Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Σχηματισμός κανονικών εξισώσεων δικτύου και το πρόβλημα ορισμού του συστήματος αναφοράς Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Περιεχόμενα Δημιουργία κανονικών εξισώσεων (& απαλοιφή αδιάφορων παραμέτρων) Το πρόβλημα της αδυναμίας βαθμού και η ανάγκη ορισμού του ΣΑ Η έννοια του ελεύθερου δικτύου
Δημιουργία κανονικών εξισώσεων (απλή περίπτωση) Σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) Κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων min δx T v Pv Σύστημα κανονικών εξισώσεων ˆ T ( A PA) δx N ή, ισοδύναμα, εκτίμηση BLUE T A Pb u
Δημιουργία κανονικών εξισώσεων (πιο γενική περίπτωση) Σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων δx b A B v Κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων min δx, δq δq T v Pv Σύστημα κανονικών εξισώσεων βλέπε επόμενη διαφάνεια.. 2 o 1 v ~ ( 0, P ) ή, ισοδύναμα, εκτίμηση BLUE
Δημιουργία κανονικών εξισώσεων (πιο γενική περίπτωση) Σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων δx b A B v δq Σύστημα κανονικών εξισώσεων T T T A PA A PB δxˆ A P b T T ˆ T B PA B PB δq B Pb 2 o 1 v ~ ( 0, P )
Απαλοιφή πρόσθετων παραμέτρων Σύστημα κανονικών εξισώσεων (αρχικό) T T T AN PA AN ˆ xx xq PB δx AuP x b T T δqˆ T BNPA qx BNPB qq BuPb q Σύστημα κανονικών εξισώσεων (ανηγμένο) 1 1 xx xq qq qx ˆ x xq qq q N N N N δx u N N u N Εκτίμηση πρόσθετων παραμέτρων 1 qq q qx δqˆ N ( u N δxˆ ) u χρειάζεται να γίνει?
Κανονικές εξισώσεις δικτύου Κάθε πρόβλημα συνόρθωσης δικτύου καταλήγει σε ένα σύστημα κανονικών εξισώσεων της μορφής: ˆ Nδx u δxˆ όπου είναι το διάνυσμα των διορθώσεων των προσεγγιστικών συντεταγμένων όλων των κορυφών του δικτύου. (*) το παραπάνω σύστημα περιέχει την πληροφορία των παρατηρήσεων πεδίου και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους σύμφωνα με τον επιλεγμένο πίνακα βάρους.
Αδυναμία βαθμού δικτύου Ο πίνακας Ν των κανονικών εξισώσεων είναι γενικά μη-αντιστρέψιμος εξαιτίας της αδυναμίας βαθμού που υπάρχει στα προβλήματα συνόρθωσης δικτύων. Nδxˆ u det( N) 0 Τι σημαίνει αδυναμία βαθμού ; rank( N ) m m m rank( A ) n m m Οι παρατηρήσεις δεν περιέχουν ικανή πληροφορία για την εκτίμηση των άγνωστων παραμέτρων!
Αδυναμία βαθμού δικτύου Που οφείλεται ; Κύρια αιτία: αδυναμία των γεωδαιτικών και τοπογραφικών παρατηρήσεων να καθορίσουν (από μόνες τους) το ΣΑ συντεταγμένων στο δίκτυο. Επιμέρους αιτίες: o αδυναμία γεωμετρικής μορφής δικτύου. o αδυναμία αριθμού παρατηρήσεων.
Παράδειγμα Το σημείο Α στο παρακάτω οριζόντιο δίκτυο δεν μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της συνόρθωσης λόγω γεωμετρικής ανεπάρκειας των μετρήσεων. Α (*) κάθε σημείο σε ένα οριζόντιο δίκτυο πρέπει να συνδέεται με γειτονικά σημεία μέσω τουλάχιστον 2 παρατηρήσεων
- Οριζόντιο δίκτυο 5 σημείων (2 γνωστά, 3 άγνωστα) - 5 πλευρομετρήσεις Παράδειγμα - Κάθε σημείο συνδέεται με τα υπόλοιπα μέσω 2 παρατηρήσεων (*) Ανεπαρκής αριθμός παρατηρήσεων S 5 S 1 S 2 S 4 S 3
Για τη συνέχεια θεωρούμε ότι το δίκτυο δεν πάσχει από γεωμετρική ανεπάρκεια ή ανεπαρκή αριθμό παρατηρήσεων
Κανονικές εξισώσεις δικτύου Εξαιτίας της αδυναμίας ορισμού του ΣΑ από τις διαθέσιμες παρατηρήσεις, το σύστημα των κανονικών εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. ˆ Nδx u δxˆ δxˆ 1 2 o xˆ x δxˆ 1 1 o xˆ x δxˆ 2 2 δxˆ δxˆ 1 2 xˆ xˆ 1 2 Κάθε λύση των κανονικών εξισώσεων ενός δικτύου ονομάζεται λύση ελεύθερου δικτύου (free network solution).
Κανονικές εξισώσεις δικτύου Εξαιτίας της αδυναμίας ορισμού του ΣΑ από τις διαθέσιμες παρατηρήσεις, το σύστημα των κανονικών εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. ˆ Nδx u δxˆ δx ˆ 1 2 yˆ f( x δxˆ ) o 1 1 yˆ f( x δxˆ ) o 2 2 δxˆ δxˆ 1 2 yˆ yˆ 1 2 Όλες οι λύσεις των κανονικών εξισώσεων είναι ισοδύναμες μεταξύ τους (οδηγούν στις ίδιες συνορθωμένες παρατηρήσεις).
Η έννοια του ελεύθερου δικτύου y Ίδιες συνορθωμένες παρατηρήσεις? yˆf x ˆ o ( δx ) Ύπαρξη άπειρων λύσεων x οποιαδήποτε λύση ˆ Nδx u
Η έννοια του ελεύθερου δικτύου Το ελεύθερο δίκτυο είναι αυτό που προσαρμόζεται βέλτιστα στις παρατηρήσεις και προσδιορίζεται από οποιαδήποτε λύση των αρχικών κανονικών εξισώσεων. y θ Δx Δy Oι διαθέσιμες παρατηρήσεις σε ένα δίκτυο δεν περιέχουν πληροφορία για όλες τις παραμέτρους του συστήματος αναφοράς (Δx, Δy, θ) x
Αδυναμία βαθμού: παραδείγματα Τύπος δικτύου Μέγιστη αδυναμία βαθμού Μετρήσεις Αδυναμία βαθμού στο μετρημένο δίκτυο Παράμετροι του ΣΑ που πρέπει να οριστούν μέσω εξωτερικής πληροφορίας υψομετρικές διαφορές 1 αρχή Υψομετρικό δίκτυο (1Δ) 2 υψομετρικές διαφορές, απόλυτο υψόμετρο σε 1 σημείο 0 υψομετρικές αναλογίες 2 αρχή, κλίμακα
Αδυναμία βαθμού: παραδείγματα Τύπος δικτύου Μέγιστη αδυναμία βαθμού Μετρήσεις Αδυναμία βαθμού στο μετρημένο δίκτυο Παράμετροι του ΣΑ που πρέπει να οριστούν μέσω εξωτερικής πληροφορίας οριζόντιες γωνίες ή/και διευθύνσεις 4 αρχή, προσανατολισμός, κλίμακα Οριζόντιο δίκτυο (2Δ) 4 οριζόντιες γωνίες ή/και διευθύνσεις αποστάσεις αζιμούθια, αποστάσεις 3 αρχή, προσανατολισμός 2 αρχή αποστάσεις, απόλυτες συντ/νες σε 1 σημείο 1 προσανατολισμός
Αδυναμία βαθμού: παραδείγματα Τύπος δικτύου Μέγιστη αδυναμία βαθμού Μετρήσεις Αδυναμία βαθμού στο μετρημένο δίκτυο Παράμετροι του ΣΑ που πρέπει να οριστούν μέσω εξωτερικής πληροφορίας οριζόντιες γωνίες ή/και διευθύνσεις, ζενίθειες γωνίες (>2) 5 αρχή, προσανατολισμός, κλίμακα Τριδιάστατο δίκτυο (3Δ) 7 ζενίθειες γωνίες (>2) αποστάσεις αποστάσεις 6 4 αρχή, προσανατολισμός (στο οριζόντιο επίπεδο) αρχή, προσανατολισμός συνιστώσες βάσεων GPS 3 αρχή
Συμπερασματικά Η αδυναμία βαθμού σε ένα δίκτυο σχετίζεται με την αδυναμία των μετρήσεων να ορίσουν το σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο θα υπολογιστούν οι συνορθωμένες συντεταγμένες του δικτύου. Η αδυναμία βαθμού σε ένα δίκτυο είναι ίση με τους βαθμούς ελευθερίας που έχει το ελεύθερο δίκτυο σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς συντ/νων. (και ταυτίζεται με τον αριθμό των παραμέτρων του ΣΑ που πρέπει να οριστούν μέσω εξωτερικής πληροφορίας).
Κρίσιμα θέματα Τι είδους εξωτερική πληροφορία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τον ορισμό του ΣΑ κατά τη συνόρθωση του δικτύου; Με ποιο τρόπο θα εισάγουμε την απαιτούμενη εξωτερική πληροφορία στη συνόρθωση δικτύου; Αν η εξωτερική πληροφορία είναι περισσότερη από αυτή που χρειάζεται για τον ορισμό του ΣΑ, τι επιπτώσεις θα έχει στο συνορθωμένο δίκτυο;