Brutus Demşoreanu. - cu aplicaţii -

Transcript

1 Brutus Demşoreanu Mecanică teoretică - cu aplicaţii - TIMIŞOARA 00

2 Tehnoredactarea în L A TEX ε aparţine autorului. Copyright c 00, B. Demşoreanu

3 Cuprins I Mecanică raţională 7 1 Concepte generale Scurt istoric Spaţiul, timpul, mişcarea Masa Forţa Cinematica punctului Principiile Galilei-Newton 31.1 Enunţuri Problema determinării mişcării Mişcarea relativă Sisteme inerţiale. Grupul lui Galilei Dinamica punctului material Integralele prime ale mişcării Teoreme generale Teorema impulsului Teorema momentului cinetic Teorema energiei Teorema virialului Dinamica punctului supus la legături Dinamica sistemelor de puncte materiale Teoreme generale Teorema impulsului şi teorema mişcării centrului de masă Teorema momentului cinetic Teorema energiei Solidul rigid Precizarea poziţiei rigidului în spaţiu Gradele de libertate ale rigidului Matricea de rotaţie Unghiurile Euler. Vectorul rotaţie Elemente de cinematica rigidului

4 4 CUPRINS 5..1 Mişcarea de translaţie Mişcarea de rotaţie Mişcarea generală a rigidului Momente de inerţie. Caracteristici dinamice ale rigidului Momentul de inerţie al rigidului în raport cu o axă Elipsoidul de inerţie Impulsul, momentul cinetic şi energia cinetică Dinamica solidului rigid Ecuaţiile de mişcare ale rigidului Mişcarea rigidului cu axă fixă Mişcarea rigidului cu punct fix Mecanica mediilor continue deformabile Noţiuni fundamentale şi principii generale Conceptul de particulă materială Ecuaţia de continuitate a masei Caracteristici dinamice şi teoreme generale Teoria geometrică a micilor deformaţii Vectorul deplasare Tensorul de deformaţie Tensorul vitezelor de deformaţie Tensorul tensiunilor Ecuaţiile de mişcare ale lui Cauchy Ecuaţiile mediilor elastice Relaţii dintre tensiuni şi deformaţii Legea generalizată a lui Hooke Constante elastice fundamentale Ecuaţiile de mişcare şi de echilibru ale mediului elastic Torsiunea barelor cilindrice Unde elastice Elemente de mecanica fluidelor Legi constitutive şi ecuaţii de mişcare Fluide ideale Mişcări potenţiale plane Fluide vâscoase. Formula lui Stokes II Mecanică analitică 9 9 Bazele mecanicii analitice Legături şi deplasări Determinarea mişcării. Axioma legăturilor ideale Ecuaţia generală a dinamicii

5 CUPRINS Principiul deplasărilor virtuale Sisteme olonome Coordonate generalizate. Spaţiul configuraţiilor Ecuaţiile Lagrange pentru sisteme olonome Teorema energiei - forţe potenţiale şi nepotenţiale Sisteme naturale Funcţia lui Lagrange Impulsuri generalizate. Coordonate ciclice Teoreme generale şi legi de conservare Sisteme neolonome Ecuaţiile Lagrange pentru sisteme neolonome Problema celor două corpuri Masa redusă. Problema echivalentă Mişcarea în câmp central Ecuaţiile mişcării Studiul traiectoriilor Ecuaţia lui Binet Mişcarea kepleriană Mişcarea pe o traiectorie eliptică. Legile lui Kepler Ciocniri elastice Cinematica ciocnirilor elastice Împrăştierea particulelor într-un câmp de forţe centrale Mici oscilaţii în vecinătatea poziţiei de echilibru Stabilitatea poziţiei de echilibru Studiul micilor oscilaţii Oscilaţiile proprii ale unui sistem conservativ Oscilaţii amortizate Oscilaţii forţate Ecuaţiile lui Hamilton Spaţiul fazelor. Funcţia lui Hamilton Coordonate ciclice Metoda lui Routh Parantezele Poisson Principii variaţionale. Invarianţi integrali Principiul lui Hamilton Forma canonică a principiului lui Hamilton Invarianţi integrali Variaţii asincrone. Teorema Noether Invariantul integral fundamental Poincaré-Cartan Invariantul integral universal Poincaré

6 6 CUPRINS Teorema lui Liouville Principiul minimei acţiuni Integrarea sistemului canonic Transformări canonice Ecuaţiile transformărilor canonice Criterii de canonicitate Metoda Hamilton-Jacobi Ecuaţia şi teorema Hamilton-Jacobi Metoda separării variabilelor Variabilele acţiuni-unghiuri Bibliografie 465

7 I. Mecanică raţională

8

9 Capitolul 1 Concepte generale 1.1 Scurt istoric Mecanica se ocupă cu studiul mişcării sistemelor materiale ţinând seama, dacă este cazul, de forţele care o pot influenţa. Prin mişcare se înţelege schimbarea poziţiei relative a unui sistem, deci o deplasare în spaţiu. Echilibrul fiind o poziţie particulară a sistemului material, va fi studiat tot în cadrul mecanicii. Prin sistem material se înţelege un mod de organizare a materiei caracterizat prin proprietăţi de structură, de formă şi de răspuns la acţiunile exterioare. Prin materie se înţelege realitatea obiectivă de care luăm la cunoştinţă prin intermediul senzaţiilor, percepţiilor şi gândirii. În definiţiile enunţate mai sus au fost deja folosite explicit sau implicit unele noţiuni fundamentale ca spaţiul, timpul, mişcarea, masa, forţa, etc., care sunt forme de existenţă ale realităţii şi se află în strânsă interdependenţă. Pe parcurs, aceste noţiuni vor fi mai bine precizate, deşi caracterul lor va rămâne în continuare relativ, el fiind determinat de nivelul cunoştinţelor noastre la un moment dat. Mecanica este prima din teoriile despre natură care s-a constituit ca ştiinţă, ea fiind cea care a realizat pentru întâia oară trecerea de la faza de descriere a unor fenomene la faza de determinare cauzală a lor. Sistemul de noţiuni şi axiome folosit în mecanică, care caracterizează cantitativ, matematic, esenţa unui fenomen, permite ca pe baza cunoaşterii stării sale la un moment dat, să poată fi determinată evoluţia sa ulterioară. În consecinţă modelul matematic al mişcării stă la baza ştiinţei mecanicii. Modelul îşi extrage esenţa din realitate pe calea experimentului, abstractizării şi generalizării, tot experimentul fiind cel care decide asupra valabilităţii rezultatelor. Odată construit modelul matematic, din el pot fi deduse concluzii referitoare la evoluţia fenomenului, însă este evident că nu pot fi deduse decât acele amănunte care există potenţial în noţiunile şi axiomele folosite. Atunci când în urma unui experiment este pus în evidenţă un fenomen care contrazice concluziile deduse matematic din model, va trebui modificat modelul utilizat. Însă modificarea nu trebuie făcută arbitrar, ci astfel încât noul model să explice noul fenomen şi totodată să conducă la aceleaşi rezultate în cazul studiului fenomenelor pentru care vechiul model era adevărat. În acest mod modelele se perfecţionează continuu. Etapa inductivă, de formare a conţinutului modelului matematic este mult mai lungă şi mai dificilă decât etapa deductivă, de extragere a adevărurilor conţinute potenţial în model. 9

10 10 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE În cazul mecanicii etapa inductivă a durat aproape 000 de ani. Unul din motivele pentru care ea a durat atât de mult este acela că deşi bazele mecanicii au fost puse încă în antichitate, gândirea aristotelică şi scolastica evului mediu refuzau în mare măsură experimentul ca mijloc de investigare a realităţii. În acest sens, diferitele speculaţii filosofice se bazau pe ideea că orice formă de mişcare are drept cauză o forţă şi în consecinţă trebuia să existe o legătură cauzală directă între forţă şi viteză. S-a putut renunţa la această dogmă doar atunci când Galilei, bazat pe experimente, a enunţat principiul inerţiei conform căruia dacă asupra unui corp nu acţionează nici o forţă, el se mişcă rectiliniu şi uniform sau rămâne în stare de repaus, în raport cu starea în care se găsea în momentul încetării acţiunii forţei. Odată formulat acest principiu începe o dezvoltare accelerată a mecanicii ca ştiinţă. Consecinţa sa logică imediată era că din moment ce pot exista mişcări şi în absenţa forţelor, legătura cauzală posibilă nu era aceea dintre forţă şi viteză, ci eventual cea dintre forţă şi variaţia vitezei. Al doilea motiv care a întârziat mult dezvoltarea mecanicii l-a constituit lipsa unui aparat matematic adecvat destinat caracterizării cantitative a unui fenomen atât de complex şi de variabil cum este mişcarea. Acest aparat matematic, creat în mare parte de Newton tocmai pentru a putea defini elementele care caracterizează mişcarea, era strict necesar pentru a realiza trecerea de la faza de descriere a fenomenelor la faza de studiu a determinării lor cauzale. Caracterizarea cantitativă a unui fenomen este efectuată prin intermediul unor operaţii de măsurare care constă în asocierea de numere unor mărimi fizice, legile mecanicii exprimându-se prin relaţii între astfel de numere. Mecanica a fost prima dintre ştiinţele naturii în cadrul căreia a fost iniţiată trecerea de la realităţi la simboluri matematice şi invers, devenind astfel posibilă trecerea de la studiul calitativ al faptelor, la studiul lor cantitativ şi cauzal. Determinarea cauzală a fenomenelor de mişcare este sintetizată în principiul conform căruia, atunci când la momente diferite şi în locuri diferite sunt realizate aceleaşi condiţii, fenomenele se reproduc identic. În baza acestui principiu, spaţiul şi timpul reprezintă un cadru omogen şi universal în care se desfăşoară mişcarea. Acest postulat fundamental stă la baza concepţiei newtoniene despre spaţiu şi timp. Legea a doua a lui Newton realizează tocmai definirea cauzală a fenomenului de mişcare. După cum se ştie, primul model al mecanicii a fost construit de Newton care după ce introduce noţiunile de cantitate de materie, cantitate de masă şi forţă, de spaţiu, timp şi mişcare, formulează cele trei legi fundamentale ale mecanicii punctului material. Modelul a fost dezvoltat de Euler care pune bazele mecanicii sistemelor de puncte şi ale mecanicii rigidului. În continuare Lagrange, Cauchy, Navier, Lamé, etc., dezvoltă metodele mecanicii mediilor continue deformabile elastice şi fluide. Principiile mecanicii newtoniene au o formă relativ simplă, însă aplicarea lor la studiul a o serie de probleme concrete conduce de multe ori la dificultăţi greu de depăşit. Aceasta se datoreşte tocmai gradului lor înalt de abstractizare, fapt ce nu este însoţit de o formalizare corespunzătoare, ceea ce a condus pe d Alembert şi Lagrange la elaborarea bazelor mecanicii analitice. Această matematizare extremă a mecanicii sistemelor cu un număr finit de parametri are avantajul că reprezintă o teorie generală suficient de abstractă capabilă să fie aplicată în cele mai diverse cazuri, însă are un revers deloc neglijabil, anume că prin îndepărtarea mecanicii de concret, ea tinde să devină sterilă. După cum se va va remarca, mecanica analitică se ocupă doar în mică măsură de fenomenele mecanice reale, cu frecare.

11 1.. SPAŢIUL, TIMPUL, MIŞCAREA 11 Mecanica analitică reprezintă în fond doar un aspect al mecanicii newtoniene, deoarece se bazează pe aceleaşi principii, ea născându-se din necesităţile de dezvoltare internă a mecanicii. Principial ea nu aduce nimic nou, în schimb prin abstractizare ea pune în evidenţă aspecte noi ale aceluiaşi conţinut. Acesta este motivul pentru care mecanica analitică şi nu cea newtoniană stă la baza unor teorii moderne ca de exemplu fizica statistică, mecanica cuantică, etc. O contribuţie însemnată la dezvoltarea mecanicii analitice şi la completarea ei cu noi rezultate au adus Hamilton, Jacobi, Ostrogradski, Poisson, Poincaré, etc., care au folosit pe scară largă o serie de metode speciale din analiza matematică, cum ar fi calculul variaţiilor, teoria ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi cu derivate parţiale, teoria invarianţilor integrali, etc. Este interesant de observat că prin însăşi concepţia sa, metoda analitică a demonstrat că mecanica se poate dezvolta pornind de la sisteme de axiome diferite. Conţinutul fizic al acestora fiind însă identic, este evident că indiferent de formele şi structurile matematice utilizate, rezultatele vor fi întotdeauna aceleaşi. Avantajul uneia sau alteia dintre metode depinde de aspectul particular al fenomenului pe care dorim să-l scoatem mai bine în evidenţă. Deoarece conţinutul concret al noţiunilor şi axiomelor pe care se construieşte o ştiinţă are un caracter istoric, determinat de nivelul cunoştinţelor la un moment dat, este natural ca pe parcurs să apară fapte care contrazic teoriile anterioare. Aceasta implică reconsiderarea vechilor concepte, deci a modelului care trebuie perfecţionat astfel încât să explice noile fapte şi în acelaşi timp să includă în el şi caracteristicile care explicau rezultatele anterioare. La sfârşitul secolului al XIX-lea, odată cu perfecţionarea metodelor de măsură, au început să fie puse în evidenţă o serie de rezultate experimentale care erau în evidentă contradicţie cu cele obţinute pe baza mecanicii newtoniene, dovedindu-se între altele imposibilitatea aplicării legilor mecanicii la fenomenele electromagnetice. Prin cele două postulate pe care se bazează mecanica relativistă restrânsă, anume covarianţa legilor naturii în raport cu sistemele inerţiale şi respectiv constanţa vitezei luminii în vid, Einstein a modificat însăşi concepţia newtoniană despre spaţiu, timp şi masă. În esenţă spaţiul şi timpul devin două laturi complementare ale unei categorii mult mai generale, anume spaţiul-timp, iar pe de altă parte masa nu mai poate fi considerată o constantă în cursul mişcării, ea variind cu viteza. La viteze mici, teoria relativităţii restrânse conduce la aceleaşi concluzii ca şi mecanica newtoniană. Ulterior aceste idei au fost incluse în teoria relativităţii generale, care cuprinde şi teoria gravitaţiei. 1. Spaţiul, timpul, mişcarea Spaţiul reprezintă proprietatea corpurilor de a avea întindere, de a ocupa un anumit loc şi de a fi aşezate într-un anumit mod printre celelate obiecte ale lumii materiale. Când după o serie de mişcări ale noastre regăsim acelaşi aspect de aşezare şi întindere a corpurilor, zicem că am revenit în acelaşi loc. Ansamblul tuturor locurilor pe care le pot ocupa obiectele lumii materiale poartă numele de spaţiu fizic. Datorită consensului oamenilor asupra locurilor, în mecanica clasică i s-a conferit spaţiului un caracter absolut. Deoarece spaţiul reflectă proprietatea corpurilor de avea lungime, lăţime şi înălţime, sunt necesare şi suficiente doar trei specificaţii pentru a putea preciza poziţia unui loc în spaţiu. Astfel în mecanica clasică se admite că spaţiul are trei dimensiuni şi reprezintă

12 1 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE un cadru la care se raportează mişcarea. Diferitele locuri din spaţiu vor fi desemnate prin puncte, iar punctelor li se asociază un ansamblu de trei numere care reprezintă coordonatele acestora faţă de un sistem de referinţă ales convenabil, de obicei triortogonal. Se admite de asemenea că spaţiul este omogen şi izotrop, deci că este un spaţiu euclidian E 3. Figura 1.1: Vectorul de poziţie al punctului P într-un reper cartezian Poziţia unui punct în spaţiu este caracterizată cu vectorul de poziţie r care este un vector legat şi care într-un reper cartezian are componentele x, y, z. Proprietatea fundamentală a spaţiului E 3 este aceea că distanţa dintre două puncte P 1 (x 1, y 1, z 1 ) şi P (x, y, z ) este dată de expresia : r 1 r = (x 1 x ) + (y 1 y ) + (z 1 z ) (1.1) Pentru nevoile mecanicii se mai face precizarea că spaţiul este nelimitat, continuu şi că un corp poate ocupa orice poziţie. Spre deosebire de mecanica clasică, unde se postulează că spaţiul fizic este un spaţiu euclidian, în mecanica relativistă se admite că spaţiul are o structură determinată de prezenţa materiei, el fiind astfel riemannian. Noţiunea de timp este legată de succesiunea senzaţiilor noastre biologice. Intercalarea acestor senzaţii pe o scară individuală conduce la noţiunea de timp fizic individual care nu este măsurabil în sine. Însă doi indivizi îşi pot sincroniza scările temporale individuale ajungându-se astfel, din aproape în aproape, la conceptul de timp fizic universal. Însă sincronizarea scărilor temporale depinde de modul de transmitere a semnalelor. În mecanica clasică se admite că această transmisie are loc instantaneu şi deci că timpul poate avea un caracter absolut. Definind un eveniment ca un proces elementar care nu are durată, două evenimente pot fi sau simultane, sau succesive. Deoarece mulţimea evenimentelor este ordonată, rezultă că timpul are o singură dimensiune. De asemenea timpul este omogen (se scurge uniform) şi este ireversibil. Alegând un eveniment arbitrar ca origine de la care se măsoară timpul şi notând cu t numărul ce corespunde timpului la care se petrece un eveniment ulterior, atunci t va fi un parametru real şi pozitiv care poate varia continuu, monoton crescător şi poate lua orice valoare. Din punct de vedere matematic acest t reprezintă o variabilă independentă. Admiţând că la fiecare moment punctul poate ocupa altă poziţie, vectorul de poziţie al punctului va fi întotdeauna funcţie de t : r = r(t) (1.)

13 1.3. MASA 13 Se ajunge astfel la noţiunea de mişcare a punctului în raport cu triedrul de referinţă, ecuaţia (1.) reprezentând ecuaţia traiectoriei punctului respectiv. Generalizând noţiunea, vom spune că sistemul A este în mişcare faţă de sistemul B, atunci când distanţele diverselor puncte ale sistemului A la diversele puncte ale sistemului B, variază în timp. Este evident că prin acest enunţ este definită mişcarea unui sistem în raport cu altul, adică o mişcare relativă. Se poate presupune că sistemul B este rigid, adică distanţele dintre oricare două puncte ale sale nu variază şi că acesta este alcătuit din cel puţin trei puncte necoliniare. Un astfel de sistem defineşte în spaţiul E 3 un reper (o poziţie şi o orientare). Dacă distanţele diverselor puncte ale sistemului A la diversele puncte ale sistemului B sunt invariabile în timp, se spune că sistemul A este în repaus faţă de sistemul B. Conform celor de mai sus, este vorba de un repaus relativ. În mecanica clasică se poate vorbi de asemenea şi de mişcare absolută sau repaus absolut, ca despre mişcarea, respectiv repausul sistemului în raport cu un reper presupus fix. În realitate nu se ştie ce însemnă de fapt un reper fix, acesta putând fi considerat astfel doar în anumite circumstanţe simplificatoare şi doar pentru o anumită clasă de mişcări. Trebuie făcută de asemenea observaţia că modelele de spaţiu absolut şi timp absolut, lipsite de structură, pe care le adoptă mecanica clasică, reprezintă doar prime aproximaţii ale realităţii şi de aceea rezultatele obţinute în mecanica clasică sunt valabile doar în anumite circumstanţe, respectiv în cazul unor distanţe şi viteze relativ mici. La studiul mişcării corpurilor cu viteze mari, se renunţă la unele din aceste concepte, rezultatele corecte fiind furnizate de mecanica relativistă. 1.3 Masa Masa reprezintă o proprietate a materiei care se manifestă în toate fenomenele de mişcare. În mecanica clasică pot fi puse în evidenţă două aspecte ale masei, anume masa inertă m i care se manifestă în mişcarea materiei şi reprezintă o măsură a inerţiei unui corp şi masa grea m g = G care se manifestă în cauzele care produc mişcarea. Experienţa va arăta g că din punct de vedere numeric, cele două mase sunt egale. În teoria relativităţii generale se va postula însă că cele două mase sunt egale nu numai cantitativ, ci şi calitativ, deci că ele sunt identice. Se admite că orice punct al spaţiului E 3 este susceptibil de a fi ocupat de materie. Atunci oricărui punct P i se poate asocia o mărime m 0 care poartă numele de masa punctului P şi astfel punctul geometric devine punct material. Masa unui punct material se consideră indivizibilă, ca şi suportul ei. În acest mod pot fi reprezentate masele unor corpuri relativ mici, care nu se rotesc în jurul lor. Dacă avem de a face cu un sistem de puncte P i (i = 1,,..., N) într-o regiune din spaţiu, asociind fiecăruia din aceste puncte câte o mărime m i 0, prin definiţie masa sistemului de puncte materiale va fi : N M = m i (1.3) Un sistem de puncte materiale poate fi deformabil sau nedeformabil, după cum poziţiile relative ale punctelor materiale, unele faţă de altele, se pot modifica sau nu în cursul mişcării.

14 14 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Când fiecare loc dintr-o porţiune conexă D a spaţiului este ocupat de un punct material, sistemul va forma un mediu continuu. Prespunând că în acest spaţiu elementul dv este suportul lui dm, dacă există o funcţie numerică ρ(r, t) 0 continuă cel puţin pe porţiuni astfel încât să se poată scrie dm = ρ(r, t) dv (1.4) atunci funcţia numerică ρ poartă numele de masă specifică sau masa unităţii de volum. Admiţând că oricare ar fi descompunerea lui D în elementele dv, suma elementelor dm va fi întotdeauna aceeaşi, se va putea scrie M = dm = ρ(r, t) dv (1.5) D unde M reprezintă masa conţinută în domeniul D al spaţiului. Mediile continue pot fi la rândul lor nedeformabile şi deformabile. Mediul nedeformabil mai poartă numele de solid rigid sau simplu rigid. Mediile deformabile pot fi atât fluide, cât şi solide, după cum pot sau nu să ia forma vasului în care sunt puse. Corpurile fluide pot fi gazoase dacă au proprietăţi de expansiune, sau lichide dacă sunt practic incompresibile. Formula (1.5) a fost scrisă pentru cazul în care suportul maselor este un domeniu spaţial. Ea îşi păstreză valabilitatea şi în cazul unei suprafeţe materiale însă atunci D va reprezenta acea suprafaţă, ρ masa unităţii de arie, iar dv elementul de suprafaţă. Analog, în cazul unei curbe materiale D va reprezenta acea curbă, ρ masa unităţii de lungime şi dv elementul de arc. Dacă domeniul D este suportul unei unei distribuţii discrete de puncte materiale, pentru a putea calcula masa totală cu ajutorul relaţiei (1.5), va trebui definită o masă specifică pe tot spaţiul, aşa încât rezultatul calculat să fie identic cu cel dat de formula (1.3). În acest scop trebuie utilizată funcţia δ a lui Dirac, care prin definiţie este caracterizată prin proprietăţile : D δ(r r 0 ) F (r) dv = F (r 0 ) D şi D δ(r r 0 ) dv = 1 (1.6) Dacă domeniul D conţine un singur punct material de masă m 0, având vectorul de poziţie r 0, masa specifică definită pe tot domeniul va avea expresia : şi conform definiţiilor (1.5) şi (1.6) rezultă : M = m 0 ρ = m 0 δ(r r 0 ) (1.7) D δ(r r 0 ) dv = m 0 (1.8) Dacă domeniul D conţine i = 1,,..., N puncte materiale de mase m i şi vectori de poziţie r i, atunci masa specifică va avea expresia : N ρ = m i δ(r r i ) (1.9)

15 1.3. MASA 15 iar masa totală calculată cu formula (1.5) va fi : N M = m i δ(r r i ) dv = D N m i (1.10) adică rezultatul calculat cu formula (1.3). În mecanica clasică se presupune că masa unui punct material este constantă : dm = 0. Aceeaşi proprietate se atribuie masei unui element din continuu, precum şi masei dt unui continuu a cărui existenţă poate fi individualizată. Această ipoteză, care se bazează pe principiul conservării materiei, constituie una din deosebirile fundamentale între mecanica clasică şi mecanica relativistă. Centrul de masă Dat fiind un sistem oarecare de puncte materiale, punctul de vector de poziţie r c în raport cu un reper arbitrar cu originea în O, definit de ecuaţia : N N m i r i = m i (r i r c ) = 0 (1.11) poartă numele de centru de masă al sistemului. Aici r i reprezintă vectorii de poziţie ai punctelor P i care alcătuiesc sistemul, în raport cu un reper având originea în C.M.. Este evident că pentru un sistem dat există un singur punct care se bucură de proprietatea (1.11). Figura 1.: Vectorul de poziţie al centrului de masă Într-adevăr, dacă ar exista un alt punct, având vectorul de poziţie r c1 în raport cu acelaşi reper O, care s-ar bucura de proprietatea (1.11), atunci prin scădere rezultă : M M M m i (r i r c ) m i (r i r c1 ) = (r c1 r c ) m i = 0 (1.1) adică r c1 = r c. Folosind definiţia (1.3), din (1.11) rezultă expresia vectorului de poziţie al centrului de masă în raport cu reperul cu originea în O : r c = 1 M N m i r i unde N M = m i (1.13)

16 16 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Componentele carteziene ale vectorului r c (x c, y c, z c ) se obţin proiectând ecuaţia (1.13) pe cele trei axe de coordonate : x c = 1 M N m i x i ; y c = 1 M N m i y i ; z c = 1 M N m i z i (1.14) În cazul unui sistem material continuu care ocupă domeniul D din spaţiu, vectorul de poziţie r c al centrului de masă va fi definit de expresia : r dm = (r r c ) dm = 0 (1.15) de unde folosind (1.4) rezultă : r c = 1 M D D D D r dm = 1 r ρ dv unde M = ρ dv (1.16) M iar componentele sale carteziene vor fi date de expresiile : x c = 1 M D x ρ dv ; y c = 1 M D D y ρ dv ; z c = 1 M D z ρ dv (1.17) Din definiţia centrului de masă rezultă că poziţia acestuia în raport cu sistemul nu depinde de reperul ales, ea fiind o caracteristică intrinsecă a sistemului material. De asemenea, dacă suprafaţa care delimitează domeniul D este convexă, centrul de masă se va găsi întotdeauna în interiorul suprafeţei respective. Pentru determinarea practică a poziţiei centrului de masă sunt utile următoarele observaţii : dacă punctele sistemului material se situează pe o dreaptă sau într-un plan, atunci centrul de masă se va găsi pe dreapta sau planul respectiv ; dacă sistemul material are un plan de simetrie, o axă de simetrie, sau un centru de simetrie, atunci centrul de masă va fi conţinut în varietatea de simetrie ; dacă sistemul se compune din mai multe părţi cu masele m j (j = 1,,..., n) având vectorii centrelor de masă r cj, atunci vectorul de poziţie al centrului de masă al sistemului va fi dat de expresia : r c = n m j r cj j=1 (1.18) n m j j=1 Formulele (1.13), (1.18) şi (1.16) sugerează ideea, care va fi confirmată ulterior, că centrul de masă se comportă ca un punct material în care ar fi concentrată întreaga masă a sistemului. 1.4 Forţa Se ştie că principiul inerţiei afirmă că starea naturală a corpurilor este cea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă. Agentul exterior care poate modifica această stare este forţa. Astfel în mecanică forţa este o mărime derivată din mişcare şi atunci când se constată variaţia

17 1.4. FORŢA 17 vitezei unui corp, se spune că este prezentă o forţă. Forţa în esenţa ei reprezintă un aspect al interacţiunii corpurilor şi fenomenelor din Univers, anume acel aspect care determină deplasarea corpurilor. Întrucât interacţiunea corpurilor poate să se manifeste în diverse moduri, forţele pot fi continue sau discontinue, de contact sau corespunzătoare acţiunii la distanţă. Acţiunea la distanţă reprezintă un aspect al realităţii numit câmp. Prin câmp se înţelege un domeniu din spaţiu în care se manifestă influenţa unui corp sau fenomen asupra altui corp care străbate domeniul respectiv. În mecanica clasică acţiunea la distanţă pe care câmpul o exercită asupra unui corp este caracterizată printr-o forţă, admitându-se totodată că această acţiune se propagă instantaneu. Ipoteza propagării instantanee, care stă şi la baza definiţiei noţiunii de timp absolut, nu este confirmată de experienţă, în mecanica relativistă ea fiind înlocuită cu ipoteza propagării acţiunii din aproape în aproape. În general originea forţelor nu este de natură mecanică şi de aceea mecanica le va presupune ca fiind date. Mecanica se ocupă de studiul calitativ şi cantitativ al forţelor ce se exercită între corpuri, precum şi de mişcarea corpurilor sub acţiunea acestor forţe. Statica se ocupă de problema înlocuirii unui sistem de forţe dat cu un sistem de forţe echivalent, în particular cu sistemul de forţe nul (echilibru). Cinematica se ocupă de problema mişcării unui sistem de puncte fără a ţine seama de forţele ce acţionează asupra lui. Dinamica studiază mişcarea sistemelor de puncte materiale ţinând seama de forţele care acţionează asupra lor. Axiomele forţei Caracterizarea formală a forţei poate fi făcută cu ajutorul a două postulate care se bazează pe o serie de observaţii experimentale : 1. Forţa aplicată într-un punct al unui sistem material este un vector legat, adică are mărime, direcţie, sens şi punct de aplicaţie ;. Acţiunea a două forţe care acţionează în acelaşi punct poate fi înlocuită cu acţiunea unei singure forţe reprezentată de diagonala paralelogramului construit cu forţele componente şi reciproc, acţiunea unei forţe într-un punct poate fi înlocuită prin acţiunea a două forţe reprezentate de laturile paralelogramului a cărui diagonală este forţa dată. Prin postularea existenţei unui sistem de forţe echivalent cu acţiunea unui câmp, este definit implicit la orice moment t câte un vector F în orice punct al domeniului în care se manifestă câmpul. În consecinţă un câmp fizic poate fi înlocuit printr-un câmp de vectori F(t, r), iar dacă F nu depinde explicit de timp, se spune că câmpul este staţionar. Momentul unei forţe Prin definiţie, momentul unei forţe F având punctul de aplicaţie în A, în raport cu un punct O, este egal cu produsul vectorial dintre OA şi F : M O (F) = OA F = r F (1.19) Se observă că momentul respectiv este o mărime vectorială, având direcţia perpendiculară pe planul determinat de vectorii OA şi F şi orientată astfel încât vectorii OA, F şi M O (r) să formeze un triedru drept. Momentul forţei F este nul când unul din factorii care îl

18 18 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Figura 1.3: Momentul forţei compun este nul sau când unghiul dintre OA şi F este nul, adică atunci când suportul forţei trece prin originea O. La o modificare a originii din O în O, rezultă : M O (F) = O A F = (O O + OA) F = O O F + M O (F) (1.0) deci momentul este un vector legat. Momentul nu se modifică dacă O O = F = 0 sau dacă O O F. Deci momentul forţei F rămâne invariant în raport cu orice punct de pe o dreaptă paralelă cu suportul forţei. Din (1.0) rezultă că scalarul F M O (F) rămâne invariant la modificarea originii : F M O (F) = F (O O F) +F M O (F) = F M O (F) (1.1) }{{} 0 În cazul unui sistem de forţe concurente în A se poate arăta uşor că suma momentelor forţelor concurente în raport cu punctul O este egal cu momentul rezultantei vectorilor F = F i în raport cu acelaşi punct O (teorema lui Varignon) : i M O (F i ) = ( ) (OA F i ) = OA F i = OA F (1.) i i i Ansamblul de vectori F şi M O (F) formează torsorul forţei F în punctul O. Lucrul mecanic Efectul unei forţe poate fi măsurat prin lucrul mecanic pe care aceasta este capabilă să îl efectueze. Prin definiţie lucrul mecanic pe care forţa F îl efectuează la o deplasare finită a unui punct material între două stări (1) şi () este dat de integrala curbilinie : L 1 = () (1) F dr = () Unei deplasări elementare îi corespunde mărimea : (1) (F x dx + F y dy + F z dz) (1.3) dl = F dr = F x dx + F y dy + F z dz (1.4)

19 1.4. FORŢA 19 care poartă numele de lucru mecanic elementar. Mărimea : P = dl dt = F dr dt = F v (1.5) care reprezintă lucrul mecanic efectuat în unitate de timp, poartă numele de putere. Este evident din proprietatea de distributivitate a produsului scalar, că dacă mai multe forţe acţionează asupra punctului material, atunci lucrul mecanic efectuat de acestea va fi egal cu suma lucrurilor mecanice efectuate de fiecare forţă în parte. Dacă F reprezintă un câmp vectorial potenţial staţionar F t o funcţie scalară V (r) astfel încât F = gradv şi V t L 1 = () (1) () V dr = (1) ( V x dx + V y ) V dy + z dz = 0, atunci : = () (1) = 0, adică dacă există dv = V 1 V (1.6) Se observă că lucrul mecanic efectuat de o astfel de forţă potenţială la o deplasare finită nu depinde de forma drumului prin care punctul trece din starea (1) în starea (), ci doar de capetele lui. În acest caz dl este o diferenţială totală exactă, iar funcţia de potenţial V reprezintă o funcţie de stare. Prin funcţie de stare se înţelege o funcţie care depinde numai de starea sistemului la un moment dat şi nu şi de modul în care sistemul a ajuns în starea respectivă. Câmpurile de forţe potenţiale staţionare se mai numesc şi câmpuri conservative deoarece, după cum se va arăta ulterior, într-un astfel de câmp energia mecanică totală a sistemului se conservă. În analiza vectorială se arată că condiţia necesară şi suficientă pentru ca un câmp de forţe F(r) să fie potenţial, este ca F = rot F = 0. Sisteme de forţe Se consideră un sistem de puncte materiale P i (i = 1,,..., N) având vectorii de poziţie r i, asupra cărora acţionează forţele F i. Prin definiţie, vectorul : poartă numele de rezultanta sistemului de forţe, iar vectorul N F = F i (1.7) N M O (F) = (r i F i ) (1.8) se numeşte momentul rezultant în O al sistemului de forţe. Ansamblul de vectori F şi M O (F) definiţi cu (1.7) şi (1.8) poartă numele de torsorul în O al sistemului de forţe. Din definiţie rezultă că rezultanta este independentă de alegerea reperului, fiind un vector liber, în schimb momentul rezultant depinde de locul unde este aleasă originea O a reperului. Se verifică direct că : N N N M O (F) = (O O + r i ) F i = O O F i + (r i F i ) = O O F + M O (F) (1.9)

20 0 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Este însă evident că scalarul torsorului F M O (F) este invariant la alegerea reperului. Din aceste proprietăţi rezultă că dacă într-un punct oarecare din spaţiu rezultanta şi momentul rezultant sunt nişte vectori nuli, ei vor fi nuli în orice punct al spaţiului. Dacă în punctele P i sunt aplicate mai multe forţe F ij (j = 1,,..., n i ), atunci mai întâi n i se compun aceste forţe în una singură F i = F ij, conform axiomei a doua a forţelor. Prin j=1 aceasta nu se modifică nici rezultanta, datorită proprietăţii de asociativitate a sumei şi nici momentul rezultant, datorită proprietăţii de distributivitate a produsului vectorial. Ca aplicaţie calculăm rezultanta şi momentul rezultant al greutăţii G a unui sistem de puncte materiale. Deoarece greutatea unui punct de masă m i este m i g, rezultă : ( N N ) G = m i g = m i g = M g ( N N ) M O (G) = (r i m i g) = m i r i g = M r c g = r c Mg = r c G (1.30) unde r c reprezintă vectorul de poziţie al centrului de masă pentru sistemul de puncte materiale. În cazul unui continuu material conţinut într-un domeniu D al spaţiului şi situat în câmpul de forţe F(r), formulele (1.7) şi (1.8) devin : F = f dm = ρ f dv D D M O (F) = (r f) dm = (r ρ f) dv D D (1.31) unde f reprezintă forţa pe unitatea de masă, ρ este masa specifică şi r vectorul de poziţie în raport cu originea O al unui punct curent P aflat în domeniul D. În cazul forţelor de contact distribuite continuu (presiunea unui fluid asupra unui corp este echivalentă cu o distribuţie continuă de forţe aplicate pe suprafaţa corpului în contact cu fluidul), rezultanta şi momentul rezultant vor fi date de expresiile : F = T dσ ; M O (F) = (r T) dσ (1.3) Σ unde T este forţa pe unitate de suprafaţă numită şi tensiune, iar Σ este suprafaţa care delimitează domeniul ocupat de corp şi asupra căruia acţionează forţele de contact distribuite continuu. Σ 1.5 Cinematica punctului Modul în care, pornind de la câteva concepte generale, pot fi deduse coerent proprietăţile unor mărimi mecanice cunoscute încă din şcoală, va fi ilustrat prin prezentarea unor elemente de cinematica punctului.

21 1.5. CINEMATICA PUNCTULUI 1 Traiectoria punctului, viteza Admiţând că spaţiul este tridimensional, omogen şi izotrop, poziţia unui punct P în raport cu un reper fix este precizată prin vectorul său de poziţie r, care în sistemul cartezian are coordonatele scalare x, y, z : r = x i + y j + z k (1.33) Presupunând în plus că timpul t se scurge uniform spre valori pozitive de la o origine arbitrară de măsurare, dacă punctul P ocupă la fiecare moment o altă poziţie în spaţiu, vectorul de poziţie al punctului devine funcţie de parametrul t : r = r(t) (1.34) ceea ce reprezintă ecuaţia vectorială a traiectoriei punctului P. Având în vedere (1.33), din (1.34) rezultă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei : x = x(t) y = y(t) z = z(t) (1.35) Ecuaţia propriu-zisă (carteziană) a traiectoriei rezultă prin eliminarea succesivă a parametrului t, ea reprezentând curba după care se intersectează două suprafeţe având ecuaţiile generale ϕ(x, y, z) = 0 şi ψ(x, y, z) = 0. Figura 1.4: Traiectoria punctului, viteza Prin definiţie, viteza medie a punctului P în intervalul de timp t, este : v m = r t (1.36) Viteza momentană a punctului P la momentul t se obţine făcând t 0 : r v = lim t 0 t = lim r(t + t) r(t) t 0 t = dr dt = ṙ (1.37)

22 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Este evident (v. Fig. 1.4.b) că vectorul v este orientat după tangenta la traiectorie în P sensul fiind dat de direcţia în care decurge mişcarea. Din definiţia (1.37) şi folosind (1.33), rezultă : v = v x i + v y j + v z k = ẋ i + ẏ j + ż k (1.38) adică proiectia vitezei pe una din axe este egală cu viteza proiecţiei vectorului de poziţie pe axa respectivă (afirmaţia este adevărată numai în sistemul de referinţă cartezian!). Mărimea vitezei va fi : v v = ẋ + ẏ + ż (1.39) Rezultate similare pot fi obţinute pornind de la ecuaţia orară a mişcării. Dacă traiectoria este o curbă continuă, rectificabilă, care are în fiecare punct o tangentă unică, poziţia unui punct P pe traiectorie poate fi determinată cunoscând valoarea s a arcului socotit pe curbă începând de la o origine dată P 0 a arcelor, precum şi sensul pozitiv de măsurare al arcelor : s = s(t) (1.40) Eliminând timpul din ecuaţiile (1.34) şi (1.40), se va putea scrie că : din definiţia (1.37), rezultând : r = r(s) (1.41) v = dr dt = dr ds ds dt = ṡ τ (1.4) unde dr ds = τ (1.43) reprezintă versorul tangentei la traiectorie în P, orientată în sensul pozitiv de măsurare al arcelor (v. Fig. 1.4.c). Mărimea vitezei va fi : v = ṡ (1.44) deoarece derivata ṡ poate fi pozitivă sau negativă, după cum la momentul respectiv punctul P se deplasează pe traiectorie în acelaşi sens, sau în sens contrar, cu cel de măsurare al arcelor. Hodograful mişcării, acceleraţia Dacă este dată traiectoria mişcării r = r(t) şi dacă se cunoaşte în fiecare punct al traiectoriei vectorul viteză momentană, poate fi construit într-un punct O din spaţiu un sistem de vectori concurenţi, astfel încât fiecare să fie egal şi paralel cu una din vitezele v(t) pe care le ia succesiv punctul material pe traiectorie (v. Fig. 1.5). Unind extremităţile acestor vectori se obţine o curbă numită hodograful mişcării. Un punct A se va deplasa pe această curbă cu o anumită viteză. Prin analogie, viteza momentană a lui A la momentul t va fi notată cu v, vectorul reprezentând viteza de variaţie a vitezei punctului material, adică acceleraţia punctului : a(t) = v(t) = r(t) (1.45)

23 1.5. CINEMATICA PUNCTULUI 3 Figura 1.5: Hodograful mişcării Componentele carteziene ale vectorului acceleraţie vor rezulta din egalitatea : a = a x i + a y j + a z k = ẍ i + ÿ j + z k (1.46) iar mărimea acestui vector la un moment dat va fi : a a = ẍ + ÿ + z (1.47) Dacă traiectoria punctului este o curbă plană, atunci şi hodograful mişcării este tot o curbă plană, forma celor două curbe fiind însă în general esenţial diferită. În ceea ce priveşte orientarea în spaţiu a vectorului acceleraţie momentană, unicul lucru care poate fi afirmat în acest stadiu al raţionamentului este că acesta trebuie să fie tangent la hodograful mişcării, observaţia fiind nesemnificativă din punct de vedere intuitiv. Apelând din nou la ecuaţia orară a mişcării, care a condus la rezultate corecte pentru precizarea orientării în spaţiu a vectorului viteză, se va putea scrie succesiv : a = d r dt = d dt ( ) dr = d dt dt ( dr ds ) ds = d ( dτ dt dt (ṡ τ ) = s τ + ṡ ds ) ds = s τ + ṡ dτ dt ds (1.48) Derivata dτ reprezintă vectorul de curbură în punctul P, mărimea şi orientarea sa fiind ds dată de prima formulă a lui Frenet : dτ ds = 1 ρ ν (1.49) Aici ρ reprezintă raza de curbură în punctul P, iar ν este versorul normalei principale care este orientată întotdeauna spre centrul de curbură C (v. Fig. 1.6). Folosind formula (1.49), expresia acceleraţiei devine : a = s τ + ṡ ρ ν (1.50)

24 4 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Figura 1.6: Centrul de curbură Astfel, vectorul acceleraţie se găseşte tot timpul într-un plan determinat de tangenta şi normala principală la traiectorie în punctul respectiv, numit plan osculator. Componentele acceleraţiei pe cele două direcţii reciproc perpendiculare vor fi (v. Fig. 1.7) : - acceleraţia tangenţială : a τ = s - acceleraţia normală : a ν = ṡ ρ = v ρ (1.51) mărimea vectorului acceleraţie fiind dată de expresia : a = a τ + a ν = s + ṡ4 ρ = s + v4 (1.5) ρ Figura 1.7: Planul osculator Formulele lui Frenet Fie Γ o curbă ale cărei puncte P sunt determinate de lungimea arcului corespunzător s socotit de la o origine P 0. Unghiul format de versorii τ şi τ τ în două puncte învecinate va fi notat cu ε şi poartă numele de unghi de contingenţă. Prin definiţie, curbura curbei Γ în punctul P este : C = lim s 0 ε s ; s = P P (1.53)

25 1.5. CINEMATICA PUNCTULUI 5 Figura 1.8: Raza de curbură şi normala principală Raza de curbură în punctul P este inversa curburii : ρ = 1 C = lim s s 0 ε (1.54) Planul determinat de versorul τ în P şi versorul τ prin P paralel la versorul τ în P tinde la planul osculator al curbei în P atunci când s 0. Dacă curba Γ este plană, planul osculator coincide cu planul curbei. Variaţia vectorului τ când se trece din P în P este vectorul ce uneşte extremităţile lui τ şi τ şi are valoarea absolută τ 1 ε = ε. La limită, pentru s 0 se obţine : dτ ds = ν lim ε s 0 s = C ν (1.55) unde ν este versorul normalei la curbă în punctul P şi este dirijat spre concavitatea curbei. Axa care trece prin P şi are versorul ν poartă numele de normală principală a curbei. Folosind (1.54), formula anterioară se mai scrie : dτ ds = 1 ρ ν (1.56) şi reprezintă prima formulă a lui Frenet. Punctul C situat pe normala principală la distanţa ρ de P în sensul lui ν poartă numele de centru de curbură. Fie β versorul normalei în P la planul osculator, aşa încât β = τ ν. Direcţia definită de versorul β poartă numele de binormală. Din relaţia evidentă β τ = 0 rezultă : adică : τ dβ ds + β dτ ds = 0 (1.57) τ dβ ds = C β ν = 0 (1.58) Pe de altă parte, din relaţia β β = 1 rezultă : β dβ ds = 0 (1.59)

26 6 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Deoarece vectorul dβ este perpendicular atât pe τ cât şi pe β, el trebuie să aibă direcţia ds lui ν, adică : dβ ds = T ν (1.60) unde T este un scalar. Semnul lui T este ales astfel încât T să fie pozitiv pentru o rotaţie pozitivă a triedrului drept determinat de versorii τ, ν şi β în jurul lui τ. În cazul curbelor plane, când dβ = 0, rezultă T = 0. Scalarul T definit astfel poartă numele de torsiunea curbei în P. Inversul torsiunii poartă numele de rază de torsiune ρ = 1 T. Expresia (1.60) este cunoscută sub numele de a doua formulă a lui Frenet. A treia formulă a lui Frenet se obţine prin derivarea relaţiei ν = τ β. Rezultă : dν ds = dτ ds β τ dβ = C (ν β) + T (τ ν) = C τ + T β (1.61) ds adică : dν ds = 1 ρ τ + 1 ρ β (1.6) Tangenta, normala principală şi binormala formează axele unui triedru drept, mobil odată cu P. El este numit triedru mobil, triedru natural, sau triedrul lui Frenet. După cum s-a văzut, elementele mişcării pot fi raportate şi la acest triedru intrinsec : Clasificarea mişcărilor v τ = ṡ, v ν = 0, v β = 0 a τ = s, a ν = ṡ ρ = v ρ, a β = 0 (1.63) În funcţie de valorile pe care le pot lua componentele acceleraţiei în planul osculator, pot fi făcute câteva observaţii interesante : a) a τ = 0 deci s = 0 şi v = ṡ = const. Mişcarea curbilinie este uniformă. b) sgn a τ = sgn ṡ. Acceleraţia tangenţială fiind orientată în sensul mişcării, viteza creşte în valoare absolută şi mişcarea este accelerată. Într-adevăr, deoarece a τ = dṡ dt şi observând că întotdeauna dt > 0, din a τ > 0 şi ṡ > 0 rezultă dṡ = d ṡ = dv > 0. Raţionând analog în cazul a τ < 0 şi ṡ < 0, rezultă dṡ = d ṡ < 0, adică tot d ṡ = dv > 0. c) sgn a τ sgn ṡ. Reluând raţionamentul anterior, se arată că viteza scade în valoare absolută şi deci mişcarea este încetinită (decelerată). d) a τ = const. Mişcarea este uniform variată, ea putând fi uniform accelerată sau uniform încetinită. e) Deoarece a ν = v > 0, acceleraţia normală este orientată întotdeauna spre centrul de ρ curbură. f) a ν = 0. Admiţând că v 0, situaţia este posibilă numai dacă ρ, adică în punctele de inflexiune ale traiectoriei, sau când mişcarea este rectilinie. g) Singura mişcare pentru care acceleraţia este nulă este mişcarea rectilinie şi uniformă, deoarece a = 0 numai dacă simultan a ν = 0 şi a τ = 0.

27 1.5. CINEMATICA PUNCTULUI 7 Viteza areolară Dacă la momentul t, vectorul de poziţie al unui punct P de pe traiectorie este r, iar viteza sa este v, atunci prin definiţie vectorul viteză areolară Ω are expresia : Ω = 1 (r v) (1.64) Figura 1.9: Viteza areolară Interpretarea geometrică a mărimii acestui vector se bazează pe observaţia că da = 1 r dr (1.65) reprezintă aria măturată de vectorul de poziţie r la o deplasare elementară dr a punctului P pe traiectorie (v. Fig. 1.9). Pentru deducerea formulei (1.65) s-a folosit proprietatea produsului vectorial a b = a b sin(a, b). Folosind această observaţie, din (1.64) rezultă : Ω = da dt (1.66) deci mărimea vitezei areolare reprezintă viteza de variaţie a ariei măturate de vectorul de poziţie al punctului. Componentele vitezei şi acceleraţiei în coordonate curbilinii ortogonale 1. Coordonate polare (r, θ). Notând cu e r versorul vectorului de poziţie al punctului şi cu e θ versorul unei direcţii perpendiculare pe e r orientată în sensul în care θ creşte, folosind figura rezultă :

28 8 CAPITOLUL 1. CONCEPTE GENERALE Prin derivare după timp se obţine : e r = cos θ i + sin θ j e θ = sin θ i + cos θ j (1) ė r = θ ( sin θ i + cos θ j) = θ e θ ė θ = θ (cos θ i + sin θ j) = θ e r () Pornind de la expresia vectorului de poziţie al punctului P în coordonate polare r = r e r, rezultă prin derivări succesive după timp şi folosind () expresiile : v = ṙ = ṙ e r + r ė r = ṙ e r + r θ e θ a = r = r e r + ṙ ė r + (ṙ θ + r θ)e θ + r θ e θ = (3) = ( r r θ ) e r + (ṙ θ + r θ) e θ În consecinţă, componentele vitezei şi acceleraţiei punctului în coordonate polare vor fi : v r = ṙ a r = r r v θ = r θ ; θ a θ = ṙ θ + r θ (4) În particular, dacă traiectoria este un cerc de rază R, deci dacă mişcarea este circulară, atunci (r = R, ṙ = 0) : v r = 0 a r = R v θ = R θ ; θ = Rω (5) = Rω a θ = R θ = R ω = Rε Se confirmă astfel faptul că în mişcarea circulară viteza are componentă numai după tangenta la traiectorie, iar acceleraţia are componente atât pe tangentă, cât şi pe raza vectoare, cea din urmă fiind orientată spre centrul cercului. Dacă în plus mişcarea circulară este şi uniformă ( ω = 0) se obţin rezultatele cunoscute : v r = 0 v θ = Rω ; a r = Rω a θ = 0 Dacă traiectoria este conţinută în planul xoy, atunci se deduce uşor următoarea expresie în coordonate polare a vitezei areolare : Ω = 1 (r v) = 1 [ r er (ṙ e r + r θ e θ ) ] = 1 rṙ (e r e r ) + 1 }{{} r θ (er e θ ) (7) 0 (6)

29 1.5. CINEMATICA PUNCTULUI 9 deci : Ω = 1 r θ k (8) unde k este un versor perpendicular pe planul determinat de versorii e r şi e θ, adică viteza areolară este orientată după axa Oz. Se verifică direct că : Ω = 1 r θ (9) reprezintă aria măturată de raza vectoare în unitate de timp.. Coordonate sferice (r, θ, ϕ). Notând cu e r versorul vectorului de poziţie al punctului P, cu e θ versorul tangentei la meridian în sensul în care θ creşte şi cu e ϕ versorul tangentei la paralela în P cu orientarea în sensul în care ϕ creşte, folosind figurile rezultă : e r = sin θ e + cos θ k = sin θ (cos ϕ i + sin ϕ j) + cos θ k e θ = cos θ e sin θ k = cos θ (cos ϕ i + sin ϕ j) sin θ k e ϕ = sin ϕ i + cos ϕ j (10) Prin derivare după timp se obţine : ė r = θ cos θ (cos ϕ i + sin ϕ j) + ϕ sin θ ( sin ϕ i + cos ϕ j) θ sin θ k = = θ e θ + ϕ sin θ e ϕ ė θ = θ sin θ (cos ϕ i + sin ϕ j) + ϕ cos θ ( sin ϕ i + cos ϕ j) θ cos θ k = = θ e r + ϕ cos θ e ϕ ė ϕ = ϕ (cos ϕ i + sin ϕ j) = ϕ (sin θ e r + cos θ e θ ) (11) = ϕ sin θ e r ϕ cos θ e θ