ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α) 7 5 4 () = + 5 + +. θ εφθ β) g( θ ) = ηµθ e + θ με Dg 8 π =,. γ) h() = ln + ln + συν. Λύση α) D =. Για κάθε έχουμε: 7 5 4 () = + 5 + + = 7 5 4 6 4 = ( ) + ( 5 ) ( ) + + = 7 + 5 +. β) Για κάθε Dg έχουμε: θ εφθ g e θ εφθ θ = ( e ) ( ) ηµθ + θ = ηµθ + θ = 8 8 θ π = συνθ e +, θ, θ 8συν θ.
γ) D (, ) h = +. Για κάθε > έχουμε: h () = ln + ln + συν ( ln ) ( ln ) = + + ( συν) = = + ηµ ln = ηµ ( ln ln ). Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης της μορφής = c + c( ) +... + cκκ, όπου,,..., κ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο D, εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου σταθερού αριθμού επί συνάρτηση και με την βοήθεια των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε την.
Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α) () = e. β) g() = ln συν. Λύση α) D =. Για κάθε έχουμε: () = e = e + e = e + e = e +. =, όπου,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο D h, εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης γινομένου ( g) = g + g και με την βοήθεια των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε την h. Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης h της μορφής h g β) D (, ) g = +. Για κάθε > έχουμε: g () = ln συν = ln συν + ln συν + ln συν = = ln συν + συν + ln ( ηµ ) = ln συν + συν ln ηµ. = g h(), όπου,g,h παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο D t, εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης γινομένου τριών συναρτήσεων( ()g()h() ) = ()g()h() + ()g ()h() + ()g()h () και με την βοήθεια των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε την t. Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης t της μορφής t
Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: 5 α) () = +. β) ln g() =. σφ Λύση α) D =. Για κάθε { } έχουμε: ( ) ( ) 5 + + () = 5 5 = = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) = 5 = = 4. π β) Dg = A = / > και κ, κ σφ ln ηµ σφ + ln + ln ηµ ηµ g () = = = = = σφ σφ σφ ( ln ) σφ ln ( σφ ) ( σφ) ηµ συν + ln ηµ συν + ln = =, Α. ηµ σφ συν Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης h της μορφής h =, όπου,g g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο D h, εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου g g = και με την βοήθεια των παραγώγων βασικών συναρτήσεων g g βρίσκουμε την h. 4
Παράδειγμα 4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν: i. () 5 =, =. ii. () =, = 4. π iii. () = ηµ, =. π iv. () = ln, =. v. () = e, ln 9 =. Λύση i. Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D =. Η είναι παραγωγίσιμη με 4 =,. () 5 Άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο =, με ii. Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D [, ) = +. Η είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο (, + ) με Άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο = 4, με iii. Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D =. Η είναι παραγωγίσιμη με () = συν,. 4 () = 5 = 5. () =, >. (4) = =. 4 4 Άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο iv. Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D (, ) = +. π =, με π π = συν =. 5
Η είναι παραγωγίσιμη με =, >. Άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο v. Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D =. π =, με π = =. π π Η είναι παραγωγίσιμη με = e,. ln 9 Άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο =, με ln 9 ln 9 ln 9 ln = e = e = e = Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη και D. Αφού η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, θα ορίζεται ο παράγωγος αριθμός της για κάθε D, δηλαδή ο αριθμός. Ο υπολογισμός του αριθμού με τον ορισμό της παραγωγισιμότητας συνάρτησης σε σημείο, πολλές φορές είναι αρκετά δύσκολος, γι αυτό υπολογίζουμε την παράγωγο () με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης και των παραγώγων των βασικών συναρτήσεων και θέτουμε στο τύπο του () όπου χ το. 6
Παράδειγμα 5. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i. () = + ln ii. () = ln ηµ iii. iv. 4 () = e εϕ () = + ηµ v. () = σϕ vi. () = e συν ln Λύση i. Το πεδίο ορισμού της είναι * D =. Η είναι παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έτσι έχουμε: 6 + * = ( ) + ( ln ) = ( ) + = 6 + =,. ii. Το πεδίο ορισμού της είναι D (, ) = +. Η είναι παραγωγίσιμη σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έτσι έχουμε: = ( ln ) ηµ + ln ( ηµ ) = ηµ + ln συν, >. iii. Το πεδίο ορισμού της είναι D =. Η είναι παραγωγίσιμη σαν πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έτσι έχουμε: 7
4 e 4 e 4 e ( 4 )e = = = (e ) e 4 4 e (4 + ) e ( + 4 + ) = = = e e 4 + 4 + =, e π iv. Το πεδίο ορισμού της είναι D = κπ +, κ. Η είναι παραγωγίσιμη σαν πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έτσι έχουμε: ( εϕ ) ( + ηµ ) εϕ ( + ηµ ) = = ( + ηµ ) ( + ηµ ) εϕ συν = συν = ( + ηµ ) + ηµ εϕσυν = = + ηµ συν + ηµ ηµ συν π =, D = κπ +, κ. ( + ηµ ) συν v. Το πεδίο ορισμού της είναι D = { κπ, κ }. Η είναι παραγωγίσιμη σαν γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων. Έτσι έχουμε: = σϕ + ( σϕ ) = σϕ ηµ συν ηµ συν = =, D ηµ ηµ ηµ {, } = κπ κ. 8
vi. Το πεδίο ορισμού της είναι D (, ) = +. Η είναι παραγωγίσιμη σαν γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων. Έτσι έχουμε: () = e συν ln + e συν ln + e συν ln = = e συν ln + e ηµ ln + e συν = = e συν ln ηµ ln + συν, >. Όταν θέλουμε να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη τότε ενεργούμε ως εξής:. Bρίσκουμε το πεδίο ορισμού της h.. Αν h = + g ή h = g ή h = ή h =λ, λ και,g παραγωγίσιμες τότε η h g είναι παραγωγίσιμη.. Ο τύπος της παραγώγου της h θα είναι αντίστοιχα: = + h h g, D = + h h g g(), D ( g() ) g ()g h =, D =λ h h, D h 9
Παράδειγμα 6. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων. i. () = ii. () = + iii. () = + Λύση i. ος Τρόπος: Το πεδίο ορισμού της είναι D = [, + ). Η είναι παραγωγίσιμη στο γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με, +, σαν () = + = + = 7 = + =, > () Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: () () = = οπότε + + () () lim = lim = Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με () =. () Επομένως η είναι παραγωγίσιμη και από τις σχέσεις () και () έχουμε: 7 =. (),
ος Τρόπος: Η Αν 7 () =, >, = 7 5 7 7 7 7 > () = = = =. Αν = όπως παραπάνω με τον ορισμό ii. Το πεδίο ορισμού της είναι D = [, + ). Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), σαν πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ()( + ) ( + + ) () = = = ( + ) ( + ) + + + = =, > ( + ) ( + ) ( + ) () Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: () () = + = = + + oπότε () () lim = lim = + + + Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με () = () Επομένως η είναι παραγωγίσιμη. Με βάση τις σχέσεις () και () η παράγωγος της ορίζεται ως εξής: + () =, ( + ) iii. Το πεδίο ορισμού της είναι D = [, + ). Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
() = + = + = 4 + =, > () Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: + = = + () () οπότε () () lim = lim + = + + + Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Έτσι η παράγωγος της ορίζεται ως εξής: 4 + () =, >. Έστω μια συνάρτηση h έτσι ώστε: h = + g ή h = g ή h = g Αν D h είναι το πεδίο ορισμού της h και Α είναι το σύνολο των σημείων του D h στα οποία οι,g είναι παραγωγίσιμες, τότε η h θα είναι παραγωγίσιμη στο Α. Αν Α είναι το σύνολο των σημείων του D h ώστε μια τουλάχιστον από τις,g να μην είναι παραγωγίσιμη, τότε δεν μπορούμε εκ των προτέρων να γνωρίζουμε αν η h είναι παραγωγίσιμη σ αυτά τα σημεία. Για να εξετάσουμε αν η h είναι παραγωγίσιμη σ αυτά τα σημεία, εφαρμόζουμε τον ορισμό της παραγωγισιμότητας μιας συνάρτησης σε σημείο.
Παράδειγμα 7. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων i., () =, > συν +, < ii. () = +, Λύση i. Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) σαν πολυωνυμική συνάρτηση, με () = Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με () =. Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για < έχουμε: () () οπότε = = = () () lim = lim ( ) = Για > έχουμε: () () = = οπότε () () lim = lim = + + + Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Έτσι η παραγωγός της ορίζεται ως εξής:
, < () =, > ii. Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με () = ηµ. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν πολυωνυμική συνάρτηση, με () =. Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για < έχουμε: () () συν + συν = = οπότε () () συν lim = lim = Για > έχουμε: () () + = = = οπότε () () lim = lim = + + Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με () =. Έτσι η παράγωγος της ορίζεται ως εξής: ηµ, < () =, 4
Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης της οποίας ο τύπος δίνεται με κλάδους, κάνουμε τα εξής:. Αξιοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης και τις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε την παράγωγο της σε κάθε κλάδο χωριστά, με εξαίρεση τα κλειστά άκρα του πεδίου ορισμού και τα σημεία αλλαγής του τύπου της, στα οποία η παραγωγισιμότητα της συνάρτησης εξετάζεται με τον ορισμό.. Ειδικά για το σημείο ο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης εξετάζουμε καταρχάς αν είναι συνεχής στο ο. i. Αν η δεν είναι συνεχής στο ο, τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο ii. Αν η είναι συνεχής στο ο, τότε: () ( ο) Για > ο υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια ο εξετάζουμε αν το δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το () ( ο) lim υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. + ο ο Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο ο. ο. Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: () ( ο) Για < ο υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια ο εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το () ( ο) lim υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. ο ο Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα. 5
Παράδειγμα 8. Έστω οι συναρτήσεις και g με τύπους () =,, < + g() = <,, i. Να εξετάσετε αν () = g () για κάθε. ii. Να εξετάσετε αν () = g() για κάθε. Λύση i. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με = για κάθε () Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: >. () () = = οπότε () () lim = lim = Για < έχουμε: () () = = οπότε () () lim = lim = Άρα η παραγωγίσιμη στο με () =. Έτσι η είναι παραγωγίσιμη στο [, + ) με Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με = για κάθε () = για κάθε g () Εξετάζουμε αν η g είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: >.. 6
g() g() + = = = οπότε g() g() lim = lim = Για < έχουμε: g() g() = = = οπότε g() g() lim = lim ( ) = Άρα η g παραγωγίσιμη στο με g () =. Έτσι η g είναι παραγωγίσιμη στο [, + ) με Επομένως ισχύει () = g () για κάθε. ii. Για κάθε είναι () = + = g(). Άρα () g() για κάθε [,+ ). = για κάθε g (). Σχόλιο: Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα, ώστε δεν έπεται ότι () = g () για κάθε () = g() για κάθε 7
Παράδειγμα 9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i. h() = συν( ln ) ii. iii. iv. h() = e h() = ηµ ( ) h() = ηµ ( συν(e )) Λύση i. Το πεδίο ορισμού της h είναι D (, ) Θέτουμε, Είναι h = og. h = +. g() = ln, > () = συν, Η g είναι παραγωγίσιμη με g () =, >. Η είναι παραγωγίσιμη με () = ηµ,. Έτσι θα είναι και η h παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με, ( ln ) ηµ h () = ( g() ) g () = [ ( ln ) ] =, > ii. Το πεδίο ορισμού της h είναι D h =. Θέτουμε, g() =, () = e, Είναι h = og. 8
Η g είναι παραγωγίσιμη σαν πολυωνυμική συνάρτηση με g () =, Η είναι παραγωγίσιμη με = e, () Έτσι θα είναι η h παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με, h () = g() g () = ( ) ( ) = e iii. Το πεδίο ορισμού της h είναι D h =. Θέτουμε, g() = ηµ ( ), () =, Είναι h = og Θέτουμε, Είναι g =λoκ Η κ είναι παραγωγίσιμη με κ () =, λ () = ηµ, κ () =, Η λ είναι παραγωγίσιμη με λ () = συν, Η g είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με = λ κ κ = λ = συν = συν g () ( ()) (), 9
Επίσης έχουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη με () =,. Άρα η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με iv. Το πεδίο ορισμού της h είναι D h =. Θέτουμε, () = ηµ, ( ) ( ) h () = g() g () = ηµ συν = ηµ συν = = 4ηµ συν = = ηµ, g() = συν(e ), Είναι h = og. Θέτουμε, κ () = e, λ () = συν, Είναι g =λoκ Η κ είναι παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με, κ () = e, Η λ είναι παραγωγίσιμη με λ () = ηµ, Η g είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () =λ κ() κ ()
( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) = λ = ηµ = ηµ = = e ηµ e, Επίσης έχουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη με () = συν, Η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h () = g() g () ( ( )) ( ) ( ) = συν e e ηµ e = ( ( e )) ( e ) ( e ) = συν συν ηµ = ( ) ( ) ( ) = e ηµ e συν e συν, Έστω οι συναρτήσεις h,,g ώστε h = og Αν,g είναι παραγωγίσιμες τότε η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με, h () = g() g (), για κάθε Dh
Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i. h() = ηµ (ln ) ii. h() = ln( + ) iii. e h() = iv. h() = συν ( + ) Λύση i. Η h έχει πεδίο ορισμού το σύνολο h D =, + H h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Για την εύρεση του τύπου της παραγώγου της h θα εφαρμόσουμε τον κανόνα της αλυσίδας. Έστω y = h(), u = ln τότε y= ηµ u Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε: Είναι: Επομένως έχουμε: dy dy du = d du d dy = h (), dy = συν u = συν ( ln ), du = d du d h () = συν ( ln ) = συν ( ln ), > ii. Η h έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D h = Η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Έστω y = h(), u = + τότε y = ln u. Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε: Είναι: Επομένως έχουμε: dy dy du = d du d dy dy du = h (), = =, = + d du u d iii. Η h έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D h =. h () = =, + + Η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έστω y = h(), u = τότε u e y= Έστω w u = e τότε w y=. Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε: dy dy du = d du d dy dy dw = du dw du dy dy dw du = d dw du d Είναι u dy dy w e e dw u du = h (), = ln = ln = ln, = e = e, = d dw du d Επομένως έχουμε: e e + h () = ln e = e ln, iv. H h έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D h =
Η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έστω y = h(), u = + τότε Έστω w = συν u τότε y = w. y= συν u Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε: dy dy du = d du d dy dy dw = du dw du Είναι dy dy dw du = d dw du d dy dy dw du = h (), = w = συν u = συν ( + ), = ηµ u = ηµ ( + ), =. d dw du d Επομένως έχουμε: [ ] = συν + ηµ + = ηµ + συν + h () 6, Είναι γνωστό ότι: αν g παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο g( ) τότε η συνάρτηση h = og είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: h () = ( g() ) g (), για κάθε (). Αν θέσουμε y = h() και u = g() τότε έχουμε: ( ) y = h() = (og)() = g = u dy dy du Είναι: = h (), = (u) = ( g() ), = g (). Έτσι αν αντικαταστήσουμε στη σχέση () d du d θα έχουμε: dy dy du = d du d Ο τύπος αυτός λέγεται κανόνας της αλυσίδας και με βάση το τύπο αυτό βρίσκουμε την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης. 4
Παράδειγμα. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων i. ii. + > () = + () =, 4, 4,, <.. Λύση i. Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) σαν πολυωνυμική με () = 4 +. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν πολυωνυμική με () =. Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: () () + ( ) ( = = ) = οπότε () () lim = lim ( ) = + + Για < έχουμε: ( ) 4 () () + = = = οπότε () () lim = lim ( ) = άρα η παραγωγίσιμη στο με () =. Έτσι η παράγωγος της είναι:, () = 4 +, < 5
Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) σαν πολυωνυμική με () = + 6. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) σαν πολυωνυμική με () =. Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: () () + ( ) = = = = οπότε () () lim = lim = + + Για < έχουμε: () () 4 + + 4 + 4 + = = = 4 ( ) ( ) 4 ( ) (+ )( ) = = = ( ) 4 = = οπότε 4 () () lim = lim ( 4 ) = 6 Άρα η δεν είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο. Επομένως η δεύτερη παράγωγος της έχει τύπο:, > () = + 6, < 6
ii. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική, με =. = 4. () Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πολυωνυμική, με () Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: 4 () () = = οπότε () () lim = lim = Για < έχουμε: () () = = οπότε () () lim = lim = Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως η παράγωγος της είναι: () = 4,, < Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική, με () = 6. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πολυωνυμική, με () =. Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. Για > έχουμε: () () 4 = = 4 οπότε () () = = lim lim 4 Για < έχουμε: 7
() () = = οπότε () () lim = lim = Άρα η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με () =. Επομένως η δεύτερη παράγωγος της είναι: () = 6, <, Για να ορίσουμε τις συναρτήσεις, εξής: { D = D η ( ν) ( ν ) κ.ο.κ, προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού τους, ως, ν ν να παραγωγίζεται στο } με ν και ν. Ο τύπος της ν ( ν) ( ν ) προσδιορίζεται από την σχέση () ( () ) = με ν και ν. 8
Παράδειγμα. Να αποδείξετε ότι η ν-οστή παράγωγος της συνάρτησης με τύπο () = ηµ είναι: Λύση Θέλουμε να δείξουμε ότι: = ηµ ν + ν με ν ( ν) ν π (), = ηµ ν + ν με ν () ( ν) ν π (), Για να το δείξουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε την αποδεικτική διαδικασία της Μαθηματικής επαγωγής.. Θα δείξουμε ότι η σχέση () ισχύει για ν=, δηλαδή θα δείξουμε ότι: π () = ηµ + Έχουμε: π () = ( ηµ ) = συν () = συν = ηµ +. Υποθέτουμε ότι η σχέση () ισχύει για ένα τυχαίο ν, δηλαδή υποθέτουμε ότι: ( ν) ν π () = ηµ ν +. Θα δείξουμε ότι η σχέση () ισχύει για ν+, δηλαδή θα δείξουμε ότι: Έχουμε: ( ν+ ) ν+ π () = ηµ ν + + π = = ηµ ν + = ( ν+ ) ( ν) ν () ( ()) ν π π ν π = συν ν + ν + = συν ν + = 9
ν+ π ν+ π π = συν ν + = ηµ +ν + = ν+ π = ηµ ν + + i. Αν είναι γνωστός ο τύπος της ν-οστής παραγώγου μιας συνάρτησης και ζητείται να δείξουμε ότι ο τύπος αυτός ισχύει για την παράγωγο της οποιασδήποτε τάξης, εφαρμόζουμε την αποδεικτική διαδικασία της Μαθηματικής επαγωγής. ii. Αν δεν είναι γνωστός ο τύπος της ν-οστής παραγώγου μιας συνάρτησης, θα πρέπει αρχικά να προσδιορίσουμε μια πιθανή σχέση, η οποία θα μας δίνει αυτόν τον τύπο. Βρίσκοντας τις,,,, μαντεύουμε την πιθανή σχέση που θα μας δώσει τον τύπο της ν-οστής παραγώγου της. Για να δείξουμε ότι ο τύπος αυτός ισχύει για την παράγωγο οποιασδήποτε τάξης της, εφαρμόζουμε την αποδεικτική διαδικασία της Μαθηματικής επαγωγής.
Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση με τύπο + +λ, () =, κ, λ κ +, < Να βρεθούν οι τιμές των κλ, ώστε () = και ( ) =. Λύση Αφού παραγωγίσιμη στο τότε η συνεχής στο. Έτσι έχουμε: lim() = () lim ( + +λ ) =λ + λ=λ λ= lim() = () lim ( κ + ) =λ λ= + Έτσι ο τύπος της γίνεται: + () = κ +, <, Αφού η παραγωγίζεται στο με () = τότε έχουμε: + ( + ) () () lim = lim = lim = + + + () () ( ) κ + κ + lim = lim = lim = = = = κ. lim ( κ + ) = κ+ = κ= Άρα για κάθε κ και λ= η είναι παραγωγίσιμη στο με () =. Για κάθε, κ λ η είναι παραγωγίσιμη στο (,) με () = κ +, <. Άρα ( ) = κ( ) + = κ+. Όμως ( ) = κ+ = κ=. Άρα για κάθε λ και κ= η είναι παραγωγίσιμη στο - με ( ) =. Έτσι έχουμε:
κ και λ= () = λ= και κ= ( ) = λ και κ= Επομένως ο τύπος της γίνεται: +, () = +, < Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και στο -, με () = και ( ) =. Αν μας δίνεται μια συνάρτηση, όπου ο τύπος της περιέχει μια παράμετρο (ή περισσότερες παραμέτρους), πρέπει να γνωρίζουμε ότι δεν πρόκειται για μια συνάρτηση, αλλά για μια οικογένεια συναρτήσεων, τόσων συναρτήσεων όσες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει η παράμετρος (αντίστοιχα οι παράμετροι). Έτσι όταν ζητούνται οι τιμές της παραμέτρου (αντίστοιχα των παραμέτρων) ώστε η συνάρτηση να έχει κάποια ιδιότητα, αναζητούμε την συνάρτηση ή τις συναρτήσεις από την οικογένεια των συναρτήσεων που έχει την ιδιότητα αυτή. Με την υπόθεση ότι η συνάρτηση ικανοποιεί την ιδιότητα, βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου ή των παραμέτρων. Αντικαθιστούμε τις τιμές της παραμέτρου ή των παραμέτρων στον τύπο της συνάρτησης και επαληθεύουμε αν η προκύπτουσα συνάρτηση είναι η ζητούμενη. Έτσι αν μας δίνεται μια συνάρτηση, όπου ο τύπος της περιέχει μια παράμετρο ή περισσότερες παραμέτρους και ζητείται να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου ή των παραμέτρων ώστε η να παραγωγίζεται σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της ή να είναι παραγωγίσιμη, βρίσκουμε τις συναρτήσεις της οικογένειας των συναρτήσεων που είναι συνεχείς στο συγκεκριμένο σημείο ή είναι συνεχείς. Από αυτές τις συναρτήσεις βρίσκουμε ποιες είναι παραγωγίσιμες στο συγκεκριμένο σημείο ή παραγωγίσιμες.
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α) 4 () = + α, α. β) 4 5 ϕ () = ( + + ). γ) g() e = + συν ηµ. δ) h() = ln e +. ε) 4 K() = + +. Λύση α) D =. Για κάθε έχουμε: 4 4 4 () = + α = + α + α = 4 6 = + α +. Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης της μορφής ν = g ( ), ν {,}, όπου g πολυωνυμική συνάρτηση, εφαρμόζουμε τον κανόνα ν παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης, οπότε = ν g g και με την βοήθεια του κανόνα παραγώγισης αθροίσματος και των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε την. β) D ϕ =. 4 + + > για κάθε, οπότε έχουμε:
= + + = + + + + = 4 5 4 5 4 () ( ) 5( ) ( ) 4 5 = 5( + + ) +. Η συνάρτηση φ με τύπο ϕ =λ λ () (). Όπου η () λ ϕ =, λ, όπου () >, έχει παράγωγο υπάρχει. γ) D g =. Για κάθε έχουμε: g () = e + συν ( ηµ ) = ( e ) + συν ( ηµ ) = = e ηµ ηµ ηµ = 6e ηµ ηµ συν,. Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης g, με πεδίο ορισμού το Δ, της μορφής g() = h(()) + w(v()) όπου,v παραγωγίσιμες στο Δ και h,w παραγωγίσιμες στα ( ) και v( ) αντίστοιχα, εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης, αθροίσματος και σύνθετης συνάρτησης. δ) Επειδή e + >, για κάθε έχουμε: D h =. h ( () ln e ln e ) ( = + = ) ( ) ln e e + = + = + = e + e =,. e ( + ) Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης h της μορφής h()=ln (), όπου παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και () > για κάθε, μετασχηματίζουμε την 4
συνάρτηση h με την χρήση των ιδιοτήτων του λογαρίθμου και μετά εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης ( ln ( ) = ). ε) Επειδή + + >, για κάθε έχουμε: D K =. 4 ( 4) ln( + + ) ( 4) ln( + + ) Κ () = ( + + ) = e = e ( 4) ln( + + ) = ( 4) ln( + + ) = e ln( ) ( 4) ( + + + + + ) = + + ( 4)( + ) 4 = ( + + ) ln( + + ) +, + + K = (), όπου,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο και () > για κάθε, μετασχηματίζουμε την συνάρτηση με την βοήθεια του ορισμού του λογαρίθμου και μετά εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης ( ([ ] g() g() ln() g() ln() g () () K () = () ) = ( e ) = e [ g() ln() ] = K() ln[ () ] + g() () Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης K της μορφής [ ] g() Δεύτερος Τρόπος: g() [ ] ( ) ( [ ]) ln K = ln () ln K = g() ln () K () () = g ()ln[ () ] + g() K() () g () () K () = K() ln[ () ] + g() () ). 5
Παράδειγμα. π Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης () = π ηµ. Λύση π Πρέπει π. π Οπότε : D =, +. π Για κάθε > έχουμε: π π π () = π ηµ = ( π ) ηµ + π ηµ = π π π = ( π) ηµ + π συν = π π π = ηµ + π συν π Για π = έχουμε: π π π () π ηµ ηµ lim = lim = lim π, και επειδή: π π π + π π π lim π =, π π ηµ lim π, θέτουμε u =, π π π lim u = lim = π π 6
π ηµ u οπότε, lim ηµ = lim =, παίρνουμε: π π u u π ηµ lim π = =. π π π Άρα =. Συνεπώς η παράγωγος της συνάρτησης είναι: π, αν = () = π π π ηµ + π συν, αν > π Σχόλιο: Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση π, η οποία ορίζεται για κάθε π, +, παρότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο π =, το γινόμενο της με την π ηµ (δηλαδή η () ) είναι παραγωγίσιμη στο π =. Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης h με τύπο h() = ()g(), η οποία είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής [,β ) ( ή ( α, ] ), εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης,β ( ή ( α, ) αντίστοιχα) και η εξέταση της γινομένου για το διάστημα παραγωγισιμότητας στο γίνεται με την βοήθεια του ορισμού. 7
Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση α) την β) την + () = συν, > 4,, να βρείτε : Λύση α) D = Για < έχουμε: = + = + 4 () 4 9 Για > έχουμε: () = συν = ηµ Στην συνέχεια εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα της με πλευρικά όρια στη θέση =, δηλαδή: ( + ) 4 () () + lim = lim = lim =, () () συν lim = lim =. + + Άρα =. Επομένως : + () = ηµ, > 4 9, β) Για Για = + = + < έχουμε: > έχουμε: () 4 9 8 () = ηµ = συν Στη θέση = θα εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα της με πλευρικά όρια, δηλαδή: ( + ) () () 4 9 + 4 9 lim = lim = lim =, 8
() () ηµ ηµ lim = lim = lim =. + + + Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως : + < () = συν, > 8, g(), Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης με () = όπου g, h h(), > παραγωγίσιμες συναρτήσεις, βρίσκουμε την παράγωγο της για < και για > με την χρήση των κανόνων παραγώγισης και εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο που αλλάζει τύπο, με την βοήθεια του ορισμού της. Για να βρούμε την δεύτερη παράγωγο της ακολουθούμε αντίστοιχη διαδικασία με αυτή του (α) υποερωτήματος, αλλά για την. 9
Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση () =α ( β ) + ( γ+ ) e ηµγ. Να βρείτε τα α, β, γ αν η C διέρχεται από τα σημεία τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη. Α,, Β(, 7) και η C τέμνει Λύση Για την συνάρτηση έχουμε: ηµγ () e = α β + γ+ = α β + γ+ = = α β + γ+.. () = α β + γ+ = 6α β Επειδή τα σημεία Α(, ), Β(, 7) ανήκουν στην γραφική παράσταση της και το σημείο Γ (, ) στην γραφική παράσταση της, έχουμε: () = α ( β ) + ( γ+ ) = α β+ γ=, () = 7 α 4( β ) + ( γ+ ) = 7 α 4β+ γ= 6 και () = ( β ) = β=. Για β= έχουμε: α+ γ=, α+ γ= γ= α. 7 Άρα α α= 9α= α= και 7 Επομένως α=, β= και γ=. 7 γ= + γ= 6 γ=. Όταν μας δίνεται συνάρτηση η οποία περιέχει παραμέτρους,, α β γ και θέλουμε να τις προσδιορίσουμε, τότε από ιδιότητες της ή και των παραγώγων της βρίσκουμε σύστημα με αγνώστους τις παραμέτρους, από όπου και τις προσδιορίζουμε. 4
Παράδειγμα 5. Δίνονται οι συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο και άρτια. α) Nα δείξετε ότι περιττή. β) Αν g (). =, = και ( g )() = ηµ ( ), για κάθε, να βρείτε την Λύση α) Επειδή η είναι άρτια για κάθε θα ισχύει: ( ) = (). παραγωγίσιμη στο, οπότε : ( ) = () ( )( ) = () ( ) = () [ ] [ ] ( ) = () ( περιττή). Αν η συνάρτηση είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο με την χρήση του ορισμού της άρτιας συνάρτησης και τους κανόνες παραγώγισης αποδεικνύεται ότι η είναι περιττή. (Με ανάλογη διαδικασία αν περιττή και παραγωγίσιμη στο, προκύπτει ότι είναι άρτια.) β) Έχουμε : ( g )() = ηµ ( ) g( () ) = ηµ ( ) Επειδή μια τουλάχιστον από τις συναρτήσεις ( ) ηµ, παραγωγίσιμη (ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων), έχουμε: g () ξέρουμε ότι είναι g () = ηµ g () () = συν g () () = 4συν, για κάθε. Για = έχουμε : περιττή g ( ) 4 g ( ) g = συν = ( ) = 4
g () =. g () = h() () με: Αν i) την να είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η g παραγωγίσιμη στο (Δ), τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο Δ ή ii) την h να είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () προκύπτει συναρτησιακή σχέση η οποία για = γνωρίζοντας τα ( ), ( ) ( βρίσκουμε το εφόσον περιττή ), προκύπτει εξίσωση με μόνο άγνωστο το g που η επίλυσή της μας δίνει το ζητούμενο. 4
Παράδειγμα 6. Έστω συνάρτηση () = + () () =α +β +γ, α και. Να δείξετε ότι:, όπου, ρίζες της. Λύση Επειδή, ρίζες της, έχουμε: =α( )( ) άρα () ( )( ) () = α. Για και, λογαριθμίζοντας και τα δύο μέλη προκύπτει: ln () = ln α ln () = ln α + ln + ln. Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη οπότε: () = α + + = + () ( ln () ) ( ln ln ln ). Σε συναρτήσεις με τύπο της μορφής: () = () () k() () πολλές φορές μας διευκολύνει να τις παραγωγίσουμε ακολουθώντας τα εξής βήματα: Παίρνω απόλυτη τιμή στην ισότητα () και προκύπτει () = () () k() () Για κάθε τιμή του που δεν μηδενίζει τα μέλη της () λογαριθμίζω με νεπέριο λογάριθμο και τα δύο μέλη της. Παραγωγίζω στην ισότητα που προκύπτει και υπολογίζω την () ( ή την () ). () 4
Παράδειγμα 7. i. ii. iii. iv. lim lim e συν lim lim Λύση i. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο () =,. Η είναι παραγωγίσιμη με Είναι () =. Έτσι έχουμε: () = ln. () () lim = lim = () = ln = ln ii. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο () = e,. Η είναι παραγωγίσιμη με () = e. Είναι () =. Έτσι έχουμε: e () () lim lim e = = = = =. iii. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο () = συν,. Η είναι παραγωγίσιμη με () = ηµ. Είναι () =. Έτσι έχουμε: συν () () lim = lim = () = ηµ = iv. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο () =, >. 44
Η είναι παραγωγίσιμη με () = (+ ln ). Είναι () =. Έτσι έχουμε: () () lim = lim = () = ( + ln) = Ας υποθέσουμε ότι μας ζητείται να υπολογίζουμε το () ( ) lim g(), όπου g() = και συνάρτηση που παραγωγίζεται στο, τότε: με lim g() = lim = Αν είναι δυνατόν να υπολογίσουμε τον αριθμό με την βοήθεια των κανόνων παραγώγισης, θα έχουμε προσδιορίσει το ζητούμενο όριο. 45
ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. i. Έστω :( αβ, ) συνάρτηση, γνησίως μονότονη και συνεχής. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο αβ (, ) με και η παραγωγίζεται στο και ισχύει ( ) ( ) είναι συνεχής στο ( ) τότε: η =. ii. Δίνεται η συνάρτηση () = e +, να βρείτε τον αριθμό ( )(). Λύση i. Αφού η είναι συνεχής και γνήσια μονότονη τότε το σύνολο τιμών ( αβ, ) θα είναι ανοικτό διάστημα. Έστω το ανοικτό διάστημα ( γδ, ). Θέτουμε y ( ) =. Έστω y (, ) γδ με y y. Αφού η είναι αβ, ώστε y = (). Είναι. Αφού η είναι συνεχής, αν y y τότε (y) (y ). Έτσι έχουμε: υπάρχει μοναδικό y y y y () lim = lim = lim = = y y () ( ) () ( ) lim Άρα η y = με παραγωγίζεται στο ( ) (y ) = ή ( ) ( ( )) = ii. Το πεδίο ορισμού της είναι D =. Η είναι γνησίως αύξουσα στο, αφού () = e + > για κάθε, άρα η είναι, οπότε αντιστρέφεται. Έχουμε () = e + και () = e + () =. Η είναι παραγωγίσιμη στο με () =. Άρα η παραγωγίζεται στο = () με 46
= = () ( ) () () Η αντίστροφη συνάρτηση της παραγωγίζεται στο σημείο ( ) του πεδίου ορισμού της, αν η παραγωγίζεται σε σημείο με και η είναι συνεχής στο ( ), οπότε η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης στο σημείο ( ), θα δίνεται από τον τύπο ( ) ( ( )) = Ημερομηνία τροποποίησης: /8/ 47