Θεωρία Χρησιμότητας (utility theory) Το κριτήριο της μέσης χρησιμότητας

Θεωρία Χρησιμότητας (utility theory) Το κριτήριο της μέσης χρησιμότητας

Συνάρτηση χρησιμότητας Ο νέος τρόπος μοντελοποίησης των προτιμήσεων θα βασιστεί στην κατασκευή μιας συνάρτησης χρησιμότητας (utility function) u, η οποία για κάθε δυνατή τιμή κέρδους g θα προσδιορίζει την ψυχολογική αξία u(g) που ο αποφασίζων αποδίδει στο χρηματικό όφελος g. Συμβατικά, μια συνάρτηση χρησιμότητας είναι αύξουσα και παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 1], με τους ίδιους περιορισμούς που διέπουν μια συνάρτηση αξίας, ως εξής: u : [g*, g*] [0,1] u(g*) = 0, u(g*) = 1 u(gi) > u(gj) gi > gj όπου, g* και g* είναι το ελάχιστο και το μέγιστο δυνατό κέρδος, αντίστοιχα και gi και gj δυο πιθανές τιμές του κριτηρίου κέρδους

Συνάρτηση χρησιμότητας Συνάρτηση χρησιμότητας u και πιθανοτικές αξιολογήσεις δυο δράσεων a και b.

Συνάρτηση χρησιμότητας Η μέση χρησιμότητα ορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις:

Στάση αποφασίζοντος Ας θεωρήσουμε την περίπτωση μιας δράσης Α (λοταρία, lottery) της οποίας η πιθανοτική αξιολόγηση περιγράφεται ως εξής: δίνει κέρδος g 1 με πιθανότητα p 1, g 2 με πιθανότητα p 2,,g j με πιθανότητα p j,, g m με πιθανότητα p m. Λοταρία Α και λοταρία Β τύπου 50-50.

Στάση αποφασίζοντος Ονομάζουμε μέση τιμή (ΜΤ) μιας λοταρίας, τη μαθηματική ελπίδα του κέρδους (ΜΕΚ) της δράσης που της αντιστοιχεί. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι δυο λοταρίες του προηγούμενου σχήματος δίνουν

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Ας θεωρήσουμε τώρα μια κατάσταση που ένας αποφασίζων έχει να επιλέξει μεταξύ δυο επενδύσεων Α και Β. Η επένδυση Α του αποφέρει με βεβαιότητα 4.000, ενώ η επένδυση Β μπορεί να του αποφέρει 10.000 με πιθανότητα 0,5 ή τίποτε με πιθανότητα επίσης 0,5. Η επένδυση Β είναι μια λοταρία (lottery) 50-50 (κορώνα-γράμματα). Λοταρίες βέβαιες Α και Γ και λοταρία Β 50-50.

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Βέβαια αν το κριτήριο απόφασης είναι η μαθηματική ελπίδα κέρδους, ο αποφασίζων θα έπρεπε να προτιμήσει την επένδυση Β της οποίας η ΜΤ είναι: ΜΤ(Β)=0 0,5+10.000 0,5=5.000 > 4.000=ΜΤ(Α). Εάν, παρά ταύτα, ο αποφασίζων επιλέξει την επένδυση Α, λόγω του βέβαιου κέρδους, ο αποφασίζων αυτός τηρεί συντηρητική στάση απέναντι στον κίνδυνο (risk aversion). Ο ισχύων ορισμός είναι: Ορισμός : Ένας αποφασίζων ο οποίος προτιμά συστηματικά τη μέση τιμή (ΜΤ) μιας λοταρίας από την ίδια τη λοταρία λέγεται συντηρητικός αποφασίζων (risk averse). Η συνάρτηση χρησιμότητας του αποφασίζοντος αυτού είναι κοίλη (concave). Τούτο αποδεικνύεται εύκολα στο σχήμα που ακολουθεί, στη συνάρτηση:

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος

Συντηρητική Κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας στάση αποφασίζοντος

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Ριψοκίνδυνη στάση αποφασίζοντος Στον αντίποδα, ο αποφασίζων ο οποίος θα προτιμούσε την επένδυση Β από την επένδυση Γ, παρά το γεγονός ότι η μέση τιμή της Β είναι κατά 1.000 μικρότερη του κέρδους της Γ (6.000 με βεβαιότητα), χαρακτηρίζεται ως ριψοκίνδυνος (risk prone) Ορισμός: Ένας αποφασίζων ο οποίος προτιμά συστηματικά τις λοταρίες από τη μέση τιμή τους λέγεται ριψοκίνδυνος αποφασίζων (risk prone). Η συνάρτηση χρησιμότητας του αποφασίζοντος αυτού είναι κυρτή (convex), όπως στην περίπτωση του σχήματος που ακολουθεί

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Ριψοκίνδυνη στάση αποφασίζοντος

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Ριψοκίνδυνη στάση αποφασίζοντος Κυρτή συνάρτηση χρησιμότητας

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Ριψοκίνδυνη στάση αποφασίζοντος Ας σημειώσουμε τέλος, ότι u(7.071)=0,5 που σημαίνει ότι, ένας αποφασίζων για τον οποίο η u μοντελοποιεί τη στάση του απέναντι στον κίνδυνο είναι αδιάφορος ανάμεσα στην επένδυση-λοταρία Β και μια επένδυση που αποφέρει με βεβαιότητα κέρδος 7.071. Το σημείο g = 7.071 λέγεται βέβαιο ισοδύναμο (certainty equivalent) της λοταρίας Β. Γενικότερα, ο αναλυτής πρέπει να επιλέξει μια συνάρτηση χρησιμότητας κοίλη για να ερμηνεύσει μια συντηρητική στάση απέναντι στον κίνδυνο ή μια κυρτή συνάρτηση για να μοντελοποιήσει μια ριψοκίνδυνη στάση απέναντι στον κίνδυνο. Η ενδιάμεση στάση, μεταξύ των δυο παραπάνω αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση χρησιμότητας γραμμική, η οποία μοντελοποιεί μια ουδέτερη στάση του αποφασίζοντος απέναντι στον κίνδυνο (neutral attitude). Το κριτήριο απόφασης συμπίπτει στην περίπτωση αυτή με το κριτήριο της ΜΕΚ.

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Ριψοκίνδυνη στάση αποφασίζοντος Στο παράδειγμα που προηγήθηκε, η ουδέτερη στάση του αποφασίζοντος αντιστοιχεί στη γραμμική συνάρτηση:

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Μέθοδος του μετακινούμενου βέβαιου ισοδύναμου Ονομάζουμε βέβαιο ισοδύναμο (certainty equivalent) μιας λοταρίας τύπου 50-50 (κορώνα-γράμματα) την τιμή g β, η οποία είναι τέτοια ώστε ο αποφασίζων να δηλώνει αδιάφορος ανάμεσα στο να παίξει στη λοταρία και στο να κερδίσει g β με βεβαιότητα. Η μέθοδος συνίσταται στην αναζήτηση του βέβαιου ισοδύναμου g β μιας λοταρίας 50-50 της οποίας τα κέρδη g + και g - (g + >g - ) έχουν γνωστές χρησιμότητες. Η διαδικασία αρχίζει με τα άκρα της κλίμακας κέρδους g + =g*, g - =g*. Η χρησιμότητα του g β θα είναι: u(g β ) = 0,5u(g*)+0,5u(g*) = 0,5Χ1+0,5Χ0=0,5 Η διαδικασία επαναλαμβάνεται, συνήθως δυο φορές ακόμη, με λοταρίες 50-50 για τα επιμέρους διαστήματα (g*, g β ) και (g β, g*)και την αναζήτηση δυο ακόμη βέβαιων ισοδύναμων g β1 και g β2 αντίστοιχα. Τα νέα βέβαια ισοδύναμα θα έχουν τις εξής χρησιμότητες:

Συντηρητική στάση αποφασίζοντος Μέθοδος του μετακινούμενου βέβαιου ισοδύναμου Στο βήμα 3, απομένει να βρεθεί η αναλυτική συνάρτηση που διέρχεται από τα πέντε σημεία: Παράδειγμα Ας ξαναπάρουμε το παράδειγμα των επενδύσεων, παραπάνω, για να καταλήξουμε στη συνάρτηση χρησιμότητας του σχήματος 9.7 (συντηρητικός αποφασίζων). Εδώ έχουμε: g * = 0, g * = 10.000. Θα μπορούσαμε να έχουμε τον παρακάτω διάλογο: Αναλυτής: Προτιμάτε 5.000 σίγουρα ή να παίξετε κορώνα-γράμματα για να κερδίσετε 10.000, με κίνδυνο να τα χάσετε όλα; Αποφασίζων: Προτιμώ τα 5.000. Αναλυτής: Προτιμάτε να παίξετε κορώνα-γράμματα για τις 10.000 ή να πάρετε σίγουρα 3.000 ;

Μέθοδος του μετακινούμενου βέβαιου ισοδύναμου Αποφασίζων: Διστάζω, αλλά προτιμώ τα 3.000. Αναλυτής: Προτιμάτε 2.000 από το να παίξετε; Αποφασίζων: Προτιμώ να παίξω κορώνα-γράμματα. Αναλυτής: Εάν σας πρότεινα τώρα 2.500 ; Αποφασίζων: Δεν ξέρω τι να προτιμήσω. Μάλλον είμαι αδιάφορος. Εδώ λοιπόν παίρνουμε ως πρώτο βέβαιο ισοδύναμο g β = 2.500, με χρησιμότητα: u(g β ) = 0,5u(0)+0,5u(10.000) = 0,5Χ0+0,5Χ1=0,5 Μπορούμε τώρα να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία ερωτήσεων, αναζητώντας πρώτα το βέβαιο ισοδύναμο της λοταρίας 50-50 με g - = 0, g + = 2.500 και ύστερα το βέβαιο ισοδύναμο της λοταρίας 50-50 με g - = 2.500, g + = 10.000. Αν χρειαστεί, συνεχίζουμε ακόμη με κάποια ή όλα τα νέα διαστήματα, ανάλογα με τον αριθμό σημείων της συνάρτησης που θέλουμε να προσδιορίσουμε. Ο αναγνώστης μπορεί εύκολα να επαληθεύσει εκ των υστέρων, στο σχήμα 9.7, ότι g β1 = 625 και g β2 = 5625.

Τέλος Ενότητας Ερωτήσεις