Conf. dr. ANTOANETA ENE FIZIC

Conf. d. ANTOANETA ENE FIZIC 005

Tehnoedactae computeizat: ANTOANETA ENE Gafica: ANTOANETA ENE Contol tiinific: Conf. d. ALEXANDRINA NAT

Pefa Pezenta lucae este un cus de fizic geneal destinat studenilo de la specializaea Ingineie economic industial, învmânt supeio tehnic cu fecven edus. Scopul lucii este de a pezenta un ciclu de lecii cae s pemit atât însuiea, de cte studenii începtoi în studiul ingineiei, a noiunilo de baz ale fizicii ca tiin a natuii cât i fomaea uno specialiti cu o gândie sistematic. Din mateialul bibliogafic am selectat i dezvoltat acele capitole cae au stâns legtu cu obiectele de specialitate, inând cont i de poziia disciplinei fizic în planul de învmânt - anul I. Capitolele în cae este stuctuat cusul Mecanic fizic, Oscilaii i unde elastice, Electicitate i magnetism nu constituie uniti închise, fiind legate unele de altele pin eemple cae se efe la fenomene ce umeaz a fi pezentate sau pin efeii la legi i noiuni discutate anteio. La sfâitul fiecui capitol au fost incluse pobleme popuse pentu ezolvae fiind indicat spunsul. Dezvoltaea cusului se face din apoape în apoape, înt-o succesiune fieasc. Nivelul matematic este accesibil, edus la stictul necesa, în centul ateniei aflându-se eplicaia sensului fizic al fenomenelo. Pentu a veni în spijinul studenilo, am epus în Anea A a cusului pincipalele noiuni de analiz matematic, aceste elemente fiind indispensabile în pezentaea elevat a uno legi fizice. Conf. d. Antoaneta Ene

CAPITOLUL. MECANIC FIZIC........... MECANICA CLASIC A PUNCTULUI MATERIAL............ Cinematica punctului mateial......... Dinamica clasic a punctului mateial.......3... Legile fundamentale ale mecanicii clasice a punctului mateial........3...3. Teoemele geneale ale dinamicii punctului mateial......4.. ELEMENTE DE DINAMIC RELATIVIST.....9... Relaia dinte mas i enegie în dinamica elativist.......9... Relaia dinte impuls i enegie în dinamica elativist..... PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL... CAPITOLUL. OSCILAII I UNDE ELASTICE......3.. OSCILAII ELASTICE...... 3... Micaea oscilatoie amonic....... 3... Micaea oscilatoie amotizat...... 5..3. Micaea oscilatoie înteinut (foat). Rezonana...7..4. Compuneea oscilaiilo amonice......0..4.. Compuneea oscilaiilo amonice paalele cu pulsaii egale..0..4.. Compuneea a dou oscilaii paalele cu pulsaii puin difeite. Fenomenul de bti.......4.3. Compuneea oscilaiilo amonice pependiculae cu pulsaii egale.....4.4. Compuneea oscilaiilo pependiculae de pulsaii oaecae....4.. UNDE ELASTICE.......6... Genealiti........ 6... Ecuaia undei plane monocomatice.......7..3. Popagaea undelo longitudinale în solide....... 9..4. Popagaea undelo longitudinale în fluide......3..5. Popagaea undelo tansvesale în solide...33..6. Ecuaia coadei vibante.... 35..7. Ecuaia undelo înt-un mediu ideal......36..7.. Ecuaia difeenial a undelo.... 36..7.. Unda plan......37..7.3. Unda sfeic.... 40..8. Intefeena undelo elastice. Unde staionae.......4..9. Mimi enegetice.......44..0. Ultaacustic.......45 PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL...47 CAPITOLUL 3. ELECTRICITATE I MAGNETISM.......49 3.. ELECTROSTATIC......49 3... Sacina electic......49 3... Câmpul electic. Intensitatea câmpului electic în vid.......50 3..3. Fluul electic. Legea lui Gauss în vid.....5 3..4. Câmpul electic al uno distibuii de sacin.....55 3..5. Potenialul electic......56 3..6. Dipolul electic....59 3..6.. Câmpul i potenialul electic ceat de un dipol.......60 3..6.. Dipolul electic în câmp electostatic......60 3..6.3. Enegia dipolului în câmp electostatic...6 3..7. Conductoi în câmp electic....6 3..8. Dielectici în câmp electic. Polaizaea dielecticilo..... 63 3..8.. Tipui de dielectici i de polaizae...63 3..8.. Vectoul polaizae electic.....64 3..9. Capacitatea electic. Condensatoi...66 3..0. Definiea vectoului inducie electic.....67 3..0.. Legtua dinte vectoii E, Di P...67 3..0.. Legea lui Gauss genealizat.....68 3... Enegia câmpului electostatic......69 3.. ELECTROCINETIC......70 3... Cuentul electic. Intensitatea cuentului electic. Ecuaia de continuitate...7 3... Legea lui Ohm......73 3..3. Tensiunea electomotoae......74 3..4. Legea lui Joule......75 3.3. MAGNETOSTATIC......76 3.3.. Câmpul magnetic constant. Inducia magnetic......76 3.3.. Legea Biot-Savat-Laplace......77 3.3.3. Momentul dipola magnetic.....80 3.3.4. Inteaciuni electomagnetice....80 3.3.4.. Foa electomagnetic (Laplace)....80 3.3.4.. Foa electodinamic....8 3.3.4.3. Foa Loentz.....8 3.3.5. Legea cicuitului magnetic (legea lui Ampèe)....8 3.3.6. Fluul induciei magnetice....84 3.3.7. Câmpul magnetic în inteioul substanelo magnetizate. Vectoul magnetizaie. Legtua dinte vectoii B, H i....85 3.4. CÂMPURI ELECTRICE I MAGNETICE VARIABILE....86 3.4.. Inducia electomagnetic...86 3.4.. Enegia câmpului magnetic....87 3.4.3. Cuentul de deplasae...89 3.4.4. Câmp electodinamic...90 3.4.5. Câmp electomagnetic. Ecuaiile lui Mawell....9 3.4.6. Consevaea enegiei câmpului electomagnetic...93 3.4.7. Unde electomagnetice...94 PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL 3...97 ANEXA A. ELEMENTE DE ANALIZ VECTORIAL.......99 A... Difeeniale totale eacte......99 A... Opeatoi vectoiali difeeniali de odinul întâi în coodonate cateziene...99 A..3. Fomule utile....,...00

Mecanica fizic este amua fizicii cae studiaz micaea copuilo, cauzele cae poduc micaea i stabilete condiiile de epaus ale copuilo. În funcie de valoaea vitezei de deplasae a copuilo, mecanica se clasific în mecanic clasic i mecanic elativist. Mecanica clasic studiaz deplasile copuilo având viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid, în timp ce mecanica elativist studiaz deplasile acelo copui cae au viteze apopiate de viteza luminii în vid... MECANICA CLASIC A PUNCTULUI MATERIAL... Cinematica punctului mateial Cinematica studiaz micaea mecanic a copuilo f a lua în consideaie cauzele cae detemin aceast micae. Un cop se afl în micae atunci când îi modific poziia fa de alte copui consideate fie i este în epaus când nu-i schimb poziia fa de acestea. Un cop oaecae, consideat fi, fa de cae se apoteaz micaea alto copui, detemin un sistem de efein cae este un sistem de coodonate tidimensional legat igid de copul fi. Deoaece în ealitate nu eist copui absolut fie, nu eist sisteme de efein absolut fie i deci micile sunt elative. Poziia la un moment dat a unui cop este deteminat de vectoul de poziie cae este vectoul ce unete oiginea sistemului de coodonate, O, cu punctul P în cae se gsete copul (fig...). Pentu studiul micii copuilo se folosete modelul punctului mateial. Vom numi punct mateial un ansamblu ale cui dimensiuni pot fi neglijate în apot cu distana pacus. Micaea unui punct mateial este caacteizat pin taiectoie i pin legea de micae. Taiectoia epezint locul geometic al tutuo punctelo pin cae tece mobilul în timpul deplasii. Legea de micae epezint legea de vaiaie a vectoului de poziie a unui punct mateial în funcie de timp în apot cu un punct consideat fi. z v P(,y,z) v taiectoie z O y y O Fig... Fig... Micaea este deci deteminat când se cunoate funcia : = (t) (..) cae epezint ecuaia de micae a punctului mateial.

Vectoul de poziie se scie în funcie de coodonatele sale sub foma: =. + y.y + z. z (..), y i z fiind vesoii (vectoii unitate) aelo O, Oy i Oz ale sistemului de efein ales. Micaea este cunoscut dac tim cum se modific în timp coodonatele punctului mateial, deci cunoscând funciile : = (t) y = y(t) (..3) z = z(t) Funcia vectoial (t) tebuie s satisfac anumite esticii impuse de fenomenul fizic al micii punctului. Astfel ea tebuie s fie continu i unifom (deoaece în confomitate cu pincipiul pefectei localizi, punctul mateial nu poate ocupa simultan mai multe poziii distincte în spaiu), finit în modul i deivabil. Ecuaiile (..3) pot fi consideate ca fiind ecuaiile paametice ale taiectoiei, paametul fiind timpul, sau ecuaiile cinematice ale micii. Ecuaia taiectoiei se afl eliminând timpul din ecuaiile paametice. Schimbaea poziiei unui mobil în timpul micii este deteminat de vectoul deplasae, (fig...) cae se epim sub foma: = - (..4) coespunzto intevalului de timp t = t - t. Dac intevalul de timp este foate mic, vectoul deplasae se confund cu spaiul pacus de mobil. Se definete viteza punctului mateial ca fiind: d v = lim = = (..5) t 0 t dt cae, aa cum se obsev din figua.., este tangent la taiectoia mobilului. sau : inând cont de (..), elaia (..5) devine : d dy dz v =. +.y +.z = + y y + z z (..6) dt dt dt v = v. + v y.y + vz. z (..6 ) unde v, v y i v z sunt componentele vectoului v de-a lungul aelo de coodonate. Viteza medie este: v m = t i ae diecia secantei la taiectoie (diecia vectoului deplasae ). Modulul vectoului vitez se calculeaz cu elaia : v = v = v + v y + vz (..7) Dac s(t) epezint dependena de timp a distanei pacuse de mobil pe taiectoie, atunci modulul vitezei se detemin din elaia: foma : ds v = = s dt Dac este vesoul azei vectoae (fig...), elaia (..5) se mai poate scie sub d(. ) d d v = = + (..8) dt dt dt

în cae este modulul vectoului de poziie. Din elaia (..8) se obsev c la viteza v contibuie d doi temeni: o vaiaie a dieciei azei vectoae, epezentat de. i o vaiaie a modulului dt vectoului de poziie, d. dt. Dac vectoul vitez a punctului mateial vaiaz în timp se definete vectoul acceleaie ca fiind : v dv a = lim = = v (..9) t 0 t dt sau, inând cont de (..5) : d a = = (..0) dt Ultimele dou elaii se sciu în funcie de componentele vectoilo v i astfel: dv = dv y dv + + z d d y d z a..y.z =. +.y +.z = =. dt dt dt + y.y + z. z dt dt dt sau: a = a + a y y + a z z (..0 ) unde a, a y, a z sunt componentele acceleaiei în lungul celo tei ae de coodonate. Modulul acceleaiei este : a = a = a + a y + a z (..)... Dinamica clasic a punctului mateial Dinamica studiaz micaea mecanic a copuilo inând cont atât de foele cae poduc micaea cât i de masele copuilo în micae.... Legile fundamentale ale mecanicii clasice a punctului mateial Aceste legi au fost fomulate de Newton i sunt ezultatul unui num mae de epeiene i din aceast cauz, adesea sunt enunate ca pincipii :. LEGEA INERIEI se enun astfel: "un punct mateial asupa cuia nu acioneaz nici o fo, mâne în epaus sau se deplaseaz ectiliniu i unifom". Deci, a =0 dac F = 0. Intoducând noiunea de impuls : p = mv (..) unde m este masa paticulei (punctului mateial), consideat constant în cazul clasic, atunci din condiia a = 0 ezult v = const. i legea ineiei poate fi enunat i în felul umto : "În absena foelo eteioae impulsul unui punct mateial mâne constant". Aceast fomulae pune în eviden faptul c legea ineiei este o lege de consevae a impulsului.. LEGEA VARIAIEI IMPULSULUI sau LEGEA FOREI este pincipiul fundamental cae definete foa ca fiind popoional cu viteza de vaiaie a impulsului: "deivata impulsului în apot cu timpul este egal cu foa cae poduce micaea" : d dp (m v) = = p = F (..3) dt dt Cum m = const. ezult : 3

dv m = mv = ma = F (..4) dt sau, inând cont de epesia (..0) a acceleaiei, d F = m (..5) dt cae pe componente se scie : F = m Fy = my (..6) Fz = mz elaii numite ecuaiile difeeniale ale micii. Pin integaea succesiv a elaiilo (..6) se obin pe ând, componentele vitezei i ecuaiile paametice ale taiectoiei = (t); y = y(t); z = z(t) cae depind astfel de dou constante de integae, sau, mai geneal, legea de micae a punctului mateial = (t). Pentu a putea detemina staea mecanic a acestuia (poziia i viteza sa) la un moment dat este necesa cunoateea constantelo de integae i acest lucu se poate face dac se dau aa numitele condiii iniiale adic poziia i viteza punctului mateial la un moment dat pe cae-l alegem ca oigine a timpului, t=0. 3. LEGEA ACIUNILOR RECIPROCE se enun în felul umto: "întotdeauna fiecei aciuni i se opune o eaciune egal în modul i de sens conta" : F = F (..7) Aciunea i eaciunea se eecit ca peechi, acioneaz simultan asupa a dou copui difeite i au diecia în lungul deptei ce unete cele dou copui. 4. LEGEA INDEPENDENEI ACIUNII FORELOR sau LEGEA SUPERPOZIIEI FORELOR afim c "foele la cae este supus un punct mateial acioneaz independent unele de altele". Confom acestui pincipiu aciunea simultan a mai multo foe F i (i =, n) asupa unui punct mateial poate fi înlocuit pin ezultanta lo F i, inves, o fo poate fi descompus în componente i aciunea lo este echivalent cu aciunea foei ezultante: n F = F i (..8) i=... Teoemele geneale ale dinamicii punctului mateial Teoemele geneale ale dinamicii punctului mateial sunt consecine ale pincipiilo dinamicii i pemit în multe cazui deteminaea ecuaiei de micae f a mai fi necesa integaea ecuaiilo difeeniale ale micii (..6). Pentu analizaea acesto teoeme considem un punct mateial de mas m, asupa cuia acioneaz o fo F.. TEOREMA IMPULSULUI: Deivata în apot cu timpul a impulsului punctului mateial este egal cu ezultanta foelo aplicate. d p = F (..9) dt Dac foa cae acioneaz asupa punctului mateial este nul, impulsul se consev: d p F = 0 = 0 p (t ) = p (t ) dt 4

. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC Momentul cinetic al unui punct mateial în micae în apot cu un punct fi O este mimea fizic vectoial : L = p (..0) unde este vectoul de poziie al punctului mateial fa de acel punct ia p impulsul acestuia (fig...3). În cazul în cae punctul mateial este legat de punctul fi O i asupa lui acioneaz o fo F, se definete momentul foei în apot cu punctul O ca fiind: M = F (..) Deivând L în apot cu timpul se obine : dl d d dp = ( p ) = p + = F = M (..) dt dt dt dt d unde p = vp = 0 dt deoaece vectoii sunt coliniai. L O v m p = mv Fig...3 Astfel se poate enuna teoema vaiaiei momentului cinetic: viteza de vaiaie a momentului cinetic în apot cu un punct fi este egal cu momentul foei cae poduce micaea în apot cu acel punct. Dac punctul mateial este izolat ( F = 0) sau se afl înt-un câmp cental (foa F ce acioneaz asupa lui este pe diecia azei vectoae, supotul acesteia tecând pint-un punct fi numit centul câmpului, ca de eemplu foa centipet, foa elastic, geutatea copuilo), momentul M este nul i momentul cinetic se consev (mâne constant în timp). Deci se poate scie teoema consevii momentului cinetic: dl M = 0 = 0 L(t ) = L(t ) dt 3. TEOREMA ENERGIEI CINETICE Pin definiie, lucul mecanic elementa d efectuat de o fo F, când punctul de aplicaie al acestei foe se deplaseaz cu d, este egal cu podusul scala dinte F i d : d = F.d = F.d. cos ( F,d ) (..3) Dac în elaia de definiie (..3) se înlocuiete epesia foei (..3) ezult: 5

d = d dt (m v )d = d dt (m v)vdt = vd (m v ) = m vd v sau: d d m v d m v = = = dt (..4) unde s-a notat : T = mv (..5) mime cae epezint enegia cinetic (de micae). Dac deplasaea sub aciunea foei ae loc înte punctele A i B (fig...4), lucul mecanic efectuat va fi : B B mv mv AB = F.d dt T T B A = = B A = A A (..6) A z C F C b A O B B F O C a (C) y Fig...4 Fig...5 Relaia (..6) epezint coninutul teoemei vaiaiei enegiei cinetice cae se enun în felul umto: "vaiaia enegiei cinetice a unui punct mateial de mas constant acionat de o fo înt-un inteval de timp, este egal cu lucul mecanic efectuat de foa cae acioneaz asupa acestuia în intevalul de timp consideat". Dac ezultanta foelo cae acioneaz asupa punctului mateial este nul, sau este pependicula pe diecia deplasii, din definiia (..3) a lui ezult c lucul mecanic este nul i confom (..6) enegia cinetic se consev. Acelai lucu mecanic poate fi efectuat în difeite intevale de timp i de aceea în pactic e impotant i timpul în cae se ealizeaz lucul mecanic espectiv. Pentu caacteizaea mecanismelo i motoaelo se folosete noiunea de putee mecanic, definit ca mimea fizic numeic egal cu lucul mecanic efectuat în unitatea de timp: d P = lim = (..7) t 0 t dt sau, inând cont de (..3), pentu F = const. se obine: d P = F = F.v (..8) dt deci la foe egale puteea depinde de vitez. 4. TEOREMA CONSERVRII ENERGIEI MECANICE S-a constatat c eist foe, cum sunt foele câmpului gavitaional, elastic sau electostatic, numite foe consevative, pentu cae lucul mecanic nu depinde de foma dumului pacus ci numai de poziiile iniial i final (fig...5): 6

= Fd = Fd (..9) C C Pentu contuul închis C = ab se poate scie, inând cont de (..9) : Fd = Fd + Fd = Fd Fd = 0 (..30) C C C ' C C sau : Fd = (F d + Fy dy + Fz dz) = 0 (..3) C C Relaiile (..30) i (..3) aat c lucul mecanic al foelo consevative efectuat pe o taiectoie închis este nul i din punct de vedee matematic (elaia A..3 din anea A) epezint condiia necesa i suficient ca lucul mecanic elementa Fd (integandul din..3) s fie o difeenial total a unei funcii scalae U(,y,z) numit potenialul foei sau enegie potenial cae depinde de poziia punctului mateial, f s depind de timp: F d = du (..3) unde semnul minus indic scdeea acesteia atunci când foa câmpului efectueaz lucu mecanic. Ultima elaie se mai poate scie, inând cont de elaia (A..7) din anea A pentu o difeenial total eact: U U U F d + Fy dy + Fz dz = d + dy + dz y z echivalent cu umtoaele egaliti coespunztoae componentelo foei : U U U F = ; Fy = ; Fz = (..33) y z cu popietatea (A..9): F Fy Fy F = ; z F = ; z F = (..34) y z y z Astfel, se poate defini vectoul fo: F = gad U F= U (..35) unde opeatoul vectoial (nabla) definit în ane (elaia A..), = + y + z, y z aplicat unei funcii scalae, poat numele de gadient. Epesiile (..34) conduc la elaiile: F y Fy Fy = 0; z F z y F = 0; z 7 F z = 0 Definind otoul vectoului F (elaia A..7) ca podusul vectoial : y z ot F = F = y z F F y Fz (..36) (..37) se obsev c în stânga elaiilo (..36) sunt chia componentele vectoului ot F. Rezult astfel: F = 0 (..38) cae epezint o alt caacteizae a foelo consevative i totodat condiia necesa i suficient ca foa câmpului s deive dint-un potenial.

La acest ezultat se putea ajunge i folosind teoema lui Stokes (A..) de tansfomae a integalei cubilinii în integal de supafa, pe supafaa S delimitat de contuul (C) : F d = ( F )d S = 0 C S de unde se obine F = 0 i deoaece otoul unui gadient este întotdeauna nul (elaia A..3), ezult definiia pentu o fo consevativ, ca gadientul cu semn schimbat al enegiei poteniale : F = - gad U. Relaia (..3) se mai scie: d = Fd = du (..39) i lucul mecanic efectuat înte dou puncte A i B va fi : = B F B d = ( du ) = U A U B (..40) A A unde U A i U B sunt enegiile poteniale coespunztoae punctelo A espectiv B, cae sunt deteminate pân la o constant abita. Deci lucul mecanic efectuat de foele câmpului înte dou puncte este egal cu vaiaia enegiei poteniale înte punctele espective, luat cu semn schimbat. Alegând un punct de efein P 0 (spe eemplu la infinit, unde câmpul de foe se anuleaz în geneal) se poate defini enegia potenial a punctului mateial înt-un punct P( ) ca fiind lucul mecanic al foelo câmpului, cu semn schimbat, pentu deplasaea punctului mateial din punctul de efein P 0 în punctul consideat: P U ( ) = F d (..4) P 0 Supafeele pe cae enegia potenial este constant (U=const.) se numesc supafee echipoteniale (descise în A..4.). Foa câmpului consevativ, F, este pependicula pe supafeele echipoteniale i îndeptat în sensul desceteii enegiei poteniale (fig...6), confom definiiei (..35). Un punct mateial situat înt-un câmp consevativ evolueaz cte poziia caacteizat de un minim al enegiei poteniale (poziia de echilibu stabil) i aceast tendin ae o valabilitate geneal în sensul c este tendina natual a tutuo sistemelo de a tece de la sti cu enegie potenial mai mae cte sti cu enegie potenial mai mic, adic tind cte o stae ceia îi coespunde o valoae minim a enegiei poteniale. F linii de fo supafee U echipoteniale F U F U < U < U 3 U 3 Fig...6 8

Confom (..4) i (..39) s-a obinut c: d d = dt = du (T + U) = 0T + U = const. dt sau, notând suma dinte enegia cinetic i cea potenial cu E (enegia mecanic): TA + U A = TB + U B = E = const. (..4) cae epezint teoema consevii enegiei mecanice, evideniind faptul c în timpul micii înt-un câmp de foe consevativ ae loc o tansfomae ecipoc a enegiei cinetice în enegie potenial da enegia mecanic mâne constant. Dac punctul mateial este situat înt-un câmp consevativ i este supus în acelai timp la o fo neconsevativ (disipativ) F ' (spe eemplu o fo de fecae), lucul mecanic al foei neconsevative este egal cu vaiaia enegiei mecanice a copului: B = F'.d = E (..43) A.. ELEMENTE DE DINAMIC RELATIVIST... Relaia dinte mas i enegie în dinamica elativist Pentu viteze foate mai ale copuilo, apopiate de viteza luminii în vid (c), masa de micae (masa elativist) nu mai este constant, ca în cazul dinamicii clasice, ci cete cu viteza dup legea (fig...): mo m(v) = (..) v c unde mo este masa de epaus, deci nu este doa funcie de popietile copului (paticulei) ci i de staea de micae a acestuia. Ea nu este o mime invaiant, având valoi difeite în efeeniale difeite. Ceteea masei elativiste cu viteza a fost veificat epeimental studiind sacina specific a electonilo pentu difeite viteze; s-a constatat c sacina specific e/m este mai mic pentu electonii apizi decât pentu cei leni. Vaiaia masei de micae cu viteza a putut fi obsevat i în pocesele de ciocnie dinte paticulele elementae. m m o c v Fig... clasic, Ponind de la elaia de definiie a foei, cae ae aceeai fom (..3) ca i în mecanica dp F = = dt 9 d dt (m v)

se obine: F dt = v dm + m dv d de unde, pin înmulie cu v ( v = ), se obine lucul mecanic elementa al foei F: dt d = F d = v dm + m v dv (..) Difeeniind elaia (..) ezult: 3 / v dm m o v dv c c = de unde, mo v dv mo v dv m v dv dm = = = 3/ / v c v v c v c c c c sau (c v ) dm = m v dv i (..) devine: d = (c v ) dm + v dm = c dm = dt Integând aceast elaie se obine enegia cinetic: m T c dm = dt T = (m mo ) c (..3) mo 0 Se definete enegia elativist (total) E a unei paticule libee (în absena câmpuilo de foe) ca podusul dinte masa de micae i ptatul vitezei luminii: moc E = mc = (..4) v c numit i elaia lui Einstein, cae aat c oice paticul cae ae mas ae i enegie. Aceast legtu dinte mas i enegie mai este denumit i legea echivalenei dinte mas i enegie. Aceast echivalen nu tebuie confundat cu noiunea de identitate; masa i enegia epezint caacteistici difeite ale paticulelo. Legea echivalenei stabilete popoionalitatea dinte ele. Enegia de epaus (pentu v = 0), este difeit de zeo în cazul elativist: E o = moc (..5) elaia (..3) sciindu-se: T = E E o (..6) Dac viteza de deplasae a paticulei este mult mai mic decât viteza luminii, se dezvolt epesia v c din elaia (..4) în seie de putei i se psteaz pimii doi temeni, ezultând: v E = m 0c + +... m 0c + m0v c Al doilea temen din membul dept coincide cu enegia cinetic clasic a paticulei (..5). 0

... Relaia dinte impuls i enegie în dinamica elativist. Legtua dinte masa de epaus m 0 i impulsul elativist p este dat de elaia: p = m(v) v m0v =. (..7) v - c Pentu viteze mici, v << c, aceast elaie coincide cu cea clasic din mecanica newtonian. S-a pea c masa m 0 coincide cu masa paticulei când aceasta se mic cu vitez mic. Popietile masei de epaus m 0 sunt îns esenial difeite de cele ale masei consideate în cadul teoiei clasice. Masa de epaus nu satisface legea de consevae. Eist pocese în cae masa total a paticulelo înainte de pocesul fizic nu este egal cu masa total a paticulelo cae ezult dup desfuaea acestuia. Neconsevaea masei de epaus ezult i din faptul c masa de epaus m 0 nu este o popietate geneal a paticulelo; spe eemplu, fotonii i neutinii au masa de epaus nul. Masa de epaus este o caacteistic foate impotant a copuilo. Fiecae paticul elementa sau fundamental ae o mas de epaus m 0 bine deteminat. În teoia elativitii se admite legea consevii enegiei i a impulsului i din elaia lui Einstein ezult c se consev i masa elativist. Spe deosebie de mecanica clasic, unde eist dou legi de consevae pentu enegie i, espectiv, mas, în teoia elativitii ele sunt eunite înt-una singu i anume în legea consevii enegiei totale. Eliminând viteza paticulei din elaiile (..4) i (..7) se obine elaia dinte impulsul i enegia elativist: E = p c + m 4 oc (..8) PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL.. Un mobil se deplaseaz dup ecuaiile paametice = 4 + 6 t i y= 3 t, unde i y se dau în cm, ia t în s. S se detemine taiectoia mobilului, mimea vitezei i a acceleaiei. R: y = 3 ; v = 6t 5 cm/s ; a = 6 5 cm/s.. Un mobil eecut o micae ectilinie confom ecuaiei 3 = 5t + t t. S se 3 detemine în ce moment viteza mobilului este maim i cae este aceast valoae. R: [ t] s ; v ma v( ) = 7m / s v = = v ma =..3. S se detemine viteza i spaiul pacus de un mobil a cui acceleaie depinde de vitez dup legea a = - kv, unde k este o constant pozitiv, cunoscând c la t=0, v=v 0 i =0. Cae este dependena vitezei de spaiul pacus?. k R: v v o e =.4. O bac cu moto întâmpin din patea apei o fo de ezisten popoional cu ptatul vitezei. În momentul când viteza bcii este v o = 0 m / s, motoul este opit i dup un timp τ = 7, s viteza bcii devine de e oi mai mic (e baza logaitmului natual). S se detemine distana pacus de bac în acest timp. v R: d o τ = = 00 m. e

.5. Un cop punctifom de mas m poate s se mite ectiliniu (în lungul aei O, de eemplu). Asupa lui acioneaz o fo îndeptat în lungul aceleiai ae, în sens pozitiv, egal cu F = k m, unde k este un coeficient constant ia abscisa copului. La momentul iniial, copul se afl în epaus la distana d de oiginea aei de micae. S se afle ecuaia spaiului pacus de cop neglijând fecaea dinte cop i plan. d R: = (e kt + e kt ) = d.ch kt.6. Micaea în linie deapt a unui automobil de mas m = 00 kg cu o vitez unifom v necesit, pentu a putea învinge divesele feci i ezistena aeului, o fo oizontal a cei valoae, în newtoni, este dat de elaia F = 850 + v (v în m/s). S se detemine foa de ezisten i puteea automobilului, în ipoteza micii unifome, în funcie de viteza acestuia. R: F = v (N); P = (850 + v ) v (W).7. Un punct mateial de mas m se mic pe o taiectoie cicula de az R sub k aciunea unei foe centale de atacie F= R, al cei supot tece pin centul cecului ia k R 3 este o constant pozitiv. Deteminai: a)enegia cinetic, potenial i total a punctului mateial; b)impulsul i momentul cinetic al punctului mateial. k k k R: T = ; U = ; p = ; L = kmr R R mr.8. Stabilii foma supafeelo echipoteniale pentu umtoaele câmpui centale consevative:câmpul gavitaional teestu, în apopieea supafeei Pmântului km ( g = const.,g = mg) ; b)câmpul foelo de atacie newtoniene, F =, unde k este o 3 constant pozitiv ia este vectoul de poziie al copului de mas m fa de centul de fo. R: a) plane paalele cu planul Oy; b) sfee cu centul în oiginea sistemului de ae de coodonate..9. Deteminai viteza unei paticule elativiste dac: a) impulsul elativist este mai mae de η = oi decât impulsul newtonian al paticulei; b) enegia cinetic a paticulei este egal cu enegia sa de epaus. c 8 c 8 R: a) v = η =,6 0 m / s ; b) v = 3 =,6 0 m / s η.0. O paticul cu masa de epaus m 0 se deplaseaz de-a lungul aei O a unui efeenial dup legea = a + c t, unde a este o constant, c viteza luminii, ia t timpul. S se detemine ce fo se eecit asupa paticulei în acest efeenial. m c 0 R: F =. a.. Deteminai acceleaia unui electon în micae elativist sub aciunea unei foe constante, la momentul în cae enegia sa cinetic devine T. 3 F R: a = m T o + moc

.. OSCILAII ELASTICE Oice micae în cae se face o tansfomae peiodic sau pseudopeiodic a unei fome de enegie în alta poat numele de oscilaie. Oscilaiile elastice sunt acele oscilaii în cae enegia cinetic se tansfom în enegie potenial i inves. Oscilaia unui sistem izolat declanat pint-un impuls iniial cae ae fecven constant se numete oscilaie libe (popie) ia fecvena micii oscilatoii - fecven popie. Dac mimile ce caacteizeaz micaea oscilatoie (masa, constantele elastice, coeficienii de popoionalitate înte foele de fecae i viteze) mân constante în timp, oscilaia este linia.... Micaea oscilatoie amonic Micaea oscilatoie amonic epezint micaea unui sistem mecanic izolat de-o pate i de alta a unei poziii de echilibu. Pint-o alegee convenabil a sistemului de efein, se poate considea c micaea este unidimensional, în lungul aei O. Staea de echilibu coespunde poziiei în cae enegia potenial este minim, adic du d U = 0, > 0, d 0 d = = 0 unde 0 este coodonata poziiei de echilibu. Dac sistemul este deptat de poziia de echilibu ia natee o fo elastic cae, pentu sistemul izolat, deiv din enegia potenial (..35) : du F = gad U =. (..) d Pentu deteminaea acestei foe e necesa cunoateea enegiei poteniale. Pentu deplasi mici ( - 0 ) fa de poziia de echilibu epesia enegiei poteniale coespunztoae poziiei se poate dezvolta în seie Taylo (elaia A..0), cu limitae la pimii temeni : du d U U() = U( 0 ) + ( ) ( )... d 0 + 0 + (..) d = 0 = 0 Din condiia de echilibu, ezult c al doilea temen din dezvoltae este nul. Dac alegem pin convenie 0 = 0 i U( 0 ) = 0, epesia (..) devine : d U U ( ) (..3) d = 0 Notând constanta elastic cu d U k = > 0 (..4) d = 0 elaia (..3) devine : U () = k (..5) de unde ezult epesia foei (..) ce acioneaz asupa sistemului mecanic: F = k. (..6) 3

Aceast fo este o fo de tip elastic, fiind îndeptat spe poziia de echilibu i având intensitatea popoional cu deplasaea. Constanta elastic k dat de (..4) caacteizeaz câmpul de foe i este dependent de natua mediului. Dac se educe sistemul mecanic la un punct mateial cu masa m, ecuaia de micae a acestuia sub aciunea foei elastice este : m = k m + k = 0. Împind ecuaia pin m se obine : + ω o = 0 (..7) unde s-a notat ω k o = m (..8) ω o fiind pulsaia popie. Ecuaia (..7) este o ecuaie difeenial linia i omogen de odinul al doilea cu coeficieni constani, cu soluii de foma t e λ i cae intoduse în ecuaia (..7) detemin ecuaia caacteistic pentu λ : λ + ω o = 0 (..9) având soluiile pu imaginae: λ, = ± i ω o (..0) inând cont de elaia (..0) se obine soluia geneal a ecuaiei (..7) de foma unei combinaii liniae a soluiilo linia independente e λ t i e λ t : iω o t iω o t = C 'e + C " e (..) C i C fiind constante abitae de integae, în geneal complee. Pentu ca s fie o mime eal, adic = * (* fiind conjugata lui ), tebuie ca C = C *. Folosind elaiile lui Eule : e ± i.a = cos a ± i sin a, se obine : = (C' + C" ) cos ω o t + i(c' C" ) sin ω o t sau : = C cos ωot + C sin ωot (..) unde C = (C' + C") i C = i(c' C" ) sunt constante eale (deoaece C = C *). Notând : C = A cos ϕ, unde C A = C C = A sin ϕ + C i tg ϕ =, C epesia lui din (..) devine : = A cos ( ω o t + ϕ ) (..3) Uneoi soluia (..3) se epim sub foma = A sin( ω o t + ϕ) (..3 ) sau sub fom comple: i ( ω o t + ϕ ) = A e (..3 ) convenind ca patea eal s epezinte mimea fizic consideat. Micaea epimat de (..3) sau (..3 ) este o micae oscilatoie amonic fiind descis de o funcie cosinus sau sinus; epezint elongaia, A - amplitudinea micii (valoaea maim a elongaiei), Φ = ωo t + ϕ - faza micii ia ϕ - faza iniial a micii. Micaea este peiodic deoaece elongaia ia valoi identice în momente sepaate înte ele pin intevalul T numit peioada oscilaiei. 4

Din condiia: sau ezult : sau de unde peioada este: [ ω (t + T) + ϕ] =... = Acos[ ( ω (t + nt + ϕ] = Acos( ωo t + ϕ) = Acos o o ) [ ω (t + T + ϕ] cos ( ω o t + ϕ) = cos o ) ω o ( t + T) + ϕ = ω o t + ϕ + π ωo T = π π m T = = π (..4) ω o k Numul de peioade cupinse în unitatea de timp se numete fecven: ω ν = = o (..5) T π În timpul oscilaiei, viteza i acceleaia oscilatoului sunt vaiabile în timp: v = = Aωo sin( ωot + ϕ) a = = Aωo cos( ωot + ϕ) Enegia total a oscilatoului este : mv k ka mω A E = T + U = + = = o (..6) fiind constant în oice moment, aa cum ezult din teoema consevii enegiei mecanice (..4) pentu un sistem izolat.... Micaea oscilatoie amotizat În ealitate oscilaiile unui punct mateial se poduc cu disipae de enegie datoit eistenei foelo de fecae din patea mediului. Pentu viteze mici se conside c foa de fecae este popoional în oice moment cu viteza, fiind de foma: F f = v =, > 0 unde se numete coeficientul de ezisten al mediului. Astfel, pe lâng foa elastic, apae i foa de fânae cae se opune deplasii, legea fundamental a dinamicii fiind în acest caz : m = Fe + Ff m = k sau : m + + k = 0 (..7) Împind pin m i notând k = ω m o i = β (..8) m unde β se numete facto de amotizae, ecuaia (..7) devine : + β + ω o = 0 (..9) cae este o ecuaie difeenial omogen de odinul doi cu coeficieni constani cae ae soluii de t foma e λ i cae, intoduse în (..9), implic ecuaia caacteistic: cu soluiile : λ + βλ + ω o = 0 (..0) 5

λ, = β ± β ω o (..) Soluia geneal a ecuaiei (..9) este : λt λ = C'e + C" e t sau, înlocuind (..) : βt = t β ωo t β ω e C'e + C"e o (..) (t) (t) C +C C O t O t Fig... Fig... În funcie de elaia dinte β i ω o, se disting tei cazui : ) Dac β > ω o fecaea este putenic, soluiile ecuaiei caacteistice (..0) sunt eale, micaea este amotizat apeiodic, elongaia sczând monoton i tinzând cte 0 când t (fig...), sistemul evenind la poziia de echilibu ( nu-i schimb semnul, oscilatoul nu tece de cealalt pate a poziiei de echilibu, piezându-i înteaga enegie înt-un sfet de peioad). ) Dac β = ω o (cazul amotizii citice) ecuaia caacteistic (..0) ae o dcin multipl (dubl), λ, = - β, i soluia geneal este de foma unei combinaii liniae a soluiilo linia independente e λ t i t.e λ t : β t = e (C 't + C" ) micaea fiind i în acest caz apeiodic (fig...). sunt complee : unde s-a notat cu 3) Dac β < ω o foa de fecae este slab i soluiile (..) ale ecuaiei caacteistice λ, = β ± i ω o β = β ± iω a (..3) ω a pseudopulsaia oscilaiilo: ω a = ω o β (..4) Soluia geneal (..) a ecuaiei difeeniale (..9) devine : βt iω t i t e (C'e a ω = + C"e a ) Folosind aionamentul de obinee a elaiei = A cos ( ωo t + ϕ) din paagaful pecedent se obine : = e βt ( C cos ω a t + C sin ω a t) sau : = A e β t 0 cos ( ω a t + ϕ a ) (..5) 6

Ecuaia (..5) aat c micaea este pseudopeiodic, deci este oscilatoie - fapt indicat de factoul cos( ωa t + ϕ a ) da amplitudinea scade în timp dup legea eponenial : A ( t ) = A t 0 e β (..6) Gaficul vaiaiei elongaiei micii oscilatoii amotizate (..5) în funcie de timp este atat în figua..3 (cuba plin), cubele punctate epezentând funcia = ± A 0 e - β t. Peioada micii amotizate este: π π T = =. ω a ω o β Amotizaea oscilaiilo se poate caacteiza pin mimea δ, numit decement logaitmic i cae epezint logaitmul natual al apotului a dou amplitudini consecutive : βt A (t) A e δ = ln = ln 0 = ln e βt = βt A (t + T ) β(t + T ) A 0 e (t) A 0 A(t) T A(t+T) t obine : Fig...3 Dac se cunoate amplitudinea iniial A o i amplitudinea dup n oscilaii complete, A n, se A 0 A 0 A A.... n A n A j = ln 0 = ln A n A A A n A n j= A j i cum fiecae logaitm natual din sum este egal cu δ se obine : A 0 A ln = n δ δ = ln 0 A n n A n O msu a duatei oscilaiilo amotizate este invesul coeficientului de amotizae β, τ =, numit timp de elaae cae aat în cât timp amplitudinea oscilaiilo scade de e oi. β..3. Micaea oscilatoie înteinut (foat). Rezonana Pentu a împiedica amotizaea micii oscilatoii sub aciunea foei de fecae, i se tansmite oscilatoului enegie din eteio, acionându-se cu o fo peiodic de foma : Fp = F0 cos ωt Ecuaia micii se scie în acest caz : m + + k = F0 cos ωt F 0 + β + ωo = cosωt m (..7) Soluia ecuaiei neomogene (..7) se scie ca suma = + (fig...4) dinte soluia geneal a ecuaiei omogene cu aceiai coeficieni, de foma (..5) : 7

t = βt ω β A 0e cos o t + ϕ a i o soluie paticula a ecuaiei neomogene, de foma membului dept : = A cos ( ω t + ϕ ) (..8) Datoit amotizii, pentu un inteval de timp suficient de lung soluia (egimul tanzitoiu) poate fi neglijat, oscilaiile sistemului fiind descise de soluia. Micaea descis de aceast soluie se numete egim staiona; oscilaiile se efectueaz cu o pulsaie egal cu cea a foei de înteinee i nu cu pulsaia popie. t t Fig...4 Amplitudinea A i faza iniial ϕ se detemin din condiia ca dat de elaia (..8) s veifice ecuaia (..7). Înlocuind: = = ω A sin ( ωt + ϕ) ; = = ω A cos ( ωt + ϕ) i notând F 0 = f 0 (..9) m ecuaia (..7) devine : ω A cos( ωt + ϕ) βωa sin( ωt + ϕ) + ω oacos( ωt + ϕ) = f 0 cos ωt sau, sciind ezult f 0 cos ωt = f 0 cos (ωt + ϕ - ϕ) ( ω0 ω )Acos( ωt + ϕ) βωa sin( ωt + ϕ) = f0 cos ( ωt + ϕ) cos ϕ + f0 sin ( ωt + ϕ) sin ϕ Identificând coeficienii temenilo cos (ω t + ϕ) i sin (ω t + ϕ) din ambii membi ai ecuaiei se obine : A ( ω ω o ) = f 0 cos ϕ (..30) βωa = f 0 sin ϕ de unde ezult pin împiea elaiilo : β ω tg ϕ = (..3) ω o ω ω Înlocuind o ω cos ϕ = = + tg ϕ ( ) ω o ω + 4β ω 8

în pima elaie a sistemului (..30) i inând cont de notaia (..9), se obine amplitudinea oscilaiilo foate : F A = 0 (..3) ( ) m ω o ω + 4β ω A β 0 β <β <β 3 <.. F 0 mω 0 β β 3 O ω ω Fig...5 Amplitudinea i faza iniial a micii oscilatoii înteinute, în egim staiona, depind de apotul dinte pulsaia ω a foei peiodice de înteinee i pulsaia ω 0 a oscilaiilo popii. Dependena amplitudinii oscilaiilo înteinute de pulsaia foei este edat în figua..5. Oscilaiile nu sunt în faz cu foa de înteinee (cu ecepia cazului în cae β = 0). Amplitudinea pezint un maim pentu o da pulsaie ω numit pulsaie de ezonan i cae se obine din condiia = 0 adic: dωω= ω 4 ω ( ω ω o ) ( ω ω ) + 4 F + 8β ω 0. = 0 ω m 3 / = ωo β o β ω ω = ω Fenomenul de apaiie a unui maim de amplitudine a micii înteinute se numete ezonan. Maimul amplitudinii, F A 0 ma = A( ω ) =, mβ ω o β este cu atât mai mae cu cât coeficientul de amotizae β este mai mic, tinzând cte când β 0. Cu cât factoul de amotizae β este mai mic, cu atât pulsaia de ezonan se apopie de valoaea pulsaiei oscilaiilo popii. Fenomenul de ezonan ae numeoase aplicaii în fizic i tehnic, stând la faza funcionii adioeceptoaelo, instumentelo de msu, instumentelo muzicale etc. În poiectaea uno ogane de maini tebuie s se asigue o fecven popie de oscilaie a instalaiilo cae s fie difeit de cea a vibaiilo cae apa în timpul funcionii acestoa, pentu a evita atingeea unui maim al amplitudinii cae le-a distuge. 9

..4. Compuneea oscilaiilo amonice..4.. Compuneea oscilaiilo amonice paalele cu pulsaii egale Dac asupa unui punct mateial acioneaz simultan dou sau mai multe foe elastice, micaea efectuat de el este o micae ezultant deteminat de efectul independent al fiecei foe. Considem c punctul mateial e supus simultan la dou foe elastice ce acioneaz pe diecia O i cae detemin micile oscilatoii edate de elaiile : = A cos ( ω t + ϕ ) (..33) = A cos ( ω t + ϕ ) Elongaia ezultant va fi suma elongaiilo oscilaiilo paalele independente : = + = A cos( ωt + ϕ) + A cos( ωt + ϕ ) (..34) ia ecuaia micii oscilatoii ezultante este de foma: = A cos ( ω t + ϕ ) (..35) Din (..34) i (..35) ezult, egalând coeficienii lui cos ω t i sin ω t din cei doi membi : A cos ϕ = A cos ϕ + A cos ϕ (..36) A sin ϕ = A sin ϕ + A sin ϕ de unde se obine: A sinϕ + A sinϕ tg ϕ = (..37) A cosϕ + A cosϕ Ridicând la ptat elaiile (..36) i adunându-le ezult : A = A A + + A A cos( ϕ ϕ ) (..38) Relaia (..35) aat c oscilaia ezultant este tot o oscilaie amonic, cu aceeai fecven cu fecvena oscilaiilo ce se compun. Amplitudinea oscilaiei ezultante (..38) este dependent de difeena de faz ϕ = ϕ - ϕ dinte cele dou oscilaii. Se disting cazuile paticulae : o. Dac ϕ = n π; n = 0,,,..., oscilaiile sunt în faz i amplitudinea oscilaiei ezultante este maim i egal cu suma amplitudinilo oscilaiilo componente: A = A + A. o. Dac ϕ = ( n + ) π; n = 0,,,..., oscilaiile sunt în antifaz i amplitudinea oscilaiei ezultante este minim : A = A - A. 3 o. Dac ϕ = ( n + ) π / ; n = 0,,,..., oscilaiile sunt în cuadatu i ezult: A = A + A Relaiile (..37) i (..38) pot fi obinute i pe cale gafic folosind metoda fazoial a lui Fesnel pin epezentaea amplitudinilo oscilaiilo componente pin vectoi înclinai fa de aa O cu unghiui egale cu fazele iniiale ale oscilaiilo i compuneea lo dup egula paalelogamului (fig...6 a) sau a poligonului (fig...6 b). Genealizae. În cazul compuneii a n oscilaii paalele de aceeai pulsaie, amplitudinea i faza oscilaiilo ezultante sunt date de elaiile : n n A = A i.cos i Ai sin ϕ + ϕ i i= i= 0

i n Ai sin ϕi tg ϕ = i= n Ai cos ϕi i= y A A A ϕ ϕ A A A ϕ O a b Fig...6..4.. Compuneea a dou oscilaii paalele cu pulsaii puin difeite. Fenomenul de bti Pesupunem c pulsaiile celo dou oscilaii sunt de foma : ω = ω ω (.. 39) ω = ω + ω unde ω << ω, deci fiecae dife foate puin fa de valoaea ω: ω ω ω = (..40) ω + ω ω = (..4) Pesupunând oscilaii de aceeai amplitudine A 0 i faze iniiale ϕ i ϕ, elongaiile celo dou oscilaii vo fi de foma: = A0 cos( ωt + ϕ) = A0 cos( ωt + ϕ ) ia elongaia micii ezultante: ω ω ϕ ϕ ω + ω ϕ + ϕ = + = A cos.t + cos t + 0 sau, notând ϕ ϕ ϕ ϕ =, + ϕ ϕ = i inând cont de elaiile (..40) i (..4): = A0 cos ( ω. t + ϕ ). cos ( ω. t+ ϕ) (..4) Dac oscilaia ezultant se epim sub foma : = Acos( ω t+ ϕ) ezult c amplitudinea acesteia este : A = A0 cos( ω. t + ϕ )

deci vaiaz peiodic în timp i micaea ezultant nu este o oscilaie amonic ci apae ca o oscilaie modulat atât în amplitudine cât i în fecven de o alt oscilaie peiodic (fig...7). Succesiunea de maime i minime ale amplitudinii oscilaiei ezultate pin compuneea a dou oscilaii paalele cu fecvene puin difeite poat numele de fenomen de bti. Peioada T b de vaiaie a amplitudinii ezultante (peioada btilo) se detemin din condiia ca amplitudinea s fie maim sau minim, deci pentu : ω.t + ϕ = nπ cos( ω.t + ϕ) = ω.(t + Tb ) + ϕ = (n + ) π Sczând cele dou elaii se obine : π π Tb = = ω ω ω Peioada oscilaiilo, T, se detemin din elaia : π 4π T = T = ω ω + ω T b A 0 O t - A 0 T Fig...7..4.3. Compuneea oscilaiilo amonice pependiculae cu pulsaii egale Pesupunem dou oscilaii pependiculae descise de ecuaiile : = A cos ( ωt + ϕ) (..43) y = A cos( ωt + ϕ ) Taiectoia unui punct mateial supus simultan acesto oscilaii se obine eliminând timpul din cele dou ecuaii (..43). Sciind cele dou ecuaii sub foma : = cosωt.cosϕ sinωt.sinϕ A y = cosωt.cosϕ sinωt.sinϕ A ezult pin eliminaea succesiv a lui cos ω t i sin ω t : y cosϕ cosϕ = sinωt ( sinϕ.cosϕ sinϕ.cosϕ ) A A y sinϕ sinϕ = cosωt ( cosϕ.sinϕ cosϕ.sinϕ ) A A

Ridicând ultimele elaii la ptat i adunându-le se obine : y y cosϕ cosϕ + sinϕ sinϕ = sin ( ϕ ϕ ) A A A A y y + cos( ϕ ) sin ( ) A A A A ϕ = ϕ ϕ (..44) y P A M y ωt+ϕ C -A O A O ωt+ϕ C N -A Q a Fig...8 b Taiectoia punctului mateial descis de ecuaia (..44) epezint o elips de semiae A i A, cu centul în oiginea sistemului de ae de coodonate Oy, înscis înt-un deptunghi de latui A i A. Foma elipsei depinde de defazajul ϕ = ϕ - ϕ dinte cele dou oscilaii (fig...8 a). Cazui paticulae o. Dac ϕ = n π ; n = 0,,,.. din (..44) ezult ecuaia: A y = A cae epezint dou depte confundate situate în cadanele I i III (fig...8 a). Oscilaia ezultant este polaizat linia (diagonala MN a deptunghiului în cae este înscis elipsa) i ae amplitudinea A = A + A. o. Dac ϕ = (n +) π ; n = 0,,,.. din (..44) ezult ecuaia unei depte: A y = A cae epezint diagonala PQ din cadanele II i IV a deptunghiului în cae este înscis elipsa. Oscilaia ezultant este de asemenea polaizat linia i ae amplitudinea A = A + A. 3 o. Dac ϕ = (n +) π, n = 0,,,.. din (..44) se obine : y + = (..45) A A 3

cae este ecuaia unei elipse cu centul în oiginea O a sistemului de ae de coodonate, ale cei ae coincid cu dieciile de-a lungul coa se poduc oscilaiile (fig...8 b). Valoile difeenei de faz ϕ dau sensul de pacus al taiectoiei. Astfel: a) dac n este pa (spe eemplu n=0): = A cos ( ωt + ϕ) π y = A cos( ωt + ϕ + ) = A sin( t ) ω + ϕ i punctul mateial C (fig...8.b) se mic pe taiectoie în sens inves tigonometic i oscilaia este polaizat eliptic dept. b) dac n este impa (spe eemplu n=): = A cos ( ωt + ϕ) 3π y = A cos( ωt + ϕ + ) = A sin( t ) ω + ϕ i punctul mateial C (fig...8.b) se mic pe taiectoie în sens tigonometic i oscilaia este polaizat eliptic stâng. Din elaia (..45) dac A = A = A ezult + y = A deci elipsa devine un cec înscis înt-un ptat de latu A. În concluzie, pentu ϕ egal cu num înteg de π, elipsa degeneeaz înt-o deapt. Dac 0 < ϕ < π se obin elipse depte (elipsa pacus în sens inves tigonometic) i dac π < ϕ < π se obin elipse stângi (elipsa pacus în sens tigonometic), confom figuii..9. ϕ=0 0< ϕ<π/ ϕ=π/ π/< ϕ<π e l i p s e d e p t e ϕ=π π< ϕ<3π/ ϕ=3π/ 3π/< ϕ<π e l i p s e s t â n g i Fig...9..4.4. Compuneea oscilaiilo pependiculae de pulsaii oaecae Când cele dou semnale sinusoidale au pulsaii difeite ω ω, atunci taiectoia punctului descie o seie de cube compuse din mai multe amui, numite figui Lissajous. 4

Figuile Lissajous pot fi închise sau deschise dup cum este sau nu este îndeplinit condiia ca punctul ce oscileaz s teac pint-un acelai punct P (, y ) dup un acelai inteval de timp T, adic: = ' A cos[ ω (t + kt ) + ϕ] = A cos[ ω(t + T' ) + ϕ] y = y' A cos[ ω(t + kt ) +ϕ ] = A cos[ ω(t + T' ) + ϕ ] Deci dup intevalul de timp T = k T = k T valoile elongaiilo i y se vo epeta, cci în acest inteval de timp se efectueaz k oscilaii complete dup aa O i k oscilaii complete dup aa Oy. Rezult condiiile: π π T' = k = k ω ω sau : ω k = ω k adic, pentu ca figuile Lissajous s fie cube închise tebuie ca apotul pulsaiilo celo dou oscilaii s fie un num aional. ϕ=0 ϕ=π/ 4 ϕ=π/ ϕ=3π/ 4 ϕ= π ω = ω ω = ω ω = ω 3 3 Fig...0 Aplicând cele dou oscilaii pe plcile unui osciloscop catodic se obsev pe ecanul acestuia o figu stabil închis numai atunci când apotul dinte numul punctelo de contact ale figuii Lissajous cu o linie oizontal i una vetical cae a închide figua este un num aional (eemple în fig...0). Dac apotul fecvenelo este un num aional, taiectoia e stabil (fi) da foma depinde i de ϕ. ω Dac Q atunci punctul descie o cub cae acope teptat o aie. ω 5

.. UNDE ELASTICE... Genealiti Mediile continue sunt sisteme de paticule legate (molecule, atomi, ioni), adic paticule cae inteacioneaz înte ele astfel încât dac una din paticule oscileaz, vo oscila dup ea i paticulele vecine. O micae oscilatoie, impimat unui punct dint-un mediu elastic, se comunic pogesiv i celolalte puncte ale mediului. Punctul mateial ce a fost pus în stae de vibaie devine un izvo (sus) de oscilaii cae se popag în toate dieciile din spaiu. Popagaea din apoape în apoape a unei petubaii în mediul elastic poat numele de und elastic. Mediile cae detemin anumite paticulaiti ale popagii undelo pot fi clasificate astfel: - omogene sau neomogene; - izotope sau anizotope; - liniae sau neliniae; - dispesive sau nedispesive; - consevative sau disipative. Un mediu este : omogen dac popietile fizice sunt aceleai în oice punct, independent de coodonate; anizotop dac popietile fizice vaiaz în apot cu diecia i izotop dac nu eist diecii pivilegiate pentu aceste popieti; linia dac petubaia global povenit pin supapuneea mai multo unde de acelai tip, descise de funciile de und ψ, ψ,..., ψ n, este edat de o funcie de und: n ψ = ψi ; i= dispesiv dac viteza de popagae a petubaiei depinde de caacteisticile mediului; disipativ dac popagaea se face cu absobie de enegie i consevativ dac popagaea nu se face cu absobie de enegie. Un mediu este ideal dac este omogen, izotop, linia, nedispesiv i consevativ. Undele elastice sunt geneate în medii elastice de cte petubaii mecanice cae constau înt-o defomae local a mediului (întindee, compimae, fofecae, încovoiee etc.) poducând vaiaia local a difeiilo paameti caacteistici mediului, de eemplu poziia unui punct mateial din mediu, viteza acestuia, pesiunea, densitatea etc., cae vo fi funcii atât de poziie, cât i de timp. Vom considea în continuae numai medii ideale, ale co popieti elastice sunt caacteizate de dou constante elastice independente: modulul de elasticitate la taciune (modulul lui Young) E i modulul de lunecae (fofecae) G. Locul geometic al punctelo din mediul elastic cae oscileaz în faz se numete supafa de und. Supafeele de und pot fi de difeite fome (sfeice, plane, cilindice, eliptice etc.), în funcie de mediul de popagae i de foma izvoului de unde. Dac toate paticulele situate înt-un plan pependicula pe diecia de popagae a undei oscileaz identic, unda se numete plan. Unele dinte mimile fizice caacteistice punctelo mediului sunt scalae, de eemplu pesiunea sau densitatea, altele sunt vectoiale, de eemplu deplasaea sau viteza, ia în mediile anizotope, unele mimi pot fi tensoiale. O mime vectoial caacteistic popagii unei unde π elastice oscileaz dup o diecie cae fomeaz un unghi θ 0, cu diecia de popagae a undei. 6

π În paticula, dac θ = 0 undele se numesc longitudinale, ia dac θ = undele se π numesc tansvesale. Pentu θ 0, unda se poate descompune întotdeauna înt-o und longitudinal i o und tansvesal. O caacteistic impotant a undelo elastice este deplasaea fiecui punct mateial al mediului fa de poziia lui de echilibu. Refeindu-ne la aceast mime, în cele ce umeaz vom vobi despe unde longitudinale i despe unde tansvesale. În timp ce undele longitudinale se popag atât în fluide (lichide i gaze), cât i în solide, undele tansvesale nu se popag decât în solide i numai în anumite condiii la supafaa lichidelo. Un caz paticula de unde elastice îl constituie undele sonoe (sunete) cae impesioneaz uechea poducând o senzaie auditiv. Apaiia acesteia pesupune o duat a ecitaiei supeioa la 0,06 s (altfel se poduce senzaia de pocnet), o fecven cupins înte apoimativ 0 Hz i 6 khz (limitele vaiaz). Undele elastice cu fecvene mai mai de 6 khz, neaudibile, sunt numite ultasunete. Datoit lungimii de und foate edus, efectele de difacie ale ultasunetelo se manifest numai la dimensiuni foate mici ale neomogenitilo mediului, astfel încât oificii cu dimensiuni de odinul mm pot delimita fascicule diecionale de ultasunete. Cooboând acest efect cu intensitile apeciabile cae se pot ealiza, ultasunetele pezint numeoase aplicaii pactice (..0). Infasunetele sunt unde elastice cu fecvene mai mici de 0 Hz. Având o absobie etem de edus, se popag pe distane de sute sau mii de km. Infasunetele pot detemina vibaii ale postamentelo mainilo i ale cldiilo, cu efecte nedoite asupa stabilitii i duatei de seviciu. Infasunetele sunt poduse de divese fenomene natuale: futuni, mai meteoii, valui maine, eplozii vulcanice, micoseisme, cutemue. Apa i ca efecte secundae în tehnic, asemenea, suse fiind sisteme cu otaii lente (compesoae, ventilatoae), podui supuse la tafic intens, vehicule cu viteze supesonice, eplozii putenice.... Ecuaia undei plane monocomatice S gsim legea de oscilaie a unui punct aflat pe diecia de popagae a undei, la o distan oaecae de izvoul de oscilaie. Fie punctul O (centul de oscilaie) oiginea sistemului de coodonate, în cae oscileaz o paticul. Aceste oscilaii se tansmit mediului elastic pe diecia O, oscilaiile poducându-se pependicula pe aceast diecie (fig...). Oice fom a avea unda, pentu ca fenomenul vibato din O s înceap i în punctul P, aflat la distana de O, tebuie s teac un inteval de timp τ = (inteval de defazae) necesa oscilaiei s se tansmit din O v în P. Elongaia paticulei din O este de foma: y O = A sin ωt Luând ca oigine a timpului momentul în cae punctul O a început s oscileze, paticula din punctul P va începe s oscileze dup timpul τ, elongaia oscilaiei fiind : π y = A sin ω (t τ ) = A sin ω t = A sin t v T v t sau y = A sin π (..) T λ unde λ = v T este lungimea de und, definit ca distana pacus de supafaa de und în timp de o peioad. 7

y P O Fig... Relaia (..) d legea de oscilaie a unui punct mateial situat pe diecia de popagae a undelo, la distana abita de oiginea oscilaiilo i se numete ecuaia undei plane. Difeena de faz fa de oscilaiile din punctul O este : π ϕ = = k, λ unde k = π (..) λ este numul de und definit ca numul de lungimi de und cupinse în distana de π meti. Ecuaia (..) se scie astfel : y = A sin( ωt k) (..3) Deoaece elongaia y depinde atât de poziie cât i de timp, inteeseaz legtua dinte cele dou vaiabile ale elongaiei. Folosind un calcul simplu, se poate ajunge la alt fom a ecuaiei undei plane. Consideând aa O dept diecie de popagae, se calculeaz deivatele de odinul al doilea ale elongaiei y în apot cu coodonata i cu timpul : y y = Aωcos( ωt k) = Aω sin( ωt k) = ω y t t de unde ezult y y = (..4) ω t i de asemenea y y = kacos( ωt k) = Ak sin( ωt k) = k y de unde : y y = (..5) k Egalând (..4) cu (..5) ezult: y y y ω y = = ω t k t k sau, inând cont de (..) i de elaiile i ω = π/t λ = v T, 8

y y = v (..6) t cae este ecuaia difeenial de popagae a undelo plane. Relaia (..3) este un caz paticula al soluiei ecuaiei cu deivate paiale (..6)...3. Popagaea undelo longitudinale în solide În continuae s stabilim ecuaia de popagae a undei longitudinale plane în medii solide i s gsim viteza undelo longitudinale în aceste medii. S admitem c de-a lungul unei diecii oaecae se gsesc epatizate unifom paticulele cae constituie mediul elastic. Dac o petubaie atinge pima paticul, aceasta se va apopia de paticula vecin, poducându-se astfel o compimae. În acest caz apa foe elastice, cae tind s eaduc paticulele la poziia iniial. Datoit acestui fapt, în locul în cae a avut loc compimaea se poduce o dilatae i aa mai depate. Rezult, deci, c popagaea undelo longitudinale se face pin compimi i dilati (aefiei) succesive. a) Defomaiile în unda longitudinal în solide Considem c undele longitudinale se popag înt-o ba pe diecia O. Fie ε (,t) defomaia elastic elativ la momentul t din planul tansvesal P() cae ae poziia de echilibu (fig...). Pentu a calcula aceast defomaie elativ considem, pe lâng planul P(), un plan infinit apopiat Q(+d). Coodonatele i +d epezint poziiile de echilibu (de epaus) ale paticulelo din planul P espectiv Q astfel încât segmentul PQ = d epezint gosimea nedefomat a statului. Sub aciunea undei la momentul t paticulele din planul P() au elongaia ξ(,t) i deci sunt deplasate în planul P' cae ae coodonata +ξ(,t) ia paticulele din planul Q (+d) se vo deplasa în planul Q' de coodonat +d+ξ(+d, t) deoaece elongaia paticulelo din punctul infinit vecin Q ( + d) este : ξ(, t) ξ ( + d, t) = ξ() + d (..7) ξ (, t) O P() Q(+d) P Q d ξ ( + d, t) σ(,t) Fig... Fig...3 Gosimea statului iniial (nedefomat) PQ = d devine la momentul t egal cu : P' Q' = PQ + QQ' PP' = d + ξ( + d, t) ξ(, t) sau, inând cont de (..7) : ξ ξ P ' Q' = d + d = d + Alungiea absolut va fi ξ δ = P' Q' PQ = d ia cea elativ d d dm σ(+d,t) S 0 ξ d + în pezena undei 9

adic: ε = δ δ = PQ d ξ ε (, t) = (..8) Deci, cunoscând elongaia ξ (,t) din unda longitudinal, pin deivaea acesteia în apot cu coodonata obinem defomaia elastic ale mediului. Cealalt deivat paial a elongaiei, în apot cu timpul, epezint viteza paticulelo din und : ξ v = = ξ (..9) t b) Viteza undelo longitudinale în solide Pentu a deduce viteza de popagae a undelo vom stabili mai întâi ecuaia undelo. Pentu aceasta vom considea un element de mas dm din solid (spe eemplu o ba), de lungime d i de volum dv (fig...3) pentu cae vom scie ecuaia fundamental a dinamicii, df = dm. a, unde acceleaia este ξ a = v = t ia dm=ρ 0 S 0 d, ρ 0 fiind densitatea în absena undei: ξ df = ρ0 S0 d (..0) t Vom considea c defomaiile elastice sunt mici i c este valabil legea lui Hooke. ξ Cunoscând elongaiile ξ(,t) din und, pin deivae obinem defomaiile elative ε (, t) = (confom elaiei..8) ia de aici, aplicând legea lui Hooke obinem tensiunea elastic (efotul unita): F(, t) ξ σ (, t) = = E ε(, t) = E (..) S0 unde F(,t) este foa defomatoae ia E modulul lui Young. În pezena undei statul consideat va fi supus unei foe suplimentae i deplasat la un moment ulteio înte coodonatele + ξ(,t) i +d + ξ ( + d, t). Dac pe seciunea de la coodonata acioneaz foa F = σ(,t) S 0 ia pe cea de la coodonata +d foa F +d = σ(+d,t) S 0, foa ezultant va fi: σ df = σ( + d, t)s0 σ(, t).s 0 = d. S 0 unde tensiunea σ( + d, t) s-a dezvoltat în seie Taylo cu limitae la pimii temeni: σ σ ( + d, t) = σ(, t) + d Confom legii fundamentale a dinamicii (..0) ezult: σ ξ df = ds0 = dm.a = ρ0s0d t de unde se obine: 30

σ ξ =ρ 0 (..) t Da din (..) ezult : σ ξ = E i (..) devine : ξ ξ ξ E ξ E = ρ 0 = (..3) t t ρ 0 Relaia (..3) epezint ecuaia undelo longitudinale în solide, cae se scie i sub foma : ξ ξ = v (..3 ) t unde E = v ρ0 ae dimensiunea unei viteze la ptat. Rezult astfel viteza undelo longitudinale în solide : v = E s (fomula lui Newton) (..4) ρ..4. Popagaea undelo longitudinale în fluide Fie un cilindu de fluid cu seciunea S în diecia de popagae a undei longitudinale (de eemplu o und sono), analog baei din paagaful pecedent (fig...4). Pesupunem c S nu se schimb în pezena undei deoaece fluidul este închis înt-un tub igid. Considem c ρ 0 este densitatea fluidului în absena undei i ρ densitatea actual (vaiabil). p(,t) dm p(+d,t) dm ρ 0 S ρ ξ +d +ξ +d+ξ+ d Fig...4 Elementul de mas dm de fluid este : ξ dm = ρo Sd = ρsd + d de unde ezult ξ ρ ρ 0 ξ ρ = 0 = ρ ξ 0 ξ + vaiaia elativ a densitii fiind : 3

ρ ρ ρo ξ = = ρo ρo ρ Pentu undele obinuite << (ne estângem doa la apoimaia linia). ρ o Vaiaiile de densitate dau natee la vaiaii coespunztoae de pesiune. Astfel, în absena undei po = p ( ρo ) ia în pezena undei p = p ( ρ) i: p p p p p o ( ) = = ( ) ρ ρo + ρ ρ... o + ρo ρ o sau p p ρ ρo Deoaece oscilaiile sonoe se efectueaz foate epede i conductivitatea temic a fluidelo este mic (fa de cea a solidelo), cldua nu ae timp s teac de la un element al mediului la altul în timpul compimilo i aefieilo i de aceea tebuie s pesupunem c popagaea sunetului este un poces adiabatic, adic, în timpul popagii sunetului nu se face schimb de cldu înte difeitele poiuni ale mediului supuse compimilo i aefieilo. Deci p p ξ p = ρ = ρo ρ ad ρad i p ξ df = p.s =.d.s = dm t Înlocuind ezult: de unde p p ξ = ρ o i ρad dm = ρ 0 Sd ξ p ξ ξ ξ ρ0 Sd = S d ρo = v f t ρ ad t p vf = ρad Viteza undelo în fluide v f se poate epima cu ajutoul modulului de compesibilitate K definit de elaia: p K = V. V inând cont c ρ = m/v se poate epima : p p ρ p m = = V ρ V ρ V i astfel K devine: 3

deci pentu un poces adiabatic K = Kad Viteza undelo longitudinale în fluide va fi: m V p p = ρ ρ ρ = ρ p ρad K v = ad f. ρ În cazul popagii undelo longitudinale în gaze ideale K ad se calculeaz folosind ecuaia lui Poisson pentu tansfomaea adiabatic, pv γ = const. (unde γ este eponentul adiabatic), cae pin logaitmae i difeeniee devine: d p d V ln p + γ ln V = const. + γ = 0 p V de unde : p p = γ K p V V ad = γ ad i astfel, pentu un gaz cu masa mola µ i tempeatua absolut T: sau, în funcie de tempeatua θ (în 0 C): v g = p γ = ρ RT γ µ vg = v0 + α θ unde v 0 este viteza undelo în condiii nomale de pesiune i tempeatu ia este coeficientul de dilataie a gazelo...5. Popagaea undelo tansvesale în solide O und elastic tansvesal se obine, în anumite condiii, numai în medii solide. Considem c undele tansvesale se popag înt-o ba elastic. Foa ezultant asupa elementului de mas dm din ba (fig...5) este tansvesal pe diecia de popagae, fiind dat de difeena tensiunilo elastice tangeniale, τ(, t) dτ = τ( + d, t) τ(, t) = τ(, t) + d τ(, t), datoit alunecii statuilo (fofecii): τ(, t) τ df = τ(, t) + d τ(, t) ds = dds (..5) Da, confom legii lui Hooke pentu defomaia de fofecae, tensiunea tangenial este popoional cu defomaia unghiula γ, constanta de popoionalitate fiind modulul de tosiune (fofecae) G : η τ = G. γ = G. (..6) unde s-a înlocuit unghiul γ în adiani în funcie de defomaia tansvesal a statului, η: dη γ tgγ =. d 33

η +d τ(,t) dm d ds γ dη τ(+d,t) +d Fig...5 Astfel, inând cont de (..6), epesia foei ezultante (..5) devine : η df = G.d.dS i egalând df cu : η η df = dm = ρ d ds t t ezult : η G η = (..7) t ρ cae epezint ecuaia de popagae a undelo tansvesale în ba i cae se mai scie sub foma: η η = v t t unde : v = G t (..8) ρ epezint viteza undelo tansvesale în ba. t t F Fig...6 Deoaece G < E, viteza undelo tansvesale este mai mic decât cea a undelo longitudinale pentu acelai mediu solid (G 0,4 E pentu metale i ezult c v t 0,6. v ). Inegalitatea se psteaz i în cazul popagii undelo în medii nemginite (de eemplu scoaa 34

teest) i aceast deosebie sensibil în vitezele de popagae ale celo dou tipui de unde este folosit în seismologie pentu deteminaea poziiei epicentului cutemuelo (fig...6). La supafaa pmântului întâi sosete unda longitudinal cae apae ca o vibaie (tepidaie) a podelei apoi, dup un anumit timp (de odinul secundelo), sosete unda tansvesal t cae apae ca o vibaie sau oscilaie oizontal (legnae)...6. Ecuaia coadei vibante Vom considea o coad elastic (un fi a cui seciune este mic pentu ca ezistena lui la încovoiee s fie foate edus, fiat la capete i supus unei tensiuni), aezat în staea nepetubat, da tensionat, de-a lungul aei O; astfel poblema va fi tatat în cazul simplu unidimensional. Un element de coad de lungime d este scos din poziia de echilibu de cte o fo diijat pe diecia Oy, pependicula pe aa O (fig...7). y F dη α+dα α F d η +d Fig...7 Atunci centul de mas al acestui element este deplasat cu η fa de poziia de echilibu. Lsat libe, elementul de coad va eveni spe poziia de echilibu, eecutând oscilaii tansvesale, deci deplasaea η depinde de timp. Da petubaia acestui element din coad se popag de-a lungul lui, antenând i estul cozii; ezult de aici c η = η (, t). Asupa elementului consideat acioneaz foele F, cae fac unghiuile α i α+d α cu aa O. Micaea cozii efectuându-se în planul Oy, se poiecteaz foele pe aceste ae. Componenta pe aa O a celo dou foe este : F = F cos ( α + d α) cos α (..9) [ ] Dup dezvoltaea în seie a funciei cosinus inând seama c unghiuile α i α+ dα au valoi foate mici, se obine : F = 0 Rezultatul ea de ateptat, întucât coada, acionat iniial de o fo pe diecia Oy, nu se deplaseaz i pe diecia O. Componenta pe diecia Oy este: F y = F sin ( α + d α) sin α (..0) [ ] i înlocuind η sin α tg α = i η η η sin ( α + d α). d +... = + d + ezult din (..0): 35

Dac se epim foa obine: η Fy = F d (..) F y în funcie de tensiunea tangenial τ i aia A a seciunii cozii se Fy = τ η A d Pe de alt pate, foa F y poduce micaea acceleat a elementului de coad : i din cele dou epesii ale foei coad: cu notaia : unde η η d Fy = d m = ρ A d t t F y obinem ecuaia undei tansvesale unidimensionale în η η =. v t t τ ρ = v t 36 (..) (..3) τ v t = (..4) ρ este viteza de popagae a undelo tansvesale pin coad. Dac în elaia (..) nu se înlocuiete tensiunea F din coad, se obine din egalitatea componentelo F y : de unde ezult sau η η d m = F. d. t v t = F F = dm µ d dm unde µ = este masa unitii de lungime a coadei. d..7. Ecuaia undelo înt-un mediu ideal v = F t (..4 ) µ..7.. Ecuaia difeenial a undelo Ne popunem s gsim o ecuaie de popagae a undelo în umtoaele condiii: - mediul este ideal adic omogen, izotop, linia, nedispesiv i consevativ; - izvoul de unde poduce mici oscilaii (petubaii) în juul poziiei de echilibu. Indifeent de natua petubaiei, sau de caacteul matematic al mimii petubate epimat pin funcia de und ψ (notat cu ξ în cazul undelo longitudinale i cu η în cazul

celo tansvesale), cae vaiaz în apot cu coodonatele spaiale i cu timpul, popagaea petubaiei se poate descie cu o aceeai teoie matematic. În consecin, în acest paagaf, ne vom ocupa numai de popagaea petubaiei, f a specifica natua acesteia. Mediul fiind ideal, divesele unde se compot la fel i deci ecuaia de popagae ae aceeai fom (..3..6). Genealizaea datelo epeimentale conduce la postulaea umtoului tip de ecuaie difeenial : ψ ψ ψ ψ + + = (..5) y z v t în cae v este o constant cu dimensiunile unei viteze, a cei valoae depinde de caacteisticile mediului i ale undei. Utilizând opeatoul laplacean (elaia A..33, anea A), ecuaia undelo capt foma condensat : ψ ψ = (..6) v t sau, notând cu = (..7) v t opeatoul lui d Alembet, ezult ecuaia: ψ = 0 (..8) Ulteio se va vedea c, în medii ideale, pentu difeite tipui paticulae de unde elastice sau electomagnetice, pin analiza popagii petubaiei date, se obin ecuaii de foma (..5), cae pemit totodat i stabiliea dependenei vitezei v de popietile mediului...7.. Unda plan Ne popunem s integm ecuaia difeenial (..5) în cazul în cae funcia ψ ae aceeai valoae în oicae punct al unui plan (y, z). Atunci : ψ ψ = (..9) v t În teoia ecuaiilo cu deivate paiale se aat c o soluie geneal a ecuaiei (..9) este o funcie abita cae depinde de i t numai pin intemediul unei combinaii liniae i omogene a acesto vaiabile. Astfel, soluia geneal este : ψ = f t + g + t (..30) v v sau ψ = F t + G t + (..30 ) v v în cae f i g sau F i G sunt dou funcii abitae. Soluia f t din (..30) epezint unda v pogesiv, cae se popag de la susa S a undei (fig...8) spe punctul de obsevaie. Întadev, pentu acele valoi ale vaiabilelo i t cae satisfac elaia : t = const. (..3) v funcia ψ ae o aceeai valoae. În paticula, la momentul t = 0, în punctul = 0 notm o f = fo. La momentele ulteioae, t > 0, valoaea f 0 a funciei va fi egsit numai în acele v puncte cae satisfac condiia (..3): 37

t = o = const. v v sau t f o f = = f v v 0 deci pentu puncte a co coodonat este > 0. ψ v t=0 t=t S 0 v.t Fig...8 De aici ezult umtoaele : o petubaia se popag de la sus în sensul pozitiv al aei O, ceea ce justific denumiea de und pogesiv; o o apotul epezint timpul necesa ca unda s stbat distana 0 i, pin v umae, 3 o constanta v epezint viteza de popagae a petubaiei. În acest paagaf se va peciza semnificaia vitezei v ca vitez de faz. Soluia g + t din (..30) epezint unda egesiv; un aionament analog cu acela v fcut mai sus aat c pentu valoi cesctoae ale timpului, coodonata tebuie s scad, o anumit valoae a funciei popagându-se de la punctul de obsevaie spe sus, în sensul negativ al aei O. Cazul cel mai des întâlnit în pactic fiind acela al undelo pogesive, din epesia (..30) vom eine numai soluia paticula f t. În ceea ce pivete foma acestei funcii, v ne limitm deocamdat la unda amonic. Dac petubaia din sus vaiaz cu timpul ca un oscilato amonic i dac mediul este ideal, atunci funcia cae veific ecuaia (..9) i cae epezint unda amonic plan, poate fi de foma: f c = A cosω t + ϕo (..3) v sau, dac se ponete de la epesia (..30 ): f c = A cos ω t + ϕo (..33) v în cae A, ω i ϕ o sunt constante. De asemenea, soluia : 38

f s = A sin ω t + ϕo (..34) v epezint o und amonic plan. Dup cum se tie, oice combinaie linia a soluiilo paticulae este o soluie a ecuaiei difeeniale liniae (..9). Luând suma: ψ = f c + i f s se obine funcia : i ω t+ϕo ψ = v A e (..35) sau i ω t +ϕo ψ = v A e (..36) cae epezint unda amonic plan; pentu comoditatea calculelo pefem foma (..35) sau (..36), în locul fomulelo (..3) i (..34), cae modeleaz fenomenele eale. Mimile caacteistice undei amonice plane sunt: o. Faza undei, definit ca agumentul cosinusului din epesia (..3), este o funcie de cele dou vaiabile, i t : ϕ (, t) = ω t + ϕo (..37) v o. Faza iniial ϕ 0, cae, aa cum aat numele, este : ϕ o = ϕ (0, 0) (..38) 3 o. Supafaa de und, sau supafaa echifaz, este supafaa pe cae faza ae aceeai valoae la un moment dat. Evident, datoit faptului c de la început s-a pus condiia ca funcia ψ s nu depind de y i z, supafaa de und a undei amonice plane nu poate fi decât un plan, pependicula pe diecia O. Notm cu vesoul dieciei de deplasae a planelo echifaz, ia cu distana de la un plan oigine la planul cae conine punctul de obsevaie. 4 o. Viteza de faz, pin cae se înelege viteza cu cae se deplaseaz supafaa de und pe diecia nomalei la supafaa de und. Fie o supafa de und caacteizat de o anumit valoae a fazei (..37), ϕ (, t) = const. Difeeniind aceast epesie se obine : d v = (..39) d t de unde ezult semnificaia constantei v ca vitez de faz. Se obsev c planele echifaz se deplaseaz în sensul valoilo cesctoae ale lui. 5 o. Fecvena unghiula ω, sau pulsaia, mime constant cae epim viteza de vaiaie a fazei : ϕ ω = (..40) t 6 o. Vectoul de und k, al cui modul este definit astfel : ϕ ω k = = (..4) v deci k este numul de und (..). Întucât vesoul este nomal la planele echifaz, vectoul ω ω k = k.k = k = v v (..4) ae aceeai diecie i acelai sens cu diecia i sensul de popagae a supafeelo de und. 39

7 o. Intensitatea undei luat pin definiie ca podusul dinte epesia comple conjugat ψ* a funciei ψ i funcia însi : I = ψ * ψ (..43) sau, inând seama de epesia (..35) : I = A (..44) 8 o. Amplitudinea undei poate fi obinut din elaiile (..43) i (..44): / A = ( ψ * ψ) (..45) Aceast mime epezint valoaea maim a funciei din (..3) i (..34). Mimile 7 o i 8 o definite mai sus sunt constante în cazul undei amonice plane, cae se popag înt-un mediu ideal. Dac îns mediul nu este ideal, sau foma supafeei de und nu este un plan, aceste mimi nu mai mân constante. Utilizând epesia vectoului de und (..4), funcia de und dat de (..36) se scie : ( t k ) Ae i ω +ϕ ψ = 0 (..46) ia patea ei eal este : Re ψ = A cos ( ω t k + ϕ0 ) Obsevm c o und amonic plan epezint un concept idealizat, deoaece nici o sus eal nu poate fi unifom distibuit înt-un plan i deci infinit. În subpaagaful umto se aat în ce caz o und sfeic poate fi apoimat pint-o und plan. Dac tecem la un sistem de coodonate cateziene (, y, z), oientate abita fa de cae diecia de popagae ae cosinusuile diectoae cos α, cos β i cos γ, întucât : = cos α + y cosβ + z cos γ i k = k cos α + y k cosβ + z k cos γ obsevând c k.cos α = k ; k.cos β = k y ; k.cos γ = k z, obinem elaia pecedent ca un podus scala : k. = k + y k y + z k z. Atunci soluia ecuaiei (..5), în cazul unei unde amonice plane este : ( t k. ) A e i ω +ϕ ψ (, y, z, t) = o (..47)..7.3. Unda sfeic. Vom cuta soluia ecuaiei undelo poduse de o sus punctifom situat înt-un mediu ideal; în acest caz supafeele de und sunt sfee, ia unda se numete sfeic. Datoit simetiei sfeice este comod s se epime funcia ψ i opeatoul laplacean (A..38) în coodonatele sfeice (, θ, ϕ), a co legtu cu coodonatele cateziene (fig.. 9) este: =.sinθ.cosϕ y =.sinθ.sinϕ (..48) z z z =.cosθ ecuaia undelo (..6) sciindu-se eplicit: O y y Fig...9 40

4 t. v. sin sin. sin ψ = ϕ ψ θ + θ ψ θ θ θ + ψ (..49) Se obsev îns, c luând oiginea O în sus ( = 0), funcia de und nu mai depinde de vaiabilele θ i ϕ, teceea de la o sfe la alta fcându-se numai pin vaieea lui sau t. Astfel, ecuaia (..49) se educe la : t. v. ψ = ψ (..50) Deoaece: ) (.. ψ = ψ ecuaia (..50) devine : t. v ) ( ψ = ψ (..5) Notând ψ = u se obine o ecuaie fomal identic cu (..9), t u. v u = (..5) a cei soluie este de foma (..30 ) : ) ( 0,, v t G v t F u + + = de unde: + + = ψ v t G v t F (..53) semnificaia funciilo F i G fiind aceeai ca în subpaagaful pecedent. Limitându-ne la o und amonic pogesiv, soluia (..53) se scie: ) k. t i( v t i o 0 e A e A ϕ + ω +ϕ ω = ψ = Vectoii i k sunt coliniai în fiecae punct, deoaece oiginea este în sus. Notând amplitudinea undei sfeice A / = (), se constat c aceasta depinde de distana dinte punctul M în cae se obsev petubaia podus de und i punctul O în cae este plasat susa undei. Dac distana este mult mai mae decât dimensiunile domeniului D din juul punctului M (fig...0) atunci apotul / poate fi consideat constant, ceea ce conduce la o valoae constant a amplitudinii. Depinzând deci de apotul dinte distana i dimensiunile domeniului de obsevaie, o und sfeic poate fi apoimat pint-una plan. M O D Fig...0

..8. Intefeena undelo elastice. Unde staionae Fenomenul de supapunee a dou sau mai multe unde înt-un punct al unui mediu elastic se numete intefeen. Pentu studiul acestui fenomen se utilizeaz metoda compuneii micilo oscilaii, cae const în faptul c micaea punctului mateial în cae ae loc intefeena este dat de ezultanta micilo de mic amplitudine impuse acestui punct de fiecae und în pate (pincipiul independenei aciunii foelo). Pentu ca dou unde se intefee tebuie s fie coeente adic difeena de faz s se menin constant în timp i s aib aceeai fecven. Considem dou unde elastice coeente cae povin de la dou suse coeente aflate la distanele i de punctul P din mediul elastic (fig...). Pesupunem c elongaiile celo dou unde sunt pe aceeai diecie i c au aceeai amplitudine ( A o ) i pulsaie: y = Ao cos π y = Ao cos π t T t T λ λ S S Fig... P Din compuneea aciunii undelo ezult: π t π = + = t + t y y y Ao cos.cos + T λ T λ T λ t + y = A cos π π cos o λ T λ t T λ π y = A cos t ϕ0 (..54) T unde π ( ) A = A cos o (..55) λ + + i ϕ = π = π o λ λ sunt amplitudinea i espectiv faza iniial a micii oscilatoii ezultante. Din (..55) ezult c amplitudinea micii ezultante este funcie de difeena de dum = dinte cele dou unde. Amplitudinea ezultant va avea valoaea maim când: cos π λ π = ± π = n = n = λ λ i va avea valoaea minim când: cos 0 π λ π = π = ( n + ) = (n ) = + λ λ Punctele cu amplitudine maim se numesc vente i le coespunde o difeen de dum egal cu un num pa de λ în timp ce punctele de amplitudine minim se numesc nodui i le coespunde o difeen de dum egal cu un num impa de λ. 4

Fenomenul de intefeen este fumos ilustat de undele de supafa cae se fomeaz pe ap la auncaea simultan a dou pieticele, la o anumit distan înte ele. Un caz inteesant de intefeen se obine pin supapuneea undei incidente cu unda eflectat pe aceeai diecie. Cele dou unde au aceeai fecven (la efleie nu se modific fecvena) i difeena de faz (de dum) mâne constant în timp deci sunt coeente. Pesupunem c efleia se face pe un mediu cu densitate mai mae decât a celui în cae ae loc popagaea. Notm cu O diecia undei incidente i cu AB supafaa eflectant, situat la distana de susa de unde (fig... a). Izvoul de oscilaii O oscileaz dup legea : t yo = Ao cos π T În punctul M, situat la distana de izvo, oscilaia este de foma: t y = Ao cos π T λ Oscilaiile ajungând în N se eflect i ajungând în M au elongaia : t y = Ao cos π ϕ T λ unde ϕ este întâzieea de faz podus în uma efleiei; pentu simplificae s-a consideat aceeai amplitudine a undei eflectate cu a undei incidente, dei amplitudinea scade în uma efleiei deoaece o pate din enegia undei se piede pin tansmisie. Se obsev c difeena de dum dinte cele dou unde nu depinde de timp ci numai de poziia punctului consideat. λ/ λ/4 A O M N O N a B b Fig... Oscilaia ezultant în M ae ecuaia : ϕ y = y + y = Ao cos π + cos π λ sau t ϕ y = A cos π T λ t T ϕ λ t i ae dept caacteistic sepaaea fazei π = ( ωt k) de la unda incident pogesiv T λ y înt-un facto sinusoidal spaial i unul sinusoidal tempoal. Amplitudinea micii este: ϕ A = Ao cos π + λ i nu depinde de timp. 43

Fiecae paticul oscileaz amonic, confom factoului tempoal t ϕ cos π da cu amplitudinea A vaiabil de la punct la punct, confom factoului T λ ϕ spaial cos π +, spe deosebie de unda pogesiv (plan, neatenuat) în cae λ paticulele oscileaz cu aceeai amplitudine. Cum punctul fi N ae amplitudinea nul (A = 0), punând = în epesia pecedent pentu A, ezult ϕ = π i astfel: π A = Ao cos π + (..56) λ Pentu a obine poziia ventelo se pune condiia: π A = maim cos π + = ± λ π π λ π + = n (n ) M, n =, n =,,3,.. λ 4 λ Pentu n= M, = deci pimul ventu se afl la λ/4 în stânga punctului N (fig...b). 4 Pentu nodui se pune condiia: π A = 0 cos π + = 0 λ π π n λ π + = ( n + ) = n λ λ m, n =, n = 0,,,3.. Pimul nod se obine pentu n = 0, adic m, o =, deci în punctul N. Aada, ca umae a intefeenei undei incidente cu unda eflectat ia natee o nou und, fomat din vente i nodui, numit und staiona...9. Mimi enegetice Intensitatea undei elastice (numit i densitate de supafa a fluului enegetic ) definit pin : dφ d d W I = = (..57) d A n d A n d t epim tansfeul de enegie în pocesul de popagae a undei pin aia da n nomal la diecia de tansfe a enegiei W. Enegia tansfeat de unda cae se popag cu viteza v, în timpul dt, nomal pin aia da n este unifom distibuit în volumul paalelipipedului cu seciunea da n i înlimea v.dt, fiind deci popoional cu volumul acestuia (fig...3): d W da n.v. dt da n v.dt Fig...3 44

Factoul de popoionalitate epezint enegia din unitatea de volum, adic densitatea volumic de enegie, w. Astfel: d W = w.da n. v.dt i din (..57) ezult: I = w. v (..58) Viteza de faz fiind un vecto i intensitatea undei elastice poate fi definit ca vecto, indicând sensul tansfeului de enegie : I = w v (..58 ) Un element de volum dv, cu masa dm, din mediul elastic stbtut de und, eecut o oscilaie i în consecin ae o enegie suplimenta : d W = dm.v = dm. ξo. ω sau, în funcie de densitatea mediului ρ : d W = ξ dv o ω ρ unde ξ o epezint amplitudinea, ia ω fecvena unghiula. Rapotând la unitatea de volum dv se obine densitatea de enegie w : d W w = = ξo ω ρ (..59) d V Intoducând w în (..58) ezult pentu intensitatea undei: I = ξ v o ω ρ (..60) sau, în funcie de fecven: I = π ξo υ ρ v (..6)..0. Ultaacustic. Geneaea ultasunetelo Ultasunetele sunt unde acustice cu fecvena mai mae decât pagul audibilitii nomale umane (6 KHz), ajungând pân la fecvene de odinul 0 GHz (0 0 Hz). Ultasunetele se obin fie cu ajutoul uno cistale piezoelectice cae manifest fenomenul de electosticiune adic de contacie sau dilatae sub aciunea unui câmp electic, fie cu ajutoul uno copui feomagnetice cae manifest fenomenul de magnetosticiune, defomându-se sub aciunea unui câmp magnetic. a) În pimul caz pin aplicaea unei tensiuni altenative, mateialul vibeaz, putând genea în acest mod unde acustice în mediul înconjuto. Astfel de cistale piezoelectice sunt : cuaul, tumalina, titanatul de baiu, saea Seignette etc, îns cel mai folosit este cuaul deoaece pezint stabilitate temic i o elaie linia înte tensiunea aplicat i defomaie. Din cua se taie o plcu (lam) cu o anumit oientae fa de aele cistalogafice. Gosimea lamei,, se alege astfel încât s vibeze în ezonan cu câmpul electic altenativ aplicat pin intemediul unui condensato. Condiia de maim sau de fomae a undelo staionae este ca gosimea lamei s fie num înteg de semilungimi de und: λ v = n = n υ unde v este viteza de popagae a undelo longitudinale (ultasunetelo), dat de elaia (..4). Rezult astfel fecvena ultasunetelo geneate: υn = n E = n υ ρ 45

unde E este modulul de elasticitate Young, ρ densitatea cuaului ia υ (n=) este fecvena fundamental (fig...4). Având în vedee valoile pentu E i ρ la cua ezult: 855 υ = ( khz), unde < > = mm Aceeai lam se poate folosi i ca ecepto de ultasunete datoit efectului inves: intând în vibaie de ezonan sub aciunea undei ultasonoe, lama se polaizeaz altenativ, adic pe feele sale apa sacini electice altenative. cistal λ/ Fig..4 b) În al doilea caz se poate ealiza un geneato de ultasunete dint-o ba cu popieti magnetostictive, intodus înt-o bobin alimentat de la o sus de cuent altenativ i cae, sub influena câmpului magnetic altenativ ceat de bobin, se dilat i se contact peiodic, deci capetele baei oscileaz i aceste oscilaii sunt tansmise mediului sub fom de ultasunete.. Aplicaii ale ultasunetelo Aplicaiile ultasunetelo (u.s.) pot fi active i pasive. În cazul aplicaiilo active u.s. schimb atât stuctua cât i popietile mediului supus aciunii lo. Aceste aplicaii se bazeaz pe un tansfe de enegie de la unda ultasono la substana cae sufe tansfomi stuctuale. Astfel, ultasunetele sunt folosite pentu degazaea i omogenizaea topituilo, pelucaea mateialelo solide (lefuie, tiee, pefoae), schimbaea stuctuii metalelo, lipiea i cositoiea ultasonic, cuaea supafeelo metalice sau îmbuntiea depuneilo electochimice. De asemenea ultasunetele pot distuge suspensii (de eemplu sepaaea i depuneea pictuilo de ap din cea) sau pot poduce emulsioni de substane nemiscibile. Dac tansfeul de enegie se ealizeaz la nivel molecula, ultasunetele pot iniia eacii chimice sau povoca scindaea uno molecule. Aplicaiile pasive sevesc numai la obineea de infomaii efeitoae la calitatea sau la dimensiunile copului eaminat, u.s. nemodificând stuctua i popietile copului. Aceste aplicaii se bazeaz pe absobia difeenial a ultasunetelo în divese medii (mai putenic în gaze) astfel încât vaiaia intensitii unui fascicul la teceea pint-o substan poate da indicaii asupa eistenei eventualelo neomogeniti. Aceasta este baza pocedeului epeimental denumit defectoscopie ultasono, pocedeu cae evideniaz defectele (golui, fisui) din piesele solide. De asemenea, se pot msua gosimi de piese cae nu pezint decât o fa accesibil sau distane dinte dou puncte. Hidolocaia ultasono const în efleia ultasunetelo de cte o supafa solid dint-un mediu lichid, cu eceptaea ulteioa a ecoului i este utilizat pentu detectaea i poziionaea uno obiecte situate în ap (submaine, bancui de peti, fome ale eliefului submain etc); acelai pincipiu st la baza ecogafiei folosite în investigaiile medicale. Popietatea ultasunetelo de a se popaga cu uuin pin medii solide i de a se eflecta atunci când ajung la supafaa de sepaae a dou statui de compoziii difeite a fost folosit pentu a pune la punct o metod de pospeciune geologic. 46

PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL.. S se aate c micaea ectilinie definit de ecuaia = 5 cos t (cm) este o micae oscilatoie amonic. De asemenea s se detemine centul de oscilaie (punctul fa de cae au loc oscilaiile), peioada, amplitudinea i acceleaia micii. R: 4 = cost= cos (t+π); T = π (s); A= cm; v =sint; a=4cost.. S se detemine elementele micii oscilatoii amonice definit de ecuaia = + cos 9,4 t + sin 9,4 t (cm). π R: = + sin9,4 t + 4.3. Pin compuneea a dou oscilaii amonice de aceeai diecie i de aceeai fecven se obine o oscilaie ezultant cu amplitudinea de 9 cm. Una din oscilaii este descis de ecuaia =5.sin40t cm, ia cealalt ae amplitudinea de 7 cm. S se detemine ecuaia celei de-a doua oscilaii i a micii oscilatoii ezultante. Se dau: accos 0,=,47 ad=0,468π i actg,=0,89 ad=0,8π. R: =7sin(40t+0,468π); =9sin(40t+0,8π).4. Oscilaia ezultat pin supepoziia a dou oscilaii amonice cu aceeai amplitudine este data de ecuaia = a. cos,t. cos50t (unde t este dat în secunde). S se detemine pulsaiile oscilaiilo componente i peioada btilo. R: ω = 5, ad.s - i ω = 47,9 ad.s - ; T b =,5 s.5. Ecuaiile de micae la cae este supus un punct sunt t t = 0 cos π ; y = 0 sin π oscilaiile efectuându-se dup diecii pependiculae. S se afle: 5 5 a) ecuaia taiectoiei punctului; b) viteza punctului i sensul deplasii punctului pe taiectoie. R : a) + y = 00 (cec de az = 0 cm); b) v = 4 π cm.s - sens tigonometic..6. Aflai ecuaia taiectoiei mobilului supus simultan oscilaiilo pependiculae: a) = sin πt ; y = cos π (t + 0,5) ; b) = cos ωt ; y = 3 sin 0,5 ωt. 9 R: a) y = (deapt) ; b) y = ( ) (paabol). 4.7. O mas m = 50g, suspendat la captul unui esot de constant elastic k = 50N/m, efectueaz oscilaii veticale amotizate. tiind c dup n = 5 oscilaii, amplitudinea oscilaiilo scade de e=,7 oi, s se afle: a) decementul logaitmic al amotizii; b) peioada oscilaiilo amotizate i coeficientul de amotizae β. m δ δ R: a) δ = ln (A0 /A n ) = /5; b) T = π. + = 0,344 s ; β = = 0,94 s - n k π T.8. O paticul este scoas din poziia de echilibu cu o distan A 0 i apoi lsat libe. Ce spaiu pacuge paticula în timpul oscilaiilo pân la opiea sa complet dac decementul logaitmic al amotizii este δ? δ + e R: s = A0 δ e 47

.9. Amplitudinea oscilaiilo foate ale unui oscilato asupa cuia acioneaz o fo eteioa peiodic, vaiaz cu pulsaia acesteia îns ae valoi egale pentu dou pulsaii ω i ω. S se detemine pulsaia ω pentu cae amplitudinea pezint un maim (numit i pulsaie de ezonan a elongaiilo). ω R: + ω ω =.0. Un cop cu masa m=0 g efectueaz oscilaii cu coeficientul de amotizae β=,6 s -. Copul este acionat de o fo peiodic eten cae îi poduce oscilaii foate a co ecuaie este = 5 cos(0 πt 5/4π) cm. S se gseasc ecuaia foei peiodice eteioae. R: F = 0,05 cos0 πt (N).. Dou suse de oscilaii S i S emit unde cu amplitudinile A = mm i espectiv A = 5 mm. Fecvena undelo emise este ν = 60 Hz ia viteza lo de popagae în ae este c = 30 m.s -. S se afle ecuaia de oscilaie a unui punct situat la distana = 6,5 m de pima 3 sus i = m de a doua sus, dac susele oscileaz în faz. 3 R: y = 6,8 sin (30πt,9 ) (m).. Etemitatea unei coade elastice oscileaz dup legea y = 0,0 sin 0 πt (m). a) Aflai fecvena i peioada oscilaiilo etemitii. b) Calculai lungimea de und a undelo ce se popag în lungul coadei dac viteza lo de popagae este c = 0,4 m.s -. c) Ce difeen de faz coespunde oscilaiilo a dou puncte de pe coad aflate la distana = 5 cm unul de cellalt? d) Cae este legea de oscilaie a unui punct situat la distana =, m de etemitate? Se va pesupune coada infinit? e) Ce vitez ae punctul situat la distana dup o optime de peioad, socotit din momentul în cae a început s oscileze? 5π R: a) ν = 5 Hz; T = 0, s; b) λ = 8 cm; c) ϕ = k = ; 4 d) y = 0,0 sin 0π(t 3) (m); e) v = Aωcos ωt = 0,4 m.s -.3. O und longitudinal ae fecvena ν = 000 Hz. Unda se popag înt-un mediu de densitate ρ = 7,85 0 3 kg.m -3 i al cui modul de elasticitate este E =, 0 N.m -. S se afle: a) pulsaia undei i lungimea ei de und; b) enegia maim de oscilaie a unitii de volum a mediului, dac amplitudinea oscilaiilo este A = mm. E R: a) ω = 000πad.s ; λ = = 5, m ; b) 5 W = m v A,54.0 J ν ρ V ma = ρ ω =.4. La distana l=4m de un peete eflectto plan vetical se afl o sus de unde plane de amplitudine A =, mm. La distana L de peete se afl un ecepto ce pimete atât undele povenite diect de la sus cât i undele eflectate cu amplitudinea A =0,5 mm. S se detemine pimele tei fecvene ale susei pentu cae în ecepto se poduc minime de oscilaie în uma intefeenei celo dou unde pecum i amplitudinea minim. Viteza sunetului în ae se conside c=340 m/s. R: ν c n = n l ; ν = 4,5 Hz; ν = ν = 85 Hz; ν3 = 3 ν = 7,5 Hz ; Amin = A A = 0,05 mm 48

Epeimental se constat eistena uno inteaciuni de alt natu decât cele gavitaionale, cae nu pot fi eduse la aspecte stict mecanice. Acestea au pimit numele de inteaciuni electomagnetice, ia câmpul pin cae se tansmit, câmp electomagnetic. Se obsev c în anumite cazui paticulae efectele electice sunt independente de cele magnetice, câmpul electic i câmpul magnetic manifestându-se ca entiti distincte, nelegate înte ele. Analiza câmpului electomagnetic i a fenomenelo conee necesit intoduceea uno mimi de stae adecvate (pimitive i deivate). Macoscopic se definesc dou mimi pimitive cae desciu câmpul electomagnetic (intensitatea câmpului electic în vid i inducia magnetic în vid) i patu mimi pimitive caacteistice stii electomagnetice a copuilo (sacina electic, momentul electic, intensitatea cuentului electic, momentul magnetic). Pentu studiul electomagnetismului este comod distincia umtoaelo tei cazui, deteminate de condiii difeite: - egimul static, când nu eist efecte temice i toate mimile X sunt invaiante în timp ( X / t = 0) ; - egimul staiona, când mimile sunt invaiante în timp; - egimul vaiabil, când nu eist nici o condiie estictiv. 3.. ELECTROSTATIC Electostatica se efe la inteaciunile dinte sacinile electice în epaus i poate fi studiat sepaat de magnetostatic, cae se efe la cuenii staionai; în ambele cazui, mimile fizice nu depind de timp. 3... Sacina electic Sacina electic, notat q sau Q, epezint o mime pimitiv, ieductibil la alte mimi i cae este evideniat de inteaciunile cae se eecit înte copuile înccate electic (copui electizate), inteaciuni cae sunt de alt gen decât cele cunoscute din mecanic. Faptul c foele dinte copuile electizate pot fi de atacie sau de epulsie, indic eistena a dou tipui de sacini electice, numite convenional pozitive i negative. De asemenea epeimental se pune în eviden popietatea de aditivitate a sacinii electice. Un cop poate fi electizat pin divese pocedee, cum a fi: fecaea, înclziea, iadieea cu adiaii ionizante, iadieea cu unde electomagnetice cu lungime de und mic, contactul cu alt cop electizat, influena eecitat de alt cop electizat. Un cop electizat cu dimensiuni neglijabile fa de distanele la cae se gsesc copuile cu cae inteacioneaz poate fi consideat punctifom, ia sacina sa este o sacin punctifom. Staea de înccae a copuilo nepunctifome, poate fi descis pin mimea deivat ρ, numit densitatea volumic de sacin electic i definit pin elaia : d q ρ = (3..) d unde dq epezint sacina electic elementa din volumul elementa d. Evident, în cazul unei epatiii omogene a sacinii electice q, ρ poate fi calculat pin apotaea la un volum finit : q ρ = (3.. ) Pentu cazul, fecvent întâlnit în pactic, al distibuiei sacinii electice numai pe supafaa copului se intoduce noiunea de densitate supeficial de sacin, σ: 49

dq σ = (3..) da dq epezentând sacina electic de pe supafaa elementa da. În cazul unei epatiii unifome a sacinii electice q pe o supafa, σ poate fi calculat pin apotaea la o supafa finit A: q σ = (3.. ) A Analog se poate defini o densitate linia de sacin, : d q λ = (3..3) d d fiind elementul de lungime pe cae este epatizat sacina elementa dq. O sacin electic geneat înt-un punct al unui cop nu se menine în acel punct ci se spândete în ju astfel încât densitatea volumic de sacin se micoeaz în timp (sacina se elaeaz). Scdeea densitii volumice de sacin, -dρ, depinde de valoaea lui ρ la un moment dat i de intevalul de timp dt: dρ = k ρ dt unde invesul constantei k epezint timpul de elaae T (T = /k). Pin integaea elaiei de mai sus (la t = 0, ρ = ρ 0 ) se obine: t ρ dρ t = dt ρ = ρ T 0 e ρ ρ T 0 0 Din punct de vedee al mobilitii sacinilo electice în copui, acestea pot fi clasificate în dou categoii: - copui conductoae (conductoi), în cae sacinile electice se deplaseaz uo (timp de elaae T=0 deci ρ=0 i sacina este împtiat instantaneu) i - copui neconductoae (izolatoae) sau dielectici, în cae mobilitatea sacinilo electice este foate edus (timp de elaae foate mae T deci ρ=ρ 0 i sacina se consev un timp îndelungat). 3... Câmpul electic. Intensitatea câmpului electic în vid Eistena inteaciunilo înte copui electizate, în epaus, f contact înte ele, pesupune eistena unui câmp pin cae se tansmit inteaciunile, numit câmp electic (electostatic). Caacteisticile acestuia pot fi evideniate pin aciunile sale pondeomotoae i anume foele pe cae le eecit asupa unui cop înccat. Evident, intensitatea câmpului electic în vid este o mime pimitiv, deoaece a fost intodus în mod epeimental, f a fi dedus din alte mimi i f a se educe la alte mimi. Pe baza epeienelo lui Cavendish, Coulomb a atat c foa electostatic dinte dou sacini punctifome în epaus, q i q 0, situate în vid la distana una fa de cealalt (fig. 3.. a) este dat de epesia: q q F = 0 (3..4) 4π ε 0 cae epezint legea lui Coulomb i în cae este vectoul de poziie al sacinii q 0 fa de q (fig. 3...b) ia mimea ε 0 este constanta inteaciunilo electostatice în vid sau pemitivitatea electic a vidului a cei valoae este ε 0 = 8,854. 0 F/m (sau /4πε 0 = 9. 0 9 m/f). Se spune c sacina q ceeaz în juul ei un câmp electic ce acioneaz asupa unei alte sacini q 0 (de pob) cu foa (3..4). Deoaece foa electostatic este popoional cu sacina, se intoduce mimea E ( ), numit intensitatea câmpului electic sau câmp electic i definit pin foa ce acioneaz asupa unitii de sacin: 50

F q E () = = (3..5) q 4 0 π ε 0 F q q 0 q q 0 a b Fig. 3... Câmpul electic ceat de un sistem de sacini discete q, q,,q n înt-un punct M în cae este plasat sacina de pob q 0, având vectoii de poziie,,..., n fa de punctele în cae se afl sacinile espective, este n Fi n = i= q = i E i M (3..6) q π ε 0 4 0 i= i i deci egal cu suma vectoial a câmpuilo electice geneate de fiecae sacin în pate (pincipiul supepoziiei câmpuilo electice): n F E i M = Ei, unde Ei = (3..6 ) i= q0 În cazul unei distibuii continue de sacin (înt-un volum, pe o supafa S sau de-a lungul unei cube C), pentu calculul câmpului electic se ealizeaz o împie în elemente difeeniale de volum, de supafa sau de linie (fig. 3..) pe cae le putem considea ca sacini punctifome dq (date de elaiile 3.. 3..3) cae poduc la distana câmpui electice elementae dq de () = (3..7) 4π ε 0 câmpul electic total fiind dat de supepoziia acesto câmpui electice elementae: σ λ ρ d ds d E() = + + (3..7 ) 4πε 3 3 3 0 S (C) + + dq d d E dq ds dq d S d E dq=ρ.d dq=σ.ds (C) dq=λ d d E Fig. 3.. 3..3. Fluul electic. Legea lui Gauss în vid. Câmpul electic poate fi epezentat cu ajutoul liniilo de câmp cae sunt simple cube ale co tangente, în oice punct, coincid cu diecia vectoului câmp electic în acel punct. Totalitatea liniilo de câmp electic ce tec nomal pint-o supafa constituie fluul electic Φ cae se definete ca podusul scala dinte vectoul câmp electic E i vectoul supafa oientat S = S.n, cae ae sensul nomalei pozitive la acea supafa având vesoul n (fig. 3..3): 5

Φ = E.S = E.n S = E Scos θ = E S n (3..8) În cazul în cae câmpul electic este neunifom ( E const.) se definete mai întâi un flu electic elementa pin elementul de supafa ds cae este consideat pactic plan ia vectoul câmp electic ce stbate aceast supafa este constant, dφ = E.dS (3..9) i apoi, pin integae, se detemin fluul total pin supafaa S: Φ = E.dS = E.dS.cos θ (3..0) S S S n θ n θ S E S Fig. 3..3 Legea lui Gauss epezint o elaie simpl dinte fluul electic cae stbate o supafa închis i sacina electic (susa) cae îl poduce. Se conside în vid supafaa închis S (fig.3..4) în inteioul ceia se afl o sacin electic Q, înt-un punct oaecae P. Cu centul în P se constuiete o sfe de az. Se obsev c toate liniile de câmp ce pleac de la sacina Q vo stbate atât supafaa S 0 a sfeei cât i supafaa S. Pin umae, fluul electic pin S este egal cu fluul electic pin S 0 i pe baza elaiei (3..0) se poate scie : Q Q Q ΦS = ΦS =.n.ds 3 o = ds o = S o (3..) o So 4 π ε0 4 π ε0 So 4 π ε0 i cum S 0 = 4 π, se poate scie: Q Φ = E.dS = (3..) S ε0 S S 0 +Q P n ds ds 0 Fig. 3..4 Rezultatul obinut nu depinde de aza sfeei folosite în aionament deoaece numul total al liniilo de câmp (fluul electic) cae tec pin supafeele tutuo sfeelo concentice este constant. Cu alte cuvinte, în afaa punctului în cae se afl sacina nu pot s apa sau s se temine 5

linii de câmp. Sacina Q este susa câmpului electic. Rezult c fluul electic cae stbate supafaa închis S ce cupinde sacina Q este dat de elaia (3..). În confomitate cu pincipiul supepoziiei, intensitatea ezultant a unui câmp geneat de mai multe sacini Q i se obine pin însumaea câmpuilo geneate de fiecae sacin în pate i deci, dac în inteioul supafeei S eist mai multe sacini Q i, se pot scie elaiile: E = E + E +... + E n, E. ds = (E. d S + E.dS +... + En.dS) S S Q Φ = Φ + Φ +... + Φ n = (Q + Q +... + Qn ) = (3..3) ε0 ε0 Deoaece sacina Q poate fi pozitiv sau negativ i fluului Φ i se asociaz un semn. Pin convenie, sensul liniilo de câmp este dat de sensul de micae al unei sacini electice pozitive lsate s se mite libe în câmpul espectiv. Liniile câmpului electostatic sunt cube deschise cae pleac de la sacina pozitiv i se opesc pe sacina negativ (fig. 3..5 a, b, c). a b c Fig. 3..5 Din figuile 3..5. a, b i din elaia (3..0) se obsev c semnul fluului depinde de sensul liniilo de câmp i deci, de semnul sacinii electice din inteioul supafeei: o sacin pozitiv (Q > 0) ceeaz un flu pozitiv, Φ > 0 (fig. 3..6 a), ia o sacin negativ (Q < 0) ceeaz un flu negativ pin S, Φ < 0 (fig. 3..6 b). ds n ds +Q -Q n a Fig. 3..6 Cu alte cuvinte, fluul elementa dφ pin supafaa elementa deschis ds (fig. 3..6) este pozitiv dac sensul liniilo de câmp este acelai cu al vectoului d S (cae ae sensul nomalei eteioae la supafa, de veso n ) i negativ dac sensul liniilo de câmp este conta sensului vectoului d S. Pentu a detemina fluul electic pint-o supafa S, ceat de o sacin Q situat înt-un punct P eteio (fig. 3..7), se constuiete un con elementa cu vâful în P, cae decupeaz pe supafaa S dou elemente de supafa ds i ds. Deoaece în inteioul lui S nu sunt sacini electice, ezult c toate liniile de câmp din P vo stbate atât ds cât i ds deci fluul electic pin ds este egal, în valoae absolut, cu fluul pin ds. Da fluul dφ este negativ, deoaece el stbate supafaa ds în sens conta nomalei n i deci d Φ = d Φ, 53 b

sau d Φ + d Φ, = 0 (3..4) S P n ds E ds E +Q n ' Fig. 3..7 Înteaga supafa S se poate considea ca fiind alctuit din peechi de elemente de supafa ds i ds constuite ca în figua 3..7. Pin fiecae peeche de supafee elementae fluul ezultant elementa este nul, în confomitate cu elaia (3..4). Însumând toate aceste fluui elementae se obine: Φ = E.d S = 0 (3..5) S adic fluul total pint-o supafa închis este nul dac sacina cae poduce câmpul se afl în eteioul supafeei. Relaiile (3..) i (3..5) epim legea fluului electic sau legea lui Gauss sub fom integal: fluul electic pint-o supafa închis de fom abita este numeic egal cu /ε 0 înmulit cu suma algebic Q a sacinilo electice aflate în inteioul supafeei i este egal cu zeo când Q este eteio acestei supafee. Dac sacina Q este distibuit în spaiu înt-un volum, confom (3..) se poate scie: Q =ρd În confomitate cu teoema Geen-Gauss-Ostogadski (A..0) fluul total Φ pin supafaa S ce delimiteaz volumul, satisface elaia: Φ = E.dS = div E.d S Din cele dou elaii i din (3..) ezult: E.dS =div E.d = ρd S ε0 de unde se obine foma local a legii lui Gauss: ρ div E = (3..6) ε0 E E Fig. 3..8 div E > div E Pin umae, semnificaia fizic a divegenei câmpului electic este dat de densitatea volumic a sacinilo electice. Divegena este mai mae în punctele în cae eist o densitate de volum a sacinilo electice mai mae i ponesc mai multe linii de câmp din supafaa cae închide sacinile (fig. 3..8). 54

Dac înt-un punct din spaiu ρ = 0, din acel punct nu ponesc linii de câmp i div E = 0. Se spune în acest caz c fluul cîmpului electic este consevativ ia câmpul electic este solenoidal ( A..3). Dac în alt punct ρ 0 (ρ > 0) atunci div E > 0 i acest punct epezint o sus de câmp electic. 3..4. Câmpul electic al uno distibuii de sacin Pentu câmpui electice cae pezint simetie, legea fluului conduce la o metod comod de calcul a intensitii câmpului electic. S pesupunem c eist o supafa închis pentu cae, în oice punct, sunt satisfcute condiiile: a) valoaea intensitii câmpului electic este aceeai i b) vectoul E este nomal la supafa. Atunci fluul câmpului electic E pin supafaa închis este: Φ = E d A = E da = E da = E. (3..7) Σ Σ Σ elaie cae, împeun cu legea lui Gauss (3..), pemite calculaea intensitii câmpului electic pentu unele distibuii de sacin.. Câmpul electic podus de o distibuie sfeic de sacin S considem în vid un cop sfeic de az R (fig.3..9), înccat supeficial cu densitatea +σ constant, astfel încât sacina electic este : Q = σ 4 π R Simetia sfeic a distibuiei sacinii electice implic, în eteioul copului înccat, o simetie adial a câmpului electic, edat pin foma liniilo de câmp din figua 3..9. Supafaa cae satisface condiiile impuse anteio este evident o sfe (concentic cu sfea înccat) de az ( > R) i atunci din (3..7) i (3..) ezult: R +σ Σ Fig. 3..9 E Q 4 π R σ σ R Eet = = = (3..8) ε 0 4 π ε0 4 π ε0 sau, vectoial, Q σ R Eet = = (3..8 ) ε 4 3 0 π ε0 În inteioul sfeei înccate, oicum s-a alege supafaa, aceasta nu include nici o sacin electic ceea ce, confom (3..5), ae dept consecin un câmp electic nul: E int = 0 (3..8 ) 55

Analog, se poate ata, c pentu oice distibuie cu simetie sfeic a sacinii electice, câmpul electic (în afaa copului înccat) este identic cu câmpul podus de o sacin punctifom, egal cu sacina total a copului i plasat în centul acestuia.. Câmpul electic podus de un plan infinit înccat În cazul unei sacini electice distibuite cu densitatea supeficial constant +σ pe un plan infinit aflat în vid consideente elementae de simetie conduc la concluzia c liniile de câmp electic sunt nomale la planul înccat, paalele i echidistante (fig. 3..0). În aceast situaie se conside supafaa de foma unui cilindu dept, cu bazele (de aie A) paalele cu planul înccat, astfel încât fluul pin supafaa lateal este nul. Atunci, notând cu Q sacina electic de pe poiunea de aie A din planul înccat, intesectat de cilindul, în confomitate cu (3..7) i (3..) avem : Q Φ = E.dS = E.dS + E.dS = Σ Sbaze S ε lat 0 adic E = Q σ A = ε0 Sbaz ε0 A E = σ ε (3..9) 0 E +σ E + σ - σ Σ A S lat E + E + E + E E S baz E E Fig. 3..0 Fig. 3.. 3. Câmpul electic ceat de dou plane infinite înccate Considem dou plane infinite înccate cu densitile supeficiale de sacin +σ i -σ (fig. 3..). În spaiul dinte cele dou plane intensitile (3..9) câmpuilo electice ceate de fiecae plan în pate se însumeaz, vectoii E + i E fiind oientai în acelai sens: σ σ Eint = = (3..0) εo εo ia în domeniul eteio E ez = 0. 3..5. Potenialul electic Epesia (3..5) a câmpului electic ceat de o sacin punctifom în vid se poate scie i sub foma: q E() = (3..) 4πε0 unde 56

=. + y.y + z.z ; = = + y + z ; = + y + y z z. y.y z. + + z i = 3 ( ) / = ( y z y z ) 3/ = + + + + Notând q V() = (3.. ) 4πε 0 funcia scala numit potenial electic (electostatic), elaia (3..) devine: E() = V() E() = gad V() (3..) sau E = gad (V + const.) (3.. ) deoaece gadientul unei constante este nul. Rezult c potenialul câmpului electic poate fi definit numai cu apoimaia unei constante aditive abitae. Astfel, câmpul electic deiv dint-un potenial scala; semnul minus aat c sensul câmpului este conta vectoului gadient de potenial, deci o sacin pozitiv se deplaseaz în sensul desceteii potenialului. Ca i în cazul intensitii câmpului electic, potenialul depinde de tipul distibuiei de sacini. Pentu un sistem de sacini discete i sacini distibuite continuu (pe un volum, pe o supafa S i pe o cub Γ) potenialul este: q λ ( ) + ρ d + σ ds d V = i + 4 πεo i i S Γ Din elaia (3..) ezult componentele intensitii câmpului electic ceat de sacina q: V V V E =, Ey =, Ez = (3..3) y z ia podusul scala dinte vectoul E i vectoul d - elementul de contu pe o taiectoie oaecae - este (fig. 3..): V V V E.d = Ed cosα = Ed = Ed = (d dy dz ) + y y + z z + y + z sau E.d = d V (3..4) Integând înte dou puncte i se obine: E.d = dv = V V (3..5) d q 0 α d E +q Fig. 3.. 57

Pin definiie, ciculaia vectoului câmp electic înte dou puncte, E.d, epezint tensiunea electic înte acele puncte. Deci înt-un câmp electic cu caacte potenial (câmp electostatic) tensiunea depinde numai de poziia celo dou puncte : U = E.d = V V (3..6) Dac sacina electic de pob q 0 se deplaseaz pe o cub închis Γ vom avea (V = V ): V V = E.d = 0 E.d = 0 (3..7) Γ Γ cae epim foma integal a teoemei ciculaiei vectoului câmp electic (teoema potenialului electostatic): ciculaia vectoului câmp electic pe o cub închis este egal cu zeo. Dac se tansfom integala cubilinie înt-o integal de supafa (teoema lui Stokes), se obine foma local a teoemei potenialului electostatic: E.d = ot E.d S = 0 ot E = E = 0 (3..8) Γ S deci câmpul electic este iotaional, f vâtejui, având linii de câmp deschise. Cu alte cuvinte, câmpul electic deiv dint-un potenial, fiind un câmp consevativ. Convenie. Înt-un punct aflat la infinit, potenialul câmpului electostatic este egal cu zeo. Dac V = V = 0 V V = V = E. d, deci potenialul electic înt-un punct este egal cu ciculaia vectoului câmp electic din acel punct la infinit. Lucul mecanic al foelo câmpului electostatic, cae este un câmp consevativ, pentu deplasaea unui cop de sacin pozitiv q 0 înte dou puncte este egal cu minus vaiaia enegiei poteniale înte acele puncte, confom elaiei (..40): = W = W W (3..9) Da F =.d = q0 E.d = q0 (V V ) (3..30) Din cele dou elaii ezult c podusul q o.v msoa enegia potenial a sacinii q o în punctul de potenial V. De aici ezult semnificaia fizic a potenialului înt-un punct dat al câmpului electic, ca fiind enegia potenial a sacinii pozitive unitate plasat în acel punct. inând cont de (3..6), din (3..9) i (3..30) se obine: W = q o. U (3..3) Din teoema lui Gauss pentu vid (3..6) i din definiia (3..) ezult : ρ E = ε ρ o ( V) = V = V = εo E = V ρ sau V = (3..3) εo cae epezint ecuaia lui Poisson i în cae V V V V = V + + y z este laplaceanul potenialului V. 58

Ecuaia Poisson este o ecuaie difeenial cu deivate paiale pentu cae teoia ecuaiilo difeeniale d soluia : ρ d' dy' dz' V (, y, z) = 4 π ε / '' [ + + ] 0 ( ' ) (y y' ) (z z' ) V(,y,z) epezint potenialul câmpului electic înt-un punct de coodonate (, y, z), podus de sacina electic cu distibuia descis de ρ din volumul (evident, egiunile lipsite de sacin, cu densitatea ρ = 0, nu aduc nici o contibuie la ezultat). În cazul câmpului podus de un cop punctifom, numitoul integalei devine distana de la cop la punctul unde se calculeaz potenialul ia integala, efectuat acum doa asupa numtoului, se educe la sacina q a copului. Consideând nul constanta (abita) de integae se obine chia elaia (3.. ): q V = 4 π ε i aplicând în aceast egalitate opeatoul gadient ezult, confom (3..), intensitatea câmpului electic. Pin definiie ( A..3 din anea A), supafaa echipotenial este locul geometic al punctelo în cae potenialul ae aceeai valoae, adic V (, y, z) = const. Pentu o supafa echipotenial elaia (3..4) devine: E.d = 0 ceea ce implic otogonalitatea vectoilo E i d. Vectoul d fiind coninut în supafaa echipotenial, ezult c liniile de câmp electic (tangente la E ) sunt nomale la supafeele echipoteniale. 3..6. Dipolul electic Dipolul electic este un ansamblu de dou sacini egale i de semne contae (+q, -q) situate la o mic distan înte ele. Deapta ce unete sacinile se numete aa dipolului. Caacteizm dipolul pin momentul electic dipola: p = q. (3..33) unde este vectoul de poziie al sacinii pozitive fa de cea negativ (fig. 3..3). P O / +q -q Fig. 3..3 59

3..6.. Câmpul i potenialul electic ceat de un dipol Vom calcula câmpul i potenialul podus de un dipol, caacteizat de un moment electic p (fig. 3..3) înt-un punct P cae ae vectoul de poziie fa de centul dipolului O (situat în oiginea sistemului de ae de coodonate) i vectoii de poziie i fa de cele dou sacini. Se conside c lungimea dipolului este mult mai mic decât distana la cae se calculeaz aciunea acestuia. Potenialul în punctul cuent P(, y, z) este dat, aditiv, de potenialele ceate de sacinile punctifome +q i q, adic : q q q ( ) V = = 4 π ε0 4 πε0 4 π ε0 Distana dinte cele dou sacini punctifome fiind foate mic, în compaaie cu i, se poate scie, confom figuii 3..3: ; + = + ; = Ridicând la ptat ultimele dou elaii i sczându-le se obine, neglijând temenii cu :. = ( ) ( + ) =. = + Înlocuind aceast elaie în epesia de mai sus a potenialului i inând cont de apoimaiile fcute, ezult: q. p. V = = 3 3 4 π ε0 4 π ε0 unde s-a folosit definiia (3..33) pentu momentul electic dipola. Confom (3..) intensitatea câmpului electic este: p E = = + (p ) (p ) (3..34) 3 π ε π ε 4 3 3 4 0 0 Da:. y.y z. 3 + + z 3 3 = 5 ( ) 3/ = ( y z y z ) 5/ = + + + + i ( p ) = (p + p y y + pz z) = p + p y y + pz z = p cae înlocuite în (3..34) detemin epesia intensitii câmpului electic podus de un dipol: 3 (p ) p E() = (3..34 ) 4 π ε 5 3 0 Se obsev din aceast elaie c E scade mult mai putenic cu distana (ca / 3 ), decât în cazul unei sacini punctifome (unde dependena este / ), deci influena unui dipol în eteio este mai slab decât a unei sacini punctifome. 3..6.. Dipolul electic aflat în câmp electostatic Dac dipolul AB este situat înt-un câmp electic unifom ( E = const.) astfel încât momentul dipola fomeaz unghiul α cu diecia intensitii câmpului electic E (fig. 3..4), 60

atunci asupa dipolului acioneaz cuplul de foe ( + qe, qe) cu momentul fa de centul dipolului: C = F. sin α = q E sin α = p E sin α sau vectoial, C = p E. (3..35) Cuplul de foe tinde s oteasc dipolul spe poziia în cae momentul su dipola devine paalel cu intensitatea câmpului. În aceast poziie atât momentul cuplului de foe cât i foa electic ezultant sunt egale cu zeo i dipolul va fi, deci înt-o stae de echilibu stabil, aa cum vom vedea în paagaful umto. E E +q F F + B +q α E -q A F - F -q ' O Fig. 3..4 Fig. 3..5 Dac dipolul se afl în câmp electic neunifom ( E const.) atunci foele F + i F cae acioneaz asupa sacinilo dipolului nu mai sunt egale în modul i dipolul este acionat în acest caz de ezultanta acestoa (fig. 3..5): F = F+ + F = q [ E '( ') E ()] F = q [ E( + ) E() ] (3..36) unde E '( ') este intensitatea câmpului electic în punctul în cae se afl sacina electic pozitiv ia E ( ) epezint intensitatea câmpului electic în punctul în cae se afl sacina electic negativ. Cum distana dinte sacinile electice este mult mai mic decât distana la cae intensitatea câmpului electic E ( ) vaiaz sensibil, se poate dezvolta în seie Taylo mimea E( + ) cu limitae la pimii temeni: E E E E( + ) = E() + +... E( ) (. ) E y + y z + = + z unde, y, z sunt poieciile vectoului pe aele de coodonate. Intoducând aceast elaie în (3..36) i inând cont de (3..33), se obine: F = q (. ) E = (p. ) E Folosind elaia (A..8) din ane, gad (A.B) = A ot B + B ot A + (A. ) B + (B. ) A, pentu A = pi B = E i inând cont c p este un vecto constant ( ot p = 0 ) i c ot E = 0 (confom teoemei 3..8), se poate scie: gad( p.e) = (p. ) E deci epesia foei ezultante ce acioneaz în câmp electic neunifom asupa dipolului electic devine: 6

F = gad (p.e) (3..37) Astfel, în câmpui neunifome, asupa unui dipol electic se eecit atât un cuplu de foe cât i o fo de tanslaie cae tinde s plaseze dipolul acolo unde câmpul este mai intens. 3..6.3. Enegia dipolului în câmp electostatic Enegia dipolului în câmp electic unifom este egal cu suma enegiilo celo dou sacini componente aflate în punctele A i B (fig. 3..4) de poteniale V A i V B : W = WA + WB = q VB q VA = q (VB VA ) (3..38) Da dv V V V E = gad V = - = - = - B A d unde este vesoul dieciei aei dipolului. Aceast elaie, poiectat pe aa dipolului, se scie: V V E. cos α = - B A VA - VB =. E. cos α cae înlocuit în (3..38) implic pentu enegia unui dipol înt-un câmp electic: W = q.e cos α = p E cos α = p.e (3..39) Dac α = 0, enegia dipolului este minim, W min = - p E, ia momentul cuplului este zeo. Aceasta înseamn c dipolul se afl înt-o stae de echilibu stabil, deci cuplul de foe tinde s micoeze unghiul α dinte aa dipolului i diecia câmpului electic. La α = π, enegia dipolului devine maim, W ma = p E, ia momentul cuplului este zeo. Evident, în aceast poziie, dipolul se afl înt-o stae de echilibu instabil. 3..7. Conductoi în câmp electic Aa cum s-a vzut în paagaful 3.., copuile conductoae (conductoii) se caacteizeaz pint-o mae mobilitate a sacinilo electice (timp de elaae foate mic, T=0, deci sacina electic se împtie instantaneu). În cazul conductoilo metalici eist dou tipui de sacini electice, de semn conta: sacini libee (electonii) i sacini imobile (ionii pozitivi aflai în vâfuile eelei cistaline). Dac un conducto neutu din punct de vedee electic este intodus înt-un câmp electic de intensitate E, puttoii de sacin electic din inteioul conductoului se deplaseaz spe supafaa acestuia astfel: sacinile electice pozitive în sensul vectoului E ia sacinile electice negative în sens opus (fig. 3..6). E - + - E ' + - + Fig. 3..6 Sacinile electice de semn conta geneeaz un câmp electic E ' oientat în sens opus câmpului electic eteio. Redistibuiea sacinilo electice în conducto continu pân când se ajunge la un echilibu electostatic, adic: E = E' i E = E' În acest caz intensitatea câmpului electic din inteioul conductoului devine zeo: E i = E + E' = 0 (3..40) 6

ceea ce înseamn c potenialul electic în inteioul conductoului este constant, confom (3..): gad Vi = 0 Vi = const. În eteioul conductoului liniile de câmp devin pependiculae pe supafaa conductoului, deci câmpul electic în eteio ae numai component nomal (dac a avea i o component tangenial, sub aciunea acesteia sacinile de pe supafaa conductoului s-a deplasa i nu a mai eista echilibu electostatic): E = E n ; E t = 0 (3..40 ) Rezult c supafaa unui conducto aflat în câmp electostatic este echipotenial. Dac unui conducto i se tansmite o sacin electic q, aceasta se distibuie pe supafaa conductoului cu o densitate supeficial σ, densitatea volumic ρ din inteio fiind zeo (de fapt concluzia 3..8), deci se distibuie astfel încât s fie îndeplinite condiiile de echilibu (3..40) i (3..40 ). În concluzie, un conducto neutu din punct de vedee electic intodus în câmp electic conduce la înteupeea liniilo de câmp eteio, fapt ce st la baza ecanii electostatice. 3..8. Dielectici în câmp electic. Polaizaea dielecticilo. 3..8.. Tipui de dielectici i de polaizae Dielecticii sunt substane caacteizate din punct de vedee al mobilitii sacinilo electice pint-un timp de elaae infinit al sacinilo. Dielecticii sunt compui din molecule cu sacini pozitive i negative cae sub aciunea unui câmp electic, în funcie de tipul acestoa, se deplaseaz micoscopic în juul poziiei de echilibu astfel încât la capetele dielecticului apa sacini induse, fenomen cae poat numele de polaizaea dielecticului. Polaizaea dielecticilo este legat de popietile atomilo i moleculelo cae fomeaz dielecticul espectiv. Se deosebesc dou tipui de polaizae i anume polaizaea elastic i polaizaea de oientae. Vom înceca s înelegem aceste dou fome de polaizae consideând cazul simplificat, când inteaciunea dinte molecule poate fi neglijat (aceast pesupunee este valabil, de fapt, numai în cazul uno medii aefiate, cum sunt gazele). o. Polaizaea elastic. Pentu o seie de substane, moleculele acestoa nu posed moment de dipol electic, adic moleculele constituente ale acesto substane sunt molecule nepolae. Momentul de dipol al unei molecule este zeo dac centul sacinii electice pozitive coincide cu centul sacinii electice negative. În gupa moleculelo nepolae int în pimul ând toate moleculele monoatomice (gazele inete, vapoi metalici) i moleculele poliatomice cae posed o stuctu chimic simetic. În figua 3..7 se indic stuctua uno molecule nepolae. Dac o molecul nepola se afl înt-un câmp electic de intensitate E, atunci centul sacinilo electice negative i al celo pozitive se deplaseaz în sensui opuse i molecula capt un moment electic de dipol p = q a (3..4) unde a este distana dinte centele sacinilo electice negative i pozitive, datoat aciunii câmpului electic eteio. Se pot distinge tei tipui de polaizae elastic : a) polaizaea electonic sub aciunea câmpului electic eteio centul ptuilo electonice se deplaseaz fa de centul nucleului; b) polaizaea ionic în cazul moleculelo fomate din ioni (HCl, H O etc), sub aciunea câmpului electic eteio ionii negativi i pozitivi sufe deplasi în sensui opuse; c) polaizaea eelei în cistalele ionice (eemplu : NaCl) este posibil, sub aciunea câmpului electic eteio, o deplasae a subeelei fomat din ionii pozitivi, fa de subeeaua fomat din ionii negativi. Datoit sepaii centului sacinilo pozitive din fiecae molecul de centul sacinilo negative în lungul liniilo de câmp, la capetele dielecticului compus din molecule nepolae apa sacini induse, egale i de semn conta (fig. 3..7); dielecticul se încac cu electicitate pe feele lateale pependiculae pe diecia câmpului. Astfel de dielectici se numesc dielectici nepolai sau diaelectici. 63

o. Polaizaea de oientae. Polaizaea de oientae se obsev în cazul substanelo, ale co molecule posed un moment electic de dipol, în absena câmpului electic eteio. Moleculele acesto substane se numesc molecule polae. Pezena unui moment electic de dipol p o este condiionat de o anume asimetie în stuctua moleculei. Aceast asimetie conduce la faptul c centul sacinilo negative, din molecul, nu coincide cu centul sacinilo electice pozitive. Dac este distana dinte centele sacinilo electice negative i pozitive, molecula va avea un moment electic de dipol constant p o = q (3..4) H H H Cl H HCl N O C O O CO NH 3 H O Cl H H H H BCl 3 B Cl Cl E=0 E 0 a H E=0 E 0 a Fig. 3..7 Fig. 3..8 În figua 3..8 se indic stuctua uno molecule polae; de eemplu, molecula de ap este pola deoaece sacina medie pozitiv este deplasat spe atomii de hidogen ia sacina negativ spe atomii de oigen. În substanele polae nu avem o polaizae macoscopic în absena câmpului electic eteio, deoaece momentele electice de dipol se distibuie omogen în spaiu. Dac îns substana pola se afl înt-un câmp electic de intensitate E, atunci distibuia dieciilo de oientae a momentelo electice de dipol devine asimetic, deoaece câmpul eteio tinde s oienteze momentele p o în sensul vectoului E, confom celo atate în 3..6 i apa astfel sacini electice supeficiale (în câmp electic neomogen apa i sacini induse în volumul dielecticului). Astfel de dielectici se numesc dielectici polai sau paaelectici. 3..8.. Vectoul polaizae electic Aa cum am vzut în subpaagaful pecedent, oice dielectic, neutu din punct de vedee electic, intodus în câmp electic eteio se polaizeaz. Staea electic a unui cop polaizat electic este caacteizat pint-o mime vectoial p numit momentul electic al copului (mime pimitiv), cae este univoc definit pin epesiile foei F (3..37) i cuplului C (3..35) eecitate de câmpul electic E, asupa copului : F = (p E) 64

C = p E Momentul electic al copului este dat de suma momentelo electice dipolae ale celo N molecule polae din cae este constituit dielecticul: N p = p i i= În absena unui câmp electic eteio moleculele dielecticului sunt oientate la întâmplae i suma vectoial a momentelo tutuo moleculelo va fi zeo : E = 0 N p = pi = 0 i= În pezena unui câmp electic eteio unifom, dipolii moleculai se vo oti i p 0. Dac momentul electic al unui element de volum d este dp atunci copul poate fi caacteizat din punct de vedee macoscopic pin momentul electic al unitii de volum p dp P = lim = (3..43) 0 d numit i vecto polaizae sau polaizaie electic. Pentu un cop omogen de volum : p P = (3..43 ) Vectoul polaizae P ae ca efect faptul c în pezena unui dielectic intensitatea câmpului electic dife de intensitatea câmpului electic ceat de aceleai sacini în vid. Considem un mediu dielectic omogen de fom paalelipipedic, constituit din molecule polae, plasat în vid. Sub aciunea unui câmp electic omogen E moleculele se oienteaz i pe faa de supafa S, pependicula la diecia câmpului, apae sacina +q p ia pe cealalt q p, unifom distibuite pe cele dou fee (fig. 3..9.a); sacinile inteioae îi echilibeaz momentele electice. Dac dielecticul este aezat în câmp astfel încât feele paalelipipedului sunt înclinate cu unghiul θ fa de diecia vectoului câmp electic, de-a lungul nomalei la faa pe cae apa sacinile de polaizae eist numai componenta P n = P. n a vectoului polaizae P (fig. 3..9 b). -q p E +q p P S n ' ' P S n E a Fig. 3..9 b Densitatea supeficial a sacinilo de polaizae este σ q p p = S (3..44) ia momentul electic al copului dielectic ae valoaea: 65

p = q p ' unde 66 ' = cos θ fiind distana dinte cele dou fee, vectoul p fiind oientat în sensul lui E : E p = q p ' = q p q cos E = θ p (3..45) cos θ E Sacinile inteioae îi echilibeaz momentele i de aceea nu apae densitate volumic de sacin de polaizae cci, în caz conta nu a mai fi espectat condiia de omogenitate. Polaizaea va fi : q p p cos θ E σp E P = = = (3..46) S E cosθ E Înmulind elaia (3..46) cu vesoul nomalei pozitive la supafaa dielecticului se obine componenta vectoului polaizae pe diecia nomalei la faa dielecticului: σ p E.n σp E.cos θ. Pn = P.n = = = σ cos θ E cos θ E p (3..47) Relaia (3..47) evideniaz apaiia sacinilo de polaizae pe supafeele de discontinuitate cae nu sunt paalele cu vectoul polaizaie electic. Astfel: σ p > 0 dac θ [0, π/), deci pe faa pozitiv; σ p = 0 dac θ = π/ deci pe supafaa paalel cu câmpul; σ p < 0 dac θ (π/, π], deci pe faa negativ. În cazul dielecticilo neomogeni sau al câmpuilo eteioae neunifome, la vectoul polaizae contibuie i sacinile de polaizae de densitate volumic ρ p (momentele electice din inteioul dielecticului nu se mai echilibeaz) i se poate ata în acest caz c ρ p = - P 3..9. Capacitatea electic. Condensatoi Popietatea copuilo de a înmagazina sacini electice se numete capacitate electic. Dac se mete teptat sacina electic a unui conducto izolat, potenialul conductoului cete popoional cu sacina acumulat pe conductoi, astfel încât apotul dinte sacina q i potenialul V, în oice stae de echilibu a conductoului, mâne constant. Rapotul q C = V se numete capacitatea electic a conductoului. Valoaea capacitii nu depinde de sacin i potenial ci de foma i dimensiunile conductoului (de geometie). Unitatea de msu a capacitii electice este faadul, F, cu submultiplii: µf, nf i pf. Un ansamblu de doi conductoi, sepaai pint-un dielectic poat numele de condensato electic. Cei doi conductoi se numesc amtuile condensatoului. Dup foma amtuilo condensatoii pot fi: plani, sfeici, cilindici etc. Calculul epesiei capacitii condensatoilo se educe la deteminaea sacinii electice cu cae se încac i a difeenei de potenial dinte amtui q C = (3..48) V V Calculul capacitii condensatoului plan Amtuile condensatoului plan pot fi consideate ca dou plane infinite înccate cu densitile supeficiale de sacin +σ i -σ (fig. 3..0). Câmpul electic dinte amtuile aflate în ae este ceat atât de planul înccat pozitiv cât i de cel înccat negativ, aa cum aat elaia

(3..0) i este oientat pependicula pe amtui, având sensul de la amtua pozitiv spe cea negativ (considem aceast diecie Oz): σ E = (3..49) ε 0 Confom elaiei (3..) poiectat pe diecia Oz se obine: z dv E = dv = E.dz dz z sau σ σ d V V = (z z) = εo εo unde d = z z este distana dinte amtuile de coodonate z i z. Dac S este supafaa unei amtui, q d V V =, εos q fiind sacina total (în valoae absolut) de pe un plan. Capacitatea condensatoului plan va fi apotul dinte sacina unei plci i difeena de potenial dinte plci: q ε S C = = o (3..50) q d d εos O +σ -σ + - + - E + - + - + - + - + - + - + - z z Fig. 3..0 z 3..0. Definiea vectoului inducie electic. 3..0.. Legtua dinte vectoii E, D i P Considem un condensato plan înccat cu sacin electic de densitate supeficial σ pe amtui (fig. 3..). În inteioul condensatoului f dielectic se stabilete câmpul (3..49): σ E o = (3..5) ε0 ia în pezena dielecticului, pin analogie cu elaia pecedent: 67

σ E = (3..5) ε ε fiind pemitivitatea electic a dielecticului. Pin intoduceea unui dielectic apae fenomenul de polaizae i pe feele lateale ale dielecticului, paalele cu amtuile condensatoului, apa sacini legate, de densitate supeficial σ p. Aceste sacini vo detemina în inteioul dielecticului un câmp E p diijat în sens conta câmpului este E o podus de sacinile libee de pe plcile condensatoului i a cui valoae σp E p = (3..53) ε0 Totul se pezint ca i cum în locul dielecticului s-a afla în vid dou fee paalele având densitatea supeficial de sacin σ p. +σ -σ E + o - + -σ p - + +σ p - + - + - E + - p + - + - + - + - E + - + - + - + - Fig. 3.. Câmpul electic total dinte plcile condensatoului va fi : E = E o + E p (3..54) având modulul: σ σp E = E o E p = ε0 de unde ezult ε 0 E + σp = σ = ε0 E 0 = ε E (3..54 ) unde s-a inut seama de elaiile (3..5) i (3..5). Deoaece σ p = P (elaia 3..47) se obine: ε 0 E + P = σ (3..55) sau D = σ (3..55 ) Vectoul D = ε 0 E + P (3..56) se numete inducie (sau deplasae) electic i este o mime deivat. Aa cum ezult din ultimele dou elaii, unitatea de msu pentu inducia electic este C/m. Din (3..54) i (3..56) se obine în pezena unui dielectic: D = ε E (3..57) Sciind ε sub foma podusului ε = ε 0 ε, unde ε este pemitivitatea electic elativ a dielecticului, din elaia (3..56) ezult valoaea polaizii : 68

P = ε 0 ε E - ε 0 E = ε 0 (ε ) E (3..58) sau, notând cu χ e = ε (3..59) susceptivitatea electic, se obine : P = ε 0 χ e E sau, vectoial : P = ε0 χe E (3..60) Mimea χ e caacteizeaz mediul din punct de vedee al gadului su de polaizae sub influena câmpului electic. Din ultima egalitate din (3..54 ) ezult: ε0 E0 E E = = 0 ε ε deci mimea ε indic de câte oi intensitatea câmpului electic E în dielectici este mai mic decât intensitatea câmpului electic E 0 în vid. 3..0.. Legea lui Gauss genealizat Câmpul electic ceat în mediul dielectic este consideat a fi ezultatul supapuneii câmpuilo ceate în vid de sacinile libee q de pe feele condensatoului i de sacinile legate q p de pe feele dielecticului. Legea lui Gauss (3..) pentu o supafa gaussian ce cupinde o plac a condensatoului i o fa a dielecticului (fig. 3..) se scie, inând cont c sacinii +q îi coespunde -q p : q E.n.dS = (q q + -q p - + - +σ E p ) (3..6) Σ ε0 Deoaece supafaa se o poate -σ lua foate apoape de + - + - faa (S) a dielecticului, se poate scie elaia : ds + - P q + - p = σ ds P. ds + S - E S p = (3..6) Σ + - Înlocuind (3..6) în (3..6) se obine: ( E P).dS q + - ε0 + = Σ Σ D.dS= q Σ Fig. 3.. sau sub fom local: div D = ρ (3..63) cae se numete legea lui Gauss genealizat, deoaece este valabil i pentu mediile neomogene, unde apa sacini de polaizae în volum, ρ p, da cae nu pot influena fluul induciei electice. 3... Enegia câmpului electostatic Pocesul de înccae a unui condensato plan de gosime d, cu sacina electic Q pân când difeena de potenial dinte plci (3..5) devine U = V - V = E.d = E.d (3..64) 69

poate fi imaginat astfel: se deplaseaz sacina Q de la una din plci la cealalt, pe baza efectuii unui lucu mecanic ; acest lucu mecanic va fi msua enegiei condensatoului înccat. Înte sacina Q i tensiunea U dinte plci eist elaia (3..48): Q = C (V V ) = C U (3..65) În timpul înccii condensatoului sacina Q cete ia împeun cu ea i tensiunea U, da în oice moment, aceste mimi sunt legate pin elaia (3..65). Lucul mecanic d cae tebuie cheltuit pentu a tanspota sacina dq de la o plac la cealalt este, confom (3..30) : d = (V V ) dq = U dq (3..66) Desigu, mimile U, V, V au valoile din momentul consideat. Dup ce a fost tanspotat, sacina dq idic tensiunea dinte plci cu valoaea du i deci, din elaia (3..65) ezult: d Q = C d U (3..67) ia din (3..66): d = C U d U (3..68) de unde, pentu enegia condensatoului se obine : U W C U d U C U e = = = = Q U (3..69) 0 Având în vedee elaiile (3..50) i (3..64), din (3..69) se poate scie enegia condensatoului în funcie de intensitatea câmpului electic E : W E e = ε Sd o (3..70) Aceast elaie aat c în câmpul electic eist o enegie i deci, se poate vobi despe o enegie a câmpului electostatic. Fomula (3..69) leag enegia condensatoului de sacinile de pe amtui ia fomula (3..70) de intensitatea câmpului E. Apae astfel poblema localizii (concentii) enegiei, în sensul c tebuie pecizat cine este puttoul enegiei electice: sacinile sau câmpul? În cadul electostaticii, cae studiaz câmpuile electice constante în timp ale sacinilo imobile, este imposibil s se dea un spuns. Câmpuile constante i sacinile cae le ceeaz nu pot eista în mod independent. Îns câmpuile electice vaiabile în timp pot eista independent de sacini i se popag în spaiu sub fom de unde electomagnetice. Epeiena aat c undele electomagnetice tanspot enegie (aa cum se va ata în subcapitolul 3.4). Pin umae, se poate considea c puttoul enegiei electostatice este câmpul electic. În fomula (3..70), podusul S.d epezint volumul al spaiului dinte plcile condensatoului plan i deci se poate intoduce noiunea de densitate volumic de enegie, cae se epim pin elaia: W we = = εoe (3..7) sau în cazul pezenei unui dielectic înte amtui, inând cont de elaia (3..57): w e = ε E = E D = E.D (3..7) 3.. ELECTROCINETICA 3... Cuentul electic. Intensitatea cuentului electic. Ecuaia de continuitate. Cuentul electic este fenomenul de tansfe de electicitate pint-un cop sau lan de copui (cicuit electic) sub aciunea unui câmp electic aplicat. Cuentul electic poate cicula numai în copui cu puttoi mobili de sacini electice: metale, electolii (soluii apoase de acizi, baze, sui), semiconductoi, gaze ionizate etc. Puttoii mobili de sacin au o micae dezodonat datoit agitaiei temice. Sub aciunea unui câmp electic aplicat, ei capt i o micae diijat pin cae se ealizeaz tansfeul de sacini electice. 70

Cuentul electic cae se obine pin deplasaea diijat a sacinilo libee în mediile conductoae de electicitate se numete cuent electic de conducie. Deplasaea sacinilo unui cop macoscopic înccat electic (conducto sau izolant), împeun cu copul, d natee unui cuent electic de convecie. Ne ocupm numai de egimul staiona al cuentului de conducie, adic în unitatea de timp, în oice moment, pin seciunea nomal a unui conducto este tansfeat aceeai sacin. Intensitatea cuentului electic de conducie, cae este o mime pimitiv, se definete ca fiind apotul dinte sacina dq tansfeat în intevalul de timp dt pint-o seciune nomal a unui conducto i duata dt: dq I = (3..) dt Unitatea de msu a intensitii cuentului electic este ampeul, [ I ] SI = C / s = A. Considem un tub de cuent electic, o supafa S n nomal la diecia de micae a puttoilo de sacini i o alt supafa S cae face un unghi θ cu S n. Înte nomalele la cele dou supafee va eista acelai unghi, θ (fig. 3..). Cuentul electic de conducie poate fi caacteizat i de densitatea de cuent, definit ca fiind cantitatea de electicitate ce tece în unitatea de timp pin unitatea de supafa oientat nomal pe diecia de deplasae a sacinilo electice: dq I j = = (3..) Sn.dt S.cos θ sau vectoial, j = j.k unde k este vesoul dieciei de tansfe maim al sacinilo pin seciunea conductoului. Linia de cuent este o cub tangent la diecia local a vectoului densitate de cuent. n θ S n S k ds S S linie de cuent j ds Fig. 3.. Fig. 3.. În cazul când seciunea S nu este plan i vectoul j nu ae aceeai valoae pe înteaga seciune, se împate seciunea S în elemente ds în cae vectoul j este constant (fig. 3..). Se poate scie: dq dq dq j = k = k = k (3..3) dsn.dt ds.cos θ.dt ds.k.dt unde s-a folosit faptul c ds = ds. n, deci ds.k = ds.n.k = ds. cos θ. Din ultima pate a elaiei (3..3) ezult: dq j.ds = di = j.ds dt unde di este elementul de cuent cae tece pin elementul de supafa ds. Cuentul total, pin toat seciunea S a conductoului, va fi: I = j.ds= j.n.ds (3..4) S S 7

adic intensitatea cuentului electic este egal cu fluul densitii de cuent pin seciunea conductoului. Înt-un mediu conducto, nu eist tansfe de sacin f un tansfe simultan de mas, deoaece sacina electic, ca mime de stae, caacteizeaz obligatoiu un sistem fizic. Se poate stabili o elaie înte densitatea de cuent j i viteza de tansfe v a sacinilo electice. Astfel, înmulind i împind în elaia (3..3) cu d elementul de deplasae pe diecia de tansfe a sacinii dq - se obine: dq.d dq d j = k = = ρ.v (3..5) dsn.d. dt dsn.d dt unde ρ este densitatea volumic de sacin i d = d. k. Deci densitatea cuentului de conducie este egal cu podusul dinte densitatea volumic de sacin i viteza macoscopic de tansfe a sacinilo electice. Vom gsi în continuae o alt elaie înte densitatea de cuent i densitatea volumic de sacin, numit ecuaia de continuitate i cae epim legea consevii sacinilo electice în timpul tansfeului de sacini. Pentu aceasta considem o supafa închis S de volum, în inteioul unui mediu conducto în cae ae loc un tansfe de sacini electice (fig. 3..3). Dac la momentul t 0 în inteioul supafeei S se afl sacina q 0, la un moment ulteio t, o pate din sacini sunt tansfeate spe eteioul supafeei S ia alt pate q int se afl în aceast supafa, deci q 0= qint + q tansf. S q int q tansf Fig. 3..3 Întucât sacinile electice nu apa i nu dispa, q 0 = const. i pin deivae în apot cu timpul ezult: dq dq dq I.dt int int = tansf = + I = 0 (3..6) dt Epimând din (3..) sacina din volumul în funcie de densitatea volumic ρ (, t), q int =ρ.d, i din (3..4), intensitatea cuentului electic pin supafaa închis S, folosind teoema Geen- Gauss-Ostogadski, I = j.n.ds = j.d, (3..6 ) S înlocuind aceste elaii în (3..6), se obine: d ρ ρ.d + j.d = 0 + j d = 0 dt t Deoaece volumul este abita, integandul tebuie s fie nul: ρ + j = 0 (3..7) t epesie cae epezint foma difeenial a ecuaiei de continuitate a cuentului electic. 7

Din (3..6) i (3..6 ) ezult foma integal a ecuaiei de continuitate: dq int = j.ds (3..7 ) dt S deci micoaea sacinii electice din volumul, în unitatea de timp, este egal cu fluul densitii de cuent pin fontiea S a acestui volum. În egim staiona, dei sacinile electice nu se gsesc în echilibu, mimile macoscopice, cum a fi densitatea volumic de sacin, sunt independente de timp i din (3..7) ezult: ρ ρ = const. = 0 j = 0 (3..8) t deci j este un vecto solenoidal, liniile de cuent electic fiind întotdeauna linii închise, adic cuentul electic staiona se poate stabili numai în cicuite închise. 3... Legea lui Ohm În mediul conducto ia natee un cuent electic dac puttoii de sacin sunt antenai înt-o micae odonat. Aceasta se poate ealiza dac asupa fiecui putto de sacin acioneaz o fo F deteminat de eistena unui câmp de natu electostatic E : F = q E unde q este sacina unui putto de sacin. Sub aciunea acestei foe puttoii de sacin a tebui s se deplaseze unifom acceleat, da cuentul electic cae apae este continuu deoaece puttoii (electonii) se ciocnesc cu paticulele ce constituie mediul conducto (ionii eelei cistaline) i la fiecae ciocnie ei pied enegie. Aceste ciocnii au olul de fânae i efectul lo este simila cu a unei foe de fecae F f al cei modul, pentu viteze mici, depinde linia de viteza v a puttoilo: F f = - a v Ecuaia difeenial de micae a unui putto în câmpul electic E este: dv m = qe av dt de unde, pin integae cu condiia ca la t = 0 (când s-a aplicat câmpul electic E), viteza v = 0, ezult: a v dv t qe t m = dt v = e m (3..9) 0 qe av 0 a Mimea τ = m / a se numete timp de elaae i epezint intevalul de timp în cae viteza puttoilo de sacin se micoeaz de e oi datoit ciocniilo. Eponeniala din elaia (3..9) scade apid, astfel încât egimul tanzitoiu nu dueaz mult i soluia (3..9) poate fi apoimat cu: q τ v = E = µ E (3..0) m q τ unde coeficientul de popoionalitate µ = se numete mobilitate a puttoilo de sacin, m depinzând de tipul puttoilo de sacin i, pin τ, de staea fizic a mediului conducto. Datoit micii de agitaie temic divesele sacini elementae nu au aceeai vitez i se pot deplasa cu viteze difeite, aceast micae supapunându-se peste micaea odonat cae constituie cuentul electic. Dac n i puttoi de sacin din unitatea de volum (n i = N i / ) se deplaseaz cu viteza v i, se definete viteza medie, numit i vitez de dift. 73

n i v v = i (3..) n 0 unde n 0 = ni este numul total al puttoilo de sacin eisteni în unitatea de volum. inând cont de elaia (3..5), densitatea de cuent se poate scie sub foma: N = =ρ i q j ji i vi =.vi = q ni vi i i i i sau, inând cont de elaia (3..), j = q n 0 v i epimând viteza de dift sub foma (3..0) se obine legea local (difeenial) a lui Ohm cae evideniaz popoionalitatea dinte densitatea cuentului de conducie i intensitatea câmpului electic sub aciunea cuia se tansfe sacina în conducto: j = q n 0µ E j = σ E (3..) Mimea n q n q 0 τ σ = 0 µ = (3..3) m epezint conductivitatea electic i caacteizeaz gadul de conducie electic a conductoaelo. Pentu un conducto omogen cilindic de lungime, plasat înt-un câmp electic omogen E = const. (fig. 3..4) se pot scie elaiile: V V j S I E V V U E V = = = d I I j = const. j = = d S S i legea lui Ohm (3..) devine: I U = σ U = I (3..4) S σ S Mimea R = = ρel (3..5) σ S S este ezistena electic a conductoului ia ρel = σ epezint ezistivitatea conductoului (invesul conductivitii). Fig 3..4 Astfel, legea lui Ohm (3..4) pentu conductoae omogene cilindice devine: U = RI (3..6) 3..3. Tensiunea electomotoae Menineea unui cuent electic pemanent înt-un cicuit închis pesupune utilizaea unei suse de tensiune cae geneeaz în pemanen o fo ce asigu micaea puttoilo de sacin electic în conducto. Lucul mecanic al acesto foe povine din vaiaia enegiei susei înt-un poces comple (eacii chimice, fenomene temoelectice, fotoelectice). Susa (geneatoul) de 74

tensiune ceeaz un câmp electic impimat E i cae menine ciculaia cuentului continuu pin cicuit i cae se supapune peste câmpul electic E deteminat de inteaciunea electostatic a sacinilo electice în epaus: E total = E + E i Legea lui Ohm difeenial (3..) se scie : j = E + E σ i (3..7) din cae, integând pentu o poiune de cicuit înte dou puncte i, se obine : j d = E d + E σ i d (3..8) Pin analogie cu definiia (3..6), ciculaia înte dou puncte a câmpului electic impimat, = E d i (3..9) se numete tensiune electomotoae i caacteizeaz capacitatea unui geneato de a înteine un cuent pe cicuit. Deoaece vectoii j i d sunt paaleli în oice punct, se poate scie: d j d jd I = = σ σ σ S unde I este intensitatea cuentului pin contuul consideat. Rezistena electic a cicuitului înte punctele i este, confom (3..5): d R = (3..0) σ S Înlocuind ultimele tei elaii în (3..8) i din definiia (3..6) a tensiunii U se obine cdeea de tensiune pe ezistena R ca suma dinte tensiunea electomotoae i difeena de potenial dinte cele dou puncte ale cicuitului: I R = + U (3..) cae epezint legea lui Ohm integal pentu o poiune deschis de cicuit. Cdeea de tensiune este egal cu difeena de potenial numai pe poiunea de cicuit în cae nu acioneaz foe impimate, adic nu eist suse de tensiune electomotoae. 3..4. Legea lui Joule Dac pint-un conducto cicul un cuent continuu cu intensitatea constant, deteminat de un câmp electic constant, asupa fiecui putto de sacin va aciona foa F = q E cae, înte dou puncte ale conductoului, efectueaz lucul mecanic = F d = q E d (3..) Cu (3..6) elaia (3..) devine: = q U (3..3) Confom (3..) q = I t i lucul mecanic din (3..3) se scie: 75

= U I t (3..4) Acest lucu mecanic efectuat asupa puttoilo de sacin de cte câmpul electic eten nu folosete la miea enegiei lo cinetice, deoaece viteza de dift se menine constant în cazul cuentului continuu (j = const.). Înseamn c puttoii de sacin nu ein enegia pimit de la câmpul eten, ci o tansfom în geneal sub fom de cldu mediului conducto în uma ciocniilo cu paticulele cae îl compun. Dac mediul conducto de volum ae ezistena electic R i este stbtut de cuentul de intensitate I, cldua absobit în timpul t este, inând cont de (3..6): Q = R I t (3..5) Pentu o poiune elementa de cicuit de volum d, lungime d i seciune ds (d. ds = d) se poate scie confom (3..4) pentu I i (3..0) pentu R i inând cont de legea lui Ohm (3..): d dq = t.. j (ds) = t. σ E d, σ ds de unde, pin integae pe înteg volumul conductoului, se obine: Q = t σ E d (3..6) Relaiile (3..5) sau (3..6) epezint legea lui Joule sub fom integal. Efectuând integaea în (3..6) se poate defini puteea specific w J a cuentului electic ca fiind cldua absobit în unitatea de timp de unitatea de volum de mediu conducto dq w J = = σ E (3..7) t d Epesia obinut în (3..7) epezint legea lui Joule sub foma local (difeenial). 3.3. MAGNETOSTATIC 3.3.. Câmpul magnetic constant. Inducia magnetic. Dup cum o sacin electic în epaus poduce un câmp electostatic, un cuent electic poduce în juul su un câmp magnetic. Astfel, câmpul magnetic este ezultatul micii sacinilo electice. Inteaciunea dinte dou cicuite pacuse de cuent electic, apaiia unui cuplu de foe ce acioneaz fie asupa unui cicuit închis pacus de un cuent staiona, fie asupa unui ac magnetic dac se afl în vecintatea unui alt cicuit pacus de un cuent, sunt manifesti ale câmpului magnetic. Pin câmp magnetic se înelege un domeniu în cae se eecit foe magnetice asupa uno cueni electici sau asupa uno magnei. Epeimental s-a obsevat c în juul unui cicuit ectiliniu pacus de un cuent constant, un ac magnetic, cae ae posibilitatea de a se oti înt-un plan pependicula pe cicuit, se oienteaz pe diecia pependicula pe aza vectoae cae unete cicuitul cu punctul în cae se afl acul (fig. 3.3.) ia sensul este dat de egula bughiului dept: nodul indic sensul în cae tebuie otit bughiul dept pentu a se deplasa în sensul cuentului. Repetând epeiena cu pilitu de fie pesat pe un plan oizontal, tavesat de un conducto vetical pacus de un cuent, aceasta se oienteaz în mod simila, fomând linii ciculae concentice în juul cuentului. În plus, se constat c liniile de pilitu se esc pe msu ce cete distana fa de conducto. Mimea fundamental cae caacteizeaz câmpul magnetic înt-un punct în vid este vectoul inducie magnetic, B, cae este o mime pimitiv, intodus epeimental. Câmpul magnetic, la fel ca i câmpul electic, este epezentat pin linii de câmp cae sunt cube tangente în fiecae punct la vectoul B (fig. 3.3.). 76

Caacteistic liniilo de câmp magnetic este faptul c sunt cube închise (aa cum evideniaz i epeiena cu pilitua de fie), spe deosebie de liniile de câmp electic cae sunt cube deschise. Unitatea de msu a induciei magnetice este Tesla (T). I B Fig. 3.3. Înte inducia magnetic B i intensitatea câmpului magnetic, H, în vid eist elaia de popoionalitate: B = µ 0 H (3.3.) unde µ 0 este pemeabilitatea magnetic a vidului (µ 0 =4π.0-7 N/A ); <H> = A/m. Pentu studiul teoetic al câmpului magnetic se folosesc: a) elementul de cuent, I.d, cu sensul vectoial dat de sensul cuentului I ce stbate un conducto de lungime elementa d i b) bucla de cuent, de dimensiuni foate mici, ce joac olul unei sonde i ceia i se atibuie un moment magnetic. 3.3.. Legea Biot Savat - Laplace În anul 80, Biot i Savat au constatat epeimental c înt-un punct P situat la distana de un conducto ectiliniu pactic infinit lung pacus de un cuent de intensitate I (fig. 3.3.. a), apae un câmp magnetic de intensitate: I H = (3.3.) π I I H d α dh a Fig. 3.3.. b Laplace a genealizat aceast elaie i a atat c un câmp magnetic ceat de un cuent ce stbate un conducto de o fom oaecae, da cae pezint o simetie cilindic a densitii de cuent, poate fi epimat ca suma vectoial (supepoziia) a câmpuilo ceate de poiunile 77

elementae de conducto. Pentu câmpul magnetic ceat de un element de cuent de lungime d la distana (fig. 3.3.. b), Laplace a stabilit fomula : Id dh = 4 π 3 (3.3.3) sau, în modul, Id.sin α dh = (3.3.3 ) 4 π unde d este vectoul element de lungime a cui diecie coincide cu cea a cuentului I, ia este vectoul ce unete elementul de cuent cu punctul în cae se detemin dh sau H. Câmpul magnetic ceat de înteg conductoul se obine pin integaea elaiei (3.3.3 ) pentu cazul concet, paticula, consideat. Relaiile (3.3.3) i (3.3.3 ) sunt cunoscute sub denumiea de legea Biot- Savat-Laplace i au valabilitate estâns la cazul staiona. inând cont de elaia (3.3.), pentu inducia magnetic elementa ceat în vid sau în ae de elementul de cuent I.d se poate scie o elaie asemntoae cu (3.3.3): µ 0 Id db = (3.3.4) 4 π 3 sau, în modul, µ 0 Id.sin α db = (3.3.4 ) 4 π Cu elaia (3.3.4) se poate calcula inducia câmpului magnetic pentu sistemele simple de cueni staionai. a) Cuentul linia. Considem un conducto foate lung, aflat în ae i pacus de cuentul electic de intensitate I (fig. 3.3.3. a). Inducia ceat de poiunea d din conducto înt-un punct M aflat la distana de elementul de cuent i la distana d de conducto este dat în modul de elaia (3.3.4 ) scis pentu unghiul θ, vectoul db fiind oientat pependicula pe planul vectoilo d i. Pentu integae este necesa s avem o singu vaiabil. Obsevm c d d.sin θ = d.cosα =. d α i =, cos α deci µ I µ I α db = o cos α dα B = o cos α dα. 4 πd 4 πd α Pentu un conducto linia, infinit de lung, α = - π/ i α = + π/, obinându-se µ I B = 0 (3.3.5) πd sau, pentu câmpul magnetic, I H = πd adic legea Biot-Savat (3.3.). b) Cuentul cicula. Considem un conducto cicula Γ de az R, pin cae cicul cuentul I (fig. 3.3.3. b). Calculm câmpul magnetic ceat de spia de cuent Γ, înt-un punct M, aflat pe deapta pependicula pe planul spiei, în centul su. 78

Id I α θ d dα α M db I Id R O Γ R 0 α db p db M db n a b Fig. 3.3.3 Un element d al spiei detemin în M un câmp magnetic de inducie d B, pependicula pe vectoul, având componentele d B p i d B n. Câmpul magnetic ezultant ae inducia: B = d B = d Bp + d B n Γ Γ Γ Din motive de simetie, d B n = 0 Γ ia µ I d db = db.sin α = 0 p. sin α 4π unde R R sin α = =, R + R 0 R 0 fiind distana dinte centul O al spiei i punctul M. Integând pe toat lungimea spiei, obinem d = πr i inducia magnetic în punctul Γ M se scie: µ = = 0I R B dbp 3/ Γ (R + R 0 ) În centul spiei, R 0 = 0 ia valoaea induciei magnetice este µ B = 0 I R Obsevaie. Relaiile obinute pentu inducia magnetic ceat de un cuent staiona în vid sau în ae sunt valabile i pentu un mediu oaecae, caacteizat de pemeabilitatea magnetic µ = µ 0 µ (µ pemeabilitatea elativ a mediului), în cae B depinde de popietile mediului: B = µ H aa cum vom vedea în 3.3.7. 79

3.3.3. Momentul dipola magnetic Dac se conside un contu cicula de diametu mic (o bucl), pacus de un cuent staiona I, oientaea contuului în spaiu poate fi caacteizat pin diecia nomalei pozitive (deteminat dup egula bughiului) n la contu (fig. 3.3.4). Acest contu se compot ca un mic magnet fiind numit dipol magnetic. Sensul nomalei n este în acelai timp i sensul sud-nod al câmpului podus de cuentul cicula. Înt-un câmp magnetic unifom de inducie B o asupa dipolului magnetic acioneaz o fo de oientae (mai eact, un cuplu de foe F ), nomala pozitiv n oientându-se paalel cu diecia câmpului. Epeimental s-a constatat c F este popoional cu cuentul I din contu i cu aia S a contuului, da nu depinde de foma contuului. Pe aceast baz s-a definit momentul magnetic m al dipolului pin elaia: m S m = I S = I S n (3.3.6) Momentul cuplului de foe F n este atunci : C = m B o (3.3.7) B 0 I S Fig. 3.3.4 Dac dipolul se afl înt-un câmp neunifom, este evident c datoit faptului c foele ce coespund câmpului din cazul câmpului unifom nu mai sunt egale, pe lâng cuplul de foe va apae o fo ce va poduce acceleaea centului de mas al dipolului magnetic. Se poate ata c aceast fo ae o epesie asemntoae cu (3..37) în cazul câmpului electic neunifom, da în loc de momentul electic p apae aici momentul magnetic m : f = gad ( m.bo ) (3.3.8) Pin umae, un dipol magnetic de moment m, situat înt-un câmp magnetic de inducie posed o enegie potenial : U mag = m B o (3.3.9) Cuplul de foe ae tendina s alinieze dipolul magnetic la diecia vectoului enegia potenial s fie minim (poziia de echilibu stabil). 3.3.4. Inteaciuni electomagnetice B o B o, astfel încât 3.3.4.. Foa electomagnetic (Laplace) S considem o bucl de cuent de fom deptunghiula de latui i aflat în planul Oy, pin cae cicul un cuent de intensitate I, intodus înt-un câmp de inducie magnetic B ale cui linii de câmp sunt paalele cu latua, în sensul aei Oy (fig. 3.3.5). Confom elaiei (3.3.7), momentul cuplului ce acioneaz asupa buclei de moment magnetic m = IS = I.z, oientat pependicula pe planul buclei, este: C = I. ( B) z i cum B = B. y 80

se poate scie : z m F S C B y O Fig. 3.3.5 I F C = I. B. (3.3.) Pentu a ajunge la echilibu (paalelism înte vectoii m i B ) cicuitul se otete în juul unei ae plasate în planul figuii, pependiculae pe B, deci asupa latuilo de lungime ale buclei, pependiculae pe B, acioneaz un cuplu de foe ( F, - F ) egale i de sens conta, de modul F, al cui moment este: sau, inând cont de oientaea vectoilo, F = I B (3.3.) Relaia (3.3.) epezint foa electomagnetic cu cae acioneaz câmpul magnetic de inducie B asupa unui conducto de lungime pacus de cuentul I, numit i fo Laplace. Sensul acesteia este dat de egula mâinii stângi: se aeaz mâna stâng paalel cu conductoul, cu degetele în sensul cuentului i cu degetul mae idicat, astfel încât vectoul inducie magnetic s inte în palm; degetul mae indic sensul foei electomagnetice. Asupa unui element de cuent I.d (d ae sensul cuentului I) acioneaz din patea câmpului magnetic foa: df = I.d B (3.3.3) În cazul în cae cuentul nu este filifom ci distibuit înt-un element de volum d = d S. d având densitatea de cuent j (deci I = j d S ) se poate scie: df = j.ds(d B) = ( j B d ) (3.3.4) 3.3.4.. Foa electodinamic Se constat epeimental c înte dou conductoae pacuse de cueni electici apa foe de inteaciune numite foe electodinamice. S considem dou conductoae paalele, de lungime foate mae, cae se afl la distana a unul de altul i sunt pacui de cuenii I i I în acelai sens (fig. 3.3.6). Fiecae cuent se afl în câmpul magnetic ceat de cellalt, deci fiecae cuent este solicitat de o fo electomagnetic cae tinde s-l deplaseze în sensul ei. Conductoul pin cae cicul cuentul I se afl în câmpul magnetic de inducie B, al cuentului I. În acest caz foa electomagnetic F cu cae câmpul magnetic B acioneaz asupa poiunii de conducto de lungime stbtut de cuentul I este: F = I B sau, în modul, inând cont de oientaea celo doi vectoi: F = I B (3.3.5) Aplicând egula podusului vectoial se constat c sensul foei F este astfel încât s apopie conductoul pin cae cicul cuentul I de conductoul pin cae cicul cuentul I. Inducia magnetic B se poate afla cu elaia (3.3.0): I B = µ 0 πa 8 (.y ) ( F.z ) = F. C = F = Pin egalaea acestuia cu epesia (3.3.) ezult: F = I B

i foa electodinamic ae epesia : I. I F = µ 0 (3.3.6) πa cae este egal i de sens conta cu foa cae acioneaz asupa cuentului I din patea cuentului I. Dac cuenii sunt de sens conta, înte ei se eecit o fo de espingee. I I a F = F F = F B Fig. 3.3.6 Relaia (3.3.6) st la baza definiii unitii de msu a intensitii cuentului electic în SI: ampeul este intensitatea unui cuent electic constant, cae meninut în dou conductoae paalele, ectilinii, de lungime infinit i de seciune cicula neglijabil, aezate în vid la distana de un metu unul de altul, poduce înte acestea o fo de.0-7 newtoni pe unitatea de lungime. 3.3.4.3. Foa Loentz Foa Loentz este foa cae acioneaz asupa paticulelo înccate cu sacin electic aflate în micae în câmp magnetic. Foa Laplace cae acioneaz asupa elementului de cuent I dq d podus de o distibuie de sacin de densitate volumic ρ = în micae cu viteza v în d câmp magnetic de inducie B, este, inând cont de elaia (3.3.4) i de epesia (3..5) a densitii de cuent: df = ρ (v B) d = dq (v B) Foa cae acioneaz asupa unei paticule înccate cu sacina q în câmp magnetic se numete fo Loentz i ae epesia : F L = q (v B) (3.3.7) fiind nomal la planul deteminat de vectoii v i B, deci efectul pe cae-l poduce este numai de modificae a dieciei de micae a paticulei, f s schimbe valoaea vitezei acesteia; câmpul magnetic nu acceleeaz paticulele înccate. În concluzie, foa Loentz este o fo centipet, deci sub aciunea ei paticula cu sacina q se mic pe un cec cu aza R cae se detemin din condiia ca micaea cicula a paticulei s fie unifom : m v m v q v B = R = (3.3.8) R q B 3.3.5. Legea cicuitului magnetic (legea lui Ampèe) Se conside înt-un mediu omogen un contu C plan, de o fom oaecae, ce înconjoa un conducto ectiliniu infinit, pacus de cuentul I (fig. 3.3.7). Liniile câmpului magnetic sunt cecui concentice înt-un plan pependicula pe planul desenului. Dac se alege, în mod convenional, sensul de pacugee a cubei C în sensul inves acelo de ceasonic, adic acelai sens cu al liniilo de câmp magnetic, din figua 3.3.7 se obsev c : 8

H.d = H.d.cos θ = H.d o = H.. d ϕ, unde s-a inut seama de faptul c d este o mime infinitezimal. Da H este dat de elaia (3.3.) i, pin umae, ciculaia vectoului H pe contuul C este I H.d = H..d ϕ = d ϕ = I (3.3.9) C C π C sau, pentu vectoul inducie magnetic B, B.d = µ 0 I C Relaia (3.3.9) epim legea cicuitului magnetic (legea lui Ampèe): ciculaia vectoului câmp magnetic de-a lungul unei cube închise din juul unui conducto pacus de cuent este egal cu intensitatea cuentului espectiv. Când cuba C înconjoa mai muli conductoi pin cae tec, espectiv, cuenii I, I, I n, atunci ciculaia lui H este egal cu suma algebic a cuenilo: n H.d = ± I k = Θ (3.3.0) C k= Mimea n Θ = ± I k k= se numete solenaie i se msoa în ampei. (C) I H ot H d dϕ θ d o S ds H ds linie de câmp d (C) Fig. 3.3.7 Fig. 3.3.8 Câmpul magnetic ceat de cueni staionai (I = constant) este static (nu depinde de timp) i din acest motiv se mai numete câmp magnetostatic; acest capitol se efe numai la astfel de câmpui. Spe deosebie de ciculaia vectoului câmp electostatic E, cae este nul, ciculaia lui H nu se anuleaz decât în cazul când contuul închis (C) nu cupinde conductoi pacui de cuent electic. Dac se epim cuentul I sub foma (3..4): I = j. d S S atunci din (3.3.9) se obine : H.d = j. d S C S Aplicând teoema lui Stokes pimului temen al acestei elaii, ezult (fig. 3.3.8): 83

H.d = ot H.dS = j. d S (3.3.) C S S unde S este o supafa cae se spijin pe contuul C. Din (3.3.) se obine ot H = H = j (3.3.) sau, pentu vectoul B, ot B = µ 0 j (3.3. ) Relaia (3.3.) epim foma difeenial a legii lui Ampèe i evideniaz caacteul otaional al câmpului magnetic: densitatea de cuent electic deci deplasaea sacinilo electice ceeaz vâtejui de câmp magnetic, adic linii de câmp închise, având otoul lui H difeit de zeo. Legea lui Ampèe asupa ciculaiei vectoului H ae în studiul câmpului magnetic aceeai impotan pe cae o ae legea lui Gauss în electostatic. În paticula, aa cum legea lui Gauss pemite calculul câmpului E în cazul uno distibuii de sacini, tot aa, legea lui Ampèe pemite deteminaea intensitii câmpului magnetic ceat de cueni, f a folosi legea Biot- Savat-Laplace (3.3.3), ceea ce simplific mult calculele. 3.3.6. Fluul induciei magnetice Dac înt-un câmp magnetic se taseaz cubele cae au ca tangent în fiecae punct vectoul inducie magnetic B, se obin liniile de inducie magnetic. Spe deosebie de liniile de inducie ale câmpului electostatic, cae ponesc i se temin pe sacini i deci sunt linii deschise (div D = ρ), liniile de inducie magnetic poduse de cueni sunt cube închise, adic nu eist puncte din cae aceste linii s poat divege (nu eist sacini magnetice) i ca umae div B = 0 (3.3.3) câmpul magnetic fiind doa sub fom de vâtejui, în juul cuenilo electici. Aceast elaie este adevat întotdeauna, chia i pentu câmpui magnetice dinamice (nu numai în magnetostatic). Ca i în cazul câmpului electic, se poate defini o mime numit flu al induciei magnetice (flu magnetic), notat cu Φ. Pe baza unui aionament analog celui epus în paagaful 3..3, pentu fluul magnetic Φ pint-o supafa S, se obine elaia : Φ = B. d S (3.3.4) S În confomitate cu teoema Geen-Gauss-Ostogadski i având în vedee elaia (3.3.3), ezult c fluul magnetic pint-o supafa închis S este nul (acelai num de linii de câmp int i ies din supafa): Φ = B.d S = div B d = 0 (3.3.5) S Dac se sciu sub foma unui tabel ecuaiile electostaticii (3..63 ), (3..8) i magnetostaticii (3.3.3), (3.3.): div D = ρ electosta tic (3.3.6) ot E = 0 div B = 0 magnetosta tic (3.3.7) ot H = j se obsev c vectoul câmp electic E apae numai în pimele dou ecuaii, ia vectoul câmp magnetic H numai în ultimele dou. Cele dou câmpui nu sunt inteconectate. Aceasta înseamn c electicitatea i magnetismul sunt fenomene distincte când sacinile i cuenii sunt statici. 84

Intedependena dinte E i H apae când eist vaiaii în timp ale sacinilo i cuenilo, de eemplu, în timpul desccii unui condensato sau al deplasii unui magnet. 3.3.7. Câmpul magnetic în inteioul substanelo magnetizate. Vectoul magnetizaie. Legtua dinte vectoii B, H i. O substan se numete magnetizat dac oice volum elementa ddin ea ae un moment magnetic dm (se compot ca o bucl de cuent). Asemenea substane se caacteizeaz pin vectoul magnetizaie definit ca fiind momentul magnetic al unitii de volum din substana espectiv: m = lim = dm, = A / m (3.3.8) 0 d SI sau pin vectoul polaizaie magnetic: I = µ 0. (3.3.8 ) cae este analogul în magnetism al polaizaiei electice P. Momentul magnetic al substanei, ca i momentul electic, este o mime pimitiv. Dac un conducto pin cae cicul un cuent electic este situat mai întâi în vid, apoi înt-un mediu oaecae, se obsev c în cele dou situaii câmpuile magnetice din juul conductoului nu sunt identice. Acest lucu se eplic pin faptul c oice substan ae popieti magnetice, adic se magnetizeaz (se polaizeaz magnetic) sub aciunea unui câmp magnetic. Confom concepiei lui Ampèe, oice câmp magnetic, în ultim instan, este podus de cueni electici (sacini electice în micae). Substana magnetizat poate fi înlocuit, din punct de vedee magnetic, pint-o distibuie de cueni, convenabil aleas, numii cueni ampeici, a co densitate este: j A =. (3.3.9) În vid, confom elaiilo (3.3.) i (3.3.): B v = µ 0 H Bv = µ 0 ( H) = µ 0 j În pezena substanelo magnetizate apae i un câmp magnetic podus de substana magnetizat (de cuenii ampeici), pentu cae putem scie B subst = µ 0 ja unde j A este densitatea cuenilo ampeici. Câmpul magnetic total în aceste substane este suma a dou câmpui i ae inducia B = B v + B subst, ia pentu B se sciu aceleai elaii ca i pentu B v, B = µ 0 ( j + ja ) Înlocuind j A dat de elaia (3.3.9) se obine: B B = µ 0 ( j + ) = j µ 0 i cum H = j, ezult B = H, µ 0 i c în pezena substanelo magnetizate, B = µ 0 (H + ) = µ 0 H + I (3.3.30) 85

Pentu substanele magnetice omogene i izotope, înte H în pezena substanei magnetizate i magnetizaia, este valabil elaia de popoionalitate: m H = χ (3.3.3) unde χ m este susceptivitatea magnetic a substanei. Pentu polaizaia magnetic se poate scie elaia: 0 m H I = µ χ (3.3.3) În funcie de valoaea lui χ m, substanele se împat în tei clase: I) paamagnetice, cu χ m > 0; II) diamagnetice, cu χ m < 0 i III) feomagnetice, cu χ m >>. Pentu pimele dou clase de substane se poate scie : B = µ 0 (H + ) = µ 0 (H + χmh) = µ 0 ( + χm ) H = µ H (3.3.33) unde µ = µ o ( + χ m ) este pemeabilitatea magnetic a mediului ia + χm = µ (3.3.34) este pemeabilitatea magnetic elativ. A teia clas de substane pezint, sub o anumit tempeatu, o magnetizae emanent; ele se numesc feomagnetice i din aceast clas fac pate Ni, Fe, Co i aliajele lo. Ele pezint fenomenul de histeezis magnetic, adic de vaiaie a magnetizii în funcie de vaiaia intensitii câmpului magnetic H. Peste o anumit tempeatu, specific fiecei substane, numit tempeatu Cuie, magnetizaea emanent dispae. 3.4. CÂMPURI ELECTRICE I MAGNETICE VARIABILE 3.4.. Inducia electomagnetic Deoaece un cuent electic ceeaz în juul su un câmp magnetic, este fiesc s se pun poblema inves: un câmp magnetic poate cea un cuent electic. Rspunsul a fost dat în anul 83 de Faaday cae a descopeit c în oice cicuit (contu conducto), odat cu vaiaia fluului induciei magnetice pin supafaa limitat de acest cicuit, apae un cuent electic. Acest fenomen se numete inducie electomagnetic ia cuentul aput, cuent indus. Pentu ceaea unui cuent înt-un cicuit este necesa pezena unei tensiuni electomotoae. Rezult c fenomenul de inducie electomagnetic aat c pin vaiaia fluului magnetic Φ înt-un contu, apae o tensiune electomotoae de inducie, i. Pentu a stabili legtua dinte i i viteza de vaiaie a fluului Φ se conside un cicuit simplu (fig. 3.4. a) ale cui dimensiuni pot fi modificate. a v.dt B E v f II b a b Fig. 3.4. 86

Cicuitul ae dou pi: o pate fiat având fom de U i o ba tansvesal mobil (ab) de lungime, cae poate aluneca de-a lungul celo dou bae ale pii în fom de U. Eist totdeauna un cicuit închis, da aia sa este vaiabil. Acest cicuit este aezat înt-un câmp magnetic omogen de inducie B nomal la planul contuului. Dac se deplaseaz latua (ab) cu viteza v, atunci cu aceeai vitez începe s se deplaseze - în apot cu câmpul B - i puttoii de sacin (electonii) din conducto (fig. 3.4. b). Ca umae, asupa fiecui electon va aciona foa Loentz (3.3.4), f II, cae ae modulul f II = e v B (3.4.) indicele II atând c foa este oientat de-a lungul conductoului. Aciunea foei (3.4.) este echivalent cu aciunea unei foe electice deteminate de câmpul electic de intensitate E = v B având diecia indicat în figua 3.4. b. Acest câmp este de oigine neelectostatic fiind un câmp impimat; ciculaia sa pe contu d mimea tensiunii electomotoae induse în cicuit: v dt ds i = E d = v B = B = B, C dt dt unde ds = v dt este vaiaia aiei contuului în timpul dt (poiunea hauat din fig. 3.4. a). În calculul ciculaiei s-a avut în vedee c E este difeit de zeo numai pe latua (ab) de lungime. Podusul B.dS este egal cu dφ, adic cu vaiaia fluului magnetic ce stbate contuul. Pin umae, tensiunea electomotoae de inducie i ce apae înt-un cicuit închis, este egal cu viteza de vaiaie a fluului magnetic pin supafaa limitat de cicuit : d Φ i = (3.4.) dt unde semnul indic sensul tensiunii electomotoae induse în funcie de sensul de vaiaie a fluului (legea lui Lenz). Fomula (3.4.) este cunoscut sub numele de legea induciei electomagnetice a lui Faaday. Pe baza legii induciei electomagnetice (3.4.) se poate defini unitatea de msu a fluului de inducie magnetic : Φ = V s = Webe (Wb), SI adic, un webe este fluul magnetic ce stbate supafaa unui cicuit în cae se induce o tensiune electomotoae de un volt, când acesta scade unifom la zeo în timp de o secund. Cu ajutoul unitii de flu magnetic se poate defini unitatea de msu a induciei magnetice: Wb B = = tesla (T), SI m deci, un tesla este inducia unui câmp magnetic unifom cae poduce un flu de Wb pint-o supafa de m, aezat pependicula pe liniile de câmp. 3.4.. Enegia câmpului magnetic Se conside o bobin de fom tooidal, fomat din N spie i alimentat de o sus cae d o tensiune electomotoae (fig. 3.4.). Când se închide cicuitul, intensitatea cuentului cete de la valoaea zeo pân la valoaea I coespunztoae egimului staiona; totodat cete i intensitatea câmpului magnetic din inteioul bobinei. Se admite c cele N spie sunt suficient de dese astfel încât câmpul magnetic este concentat în inteioul bobinei, în eteio fiind neglijabil. Enegia electic absobit de bobin sub fom de cldu în intevalul de timp dt este, confom (3..4), d W = I dt (3.4.3) 87

i pe seama acestei enegii se fomeaz câmpul magnetic elementa dh în inteioul bobinei. K I C Fig. 3.4. În timpul vaiaiei câmpului magnetic de la zeo la valoaea H, în bobin apae o tensiune electomotoae de inducie, cae în fiecae moment echilibeaz tensiunea. Pentu i se poate scie elaia d i = dt (N Φ) =, (3.4.4) unde Φ este fluul ce stbate o singu spi. Dac se noteaz cu I valoaea instantanee a cuentului, atunci câmpul magnetic la un moment dat se detemin pe baza legii lui Ampèe (3.3.0): H d = H d = N I, C C de unde H I = N (3.4.5) fiind lungimea contuului C (lungimea bobinei). Înlocuind (3.4.4) i (3.4.5) în (3.4.3) se obine d W d Φ H N = dt = µ S H dh d t N o, sau, notând cu =S volumul din inteioul bobinei, în cae este concentat câmpul magnetic: d W = µ o H dh (3.4.6) Integând enegia de la 0 la W m i câmpul magnetic de la 0 la H (mimea câmpului magnetic dup stabiliea egimului staiona) se ajunge la elaia: W m = µ o H, (3.4.7) pentu enegia câmpului magnetic de unde, pentu densitatea de enegie în volumul în cae se gsete câmpul magnetic, se obine : B w m = µ H BH B H o = = = (3.4.8) µ o Aceast epesie, B. H, este intepetat ca densitate de enegie a câmpului magnetic. 88

3.4.3. Cuentul de deplasae. Necesitatea noiunii de cuent de deplasae Dup cum s-a atat în paagaful 3... pe baza datelo epeimentale s-a admis ca o aiom faptul c sacina electic se consev. Ecuaia de continuitate (3..7) cae epim legea consevii sacinilo electice este: ρ div j + = 0 (3.4.9) t Aceast ecuaie conduce la o dificultate în calculul câmpuilo magnetice datoate cuenilo vaiabili în timp. Teoia matematic a câmpuilo vectoiale aat c vectoul B este unic deteminat pin ecuaiile (3.3.7) i (3.3.33): div B = 0 (3.4.0) ot B = µ ot H = µ j (3.4.) Îns, dac densitatea de cuent j satisface elaia (3.4.), ea tebuie s fie solenoidal, adic : div j = div ot B = 0 (3.4.) µ i deci liniile de cuent tebuie s fie linii închise. Aceast condiie este încompatibil cu ecuaia ρ (3.4.9) pentu cueni nestaionai 0. t Paadoul a fost ezolvat de Mawell meninând condiia div B = 0 i edefinind densitatea de cuent astfel încât ea s fie solenoidal în toate cazuile. Acest lucu se ealizeaz folosind legea lui Gauss genealizat (3..63), ρ = div D (3.4.3) cae afim c densitatea de sacin libe este o msu a divegenei induciei electice i deci ecuaia de continuitate (3.4.9) se scie : D div j + = 0 (3.4.4) t Pin umae, în cazul cuenilo nestaionai, în legea lui Ampèe (3.4.) tebuie s se considee, în locul lui D j, cuentul total de densitate j +, constituit din doi cueni: cuentul de conducie t cu densitatea D j i cuentul de deplasae de densitate j d =, cae ae olul de a închide t liniile de cueni vaiabili, adic: D ot H = j + (3.4.5) t. Sensul fizic al cuentului de deplasae Se conside un condensato intodus în cicuitul unui cuent vaiabil (altenativ) (fig. D 3.4.3). Evident, înt-un astfel de cicuit, 0. Relaia de definiie (3..56) a vectoului inducie t electic este D = εo E + P sau, având în vedee ecuaia (3..54), 89

( E + E ) + P D = εo o p (3.4.6) +σ -σ p +σ p -σ j D t Fig. 3.4.3 Pentu valoile absolute ale mimilo fizice, (3.4.6) devine D = εo Eo εoe p + P (3.4.7) i densitatea cuentului de deplasae se scie : D E E o p P = ε t o ε t o + (3.4.8) t t Temenul P/ t epezint densitatea cuentului de polaizae cae se datoeaz deplasii sacinilo electice legate, în timpul vaiaiei polaizaiei dielecticului sub aciunea câmpului electic vaiabil dinte plcile condensatoului. Când se aeaz un dielectic înt-un câmp electic vaiabil de fecven înalt, dipolii electici ce compun dielecticul, otindu-se dup câmpul vaiabil, se ciocnesc cu atomii vecini i cedeaz o pate din enegia lo; dielecticul se înclzete. Acest fenomen este folosit în tehnic pentu înclziea unui dielectic, simultan pe toat gosimea lui. Deoaece mimea P/ t epezint viteza de deplasae a sacinilo legate (i eale) din dielectic, acesteia îi coespunde un câmp magnetic cae apae în spaiul înconjuto i cae se poate calcula dup legea Biot-Savat-Laplace, ca i câmpul ceat de cuentul de conducie de densitate j. În absena dielecticului, când înte plcile condensatoului este vid: P E p P = 0; = 0; E 0; 0 t p = = (3.4.9) t i pin umae, densitatea cuentului de deplasae în vid este: E o jdv = εo (3.4.0) t Mawell a pesupus c acest cuent de deplasae în vid nu este numai o noiune fomal, ci el ceeaz în juul su un câmp magnetic dup aceleai legi ca i cuenii de deplasae i de conducie. Numeoase epeimente au confimat aceast pesupunee. S-a constatat c oice câmp E electic vaiabil 0 ceeaz un câmp magnetic vaiabil, acesta fiind fenomenul de inducie t magnetoelectic. 3.4.4. Câmpul electodinamic În figua 3.4.4. a este epezentat un flu magnetic vaiabil, cae stbate aia limitat de un cicuit închis C. De eemplu, la miea fluului magnetic, în cicuit apae o tensiune electomotoae indus i i deci un câmp electic indus E, cae satisface elaiile : 90