7
7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de mai multe variabile reale 4 Formula lui Taylor petru fucţii de mai multe variabile reale 5 Extreme petru fucţii de mai multe variabile reale Extreme cu legături Evaluare : Răspusuri la problemele fiale Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală respectiv petru fucţii reale de mai multe variabile 3 Formula lui Taylor petru fucţii reale de ua sau mai multe variabile reale 4 Extreme petru fucţii reale de mai multe variabile reale Extreme cu legături(prezetarea oţiuilor şi de exemple corespuzătoare) 6 DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ APLICAŢII Fie f : I R R ude I = (a b) a < b şi x I Defiiţia Se spue că fucţia f este derivabilă î puctul x dacă fucţia r : I f( x) f( x) - { x } R defiită pri rx = are limită fiită î puctul x x Valoarea acestei limite se umeşte derivata fucţiei f î puctul x şi se otează cu f ( x ) deci f x f x () f ( x ) = lim ( ) x x x
7 Petru aceeaşi derivată se mai folosesc otaţiile lim rx =± spuem x x că fucţia f are derivata ± î x dar cosiderăm că fucţia f u este derivabilă î acest puct Să otăm cu G f R graficul fucţiei f adică {( ); ( )} f( b) f( x) f( x ) f( a) y df( x ) Df( x ) dx Dacă Gf = x f x x a b O a x x b x Atuci f ( x ) = tg α Fig (fig ) deci f ( x ) reprezită coeficietul ughiular al tagetei la graficul fucţiei f î puctul x Ditre alte iterpretări ale derivatei uei fucţii de o variabilă reală amitim: viteza uui mobil la u momet t desitatea uei bare liiare î puctul x dobâda istataee îtr-u plasamet cu dobâdă variabilă etc Teorema a) O fucţie f : I R R derivabilă îtr-u puct x I este cotiuă î puctul x ; b) Dacă fucţia f : I R J este derivabilă î x I şi fucţia g : J R este derivabilă î y = f( x) J = ( c d) atuci fucţia compusă h = g f hx = gfx ( ) este derivabilă î x şi () h ( x) = g ( f ( x )); c) Dacă fucţia f este bijectivă (iversabilă) şi f este iversa sa atuci dacă fucţia f este derivabilă î x şi fucţia f este derivabilă î y = f( x ) şi (3) ( f ) ( y) = f ( x) Observaţia Dacă fucţia f : I = (a b) R R este derivabilă î fiecare puct x I spuem că fucţia f este derivabilă pe mulţimea I Afirmaţiile di Teorema rămâ valabile dacă e referim la derivabilitatea pe u iterval I Cum orice submulţime deschisă a dreptei reale R se poate scrie ca o reuiue de itervale deschise cele stabilite mai sus rămâ valabile dacă cosiderăm fucţia f defiită pe o submulţime deschisă a lui R Luâd î cosiderare î Defiiţia limite laterale î puctul x se obţi derivatele laterale î x : α
73 4) f ( x ) = lim r( x) f ( x + ) = lim r( x) x x x x Astfel petru o fucţie f : [a b] R dacă e referim la derivabilitatea pe [a b] î puctul a avem î vedere f ( a+ ) iar î puctul b derivata f ( b ) Defiiţia Să presupuem că fucţia f este derivabilă pe o veciătate a puctului x fie f derivata sa Dacă fucţia f este derivabilă î puctul x spuem că fucţia f este de două ori derivabilă î x f ( x ) este dată pri: f x f x (5) f ( x ) = lim ( ) x x x Pri recureţă se defieşte derivabilitatea şi derivata de u ordi oarecare al fucţiei f îtr-u puct x respectiv pe o submulţime deschisă a dreptei reale Derivata de ordi a fucţiei f se otează pri f sau pri d f Cu această dx ( ) f = f otaţie avem Exemplul Fie fucţia f (x) = si x x R şi x fixat î R x x+ x f ( x ) x x = lim si si si cos = = x x x x lim cos x x x Cum x π a fost ales arbitrar î R rezultă că f ( x) = cosx = si x+ La fel se arată că ( cosx) = si x Deci: = π f ( x) cosx = six = si x + Pri iducţie se arată că π f ( x ) = si x + Cosiderăm cuoscute derivatele fucţiilor elemetare şi regulile de derivare Legat de acestea vom prezeta umai formula lui Leibiz de derivare de ori a uui produs de două fucţii Dacă u şi v sut două fucţii derivabile de ori pe mulţimea deschisă D R atuci fucţia u v este derivabilă de ori pe D şi are loc formula: (6) ( ) ( ) ( u v u v C u ) k v C u ( k ) v ( k ) u ( = + + K+ + K + ) v Această formulă se demostrează pri iducţie după Fie f o fucţie defiită pe u iterval I R şi x I
74 Defiiţia 3 Se spue că fucţia f este difereţiabilă î x dacă există u umăr A R şi o fucţie α : I R cotiuă î x şi ulă î x astfel îcât petru orice x I să avem: (7) f( x) f( x) = A( x) + α ( x) ( x) Dacă fucţia f este difereţiabilă î fiecare puct di I spuem că este difereţiabilă pe itervalul I Observaţia Eseţial î Defiiţia 3 este ca relaţia (7) să fie satisfăcută petru x ditr-o veciătate a lui x şi lim α ( x) = x x Teorema O fucţie f : I R este difereţiabilă îtr-u puct x I dacă şi umai dacă este derivabilă î x Demostraţie: Presupuem că f este difereţiabilă î x Petru x x di (7) se obţie: f( x) f( x) (8) = A+ α ( x) x Făcâd pe x să tidă la x şi ţiâd seama că lim α ( x) = rezultă că f este x x derivabilă î x şi f ( x ) = A Dacă f este derivabilă î x cosiderâd A = f ( x ) şi f( x) f( x) f ( x ) petru x x (9) α( x) = x petru x = x codiţiile di Defiiţia 3 sut satisfăcute Să otăm cu h = x creşterea de la x la x a variabilei idepedete a fucţiei f atuci relaţia (7) se mai poate scrie sub forma: () f( x + h) f( x) = [ f ( x) + α ( x + h) ] h Cum lim α ( x + h) = rezultă că petru h suficiet de mic putem scrie relaţia: h () f( x + h) f( x) f ( x) h ce aproximează creşterea fucţiei cu produsul f ( x ) h care este o fucţie liiară Observăm că produsul f ( x ) h are ses petru orice h R dar umai petru h suficiet de mic realizează o aproximare a creşterii fucţiei f corespuzătoare creşterii h a argumetului Defiiţia 4 Fucţia liiară df( x): R R defiită pri: () df( x)( h) = f ( x) h se umeşte difereţiala fucţiei f î x şi se otează cu df( x )
75 Observăm că î timp ce f ( x ) este u umăr real df ( x ) este o fucţie liiară Dacă cosiderăm fucţia idetică ϕ(x) = x atuci ϕ ( x) = şi deci dϕ( x )( h) = h Fie acum x = x variabil atuci obţiem dx(h) = h deci putem scrie dx = h Îlocuid pe h cu dx î () şi cosiderâd x = x variabil î I obţiem că difereţiala fucţiei f îtr-u puct arbitrar x este dată pri: (3) df( x)( dx) = f ( x) dx sau omiţâd pe x şi dx ca argumete obţiem că difereţiala fucţiei f se poate scrie sub forma df = f dx Exemplul Petru fucţiile elemetare si x e x arctg x avem: x x d si x = cos x dx de = e dx darctgx ( ) = + x dx Observaţia 3 Regulile de difereţiere se deduc ţiâd seama de relaţia (3) di regulile de derivare Astfel dacă două fucţii u v : I R sut difereţiabile pe I şi α R atuci şi fucţiile u + v u - v α u u v sut difereţiabile pe I şi au loc relaţiile: d( u + v) = du + dv; d( u v) = du dv; (4) d( α u) = α du; d( u v) = v du + u dv Deasemeea u v este difereţiabilă pe I - Z g ude Zg = { x I: g( x) = } şi (5) d u vdu udv = v v Teorema 3 Fie u: I J şi f: J R două fucţii derivabile (difereţiabile) î x I u = u x J atuci fucţia compusă h: I R h = f o u este derivabilă (difereţiabilă) î puctul x şi mai mult avem: (6) h ( x) = f ( u ( x) ) dh( x) = f ( u) du( x) = f ( u) u ( x) dx Dacă cosiderăm x = x arbitrar î I şi u = u puctul corespuzător di J lui x pri fucţia u atuci (6) devie: (6 ) h ( x) = f ( u) u ( x) ; dh( x) = f ( u) u ( x) dx respectiv î Defiiţia 5 Fie fucţia f: I R I = (a b) a < b şi x I Spuem că fucţia f este difereţiabilă de două ori î x dacă este derivabilă îtr-o veciătate V a lui x şi dacă derivata f este difereţiabilă î x Difereţiala de ordiul doi a fucţiei f î x se oteză cu d f( x ) şi se defieşte pri: (7) d f( x) = f ( x) dx
76 Î mod aalog pri recureţă se defieşte difereţiabilitatea şi difereţiala de ordiul a fucţiei f î x Avem: ( (8) ) d f x = f ( x) dx adică d f( x ) este u poliom de gradul î dx Aplicaţiile derivatei şi difereţialei sut umeroase acestea poresc de la faptul că diferite mărimi fizice ecoomice etc se exprimă ca derivate sau difreţiale ale uor fucţii Ditre acestea amitim: viteza şi acceleraţia î mişcarea rectiliie sau ughiulară debitul uui lichid itesitatea curetului electric desitatea uei repartiţii liiare de masă etc Care este legătura ditre fucţii derivabile şi fucţii difereţiale? Scrieţi care sut regulile de difereţiere petru fucţiile u + v u vuv v u 6 FORMULELE LUI TAYLOR ŞI MAC-LAURIN PENTRU FUNCŢII DE O VARIABILĂ REALĂ SERII TAYLOR Fie f : I R R o fucţie de ori derivabilă îtr-u puct a I Aceasta îseamă că primele - derivate ale fucţiei f există pe o veciătate V a puctului a şi că derivata de ordiul - este derivabilă î puctul a Petru simplificarea scrierii presupuem că V coicide cu itervalul deschis I Atuci petru fiecare x I putem să defiim poliomul: x a x a () ( T x f a f a ) = + + K + f ( a)!! care se umeşte poliomul lui Taylor de gradul asociat fucţiei f î puctul a Să cosiderăm fucţia: () R( x) = f( x) T( x) atuci avem formula: (3) fx = T( x) + R( x) care dezvoltat se scrie sub forma: x a x a (4) ( fx fa f a = + + K + f ) ( a) + R ( x)!! Relaţia (3) ude T ( x) este defiit de relaţia () sau relaţia (4) poartă umele de formula lui Taylor de ordiul asociată fucţiei f î puctul a Fucţia R ( x) defiită de relaţia () se umeşte restul de ordiul al formulei lui Taylor (3) sau (4)
77 Deoarece fucţiile f şi T ( x) au derivate pâă la ordiul î puctul a rezultă că şi fucţia rest R ( x) este derivabilă şi deci cotiuă î puctul a Mai mult R( a) = f( a) T( a) = deci lim R( x) = R( a) = De aici deducem x a că petru x suficiet de aproape de a restul R ( x) poate fi făcut oricât de mic adică petru x suficiet de aproape de a fucţia f(x) poate fi aproximată pri poliomul lui Taylor T ( x) Petru o evaluare a erorii făcute î această aproximare este util să găsim exprimări adecvate petru restul R ( x) Vom presupue î cele ce urmează că fucţia f este derivabilă de ( + ) ori pe itervalul I care se poate reduce la o veciătate a puctului a şi vom determia o costată k astfel îcât: (5) R ( x) k( x a) p = ude p N Î acest caz formula lui Taylor (4) ia forma: x a x a (6) ( fx fa f a f ) ( a) k( x a) p = + + K + +!! Să cosiderăm fucţia ϕ: I R defiită pri: x t x t (7) ϕ ( t f t f t f ) ( t) k( x t) p = + + K + +!! Observăm că fucţia ϕ(t) este derivabilă cotiuă şi ϕ(x) = f(x) ϕ(a) = f(x) deci ϕ(x) = ϕ(a) Fiid îdepliite codiţiile teoremei lui Rolle rezultă că există ξ cupris ître a şi x astfel că f ( ξ) = Calculâd f ( ξ ) obţiem relaţia: ( x ξ) ( ) f ( ξ) kp( x ξ) (8) + p =! de ude rezultă: p+ ( x ξ) ( + ) (9) k = f ( ξ) p! Aşadar restul R ( x) se poate exprima sub forma: p+ ( x ξ) () p ( + ) R x = a f ( ξ) p! cu ξ situat ître x şi a Luâd p = se obţie forma lui Cauchy a restului formulei lui Taylor: ( ξ) ( a) () ( + ) R x = f ( ξ)! Petru p = + se obţie forma cuoscută sub umele de restul lui Lagrage: Commet:
78 + ( a) () ( + ) R x = f ( ξ ) ( +! ) care este des utilizată î aplicaţii Deoarece ξ este cupris ître a şi x există u umăr θ care depide de a x şi p θ [ ] astfel că ξ = a + θ(x-a) Să otăm h = x - a atuci ξ = a + θh iar formula lui Taylor de ordiul devie: (3) + h h fa h fa f a f a h + + = + + K + + f (a + θh)!! ( + )! Remarcăm că deoarece ξ depide de a x şi p cel di restul lui Lagrage este diferit de cel di restul lui Cauchy Dacă a = I atuci di formula lui Taylor se obţie formula cuoscută sub umele Mac-Lauri: + x x ( (4) ) x ( + f x = f + f + K + f ( ) + f ) ( ξ )!! ( + )! cu ξ cupris ître şi x Petru = folosid formula de mai sus sub forma lui Lagrage se obţie cuoscuta formulă a creşterilor fiite a lui Lagrage: ( a) (5) fx = fa + f ( ξ )! Ca o aplicaţie a formulei lui Taylor să determiăm puctele de extrem ale uei fucţii de o variabilă utilizâd derivatele de ordi superior Fie f: I R astfel îcât ( f a = f a = K= f ) ( a) ( ) = şi f ( a ) ude a IAplicâd formula lui Taylor de ordiul - obţiem relaţia: (6) ( x a f x f a f ) = ξ! ude ξ este cupris ître x şi a Puctul a este u puct de extrem al fucţiei f dacă f(x) - f(a) păstreză sem costat pe o veciătate a lui a Deoarece f este cotiuă î puctul a fiid derivabilă î acest puct rezultă că există o veciătate a lui a V a pe care f păstrează sem costat şi ( ) aume semul lui f ( a ) Să cosiderăm cazurile: ( ) ) este u umăr par şi f ( a ) > atuci f(x) - f(a) > petru orice x Va deci a este u puct de miim local al fucţiei f; ) este u umăr par şi f ( a ) < atuci f(x) - f(a) < petru orice x Va ceea ce arată că a este u puct de maxim local al fucţiei f;
79 3) este u umăr impar atuci ( ) şi deci şi f(x) - f(a) schimbă semul după cum x se află la stâga sau la dreapta lui a ceea ce arată că a u poate fi u puct de extrem local al fucţiei f a Exemplul Fie fucţia f: ( π) R f(x) = si x ( + cos x) Observăm că f este derivabilă de ori şi f ( x) = cos x+ cos f ( x) = implică π 5π x = x = x3 = π f ( x) = 4si xcossi x; di f ( x) < rezultă că 3 3 x este u puct maxim local al fucţiei f f ( x ) > implică x este puct de miim local al fucţiei f; cum f ( x3) = şi f ( x3) rezultă că x = π este u puct de iflexiue al fucţiei f Formula lui Taylor are aplicaţii multiple sub forma: (7) f( x) T ( x) ca formulă de aproximare a valorilor fucţiei f pri cele ale poliomului Taylor asociat O evaluare a restului R ( x) permite evaluarea erorii făcute pri aproximare Exemplul Să calculăm aproximativ si 46 Cosiderăm a = 45 şi = Avem: si 46 si 45 + π π o o cos45 si 45 8 8 Obţiem si 45 7934 O aproximare mai buă se obţie cosiderâd > Fie I u iterval deschis al dreptei reale a I şi f: I R o fuctie idefiit derivabilă î puctul a Atuci putem cosidera seria de puteri: x a x a (8) fa f a + + K+ f ( a) + K!! care se umeşte seria Taylor asociată fucţiei f î puctul a Să otăm cu R raza de covergeţă a seriei (8) R [ ] Deasemeea seriei (8) îi corespude o mulţime de covergeţă C care coţie itervalul de covergeţă (a - R a + R) şi deci iclusiv puctul a Să otăm cu T suma acestei serii şi cu T sumele ei parţiale Observăm că suma seriei (8) fucţia T este determiată de valorile f ( ) ( a ) deci de valorile fucţiei f îtr-o veciătate a puctului a î acelaşi timp mulţimea de covergeţă C a seriei (8) u este î mod obligatoriu iclusă î I Ţiâd seama că sumele parţiale ale seriei (8) sut polioamele lui Taylor asociate fucţiei f î puctul a putem să scriem relaţiile: (9) T(x) = T( x) + ρ ( x) x C ;
8 () f( x) = T( x) + R( x) x Va ude ρ ( x) reprezită resturile seriei lui Taylor (8) iar R ( x) reprezită resturile formulei lui Taylor (3) Î exprimarea lui Lagrage R ( x) sut date de () Ţiâd seama de exprimările lui T(x) şi f(x) di (9) respectiv () se pue îtrebarea dacă petru valori x I C f(x) = T(x) Vom arăta pritr-u exemplu că acest fapt u se îtâmplă îtotdeaua Exemplul 3 Fie fucţia f: R R f( x) = e x pt x pt x = Fucţia f este cotiuă î origie are derivate de orice ordi î origie şi acestea sut ule petru orice ( f ( ) ( ) = ) Seria Taylor asociată lui f este seria ulă avâd toţi coeficieţii uli şi deci are şi suma care este diferită de valorile fucţiei petru orice x Răspusul la îtrebarea pusă este dat de teorema următoare Teorema Seria Taylor a fucţiei f: I R R î puctul a este covergetă îtr-u puct x C I către valoarea f(x) dacă şi umai dacă valorile î x ale resturilor { R ( x) } ale formulei lui Taylor formează u şir coverget către lim T ( x) = lim f( x) R ( x) = f( x) Î codiţiile Teoremei putem scrie: a a a () f x f a f a = + + f ( a) + K+ f ( a) + K!!! Egalitatea de mai sus se umeşte formula de dezvoltare a fucţiei f î serie Taylor î veciătatea puctului a Dacă a = I atuci seria di () ia forma: x x x () f x f f f f = ( ) + ( ) + ( ) + K+ ( ) + K!!! şi spuem că fucţia f(x) se dezvoltă î serie Mac-Lauri î veciătatea origiii (x V ) Exemplul 4 Fie fucţia f( x) = e x f: R R f C x (R) şi f ( x ) = e deci f ( ) = oricare ar fi N Formula lui Mac-Lauri petru fucţia expoeţială cu restul sub forma lui Lagrage are forma: Îtr-adevăr î acest caz
8 + x x x x x (3) e = c + + + K + + e x!!! ( + )! ude c x se găseşte ître şi x şi evidet depide de x Mai mult oricare ar fi x real fixat are loc: + c x (4) lim R ( x) = lim e x = ( + )! Raza de covergeţă a seriei Mac-Lauri a fucţiei expoeţiale: x (5) =! este R = lim +! =! Di cele de mai sus rezultă că petru orice x C R = R R = R fucţia expoeţială f( x) = e x admite următoarea dezvoltare ca serie de puteri (Mac-Lauri): x x x x (6) e = + + + K+ + K!!! Relaţia (6) poate fi cosiderată ca relaţie de defiiţie a fucţiei expoeţiale Mai mult î aaliza complexă se demostrează că relaţia rămâe adevărată petru orice umăr complex z di C Dacă defiim fucţia expoeţială pri relaţia (6) se regăsesc toate proprietăţile cuoscute ale fucţiei expoeţiale Cosiderâd dezvoltările Mac-Lauri ale fucţiilor si x cos x şi scriid ix ix după (6) dezvoltările corespuzătoare fucţiilor e e x R vom obţie: 3 5 + x x x (7) si x = + + K+ ( ) + K; 3! 5! ( + )! 4 x x (8) cosx x = + + K+ + K;! 4!! 3 4 ix ix x ix x (9) e = + + K;!! 3! 4! 3 4 ix ix x ix x (3) e = + + K!! 3! 4! de ude rezultă relaţiile: ix ix ix ix e + e e e (3) cosx = si x = i ce se pot costitui î relaţii de defiiţie ale fucţiilor cos x şi si x De asemeea rezultă relaţia: ix (3) e = cos x + i si x
8 care poartă umele de formula lui Euler şi are o importaţă deosebită î diferite calcule Di dezvoltarea î serie a fucţiei expoeţiale (6) se obţi următoarele dezvoltări î serie petru fucţiile x x shx = ( e e ) (sius hiperbolic) respectiv chx ( e x = + e ) (cosius hiperbolic): (33) 3 5 + x x x shx = x + + + K+ + K; 3! 5! ( + )! (34) 4 x x x chx = + + + K+ + K! 4!! ce pot fi cosiderate şi ca relaţii de defiiţie a acestor fucţii Pe baza acestor relaţii de defiiţie se pot demostra proprietăţile acestor fucţii ditre care amitim: (35) ch x sh x = Exemplul 5 Fie fucţia f(x) = l( + x) f: (- + ) R Atuci avem: f ( x) = f ( ) = ; + x f ( x) = f ( ) = ; ( + ) x LLLLLLLLLLLL ( ) ( )! ( = ) = ( ) f x f ( )! ( + x) Astfel seria Mac-Lauri asociată fucţiei f este: 3 4 x x x (36) x + + + K x + K 3 4 Raza de covergeţă a acestei serii este: a + (37) R = lim = lim = a+ Petru x = - seria (36) este divergetă iar petru x = seria este covergetă deci mulţimea de covergeţă a seriei este C = (- ] Restul de ordiul al formulei lui Mac-Lauri sub forma lui Lagrage este: + + x ( + ) x R ( x) = f ( c ( ) x ) = +! + + cx (38) şi:
83 + x lim R ( x) = lim = + + cx petru orice x (- ) Aceasta arată că suma seriei (36) este fucţia f(x) = l( + x) deci seria (36) reprezită dezvoltarea î serie de puteri a fucţiei f(x) = l( + x) adică avem ( ) l( + x) = x x < = Exemplul 6 Să se dezvolte î serie Mac-Lauri fucţia f: (- + ) R f( x) = ( + x) α α R α Fucţia admite derivate de orice ordi î origie (x = ) şi: (39) f ( x ) = ( ) ( + )( + x) α αα K α ( ) (4) f ( ) = αα ( ) K ( α + ) Seria Mac-Lauri corespuzătoare este: x x αα ( ) K( α + ) (4) + α + α( α ) + K+ x + K!!! Raza de covergeţă a seriei de puteri (4) este iar itervalul de covergeţă este (- ) Utilizâd restul formulei lui Taylor R ( x) sub forma lui Cauchy () se arată că acesta tide la petru orice x (- ) şi deci seria (4) coverge către fucţia f( x) = ( + x) α Seria (4) se umeşte seria biomială Petru α N se obţie dezvoltarea biomului lui Newto Scrieţi poliomul lui Taylor de ordiul patru ataşat fucţiei f î puctul x = ude f : I R f este derivabilă de patru ori pe I şi x it I Scrieţi formula lui Mac Lauri de ordiul cici petru fucţiile si cos sh ch (+x) m cu m R respectiv de ordiul cici 63 DERIVATE PARŢIALE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE Vom cosidera mai îtâi cazul fucţiilor de două variabile reale Fie fx : R R şi ( x y) ItX Petru simplificarea scrierii vom cosidera î cele ce urmează fucţii defiite pe mulţimi deschise formate umai di pucte iterioare
84 Defiiţia a) Spuem că fucţia f este derivabilă parţial î raport cu variabila x î puctul ( x y ) dacă: fxy ( ) fx ( y) () lim x x x există şi este fiită Limita îsăşi se umeşte derivata parţială î raport cu f variabila x a fucţiei f î puctul ( x y) şi se otează cu x x y sau fx x y ; b) Spuem că fucţia f este derivabilă parţial î raport î raport cu variabila y î puctul ( x y) dacă: fx ( y) fx ( y) () lim y y y y există şi este fiită Limita îsăşi se umeşte derivata parţială a fucţiei f î f raport cu variabila y î puctul ( x y) şi se otează pri y x y sau fy x y Dacă f este derivabilă parţial î fiecare puct al uei mulţimi spuem că fucţia f este derivabilă parţial pe mulţimea respectivă Di defiiţia derivabilităţii parţiale rezultă că atuci câd se derivează parţial î raport cu o variabilă celelalte variabile se cosideră costate Cu această observaţie regulile de la derivarea fucţiilor de o variabilă se traspu la derivarea parţială a fucţiilor de mai multe variabile Exemplul Să se calculeze derivatele parţiale ale fucţiei: f: R { ( )} R f( x y) = l( x + y ) Avem: f x f y = ; = x x + y y x + y Propoziţia a) Dacă fucţia fx : R R este derivabilă parţial îtr-u puct sau pe o mulţime atuci fucţia f este cotiuă parţial î acel puct respectiv este cotiuă parţial pe acea mulţime
85 b) Dacă fucţia f este derivabilă parţial pe o veciătate a uui puct ( x y ) şi derivatele parţiale f f sut mărgiite pe acea veciătate atuci fucţia f x y este cotiuă (global) î puctul ( x y ) Demostraţia afirmaţiei a) rezultă imediat di defiiţie iar petru a arăta afirmaţia b) se aplică cuoscuta teoremă a lui Lagrage pe u iterval ( x x) ( y y) < dacă x < x respectiv y y şi Observaţia Cele spuse despre derivabilitatea parţială a fucţiilor de două variabile rămâ valabile petru fucţii de variabile Astfel dacă cosiderăm fucţia fx : R R X fiid o mulţime deschisă di R şi ( K ) a = a a a X atuci petru fucţia f pot fi defiite derivate parţiale de ordiul îtâi î raport cu variabilele xk k = î puctul a: f fa ( ak xk ak+ ak) fa (3) ( a) = lim xk x a xk ak k k Observaţia Operaţiile algebrice (cu ses) asupra fucţiilor derivabile parţial au ca rezultat fucţii derivabile parţial Exemplul Derivatele parţiale ale fucţiei: f xk f: R { } R f( x) = l xi sut i x = = k xi i= Să cosiderăm o fucţie fx : R R despre care presupuem că este derivabilă parţial î raport cu variabilele x şi y pe mulţimea deschisă X Atuci derivatele parţiale f x şi f sut la râdul lor fucţii de două variabile defiite y pe X şi pot fi derivabile parţial la râdul lor Defiiţia 3 Dacă derivatele parţiale ale fucţiei f pe mulţimea X sut la râdul lor derivabile parţial pe X î raport cu x şi y atuci derivatele lor parţiale se umesc derivate parţiale de ordiul doi ale fucţiei f şi se otează astfel:
86 f f = ( f xx ) = x x x f f = ( fxy ) = y x y x (4) f f = ( fyx ) = x y x y f f = ( fyy ) = y y y Derivatele parţiale f xy şi f yx umite şi derivate parţiale mixte î geeral u sut egale Următoarea teoremă stabileşte codiţii suficiete ca derivatele parţiale mixte să fie egale Teorema (Criteriul lui Schwartz) Dacă fucţia f(x y) are derivate parţiale mixte de ordiul doi f xy f yx îtr-o veciătate a uui puct (a b) şi dacă acestea sut cotiue î puctul (a b) atuci ele sut egale î puctul (a b) adică: (5) f xy (a b) = f yx (a b) Demostraţie: Fie ( xy ) V( ab ) şi x y ( ay ) ( xy ) a y b Cosiderăm fucţia: y (6) η fxy ( ) fxb ( ) fay ( ) + fab ( ) α( ξ η) Rxy ( ) = ( a)( y b) b ( x b) ( a b) defiită pe veciătatea lui (a b) V ( ab ) mai puţi puctul (a b) şi fucţia: O a ξ x x (7) fty ( ) ftb ( ) ϕ( t) = y b defiită pe itervalul [a x] respectiv [x a] după cum a < x sau x < a Observăm că: (8) fxy ( ) fxb ( ) fay ( ) fab ( ) ϕ( x) = ϕ( a) = y b y b de ude rezultă: (9) ϕ( x) ϕ( a) Rxy ( ) = a Aplicâd teorema creşterilor fiite a lui Lagrage rezultă că există ξ situat ître a şi x astfel îcât:
87 ϕ( x) ϕ( a) () = ϕ ( ξ) a de ude rezultă: fx( y) fx( b) () Rxy ( ) = ξ ξ y b u = f x u este derivabilă pe [b y] dacă b < y respectiv pe [y b] dacă y < b deoarece f xy există pe V Aplicâd di ou teorema creşterilor fiite pe acest iterval rezultă că există η cupris ître b şi y astfel îcât: ϕ( y) ϕ( b) () = ϕ ( η) y b de ude rezultă: fx ( ξ y) fx ( ξ b) (3) = fxy ( ξη ) y b Am obţiut astfel că: (4) R(x y) = f xy (ξ η) Fucţia ϕ ( ξ ) Pritr-u raţioamet aalog folosid fucţia: fxt ( ) fat ( ) (5) Ψ( t) = a se deduce că: (6) R(x y) = f yx (ξ η ) cu ξ cupris ître a şi x şi η cupris ître b şi y Fie acum u şir { x y } V( ab ) coverget către (a b) cu x a şi y b Di cele de mai sus rezultă că există ξ ξ cuprişi ître a şi x şi η η cuprişi ître b şi y astfel îcât: (7) Rxy ( ) = fxy ( ξ η ) = fyx ( ξ η ) Di covergeţa ( x y) ( a b) ( ξ η) ( ξ ) η rezultă că deasemeea şirurile coverg la (a b) cum derivatele parţiale f xy şi f yx sut cotiue rezultă că f xy ( a b) = f yx ( a b) şi teorema este complet demostrată Corolarul Dacă derivatele mixte f xy şi f yx există şi sut cotiue pe o mulţime atuci ele sut egale pe mulţimea respectivă Observaţia 3 Afirmaţia Teoremei rămâe adevărată î codiţii mai largi şi aume este suficiet ca cel puţi ua di derivatele parţiale de ordiul doi să fie cotiuă î puctul (a b)
88 Observaţia 4 Afirmaţia Teoremei rămâe adevărată î codiţii similare petru derivate parţiale mixte de u ordi oarecare şi petru fucţii de mai multe variabile decât doi k De exemplu petru o fucţie fx : R R f = f( x x x k ) derivabilă de două ori pe X avem k f derivate parţiale de ordiul doi ij = kditre xi xj acestea k k = k( k ) sut mixte dacă acestea sut cotiue doar kk sut disticte Observaţia 5 Teorema furizează o codiţie suficietă ca derivatele mixte îtru puct să fie egale Ea u este şi ecesară Se poate arăta că petru fucţia: x y l + petru y x fxy ( ) = R y petru y = x R fxy ( ) = fyx ( ) şi u sut satisfăcute codiţiile di Criteriul lui Schwartz Exemplul 3 Vom prezeta u exemplu ecoomic î care itervi derivate parţiale Să presupuem că pe o piaţă de desfacere la cocureţă apar mărfuri de cosum m m m care se vâd la preţurile x x x Pe această piaţă cumpără la u momet dat u aumit umăr de cosumatori cu gusturi preferiţe şi veituri date Î acest caz catitatea Y i di marfa m i cerută pe piaţă este fucţie de preţurile tuturor mărfurilor de pe piaţă adică: Yi = fi( x x x) Fucţiile f i le presupuem derivabile parţial î raport cu toate variabilele x i Variaţia cererii uui produs câd u aumit preţ variază iar celelalte rămâ costate este dată de derivatele parţiale fi ij = x j Să presupuem i = j fixat şi că preţul x i al produsului p i creşte atuci derivata parţială fi va fi egativă şi va idica viteza cu care scade cererea di xi f k produsul p i corespuzătoare creşterii preţului x i Derivata mixtă cu k i xi xj şi j fixaţi pe care o presupuem cotiuă va idica viteza de variaţie a cererii di produsul p k atuci câd preţurile produselor p i şi p j variază cu o aumită viteză îtr-u ses sau altul (creştere scădere) O iformaţie mai completă o furizează elasticitatea parţială a cererii petru produsul p i î raport cu preţul său x i dată pri:
89 xi fi x x x F( fi xi ) = f x Fie fx : R R fixat î X i i ude X este o mulţime deschisă şi ( x y ) u puct dacă există două umere reale λ şi µ şi o fucţie ω: X R cotiuă î puctul Defiiţia Se spue că fucţia f este difereţiabilă î puctul ( x y ) ( x y ) şi ulă î acest puct astfel îcât petru orice (x y) ditr-o veciătate V( x y ) x y să fie satisfăcută egalitatea: fxy ( ) fx ( y) = (8) = λ ( x) + µ ( y y) + ω( x y) ( x) + ( y y) Dacă fucţia f este difereţiabilă î fiecare puct al uei mulţimi deschise spuem că fucţia f este o difereţiabilă pe mulţimea respectivă f( x y) = fxy ( ) fx ( y) se umeşte creşterea fucţiei î puctul a puctului ( x y) corespuzătoare creşterii variabilelor x = x x şi y y y d = ( x ) + ( y y ) reprezită distaţa ditre puctele (x y) şi ( x y ) = Cu aceste otaţii (8) devie: (9) f( x y) = λ x+ µ y+ ω d Observaţia 6 Eseţial î defiiţia de mai sus este faptul că: () lim ω ( xy ) = deoarece dacă ω(x y) verifică egalitatea (8) petru i x y y ( xy ) V \ ( x y ) ea poate fi prelugită î ( x y ) x y î afara veciătăţii pri relaţia de defiiţie (8) pri cotiuitate iar Lema Dacă fucţia ω: X R are limita î puctul ( x y) două fucţii ω ω :X R avâd limita î puctul ( x y ) verificată egalitatea: () ω( x y) d = ω( x y)( y) + ω( x y)( y y ) petru orice (x y) X Reciproc dacă fucţiile ω ω :X R au limitele ule î ( x y) o fucţie ω: X R avâd limita ulă î ( x y ) atuci există şi astfel este atuci există şi care verifică egalitatea ()
9