Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo vektorski prostor S, v katerem iščemo interpolacijsko funkcijo Izberemo linearne funkcionale λ 1, λ 2,..., λ n, definirane nad S, ki določajo podatke r = (r i ) n i=1 = (λ if ) n i=1 Interpolacijski problem: Za dani vektor podatkov r = (r i ) n i=1 določi s S, da zanj velja λ i s = r i, i = 1, 2,..., n. Če je s S za vsak nabor podatkov r obstaja in je določen enolično, rečemo, da je interpolacijski problem korekten. Za tak s rečemo tudi, da interpolira podatke r. Če je r = (λ i f ) n i=1 rečemo tudi, da interpolira f.
Osnovni izrek o korektnosti interpolacije J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 2 / 18 Ker je S linearen prostor, iščemo rešitev interpolacijskega problema z nastavkom n s = α j s j, s j S, α j skalarji. j=1 Neznanke α j določajo interpolacijski pogoji λ i, n λ i s = λ i s j α j = r i, i = 1, 2,..., n. Izrek i=1 Med pogoji, ki sledijo, sta prva dva izpolnjena natanko takrat, ko je izpolnjen tretji: 1 elementi s 1, s 2,..., s n so linearno neodvisni 2 funkcionali λ 1, λ 2,..., λ n so linearno neodvisni 3 kolokacijska matrika (λ i s j ) n i,j=1 je neizrojena
Korektni interpolacjski problemi Zgled Naj bo S = P n in [a, b] IR izbrani interval. Naj bodo dane točke a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Izberimo elemente s i kot Lagrangeeve bazne polinome, s i (x) = l i (x) = n j i x x j x i x j, i = 0, 1,..., n. Za funkcionale λ i vzemimo izračun vrednosti v točkah x i, λ i f := f (x i ) = r i,, i = 0, 1,..., n. Interpolacijski problem je korekten, saj je λ i l j = δ i,j in kolokacijska matrika identiteta. Interpolacijski polinom je s = n r l = n f (x )l. J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 3 / 18
Korektni interpolacjski problemi J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 4 / 18 Zgled Hermitova, dvojna interpolacija funkcije f v isti točki. Prostor S = P 2n+1, točke a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Znano λ 2i f = f (x i ) = r i, i = 0, 1,..., n, λ 2i+1 f = f (x i ) = r i, i = 0, 1,..., n. Interpolacijski problem v P 2n+1 korekten. Zgled Splošna Hermitova interpolacija. Prostor S = P n in in točke a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x m = b delitev intervala [a, b]. V točkah x i poznamo f µ i -kratno, λ i,j f = f (j) (x i ) = r i,j, i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., µ i 1,
Polinomska interpolacija J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 5 / 18 Interpolacijski polinom v Lagrangeevi obliki S = P n, točke a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, n p = f (x i )l i, l i (x) = i=0 kjer so l i Lagrangeevi bazni polinomi n j i x x j x i x j, Na prvi pogled je problem interpolacije s polinomi rešen v celoti.
Prednosti in slabosti Lagrangeeve oblike Lagrangeeva oblika zelo pomembna pri izpeljavi aproksimativnih formul v zaključeni obliki. V numerični uporabi kar nekaj pomanjkljivosti. Izračun vrednosti p(x) pri danem x je časovne zahtevnosti O ( n 2). Za primerjavo vemo, da se da izračunati vrednost polinoma v potenčni bazi po Hornerju v O (n). Temu se deloma ognemo s tem, da si vrednosti n 1 j i x i x j naračunamo vnaprej. Za dani x se da nato vse števce polinomov l i izračunati v linearnem času. Če uporabimo predpripravo, postane dodajanje nove točke zapleteno. Težave nastopijo tudi, ko se točke približujejo druga drugi. Lagrangeeva oblika še posebej ne dovoljuje, da f večkratno poznamo v točki x i. J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 6 / 18
Deljene diference [x i, x i+1 ]f = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i. J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 7 / 18 Definicija Naj bo p P k interpolacijski polinom stopnje k, ki se s funkcijo f ujema v točkah x i, x i+1,..., x i+k. Vodilni koeficient polinoma p označimo kot [x i,..., x i+k ]f in mu rečemo k-ta deljena diferenca funkcije f (na točkah x i, x i+1,..., x i+k ). Zgled deljene diference Naj bo f C ([a, b]) dana funkcija in p P 1 premica, ki se z f ujema v dveh različnih točkah x i, x i+1 [a, b], p(x) = f (x i ) + f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i (x x i ). Njen vodilni koeficient, prva deljena diferenca, je
Deljene diference J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 8 / 18 Vse točke v deljeni diferenci različne Naj bodo vse točke x i, x i+1,..., x i+k med seboj različne. Deljena diferenca v zaključeni obliki je i+k [x i,..., x i+k ]f = f (x j ) [x i,..., x i+k ]l j = j=i i+k j=i i+k r=i r j f (x j ). (x j x r )
Večkratno ujemanje J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 9 / 18 Definicija Naj bosta f in g definirani na [a, b] in dovolj gladki. Funkciji se ujemata v točkah E := (x j ) i+k j=i, x j [a, b], če za vsak x j E velja f (l) (x j ) = g (l) (x j ), l = 0, 1,..., r j 1, kjer r j 1 označuje število vseh točk v E, ki so enake x j. Deljena diferenca za večkratne točke f C k ([a, b]), x i+j = x i [a, b], j = 1, 2,..., k. Polinom, ki se z f v x i ujema (k + 1)-kratno, je Taylorjev polinom, p(x) = k f (j) (x i ) j! (x x i ) j,
Rekurzivna formula J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 10 / 18 Izrek (Rekurzivna formula) Naj bo f C k ([a, b]) in x j [a, b], j = i, i + 1,..., i + k. Tedaj je [x i,..., x i+k ]f = 1 k! f (k) (x i ), x i = x i+1 =... = x i+k, v primeru, ko so vse točke v deljeni diferenci [x i,..., x i+k ] enake, in [x i,..., x i+k ]f = = [x i,..., x s 1, x s+1,..., x i+k ]f [x i,..., x r 1, x r+1,..., x i+k ]f x r x s, x r x ko sta vsaj dve točki x r in x s različni.
Interpolacijski polinom z napako v zaključeni obliki J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 11 / 18 Izrek Naj bo f C n+1 ([a, b]) in naj bodo x = (x i ) n i=0, x i [a, b], interpolacijske točke, ne nujno med seboj različne. Tedaj je f (x) = p n (x)+(x x 0 )(x x 1 ) (x x n )[x 0,..., x n, x]f, x [a, b], kjer je n p n (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )[x 0,..., x i ]f i=0 interpolacijski polinom, ki se z f ujema v točkah x.
J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 12 / 18 Posledica Naj bo f C n+1 ([a, b]) in p n interpolacijski polinom, ki se v n + 1 točkah x i [a, b] ujema z f. Za vsak x [a, b] obstaja tak ξ x [a, b], da razliko f (x) p n (x) lahko izrazimo kot 1 f (x) p n (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) (n + 1)! f (n+1) (ξ x ).
Shema izračuna tabele deljenih diferenc J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 13 / 18 [.]f [.,.]f [.,.,.]f [.,.,.,.]f x 0 f (x 0 ) [x 0, x 1 ]f x 1 f (x 1 ) [x 0, x 1, x 2 ]f [x 1, x 2 ]f [x 0, x 1, x 2, x 3 ]f x 2 f (x 2 ) [x 1, x 2, x 3 ]f [x 2, x 3 ]f x 3 f (x 3 )..... x n 1 f (x n 1 ) [x n 1, x n ]f f (x n ) x n
Izračun vrednosti interpolacijskega polinoma v Newtonovi obliki J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 14 / 18 Algoritem Podatki so točke x 0, x 1,..., x n in deljene diference a i = [x 0,..., x i ]f, i = 0, 1,..., n. V točki x izačunamo vrednost p(x) = n (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ) a i kot p(x) = b 0 (x). i=0 b n (x) := a n ; za i := n 1, n 2,..., 0 ponavljaj b i (x) := a i + (x x i )b i+1 (x); do sem; p(x) := b 0 (x);
Newtonov interpolacijski polinom in ekvidistantne točke J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 15 / 18 x i = x 0 + i h, i = 0, 1,..., n. x = x 0 + h t (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ) = h i i! ( t) [x 0,..., x i ]f = 1 h i i! i ( 1) i j( i j) f (xj ) Prva Newtonova oblika za ekvidistantne točke p(x) = p(x 0 + h t) = n i=0 ( ) t i ( ) i ( 1) i j f j = i j i n i=0 ( ) t i f 0. i
Preme končne diference J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 16 / 18 i f r := 0 f r = 0 i ( 1) i j( i j) fr+j ( 1) 0 j( 0 j ) fr+j = f r i f r = i 1 f r+1 i 1 f r x i f i 1 f i 2 f i 3 f i x 0 f 0 f 0 = f 1 f 0 x 1 f 1 2 f 0 = f 2 2f 1 + f 0 f 1 = f 2 f 1 x 2 f 2 2 f 1 = f 3 2f 2 + f 1 f 2 = f 3 f 2 x 3 f 3 3 f 0 = f 3 3f 2 + 3f 1 Tabela: Shema izračuna premih končnih diferenc
Newtonov interpolacijski polinom in ekvidistantne točke J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 17 / 18 x i = x 0 i h, i = 0, 1, 2,..., n. x = x 0 + h t (x x 0 )(x x 1 ) (x x (i 1) ) = ( 1) i h i i! ( t) [x 0,..., x i ]f = 1 h i i! i ( 1) j( i j) f j Druga Newtonova oblika za ekvidistantne točke i p(x) = p(x 0 + h t) = n ( 1) i( t) i i ( 1) j( i j) f j = i=0 = n ( 1) i( t) i f 0 i=0 i
Obratne končne diference J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 18 / 18 i f r := i ( 1) j( i j) fr j 0 f r = f r i f r = i 1 f r i 1 f r 1 x i f i 1 f i 2 f i x 0 f 0 f 0 = f 1 f 0 x 1 f 1 2 f 0 = f 0 2f 1 + f 2 f 1 = f 1 f 2 x 2 f 2 2 f 1 = f 1 2f 2 + f 3 f 2 = f 2 f 3 x 3 f 3 Tabela: Shema izračuna obratnih končnih diferenc