ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΝΑΜΕΙΣ Α είι ές πργτικός ριθός κι ές φυσικός εγλύτερος του οοάζουε ιοστή δύη του (συβολισός ) το γιόεο πό πράγοτες ίσους ε. ΗΛΑ Η Συέπειες πό το ορισό 0 ( 0) - ( 0 κι φυσικός) (-) άρτιος - περιττός vϕορες Ι ΙΟΤΗΤΕΣ β β : - ( ) β ( β) β ΡΙΖΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τετργωική ρίζ εός θετικού ριθού x συβολίζετι ε x κι είι ές θετικός ριθός που ότ υψωθεί στο τετράγωο ς δίει το ριθό x. Γι κάθε πργτικό ριθό x ισχύει: x Γι κάθε πργτικό ριθό x 0 ισχύει:( x) x x β Ι ΙΟΤΗΤΑ η Α 0 κι β 0 τότε: β β Ι ΙΟΤΗΤΑ η Α 0 κι β>0 τότε ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ οοάζετι κάθε ισότητ που περιέχει ετβλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιές τω ετβλητώ υτώ. Βσικές τυτότητες που ισχύου στο σύολο τω πργτικώ ριθώ (±β) ± β β (±β) 3 3 ± 3 β 3β ± β 3 3 β 3 ( β ) ( -ββ ) -β ( - β) ( β) 3 -β 3 ( - β) ( ββ ) β β
4 -β 4 (-β) ( 3 ββ β 3 ) -β (-β) ( - - β -3 β.β - ) όπου είι θετικός κέριος ( β γ) β γ β γ βγ Εκτός π υτές υπάρχου κι άλλες χρήσιες στ θητικά τις οποίες θ πρέπει γωρίζετε τη «τεχική» γι ποδεικύετι ότι ισχύου. Υπάρχου δύο διφορετική τρόποι ε τους οποίους πορούε ποδείξουε ι τυτότητ. Αρχικά η λγεβρική πράστση που βρίσκετι ριστερά του οοάζετι πρώτο έλος κι θ το συβολίζουε ε Α κι η λγεβρική πράστση που βρίσκετι δεξιά του οοάζετι δεύτερο έλος κι θ το συβολίζουε ε Β. Έτσι κάθε τυτότητ έχει ορφή Α Β. Γι τη πόδειξη ις τυτότητς έχουε δύο τρόπους: ος ΤΡΟΠΟΣ Ξεκιάε πό το πρώτο έλος κι πτύσσουε γωστές τυτότητες υτές εφίζοτι, ετά κάουε τις σηειούεες πράξεις έως ότου φτάσουε στο δεύτερο έλος. Α....... Β ή ξεκιάε πό το Β έλος κι κτλήγουε όπως προηγουέως στο Α έλος. Β....... Α Η επιλογή του έλους π όπου θ ξεκιήσουε εξρτάτι πό εάς, συήθως ξεκιάε πό το έλος που θεωρούε περισσότερο πολύπλοκο. ος ΤΡΟΠΟΣ Εργζόστε κι ε τ δύο έλη χωριστά όπου πτύσσουε γωστές τυτότητες υτές εφίζοτι, ετά κάουε τις σηειούεες πράξεις έως ότου φτάσουε το κάθε έλος σε κάποιες ισότητες που συγκριόεες ετξύ τους είι ίσες. Α....... Γ Β....... Γ Άρ Α Β Τυτότητες υπό συθήκη Υπάρχου τυτότητες όπου δε επληθεύοτι γι όλες τις τιές τω ετβλητώ τους, λλά όο γι συγκεκριέες. Τέτοις ορφής τυτότητες οοάζοτι «τυτότητες υπό συθήκη» κι έχου γεική ορφή: Α Α Β τότε Γ. Γι πράδειγ ι τέτοι τυτότητ είι: Α β γ 0 τότε 3 β 3 γ 3 3βγ Η πόδειξη ις τυτότητς υπό συθήκη ε γεική ορφή Α Α Β τότε Γ πορεί γίει ε τους πρκάτω τρόπους Ξεκιάε πό το Γ έλος κι ε ισότητες προσπθούε φτάσουε στο (ή τίστροφ) το οποίο επιτυγχάετι όο κτά τη πορεί χρησιοποιήσουε τη υπόθεση της τυτότητς δηλδή τη ισότητ Α Β. Ξεκιάε πό τη ισότητ Α Β κι ε συεπγωγές προσπθούε δείξουε τη ισότητ Γ. (η διδικσί υτή οοάζετι ευθεί πόδειξη) Ξεκιάε πό ι άλλη ισότητ της ορφής Μ Ν κι ε συεπγωγές προσπθούε δείξουε τη ισότητ Γ που πορεί επιτευχθεί όο κτά τη πορεί της πόδειξης χρησιοποιηθεί η ισότητ Α Β.
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Πργοτοποίηση ή άλυση σε γιόεο πρώτω πργότω οοάζετι η διδικσί ε τη οποί εττρέπουε ι πράστση πό άθροισ σε γιόεο. Ότ δοθεί γι πργοτοποίηση ι λγεβρική πράστση, θ πρέπει πρώτ «ετοπίσουε» πό τη ορφή της, σε ποι πό τις περιπτώσεις πργοτοποίησης ετάσσετε. Αυτό δε είι πάτοτε εύκολο. Απιτείτι κλή γώση της θεωρίς, ρκετή κρίση κι προπτός επειρί που ποκτάτι πό τη λύση σκήσεω. Το πρώτο πράγ που ελέγχουε ς δοθεί ι λγεβρική πράστση είι ήπως οι όροι της έχου κοιό πράγοτ. Α υτό συβίει τότε βγάζουε κοιό πράγοτ έξω πό ι πρέθεση ή γκύλη (άλογ ε τη ορφή της λγεβρικής πράστσης) κι συεχίζουε 6 β -β 4β 6β( 4) 3x 3 8x 3x(x 4) 3x(x-)(x) (y) 3 ( y) ( y) ( y)[( y) ( y) ] ( y)( y y y ) ( y)(y y ) Μερικές φορές ο κοιός πράγοτς είι «κρυφός» τότε ε κτάλληλες κιήσεις πορούε το φερώσουε.. (x y) 3β(y x) (x y) 3β(x y) (x y)( 3β) (x 3)(3x ) 9x 4 ( x 3)(3x ) (3x )(3x ) (3x )[(x 3) (3x )] (3x -)( x 3 3x ) (3x -)(5x 5) 5(3x-)(x) Ότ «ξεπερδέψουε» ε το κοιό πράγοτ, ρωτάε : πόσους όρους έχει η πράστση; Α η λγεβρική πράστση έχει δύο όρους προσέχουε Α) Μήπως υτή πορεί γρφτεί ως διφορά τετργώω, οπότε λύετι ε βάση τη τυτότητ β ( β)( β) προσοχή όως το άθροισ τετργώω β δε λύετι σε γιόεο πρώτω πργότω. x 49 x 7 (x -7)(x7) δ 7 δ - 7 (δ - 7 )(δ 7 ) 64β () (8β) ( 8β)( 8β) 9x 4(x -y) (3x) [(x -y)] [3x (x y)][3x (x -y)] (3x -x 4y)(3x x 4y) (3x y)(3x y) Β) Μήπως υτή πορεί γρφτεί ως άθροισ ή διφορά κύβω, οπότε λύετι ε βάση τις τυτότητες: 3 β 3 ( β)( β β ) 3 β 3 ( β)( β β ) x 3 5y 3 x 3 (5y) 3 (x 5y)[x - x 5y ( 5y) ] (x 5y)(x 5xy 5y ) 3 γ 6 3 (γ ) 3 ( γ )[ γ (γ ) ] ( γ )( γ γ 4 )
Α η λγεβρική πράστση έχει τρεις όρους, τότε εξετάζουε ήπως είι ή πορεί γρφτεί: Α) ως άπτυγ τετργώου (τυτότητ που λέτε..) ± β β ( ±β). x 6x 9 x - x 3 3 (x 3) 4x 4 x y 9y (x ) x 3y (3y) (x 3y) B) ως τριώυο β βθού: x ( β)x β (x )(x β) οπότε στη περίπτωση υτή ψάχουε βρούε δύο ριθούς ε γιόεο β κι άθροισ β ε τη τεχική που προυσιάσε Γ) Α δε συβίου τ πρπάω εξετάζουε ήπως δισπώτς κάποιο όρο οι σχητιζόεοι τέσσερεις όροι πργοτοποιούτι ε οδοποίηση.. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜA x 3xy y x xy xy y x(x y) y(x y) (x y)(x y) ) Α δε συβίου τ πρπάω εξετάζουε ήπως προσθέτοτς κι φιρώτς κτάλληλο όρο δηιουργείτι άπτυγ τετργώου ή γεικά πράστση που πορεί πργοτοποιηθεί. 4 36 4 36 4 36 ( 6) ( 6 )( 6 ) x 4 4y 4 x 4 4y 4 4x y 4x y (x y ) (xy) (x y -xy)(x y xy) E) A δε συβίου τ πρπάω εξετάζουε ήπως τοποθετήσουε δύο πό τους τρείς όρους σε πρέθεση προκύπτει κοιός πράγοτς πό τους δύο όρους που έχου προκύψει. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (β )(β 3γ) β 3γ (β -)(β -3γ) (β -3γ) (β -3γ)[(β -) -] (β -3γ)( β - ) (β -3γ)( β -) (β -3γ)(β -) Α η λγεβρική πράστση έχει τέσσερεις όρους τότε κάουε οδοποίηση όρω. Α) Αρχικά εξετάζουε τους όρους ά δύο κι προσπθούε πργοτοποιήσουε 6x 4x -9βx 6β (6x 4x) (9βx - 6β) x(3x ) 3β(3x ) (3x )(x 3β) Β) Α δε συβίει υτό εξετάζουε τους όρους πίροτς τους τρείς ε έ ή έ ε τρείς εξετάζοτς οι τρεις όροι ποτελού άπτυγ τυτότητς.
β γ -γ ( -γ γ ) β ( γ) β ( γ β)( γ β) 9 x 6x 9 9 (x 6x 9) (3) ( x 3) [3 (x 3)][3 (x 3)] (3 x 3)(3 x 3) Α η λγεβρική πράστση έχει πέτε ή έξι όρους τότε εργζόστε άλογ. x y x -y -xy (x xy y ) (x y) (x y) (x y) (x y)(x y ) β γ δ β γδ ( β β ) (γ γδ δ ) ( β) (γ δ) [( β) (γ δ)][( β ) (γ δ)] ( β γ δ)( β γ δ) Σε ερικές περιπτώσεις είι γκίο κάουε πράξεις κι στη συέχει πργοτοποίηση ( β) 3 ( 3 β 3 ) 3 3 β 3β β 3 3 β 3 3 β 3β 3β( β) ( ) β(β ) β β β ( β) ( β)( β) ( β) ( β)( β )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίετι ορθογώιο τρίγωο ΑΒΓ ε Α 90 ο κι γ β. Ν ποδείξετε ότι 5β, όπου φυσικός ριθός ε. Αφού το τρίγωο ΑΒΓ είι ορθογώιο πό το πυθγόρειο θεώρη έχουε: β γ β γ β (β) β 4β 5β εποέως έχουε: 5β - - -.. Α 0 κι, είι κέριοι, τότε ποδείξετε ότι: Έχουε : 3. Ν γράψετε ως ι δύη τη πράστση: Κ ( 0,5) 5 [( ) 3 ] 3 5 Κ (-0,5) 5 [(-) 3 ] 3 5 39 ( ) 39 ( ) 39 ( ) 39 5 5 00 4 4 4 39 30 39 30 9 5 4. Ν συγκρίετε τους ριθούς: 5 5 κι β 4 60-9 5 5 (5 3 ) 7 5 7 β 4 40 9 0 9 9 ( ) 9 ( 7 ) 7 8 7 εποέως έχουε 5 < 8 5 7 < 8 7 < β 5 39 ( ) 5 5. Ν βρεθεί ο τίθετος κι ο τίστροφος του ριθού Κ 7 35 7 7 7 35 7 7 5 7 7 7 7 5 7 7 (7 5) Κ 7 7 7 7 Εποέως ο τίστροφος του Κ είι ο ¼ κι ο τίθετος 4. 7 5 4
6. 00 0 00 0 Ν ποδείξετε ότι: 4 0 00 0 00 Α οοάσουε το κλάσ 00 0 x, τότε έχουε, οπότε 0 00 x 00 0 00 0 x x 0 00 0 00 x x x x x x x 4 x x x x x