ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ. Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν 0 κι > 0 τότε + > 0. Αν > > 0 τότε ² - ² > 0 γ. Αν τότε > 0 δ. Αν = τότε > 0 ε. ² + ² 0 = = 0 στ. Αν > κι γ > δ τότε - γ > δ.. ² + ² 0 = = 0. Αν > κι γ > δ τότε γ > δ γ. Αν = τότε > 0 δ. Αν < < 0 τότε - < - ε. Αν > γ > γ 3... γ. Αν < τότε > Β. ΠΡΟΣΗΜΟ ΙΑΦΟΡΑΣ 4. Έστω ότι <. Ν ποδείξετε ότι:. 6 3 < 6 3. 5( + ) < 5( + ) γ. 6( ) < 5. Έστω ότι < κι γ < δ. Ν ποδείξετε ότι: + γ + δ. + 3γ < + 3δ. 5δ < 5γ γ. + 4< + 4 6. Aν ισχύει ( )(²+) 0 ν συγκρίνετε τ κι
7.. Αν, θετικοί τότε > >. Αν, ρνητικοί τότε > < Γ. ΠΡΟΣΗΜΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 8. Έστω ότι < κι γ < δ. Ν ποδείξετε ότι: γ δ γ + δ > 0 9. Αν -, δείξτε ότι 3 + + 0. Αν x>, δείξτε ότι: 3 4 x x < x. Αν, οποιοιδήποτε πργµτικοί ριθµοί κι > ν δείξετε ότι 3 > 3. Αν < < ν συγκρίνετε τους ριθµούς 3 κι + 3. Αν x< κι y< ν δείξετε ότι x+ y< + xy 4. Ν συγκρίνετε τους ριθµούς Α = 3 + 3 κι Β = +, ν, < 0 ( 5. Ν συγκρίνετι τους ριθµούς Α = ² - + ² κι Β = ) 6. Αν x > y > 0, ν συγκρίνετε τους ριθµούς x y x+ y κι x x y + y 7. Αν 0 < <, ν δείξετε ότι 3 3 + 5 3 + 5 3 < 8. Ν δείξετε ότι 4 4 3 3 + +
. Α, Α + Β + 9. Ν ποδείξετε ότι:. + + ( + ). γι κάθε,, γ πργµτικούς ριθµούς. + + γ + 3 (+ + γ) 0. ίνετι η πράστση Α = 3 6 + 5.. Ν εκφράσετε την πράστση Α ως άθροισµ τριών τετργώνων.. Ν δείξετε ότι 3 + 5 > 6.. Ν δείξετε ότι + 4 4 γι κάθε πργµτικό ριθµό. Ν δείξετε ότι 4 + 3. Αν 0 < < ν ποδείξετε ότι + 4 4. Ν δείξετε ότι + γι κάθε, πργµτικούς ριθµούς 5.. Αν, οµόσηµοι ν δείξετε ότι +. Αν, ετερόσηµοι ν δείξετε ότι + 6. Ν δείξετε ότι :. 0 + 6 > 0. + > 0 γ. + 4 + 4 0 δ. 4 + 5 > 0 ε.- + 6 < 0 στ. + > 0 7. είξτε ότι: x + y ( x y ) 8. Ν δείξετε ότι + + γ + γ+ γ γι κάθε,, γ πργµτικούς ριθµούς. 9. Ν ρείτε τ x, y ν:. x + y 6x + 0y = - 34. x + y x 4y 3 γ. x + y - xy + x + 0 3
30. Ν δείξετε ότι ( + )(x + y ) (x+ y) γι κάθε,, x,y πργµτικούς ριθµούς 3. Ν ποδείξετε ότι:. Αν > 0 τότε a+. Αν < 0 τότε a a+ - a Ε. ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 3. Αν ισχύει κι 3 < < 4, ν ρείτε µετξύ ποιών ριθµών ρίσκοντι οι πρστάσεις. +. γ. + 33. Aν ισχύει < < κι -3 < < -, ν ρείτε µετξύ ποιων ριθµών περιέχετι η τιµή κάθε πράστσης. 4 3. + γ. δ. 3 - ε. 3 3 στ. 3 34. Αν ισχύει 4 κι < < 3, ν ρείτε µετξύ ποιών ριθµών ρίσκοντι οι πρστάσεις. +. γ. δ. ² - 3 35. Aν ισχύει - < - κι -4 < < -3, ν ρείτε µετξύ ποιων ριθµών περιέχετι η τιµή κάθε πράστσης. 4 +. + γ. - 3 δ. 3 ε. ( + ) στ. ΣΤ. ΑΠΟ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 36. Έστω ότι < < γ. Ν ποδείξετε ότι: + + + γ. < <. < < γ 3 4
37. Αν + = ν δείξετε ότι : + 38. Γι θετικούς ριθµούς,, γ ν ποδείξετε ότι : < + + + + + 39. Αν, οµόσηµοι µε, δείξτε ότι : a a+ < a< a + 40.. Ν δείξετε ότι : ( + ) 4. Αν επιπλέον, θετικοί µε + = ν δείξετε ότι: i) 4 ii) + + 9 iii) + iv) 4 + 4 8 4. Έστω,,γ > 0. Ν ποδείξετε ότι. +. ( + )( + γ)(γ + ) 8γ γ. ν επιπλέον ισχύει + + γ = τότε 8 γ 4. Αν 0 < <, ν ποδείξετε ότι:. + > +. + < + γ. + < a+ + 43. Αν,,γ πλευρές τριγώνου, ν δείξετε ότι + γ + γ ² + ² + γ² < + γ + γ 44.. Ν ποδείξετε ότι x +y xy, x,y θετικοί ριθµοί. ( + )( + γ)( + γ) 8γ,,γ θετικοί 45. Αν = = γ, ν δείξετε ότι + γ + δ γ δ 5
46. Αν 0 < <, ν δείξετε ότι. <. < + + 47. Aν 0 < x <, ν δείξετε ότι x+ + x 48.. Αν x >, ν δείξετε ότι x + x 7 < x 3 + x 8. Αν 0 < x < ν δείξετε ότι x + x 4 > x + x 7 49. Αν,, γ είνι θετικοί ριθµοί ν δείξετε ότι :. + + + + + γ γ +. + + + + γ + + γ γ+ 50. Αν + = 3 ν δείξετε τ πρκάτω: 9 9 4 4 8 + + 4 8 5. Ν ποδείξετε ότι :. γι κάθε φυσικό ριθµό ν >, ισχύει < ν ν ν. + + +... + < 9 4 9 6 00 0 5. Αν ν Z, ν > 0, ν ποδείξετε ότι ο ριθµός Α = + + ν δεν νήκει στο Z 53. ίνοντι οι προτάσεις : p : «>, R*», q : «>». Ν ποδείξετε ότι η συνεπγωγή p q είνι ψευδής 54. Αν,, γ είνι µήκη των πλευρών τριγώνου, ν ποδείξετε ότι ( + -γ ) 55. Γι κάθε,, x, y R, µε + = κι x + y =, ν ποδείξετε ότι x + y 4 56. Αν ισχύει > > 0, ν ποδείξετε ότι 7 - > 7-6
57.. Ν ποδείξετε ότι : x + y (x + y). Αν ισχύει, > 0 κι + =, ν ποδείξετε ότι + 58. Γι τους ριθµούς κι ισχύει + > + >. Ν ποδείξετε ότι > 0 κι < 0. Ν ποδείξετε ότι < γ. Ν συγκρίνετε τους ριθµούς 3, 4 κι 5 + + + 59. Aν + + γ 0, ν ποδείξετε ότι 3 + 3 + γ 3 3γ 60.. Ν δείξετε ότι : = + -. Αν x + y = ν ρείτε τη µέγιστη τιµή της πράστσης Α = xy κι τις τιµές των x,y που την προυσιάζει () Ζ. ΣΥΓΚΡΙΣΗ 6. Αν 0 < < ν διτάξετε κτά σειρά µεγέθους πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς +,, 6. Αν, θετικοί ν συγκρίνετε τους ριθµούς κι 63. Αν < - κι > -. ν συγκρίνετε τους ριθµούς : +, -. ν δείξετε ότι + 3 > 3 64. Αν,, x θετικοί ριθµοί κι < ν συγκρίνετε τους ριθµούς +x κι +x 7
65. Αν 0 < <, ν συγκρίνετε τους ριθµούς.,,. () 0 κι 0 66. Αν 0 < <, ν συγκρίνετε τους ριθµούς 5. 5,. 9, 9 γ. 0 7, 0 7 67. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κι, γι τους οποίους ισχύει < < -. Ν διτάξετε πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους επόµενους ριθµούς. 0,,,, +. 4, 4, ( ) 4, ( + ) 4, 0 γ. 7, 7, ( ) 7, ( + ) 7, 0 H. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ 68. Ν γράψετε µε τη µορφή διστήµτος τ σύνολ των ριθµών x γι τους οποίους ισχύει ) x 5 ) - < x < 4 γ) -3 x < 0 δ) -7 < x 3 ε) x 3 στ) x ζ) x > - η) x < -4 69. Ν συµπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ Ανίσωση που ικνοποιεί ο x ιάστηµ στο οποίο νήκει ο x - < x x [-3, 0) x 5 x (-3, + ) - x 8