ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ NON LINEAR VALUE-AT-RISK ΑΓΡΑΠΙΔΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ NON LINEAR VALUE-AT-RISK ΑΓΡΑΠΙΔΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ Διατριβή υποβληθείσα προς μερική εκπλήρωση των απαραιτήτων προϋποθέσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης Αθήνα Ιανουάριος, 011

Εγκρίνουμε τη διατριβή της ΑΓΡΑΠΙΔΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Κόρδας Γρηγόριος Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κυριαζίδου Αικατερίνη Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τσιώνας Ευθύμιος Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών - -

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη 5 1. Εισαγωγή 6. Το Value at Risk: Μια γενική θεώρηση 7.1 Το VaR στη διαχείριση χαρτοφυλακίου... 7. Σύντομη ιστορική αναδρομή 8.3 VaR Επεκτάσεις 8.4 Μοντέλα υπολογισμού VaR. 9 3. Υπολογισμός Value at Risk στην πράξη. 10 3.1 VaR περιουσιακού στοιχείου. 10 3. VaR χαρτοφυλακίου.. 15 3.3 VaR δικαιώματος 18 4. VaR προσεγγίσεις για χαρτοφυλάκια που περιλαμβάνουν μη γραμμικά περιουσιακά στοιχεία.. 0 4.1 Υπολογισμός της αξίας χαρτοφυλακίου... 0 4.1.1 Αποτίμηση υπό το πραγματικό υπόδειγμα Black-Scholes.. 1 4.1.1.1 Εφαρμογή του υποδείγματος Black-Scholes.. 3 4.1. Δέλτα (γραμμική) προσέγγιση. 6 4.1..1 Εφαρμογή της Δέλτα προσέγγισης. 7 4.1.3 Δέλτα-Γάμμα (γραμμική-τετραγωνική) προσέγγιση... 8 4.1.3.1 Εφαρμογή της Δέλτα-Γάμμα προσέγγισης. 9 4. Υπολογισμός της μεταβολής της αξίας χαρτοφυλακίου... 39 4..1 Πλήρης αποτίμηση μέσω της προσομοίωσης Monte Carlo. 39 4..1.1 Εφαρμογή της προσομοίωσης Monte Carlo... 40 4.. Δέλτα προσέγγιση 46 4...1 Εφαρμογή της Δέλτα προσέγγισης 47 4..3 Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση... 53 4..3.1 Μονομεταβλητή περίπτωση... 53 4..3. Κατανομή του γ V... 54 4..3.3 Εφαρμογή της Δέλτα-Γάμμα προσέγγισης.... 57 4.3 Ειδική περίπτωση: Θέσεις ταυτόχρονα κυρτές και κοίλες ως προς το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο 65 5. Υπολογισμός VaR 75 5.1 VaR υπό την προσομοίωση Monte Carlo 75 5. VaR υπό τη Δέλτα προσέγγιση 75 5.3 VaR υπό τη Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση 76 6. Σύγκριση VaR προσεγγίσεων... 78 6.1 Επισκόπηση: Χαρτοφυλάκιο 1. 78 6. Επισκόπηση: Χαρτοφυλάκιο. 80 6.3 Επισκόπηση: Χαρτοφυλάκιο 3. 8 6.4 Επισκόπηση: Χαρτοφυλάκιο 4. 84-3 -

7. Επίλογος... 86 Βιβλιογραφία... 87 Παράρτημα.. 88-4 -

Περίληψη Στην παρούσα διατριβή, μελετούμε τρεις μεθόδους εκτίμησης της Αξίας σε Κίνδυνο (VaR). Η μελέτη αυτή εστιάζει σε ένα συγκεκριμένο είδος χαρτοφυλακίων. Πρόκειται για χαρτοφυλάκια τα οποία αποτελούνται από περιουσιακά στοιχεία με μη γραμμικές αποδόσεις. Αυτό σημαίνει πως μεταβολές στους παράγοντες της αγοράς επηρεάζουν τις τιμές των στοιχείων αυτών με μη γραμμικό τρόπο. Η πιο συνήθης περίπτωση τέτοιου είδους περιουσιακού στοιχείου είναι τα δικαιώματα. Σημείο αναφοράς αποτελούν 3 υποθετικά χαρτοφυλάκια επί των οποίων εφαρμόζουμε: (α) την πραγματική φόρμουλα αποτίμησης Black Scholes, (β) τη Δέλτα προσέγγιση και (γ) τη Δέλτα Γάμμα προσέγγιση. Σίγουρα, μια ευρέως διαδεδομένη μέθοδος για τέτοια χαρτοφυλάκια είναι η αποτίμηση χρησιμοποιώντας την προσομοίωση Monte Carlo. Δημιουργούμε ένα πλήθος σεναρίων για την τιμή που, πιθανόν, θα λάβει ο υποκείμενος τίτλος από τον οποίο εξαρτάται το δικαίωμα. Έπειτα, για κάθε μια από αυτές τις τιμές, ανατιμολογούμε το χαρτοφυλάκιο, χρησιμοποιώντας το υπόδειγμα των Black Scholes. Αν και αυτή η μέθοδος μας εξασφαλίζει ακριβή αποτελέσματα, παρόλα αυτά, πρόκειται για μια επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία, λόγω του πλήθους των υπολογισμών που απαιτούνται. Η Δέλτα προσέγγιση υιοθετεί την ύπαρξη μιας γραμμικής σχέσης ανάμεσα στο δικαίωμα και τον υποκείμενο τίτλο-μία, εξαρχής, λανθασμένη προσέγγιση για ένα δικαίωμα. Επιπλέον, υποθέτει ότι η κατανομή της μεταβολής του υποκείμενου παράγοντα είναι κανονική, κάτι που, πολλές φορές, δεν ισχύει στην πραγματική αγορά. Γι αυτό και, τελικά, η Δέλτα προσέγγιση αποδεικνύεται μάλλον ανεπαρκής σε μη γραμμικά χαρτοφυλάκια. Εν τέλει, η Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση η οποία βασίζεται στη μη κεντρική χ κατανομή, καθίσταται πιο αποτελεσματική και ακριβής από τη Δέλτα και, βέβαια, λιγότερο επίπονη από την προσομοίωση Monte Carlo. Η προσέγγιση που υιοθετείται για τη μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου συμπληρώνεται από τη δεύτερη μερική παράγωγο της αξίας του χαρτοφυλακίου ως προς την αξία του υποκείμενου τίτλου. Απώτερός μας στόχος είναι η εκτίμηση του VaR του χαρτοφυλακίου. Επομένως, καλούμενοι να αποφασίσουμε για το ποια από τις δύο προσεγγίσεις, η Δέλτα ή η Δέλτα-Γάμμα, είναι πιο ακριβής, κάνουμε το εξής: συγκρίνουμε τις αντίστοιχες VaR τιμές τους και βλέπουμε ποια προσεγγίζει περισσότερο την πραγματική τιμή VaR που εξάγεται μέσω της προσομοίωσης Monte Carlo. Συμπεραίνουμε ότι τα υψηλά επίπεδα εμπιστοσύνης, ο μακροπρόθεσμος χρονικός ορίζοντας αποτίμησης του VaR, καθώς και περιουσιακά στοιχεία με μεγάλο βαθμό μη γραμμικότητας καθιστούν τη Δέλτα προσέγγιση όλο και πιο ανεπαρκή έναντι της καινοτόμου Δέλτα-Γάμμα. Ασχολούμαστε, επίσης, και με έναν συγκεκριμένο τύπο χαρτοφυλακίου στο οποίο η σχέση μεταξύ της τιμής του τελευταίου και του υποκείμενου τίτλου παρουσιάζει κυρτές και κοίλες περιοχές ταυτόχρονα. Η εν λόγω περίπτωση αποτελεί μια εξαίρεση στον κανόνα ότι η Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση είναι πιο αξιόπιστη από τη Δέλτα. Για την ακρίβεια, η Δέλτα προσέγγιση εξασφαλίζει μια κατανομή της μεταβολής της αξίας του χαρτοφυλακίου που πλησιάζει την πραγματική, πολύ περισσότερο από ό,τι η Δέλτα-Γάμμα. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι η αποτελεσματικότητα μιας μεθόδου να εξάγει ακριβείς εκτιμήσεις για το VaR εξαρτάται ένα πλήθος παραμέτρων, πράγμα που σημαίνει ότι απόλυτες θεωρήσεις που προκρίνουν μια μέθοδο και κατακρίνουν, κατηγορηματικά, μια άλλη, δεν ενδείκνυνται. - 5 -

1. Εισαγωγή Η «Αξία σε κίνδυνο» (Value at Risk-VaR) χρησιμοποιείται κυρίως στον τομέα των χρηματοοικονομικών. Οι βασικές του χρήσεις είναι ως μέτρο διαχείρισης κινδύνου, μέτρησης κινδύνου και χρηματοοικονομικού ελέγχου. Όσον αφορά στη διαχείριση του χρηματοοικονομικού κινδύνου ενός συγκεκριμένου χαρτοφυλακίου, το VaR αποτελεί, ίσως, την πιο διαδεδομένη τεχνική μέτρησής του. Αυτό διότι κατορθώνει να περικλείσει μέσα σε μια νομισματική ποσότητα ένα μέγεθος που όλοι όσοι έχουν στην κατοχή τους χαρτοφυλάκια ενδιαφέρονται να γνωρίζουν. Πιο συγκεκριμένα, για επενδυτές κατόχους χαρτοφυλακίων ή για managers που τα διαχειρίζονται εν ονόματι τρίτων είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να ξέρουν πως με βεβαιότητα α % η αξία του χαρτοφυλακίου τους δε θα μειωθεί παραπάνω από VaR [Ν],α ευρώ (νομισματικές μονάδες) τις επόμενες Ν ημέρες. Με άλλα λόγια, το VaR δηλώνει τη μέγιστη μείωση της αξίας που είναι πιθανό να υποστεί ένα χαρτοφυλάκιο κατά τη διάρκεια ενός δεδομένου χρονικού ορίζοντα στο μέλλον, για ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης και κάτω από την υπόθεση κανονικών συνθηκών στην αγορά. Άρα, ως φαίνεται, η ποσότητα αυτή είναι συνάρτηση δύο παραμέτρων: του χρονικού ορίζοντα Ν, ο οποίος μετριέται σε ημέρες, και του επιπέδου εμπιστοσύνης α που μετριέται σε ποσοστό επί τοις εκατό. Βέβαια, όσο εύκολο είναι για κάποιον να κατανοήσει το VaR σαν έννοια, άλλο τόσο δύσκολο είναι να βρει τη σωστή προσέγγιση μέτρησής του. Αυτό που χρειάζεται κανείς να ξέρει είναι η μορφή της κατανομής που ακολουθεί η μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου. Ουσιαστικά, πρέπει να ξέρουμε πώς κατανέμονται οι αποδόσεις των περιουσιακών στοιχείων που αποτελούν το χαρτοφυλάκιο. Συχνά, για απλούστευση του προβλήματος, υιοθετείται η υπόθεση της κανονικής κατανομής των αποδόσεών τους. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι οι παράγοντες της αγοράς από τους οποίους καθορίζεται η αξία ενός χαρτοφυλακίου κατανέμονται κανονικά και οι μεταβολές τους επηρεάζουν γραμμικά την αξία του χαρτοφυλακίου. Δυστυχώς, όμως, η υπόθεση της κανονικότητας, συχνά, δεν επαληθεύεται για γραμμικά περιουσιακά στοιχεία-πόσο μάλλον για μη γραμμικά, όπως τα δικαιώματα. Σε αυτή την περίπτωση, οι παράγοντες της αγοράς δεν επηρεάζουν γραμμικά την αξία των δικαιωμάτων. Επομένως, παύει να ισχύει η κανονική κατανομή με τη μηδενική ασυμμετρία. Αντίθετα, παρατηρείται μεγάλη ασυμμετρία και παχιές ουρές. Ένας τρόπος για να συμπεριληφθεί στο υπόδειγμα η μη γραμμικότητα προτάθηκε από τους Britten- Jones, M. and S. Schaefer ( Non-linear Value-at-risk ), οι οποίοι προσέθεσαν έναν μη γραμμικό όρο στο ανάπτυγμα του Taylor. Έτσι, η κατανομή της μεταβολής της αξίας του χαρτοφυλακίου μετετράπη από κανονική σε μη κεντρική χ, καθώς τώρα πια απαρτίζεται από ένα άθροισμα μη κεντρικών χ μεταβλητών. Η δομή της παρούσας διατριβής είναι η ακόλουθη: Στην ενότητα, αναπτύσσουμε μια γενική θεώρηση γύρω από το VaR. Παραθέτουμε τον ορισμό του, καθώς και μια σύντομη ιστορική αναδρομή. Επίσης, αναφέρουμε τις μορφές με τις οποίες συναντάται και, βέβαια, μιλούμε για τη χρήση του στον κλάδο των χρηματοοικονομικών. Στην ενότητα 3, και με τη βοήθεια αριθμητικών παραδειγμάτων παραθέτουμε τον τρόπο υπολογισμού του VaR σε απλές περιπτώσεις χαρτοφυλακίων. Στην ενότητα 4, εφαρμόζουμε τις τρεις προσεγγίσεις (α) αποτίμηση μέσω της προσομοίωσης Monte Carlo, (β) Δέλτα προσέγγιση και (γ) Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση επί τεσσάρων υποθετικών χαρτοφυλακίων. Στόχος μας είναι να εκτιμήσουμε την αξία του χαρτοφυλακίου, τη μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου και, κατά συνέπεια, το VaR για ένα προκαθορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Στην ενότητα 5, παραθέτουμε τον τρόπο υπολογισμού του VaR υπό τις τρεις παραπάνω προσεγγίσεις. Στην ενότητα 6, συγκρίνουμε τις VaR προσεγγίσεις για κάθε χαρτοφυλάκιο. Στην ενότητα 7, αποτιμούμε τις διαφορετικές μεθόδους και εξάγουμε τα τελικά συμπεράσματα. - 6 -

. Το Value at Risk: Μια γενική θεώρηση.1 Το Value at Risk στη διαχείριση χαρτοφυλακίου Όταν κάνουμε λόγο για διαχείριση κινδύνου εννοούμε τον χρηματοοικονομικό και τον μη χρηματοοικονομικό κίνδυνο. Ο χρηματοοικονομικός κίνδυνος που, κυρίως μας ενδιαφέρει, χωρίζεται σε δύο κατηγορίες, τον πιστωτικό και τον κίνδυνο της αγοράς. Ο πιστωτικός κίνδυνος εκφράζει την πιθανότητα πρόκλησης απωλειών, όταν οι συμβαλλόμενοι αδυνατούν να εκπληρώσουν τις υποχρεώσεις τους, όπως αυτές καθορίζονται στα συμβόλαια που έχουν υπογράψει. Κίνδυνος της αγοράς είναι ο κίνδυνος που σχετίζεται με την αβεβαιότητα της απόδοσης ενός χαρτοφυλακίου, εξαιτίας μεταβολών στις συνθήκες της αγοράς. Οι συνθήκες της αγοράς αντικατοπτρίζονται από παράγοντες όπως οι συναλλαγματικές ισοτιμίες, τα επιτόκια και οι χρηματιστηριακοί δείκτες. Η βασική αρχή που συναντάται στον τομέα «διαχείριση χαρτοφυλακίου» είναι ότι οι επενδυτές επιθυμούν να επιτυγχάνουν τις μεγαλύτερες δυνατές αποδόσεις με το χαμηλότερο δυνατό ρίσκο. Στόχος τους είναι να μεγιστοποιήσουν την απόδοση που θα τους αποφέρει το χαρτοφυλάκιο που διακρατούν, για ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί και αντίστροφα. Οι επενδυτές επιζητούν να ελαχιστοποιήσουν τον κίνδυνο, για μια δεδομένη απόδοση στην οποία στοχεύουν. Αυτό τον κίνδυνο, λοιπόν, εκφράζει το VaR. Το VaR δηλώνει τη μέγιστη μείωση της αξίας που είναι πιθανό να υποστεί ένα χαρτοφυλάκιο κατά τη διάρκεια ενός δεδομένου χρονικού ορίζοντα στο μέλλον, Ν, για ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης, α. Απλούστερα, το VaR απαντάει στην ερώτηση: Ποιο είναι το μέγιστο ποσό που υπάρχει πιθανότητα να χάσω μέσα σε Ν ημέρες από σήμερα και με επίπεδο βεβαιότητας α %; Οι συνήθεις τιμές που λαμβάνει το α είναι 90%, 95% ή 99%. Όσο για το χρονικό ορίζοντα Ν, αυτός μπορεί να αφορά μια μέρα ή μεγαλύτερες χρονικές περιόδους. Η επιλογή των παραμέτρων γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται οι στόχοι που τίθενται από τους ενδιαφερόμενους. Ένας άλλος τρόπος για να εκφράσουμε το VaR είναι το χαμηλότερο ποσοστημόριο της κατανομής των δυνητικών απωλειών που επίκειται να επέλθουν για ένα δεδομένο χαρτοφυλάκιο και μια δεδομένη χρονική περίοδο. Διάγραμμα.1 Η κατανομή της μεταβολής της τιμής της μετοχής εντός Ν-ημερών και το Ν-ημερών VaR σε 100α% επίπεδο εμπιστοσύνης. Θεωρητικά, το VaR μπορεί να χρησιμοποιηθεί από κάθε επιχείρηση που θέλει να μετρήσει την έκθεσή της στον κίνδυνο. Πιο συχνά, ωστόσο, χρησιμοποιείται από εμπορικές και επενδυτικές επιχειρήσεις. Στόχος τους είναι να αποτυπώσουν τη δυνητική απώλεια στην αξία των χαρτοφυλακίων τους, η οποία προκαλείται από αντίθετες κινήσεις της αγοράς. Αυτό που έχουν να κάνουν, στη συνέχεια, είναι να συγκρίνουν την απώλεια αυτή με το κεφάλαιο και τις αποταμιεύσεις που, ήδη, διαθέτουν προκειμένου - 7 -

να είναι σίγουρες ότι οι εν λόγω απώλειες μπορούν να καλυφθούν, χωρίς η επιχείρηση να αντιμετωπίσει κίνδυνο χρεοκοπίας.. Σύντομη ιστορική αναδρομή Ο όρος VaR άρχισε να χρησιμοποιείται ευρέως από τα μέσα της δεκαετίας του 1990. Η προέλευση, βέβαια, του όρου εντοπίζεται πολύ νωρίτερα. Η ώθηση για την ανάπτυξη μέτρων κινδύνου δίνεται κατά την περίοδο που οι χρηματοοικονομικές επιχειρήσεις πολιορκούνταν από κρίσεις. Στην προσπάθεια για αντιμετώπιση αυτών των κρίσεων προτάθηκαν διάφορα ρυθμιστικά μέτρα. Κάποια από αυτά προτάθηκαν μετά την περίοδο της μεγάλης ύφεσης, όταν πολλές τράπεζες είχαν, ήδη, οδηγηθεί στη χρεοκοπία. Πιο συγκεκριμένα, απαιτείτο από τις τράπεζες να δανείζουν μέχρι συγκεκριμένο ποσοστό του κεφαλαίου τους και όχι παραπάνω. Στις δεκαετίες που ακολούθησαν, οι τράπεζες επινόησαν διάφορα μέτρα ελέγχου και μέτρησης του κινδύνου ώστε να μπορούν να συμμορφώνονται με τις εν λόγω κεφαλαιακές απαιτήσεις. Ο αυξημένος κίνδυνος που ακολούθησε τη δημιουργία της αγοράς παραγώγων και τις κυμαινόμενες συναλλαγματικές ισοτιμίες, στις αρχές της δεκαετίας του 1970, οδήγησε σε επαναπροσδιορισμό των κεφαλαιακών απαιτήσεων. Τώρα, πια, τέθηκαν διαφορετικές κεφαλαιακές απαιτήσεις για κάθε περιουσιακό στοιχείο, ανάλογα με τον κίνδυνο που φέρει το καθένα. Τα πρώτα ρυθμιστικά μέτρα που θυμίζουν το VaR με τη σημερινή του μορφή ξεκίνησαν το 1980, όταν οι κεφαλαιακές απαιτήσεις συνδέθηκαν με τις απώλειες που θα υφίσταντο, μέσα σε 30 ημέρες με 95% διάστημα εμπιστοσύνης. Οι επιχειρήσεις, δηλαδή, καλούνταν να υπολογίσουν τις δυνητικές απώλειες και, στη συνέχεια, να διακρατούν το απαιτούμενο κεφάλαιο για την κάλυψη αυτών των απωλειών. Για την εξαγωγή των δυνητικών απωλειών χρησιμοποιούνταν οι παρελθούσες αποδόσεις. Ταυτόχρονα, τα χαρτοφυλάκια των επενδυτικών και εμπορικών επιχειρήσεων γίνονταν μεγαλύτερα και χαρακτηρίζονταν από μεγαλύτερη μεταβλητότητα, δημιουργώντας την ανάγκη για πιο τελειοποιημένα μέτρα. Μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 1990, πολλές επιχειρήσεις είχαν, ήδη, αναπτύξει τα στοιχειώδη μέτρα VaR. Το VaR έχει, πλέον, καθιερωθεί ως μέτρο έκθεσης στον κίνδυνο και τυγχάνει αποδοχής και από τις μη χρηματοοικονομικές επιχειρήσεις..3 VaR Επεκτάσεις Conditional Value at Risk (CVaR) CVaR = E[ S / S VaR ] [ N], α [ N] [ N] [ N], α Πρόκειται για την απώλεια που, κατά μέσο όρο, αναμένεται να προκύψει όταν η εν λόγω απώλεια ξεπεράσει το μέγεθος του VaR. Είναι η ζημιά που αναμένεται ότι θα σημειωθεί στις χειρότερες n% των περιπτώσεων μέσα σε μια ορισμένη χρονική περίοδο. Με άλλα λόγια, το CVaR απαντάει στην απλοϊκή ερώτηση: Αν τα πράγματα εξελιχθούν άσχημα, π.χ. η απώλεια υπερβεί το VaR, ποια θα είναι τότε η προσδοκώμενη απώλεια; - 8 -

Διάγραμμα. Η κατανομή της μεταβολής της τιμής της μετοχής εντός Ν-ημερών και το Ν-ημερών VaR και CVaR σε 100α% επίπεδο εμπιστοσύνης..4 Μοντέλα υπολογισμού VaR Οι μέθοδοι υπολογισμού του VaR διαχωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: Στις παραμετρικές και τις μη παραμετρικές μεθόδους. Στη συνέχεια, παραμετρικά και μη παραμετρικά μοντέλα διακρίνονται σε επιμέρους μεθόδους, όπως δείχνει παραστατικά το παρακάτω διάγραμμα: MODELS TO CALCULATE VaR Parametric Models Non-Parametric Models Asset-Normal VaR (No risk factors) Simulation and Full Valuation Simulation and Approximation (Partial Monte Carlo VaR) Delta-Normal VaR (Delta Approximation) Monte Carlo VaR Delta Approximation Delta-Gamma Normal VaR (Delta-Gamma Approximation) Historical Simulation Delta-Gamma Approximation Stress Scenarios Πίνακας Μοντέλα υπολογισμού VaR - 9 -

3. Υπολογισμός VaR στην πράξη Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε πώς υπολογίζεται το VaR σε τρεις περιπτώσεις: όταν το χαρτοφυλάκιο μας αποτελείται από ένα μόνο περιουσιακό στοιχείο, όταν αποτελείται από Κ περιουσιακά στοιχεία και όταν αποτελείται από δικαιώματα που είναι εγγεγραμμένα πάνω σε ένα μεμονωμένο περιουσιακό στοιχείο. 3.1 VaR περιουσιακού στοιχείου Ας ξεκινήσουμε ορίζοντας το VaR ενός περιουσιακού στοιχείου, έστω μιας μετοχής. Ας συμβολίσουμε με S την τρέχουσα τιμή της μετοχής (χρονική στιγμή t). Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή t+ t, η τιμή θα έχει μεταβληθεί κατά S, το οποίο ισούται με: S= St ( + t) St () Αν θεωρήσουμε ότι η μεταβολή αυτή θα επέλθει σε Ν ημέρες από σήμερα ( S[ N ]), τότε, το Ν- ημερών VaR της μετοχής για 100 α % επίπεδο εμπιστοσύνης είναι το VaR[ N ], α για το οποίο ισχύει η ακόλουθη σχέση: Pr( S VaR α ) = α [ N] [ N], Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα η μεταβολή της αξίας της μετοχής που θα σημειωθεί τις επόμενες Ν ημέρες να είναι μεγαλύτερη ή έστω ίση από την αρνητική τιμή του VaR ισούται με a. Επομένως: Είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε με α % επίπεδο βεβαιότητας ότι η μεταβολή της αξίας της μετοχής δεν θα ξεπεράσει το μέγεθος του VaR. Είναι αυτό που λέγαμε στην αρχή, αναφερόμενοι στον ορισμό του VaR, ότι αυτό αποτελεί τη μέγιστη μείωση της τιμής της μετοχής, ως εκ τούτου η απώλεια που θα επέλθει δεν θα υπερβεί το ύψος του VaR, τουλάχιστον με πιθανότητα α %. Για παράδειγμα, για Ν = 7 ημέρες και α = 99%, το VaR [7],0.99 εκφράζει τη μέγιστη δυνατή απώλεια η οποία θα προκύψει με πιθανότητα 99% στο διάστημα μιας εβδομάδας από σήμερα. Είναι σημαντικό, βέβαια, να διευκρινίσουμε ότι δεν αποκλείεται να σημειωθεί μια εβδομαδιαία απώλεια μεγέθους μεγαλύτερου από VaR [7],0.99, αλλά κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί με πιθανότητα μόνο 1%. Για παράδειγμα, αν κάναμε λόγο για συνολικό διάστημα 100 εβδομάδων, η συγκεκριμένη απώλεια θα συνέβαινε κάθε μία εβδομάδα στις 100. Ο εναλλακτικός τρόπος να εκφράσουμε την παραπάνω σχέση είναι Pr( S VaR α ) = 1 α [ N] [ N], Το ακόλουθο διάγραμμα απεικονίζει την κατανομή από την οποία χαρακτηρίζεται η μεταβολή της τιμής μιας μετοχής εντός ενός χρονικού διαστήματος Ν ημερών, S[ N ]. Ο μέσος της κατανομής συμβολίζεται με µ [ Ν ] και αντιπροσωπεύει τη μέση, προσδοκώμενη μεταβολή της τιμής της μετοχής. Επίσης, στον οριζόντιο άξονα βλέπουμε την αρνητική τιμή του Ν-ημερών VaR σε επίπεδο εμπιστοσύνης α %. - 10 -

Διάγραμμα 3.1 Η κατανομή της μεταβολής της τιμής της μετοχής εντός Ν-ημερών και το Ν-ημερών VaR σε 100α% επίπεδο εμπιστοσύνης. Όπως φαίνεται από την κατανομή, το VaR[ N ], α δεν είναι τίποτα άλλο από την αρνητική τιμή του (1 a) οστο ύ ποσοστημόριου 1 της κατανομής του S[ N ]. Εφόσον το S[ N ] μετριέται σε νομισματικές μονάδες (ευρώ) και το VaR[ N ], α αποτελεί ένα νομισματικό μέγεθος. Επιπλέον, το (1 a) οστ ό ποσοστημόριο είναι αρνητικός αριθμός. Λαμβάνοντας την αρνητική τιμή του, το μετατρέπουμε σε θετικό μέγεθος και το αποκαλούμε απώλεια αντί για κέρδος. Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το VaR σε όρους αποδόσεων R [ N ] και όχι, απαραίτητα, σε όρους μεταβολών στις τιμές S[ N ]: S[ N ] R[ N ] = S VaR[ N], a Pr R[ N ] = a S VaR[ N], a = RVaR[ N], a S Όπου RVaR [ N], aείναι το Ν-ημερών Return VaR. Προκειμένου, εν τέλει, να εξάγουμε το VaR ενός περιουσιακού στοιχείου σε εφαρμογές, καλούμαστε, προηγουμένως, να εκτιμήσουμε την κατανομή που ακολουθεί το S[ N ]. Η συνήθης υπόθεση που τίθεται στην πράξη είναι ότι το S[ N ] κατανέμεται περίπου κανονικά με Ν- ημερών μέση μεταβολή της τιμής µ [ Ν ] και Ν-ημερών διακύμανση της μεταβολή της τιμής σ Ν. Δηλαδή, S µ σ [ Ν] ~( [ Ν], Ν) Υπό την υπόθεση της κανονικότητας το VaR [ N], aδίνεται από 1 Υπενθυμίζουμε ότι το q οστό ποσοστημόριο, Χq, μιας συνεχούς, τυχαίας μεταβλητής Χ είναι η τιμή για την οποία Prob(X Χ q ) = q. - 11 -

VaR = z σ µ [ N], a a [ Ν] [ Ν] όπου, z a είναι το α ποσοστιαίο σημείο της τυπικής κανονικής κατανομής ή, διαφορετικά, ο αριθμός για τον οποίο η πιθανότητα μια τυπική κανονική μεταβλητή να είναι μικρότερη από z a είναι a (π.χ. για α = 0,95 z0,95 = 1, 645, για α = 0,99 z0,99 =,33 ) σ[ Ν ] είναι η τυπική απόκλιση της αλλαγής της τιμής και µ [ Ν ] είναι η μέση αλλαγή της τιμής Επομένως, είναι φανερό ότι, για τον υπολογισμό του VaR, αρκεί να λάβουμε εκτιμήσεις για τα µ [ Ν ] και σ[ Ν ]. Οι εκτιμήσεις που έχουμε για των Ν-ημερών μέσο και τη διακύμανση μπορούν να μετατραπούν εύκολα σε εκτιμήσεις Μ-ημερών μέσω των ακόλουθων σχέσεων: Μ Μ µ [ Μ] = µ [ Ν] και σ[ Μ] = σ[ Ν] Ν Ν Τότε, το Μ-ημερών VaR: VaR M M = z σ µ N N [ M], a a [ N] [ N] Στην πλειοψηφία των εφαρμογών, η εκτίμηση που επιθυμούμε να λάβουμε για το VaR αφορά συνήθως ένα βραχυπρόθεσμο χρονικό διάστημα, για παράδειγμα μιας ημέρας ή μιας εβδομάδας. Για αυτό το λόγο, έχουμε την ελευθερία να υποθέσουμε ότι, για μια τόσο σύντομη χρονική περίοδο, η μέση μεταβολή στην αξία του περιουσιακού στοιχείου εντός της εν λόγω περιόδου θα είναι μηδενική. Δηλαδή, µ [ Ν ] 0 Τότε, η φόρμουλα για το VaR γίνεται VaR z σ Ν [ N], a a [ ] Στην περίπτωση μιας σύντομης χρονικής περιόδου, δύο πλεονεκτήματα προκύπτουν: (i) Δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε σε εκτίμηση του μ [Ν], εφόσον υποθέτουμε ότι είναι μηδενικό. (ii) Επιπλέον, υπάρχει τρόπος να μετατρέψουμε το VaR [Ν],α (Ν-ημερών) σε VaR [Μ],α (Μ-ημερών). Δεδομένου ότι σ Μ = σ Ν [ Μ] [ Ν] το [ M], a VaR δίνεται από - 1 -

VaR M VaR N [ M], a [ N], a Είναι, όμως, απαραίτητο να τονίσουμε ότι αν η κατανομή των αποδόσεων του περιουσιακού στοιχείου δεν είναι κανονική, η χρήση του VaR ως μέτρου κινδύνου καθίσταται πιο δύσκολη υπόθεση. Στην πράξη, οι μεταβολές που παρατηρούνται στις τιμές των περιουσιακών στοιχείων δε φαίνεται να ακολουθούν τη μορφή μιας κανονικής κατανομής. Αντιθέτως, χαρακτηριστικά τους είναι η μη μηδενική συμμετρία (δεξιά ή αριστερή ασυμμετρία) και οι παχιές ουρές. Από τη στιγμή, λοιπόν, που δεν είμαστε πάντοτε σε θέση να υποθέσουμε εκ των προτέρων κανονικότητα για τις μεταβολές των τιμών, μπορούμε να κάνουμε χρήση ιστορικών δεδομένων για τις τιμές είτε να εφαρμόσουμε μια ποικιλία μοντέλων προκειμένου να εκτιμήσουμε άμεσα την κατανομή του S[ N ]. Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι το χαρτοφυλάκιό μας αποτελείται από 10000 μετοχές, των οποίων η τρέχουσα τιμή είναι 0. Επίσης, η ετήσια απόδοση της μετοχής ακολουθεί την κανονική κατανομή R ~ (0.06,(0,3) ) [365] N, με ετήσιο μέσο 0,06 και τυπική απόκλιση 0,3. Το εβδομαδιαίο 99% VaR μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους: (α) Αρχικά, υπολογίζουμε το αντίστοιχο RVaR και, ύστερα, το μετατρέπουμε σε VaR, μέσω της ακόλουθης διαδικασίας: Μετατρέπουμε το μέσο και την τυπική απόκλιση της απόδοσης από ετήσια σε εβδομαδιαία βάση ως εξής: µ [365] 0, 06 µ [7] = = = 0, 001154 5 5 σ[365] 0,3 σ [7] = = = 0,0416 5 5 Συνεπώς, η εβδομαδιαία απόδοση κατανέμεται ως εξής: R ~ N (0,001154,(0,0416) ) [7] Το εβδομαδιαίο 99% RVaR δίνεται από RVaR [7],0.99 =, 33 0, 0416 0, 001154 = 9, 578% Το αντίστοιχο VaR VaR[7],0.99 = S RVaR[7],0.99 = 0 9,578% = 1,9156 ανά μετοχή. Το εβδομαδιαίο 99% VaR του χαρτοφυλακίου των 10000 μετοχών είναι 10000 1, 9156 = 19156 (β) Μετατρέπουμε την κατανομή των αποδόσεων σε κατανομή της μεταβολής της αξίας και τελικά εξάγουμε την εκτίμηση για το VaR. - 13 -

Μετατρέπουμε το μέσο και την τυπική απόκλιση των αποδόσεων σε μέσο και τυπική απόκλιση των μεταβολών στην τιμή, πολλαπλασιάζοντας με S = 0. µ [365] = 0,06 0 = 1, σ [365] = 0, 3 0 = 6 S ~ N(1.,6 ) [365] Τώρα μετατρέπουμε το μέσο και την τυπική απόκλιση των μεταβολών στην τιμή από ετήσια σε εβδομαδιαία βάση: µ [365] 1, µ [7] = = = 0,0308 5 5 σ[365] 6 σ [7] = = = 0,8305 5 5 Επομένως, η κατανομή της εβδομαδιαίας μεταβολής της αξίας είναι S ~ N(0.0308,(0,8305) ) [7] Το εβδομαδιαίο 99% VaR δίνεται από VaR [7],0.99 =,33 0,8305 0,0308 = 1,9156 ανά μετοχή Το εβδομαδιαίο 99% VaR του χαρτοφυλακίου είναι 10000 1, 9156 = 19156-14 -

3. VaR χαρτοφυλακίου Συνεχίζουμε παρουσιάζοντας το VaR ενός χαρτοφυλακίου μετοχών. Θεωρούμε ότι το χαρτοφυλάκιό μας αποτελείται από Κ μετοχές, οι οποίες, φυσικά, ενέχουν κίνδυνο. Οι τιμές των μετοχών σήμερα εκφράζονται από το διάνυσμα s= ( s1, s,..., s K ) Η καθεμία εκ των μετοχών συμμετέχει με ένα ποσοστό στο εν λόγω χαρτοφυλάκιο. Το διάνυσμα w = (w 1, w,, w n ) περιλαμβάνει αυτά ακριβώς τα μερίδια. Επομένως, η αξία του χαρτοφυλακίου σήμερα είναι n P= ws i i= 1 i i Τώρα, καθεμιά από τις K μετοχές χαρακτηρίζεται από μια μεταβολή της αξίας της, S[ N ]. 1 K Έτσι, προκύπτει το διάνυσμα S = ( S, S,..., S ) [ N] [ N] [ N] [ N] Αν δηλώσουμε με P την αξία του χαρτοφυλακίου, τότε η μεταβολή της αξίας του εντός N ημερών από σήμερα δίνεται από K i [ N] ' [ N] i [ N] i= 1 P = w S = w S Για να προχωρήσουμε στον υπολογισμό του VaR του χαρτοφυλακίου που έχουμε στη διάθεσή μας πρέπει να υποθέσουμε ότι το S[ N ] κατανέμεται από κοινού κανονικά δηλαδή S ~ MVN ( µ, Σ ) [ Ν] K [ Ν] [ Ν] όπου 1 µ [ ] ( µ [ ], µ [ ],..., µ Κ Ν = Ν Ν [ Ν] ) αποτελεί τον μέσο της κατανομής και είναι το διάνυσμα των μέσων αλλαγών στην τιμή για καθεμία από τις n μετοχές. Σ [ Ν] είναι η μήτρα διακύμανσης-συνδιακύμανσης των αλλαγών στην τιμή, δηλαδή η εξής μήτρα: Σ [Ν] ( σ ) σ σ ( σ ) ρ σ σ ρ σ σ σ σ σ ρ σ σ σ ρ σ σ = = K1 K K K1 K 1 K K K σ[ Ν] σ[ Ν] ( σ[ Ν] ) ρ[ Ν] σ[ Ν] σ[ Ν] ρ[ Ν] σ[ Ν] σ[ Ν] ( σ[ Ν ]) 1 1 1K 1 1 1 1K 1 K [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] 1 K 1 1 K K [ Ν] ( [ Ν] ) [ Ν] [ Ν] [ Ν] [ Ν] ( [ Ν] ) [ Ν] [ Ν] [ Ν] Εφόσον το S[ N ] ακολουθεί την κανονική κατανομή και ο γραμμικός συνδυασμός από κοινού κανονικών μεταβλητών τότε και το P αποτελεί μια κανονική, τυχαία μεταβλητή, δηλαδή P N µ σ P P [ N ] ~ ( [ Ν],( [ Ν] ) ) - 15 -

όπου K P i [ Ν] = w' [ Ν] = wi [ N] i= 1 µ µ µ και ( ) K K = Σ = σ w w wρ σ σ P ij i j [ Ν] [ Ν] i [ Ν] [ Ν] [ Ν] i= 1 j= 1 Τελικά, για να εξάγουμε το VaR του χαρτοφυλακίου χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο: VaR = z σ µ P P P [ N], a a [ Ν] [ Ν] Παράδειγμα: Θεωρούμε ότι το χαρτοφυλάκιό μας αποτελείται από 1000 μετοχές της τράπεζας Χ και 500 μετοχές της τράπεζας Y. Η τρέχουσα τιμή των μετοχών είναι 0 και 40 αντίστοιχα. Οι ετήσιες αποδόσεις τους ακολουθούν την κανονική κατανομή: X R 365 0,06 0,09 0,0375 ~ Ν, Y R 0,05 0,0375 0,065 365 Όπου 0, 06 το διάνυσμα 0, 05 είναι ο μέσος των αποδόσεων και 0,09 0,0375 η μήτρα 0,0375 0,065 είναι η μήτρα διακύμανσης-συνδιακύμανσης των αποδόσεων Το εβδομαδιαίο 99% VaR εξάγεται ως εξής: Η από κοινού κατανομή των ετήσιων αποδόσεων X R [ 365] 0, 06 0, 09 0, 0375 MVN, Y R 0, 05 0, 0375 0, 065 [ 365] μετατρέπεται σε κατανομή των ετήσιων μεταβολών της τιμής πολλαπλασιάζοντας με τις τρέχουσες τιμές: X S [365] 0,06 0 0,09 0 0,0375 0 40 ~ MVN, Y S 0,05 40 0,0375 0 40 0,065 40 [365] S X [365] 1, 36 30 ~ MVN, Y S 30 100 [365] Ο μέσος και η τυπική απόκλιση της ετήσιας μεταβολής της αξίας του χαρτοφυλακίου είναι αντίστοιχα: - 16 -

P 1, µ [365] = w µ [365] = [ 1000 500] = 00 σ 36 30 1000 = w Σ w = [ 1000 500] = 13,7 30 100 500 P [365] [365] Η ετήσια μεταβολή της τιμής του χαρτοφυλακίου κατανέμεται ως P ~ N(00,(13,7) ) [365] Η εβδομαδιαία μεταβολή της τιμής του χαρτοφυλακίου κατανέμεται ως 00 13,7 P[7] ~ N, 5 5 P ~ N(4.3,(94.5) ) [7] Επομένως το εβδομαδιαίο 99% VaR του χαρτοφυλακίου είναι P P P VaR [7],0.99 = z0,99 σ [7] µ [7] =,33 94,5 4,3 = 643,9 Αν ο επενδυτής βρισκόταν σε θέση πώλησης και όχι αγοράς των μετοχών, τότε θα άλλαζε σε w = [ 1000 500] Η κατανομή της εβδομαδιαίας μεταβολής της αξίας θα είναι P ~ N( 4.3,(94.5) ) [7] Επομένως το εβδομαδιαίο 99% VaR του χαρτοφυλακίου είναι P P P VaR [7],0.99 = z0,99 σ [7] µ [7] =,33 94,5 + 4,3 = 78,5-17 -

3.3 VaR δικαιώματος Αρχικά, ορίζουμε το δέλτα και το γάμμα ενός δικαιώματος ως dv δ = και ds dv γ = ds Όπου V η αξία ενός δικαιώματος, V η μεταβολή στην αξία του δικαιώματος και S η μεταβολή στην αξία του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου επί του οποίου εγγράφεται το δικαίωμα. Επίσης, VaR υπό τη Δέλτα προσέγγιση Η μεταβολή της αξίας ενός δικαιώματος υποκείμενου τίτλου S ισούται με V = δ S Αυτό σημαίνει ότι αν μιλούμε για μια μικρή μεταβολή S, πολλαπλασιασμένο με το δέλτα του δικαιώματος. V η οποία προκαλείται από τη μεταβολή της αξίας του S, τότε το V ισούται με το μέγεθος του Υπό αυτή τη γραμμική προσέγγιση, το VaR του δικαιώματος ισούται με το VaR του υποκείμενου τίτλου πολλαπλασιασμένο με το δέλτα του δικαιώματος. VaR = δvar V S [ N], a [ N], a Αντικαθιστώντας το VaR περιουσιακού στοιχείου με το ίσο του παίρνουμε V VaR = δ( z σ µ ) [ N], a a [ Ν] [ Ν] Και υπό την υπόθεση της κανονικότητας, V VaR = δz [ N], a aσ[ Ν ] VaR υπό τη Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση Η μεταβολή της αξίας ενός δικαιώματος μπορεί να παρουσιαστεί με την προσθήκη επιπλέον όρων ως εξής: 1 ( ) V = δ S+ γ S +... όπου με τα αποσιωποιητικά υποδηλώνονται οι ανώτερης τάξης όροι του αναπτύγματος. Αν υποθέσουμε ότι το S[ Ν ] κατανέμεται περίπου κανονικά με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση σ [Ν], τότε το έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση που δίνεται από τους ακόλουθους τύπους: V[ N ] 1 µ = γσ V [ Ν] [ Ν] - 18 -

3 σ = δ + γ σ 4 V [ Ν] [ Ν] Με άλλα λόγια, 1 3 V ~ γσ, δ + γ σ 4 [ N ] [ Ν] [ Ν] Ακολούθως, το VaR του δικαιώματος δίνεται από τον τύπο 3 1 VaR = z δ + γ σ γσ 4 V [ N], a a [ Ν] [ Ν] Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς που εγγράφεται πάνω σε 10000 μετοχές. Επίσης, υποθέτουμε ότι η εβδομαδιαία μεταβολή της αξίας της μετοχής κατανέμεται κανονικά με μέσο και διακύμανση ως ακολούθως: S ~ N(0,(0.8305) ) [7] Το δέλτα και το γάμμα του δικαιώματος είναι αντίστοιχα δ = 0,65 και γ = 0,8 Το εβδομαδιαίο 99% VaR του δικαιώματος C (call option) είναι VaR N C [ ],0.99 3 1 = 10000,33 0,65 + 0,8 0,8305 0,8 (0,8305) 4 = 15648-19 -

4. VaR προσεγγίσεις για χαρτοφυλάκια που περιλαμβάνουν μη γραμμικά περιουσιακά στοιχεία 4.1 Υπολογισμός της αξίας χαρτοφυλακίου Στην τρέχουσα ενότητα, υπολογίζουμε την αξία ενός χαρτοφυλακίου που περιλαμβάνει παράγωγα. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται με τη χρήση τριών διαφορετικών προσεγγίσεων: του πραγματικού υποδείγματος αποτίμησης των Black-Scholes, της Δέλτα προσέγγισης και της Δέλτα-Γάμμα προσέγγισης. Στόχος μας είναι να αντιπαραβάλλουμε τις δύο προσεγγίσεις Δέλτα και Δέλτα-Γάμμα και να δούμε ποια από τις δύο προσεγγίζει περισσότερο το υπόδειγμα των Black-Scholes, το οποίο αντιπροσωπεύει και την πραγματική τιμή. Παράλληλα, επιχειρούμε να μελετήσουμε την επίδραση που ασκεί στο VaR όχι μόνο το γάμμα του χαρτοφυλακίου, αλλά και ο χρονικός ορίζοντας κατά τη διάρκεια του οποίου αποτιμάται η κατανομή. Το παράδειγμα που ακολουθεί είναι ιδιαίτερα διαφωτιστικό προκειμένου να καταδειχτούν οι παραπάνω επιδράσεις. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τρία υποθετικά χαρτοφυλάκια τα οποία αποτελούνται από δικαιώματα αγοράς (call options) και δικαιώματα πώλησης (put options) σε συγκεκριμένες ποσότητες. Ξέρουμε, επίσης, το χρόνο που απομένει ως τη λήξη των δικαιωμάτων. Επιπλέον, παρουσιάζεται τo συνολικό δέλτα (aggregate delta) και γάμμα (aggregate gamma) καθενός από τα τρία χαρτοφυλάκια, όπως επίσης και ο χρονικός ορίζοντας επί του οποίου θέλουμε να εκτιμήσουμε το VaR (time horizon). Το πρόσημο στην ποσότητα των δικαιωμάτων δηλώνει αγορά (+) ή πώληση (-) του συγκεκριμένου δικαιώματος. Υποθέτουμε ότι: Κάθε ένα από τα τρία χαρτοφυλάκια περιλαμβάνει δύο δικαιώματα, ένα δικαίωμα αγοράς και ένα δικαίωμα πώλησης, τα οποία εγγράφονται πάνω σε ένα περιουσιακό στοιχείο (υποκείμενος τίτλος). Η τιμή του υποκείμενου τίτλου είναι 100 (S 0 =100). Η ετήσια μεταβλητότητά του (τυπική απόκλιση) είναι 30% (σ =0,3). Το ετήσιο ανατοκισμένο ακίνδυνο επιτόκιο είναι 10% (r = 0,1). Η τιμή εξάσκησης για κάθε δικαίωμα είναι 101 (K = 101). Θεωρούμε, επίσης, ότι ο υποκείμενος τίτλος (π.χ. μετοχή) δεν αποδίδει μέρισμα κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος (dividend yield = 0). Χαρτοφυλάκιο 1 3 Χρόνος ως τη λήξη του δικαιώματος σε 60 4 60 ημέρες (T-t) Ποσότητα δικαιωμάτων -1,0-1,0-1,0 αγοράς Ποσότητα δικαιωμάτων -0,5-0,6-0,5 πώλησης Χρονικός ορίζοντας αποτίμησης του 1 ημέρα 1 εβδομάδα 10 ημέρες VaR Συνολικό δέλτα -0,314-0,39-0,314 Συνολικό γάμμα -0,049-0,063-0,049 Πίνακας 4.1. - 0 -

Στο σημείο αυτό, αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι κάθε χαρτοφυλάκιο συνδυάζει ένα δικαίωμα αγοράς και ένα δικαίωμα πώλησης. Λόγω του γεγονότος αυτού, μίας τέτοιας σύστασης χαρτοφυλάκιο χαρακτηρίζεται από μικρότερο δέλτα και μεγαλύτερο γάμμα σε σύγκριση με χαρτοφυλάκια που αποτελούνται από ένα μόνο είδος παραγώγου, είτε, δηλαδή, αποκλειστικά από δικαιώματα αγοράς είτε μόνο από δικαιώματα πώλησης. 4.1.1 Αποτίμηση υπό το πραγματικό υπόδειγμα Black-Scholes Αναφορικά με την τιμολόγηση δικαιωμάτων, οι Fisher Black, Myron S. Scholes και Robert C. Merton ανέπτυξαν ένα υπόδειγμα, η λύση του οποίου μας δίνει έναν αναλυτικό τύπο για την τιμολόγηση των Ευρωπαϊκών δικαιωμάτων. Το υπόδειγμα τους βασίζεται στην ισχύ μιας σειράς υποθέσεων, οι οποίες παρατίθενται ευθύς αμέσως. Υπόθεση 1 Η τιμή ενός πρωτογενούς τίτλου πάνω στον οποίο είναι γραμμένο ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς ακολουθεί τον λογαριθμοκανονικό τυχαίο περίπατο, δηλαδή ds = µ Sdt + σsdx Η εν λόγω υπόθεση μπορεί να υποστεί μια γενίκευση, με την έννοια ότι η τιμή του υποκείμενου τίτλου μπορεί να ακολουθεί πιο γενικές στοχαστικές διαδικασίες ανέλιξης. Ειδικότερα: Διαδικασία ανέλιξης της τιμής των αξιόγραφων Ας υποθέσουμε ότι η τιμή μιας μετοχής στο χρόνο t, S(t), είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί κάποια κατανομή πιθανότητας. Σε ένα μελλοντικό χρόνο, (t + dt), η τιμή της μετοχής θα είναι S(t)+ d S(t). Η ενδιαφέρουσα ποσότητα δεν είναι τόσο η τιμή αυτή καθαυτή, όσο η απόδοση στην οποία αναφέρεται το ακόλουθο υπόδειγμα. Η απόδοση της μετοχής σε κάποιο μελλοντικό χρόνο, ds S, αποτελείται από δύο κομμάτια ως ακολούθως: ds S = µ dt + σdx Το πρώτο κομμάτι µ dt είναι προβλέψιμο και προκαθορισμένο, καθώς το µ αποτελεί τη μέση απόδοση του αξιόγραφου (ρυθμός μεταβολής της τιμής ή τάση). Το δεύτερο κομμάτι σ dx περιγράφει τη στοχαστική φύση της μελλοντικής απόδοσης, δηλαδή τυχαίες μεταβολές που οφείλονται σε εξωγενείς παράγοντες, όπως απροσδόκητα νέα. Για αυτό και η διαδικασία ανέλιξης της τιμής των αξιογράφων καθίσταται στοχαστική, εν ολίγοις, μη προβλέψιμη. Το σ είναι η τυπική απόκλιση ή μεταβλητότητα (volatility) των αποδόσεων. Πρόκειται για ένα μέγεθος που στην πράξη λαμβάνει θετική τιμή. Όσο για το dx, είναι ο όρος που αντικατοπτρίζει την τυχαιότητα στην όλη διαδικασία, γνωστός ως κίνηση Brown και πρόκειται για μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 0 και διακύμανση dt. - 1 -

dx = Z dt όπου το Z είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή με μέσο 0 και διακύμανση 1. Το εν λόγω υπόδειγμα ανέλιξης της τιμής ανήκει σε μια ευρύτερη κατηγορία υποδειγμάτων που ονομάζονται τυχαίοι περίπατοι. Η υπόθεση για την κατανομή που ακολουθεί το dx καθορίζει και το είδος του τυχαίου περίπατου. Εν προκειμένω, τα άλματα dx είναι κανονικά, άρα κανονικά θα είναι και τα άλματα του ds S. Υπόθεση Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου (r) και η μεταβλητότητα της τιμής του πρωτογενούς τίτλου (σ) είναι γνωστές συναρτήσεις του χρόνου κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος. Μάλιστα, στην απλούστερη μορφή του υποδείγματος, τα r και σ είναι γνωστές σταθερές, δηλαδή δε μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος. Υπόθεση 3 Δεν υπάρχουν κόστη συναλλαγών ή φόροι με τους οποίους να επιβαρύνονται οι αγοραπωλησίες τίτλων. Υπόθεση 4 Ο πρωτογενής τίτλος δεν πληρώνει μέρισμα κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος. Υπόθεση 5 Δεν υπάρχουν δυνατότητες αρμπιτράζ. Υπόθεση 6 Οι συναλλαγές που αφορούν τον πρωτογενή τίτλο μπορούν να γίνονται σε διακριτό χρόνο. Υπόθεση 7 Επιτρέπονται οι πωλήσεις με αρνητική θέση (short selling) και οι τίτλοι είναι απείρως διαιρέσιμοι. Βάσει των παραπάνω υποθέσεων, η τιμή Black-Scholes ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς δίνεται από τη σχέση BS C ( St,) = SΦ( d) e KΦ ( d) (4.1) r ( T t) 1 Η τιμή Black-Scholes ενός αντίστοιχου Ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης δίνεται από τη σχέση P St = e KΦ d SΦ d (4.) BS r ( T t) (,) ( ) ( 1) όπου, d 1 = S K 1 + + σ σ T t log( ) ( r )( T t) (4.3) - -

d = d σ T t = 1 S K 1 + r σ T t σ T t log( ) ( )( ) (4.4) όπου, Φ (.) : η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, δηλαδή της κανονικής κατανομής με μέσο 0 και διακύμανση 1. Τουτέστιν, Φ ( d1) = Pr( z d1), με z μια τυποποιημένη κανονική μεταβλητή S η τιμή του υποκείμενου τίτλου στο χρόνο t K η τιμή εξάσκησης του δικαιώματος T-t ο χρόνος ως τη λήξη του δικαιώματος (σε έτη) σ η μεταβλητότητα της τιμής του υποκείμενου τίτλου r το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου Για τους υπολογισμούς που θα ακολουθήσουν, να σημειώσουμε ότι ισχύουν τα εξής: Φ( d ) = 1 Φ ( d ) 1 1 Φ( d ) = 1 Φ ( d ) Σε αυτό το σημείο, αξίζει να υπογραμμίσουμε ότι η τιμή Black-Scholes είναι μια θεωρητική τιμή, με την έννοια ότι είναι πιθανό να έρχεται σε διάσταση με την τιμή που παρατηρείται στην πραγματική αγορά του παραγώγου. Όπως, λοιπόν, είναι φανερό από τους παραπάνω τύπους των Black-Scholes, η τιμή ενός δικαιώματος εξαρτάται από ένα πλήθος παραγόντων. Κάθε φορά που μεταβάλλεται η τιμή μιας ή περισσότερων εκ των παραμέτρων αυτών, θα μεταβάλλεται και η τιμή του δικαιώματος. Στην ουσία, κάνουμε λόγο για το πόσο ευαίσθητη είναι η τιμή του παραγώγου στις μεταβολές των τιμών των παραμέτρων. Οι ευαισθησίες αυτές, όπως έχει επικρατήσει να ονομάζονται, αποτελούν σίγουρα μια πολύ σημαντική γνώση στα άτομα που διαχειρίζονται χαρτοφυλάκια. Υπάρχουν διαφόρων ειδών ευαισθησίες. Από τις πιο γνωστές, με τις οποίες θα ασχοληθούμε εκτενώς στη συνέχεια, είναι το δέλτα, το γάμμα και το θήτα. Τους τύπους από τους οποίους υπολογίζονται θα εξετάσουμε ευθύς αμέσως, εφόσον κρίνεται απαραίτητο για την ανάλυση των επόμενων προσεγγίσεων. 4.1.1.1 Εφαρμογή του υποδείγματος Black-Scholes Είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την αξία καθενός από τα τρία χαρτοφυλάκια του υποδείγματος, βασιζόμενοι στη φόρμουλα που μας παρέχουν οι Black-Scholes για την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς και ενός δικαιώματος πώλησης. Στόχος μας στα διαγράμματα που θα ακολουθήσουν είναι να απεικονίσουμε γραφικά τη σχέση ανάμεσα στην τιμή του υποκείμενου τίτλου (S) και στην αξία του κάθε χαρτοφυλακίου. Οπότε, δίνουμε ένα εύρος τιμών στο S και, βάσει αυτού, καθώς και των δεδομένων του πίνακα, υπολογίζουμε τις ακόλουθες παραμέτρους. - 3 -

ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟ 1 d 1 S 1 S 1 + + σ + + K 101 = = σ T t 0,3 60 / 365 ln r ( T t) ln 0,1 0,3 (60 / 365) ( ) ( ) d = d1 σ T t = d1 0,3 60 / 365 *Σημείωση: Ο χρόνος ως τη λήξη μετατρέπεται από ημερήσιο σε ετήσιο μέγεθος διαιρώντας με τις 365 ημέρες του έτους. Η τιμή του δικαιώματος αγοράς BS C ( S, t) = SΦ( d ) e KΦ ( d ) = SΦ( d ) e 101 Φ ( d ) r ( T t) 0.1 (60/365) 1 1 Η τιμή του δικαιώματος πώλησης BS P ( S, t) = e KΦ ( d ) SΦ ( d ) = e 101 Φ ( d ) SΦ ( d ) r ( T t) 0.1 (60/365) 1 1 ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟ d 1 S 1 S 1 + + σ + + K 101 = = σ T t 0,3 4 / 365 ln r ( T t) ln 0,1 0,3 (4 / 365) ( ) ( ) d = d1 σ T t = d1 0,3 4 / 365 Η τιμή του δικαιώματος αγοράς BS C ( S, t) = SΦ( d ) e KΦ ( d ) = SΦ( d ) e 101 Φ ( d ) r ( T t) 0.1 (4/365) 1 1 Η τιμή του δικαιώματος πώλησης BS P ( S, t) = e KΦ ( d ) SΦ ( d ) = e 101 Φ ( d ) SΦ ( d ) r ( T t) 0.1 (4/365) 1 1-4 -

ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟ 3 d 1 S 1 S 1 + + σ + + K 101 = = σ T t 0,3 60 / 365 ln r ( T t) ln 0,1 0,3 (60 / 365) ( ) ( ) d = d1 σ T t = d1 0,3 60 / 365 Η τιμή του δικαιώματος αγοράς BS 0.1 (60/365) C ( St,) = SΦ( d) e KΦ( d) = SΦ( d ) e 101 Φ ( d ) r ( T t) 1 1 Η τιμή του δικαιώματος πώλησης P St e K d S d BS ( ) (,) r T t = Φ ( ) Φ ( 1) = 101 Φ ( ) Φ ( ) 0.1 (60/365) e d S d1 Τελικά, η αξία κάθε χαρτοφυλακίου θα είναι Ρ V = xv = xc + x P i= 1 i i BS 1 BS Οι ποσότητες των δικαιωμάτων σε κάθε χαρτοφυλάκιο είναι: Για το 1: x 1 = 1και x = 0,5 Για το : x 1 = 1και x = 0,6 Για το 3: x 1 = 1και x = 0,5-5 -

4.1. Δέλτα (γραμμική) προσέγγιση Η εν λόγω προσέγγιση κάνει χρήση της ευαισθησίας δέλτα η οποία ορίζεται ως εξής: Δέλτα Το δέλτα δείχνει πόσο θα μεταβληθεί η τιμή του δικαιώματος ύστερα από μια μικρή μεταβολή της τιμής του υποκείμενου τίτλου. δ = dv ds Ειδικότερα, αν συμβολίσουμε με C την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς και με P την τιμή ενός δικαιώματος πώλησης, τότε το δέλτα για ένα δικαίωμα αγοράς είναι: C δ call = BS = Φ ( d1) S το δέλτα για ένα δικαίωμα πώλησης είναι: P δ put = BS = Φ( d1) S Επί της ουσίας, αν η τιμή του υποκείμενου τίτλου μεταβληθεί κατά 1 μονάδα, η τιμή του παραγώγου θα μεταβληθεί κατά δ μονάδες. Όσον αφορά στο δέλτα ενός χαρτοφυλακίου, ο υπολογισμός του είναι απλός, γιατί ισχύει η γραμμικότητα. Αυτό σημαίνει ότι, έχοντας στη διάθεσή μας τα δέλτα των επιμέρους δικαιωμάτων που συνθέτουν το χαρτοφυλάκιό μας και, στη συνέχεια, αθροίζοντάς τα, εξάγουμε το συνολικό δέλτα του χαρτοφυλακίου. Το συνολικό δέλτα του χαρτοφυλακίου δίνεται από aggregate = x δ = x δcall + x δ put = x Φ ( d ) + x ( Φ( d )) i= 1 i i 1 1 1 1 Μας δείχνει είναι πόσο θα μεταβληθεί η αξία του χαρτοφυλακίου ύστερα από μια μικρή μεταβολή στην αξία του υποκείμενου τίτλου. - 6 -

4.1..1 Εφαρμογή της Δέλτα προσέγγισης Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε την αξία του χαρτοφυλακίου εφαρμόζοντας τη δέλτα προσέγγιση. Σύμφωνα με αυτή, η αξία του χαρτοφυλακίου τη χρονική στιγμή t δίνεται από δ PV ( S ) = PV ( S ) + δ S t 0 = xv ( S ) + xδ ( S S ) i i 0 i i t 0 i= 1 i= 1 Όπου, PV ( S 0) η αξία του χαρτοφυλακίου στο σήμερα (δηλαδή στο S 0 = 100 ). δ το συνολικό δέλτα του χαρτοφυλακίου υπολογισμένο στο S 0 = 100. St S0 η μεταβολή της τιμής του υποκείμενου τίτλου, θεωρώντας, ως αρχική τιμή την S 0 = 100 και ως τελική, S t, την τιμή που λαμβάνει κάθε φορά από το εύρος τιμών που έχουμε εκ των προτέρων ορίσει για το S. - 7 -

4.1.3 Δέλτα-Γάμμα (γραμμική-τετραγωνική) προσέγγιση Η διαφορά της εν λόγω προσέγγισης από την δέλτα είναι η προσθήκη του όρου γάμμα (γ) στον παραπάνω τύπο. Γάμμα Το γάμμα δείχνει πόσο θα μεταβληθεί το δέλτα του δικαιώματος ύστερα από μια μικρή μεταβολή στην τιμή του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου, δηλαδή δ γ = S Ισοδύναμα, μπορεί να οριστεί ως η δεύτερη μερική παράγωγος της τιμής του δικαιώματος ως προς την τιμή του υποκείμενου τίτλου ως V γ = S Επομένως, για ένα δικαίωμα αγοράς το γάμμα είναι: C call BS ϕ( d1) γ = = S St () σ T t Για ένα δικαίωμα πώλησης είναι ομοίως: P put BS ϕ( d1) γ = = S St () σ T t όπου ϕ( d1) είναι η πιθανότητα μια μεταβλητή με μέσο 0 και διακύμανση 1 να ισούται με 1 Δηλαδή ϕ ( d1) = Pr( z = d1) d. Το συνολικό γάμμα του χαρτοφυλακίου δίνεται από ϕ( d1) aggregateγ= xiγi = x1γcall + xγ put = ( x1 + x) i= 1 St () σ T t Μας δείχνει πόσο θα μεταβληθεί το δέλτα του χαρτοφυλακίου ύστερα από μια μικρή μεταβολή στην τιμή του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου. - 8 -

4.1.3.1 Εφαρμογή της Δέλτα-Γάμμα προσέγγισης δ 1 PV ( S ) ( ( ) t = PV S0 ) + δ S + γ S 1 = xv ( S ) + xδ ( S S ) + xγ ( S S ) i i 0 i i t 0 i i t 0 i= 1 i= 1 i= 1 Και πάλι, το συνολικό γάμμα του χαρτοφυλακίου είναι υπολογισμένο στο S 0 = 100. Υπό τη δέλτα προσέγγιση, λαμβάνετο υπόψη μόνο η θετική ή αρνητική σχέση ανάμεσα στην τιμή του χαρτοφυλακίου και την τιμή του υποκείμενου παράγοντα. Τώρα, πια, έχουμε τη δυνατότητα να γνωρίζουμε και την κυρτότητα που υφίσταται ανάμεσα στα δύο αυτά μεγέθη. Θήτα Το θήτα δείχνει πόσο μεταβάλλεται η αξία του δικαιώματος καθώς περνάει ο χρόνος, δηλαδή V Θ= t Ειδικότερα, για ένα call option ορίζεται ως CBS St () σ rt ( t) call ϕ Θ = = ( d1) Kre Φ( d) t T t Για ένα put option είναι PBS St () σ rt ( t) put ϕ Θ = = ( d1) + Kre Φ ( d) t T t Το συνολικό θήτα του χαρτοφυλακίου δίνεται από aggregateθ= x Θ = x Θ call + x Θput i= 1 i i 1 Στους πίνακες που ακολουθούν, η αλλαγή στην αξία του χαρτοφυλακίου που προκαλείται με το πέρασμα του χρόνου τη συμβολίζουμε με µ και υπολογίζεται ως εξής: µ portfolio = x1θcall + t xθput t Όπου portfolio t ο χρονικός ορίζοντας αποτίμησης του VaR. Οι ακόλουθοι πίνακες παρουσιάζουν τους παραπάνω υπολογισμούς που έγιναν υπό την ισχύ των τριών βασικών προσεγγίσεων. Οι αναλυτικοί πίνακες παρατίθενται στο παράρτημα (Β). - 9 -

ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟ 1 S call price put price aggregate δ aggregate γ aggregate μ portfolio value delta approx delta-gamma approximation 95,851595 7,0489-0,068819-0,049396 0,054984-6,454041-5,831809-6,44795 95,5 3,04538 6,89866-0,093609-0,049747 0,056606-6,494641-5,99089-6,485790 96 3,47351 6,600649-0,118551-0,050007 0,058143-6,547675-6,149975-6,541005 96,5 3,457707 6,311005-0,143600-0,050175 0,059590-6,61310-6,309057-6,608440 97 3,67645 6,097-0,168711-0,05051 0,060943-6,69186-6,468140-6,688095 97,5 3,903516 5,756814-0,193837-0,05037 0,06198-6,78193-6,67-6,779969 98 4,138979 5,4977-0,18933-0,050135 0,063354-6,885117-6,786305-6,884063 98,5 4,38797 5,36094-0,43957-0,049945 0,064408-7,000844-6,945388-7,000376 99 4,634937 4,98835-0,68864-0,049671 0,065358-7,19055-7,104470-7,18910 99,5 4,895355 4,748653-0,93614-0,049314 0,06604-7,6968-7,63553-7,69663 100 5,163991 4,51789-0,318165-0,048879 0,066945-7,4636-7,4636-7,4636 100,5 5,440773 4,94070-0,34480-0,048368 0,067580-7,587808-7,581718-7,58788 101 5,75614 4,07891-0,36651-0,047785 0,06811-7,765070-7,740801-7,76540 101,5 6,018419 3,871717-0,39054-0,047134 0,068540-7,95477-7,899884-7,95487 10 6,319079 3,67376-0,413644-0,046419 0,068866-8,15567-8,058966-8,15674 10,5 6,67474 3,480771-0,43666-0,045644 0,06909-8,367859-8,18049-8,370795 103 6,943476 3,96773-0,45979-0,044814 0,0691-8,59186-8,377131-8,597086 103,5 7,66946 3,1043-0,481468-0,043933 0,06956-8,87067-8,53614-8,835597 104 7,597737,951035-0,50304-0,043005 0,069199-9,07354-8,69597-9,08638 104,5 7,935696,788993-0,54466-0,04036 0,069054-9,33019-8,854379-9,34978 105 8,80660,633957-0,54534-0,041030 0,06886-9,597638-9,01346-9,64448 Πίνακας 4. Στα διαγράμματα που θα ακολουθήσουν θα δούμε πώς διαμορφώνεται η σχέση ανάμεσα στην αξία του χαρτοφυλακίου και στην τιμή της υποκείμενης μετοχής, δηλαδή της μετοχής επί της οποίας εγγράφεται το παράγωγο που συνιστά το χαρτοφυλάκιό μας. Αυτή η σχέση θα ιδωθεί κάτω από την οπτική τριών προσεγγίσεων ταυτόχρονα: της Δέλτα, της Δέλτα-Γάμμα και της πραγματικής, την οποία αντιπροσωπεύει το μοντέλο των Black-Scholes. - 30 -

portfolio value 6 3 0 95-3 -6-9 -1 95,5 96 96,5 97 Value of Portfolio 1 97,5 98 98,5 99 stock price 99,5 100 100,5 101 101,5 10 10,5 103 103,5 104 104,5 105 BS delta Διάγραμμα 4.1. Σχέση ανάμεσα στην αξία του χαρτοφυλακίου 1 και την τιμή του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου χρησιμοποιώντας (i) την «πραγματική» (Black-Scholes) μέθοδο και (ii) τη Δέλτα προσέγγιση. portfolio value 6 3 0 95-3 -6-9 95,5 96 96,5 97 97,5 98 98,5 99 99,5 100 100,5 101 101,5 10 10,5 103 103,5 104 104,5 105-1 stock price BS delta delta-gamma Διάγραμμα 4.. Σχέση ανάμεσα στην αξία του χαρτοφυλακίου 1 και την τιμή του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου χρησιμοποιώντας (i) την «πραγματική» (Black-Scholes) μέθοδο, (ii) τη Δέλτα προσέγγιση και (iii) τη Δέλτα-Γάμμα προσέγγιση. Για να εξηγήσουμε τις διακεκομμένες γραμμές του διαγράμματος, πρέπει, πρώτα, να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση της μεταβολής της τιμής ως εξής: - 31 -

Η ετήσια μεταβλητότητα σ = 0,3 που μας δίνεται αφορά τη μεταβλητότητα της απόδοσης της μετοχής και όχι της μεταβολής της τιμής της. Για το χαρτοφυλάκιο 1, ο χρονικός ορίζοντας αποτίμησης του VaR είναι μια μέρα, οπότε πρέπει να βρούμε τη μεταβλητότητα της ημερήσιας μεταβολής της τιμής. Αρχικά, μετατρέπουμε την ετήσια μεταβλητότητα της απόδοσης σε ημερήσια διαιρώντας την με 365. 0,3 σ 1 = = 0,015703 365 Στη συνέχεια, μετατρέπουμε την ημερήσια μεταβλητότητα της απόδοσης σε ημερήσια μεταβλητότητα της μεταβολής της τιμής πολλαπλασιάζοντας την με S 0. σ = σ * S = 0,015703*100 S 1 1 0 S σ 1 = 1, 5703 Οι κάθετες διακεκομμένες γραμμές του διαγράμματος αντιστοιχούν στο σημείο ± 1τυπική απόκλιση S από την τιμή της μετοχής S 0 = 100. Η τυπική απόκλιση είναι το σ 1 = 1,5703 που βρήκαμε παραπάνω. Επομένως, η δεξιά κάθετη γραμμή αντιπροσωπεύει το σημείο S0 + σ S 1 = 100 + 1,5703 = 101,5703 Η αριστερή κάθετη γραμμή στα αντιπροσωπεύει το σημείο S0 σ S 1 = 100 1,5703 = 98, 497 Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η καμπύλη Δέλτα-Γάμμα σχεδόν ταυτίζεται με την πραγματική Black- Scholes. Ωστόσο, και η Δέλτα μέθοδος αποδίδει αρκετά ικανοποιητικά για ένα μεγάλο εύρος τιμών του υποκείμενου τίτλου. Σε μια τέτοια περίπτωση, δεν αναμένουμε ότι η μέθοδος Δέλτα-Γάμμα θα αποδώσει πολύ καλύτερα από τη Δέλτα, εφόσον και η τελευταία αποδεικνύεται επαρκής. Αρκεί, λοιπόν, το VaR να εξαχθεί μέσω της γραμμικής προσέγγισης, ούτως ώστε να εξαχθούν ικανοποιητικά αποτελέσματα, εννοώντας ότι θα προσεγγίζουν κατά πολύ την πραγματική τιμή που αντιπροσωπεύει το μοντέλο των Black-Scholes. - 3 -

ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟ S call price put price aggregate δ aggregate γ aggregate μ portfolio value delta approx delta-gamma approximation 85 0,753 15,0717 0,499349-0,0864 0,043501-9,7086 -,88660-9,97565 85,5 0,6054 14,605011 0,487439-0,04785 0,05997-9,03549-3,007707-9,587097 86 0,97705 14,14174 0,474554-0,06768 0,075948-8,783009-3,18813-9,674 86,5 0,339051 13,68350 0,460663-0,08801 0,09340-8,54916-3,49918-8,953099 87 0,384897 13,9366 0,445745-0,030877 0,111668-8,3517-3,37104-8,659570 87,5 0,435569 1,780038 0,49781-0,03985 0,130641-8,10359-3,4919-8,381687 88 0,491395 1,335864 0,41757-0,03511 0,15074-7,89913-3,61335-8,119451 88,5 0,55707 11,897176 0,394667-0,03747 0,170499-7,69101-3,734340-7,8786 89 0,619839 11,464308 0,375511-0,039378 0,19135-7,49843-3,855446-7,641919 89,5 0,69313 11,03759 0,3559-0,041491 0,1397-7,315679-3,976551-7,4663 90 0,77890 10,617360 0,33404-0,043574 0,33891-7,143306-4,097657-7,6974 90,5 0,859465 10,03935 0,31175-0,045614 0,55619-6,98186-4,1876-7,04971 91 0,953167 9,797636 0,8840-0,047596 0,77476-6,831749-4,339868-6,874614 91,5 1,054305 9,398774 0,64140-0,049510 0,99356-6,693569-4,460973-6,71905 9 1,163177 9,007646 0,3894-0,051341 0,31149-6,567765-4,58079-6,58484 9,5 1,80070 8,64539 0,1815-0,053078 0,3474-6,454793-4,703184-6,46345 93 1,40555 8,4974 0,185864-0,054710 0,36404-6,355090-4,8490-6,357655 93,5 1,538987 7,883456 0,15815-0,0566 0,384884-6,69061-4,945395-6,6753 94 1,681503 7,5597 0,19659-0,057617 0,40514-6,197086-5,066501-6,193055 94,5 1,833019 7,177489 0,100530-0,058874 0,44907-6,139513-5,187606-6,1344 95 1,993733 6,8380 0,070808-0,059990 0,443864-6,096655-5,30871-6,091041 95,5,163818 6,50888 0,040565-0,060957 0,461988-6,068791-5,49817-6,063504 96,34346 6,187896 0,009876-0,061773 0,479190-6,056164-5,5509-6,051613 96,5,53684 5,877153-0,01181-0,06431 0,495389-6,058976-5,6708-6,055369 97,731695 5,576164-0,0558-0,06930 0,51051-6,077393-5,793133-6,07477 97,5,940536 5,85005-0,084084-0,06368 0,5449-6,111539-5,91439-6,10981 98 3,15961 5,003730-0,115769-0,063446 0,53775-6,161498-6,035344-6,160517 98,5 3,387897 4,73366-0,147503-0,063463 0,548814-6,7316-6,156450-6,6860 99 3,66447 4,470916-0,17906-0,06333 0,55907-6,308996-6,77555-6,308849 99,5 3,874889 4,19358-0,10801-0,063030 0,56804-6,406504-6,398661-6,406484 100 4,133178 3,977647-0,411-0,06586 0,575654-6,519766-6,519766-6,519766 100,5 4,40144 3,745713-0,73363-0,061999 0,581954-6,64867-6,64087-6,648695 101 4,678996 3,53465-0,304187-0,06173 0,58697-6,793075-6,761977-6,79371 101,5 4,96630 3,310789-0,334615-0,060417 0,590588-6,95793-6,883083-6,953493 10 5,6308 3,107551-0,364584-0,059438 0,59955-7,17613-7,004188-7,19361 10,5 5,569130,913600-0,394034-0,058344 0,594060-7,31790-7,1594-7,30876 103 5,88493,78763-0,4910-0,057144 0,593940-7,51551-7,46399-7,58038 103,5 6,08384,55853-0,45116-0,055848 0,59638-7,740096-7,367505-7,750846 104 6,54100,385669-0,478744-0,054465 0,59007-7,97601-7,488610-7,989301-33 -