II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE. Številske vrste Poleg zporedij relnih števil lhko o konvergenci govorimo tudi pri t.i. številskih vrsth. Formlno gledno je številsk vrst neskončn vsot relnih števil; tod, kj to sploh pomeni, sj smo doslej znli izvjti le končno mnogo opercij (seštevnj) nenkrt? Pojem vrste in njene konvergence Z nmenom, d bi sešteli neskončno mnogo členov dneg zporedj, se prvi vrsto + 2 +..., tvorimo zporedje delnih vsot te vrste. Prv deln vsot je kr prvi člen: s =, drug deln vsot je vsot prvih dveh členov: s 2 = + 2, itd. Vsoti prvih n členov rečemo n-t deln vsot vrste, torej s n = + 2 +... + n. DEFINICIJA. Prvimo, d vrst + 2 +... konvergir in im vsoto s, če konvergir zporedje delnih vsot s n in velj s = lim n s n. Če vrst ne konvergir, rečemo, d divergir. Vrsto + 2 +... bomo pogosto n krtko oznčili z znkom z seštevnje k= k, njeno n-to delno vsoto p z s n = n k= k. ZGLED. () Vrst k= = + + +... ne konvergir, sj je s n = n z vsk n. (b) Vrst /k(k + ) = / 2 + /2 3 + /3 4 +... im delne vsote enke k= s n = ( /2) + (/2 /3) + (/3 /4) +... + (/n /(n + )) = /(n + ), zto konvergir in im vsoto. (c) Geometrijsk vrst k= qk = + q + q 2 +... konvergir z = li q <. V prvem primeru je vsot enk nič, sj seštevmo sme ničelne člene. Če p, so delne vsote, kot se hitro vidi, enke s n = + q +... + q n = ( q n )/( q) z q in s n = n z q =. Kot vemo iz rzdelk o zporedjih, konvergir pri pogoju q < potenc q n proti nič, zto konvergirjo tedj delne vsote s n proti /( q). Z druge vrednosti q, se prvi z q, p delne vsote ne konvergirjo. DEFINICIJA 2. Cuchyjev kriterij z konvergenco zporedij s k s n (k,n ) se v primeru vrst glsi (pri pogoju n,n < k) k j=n+ j = n+ + n+2 +... + k. Ntnčneje, z vsk ǫ > obstj m N, tko d z k > n m velj k j=n+ j = n+ + n+2 +... + k < ǫ. N drug nčin to povemo tkole: Z vsk ǫ > obstj m N, tko d z n m in z poljuben p N velj p n+k = n+ + n+2 +... + n+p < ǫ. k=

2 V posebnem primeru, ko vzmemo p =, dobimo potreben pogoj z konvergenco: k (k. Videli bomo, d t pogoj ni tudi zdosten. Potreben pogoj lhko izpeljemo tudi direktno iz definicije konvergence vrst: lim n k = lim n (s k s k ) =. ZGLED 2. () Geometrijsk vrst k= qk = + q + q 2 +... z in q ne konvergir, ker že potreben pogoj q k (k ) ni izpolnjen. (b). Z vrsto k= /k = + /2 + /3 +... je potreben pogoj (/k ) izpolnjen, ni p izpolnjen Cuchyjev pogoj z konvergenco, sj z vsk n velj /(n + ) + /(n + 2) +... + /(2n) > /2, zto vrst ne konvergir. T vrst se imenuje hrmoničn vrst. Vrste s pozitivnimi členi Pri vrsti, ki im sme pozitivne člene, so tudi delne vsote s n = + 2 +...+ n pozitivne in nrščjo, sj je s n s n = n z vsk n. Strogo monotono nrščjoče zporedje s n p je konvergentno ntnko tkrt, ko je nvzgor omejeno. Torej velj nslednj trditev. TRDITEV. Vrst s pozitivnimi členi je konvergentn ntnko tkrt, ko so njene delne vsote nvzgor omejene. Z vrste s pozitivnimi členi immo veliko rzličnih konvergenčnih kriterijev, ki zgotvljjo konvergenco dne vrste, ne d bi pri tem poznli delne vsote. Smo iz členov dne vrste lhko sklepmo n konvergenco, pri tem p vsote vrste običjno ne moremo izrčunti. IZREK (o primerjnju). Imejmo vrsti k= k = + 2 +... in k= b k = b +b 2 +..., pri čemer nj velj k b k z vsk k. () Če vrst z večjimi členi (mjornt) konvergir, konvergir tudi dn vrst. (b) Če vrst z mnjšimi členi (minornt) divergir, divergir tudi dn vrst. Dokz. Ker so členi pozitivni, delne vsote nrščjo, zto je z konvergenco po trditvi potreben in zdosten pogoj, d so tudi omejene. Če so omejene delne vsote mjornte, velj isto z vrsto z mnjšimi členi. Če p delne vsote minornte niso omejene, tudi z vrsto z večjimi členi to ni res. ZGLED 3. () Vrst k= /k2 = +/2 2 +/3 2 +... konvergir, ker im konvergentno mjornto k= /k(k + ) = + /( 2) + /(2 3) +... (glej točko (b) prveg zgled v tem rzdelku). (b) Vrst k= / k = + / 2 + / 3 +... divergir, ker im z minornto hrmonično vrsto + /2 + /3 +..., z ktero vemo, d divergir. S primerjvo lhko pogosto hitro ugotovimo konvergenco vrste s pozitivnimi členi tudi n nslednji nčin, ki deluje, kdr členi monotono pdjo proti nič. IZREK 2. Nj bo 2 3... in k (k ). Potem konvergir vrst k= k = + 2 + 3 +... ntnko tkrt, ko konvergir kondenzirn vrst j= 2j 2 j = + 2 2 + 4 4 + 8 8 +... Dokz. Oznčimo delne vsote obeh vrst z s n = + 2 +...+ n in t k = +2 2 +...+ 2 k 2 k. Z 2 k n < 2 k+ immo oceno nvzgor s n +( 2 + 3 )+...+( 2 k+...+ 2 k+ ) +2 2 +...+2 k 2 k = t k, in oceno nvzdol s n + 2 +( 3 + 4 )+...+( 2 k + +...+ 2 k)

/2 + 2 + 2 4 +...2 k 2 k = t k /2. Ker torej z vsk k in z 2 k n < 2 k+ velj t k /2 s n t k, st obe vrsti hkrti konvergentni li divergentni. ZGLED 4. Vrst /k p = + /2 p + /3 p +... konvergir z p > in divergir z k= p. To vidimo tko. Če je p, členi sploh ne konvergirjo proti nič, potreben pogoj ni izpolnjen in vrst divergir. Če p je p >, so členi vrste pozitivni in monotono pdjo proti nič, tko d lhko uporbimo izrek 2. Kondenzirn vrst je zdj geometrijsk vrst j= 2j = 2 jp j= 2( p)j, ki je konvergent ntnko tkrt, ko je kvocient 2 p < ozirom p <. Deln vsot s n = n /k p zdnje vrste je zrdi monotonosti funkcije f(x) = /x p k= gotovo večj od integrl n+ f(x)dx in mnjš od + n f(x)dx (glej sliko ). Ker vemo, d integrl f(x)dx konvergir ntnko tkrt, ko je p >, velj isto z delne vsote s n dne vrste. Podobno velj z vsko n poltrku [, ) pozitivno in monotono pdjočo funkcijo f. (y) 3 2 3 n n+ (x) Slik IZREK 3 (Integrlski kriterij). Če so členi vrste enki k = f(k), kjer je f pozitivn zvezn in mnotono pdjoč funkcij n poltrku [, ), konvergir vrst k= k ntnko tkrt, kdr konvergir integrl f(x)dx. n Dokz. Kot v posebnem primeru je n+ f(x)dx s n = n k= k + n k=2 k f(x)dx, od koder vidimo, d vrst in integrl konvergirt li divergirt hkrti. IZREK 4 (Cuchyjev korenski kriterij). Nj bo n vrst s pozitivnimi členi n z vsk n. () Če obstj m N in pozitivno število q <, tko d velj n n q < z n m, vrst konvergir. (b) Če velj n n z neskončno mnogo členov, vrst divergir. Dokz. () Z n > m immo n q n, torej vrst n n konvergir zrdi primerjnj z geometrijsko vrsto n qn. (b) Če z neskončno mnogo členov velj n n ozirom n, členi ne konvergirjo k nič in vrst zto ne konvergir. ZGLED 5. Vrst (x/n)n = x + (x/2) 2 + (x/3) 3 +... konvergir z vsk x >. Immo nmreč n n = x/n in zto n n /2 z vsk dovolj velik n.

4 POSLEDICA. Z vrsto n s pozitivnimi členi oznčimo α = lim sup n n n. Vrst konvergir, če je α <, in divergir, če je α >. Dokz. Če je α <, gotovo obstj q z lstnostjo α < q < in indeks m, tko d z n m velj n n < q. Če p je α >, je tudi n n > z neskončno mnogo členov. V obeh primerih sledi konvergenc ozirom divergenc vrste iz izrek 4. Njlžje je uporbiti to posledico, kdr obstj limit α = lim n n n. V primeru α < dobimo konvergenco, v primeru α > divergenco, v primeru α = p nm korenski kriterij ne pove ničesr. ZGLED 6. Z vrsto x n /n p, kjer je x > in p R, je lim n n n = lim n x/ n n p = x, zto vrst konvergir z x < in divergir z x > ne glede n to, kkšen je p. Pri x = se vrst glsi /n p ; znjo korenski kriterij odpove, vendr vemo od prej, d t vrst konvergir z p > in divergir pri p. IZREK 5. (D Alembertov kvocientni kriterij). Nj bo n vrst s pozitivnimi členi n > z vsk n. () Če obstjt m N in pozitivno število q <, tko d velj n+/ n q < z vsk n m, vrst konvergir. (b) Če velj n+/ n z vsk n m, vrst divergir. Dokz. () Pri dnem pogoju velj m+ q m, m+2 q 2 m itd., se prvi m+k q k m z vsk k. Primerjv z geometrijsko vrsto pove, d vrst s členi n, n m konvergir, torej konvergir tudi prvotn vrst. (b) Zdj immo m+k m > z vsk k in zto členi n ne konvergirjo k, vrst je divergentn. V izreku ni dovolj, d velj le n+ / n <, kot lhko npr. vidimo iz zgled (divergentne) hrmonične vrste, kjer je n = /n in n+ / n = n/(n + ) < z vsk n. ZGLED 7. Vrst m= nxn = + 2x + 3x 2 +... konvergir z < x < in divergir z x. Res! Splošni člen vrste je nmreč n = nx n, zto je n+ / n = n+ n x, kr konvergir proti x. Če je x <, lhko vzmemo q = (x + )/2. Z vsk dovolj velik n je n+ / n q < in vrst konvergir. Če p je x, je n+ / n = n+ n x >, zto vrst divergir. (To vidimo tudi iz dejstv, d tedj členi ne konvergirjo proti nič.) POSLEDICA. Z vrsto n s pozitivnimi členi oznčimo α = lim sup n+ n n β = lim inf n+ n n. Potem vrst konvergir, če je α <, in divergir, če je β >. Dokz. Če je α <, obstj q z lstnostjo α < q < in indeks m, tko d z n m velj n+ / n < q in po izreku 5 vrst konvergir. Če p je β >, obstj tk m, d je n+ / n > z n m in po izreku 5 vrst divergir. Opomb. Dejstvo, d je npr. limit lim n n+ / n =, še nič ne pove o konvergenci vrste, kot lhko spoznmo iz primerov vrst n n in n n 2. TRDITEV 2. Z vsko zporedje ( n ) s pozitivnimi členi velj n+ lim inf lim inf n n lim sup n n lim sup n n n n n n+ n. in

Dokz. Srednj neenkost je triviln, lev sledi iz desne, zto dokžimo smo desno. Oznčimo α = lim sup n+ n n in izberimo q > α, tko d je n+ n < q z vsk n m. Z vsk k je torej m+ m m+2 m+... m+k m+k < q k ozirom m+k q k m. Drugče rečeno, n m q m q n, se prvi n n n m q m q ozirom lim sup n n n q. Ker velj to z vsk q > α, imm tudi lim sup n n n α, kr je bilo treb dokzti. Iz trditve 2 vidimo, d je Cuchyjev korenski kriterij močnejši od D Alembertoveg kvocientneg kriterij v nslednjem smislu. Vedno, ko kvocientni kriterij npove konvergenco, lhko konvergenco ugotovimo tudi s korenskim kriterije; kdr p korenski kriterij odpove, odpove tudi kvocientni. Poleg teg obstjjo primeri, ko lhko konvergenco ugotovimo s korenskim kriterijem, medtem ko kvocientni kriterij o konvergenci nič ne pove. ZGLED 8. Z vrsto /2 + /3 + /2 2 + /3 2 + /2 3 + /3 3 + /2 4 + /3 4 +... je lim inf n+ n n = lim n (2/3) n =, lim inf n n n = lim 2n n /3 n = / 3, lim sup n n n = lim 2n n /2 n = / 2 in lim sup n+ n n = lim n (3/2) n = +. Torej lhko ugotovimo konvergenco s korenskim kriterijem, s kvocientnim p ne. Kdr kvocientni kriterij odpove, je pogosto pmetno uporbiti nslednji izboljšni konvergenčni kriterij. IZREK 6 (Rbejev kriterij). Nj bo n vrst s pozitivnimi členi, torej n > z vsk n. () Če obstjt m N in pozitivno število q >, tko d velj n( n/ n+ ) q > z vsk n m, vrst konvergir. (b) Če velj n( n/ n+ ) z vsk n m, vrst divergir. Dokz. () Pišimo q = +r, kjer je r >, in preoblikujmo pogoj n( n / n+ ) q > v pogoj n n (n+) n+ r n+ z n m. Oznčimo b n+ = n n (n+) n+ in tkoj ugotovimo, d im vrst b m+ +b m+2 +... zrdi ocene b n+ r n+ > pozitivne člene in nvzgor omejene delne vsote s k = b m+ +b m+2 +...+b m+k = m m (m+k) m+k m m, tko d je konvergentn. Potem p je zrdi ocene r n+ b n+ z n m konvergentn tudi vrst n n. (b) Če velj n( n/ n+ ) z vsk n m, je n n (n + ) n+ z n m, torej (m + k) m+k m m z vsk k ozirom m+k m m /(m + k) z k. N desni strni so členi z m m pomnožene hrmonične vrste, zto po izreku o primerjnju vrst tudi vrst n n divergir. POSLEDICA. Z vrsto n s pozitivnimi členi oznčimo α = lim sup n n( n / n+ ) in β = lim inf n n( n / n+ ). Potem vrst konvergir, če je β >, in divergir, če je α <. 5 Dokz. V prvem primeru obstj tk q > indeks m, d je n( n / n+ ) q > z n m, v drugem primeru p tk indeks m, d je n( n / n+ ) z n m. Obkrt rezultt sledi iz izrek 6. Njlžje je ugotoviti konvergenco, kdr obstj limit α = lim n n( n / n+ ). Tedj vrst konvergir, če je α > in divergir, če je α <. Kdr je α =, tudi Rbejev kriterij odpove. ZGLED 9. Z vrsto np, p >, smo že ugotovili, kdj konvergir. Preskusimo n njej še Rbejev kriterij. Ker je v tem primeru

6 α = lim n n( n/ n+ ) = lim n n(( + /n)p ) = lim h (( + h) p )/h = f (), kjer je f(x) = x p, immo zrdi f (x) = px p in zto α = f () = p. Vidimo, d vrst konvergir z p > in divergir z p <. Kriterij nm ničesr ne pove, kdr je p = ; tedj p je vrst hrmoničn, torej divergentn. Absolutno in pogojno konvergentne vrste DEFINICIJA 3. Rečemo d konvergir vrst + 2 +... bsolutno, če konvergir vrst iz bsolutnih vrednosti + 2 +... Če to ni res, rečemo, d vrst konvergir le pogojno. TRDITEV 3. Vsk bsolutno konvergentn vrst je konvergentn. Dokz. To vidimo iz trikotniške neenkosti. Nj bo m < n. Tedj je m+ +...+ n m+ +... + n. Če vrst bsolutno konvergir, je desn strn te neenkosti poljubno mjhn. Potem p velj isto z levo strn. Vrst torej zdošč Cuchyjevemu pogoju, zto je konvergentn. TRDITEV 4. Če konvergir vrst n = + 2 +... bsolutno, zporedje (b n ) p je omejeno, konvergir bsolutno tudi vrst nb n = b + 2 b 2 +... Dokz. Nj bo b n M z vsk n z neko konstnto M >. Zrdi ocene n b n M n, veljvne z vsk n, lhko uporbimo primerjlni test z vrste s pozitivnimi členi (izrek ). Poseben primer so t.i. lternirjoče vrste, kjer predznki členov lternirjo: immo 2 + 3 4 +..., kjer so zdj vsi koeficienti i >. IZREK 7 (Leibnizov kriterij). Alternirjoč vrst 2 + 3 4 +... konvergir, če je zporedje ( n ) pdjoče in velj lim n n =. Dokz. Oglejmo si 2n-to delno vsoto s 2n = 2 + 3 4 +...+ 2n 2n. Očitno je zporedje sodih delnih vsot (s 2n ) nrščjoče in omejeno z s 2n, zto je konvergentno proti nekemu številu s. Zporedje lihih delnih vsot s 2n+ prv tko konvergir proti s, sj je s 2n+ = s 2n + 2n+. Potem p tudi celo zporedje delnih vsot s n konvergir proti s. ZGLED. Vrst /2 + /3 /4 +... konvergir po zgornjem izreku, sj lternir in njeni členi po bsolutni vrednosti monotono pdjo in konvergirjo proti nič. Vendr, kot smo videli, t konvergenc ni bsolutn; vrst iz bsolutnih vrednosti je nmreč hrmoničn in divergir. Izrčunjmo vsoto konvergentne vrste /2 + /3 /4 +... Znjo je s 2n = 2n k= ( ) k k = 2 + 3 4 +... + 2n 2n = ( + 2 + 3 + 4 +... + 2n + 2n ) 2( 2 + 4 +... + 2n ) = n + + n + 2 +... + 2n = 2n k=n+ n k = n + j. Oglejmo si določeni integrl 2 dx/x in njegovo spodnjo Drbouxovo vsoto s(f;d) = n j= f(x j) x j z funkcijo f(x) = /x in enkomerno delitev D = {x,x,x 2,...,x n }, kjer je x j = +j/n z j =,,2,...,n, intervl [,2] n n enko dolgih podintervlov. Potem je x j = /n z vsk j in j=

s(f;d) = n n f( + j/n) = j= n j= n + j = s 2n rvno 2n-t deln vsot nše vrste. Ker vemo, d spodnje Drbouxove vsote konvergirjo proti določenemu integrlu 2 dx/x = ln x 2 = ln 2, vidimo odtod, d je tudi vsot konvergentne vrste /2 + /3 /4 +... enk ln 2. Izrek 7 je poseben primer nslednjeg izrek, ki je diskretn nlogij Dirichletoveg test z posplošeni integrl (izrek 6 v 4. rzdelku. poglvj). IZREK 8. Nj bo ( n ) pdjoče zporedje pozitivnih števil z limito nič, zporedje delnih vsot vrste b n = b + b 2 +... z relnimi členi p nj bo omejeno. Potem je konvergentn tudi vrst nb n. Dokz. Delne vsote vrste n nb n oznčimo z s n, delne vsote vrste n b n oznčimo z t n. Zrdi omejenosti slednjih obstj tk M >, d je t n M. Nj bo m < n; izrčunjmo in ocenimo rzliko dveh dovolj poznih delnih vsot z vrsto n nb n. Njprej dobimo s n s m = m+ b m+ + m+2 b m+2 +... + n b n = m+ (t m+ t m ) + m+2 (t m+2 t m+ ) +... + n (t n t n ) = m+ t m + ( m+ m+2 )t m+ + ( m+2 m+3 )t m+2 +... + ( n n )t n + n t n, odtod p oceno s n s m m+ t m +( m+ m+2 ) t m+ +( m+2 m+3 ) t m+2 +...+( n n ) t n + n t n 2M m+. Če pošljemo m (in s tem tudi n ), konvergir desn strn (in s tem tudi lev strn) proti nič. To pomeni, d je zporedje delnih vsot (s n ) Cuchyjevo, torej konvergentno. ZGLED. () V posebnem primeru, ko vzmemo b n = ( ) n, tko d so delne vsote t n enke (če je n liho število) in (če je n sodo število), torej omejene, dobimo Leibnitzov kriterij z lternirjoče vrste: če je k > in k ց monotono pdjoče, vrst k= ( )k k konvergir. (b) V posebnem primeru, ko izberemo b n = sin nx, so delne vsote t n z vrsto n b n tudi omejene, sj se lhko hitro prepričmo, d je t n =, če je sin x = in t n = sin x + sin 2x +... + sin nx = sin(n + )x/2sin(nx/2)/sin(x/2), če je sin x, ter je zto v zdnjem primeru t n / sin(x/2). Po izreku 8 je potem vrst n sin nx = sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x +... vedno konvergentn, če je le n pdjoče zporedje pozitivnih števil z limito nič. Podobno dokžemo, d je vrst n cos nx = cos x + 2 cos 2x + 3 cos 3x +... konvergentn, rzem mord z x = 2kπ, k Z, če je le n pdjoče zporedje pozitivnih števil z limito nič. Opomb. Če predpostvke izrek 8 niso izpolnjene, tudi sklep ne velj. Kot zgled lhko vzmemo npr. nslednje pre zporedij: (i) n =, b n = ( ) n, (ii) n = ( ) n /n, b n = ( ) n, (iii) n = /n, b n =. V nobenem od teh primerov vrst n nb n ne konvergir. 7

8 Rčunske opercije z vrstmi Dve vrsti seštejemo (odštejemo) tko, d seštejemo (odštejemo) istoležne člene. Podobno pomnožimo vrsto s konstnto tko, d s to konstntno pomnožimo vsk člen vrste. Torej je npr. vsot vrst k= k in k= b k enk vrsti k= ( k +b k ) in produkt vrste k= k s konstnto c enk vrsti k= c k. Poskušjmo ugotoviti, kko je s konvergenco vsote dveh konvergentnih vrst in s konvergenco produkt konvergentne vrste s konstnto. TRDITEV 5. Če st vrsti k= k in k= b k konvergentni in imt vsoti A ozirom B, je konvergent tudi vrst k= ( k +b k ) in im vsoto A+B. Prv tko je konvergentn tudi vrst k= c k in im vsoto ca. Če st prvotni vrsti bsolutno konvergentni, st bsolutni tudi dobljeni vrsti. Dokz. Oznčimo delni vsoti vrst z A n in B n, torej A n = n k= k in B n = n k= b k. Potem je A n + B n = n k= ( k + b k ) deln vsot sestvljene vrste in zto velj tudi lim n (A n + B n ) = lim n A n + lim n B n = A + B. Podobno je ca n = n k= c k in lim n ca n = ca. Absolutn konvergenc z vsoto dveh vrst sledi iz trikotniške neenkosti k +b k k + b k in primerjlneg kriterij z vrste s pozitivnimi členi. Absolutn konvergenc z produkt vrste s konstnto ugotovimo še lžje: k c k = c k k. Opomb. Ko smo že pri oznkh A n = n k= k in B n = n k= b k z delne vsote dveh vrst, povejmo, d velj nslednj diskretn nlogij formule z integrcijo po delih. Sumcij po delih: Z vsk m je m n B n + m A n b n+ = A m B m+. Dokz. Postvimo A =. Potem je m m m n B n + A n b n+ = (A n A n )B n + m A n B n m A n B n + m A n B n+ m A n (B n+ B n ) = m A n B n = A m B m+. Kot posledico trditve 5 si oglejmo nslednji izrek, ki g včsih imenujejo tudi Abelov test z konvergenco. IZREK 9. Nj bo ( n ) monotono konvergentno zporedje pozitivnih števil, vrst b n = b + b 2 +... p nj konvergir. Potem je konvergentn tudi vrst nb n. Dokz. Nj bo npr. zporedje ( n ) pdjoče in nj konvergir proti številu. Potem je nb n = ( n )b n + b n vsot dveh konvergentnih vrst (prv vrst konvergir po izreku, sj konvergirjo členi n monotono proti nič, delne vsote vrste k b k p so seved omejene), torej tudi sm konvergentn vrst. S seštevnjem vrst nismo imeli težv, množenje p ni tko preprosto. Končni vsoti zmnožimo tko, d vsk člen prve vsote zmnožimo z vskim členm druge vsote in dobljene produkte seštejemo. Ali se d to prvilo rzširiti tudi n neskončne vsote, tj. n vrste? Njprej definirjmo, kj bomo šteli z produkt dveh vrst.

DEFINICIJA 4. Pri dnih vrsth k= k in k= b k oznčimo z vsk n =,,2,... n c n = k b n k. Vrsti n= c n rečemo (Cuchyjev) produkt vrst k= k in k= b k. k= S konvergenco produkt so še večje težve. Če je npr. A n = n k= k, B n = n k= b k, C n = n k= c k in če vemo, d A n A in B n B, nsploh ni jsno, zkj bi potem konvergirl tudi C n in, če že konvergir, zkj bi konvergirl rvno proti AB. Nslednji zgled pokže, d produkt dveh konvergentnih vrst lhko divergir. ZGLED 2. Imejmo konvergentno (lternirjočo) vrsto ( ) n = + +... k + 2 3 4 k= in izrčunjmo njen kvdrt (produkt vrste s smo seboj). Hitro se lhko prepričmo, d je po formuli iz definicije 4 c n = ( ) n (n k + )(k + ) 2 n + 2, sj je (n k + )(k + ) = (n/2 + ) 2 (n/2 k) 2 (n/2 + ) 2. Torej dobimo n 2 2(n + ) c n = 2. n + 2 n + 2 k= Potreben pogoj c n z konvergenco vrste n= c n ni izpolnjen, vrst ne konvergir. Nslednji izrek, ki g je dokzl Mertens, to pomnjkljivost odprvlj, vendr potrebujemo bsolutno konvergenco vsj ene od obeh vrst. IZREK. Denimo, d vrst k= k konvergir bsolutno in d je njen vsot enk A, vrst k= b k konvergir in im vsoto B ter je c n = n k= kb n k z vsk n =,,2,... Potem tudi vrst n= c n konvergir in im vsoto AB. Dokz. Oznčimo A n = n k= k, B n = n k= b k in C n = n k= c k. Potem je C n = b +( b + b )+...+( b n + b n +...+ n b ) = B n + B n +...+ n B = (B n B) + (B n B) +... + n (B B) + A n B = s n + A n B, kjer je s n = (B n B) + (B n B) +... + n (B B). Nj bo s = k= k in pokžimo, d s n. Z vsk ǫ > obstj tk indeks m, d je B n B < ǫ z vsk n m. Torej je z vsk n m s n n (B B) +... + n m (B m B) + n m (B m+ B) +... + (B n B) n (B B) +... + n m (B m B) + n m B m+ B +... + B n B n (B B) +... + n m (B m B) + sǫ. Pošljimo n p dobimo lim sup n s n sǫ. To velj z vsk ǫ >, torej je lim sup n s n =, se prvi, d s n konvergir proti nič. Potem p je tudi lim n C n = lim n s n + lim n A nb = AB. Ksneje bomo (kot posledico Abeloveg izrek iz teorije potenčnih vrst) pokzli, d velj C = AB tudi brez bsolutne konvergence ene od vrst, vendr mormo v tem primeru vedeti, d poleg konvergence vrst k k proti A in k b k proti B, konvergir tudi vrst k c k, s členi c n = n k= kb n k, proti C. 9

Preureditev vrst Če v končni vsoti spremenimo vrstni red členov, dobimo zrdi komuttivnosti seštevnj relnih števil isti rezultt. Kko p je s tem pri neskončnih vrsth? Če spremenimo vrstni red smo končno mnogo členom, to n konvergenco in končno vsoto vrste ne vpliv. Kj p če spremenimo položj neskončno mnogo členov, če torej vrsto popolnom preuredimo? Njprej mormo povedti, kj rzumemo s tem pojmom. DEFINICIJA 5. Nj bo π : N N poljubn bijekcij (permutcij) nrvnih števil. Potem imenujemo vrsto k= π(k) = π() + π(2) + π(3) +... preureditev dne vrste. Ker so delne vsote preurejene vrste lhko popolnom drug števil kot delne vsote prvotne vrste, ni jsno, li iz konvergence prvotne vrste sledi tudi konvergenc preurejene vrste. Vpršnje je tudi, li im preurejen vrst, tudi če konvergir, isto vsoto kot prvotn. Nsploh slednje ni res, kot pove nslednji preprost zgled. ZGLED 3. Vemo, d im lternirjoč vrst /2+/3+... vsoto ln 2. P preuredimo to vrsto tko, d bomo po vrsti zpisovli en pozitivni člen in dv zporedn negtivn člen. Preurejen vrst se torej glsi: /2 /4+/3 /6 /8+... Potem je deln vsot te vrste z indeksom n = 3m enk s 3m = ( 2 4 ) + ( 3 6 8 ) +... + ( 2m 4m 2 4m ) = 2 [( 2 ) + ( 3 4 ) +... + ( 2m 2m )]. Torej je lim m s 3m = (ln 2)/2 in isto velj z s 3m+ = s 3m + /(2m + ) in z s 3m+2 = s 3m+ /(4m + 2). Torej preurejen vrst tudi konvergir, vendr im vsoto (ln 2)/2, pol mnjšo od vsote prvotne vrste. Vrst iz zdnjeg zgled je bil smo pogojno konvergentn. Pri bsolutno konvergentnih vrsth p preureditev (zmenjv vrstneg red členov) ne vpliv niti n konvergenco niti n vrednost vsote. IZREK. Pri bsolutno konvergentni vrsti k= k je z vsko permutcijo π nrvnih števil tudi preurejen vrst k= π(k) konvergentn in im isto vsoto. Dokz. Delne vsote vrst k= k in k= π(k) oznčimo z s n ozirom s n. Zrdi bsolutne konvergence vrste k= k obstj z vsk ǫ > tk indeks m, d z n m velj k=n+ k < ǫ. Izberimo tko velik p, d je {,2,...,m} {π(),π(2),...,π(p)}. Če je n p se v rzliki delnih vsot s n s n krjšjo vsi členi, 2,..., m, zto je s n s n k=m+ k < ǫ. To pomeni, d s n s n ; zto konvergir tudi zporedje delnih vsot preurejene vrste s n in velj lim n s n = lim n s n. Videli smo, d z pogojno konvergentne vrste podoben sklep ne velj. Celo več, pri teh vrsth lhko s primerno preureditvijo dosežemo, d vrst več ne konvergir, li p d konvergir in im z vsoto poljubno vnprej izbrno relno število. IZREK 2 (Riemnn). Če je k= k pogojno konvergentn vrst, obstj z vsk t R tk permutcij π nrvnih števil, d im preurejen vrst k= π(k) vsoto t. Dokz. Pogojno konvergentn vrst im neskončno mnogo pozitivnih in neskončno mnogo negtivnih členov, sicer bi bil njen konvergenc bsolutn. Zpišimo njeno n-to delno vsoto v obliki s n = p n q n, kjer pomeni p n vsoto pozitivnih in q n vsoto bsolutnih vrednosti negtivnih členov v s n. Z vrsto k= k iz bsolutnih vrednosti členov je n-t deln vsot enk S n = p n + q n. Zrdi pogojne konvergence konvergirjo delne vsote s n

proti neki limiti s, medtem ko delne vsote S n vrste iz bsolutnih vrednosti členov nrščjo v neskončnost. Odtod sledi, d tudi števil p n in q n nrščjo v neskončnost. Nj bo b + b 2 +... vrst iz pozitivnih členov prvotne vrste k= k, tko d je p n = b + b 2 +... + b n njen n-t deln vsot, in c + c 2 +... vrst iz bsolutnih vrednosti negtivnih členov vrste k= k z n-to delno vsoto q n = c + c 2 +... + c n. Kljub divergenci teh dveh vrst p velj b k in c k, sj vrst s členi k konvergir. Nj bo npr. t > poljubno pozitivno število. in nj bo n njmnjši indeks, pri kterem je p n > t. Zporedje p n q,p n q 2,... je pdjoče in divergir proti. Nj bo m njmnjši indeks, pri kterem je p n q m < t. Sedj prištejmo izrzu p n q m toliko ndljnjih zporednih členov vrste k b k, d bo skupn vsot večj od t, nto p isto ponovimo z odštevnjem ndljnjih zporednih členov vrste k c k itd. N koncu dobimo neskončno vrsto, v kteri so zjeti (v spremenjenem vrstnem redu) vsi členi tko vrste k b k kot vrste k c k, torej tudi vrste k k. Ker se členi b k in c k mnjšjo proti nič, se dovolj pozn deln vsot tko dobljene preurejene vrste rzlikuje od števil t tko mlo, kot želimo. Torej preurejen vrst konvergir in im vsoto t. Opomb. V izreku 2 je t lhko tudi ± (v tem primeru preurejen vrst divergir). To dokžemo enko kot zgorj, le d npr. n j-tem korku prištejemo toliko pozitivnih členov b k, d pridemo čez j, nto p odštejemo toliko pozitivnih členov c k, d spet pdemo pod j. Ker je j =,2,3,..., pridemo v limiti v + (li v, če zmenjmo vlogo b k in c k in n j-tem korku skušmo doseči število j). Vrste s kompleksnimi členi Doslej smo obrvnvli reln zporedj in vrste z relnimi členi. Ampk prv enko bi lhko študirli tudi konvergenco zporedij in vrst s kompleksnimi členi. Konvergenc zporedj (c n ) s kompleksnimi členi je enk kot v relnem. Kompleksno število c je limit teg zporedj, če z vsk ǫ > obstj indeks m, tko d z n m velj c k c < ǫ. Rzlik je le t, d tu uporbimo bsolutno vrednost z kompleksn števil. Če je npr. c k = k + ib k, c = + ib knonski zpis števil c k in c, je c k c = k 2 + b k 2. Odtod tudi vidimo, d c k c ntnko tkrt, ko k in b k b. Pri vrsth je čisto podobno: vrst s kompleksnimi členi k= c k konvergir, če konvergir zporedje njenih delnih vsot s n, ki so zdj tudi kompleksn števil. Vrst konvergir bsolutno, če konvergir vrst k= c k iz bsolutnih vrednosti členov. Ker je s knonskim zpisom členov k c k = k k + i k b k, kjer so zdj členi k in b k relni, vidimo, d vrst k c k konvergir (bsolutno) ntnko tkrt ko konvergirt (bsolutno) vrsti k k in k b k. Z bsolutno konvergenco vrste s kompleksnimi členi lhko uporbimo iste kriterije, kot z bsolutno konvergenco vrst z relnimi členi. 2. Funkcijsk zporedj in funkcijske vrste V tem rzdelku si bmo ogledli pomembne lstnosti v zvezi z zporedji funkcij, ki konvergirjo proti neki funkciji. Rziskli bomo, kko zveznost, integrbilnost li odvedljivost posmeznih členov vpliv n zveznost, integrbilnost li odvedljivost limitne funkcije. Ksneje bomo te ugotovitve uporbili tudi pri vrsth, ktere členi so funkcije. Imejmo zdj zporedje relnih funkcij f n, ki so vse definirne n skupni podmnožici S R. N krtko govorimo o funkcijskem zporedju (f n ). DEFINICIJA. Rečemo, d funkcijsko zporedje (f n ) konvergir po točkh proti funkciji f, če z vsk x S zporedje relnih števil (f n (x)) konvergir proti številu f(x), tj. če z vsk x S velj lim n f n(x) = f(x).

2 Ker je pri vskem x S limit f(x) ntnčno določen, dobimo n t nčin spet neko relno funkcijo f, definirno n podmnožici S R. ZGLED. () f n (x) = x n, S = [,]; Z x < velj f n (x) = x n, z x = p je f n (x) =. Torej konvergir zporedje teh funkcij n množici S po točkh proti funkciji f, z ktero velj f(x) = z x < in f() =. (b) f n (x) = 2nx/( + n 2 x 2 ), S = R; ni težko videti, d konvergir zdj funkcijsko zporedje (f n ) n vsej relni osi po točkh proti funkciji f(x) =. (c) f n (x) = (sin nx)/ n; tudi zdj velj lim n f n (x) = z vsk x R. (d) Nj bo f n (x) enko n 2 x z x < /n, n 2 (2/n x) z /n x < 2/n in z x 2/n. Potem je lim n f n (x) = z vsk x, sj je f n () = z vsk n, pri poljubnem x > p je f n (x) =, če je le /n < x ozirom n > /x. Enkomern konvergenc funkcijskih zporedij Konvergenc funkcijskeg zporedj (f n ) po točkh proti funkciji f pomeni, d z vsk x S in vsk ǫ > obstj tk indeks m, d z vsk n m velj f n (x) f(x) < ǫ. Indeks m je tu odvisen od števil ǫ in tudi od točke x S. Konvergenc po točkh je njpreprostejš vrst konvergence funkcij. Zhtevnejš p je nslednj definicij. DEFINICIJA 2. Rečemo, d funkcijsko zporedje (f n ) konvergir n podmnožici S enkomerno proti funkciji f, če z vsk ǫ > obstj tk indeks m, d z vsk n m velj f n (x) f(x) < ǫ z vse x S. V tej definiciji p je indeks m odvisen smo od števil ǫ in nič od točke x. Kdr gre z enkomerno konvergenco je isti m je dober z vsk x S. Drugče rečeno, Če npr. pri nekem ǫ > z vsk n N njdemo tko točko x n S, d velj f n (x n ) f(x n ) ǫ (tj. če obstj zporedje točk (x n ) z lstnostjo, d f n (x n ) f(x n ) ne konvergir proti ), konvergenc ne more biti enkomern. ZGLED 2. Konvergenc zporedj (f n ) iz točke (b) v zgledu ni enkomern. Če je npr. ǫ =, je z vsk n izpolnjen enkost f n (/n) f(/n) = in f n (/n). Prv tko ni enkomern konvergenc iz točke () isteg zgled niti n podmnožici [, ), sj pri x n = / n 2 zporedje f n (x n ) = /2 ne konvergir proti nič, li iz točke (d), sj je tedj f n (/n) = n. Pč p je konvergenc zporedj iz točke (c) zgled enkomern n vsej relni osi. Velj nmreč ocen f n (x) f(x) = sin nx / n / n. Ker z vsk ǫ > obstj tk m > /ǫ 2, d je / n / m < ǫ z n m, velj z tke indekse n tudi sin nx / n < ǫ in to z vsk x R. y f x Slik 2

Opomb.. Geometrijsko pomeni enkomern konvergenc dejstvo, d ležijo v epsilonskem psu {(x,y); x S, f(x) ǫ < y < f(x) + ǫ} okrog grf limitne funkcije f grfi vseh funkcij f n z indeksom n, večjim od nekeg indeks m. 2. Dejstvo, d je f n (x) f(x) < ǫ z vsk x S, pomeni, d je sup x S f n (x) f(x) ǫ, zto lhko enkomerno konvergenco definirmo tudi tko: z vsk ǫ > obstj tk indeks m, d z vsk n m velj sup x S f n (x) f(x) < ǫ. DEFINICJA 3. Funkcijsko zporedje (f n ) je enkomerno Cuchyjevo n množici S, če z vsk ǫ > obstj tk indeks m, d z n,k m in z vsk x S velj f n (x) f k (x) < ǫ. Kot pri definiciji enkomerne konvergence je treb poudriti, d je tu m odvisen le od števil ǫ, ne p od točke x. Tko kot pri običjnih številskih vrsth je mogoče pokzti, d je funkcijsk zporedje (f n ) n množici S enkomerno Cuchyjevo ntnko tkrt, ko je enkomerno knvergentno. TRDITEV. Funkcijsko zporedje (f n ) je enkomerno Cuchyjevo n množici S ntnlko tkrt, ko je n S enkomerno konvergentno. Dokz. Iz enkomerne konvergence tkoj sledi enkomern Cuchyjev lstnost. Če nmreč f n f enkomerno n S, z vsk ǫ > obstj tk m, d z n m velj f n (x) f(x) < ǫ/2 z vsk x S. Potem z vsk n,k m in z vsk x S velj tudi f n (x) f k (x) f n (x) f(x) + f(x) f k (x) < ǫ. Obrtno, če velj f n (x) f k (x) < ǫ z vsk n,k m in z vsk x S, pošljimo v tej neenkosti k, d dobimo f n (x) f(x) ǫ, kjer je f(x) = lim k f k (x) (limit po točkh f k f obstj, ker je številsko zporedje (f k (x)) Cuchyjevo). Ker velj zdnj ocen z vsk x S, če je le n m, je konvergenc enkomern n množici S. Funkcijsko zporedje iz zgled (), ktereg členi so funkcije f n, definirne z f n (x) = x n, konvergir n množici S = [,] proti nezvezni funkciji {, x < f(x) =,, x = čeprv so vsi členi zvezne funkcije (potence). Tu konvergenc funkcijskeg zporedj, kot smo videli, ni enkomern. Pokžimo, d se pri enkomerni konvergenci kj tkeg ne more primeriti. IZREK. Nj bo (f n ) zporedje zveznih funkcij, ki n množici S enkomerno konvergir proti funkciji f. Tedj je tudi limit f zvezn funkcij. Dokz. Izberimo si poljubno točko S in pokžimo, d je limitn funkcij zvezn v točki. Z vsk ǫ > mormo poiskti tk δ >, d bo z x < δ veljlo f(x) f() < ǫ. Njprej ocenimo po trikotniški neenkosti: f(x) f() f(x) f n (x) + f n (x) f n () + f n () f(). Zrdi enkomerne konvergence obstj tk dovolj pozen indeks n, d st tko prvi kot zdnji člen pod ǫ/3, ne glede n to, kje smo izbrli x S. Pri tko izbrnem indeksu n p zrdi zveznosti funkcije f n obstj tk δ >, d iz x < δ sledi tudi f n (x) f n () < ǫ/3. Torej je skupj f(x) f() < ǫ, če je le x < δ, kr je bilo treb videti. Iz teg izrek ponovno vidimo, d funkcijsko zporedje (f n ) iz zgled () ne more biti enkomerno konvergentno. POSLEDICA. Če zporedje zveznih funkcij f n n množici S enkomerno konvergir, velj z vsk S enkost lim x lim n f n(x) = lim n lim x f n(x). 3

4 Dokz. Oznčimo f(x) = lim n f n (x) z vsk x S. Po izreku je zrdi enkomerne konvergence zporedj (f n ) funkcij f zvezn. Torej po definiciji zveznosti funkcij f in f n velj lim x lim n f n (x) = lim x f(x) = f() = lim n f n () = lim n lim x f n (x). Iz enkomerne konvergence funkcijskeg zporedj f n seved sledi njegov konvergenc po točkh. Obrtno p nsploh ne drži, tudi če vemo, d je limitn funkcij zvezn (glej npr. zgled (b)). Je p ob dodtnih predpostvkh možno doseči tudi to. IZREK (Dini). Imejmo zporedje zveznih funkcij (f n ), ki je n kompktni podmnožici K R monotono pdjoče (tj. z vsk x K velj f n (x) f n+ (x), n =,2,3,...) in po točkh konvergir proti zvezni funkciji f. Potem je konvergenc f n f n intervlu [,b] enkomern. Dokz. Če z vsk n oznčimo g n = f n f, je (g n ) pdjoče zporedje, ki n K po točkh konvergir proti. Izberimo poljuben ǫ <. Množic K n = {x K; g n (x) ǫ} je zprt podmnožic v K, sj zrdi zveznosti funkcije g n vsebuje vse svoje limitne točke (iz x k x in g n (x k ) ǫ sledi g n (x) ǫ). Vsk zprt podmnožic kompktne množice K p je tudi sm kompktn. Poleg teg zrdi pdnj funkcijskeg zporedj g n velj tudi K n+ K n. Torej je K n pdjoče zporedje kompktnih množic. Če bi bile vse te množice neprzne, bi bile po neki trditvi iz nlize (glej zdnjo trditev 4. rzdelk v. poglvju) tudi njihov presek K n neprzen. Tod element x iz presek bi bil vsebovn v K n z vsk n, se prvi, d bi z vsk n veljlo g n (x) ǫ, kr p je v nsprotju s predpostvko g n (x). To pomeni, d je en od množic, npr. K m przn. Potem so przne tudi ndljnje množice, tko d z vsk n m velj g n (x) < ǫ z vsk x K. Dobimo enkomerno konvergenco zporedj g n proti ozirom zporedj f n proti f. Oglejmo si še povezvo funkcijskeg zporedj z integrli in odvodi posmeznih členov in morebitne limitne funkcije. Imejmo zporedje integrbilnih funkcij f n n intervlu [,b], ki npr. konvergir po točkh proti funkciji f. Z integrcijo posmeznih členov dobimo zporedje integrlov b f n(x)dx. Ali je potem tudi limitn funkcij integrbiln? Ali tudi zporedje integrlov konvergir in če knvergir li morebiti konvergir proti integrlu limitne funkcije? N t vpršnj odgovorj nslednji izrek. IZREK 2. Če zporedje integrbilnih funkcij f n n intervlu [,b] enkomerno konvergir proti funkciji f, je tudi limitn funkcij f integrbiln n [,b] in zporedje funkcij F n (x) = x c f n(t)dt z vsk c [,b] konvergir proti funkciji F(x) = x c f(t)dt enkomerno n [,b]. Dokz. Zrdi enkomerne konvergence z vsk ǫ > obstj tk indeks m, d z n m in z vsk t [,b] velj f n (t) ǫ < f(t) < f n (t) + ǫ. Potem p je res tudi b (f n (t) ǫ)dt = s(f n ǫ) s(f) S(f) S(f n + ǫ) = b (f n (t) + ǫ)dt, kjer st s(f) in S(f) spodnji ozirom zgornji Drbouxov integrl funkcije f. Torej velj S(f) s(f) 2ǫ(b ). Ker velj to z vsk ǫ >, je s(f) = S(f) in funkcij f je integrbiln n intervlu [,b]. Poleg teg lhko z vsk x [,b] in z vsk n m ocenimo F n (x) F(x) = x c (f n (t) f(t))dx kr pomeni, d F n F enkomerno n [,b]. x c f n (t) f(t) dx ǫ x c ǫ(b ),

POSLEDICA. Če zporedje zveznih funkcij f n n intervlu [,b] enkomerno konvergir proti funkciji f, konvergir zporedje funkcij F n (x) = x c f n(t)dt z vsk c [,b] proti funkciji F(x) = x c f(t)dt enkomerno n [,b]. Dokz. Zdj že vemo, d je tudi limitn funkcij zvezn (izrek ), ostlo sledi iz izrek 2. POSLEDICA 2. Če zporedje zveznih funkcij f n n intervlu [,b] enkomerno konvergir proti funkciji f, velj b f(x)dx = lim n b f n (x)dx. Opomb. Brez enkomerne konvergence izrek ne velj. Vemo, d v primeru iz zgled (d) zporedje funkcij f n konvergir proti ničelni funkciji f(x) =, vendr konvergenc ni enkomern npr. n intervlu [,]. V tem primeru je f n(x)dx = z vsk n, torej tudi lim n f n(x)dx =, medtem ko je f(x)dx =. Še en posledic izrek 2 je izrek o odvjnem funkcijskem zporedju. Enkomern konvergenc zporedj odvedljivih funkcij f n ničesr ne pove o konvergenci zporedj njihovih odvodov f n, kot se lhko poučimo iz zgled (c). Tm je f n(x) = (sin nx)/ n z vsk n in vsk x R, zto je f n (x) = n sin nx. V zgledu 2 smo videli, d je konvergenc f n enkomern n vsej relni osi, vendr p z podzporedje (f 2n+ ) velj f 2n+ ((2n+)π/2), kr ni omejeno (v resnici zporedje (f n ) v nobeni točki x kπ ne konvergir). Zto so z konvergenco odvodov potrebne močnejše predpostvke. IZREK 3. Nj bo (f n ) zporedje zvezno odvedljivih funkcij, ki konvergir vsj v eni točki c [,b]. Če poleg teg zporedje odvodov f n konvergir enkomerno n [,b], konvergir tudi zporedje (f n ) n [,b] enkomerno proti neki odvedljivi funkciji f, pri čemer velj f (x) = lim n f n (x) z vsk x [,b]. Dokz. Po osnovni formuli integrlskeg rčun je zrdi zveznosti odvodov f n z vsk n in z vsk x [,b] izpolnjen enkost f n (x) = f n (c) + x c f n(t)dt. Zrdi enkomerne konvergence odvodov f n proti neki zvezni funkciji g, konvergirjo po izreku 2 funkcije F n (x) = x c f n(t)dt enkomerno n [,b] proti funkciji F(x) = x c g(t)dt. Nj bo d = lim n f n (c). Z vsk ǫ > obstj torej tk indeks m, d z n m velj f n (c) d < ǫ/2 in z vsk x [,b] tudi F n (x) F(x) < ǫ/2. Zrdi ocene f n (x) d F(x)) = f n (c) d + F n (x) F(x) f n (c) d + F n (x) F(x) < ǫ konvergir potem tudi prvotno zporedje (f n ) enkomerno n [,b] proti funkciji f(x) = d + x c g(t)dt. Odtod vidimo, d je tudi funkcij f odvedljiv in d velj f (x) = g(x) = lim n f n(x). Opomb. Podoben izrek (z enkim sklepom) velj tudi z zporedje funkcij f n, ki so n intervlu [, b] zgolj odvedljive (ne p nujno zvezno odvedljive). Dokz izrek s temi šibkejšimi predpostvki p je nekoliko bolj zpleten (glej npr. [?], str. 52). TRDITEV 2. Nj bo f(x, t) zvezn funkcij dveh spremenljivk n prvokotniku [, b] [c,d] in F(x) = d c f(x,t)dt z vsk x [c,d]. Potem je F zvezn funkcij n [,b]. Dokz. Ker je f zvezn funkcij n kompktni množici [c,d] [,b] je tm enkomerno zvezn (glej zdnji izrek v II. poglvju Anlize ). Torej z vsk ǫ > obstj tk δ >, 5

6 d iz x,y [c,d], t [,b] in x y < δ sledi f(x,t) f(y,t) < ǫ/(b ). Torej je F(x) F(y) = b (f(x,t) f(y,t))dt b f(x,t) f(y,t) dt ǫ. TRDITEV 3. Nj bost f in f x zvezni funkciji n [,b] [c,d] in F(x) = d c f(x,t)dt z vsk x [c,d]. Potem je funkcij F odvedljiv in z vsk x [c,d] velj F (x) = b x f(x,t)dt. Dokz. Fiksirjmo x [c,d] in h. Diferenčni kvocient z funkcij F v točki x je enk F(x + h) F(x) b f(x + h,t) f(x,t) = dt. h h Ker je f prcilno odvedljiv funkcij (glede n prvo spremenljivko), po Lgrngevem izreku glede n to spremenljivko obstj tk točk x = x(t) z lstnostjo x(t) x < h, d velj f(x + h,t) f(x,t) = h x f(x(t),t). Ker je tu lev strn zvezn funkcij spremenljivke t, velj isto z desno strn. Poleg teg je f x zvezn funkcij n kompktni množici [c,d] [,b], zto je tm enkomerno zvezn. To pomeni, d z z vsk ǫ > obstj tk δ >, d iz x,y [c,d], t [,b] in x y < δ sledi x f(x,t) xf(y,t) < ǫ/(b ). Torej je pri pogoju h > δ res x(t) x < δ in velj F(x + h) F(x) h b x f(x,t)dt = b b f(x + h,t) f(x,t) ( h x f(x,t))dt x f(x(t),t) f(x,t) dt ǫ. x Ker je tu ǫ > poljuben, vidimo, d je funkcij F odvedljiv in d velj F F(x + h) F(x) (x) = lim = h h Enkomern konvergenc funkcijskih vrst b x f(x,t)dt. Vse, kr smo doslej povedli o konvergenci funkcijskeg zporedj n dni množici S, velj tudi z konvergenco funkcijske vrste, se prvi vrste k= f k, kjer so f k funkcije, definirne n množici S, sj v tem primeru delne vsote s n = n k= f k tvorijo funkcijsko zporedje. Zporedje delnih vsot p odloč o konvergenci vrste. DEFINICIJA 3. Funkcijsk vrst k= f k konvergir n množici S proti funkciji f: (i) po točkh, če n S po točkh konvergir proti f zporedje delnih vsot s n ; (ii) enkomerno, če n S enkomerno konvergir proti f zporedje delnih vsot s n. Točk (i) pomeni, d konvergir številsk vrst k= f k(x) = f (x)+f 2 (x)+... z vsk x S in im vsoto f(x). Točk (ii) p poleg teg še, d je konvergenc vrste enkomern. IZREK 4 (Weierstrssov M-test). Nj z člene funkcijske vrste k= f k = f + f 2 +... velj z vsk x S in z vsk k ocen f k (x) k. Če številsk vrst k= k = + 2 +... konvergir, konvergir funkcijsk vrst enkomerno n množici S. Dokz. Z vsk pr indeksov n,k immo oceno n+k j=n f j(x) n+k j=n f j(x) n+k j=n j. Ker številsk vrst j= j konvergir, zdošč Cuchyjevemu pogoju, zto z vsk ǫ > obstj tk indeks m, d je z n m in z vsk k desn strn zdnje neenkosti mnjš od ǫ. Torej immo pri pogoju n m z vsk k in z vsk x S tudi

oceno n+k j=n f j(x) < ǫ. Ker je tu m neodvisen od x, je funkcijsk vrst enkomerno Cuchyjev, torej po trditvi enkomerno konvergentn. ZGLED. Vrst s členi f n (x) = (sin nx)/n 2 je enkomerno konvergentn n vsej relni osi R, sj immo z vsk n in vsk x R oceno f n (x) = (sin nx)/n 2 /n 2 in vemo, d številsk vrst (/n2 ) konvergir. Nslednji izreki v zvezi z zveznostjo, integrbilnostjo in odvedljivostjo vsote dne funkcijske vrste so smo posebni primeri ustreznih izrekov, 2 in 3 z funkcijsk zporedj, zto jih nvedimo brez dokzov. IZREK. Vsot f enkomerno konvergentne vrste k= f k = f + f 2 +... zveznih funkcij n podmnožici S R je zvezn funkcij n množici S. IZREK 2. Vsot f enkomerno konvergentne vrste k= f k = f +f 2 +... n intervlu [,b] integrbilnih funkcij je integrbiln funkcij n [,b]. Tudi vrst iz integrlov funkcij f n konvergir, njen vsot je enk integrlu funkcije f: b b b b f(x)dx = f k (x)dx = f (x)dx + f 2 (x)dx +... k= IZREK 3. Vsot f vrste k= f k = f +f 2 +... zvezno odvedljivih funkcij, ki konvergir po točkh n intervlu [,b], vrst iz odvodov k= f k = f +f 2 +... p konvergir n [,b] enkomerno, je tudi sm odvedljiv funkcij, njen odvod f p je vsot odvjne vrste: f (x) = f k = f + f 2 +... Potenčne vrste k= Poseben primer funkcijskih vrst so vrste, kterih členi so sestvljeni iz potenc, pomnoženih s konstntmi. To so t.i. potenčne vrste, ki jih bomo zdj definirli. DEFINICIJA 4. Imejmo zporedje (c k ) relnih števil in še eno točko R. Potem je (splošn) potenčn vrst funkcijsk vrst oblike c k (x ) k = c + c (x ) + c 2 (x ) 2 +... k= Rečemo, d je potenčn vrst rzvit okrog točke. Z vpeljvo nove spremenljivke t = x lhko vedno dosežemo rzvoj okrog točke nič ( = ). V tem primeru im potenčn vrst obliko c k x k = c + c x + c 2 x 2 +... k= Odslej bomo delli smo s tkimi potenčnimi vrstmi. Potenčn vrst k= c kx k = c + c x + c 2 x 2 +... vedno konvergir vsj v točki x =. Lhko p se zgodi, d ne konvergir z noben x. Zgled je npr. vrst k= k!xk. kjer z x členi sploh ne konvergirjo k nič. Po drugi strni je vrst lhko konvergentn prv z vsk x R. Tk je primer pri vrsti k= xk /k!, ki bsolutno konvergir n vsej relni osi, kot se lhko hitro prepričmo npr. s kvocientnim kriterijem. Kko je s konvergenco v drugih primerih, pove nslednj trditev. TRDITEV 4. Če potenčn vrst k= c kx k = c + c x + c 2 x 2 +... konvergir v točki x, konvergir bsolutno z vse x z lstnostjo x < x. 7

8 Dokz. Ker je vrst k= c kx k konvergentn, konvergirjo njeni členi c kx k proti nič in so zto omejeni z neko konstnto M >, torej c k x k M z vsk k. Člene prvotne vrste k= c kx k lhko potem ocenimo po bsolutni vrednosti z c k x k = c k x k x/x k Mq k, kjer je q = x/x <. Ker je vrst k= Mqk geometrijsk in zrdi q < konvergentn, konvergir po primerjlnem kriteriju bsolutno tudi prvotn vrst. POSLEDICA. Če potenčn vrst k= c kx k = c + c x + c 2 x 2 +... divergir v točki x, divergir tudi z vsk x z lstnostjo x > x. Dokz. Iz konvergence vrste pri x, bi sledil njen bsolutn in zto tudi običjn konveregenc pri x. DEFINICIJA 5. Nj bo k= c kx k potenčn vrst, ki konvergir vsj v eni točki x, ne p povsod n R. Pozitivno število R = sup{r > ; k= c kr k konvergir} imenujemo konvergenčni polmer potenčne vrste. To je torej tko število, d potenčn vrst konvergir z vsk x z lstnostjo x < R in divergir z vsk x z lstnostjo x > R. Pri x = R lhko vrst v točki x konvergir li divergir. ZGLED. Potenčn vrst k= xk /k konvergir (bsolutno) z x < in divergir z x > (kvocientni kriterij). Torej je konvergenčni polmer enk R =. Tod vemo, d je z x = vrst hrmoničn, torej divergentn, z x = p konvergentn lternirjoč vrst (Leibnizov kriterij). Opomb. Pri vrsti, ki konvergir smo v točki, rečemo, d je konvergenčni polmer enk nič, pri vrsti, ki konvergir povsod, p je konvergenčni polmer neskončen. Tko immo pokrite vse primere in z konvergenčni polmer R poljubne potenčne vrste velj R. TRDITEV 5. Nj bo z potenčno vrsto k= c kx k konvergenčni polmer R > in nj velj < r < R. Potem potenčn vrst konvergir n intervlu [ r,r] enkomerno. Dokz. To sledi iz Weierstressoveg test z enkomerno konvergenco, sj lhko člene vrste z x [ r,r] po bsolutni vrednosti ocenimo z c k x k c k r k. Ker številsk vrst k= c k r k konvergir, sj je < r < R, konvergir potenčn vrst k= c kx k po izreku 4 enkomerno n intervlu [ r,r]. TRDITEV 6. Z konvergenčni polmer R potenčne vrste k= c kx k velj lim sup k k ck = R. Dokz. Če je R =, potenčn vrst ne konvergir bsolutno v nobeni točki x = /n, n =, 2,... Torej je po Cuchyjevem korenskem kriteriju (posledic izrek 6. v prvem rzdelku) lim sup k k c k (/n) k z vsk n. Odtod dobimo lim sup k k c k n z vsk n. Če je R =, dobimo iz konvergence vrste v vski točki x = n n isti nčin pogoj lim sup k k c k /n z vsk n, torej lim sup k k c k =. Nj bo zdj < R < in ǫ >. Potem konvergir potenčn vrst v točki x = R ǫ in divergir z x = R + ǫ. Torej velj po Cuchyjevem korenskem kriteriju ocen lim sup k k c k (R ǫ) k lim sup k k c k (R + ǫ) k.

9 Odtod dobimo (R ǫ)lim sup k k ck (R + ǫ)lim sup k k ck. Ker je tu ǫ > poljuben, velj R lim sup k k c k =, kr je bilo treb pokzti. POSLEDICA. Nj bo R [, ] konvergenčni polmer potenčne vrste k= c kx k. Če c k+ obstj limit, je lim = k c k R. Dokz. Denimo, d omenjen limit obstj. Potem po trditvi 2 iz rzdelk teg poglvj obstj tudi limit lim k k c k in velj lim k c k+ c k = lim k k c k = /R. ZGLEDI. () Z potenčno vrsto k= x k 2 k k 2 je c k = 2 k /k 2 in zto je kvocient c k+ / c k = 2 k k 2 /2 k (k + ) 2 = k 2 /2(k + ) 2 /2. Torej je konvergenčni polmer enk R = 2. Poglejmo, kko je s konvergenco vrste n robu konvergenčneg intervl. Z x = ±2 immo vrsti k= /k2 in k= ( )k /k 2, ki obe konvergirt. x k (b) Z podobno vrsto 2 k k s koeficienti c k = 2 k /k dobimo kvocient c k+ / c k = k= 2 k k/2 k (k + ) = k/2(k + ) /2, se prvi spet R = 2. Zdj je z x = 2 vrst k= /k hrmoničn, torej divergentn. Z x = 2 p je vrst k= ( )k /k lternirjoč in konvergentn. x 2k (c) Z potenčno vrsto 2 k k je c 2k+ = in c 2k = 2 k c /k z k. Limiti lim k+ k c k k= in lim k k c k ne obstjt, pč p obstj lim sup k k c k = lim k (/2 k k) /2k = / 2. Torej je konvergenčni polmer enk 2. Z x = ± 2 dobimo divergentno hrmonično vrsto k= /k. Vsot potenčne vrste k= c kx k obstj in je zvezn funkcij n intervlu ( R,R). Recimo, d vrst konvergir tudi n robu, v točki x = R (li x = R). Ali je potem vsot zvezn funkcij tudi še v tej točki? Če je konvergenc tm bsolutn, velj c kx k c k R k z vsk x [ R,R], zto je po izreku 4 n tem intervlu konvergenc enkomern. Torej je vsot zvezn funkcij tudi v točki x = R (li x = R). Če je konvergenc v točki x = R (li x = R) zgolj pogojn, je to še vedno res, kot pove nslednji izrek. IZREK 5 (Abel). Nj bo R [, ] konvergenčni polmer potenčne vrste k= c kx k, ktere vsot je zvezn funkcij f n intervlu ( R,R). Če vrst konvergir v točki x = R (li x = R) in im tm vsoto s, velj s = lim x R f(x) (li s = lim x R f(x)). Dokz. Dokžimo smo primer, ko vrst konvergir v točki x = R (z primer x = R si nmesto prvotne vrste ogledmo potenčno vrsto s koeficienti ( ) k c k, ki im isti konvergenčni polmer in konvergir v točki x = R). Poleg teg smemo brez škode vzeti R =, sicer rje gledmo potenčno vrsto k= c kt k, kjer je t = Rx. Denimo torej, d potenčn vrst k= c kx k konvergir z x = in d im tm vsoto s, torej immo k= c k = s. Z vsk k definirjmo s k = c + c +... + c k in c =. Potem je z vsk n res n n n n c k x k = (s k s k )x k = s k x k s k x k = k= k= k= k=

2 n k= n n s k x k s k x k+ = s n x n + ( x) s k x k. k= Z < x < pošljimo n p dobimo f(x) = ( x) s k x k. Z vsk ǫ > obstj tk m, d z k > m velj s s k < ǫ/2. Poleg teg je s = ( x) k= sxk z < x <, zto immo z < x < oceno m f(x) s = ( x) (s k s)x k ( x) s k s x k + ( x) s k s x k k= k= k= k= k= k= k=m+ m m ( x) s k s x k + (ǫ/2)( x) x k ( x) s k s + ǫ/2. Število δ > lhko izberemo tko mjhno, d iz x < δ sledi ( x) m k= s k s < ǫ/2. V tem primeru velj f(x) s < ǫ, kr pomeni, d je s = lim x R f(x). Kot posledico teg izrek dokžimo še en rezultt v zvezi s produktom številskih konvergentnih vrst, ki smo g obrvnvli v rzdelku (glej izrek 2, kjer je en od vrst konvergirl bsolutno). k= IZREK 6. Imejmo konvergentne številske vrste k k, k b k in k c k, pri čemer je c k = b k +... + k b z vsk k. Če so njihove vsote A, B in C, velj C = AB. Dokz. Z x definirjmo funkcije f(x) = k= kx k, g(x) = k= b kx k in h(x) = k= c kx k. Hitro vidimo, d je vrst z h(x) rvno Cuchyjev produkt vrst z f(x) in g(x). Ker z x < ti dve vrsti po trditvi 4 konvergirt bsolutno, konvergir po izreku 2 iz prveg rzdelk tudi vrst z h(x) in z njihove vsote dobimo zvezo f(x)g(x) = h(x), x <. Ker vse tri vrste v točki x = še konvergirjo, velj pri pogoju x po Abelovem izreku f(x) A, g(x) B in h(x) C. Zrdi zveze f(x)g(x) = h(x) velj tudi AB = C. Potenčne vrste se lepo obnšjo tudi v zvezi z odvjnjem in integrcijo vrst. Če potenčno vrsto k= c kx k členom odvjmo, dobimo vrsto k= kc kx k ; če p jo členom integrirmo, dobimo vrsto k= c kx k+ /(k + ). Kko je s konvergenčnim polmerom dobljenih vrst? IZREK 7. Členom odvjn in členom integrirn potenčn vrst imt isti konvergenčni polmer kot prvotn vrst. Če je t polmer R in je f(x) = k= c kx k, velj z vsk x ( R,R) tudi x f (x) = kc k x k in f(t)dt = c k x k+ /(k + ). k= Dokz. Po trditvi 6 je reciproičn vrednost konvergenčneg polmer z odvjno vrsto enk k k lim sup kck = lim k lim sup k ck = k k k R, z integrirno vrsto p lim sup k k ck /(k + ) = lim k k= k k + lim sup k k ck = R.

2 Ker odvjn vrst konvergir enkomerno n vskem kompktnem podintervlu [, b] ( R,R) in prvotn potenčn vrst konvergir n ( R,R), lhko uporbimo izrek 3, po kterem je f (x) vsot členom odvjne vrste z vsk x ( R,R). Podobno po izreku 2 konvergir, celo enkomerno n vskem kompktnem podintervlu [, b] ( R, R), tudi členom integrirn vrst in im vsoto x f(t)dt z vsk x ( R,R). Z odvjnjem li integrirnjem po členih lhko pogosto določimo vsoto dne vrste, skupj z Abelovim izrekom tudi n robu konvergenčneg območj, kjer sicer vrste ne smemo odvjti li integrirti. ZGLED. () Izrčunjmo npr. vsoto f(x) = k= xk /k. Vemo, d im potenčn vrst konvergenčni polmer, zto vrst konvergir z vsk x (, ). Vrsto n tem območju odvjjmo in dobimo geometrijsko vrsto f (x) = k= xk = /( x). Ker poznmo odvod funkcije f, poznmo tudi f(x) = f() + x f (t)dt = x t dt = ln( t) x = ln( x). Če odvjn vrst konvergir smo znotrj konvergenčneg intervl, p vidimo, d prvotn vrst konvergir tudi še v robni točki x =, sj je v tem primeru lternirjoč in im bsolutno proti nič pdjoče koeficiente (Leibnizov kriterij). Po Abelovem izreku (izreku 5) je potem v tej točki njen vsot enk s = lim x f(x) = lim x ln( x) = ln 2. Tko smo še enkrt izrčunli vsoto lternirjoče hrmonične vrste. (b) Podobno obrvnvjmo potenčno vrsto f(x) = k= k2 x k, ki im tudi konvergenčni polmer. Pišimo f(x)/x = k= k2 x k. Z integrirnjem od do x je x f(t) F(x) = dt = kx k. t Postopek ponovimo: x F(t) dt = t k= x k = /( x). Odtod z dvkrtnim zporednim z odvjnjem dobimo F(x) = x/( x) 2 in k= f(x) = x(x/( x) 2 ) = (x + x 2 )/( x) 3. Opomb. Nobeneg rzlog ni, d ne bi v potenčno vrsto nmesto relne spremenljivke x vstvili kompleksno spremenljivko z (v splošni potenčni vrsti, bi tudi z vzeli kompleksno števil). Vse kr smo povedli o (bsolutni in enkomerni) konvergenci potenčnih vrst, velj tudi v kompleksnem. Konvergenčno območje je zdj točk, krog {z C; z < R} li cel kompleksn revnin. Konvergenčni polmer je res polmer; izrčun se g n isti nčin. Seved n svojem območju konvergence tke vrste definirjo funkcijo s kompleksnimi vrednostmi. 3. Tylorjev vrst Še enkrt si bomo (z uporbo metode integrcije po delih) izpeljli Tylorjevo formulo, ki jo poznmo iz nlize. Če je funkcij f poljubnokrt odvedljiv v točki R je po osnovni formuli integrlskeg rčun f(x) f() = x f (t)dt.