωτικό παράγοντα ( ) ep g( ) d ep l f ( ) p( ) d f ( )ep p( ) d -Επομένως, έχουμε C ep p( ) d w( ) ( ) w( ) ( ) C w( ) f ( ) ep p( ) d v( ) w( ) d C d f ( ) 8 Θεωρούμε ΣΔΕ της μορφής ( ) ( ) ( ),,,,, και a y by cy a b c r ψάχνουμε για λύσεις στη μορφή y( ), r Να βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση

r που θα πρέπει να ικανοποιεί το r έτσι ώστε η συνάρτηση y( ), r να είναι λύση της δοθείσας ΣΔΕ Στη συνέχεια να αναπτύξετε τις τρεις περιπτώσεις για τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, δηλαδή να αποφασίσετε ποια μορφή θα έχουν οι λύσεις στις τρεις περιπτώσεις: ρίζες πραγματικές και άνισες, ρίζες μιγαδικές και ρίζα επαναλαμβανόμενη (Υπόδειξη: Στη τελευταία περίπτωση πολλαπλασιάστε τη μία λύση που δίδει η χαρακτηριστική εξίσωση με το l() για να ορίσετε τη δεύτερη ΓΑ λύση) 4 Λύση: Με y( ) r έχουμε y( ) r, y ( ) r( r ) r r και αντικαθιστώντας στη ΣΔΕ παίρνουμε r r r a r r br c ar r br c ar b a r c ( ) ( ) ( ) ( b a) ( b a) 4 ac ( a b) b a ab 4ac ( a b) b a a b c r a a a Τώρα, αν b a a b c θα έχουμε δύο άνισες πραγματικές ρίζες, ας πούμε r, r Η λύση σε αυτή τη περίπτωση θα είναι Aν b a a b c y( ) C C, C, C r r θα έχουμε δύο μιγαδικές ρίζες, Επομένως a b r i r i ac b a a,,, 4 ( ) Παρατηρούμε ότι y( ) C C, C, C i i l i i i l e e cos l i si l άρα η λύση σε αυτή τη περίπτωση θα είναι Τέλος, αν b a a b c r y( ) C cos l C si l, C, C a b θα έχουμε μία ρίζα, r Μία λύση είναι η a y ( ) C, C Μια δεύτερη ΓΑ λύση είναι (βάση της υπόδειξης) y ( ) C l( ), C και η γενική λύση σε αυτή τη περίπτωση είναι r y( ) C C l( ), C, C r r

Για να δούμε ότι η υπόδειξη είναι λογική, έστω y ( ) ( ) r v με v() προς το παρόν, 5 άγνωστη συνάρτηση που θα προσδιορίσουμε Αντικαθιστώντας την y() στη ΣΔΕ βρίσκουμε ( ) ( ) ( ) r r r a v b v cv r r r r r a v ( ) rv( ) b v ( ) rv( ) cv( ) r r r r r r r a v ( ) v ( ) r r( r ) v( ) rv ( ) b v ( ) rv( ) cv( ) av av r ar r v r r r ( ) ( ) ( ) ( ) r v( ) c br ar( r ) v ( ) b ar av ( ) v( ) c ( b a) r ar v( ) b a r av( ) ab a Έστω w( ) v( ) Τότε έχουμε r r r r arv ( ) bv ( ) brv( ) cv( ) av av v v ( ) ( ) ( ) ( ) w( ) w( ) w( ) v( ) d l( ) 9 Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση e, να δείξετε ότι η 3 ης τάξης ΣΔΕ τύπου Cauchy-Euler 3 a y ( ) b y ( ) cy( ) dy( ),, a, b, c, d γράφεται σαν ay ( ) ( b 3 a) y( ) ( a b c) y( ) dy( ) dy dy d dy dy Λύση: Με e, έχουμε e d d d d d dy dy (*) d d Επίσης, d y d dy d dy d dy dy d y d dy d y d d d d d d d d d d d d d y d y dy (**) d d d Τέλος, 3 d y d d y dy d d y d d y d y d y d y d d y 3 d d d d d d d d d d d d d e e 3 3 d y d y d y d d y d y 3 d y = d d d d d d d e

(***) d y d y d y d y d y d y d y dy d d d d d d d d 3 3 3 3 3 3 3 3 3 d y d y d y dy 3 3 d d d d 6 Επομένως, από τις (*) (***), η ΣΔΕ γίνεται 3 d y d y dy d y dy dy a 3 b c dy( ) 3 d d d d d d 3 d y d y dy 3 d d d a b 3a c b a dy( ) 3 Να λυθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το = (α) y y y (β) y y (γ) y y Απαντήσεις: (α) ( )! ( )! (3)! ή y( ) a a ( ) 4 3 5 y( ) a a 8 3 5 a3 (β) y( ) a a a όπου a, 3 ή ( ) 3 4 6 3 7 y( ) a a 8 6 54 (γ) y( ) a a ( )! ()! ή 4 3 5 y( ) a a 4 6 3 Η διαφορική εξίσωση του Legedre είναι ( ) y y ( ) y, Να λύσετε τη πιο πάνω ΣΔΕ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το = Λύση: Θέτοντας k y( ) a έχουμε k k k ( ) kak και k y k k k y( ) k( k ) a Αντικαθιστώντας στη ΣΔΕ παίρνουμε ( ) ( ) k k k k a ( ) k k kak ak k k k k k k k k k( k ) ak k( k ) ak kak ( ) ak

(*) k k k ( k )( k ) a k( k ) ( ) a k( k ) ( ) ak ak, k,,, ( k)( k) k 7 Τώρα, μια και το είναι ακέραιος, οι πιο πάνω συντελεστές θα μηδενιστούν από ένα σημείο και μετά Συγκεκριμένα, αν = k, τότε a ( ) ( ) a ( )( ) και έτσι η λύση θα είναι πολυώνυμο βαθμού, το λεγόμενο πολυώνυμο Legedre: = : = : = : = 3: y( ) y( ) a a ( ) a a 3 a y( ) a 3a a 3 ()() 3(3 ) a a a y( ) a a a (3)() 3 3 3 = 4: a a, 6 4(5) 7 a a a (4)(3) 6 4 κλπ 7 7 y( ) a a a 6 6 4 4 3 Η λύση του πιο κάτω ΠΑΤ καλείται συνάρτηση Bessel τάξης μηδέν, (), () y y y y y Να λύσετε το πιο πάνω ΠΑΤ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το κανονικό ιδιάζων σημείο = Λύση: Με c c c, y( ) a, y ( ) ( c) a, y ( ) ( c)( c ) a αντικαθιστούμε στην ΣΔΕ και έχουμε c c c ( c)( c ) a ( c) a a ( )( ) c ( ) c c c c a c a a c c c c a c c a a ( )( ) ( ) Για = παίρνουμε τη δεικτική εξίσωση

( c)( c ) a ca c c c a c 8 Για = παίρνουμε a, ενώ για ( )( ) a ( ) a a a a a a a a a a a Για ζυγό, a, a 4,, a a a4 a ( ) 4 ( ) () (4) ( ) a a ( ) () (4) ( ) a a3 Για περιττό, a3, a 5,, a και έτσι 3 5 y( ) a a ( ) () (4) ( ) a 33 Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των πιο κάτω συστημάτων ΣΔΕ: d 3 d (α) d (β) d 4 d (γ) d 5 5 5 d (δ) 4 d 3 d d (ε) d 3 (ζ) 3 5 3 d 4 3 d 7 d 3 / (η) d 4 3 (θ) d / 6 Απαντήσεις: (α) ( ) C e C e, ( ) C e C e 7 5 7 5 (β) ( ) C e C e, ( ) C e C e C e, ( ) C e C e C e 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (γ) ( ) C si( ) C cos( ), ( ) C si( ) cos( ) C si( ) cos( ) (δ) e C C (ε) ( ) si( ) cos( ), 3 e ( ) C(cos( ) si( )) C3(cos( ) si( ) 5 C, 5 ( ) e C si( ) C cos( ) C 3 3 ( ) C e C e, ( ) C e C e 4 4 (ζ) ( ) e C C, ( ) e C C ( ) (η) 5 5 ( ) e C C, ( ) e C C ( ) 3 / (θ) ( ) e C C, ( ) C C ( ) e 3 3 /