I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ 1.1 Noţiuni fundamentale Mecanica este una dintre ştiinţele fundamentale ale naturii, având ca obiect studiul legilor obiective ale echilibrului şi mişcării mecanice a sistemelor materiale. Mişcarea mecanică reprezintă cea mai simplă formă de mişcare a materiei. Ea are loc în spaţiu şi timp, constând în schimbarea poziţiei unui corp material faţă de un reper ales pentru studiul mişcării sau faţă de un alt corp material. Obiectul cursului îl constituie mecanica clasică sau mecanica newtoniană, ce are ca fondatori pe savantul italian Galileo Galilei (1564-1642) şi pe fizicianul, matematicianul şi astronomul englez Isaac Newton (1642-1727). În mecanica clasică se studiază legile mişcării corpurilor a căror viteză este mică în comparaţie cu viteza undelor electromagnetice 1 km în vid ( c = 299 793 ). εoμo s Mecanica newtoniană operează cu trei noţiuni fundamentale : spaţiul, timpul şi masa, considerând că sunt absolut independente una faţă de alta. În accepţiune generală, spaţiul şi timpul sunt noţiuni primare, ireductibile la noţiuni mai simple, reprezentând forme obiective de existenţă ale materiei în mişcare. Astfel, în mecanica clasică, se consideră că: Spaţiul este tridimensional, continuu şi izotrop; Timpul este continuu şi omogen ; Masa reprezintă o mărime scalară pozitivă, care reflectă proprietăţile inerţiale şi de gravitaţie ale corpurilor materiale, fiind invariabilă cu viteza corpurilor. 11
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii Ca modele teoretice de reprezentare a corpurilor materiale, în mecanica newtoniană se folosesc: particula materială ( punctul material ) şi corpul rigid. Particula materială este un corp rigid ale cărui dimensiuni se pot neglija în raport cu alte mărimi aferente problemei studiate şi care nu efectuează mişcări de rotaţie în jurul vreunei axe ce trece prin corp. Pentru a deosebi punctul geometric de punctul material, acestuia din urmă i se atribuie întotdeauna şi masă. Corpul rigid este un corp material, având distanţe invariabile între punctele din care este constituit. Astfel, deşi în natură nu există corpuri perfect rigide (corpurile reale fiind întotdeauna deformabile), modelul fundamental în mecanica clasică este mediul continuu solid şi nedeformabil, numit şi solidul lui Euclid sau solid rigid. Corpurile materiale se prezintă uneori sub forme particulare, cărora le corespund modele adecvate. Astfel, dacă una din dimensiunile corpului (grosimea), este relativ mică în raport cu celelalte două (lăţimea şi lungimea), ea poate fi neglijată şi corpul este reprezentat prin modelul mecanic numit suprafaţă materială - având ca elemente o suprafaţă geometrică finită şi o masă finită distribuită pe toată întinderea ei (exemple de suprafeţe materiale în tehnică sunt plăcile şi membranele). Dacă, însă, două dintre dimensiunile corpului se pot neglija în raport cu a treia, corpul este reprezentat printr-un model mecanic numit linie materială - având drept elemente o linie geometrică cu lungime finită şi o masă distribuită în lungul ei (ca exemple de linii materiale în tehnică, se pot considera barele şi firele). Prin stări mecanice ale unui corp material, se înţeleg mişcarea sau repausul respectivului corp, faţă de un sistem de referinţă. Starea mecanică a unui corp material se poate modifica numai datorită acţiunii altui corp, iar măsura acestei interacţiuni între corpurile materiale, se numeşte forţă. Forţele care acţionează asupra punctelor materiale se caracterizează prin punct de aplicaţie, direcţie, sens şi modul (mărime), reprezentându-se prin vectori legaţi, iar forţele care acţionează asupra corpurilor rigide se consideră vectori alunecători. Forţele se pot clasifica în două categorii : forţe exterioare şi forţe interioare. Forţele exterioare sunt forţele cu care corpuri din afara sistemului, acţionează asupra sistemului; forţele interioare sunt acele forţe cu care interacţionează diferite părţi ale unui sistem. 12
NOŢIUNI FUNDAMENTALE. DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII. SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ După un alt criteriu de clasificare, forţele ce acţionează asupra unui sistem material pot fi: forţe direct aplicate şi forţe de legătură sau reacţiuni. Forţele direct aplicate sunt forţe în general cunoscute, ce se aplică corpurilor; de exemplu: greutatea, forţa de frecare, forţa elastică, forţele electromagnetice. Forţele de legătură sunt forţele cu care legăturile unui corp material se opun mişcării respectivului corp pe anumite direcţii, aceste mişcări fiind blocate prin existenţa legăturilor. Forţele de legătură se mai numesc şi reacţiuni, şi în probleme sunt de obicei necunoscute. 1.2 Diviziunile mecanicii Mecanica newtoniană are un caracter unitar dar, din punct de vedere metodologic, se poate diviza în următoarele părţi : Statica, Cinematica şi Dinamica. Statica - studiază echilibrul corpurilor materiale, analizând sistemele de forţe care îşi fac echilibrul, precum şi reducerea acestora. Cinematica - efectuează un studiu geometric al mişcării corpurilor fără a ţine seama de forţele care acţionează asupra lor şi nici de masa corpurilor. Dinamica - capitolul cel mai complex al mecanicii, tratează mişcarea corpurilor ţinând seama de forţele care o generează precum şi de masa lor. 1.3 Principiile mecanicii clasice Mecanica clasică este bazată pe un număr de principii (legi sau axiome) a căror primă formulare în formă definitivă aparţine savantului Isaac Newton (1642-1727), considerat ca fondator al mecanicii care îi poartă numele. Principiul inerţiei (legea I) Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă atâta timp cât nu intervin alte forţe care să modifice această stare. Principiul acţiunii forţei (legea a II-a) Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este dirijată după linia de acţiune a forţei. 13
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii Pe baza acestui principiu, Newton a stabilit legea fundamentală a mecanicii: F = m a, arătând că acţiunea exercitată de o forţă asupra unui punct material este independentă de viteza acestuia şi de acţiunea simultană a altor forţe. Principiul acţiunii şi reacţiunii (legea a III-a) Oricărei acţiuni îi corespunde totdeauna o reacţiune egală şi contrară sau acţiunile reciproce a două puncte materiale sunt totdeauna egale şi îndreptate în sens contrar (principiul egalităţii acţiunii şi reacţiunii). Dacă un punct material A acţionează asupra unui punct material B cu o anumită forţă, atunci punctul material B va acţiona asupra punctului material A cu o forţă egală şi de sens contrar. Una dintre forţe se numeşte acţiune, iar cealaltă, reacţiune. Acest principiu este valabil atât în cazul în care punctele A şi B coincid, A B = M, ca în fig.1.1a, cât şi în cazul în care punctele A şi B nu coincid, fig.1.1b. a. b. Fig.1.1 Principiul egalităţii acţiunii şi reacţiunii Principiul paralelogramului forţelor (numit de Newton Corolarul I): Dacă asupra unui punct material M acţionează simultan două forţe concurente F 1 şi F 2, efectul lor este acelaşi cu al unei singure forţe R, având modulul şi sensul diagonalei paralelogramului construit pe cele două forţe ca laturi (fig.1.2). Fig.1.2 Principiul paralelogramului 14
NOŢIUNI FUNDAMENTALE. DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII. SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ Forţa R se numeşte rezultanta forţelor F 1 şi F 2, şi este : R = F1 + F 2 (1.1) În mecanica clasică, pentru studiul legilor obiective ale echilibrului şi mişcării mecanice a sistemelor materiale, se utilizează şi o serie formulări derivate ale principiilor fundamentale. Astfel, statica de exemplu, îşi propune să rezolve următoarele probleme: problema reducerii sistemelor de forţe, în care, fiind dat un sistem de forţe ce acţionează asupra unui corp, se determină cel mai simplu sistem de forţe echivalent cu sistemul dat; problema echilibrului sistemelor de forţe, în care, fiind dat un sistem de forţe ce acţionează asupra unui corp, se caută determinarea condiţiilor pe care trebuie să le îndeplinească forţele sistemului pentru ca acesta să rămână în echilibru. Principiile staticii, utilizate pentru rezolvarea celor două probleme enunţate, sunt: a. Principiul independenţei acţiunii forţelor: Dacă un sistem de forţe acţionează asupra unui punct material, acţiunea unei forţe este independentă de acţiunea celorlalte forţe. b. Principiul corpului rigid : Dacă asupra unui corp rigid acţionează în punctele A şi B, două forţe F A şi F B, având acelaşi suport AB, module egale şi sensuri contrare ca în fig.1.3, ele alcătuiesc un sistem de forţe în echilibru. Fig. 1.3 Principiul corpului rigid c. Principiul forţelor de legătură (sau axioma legăturilor) : Axioma legăturilor, postulează că orice legătură la care este supus un corp material, poate fi suprimată, cu condiţia înlocuirii ei cu elemente mecanice corespunzătoare (forţe, momente), numite forţe de legătură sau reacţiuni. Aceste forţe de legătură produc asupra corpului rigid acelaşi efect ca şi legăturile înlocuite; ca urmare, corpul este considerat liber şi, în consecinţă, echilibrul său se studiază cu ecuaţiile stabilite pentru corpul rigid liber. 15
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii 1.4 Sisteme şi unităţi de măsură. Mărimi şi unităţi fundamentale şi derivate Pentru a putea studia mărimile fizice, în tehnică s-au stabilit diferite procedee de măsurare şi s-au fixat o serie de unităţi de măsură. Dintre mărimile fizice, se pot alege un număr restrâns de mărimi fizice independente, numite mărimi fundamentale, în funcţie de care se pot exprima celelalte mărimi, numite mărimi derivate. Unităţile de măsură corespunzătoare celor două categorii de mărimi se numesc unităţi de măsură fundamentale, respectiv unităţi de măsură derivate. În tehnică s-au utilizat de-a lungul timpului, două sisteme de unităţi de măsură : sistemul fizic (având ca mărimi fundamentale lungimea, timpul şi masa) ; sistemul tehnic (având ca mărimi fundamentale lungimea, timpul şi forţa). În ţara noastră, prin STAS 737-62, a fost introdus ca obligatoriu SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ (SI). Cele 7 mărimi fundamentale şi unităţile fundamentale aferente ale (SI) sunt specificate în tabelul 1.1 iar mărimile suplimentare şi unităţile de măsură aferente, în tabelul 1.2. Tabelul 1.1 Mărimi şi unităţi fundamentale f în (SI) Nr Mărimea fundamentală (SI) Unitatea de măsură Simbolul 1 Lungime metru m 2 Masa kilogram kg 3 Timp secunda s 4 Intensitatea curentului electric amper A 5 Temperatura termodinamică kelvin K 6 Intensitatea luminoasă candela cd 7 Cantitatea de substanţă mol mol Nr Mărimi şi unităţi suplimentare în (SI) Tabelul 1.2 Mărimea suplimentară (SI) Unitatea de măsură Simbolul 1 Unghiul plan radian rad 2 Unghiul solid steradian sr 16
NOŢIUNI FUNDAMENTALE. DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII. SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ Unităţile derivate utilizate mai frecvent, sunt: - unitatea de forţă : newtonul (N), care reprezintă forţa care imprimă unei mase de 1kg., o acceleraţie de 1m/s 2 ; - unitatea de lucru mecanic : joule-ul (J), care reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forţă de 1N, ce se deplasează cu 1 m pe suportul său; - unitatea pentru presiune : pascalul (Pa), care reprezintă presiunea exercitată de o forţă de 1N, pe 1 m 2. Unităţile derivate se pot exprima în funcţie de unităţile fundamentale prin relaţii matematice numite ecuaţii de dimensiuni. Ecuaţia de dimensiuni a unei mărimi derivate, în SI, are forma : [D] = L α M β T γ (1.1) unde α, β, γ pot fi numere pozitive, negative, întregi, fracţionare sau nule. De exemplu : aria [A] = L 2 viteza [v] =LT -1 acceleraţia [a] = LT -2 lucrul mecanic [L] = ML 2 T -2 Ecuaţiile de dimensiuni prezintă importanţă îndeosebi atunci când în calcule este necesară trecerea de la un sistem de unităţi de măsură la altul, deoarece conform principiului omogenităţii, două mărimi fizice pot fi egale cu condiţia să aibă aceeaşi ecuaţie de dimensiuni. Aplicarea acestui principiu permite stabilirea şi verificarea unor formule, determinarea naturii unor mărimi, etc. Principalele mărimi mecanice şi geometrice utilizate în mecanică, precum şi simbolul, ecuaţiile lor de definiţie şi unităţile de măsură aferente, în SI, sunt prezentate în tabelul 1.3 : 17
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii Tabelul 1.3 Mărimi mecanice şi geometrice utilizate în mecanică Mărimea Simbol Ecuaţia de definiţie Dimensiuni în SI Unitatea de măsură în SI Lungimea l - L m Masa m - M kg Timpul t - T s Aria A A=l 2 L 2 m 2 Volumul V V=l 3 L 3 m 3 Viteza v v = r& LT -1 m/s Acceleraţia a a = & r LT -2 m/s 2 Vit. unghiulară ω ω = θ T -1 rad/s Acc. unghiulară ε ε = θ& T -2 rad/s 2 Forţa F F = m a LMT -2 N Momentul forţei M M = r x F L 2 MT -2 Nm Lucrul mecanic L L = F l = = F l cos α Momente de inerţie - mecanice J = L 2 MT -2 2 J L 2 M kg m 2 m i l i 2 - geometrice I = A i l i L 4 m 4 Impulsul H H = m v LMT -1 kg m/s Mom. cinetic K K = r x mv L 2 MT -1 kg m 2 /s Energia cinetică E E = mv 2 /2 L 2 MT -2 J Frecvenţa F f = 1/T T -1 Hz (s- 1 ) Presiunea p p=f/a L -1 MT -2 Pa (N/m 2 ) J 18
NOŢIUNI FUNDAMENTALE. DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII. SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ Prefixele pentru principalii multipli şi submultipli zecimali ai unităţilor SI sunt prezentate în tabelul 1.4. Tabelul 1.4 Prefixe SI Prefix tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico Factor de multiplicare 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 Simbol T G M k h da d c m μ n p Pentru efectuarea transformărilor în SI a altor unităţi de măsură, factorii de conversie sunt înscrişi în tabele 1.5-1.8. Tabelul 1.5 Unităţi de lungime Unităţi m inches feet yards mile m 1 39,3701 3,28084 1,09361 6,21388 10 4 inches 2,54 10-2 1 8,3333 10-2 2,7778 10-2 1,57828 10-5 feet 3,048 10-1 12 1 3,3333 10-1 1,89394 10-4 yards 9,1444 10-1 36 3 1 5,68182 10-4 mile 1609,34 10 6 63360 5280 1760 1 Tabelul 1.6 Unităţi de masă Unităţi g oz Pound (lbm) g 1 3,5274 10-2 2,20462 10-3 oz 28,3495 1 6,25 10-2 Pound (lbm) 453,592 16 1 Tabelul 1.7 Unităţi de presiune Unităţi Pa N/mm 2 bar kp/cm 2 torr Pa 1 10-6 10-5 1,02 10-5 7,5 10-3 N/mm 2 10 6 1 10 10,2 7,5 10-3 bar 10 5 0,1 1 1,02 7,5 10 3 kp/cm 2 98100 9,81 10-2 0,981 1 736 torr 133 0,133 10-3 1,33 10-3 1,36 10-3 1 Tabelul 1.8 Unităţi de energie Unităţi J Wh kp m kcal J 1 2,77778 10-4 1,01972 10-1 2,38846 10-4 Wh 3600 1 367,098 8,59845 10-1 kp m 9,80665 2,72407 10-3 1 2,34228 10-3 kcal 4186,8 1,163 426,935 1 19
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii 20