5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc cu regularitate experimete ale căror rezultate aparţi uei mulţimi Cu alte cuvite este vorba de experimete, care atuci câd sut realizate pot avea rezultate diferite, î fucţie de aumite circumstaţe îtâmplătoare, care u pot fi cuoscute îaitea realizării lor Aceste experimete sut cuoscute sub umele de experimete îtâmplătoare (aleatoare) Teoria probabilităţilor are ca scop dezvoltarea formalismului matematic (cocepte, oţiui etc) adaptat studiului acestei categorii de experimete Origiile teoriei probabilităţilor sut legate de observaţiile pe margiea rezultatelor jocurilor de oroc Complicarea jocurilor de oroc a dus la apariţia a tot mai multe şi mai dificile probleme de evaluare a şaselor Acum mai bie de 300 de ai câd aceste probleme au ajus î ateţia uor îvăţaţi ai vremii (Pascal, Fermat, Huyges, Beroulli etc) a fost făcut primul pas î dezvoltarea teoriei probabilităţilor Primul pas fiid făcut, această teorie s-a dezvoltat, atât teoretic cât şi di puctul de vedere al aplicaţiilor Î ciuda obârşiei sale, teoria probabilităţilor a pătrus rapid î cele mai variate domeii ale activităţii de cuoaştere umaă Astăzi teoria probabilităţilor este o discipliă complexă, aşezată pe baze riguroase, axiomatice, avâd u cotact emijlocit cu aproape toate celelalte domeii ale matematicii şi domeii de aplicabilitate î cotiuă extidere 5 Eveimete O oţiue fudametală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveimet Pri eveimet îţelegem producerea sau eproducerea uui rezultat îtr-u experimet aleator Pritr-u experimet aleator se îţelege realizarea uui complex de codiţii astfel ca u feome să poată sau u avea loc Totalitatea rezultatelor îtr-u experimet aleator costituie spaţiul eveimetelor elemetare Vom ota cu Ω acest spaţiu şi-l vom ilustra pri câteva exemple Dacă o moedă este arucată o sigură dată, atuci otâd cu s şi v apariţia stemei şi respectiv a valorii, spaţiul eveimetelor elemetare este Ω = {s, v} Dacă moeda este arucată de două ori, spaţiul
88 Probabilităţi - 5 eveimetelor elemetare corespuzătoare este Ω = {ss, sv, vs, vv} Î cazul arucării uui zar o sigură dată avem Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}, iar î cazul arucării uui zar de două ori Ω = {(i, j) : i, j 6}, deci î acest caz Ω se idetifică cu 36 de perechi de umere aturale cuprise ître şi 6 Dacă î exemplele de mai sus spaţiul eveimetelor elemetare asociat experimetelor aleatoare corespuzătoare a fost fiit, trebuie să precizăm că această caracteristică u este geerală Putem să e imagiăm ca u experimet aleator simplu, alegerea îtâmplătoare a uui elemet ditr-o mulţime A Î acest caz spaţiul tuturor eveimetelor elemetare Ω se idetifică cu mulţimea A (Ω = A) Dacă A = N sau A = R vom avea corespuzător Ω = N, Ω = R Dacă reveim acum asupra coceptului de eveimet, asociat uui experimet aleator, acesta corespude uui euţ privid experimetul şi se idetifică cu o submulţime a spaţiului Ω al eveimetelor elemetare Să cosiderăm mişcarea la îtâmplare a uei particule î pla, î care e iteresează traiectoria sa îtr-u iterval de timp [0, T] U eveimet elemetar este î acest caz o traiectorie, adică o fucţie defiită pe [0, T] şi cu valori î pla Dacă presupuem traiectoriile particulei cotiue, acestea se idetifică cu fucţiile cotiue defiite pe [0, T] cu valori î pla Să presupuem că iteresează eveimetul A: particula u îtâleşte axele de coordoate Î acest experimet aleator, eveimetul A se idetifică cu mulţimea fucţiilor cotiue, di [0, T] î pla, ce păstrează pe coordoate sem costat Î cotiuare eveimetele legate de u experimet aleator le vom ota cu litere mari A, B, C, Orice eveimet elemetar care itră î compoeţa uui eveimet A se umeşte favorabil lui A Vom spue că eveimetul A are loc îtr-o realizare a uui experimet aleator dacă şi umai dacă rezultatul acestuia, care este u eveimet elemetar, este favorabil lui A Îtregul spaţiu Ω al eveimetelor elemetare se idetifică cu eveimetul sigur, iar mulţimea vidă cu eveimetul imposibil Această idetificare se bazează pe faptul că eveimetul sigur are loc î orice realizare a experimetului, iar eveimetul imposibil u are loc î ici o realizare a experimetului Vom spue că eveimetul A implică eveimetul B, dacă A B, adică, dacă A este o submulţime a lui B Două eveimete A şi B vor fi umite echivalete, dacă fiecare îl implică pe celălalt Fie E u experimet aleator, Ω spaţiul tuturor eveimetelor elemetare asociat lui E şi A, B două eveimete oarecare asociate lui E Se defieşte reuiuea eveimetelor A şi B, otată A B ca fiid eveimetul costâd di acele eveimete elemetare aparţiâd fie lui A, fie lui B, fie amâdurora Pri itersecţia lui A cu B, otată A B, se îţelege eveimetul costâd di eveimetele elemetare care aparţi şi lui A, şi lui B C Pri complemetarul (opusul) eveimetului A otat cu A ( A) se îţelege mulţimea acelor eveimete elemetare care u aparţi lui A
5 Eveimete 89 Să reveim asupra experimetului aleator al arucării, o sigură dată a uui zar, atuci Ω costă di îtregii i : i 6 Eveimete eelemetare (compuse) legate de acest experimet pot fi cosiderate: A = {i : este u umăr par} B = {i 4} Deci A = {2, 4, 6} şi B = {4, 5, 6}, adică eveimetul A a avut loc dacă î urma arucării zarului a apărut ua di feţele 2, 4, 6, iar eveimetul B a avut loc dacă î urma arucării zarului a apărut ua di feţele 4, 5, 6 Pri operaţiile de reuiue, itersecţie şi luarea de complemetară, porid de la eveimetele A şi B obţiem: A B = {i este par sau i 4} = {2, 4, 5, 6}; A B = {i este par şi i 4} = {4, 6}; A C = {i este impar} = {, 3, 5}; B C = {i < 4} = {, 2, 3} Despre două eveimete A şi B spuem că sut icompatibile sau disjucte dacă ele u au ici u eveimet elemetar comu, adică este imposibil ca atât A cât şi B să aibă loc simulta, î aceeaşi realizare a experimetului, altfel spus A şi B sut icompatibile dacă A B = Fără ici o dificultate operaţiile de reuiue şi itersecţie pot fi extise la o mulţime fiită A A 2 A aceluiaşi experimet aleator E Reuiuea uui şir ( ),,, sau la u şir ( ) A i i A i i de eveimete, otată U de eveimete asociate A i i, costă di acele eveimete elemetare care aparţi cel puţi uuia di eveimetele A i, i De asemeea, itersecţia uui şir de eveimete ( ) A i i, otată I A i i costă di acele eveimete elemetare care aparţi tuturor eveimetelor A i, i Despre u şir de eveimete ( ) A i i spuem că sut icompatibile î totalitatea lor dacă Ai Aj = petru orice i j, i, j U sistem de eveimete fiit sau umărabil se umeşte sistem complet de eveimete, dacă aceste eveimete sut icompatibile î asamblul lor şi reuiuea lor este eveimetul sigur Ω Di modul cum au fost defiite operaţiile de mai sus, decurg următoarele proprietăţi importate pe care le posedă operaţiile cu eveimete, asociate uui experimet aleator:,
90 Probabilităţi - 5 (5) A A = A, A A = A, A Ω = Ω, C A A = Ω, A Ω = A, C A A =, A = A, A = ; (52) A B = B A, A B = B A; (53) A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C; (54) A U Bi = U( A Bi ), A I Bi = I( A Bi ) i C i ; i i C C (55) UA i = IAi, IA i = UAi i i i i Relaţiile (55) sut cuoscute sub umele de relaţiile lui De Morga Di cele cosiderate pâă acum rezultă că a defii mulţimea eveimetelor elemetare asociate uui experimet aleator îseamă a reţie mulţimea cazurilor posibile Î cazul î care spaţiul (mulţimea) eveimetelor elemetare Ω este fiit sau umărabil se pot cosidera drept eveimete asociate lui Ω(E) toate submulţimile lui Ω Totalitatea lor se otează de obicei cu P(Ω) Se observă că, dacă cosiderăm spaţiul tuturor eveimetelor asociate lui Ω(E) ca fiid P(Ω), acest spaţiu este îchis relativ la operaţiile cu eveimete defiite mai sus, adică ( A i ) i P( Ω) implică U Ai P(Ω) şi A P( Ω) implică A C (care se mai otează şi CA) aparţie lui i P(Ω) Î cazul câd Ω este o mulţime ifiită eumărabilă u este posibil să se ia ca eveimete asociate lui Ω toate submulţimile sale Î astfel de situaţii sutem coduşi la a cosidera, ca mulţime a eveimetelor asociate lui E, o familie de părţi ale lui Ω mai mică decât P(Ω), care să fie îsă o parte stabilă a lui P(Ω) petru operaţiile cu mulţimi O îcadrare riguroasă petru spaţiul eveimetelor asociate uui experimet aleator o reprezită spaţiul măsurabil Fie Ω o mulţime oarecare şi P(Ω) mulţimea părţilor sale Defiiţia U corp borelia pe Ω este o familie K P(Ω) cu proprietăţile: a) A K CA K; b) A, A2, K, A, K K U A K = Dacă î locul codiţiei b) se aşează codiţia: C
5 Eveimete 9 b) A, A2, K, A K U Ai K, atuci K se umeşte corp de mulţimi pe Ω Î cotiuare prezetăm câteva proprietăţi ale uui corp de mulţimi şi ale uui corp borelia ce decurg imediat di defiiţie ( c ) Ω, K Îtr-adevăr A K CA K, de ude rezultă că Ω = A CA şi = C Ω sut di K ( c 2 ) Dacă Ai K, i =,, atuci I A i K Itr-adevăr, di a doua relaţie a lui De Morga (55) avem: IAi = C U CAi K ( c 2 ) Dacă A i K,i =,, atuci I Ai K (K se cosideră î acest caz u corp borelia de submulţimi ale lui Ω) ( c 3 ) Dacă A, B K atuci A - B K Îtr-adevăr A - B = A CB K Î cele mai multe probleme de modelare a uui feome aleator apar eveimete care trebuie luate î cosiderare di motive fizice De exemplu, î cazul î care se descrie timpul de staţioare a uui utilaj este atural să cosiderăm drept eveimet orice iterval [a, b] Va rezulta că şi itervalul deschis ( ) U a, b = a +, b va fi de asemeea u eveimet Nu este îsă ecesar să = cerem ca orice iterval de timp A (0, ) să fie u eveimet Se observă că [ ] ( ) I a, b = C 0,a 0, b +, deci este suficiet să se ceară ca orice iterval de = forma (0, a) să fie u eveimet Fie M P(Ω), atuci există u corp borelia uic B(M) astfel ca: a) M B(M); b) petru orice corp borelia K, di K M rezultă K B(M)
92 Probabilităţi - 5 Defiiţia 2 Corpul borelia B(M) se umeşte corpul borelia geerat de M Î cazul î care K = B(M) se spue că M este u sistem de geeratori petru corpul K sau că M geerează pe K Corpul borelia B(M) este itersecţia tuturor corpurilor boreliee pe K care îl iclud pe M Observaţia Î cazul geeral, faptul că u corp borelia K este dat pri geeratorii săi, adică K = B(M) şi A este u eveimet di K, u oferă iformaţii precise asupra eveimetului A Numai î cazul î care M este o desfacere a îtregului spaţiu al eveimetelor elemetare (o partiţie sau u sistem complet de eveimete) putem obţie aceste iformaţii precise Defiiţia 3 O familie ( ) A i i I a) I este cel mult umărabilă b) i j implică Ai I Aj = c) UA i = Ω i I se umeşte desfacere (partiţie) a spaţiului Ω de submulţimi ale lui Ω cu proprietăţile: Propoziţia Dacă M este o desfacere a spaţiului Ω atuci: B( M) = U Ai : J I i J Codiţia de umărabilitate a uei desfaceri este eseţială î demostraţia Propoziţiei Egalitatea celor două familii de mulţimi se poate obţie pri dublă icluziue, arătîd mai îtâi că cea de a doua este u corp borelia Defiiţia 4 Perechea (Ω, K) î care Ω este o mulţime, iar K u corp borelia pe Ω se umeşte spaţiu măsurabil O primă etapă î modelarea uui feome aleator o costituie costruirea spaţiului măsurabil K al eveimetelor aleatoare legate de feomeul respectiv, care este strâs legată de a doua etapă ce costă î defiirea uei probabilităţi petru eveimetele familiei K, care u este altceva decât o măsură a realizării acestor eveimete, îtr-o desfăşurare a feomeului respectiv Mulţimea umerelor reale apare ca spaţiu măsurabil îtr-u mod atural M =,a a R cosiderâd perechea (R, B), ude B = B(M), cu ( ) { }
5 Eveimete 93 Dacă E este u spaţiu topologic şi τ este familia mulţimilor deschise ale acestui spaţiu, atuci corpul borelia B(τ) va fi otat cu B Ω, iar elemetele lui se umesc mulţimi boreliee De obicei, o pereche de forma (Ω, K), ude Ω este o mulţime evidă iar K este u corp borelia pe Ω, se mai umeşte câmp de eveimete Dacă Ω este fiită, atuci (Ω, K) se umeşte câmp fiit de eveimete Fiid dată o mulţime de eveimete ( Ai ),i I,Ai K, ude I este o mulţime de idici cel mult umărabilă, aceasta se umeşte sistem de eveimete, iar dacă ( A i ) i I este o partiţie a lui Ω, aceasta se mai umeşte sistem complet de eveimete Fie A K, dacă există două eveimete B şi C di K, diferite de A, astfel îcât A = B C, atuci A se umeşte eveimet compus Orice eveimet diferit de eveimetul imposibil care u este compus se umeşte elemetar Următoarele proprietăţi ale eveimetelor elemetare sut utile î cele ce urmează: e ) Dacă A K este u eveimet elemetar oarecare, relaţia B A implică B = sau B = A e 2 ) Eveimetul A este elemetar dacă şi umai dacă u există u eveimet B şi B A, astfel îcât B A e 3 ) Eveimetul A este elemetar dacă şi umai dacă oricare ar fi eveimetul B, avem A B = sau A B = A e 4 ) Două eveimete elemetare disticte sut icompatibile e 5 ) Îtr-u câmp fiit de eveimete (Ω, K), fiid dat u eveimet compus B K, există u eveimet elemetar A astfel îcât A B e 6 ) U eveimet oarecare al uui câmp fiit de eveimete poate fi dat, î mod uic, ca reuiuea uui umăr fiit de eveimete elemetare e 7 ) Îtr-u câmp fiit de eveimete (Ω, K), eveimetul sigur Ω este reuiuea tuturor eveimetelor elemetare Petru demostraţia acestor proprietăţi, ca u model de lucru, vom demostra proprietatea e ) Să presupuem că B şi B A Fie C = A - B Di B A şi B rezultă C A şi A = B C, ceea ce este imposibil, deoarece A este u eveimet elemetar Deci B = sau B = A
94 Probabilităţi - 5 52 Probabilitate Probabilitatea uui eveimet trebuie îţeleasă ca o măsură a gradului de posibilitate a acelui eveimet, măsură ce atribuie valoarea 0 eveimetului imposibil şi ale cărei valori cresc pâă la valoarea, ce este atribuită eveimetului sigur Ω Petru u eveimet oarecare A, A Ω, probabilitatea lui A reflectă stabilitatea asimptotică a frecveţei lui A îtr-u umăr arbitrar de mare de repetări idepedete ale experimetului aleator, căruia eveimetul A îi este asociat Dacă A şi B sut eveimete icompatibile, atuci umărul de apariţii ale eveimetului A B, îtr-u umăr arbitrar de repetări ale experimetului, fiid egal cu suma umărului de apariţii ale lui A şi a umărului de apariţii ale lui B, rezultă că probabilitatea lui A B trebuie să fie egală cu suma probabilităţilor lui A şi a lui B Deci, probabilitatea trebuie să posede o proprietate de aditivitate, petru eveimete icompatibile Cosiderete de felul celor de mai sus, ematematice, au iflueţat defiirea coceptului matematic de probabilitate Să cosiderăm u experimet aleator E şi (Ω, K) spaţiul măsurabil asociat lui E Defiiţia Se umeşte probabilitate pe spaţiul măsurabil (Ω, K) o fucţie P: K [0, ] cu proprietăţile: a) Dacă A K petru =, 2, şi A Am = petru m, atuci P U A P( A ) = =, proprietate umită complet aditivitate = b) P(Ω) = Tripletul (Ω, K, P) î care (Ω, K) este u spaţiu măsurabil (câmp de eveimete), iar P o probabilitate pe (Ω, K) se umeşte câmp de probabilitate Fie acum (Ω, K, P) u câmp fiit de probabilitate, ale cărui eveimete elemetare sut A, A 2, K, A Deoarece: Ω= A A 2 K A, di defiiţia probabilităţii avem: PA ( i ) 0, 2,, K, şi PA ( i ) = PE ( ) = Dacă ( ) = ( ) = = ( ) Ai, i,,, PA PA 2 K PA spuem că eveimetele elemetare = 2 K sut egal probabile Se deduce imediat că PA ( ) i = 2,, K, i = petru orice
92 Probabilitate 95 Fie acum A u eveimet oarecare al câmpului dat Atuci A = Ai Ai K A 2 i şi avem: m m m m m P( A) = P U Ai = P( Ai ) k = = k k= k= S-a obţiut mai sus defiiţia clasică a probabilităţii care are o deosebită importaţă practică şi care stabileşte că îtr-u câmp fiit de probabilitate, probabilitatea uui eveimet oarecare este egală cu raportul ditre umărul de eveimete elemetare favorabile eveimetului dat şi umărul total de eveimete elemetare ale câmpului Î cele ce urmează vor fi prezetate câteva proprietăţi imediate ale probabilităţii (măsurii de probabilitate P) Propoziţia 2 Petru orice câmp de probabilitate (Ω, K, P) au loc proprietăţile a) P(B - A) = P(B) - P(A B); b) Dacă A B atuci P(B - A) = P(B) - P(A); c) Dacă A B atuci P(A) P(B); d) P(CA) = - P(A); e) P( ) = 0; f) 0 P(A) ; g) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B); h) P(A B) = P(A) + P(B) - 2P(A B), ude A B este difereţa simetrică a lui A i) şi B, adică A B = (A - B) (B - A); Petru orice mulţime cel mult umărabilă de eveimete ( A i ) i I K are loc proprietatea de subaditivitate: P U Ai P( Ai ) i I i I Proprietăţile eumerate mai sus se deduc imediat di defiiţiile date Îtr-adevăr să presupuem că A şi B sut două eveimete di K atuci putem scrie: B = (B - A) (A B), (B - A) (A B) = Di defiiţia măsurii de probabilitate P rezultă: P(B) = P(B - A) + P(A B), de ude se deduce proprietatea a) Dacă A B, atuci P(A B) = P(A) şi astfel se deduce proprietatea b) Dacă ţiem seama că P(A - B) 0 di b) se deduce c) Deoarece ţiem seama că A CA = Ω, obţiem că: P(A) + P(CA) = P(Ω) =, de ude rezultă proprietatea d) Di b) şi d) rezultă imediat e) Di A Ω şi proprietăţile c), d) şi b) se deduce proprietatea f)
96 Probabilităţi - 5 Să cosiderăm relaţia A B = A (B - A B) Atuci avem P(A B) = = P(A) + P(B - A B) = P(A) + P(B) - P(A B), deci proprietatea g) este adevărată Di defiiţia difereţei simetrice avem: A B = (A - B) (B - A) şi (A - B) (B - A) = Aplicâd probabilitatea P eveimetelor echivalete de mai sus deducem: P(A B) = P(A B) + P(B - A) Î baza proprietăţii a) avem: P(A - B) = P(A) - P(A B); P(B - A) = P(B) - P(A B) Aduâd terme cu terme egalităţile de mai sus se deduce proprietatea h) Petru a demostra proprietatea i) se observă mai îtâi că U Ai = UA i, ude U i A i = Ai A i Ai şi A m A =, petru i I i I k= orice, m I şi m Ţiâd seama de relaţiile de mai sus şi de Defiiţia se deduce: P U Ai = P U A i = P( A i ) P( Ai ), i I i I i I i I ceea ce reprezită proprietatea i) Dacă Ω este o mulţime fiită, atuci câmpul de probabilitate (Ω, P(E), P), card A ude PA ( ) = şi card A reprezită umărul de elemete al muţimii A, se card Ω umeşte câmpul de probabilitate al lui Laplace asociat mulţimii Ω sau câmpul lui Laplace de ordi card Ω Acest câmp corespude uui experimet aleator ale cărui rezultate posibile sau eveimete elemetare sut date de Ω şi sut egal probabile P( { ω }) = petru orice ω Ω Această probabilitate este umită card Ω probabilitatea clasică, deoarece î coformitate cu defiiţia sa, probabilitatea uui eveimet A este egală cu raportul ditre umărul cazurilor favorabile lui A şi umărul cazurilor posibile Î costruirea câmpului de probabilitate ce descrie u feome aleator apar probleme deosebit de dificile la stabilirea spaţiului măsurabil ce descrie feomeul, care să permită costruirea pe acesta a uei (măsuri de probabilitate) probabilităţi adecvate Dacă luăm cel mai simplu caz Ω = {a, b}, K = P(Ω), u este clar apriori cât trebuie să fie P({a}), valoarea ei poate fi orice umăr di [0, ] Evidet, această valoare implică P({b}) = - P(a) Observăm că determiarea probabilităţii uui eveimet dat u este, de regulă, o problemă cu soluţie imediată Această problemă creşte î dificultate î cazul uui corp borelia K complicat Valorile probabilităţilor P(A), A K fiid pri defiiţie legate ître ele, sugerează existeţa uei teoreme
92 Probabilitate 97 coform căreia, pe baza cuoaşterii valorilor P(A), petru A K, parcurgâd o submulţime M a lui K, să se poată determia î mod uic P, ca fucţie a lui K î [0, ] Următorul exemplu arată că î cazul câd K = B(M) u există o astfel de teoremă Îtr-adevăr, fie Ω= { e e e e }, 2, 3, 4 şi K = P(Ω) Atuci avem K = B( { e,e2}{, e, e3} ) Numerele p, p2, p3, p4 0 de sumă ce defiesc o probabilitate P pe P(Ω) u sut perfect determiate dacă se cuosc ({, 2} ) = + 2 şi ({ }) P e e p p P e, e3 = p + p3 Ca exemplu putem lua sistemele de umere,,, 2 00 şi,,, Se observă că, î exemplul de mai sus, 2 4 4 4 4 există două variate petru ( p p p p ), 2, 3, 4, ce au aceleaşi valori petru p + p2 şi p + p3 Problema aalizată mai sus este rezolvată de următoarea teoremă cuoscută sub umele de teorema de uicitate: Teorema (de uicitate) Fie (Ω, K) u spaţiu măsurabil, P, P2 două probabilităţi pe (Ω, K) Dacă K = B(M) cu M P(Ω), îchisă î raport cu itersecţia fiită (adică A, B M implică A B M) şi P = P M 2 (adică P P M = 2 pe M), atuci P = P2 Demostraţie: a) Fie U = { A A K : P ( A) = P2 ( A) } Mulţimea U are proprietăţile: ) Ω U; 2) A, B U, A B implică A - B U; 3) A, A 2, K, A, K U şi A Am petru m implică: U m= A U ; m 4) U M b) O familie de mulţimi iclusă î P(Ω) cu proprietăţile ), 2), 3) se umeşte u - sistem pe Ω Itersecţia uei familii oarecare de u - sisteme pe Ω este u u - sistem (sistem de uicitate) Deci, există u u - sistem geerat de o familie N P(Ω), acesta este cel mai mic u - sistem ce coţie pe N, otat cu µ(n) Di raţioametul de la a) rezultă că P ( ) = P 2 ( ) µ M µ M
98 Probabilităţi - 5 c) Vom arăta că dacă A, B N implică A B N, atuci A, B µ(n) implică A B µ(n) Se cosideră petru fiecare A µ(n), C A = { B:B µ ( N ),A B µ ( N) } Se verifică faptul că C A este u u - sistem Dacă A N, atuci C A N, deci C A µ ( N) Aceasta îseamă că A B µ(n) petru A N, B µ(n), deci C A N petru orice B µ(n), ceea ce trebuia arătat d) Se verifică faptul că u u - sistem V petru care A, B V implică A B V este u corp borelia e) Di d) rezultă că µ(n) di euţ este u corp borelia, care cotiuâd pe M coţie pe B(M), deci coicide cu acesta Di b) rezultă că P = P2, deoarece B(M) = K este domeiul de defiiţie al lui P şi P 2 Demostraţia teoremei de mai sus costituie u exemplu de raţioamet cu clase de mulţimi şi di acest motiv am prezetat-o î detaliu Î cotiuare vom utiliza defiiţia probabilităţii clasice î câteva exemple Vom stabili mai îtâi: Teorema 2 Fie (Ω, K, P) u câmp de probabilitate, D = ( ) A i, o partiţie a lui Ω, i I cu I cel mult umărabilă şi astfel că B(Ω) = K Atuci probabilitatea P este complet determiată pe K dacă se cuosc valorile pi = P( Ai) ale probabilităţii P, petru Ai D Demostraţie: Dacă A = atuci P(A) = 0 Dacă A atuci mult umărabilă şi Ai Î particular ( Ω) = P(A ) = i I Aj =, deci P (A) = P(A i) = p i P i pi = i I i J i J U A = cu J cel A i i J Să presupuem că probabilităţile pi = P( Ai) = P sut costate petru orice i I, adică eveimetele A i sut egal probabile Dacă A =, atuci A i sut cazuri favorabile ale eveimetului A şi U A i i J umărul cazurilor favorabile lui A este egal cu card J Să presupuem că familia de idici I este fiită, adică I = {, 2,, } şi că J I şi card J = m Î acest caz P(A) = P U Ai = P( Ai ) = mp Di P( ) P Ai Ω = U = rezultă p =, i J i J i I
92 Probabilitate 99 adică p =, deci p = Îlocuid p = î P(A) obţiem m PA ( ) = cardj = cardi = umarul cazurilor favorabile umarul cazurilor posibile, ceea ce reprezită defiiţia clasică a probabilităţilor Exemplul Îtr-o ură se află, umerotate de la la 30, 30 de bile care u diferă decât pri culoare: 0 sut albe, 5 sut egre şi 5 sut roşii Cosiderăm ca experieţă aleatoare extragerea uei bile di ură Să otăm cu A i eveimetul care D = A A2 K A este u sistem complet de eveimete, format di familia tuturor eveimetelor elemetare costă î extragerea bilei cu umărul i, atuci sistemul {,,, } asociate experieţei cosiderate Deci Ω = U 30 i probabile şi ( ) PA i A i Eveimetele A i sut egal = = Să otăm cu A, N şi R eveimetele care costau î 30 0 extragerea uei bile albe, egre, respectiv roşii, atuci PA ( ) = = 30 3, 5 PN ( ) = = şi PR 30 2 ( ) = 5 30 = 6 Observaţia Fie acum (Ω, K, P) u câmp borelia de probabilitate şi D = ( ) o partiţie ifiită a lui Ω Să presupuem că PA ( ) p p A i i N i = i = > 0 petru orice i N, atuci avem p i = p = ceea ce itră î cotradicţie cu p i = Dacă p = 0, atuci p i = 0, ceea ce atrage di ou o cotradicţie Cele de mai sus arată că eveimetele A i u pot fi toate egal probabile şi deci, defiiţia clasică a probabilităţii u poate fi extisă la câmpuri de probabilitate ifiite Teorema 3 Fie (Ω, K, P) u câmp de probabilitate (fiit sau ifiit, K fiid corp sau corp borelia, după cum K este o mulţime fiită sau ifiită de eveimete) şi fie ( ) A i, cu I mulţime fiită o familie de eveimete di K Atuci are loc egalitatea: i I
00 Probabilităţi - 5 P umită formula lui Poicaré cardl U Ai = ( ) P IAi, i I L I i L Teorema 4 Î codiţiile Teoremei 3 să presupuem că I = {, 2,, } Atuci are loc iegalitatea: P I Ai P( Ai ) ( ), umită iegalitatea lui Boole Observăm că Teorema 3 stabileşte probabilitatea reuiuii uei familii fiite de eveimete, u icompatibile două căte două, iar Teorema 4 oferă o margie iferioară a probabilităţii itersecţiei uei familii de eveimete Ambele se demostrează pri iducţie, prima după card L iar a doua după Observaţia 2 Î modelarea matematică a uui experimet aleator se impu etapele: defiirea spaţiului eveimetelor K şi defiirea probabilităţii P, ca fucţie de mulţime defiită pe K şi care să satisfacă codiţiile cerute Chiar î cazurile cele mai simple rezolvarea primeia u atrage după sie automat rezolvarea şi celei de a doua etape, existâd foarte multe, chiar o ifiitate de posibilităţi de a defiii o probabilitate pe u câmp (câmp borelia) de eveimete Să presupuem că Ω= { ω ω2} Nu este clar apriori cât trebuie să fie P( { ω }) Ştim doar că dacă P( { }) atuci P( { ω 2 }) = a, şi K = P(Ω) ω = a Î cotiuare vom utiliza defiiţia clasică a probabilităţii î rezolvarea uor probleme, uele deveite deja, scheme logice Exemplul 2 Schema bilei ereveite(eîtoarse) O ură coţie a bile albe şi b bile egre Se iau la îtâmplare bile di ură Care este probabilitatea ca di bile extrase exact k bile să fie albe Se ipu câteva codiţii: dacă m = a + b, atuci trebuie ca m, k, k a şi -k b Fie A mulţimea bilelor albe şi B mulţimea bilelor egre, atuci A B= şi A B = F reprezită mulţimea tuturor bilelor Mulţimea eveimetelor elemetare este Ω = {C F: card C = } Câmpul de probabilitate care descrie acest experimet este câmpul lui Laplace de ordiul C m Să otăm cu E eveimetul care e iteresează Acesta este dat pri E = { C F:card C = si card(c } observăm că aplicaţia: A) = k Să
(, ) C C A C B este o bijecţie ître mulţimile E şi: { DD : AcardD, = k} { DD : BcardD, = k}, de ude rezultă că are loc carde Ca k Cb = k Obţiem astfel: card E Ca k Cb ( ) k PE ( ) = = cardω Cm 92 Probabilitate 0 Exemplul 3 Schema bilei reveite(îtoarse) Avem o ură cu a bile albe şi b bile egre Extragem î mod aleator o bilă, e uităm la ea şi o puem îapoi î ură Repetăm această procedură de ori Care este probabilitatea ca de k ori să obţiem bila albă? Să observăm că mulţimea eveimetelor elemetare este dată de Ω= ( A B) ( A B) K ( A B), ude A este mulţimea bilelor albe şi B este mulţimea bilelor egre Ω se mai poate scrie sub forma: Ω = UG G2 K G G i { A,B} Să otăm cu E eveimetul a cărui probabilitate trebuie să o determiăm Putem scrie: E = UG G2 K G card{ i:g i = A} = k k k k Obţiem imediat card( E) = C a b şi card E C k a k b k PE ( ) = ( ) card( ) = Ω ( a b) + Probabilitatea P(E) mai poate fi exprimată şi astfel: k k k a b k k k PE ( ) = C = C p ( p), a+ b a+ b ude p este probabilitatea extragerii uei bile albe di ură, la o procedură oarecare di cele î total, evidet - p reprezită probabilitatea extragerii uei bile egre î aceeaşi procedură de extragere Problemele de mai sus se găsesc formulate î diferite moduri, uele formulări avâd aplicabilitate practică directă De exemplu, bile albe pot fi articolele fără defecţiui î cadrul aceleiaşi livrări de marfă, etc
02 Probabilităţi - 5 Observăm că petru a stabili probabilitatea uui eveimet, utilizăd oţiuea clasică, folosim o măsură a cazurilor favorabile şi a cazurilor posibile Această măsură este cardialul, umărul cazurilor respective Ueori îsă, această măsură u poate fi folosită, ambele mulţimi de cazuri fiid ifiite Aşa se îtâmplă î situaţia utilizării probabilităţilor geometrice Nu e vom ocupa pe larg de aceste probabilităţi, dar vom prezeta u exemplu, cuoscut sub umele de problema lui Buffo Exemplul 4 Problema acului sau problema lui Buffo Pe u pla sut trasate drepte paralele, astfel ca distaţa ître oricare două drepte cosecutive să fie 2a, a > 0 Pe acest pla se arucă la îtâmplare u ac de lugime 2l, cu l > 0 şi l < a Care este probabilitatea ca acul să îtretaie ua di aceste drepte? Rezolvare: Poziţia acului faţă de dreptele reţelei este determiată de distaţa d, a mijlocului său, la cea mai apropiată ditre drepte şi pri ughiul α pe care-l face direcţia acului cu direcţia dreptelor Se observă că d ia o valoare î itervalul [0, a] iar α î [0, π] Poziţia acului fiid determiată de două umere poate fi reprezetată pritr-u puct î pla Mulţimea poziţiilor posibile ale acului este reprezetată de mulţimea puctelor di domeiul D Mulţimea poziţiilor acului, î care itersectează ua di dreptele reţelei, este reprezetată de mulţimea puctelor domeiului D, defiit pri: D = {( d, α) : 0 d lsi α, α [ 0, π] } Pr obabilitatea căutată a itersecţiei este: a α aria( D ) PI (& ) = = aria( D) π lsiαα d 0 2l = π a πa (0,a) 0 d D (π,0) α d (0,a) 0 π ( 2 ),l D (π,0) α
92 Probabilitate 03 Ţiâd seama de rezultatul obţiut şi mai ales de posibilitatea simulării pe calculator, de u umăr foarte mare de ori a acestui experimet aleator, el poate fi utilizat petru obţierea uei valori aproximative a umărului iraţioal π Exemplul 5 (Problema cocordaţelor) La o liie de motaj piesele sosesc î loturi de câte, arajate î ordiea motării, 2,, Pritr-u accidet, piesele ditr-u lot sosesc amestecate aleator Să se determie: a) probabilitatea ca cel puţi o piesă di lot să sosească î ordiea ei ormală; b) probabilitatea ca ici o piesă să u sosească î ordiea ei ormală Această problemă se găseşte formulată î multe alte moduri De exemplu, persoae îşi pu cărţile de vizită îtr-o pălărie Apoi pe râd, la îtâmplare, fiecare ia o carte de vizită di pălărie Îtrebările a) şi b) devi: a ) Care este probalilitatea ca cel puţi o persoaă să-şi extragă propria carte de vizită; spuem î acest caz că a avut loc o cocordaţă; b ) Care este probalilitatea să u avem ici o cocordaţă? Rezolvare: Fie {, 2,, } mulţimea persoaelor şi {,2,, } mulţimea cărţilor de vizită Mulţimea eveimetelor elemetare este: 2,,, : f este bijectivă} Ω = {f : {, 2,, } { } Numărul se elemete ale lui Ω este card Ω =! Fie A { f Ω; f ( i ) i} i = = eveimetul ca persoaa de rag i să realizeze o cocordaţă Eveimetul a cărui probabilitate este cerută la puctul a) este A = U A i Petru a calcula P(A) vom aplica formula lui Poicaré: card L- P UAi = ( ) P IAi, L {,2,,} i L [ ] card (L)! ude P I Ai = i L! Vom obţie astfel: ( PA C )! 2 ( C 2)! ( ) = + + ( ) C!!! Efectuâd simplificările avem: PA ( ) = + + + ( ) 2! 3!!
04 Probabilităţi - 5 b) Probabilitatea de a u avea ici o cocordaţă este: PA ( ) = PA ( ) = + ( ) 2! 3!! Exemplul 6 Petru ca u produs să corespudă cotrolului de calitate trebuie să îdepliească patru codiţii de calitate, otate A, B, C, D Ştiid că 85% di produse îdepliesc codiţia A, 95% îdepliesc codiţia B, 92% îdepliesc codiţia C şi 97% îdepliesc codiţia D, să se calculeze probabilitatea miimă ca u produs să corespudă cotrolului de calitate Rezolvare: Petru ca u produs să corespudă cotrolului de calitate trebuie să aibă loc eveimetul X = A B C D Aplicâd iegalitatea lui Boole obţiem: P (X) = P (A B C D) P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - 3, adică: P(X) 0,85 + 0,95 + 0,92 + 0,87-3 = 3,59-3 = 0,59, deci probabilitatea miimă căutată este 0,59 53 Probabilităţi codiţioate Eveimete idepedete Fie (Ω, K, P) u câmp de probabilitate, fiit sau ifiit şi A, B două eveimete di K astfel că P(A) > 0 Defiiţia Se umeşte probabilitate a eveimetului B codiţioată de eveimetul A sau probabilitate a lui B î raport cu A otată pri PA ( B) sau PB ( / A ) umărul defiit pri: PA ( B) (53) PA ( B) = PA ( ) Propoziţia Aplicaţia P A :K R defiită pri: (532) K B P A PA ( B) este o probabilitate sau altfel spus ( Ω, K, P A ) este u câmp de probabilitate Demostraţie: Di (5) rezultă că PA ( B) 0 petru orice B K Mai mult, pa ( Ω) PA ( ) PA ( Ω) = = =, pa ( ) PA ( )
53 Probabilităţi codiţioate Eveimete idepedete 05 PA P A U A = P(A) P = U( A Ai ) i U Ai P(A) = P ( A A ) P(A) i = P A ( A ) i = Am presupus, mai sus, că eveimetele A i şi A j petru i j sut icompatibile, ceea ce î mod evidet, atrage după sie faptul că eveimetele A A i, A A j sut icompatibile Am arătat astfel că P A este o probabilitate pe K Să cosiderăm acum, două eveimete A şi B cu P(A) > 0 şi P(B) > 0, atuci au ses probabilităţile codiţioate PA ( B) şi PB( A) şi mai mult avem: PA ( B) PA ( B) PA( B) =, PB( A) = PA ( ) PB ( ) Di egalităţile de mai sus rezultă: PA ( B) = PA ( ) PA ( B) şi PA ( B) = PB ( ) PB ( A), ceea ce arată că ître probabilităţile codiţioate PA ( B) şi PB( A) există relaţia de legătură: (532) PA ( ) PA( B) = PB ( ) PB( A) Petru exemplificarea probabilităţii codiţioate să cosiderăm câmpul de probabilitate al lui Laplace ( Ω, P( Ω), P ), ude Ω este o mulţime fiită şi card (Ω) = Fie A, B Ω astfel îcât card (A) = m, card (B) = p şi card (A B) = q Să se determie probabilitatea ca eveimetul B să aibă loc, ştiid că eveimetul A a avut loc Î codiţiile date: m p q PA ( ) =, PB ( ) =, PA ( B) = Dacă ştim că eveimetul A s-a produs rămâ m cazuri posibile ditre care q sut q favorabile lui B, deci PA ( B) =, dar q q PA ( B) = = Obţiem astfel m m m PA ( ) PA ( B) PA ( B) = PA ( )
06 Probabilităţi - 5 Teorema (Formula probabilităţii totale) Fie (Ω, K, P) u câmp de probabilitate, fiit sau ifiit, şi ( A i ) i I K u sistem complet de eveimete, cu PA ( i ) > 0, petru orice i I, I fiid o mulţime de idici cel mult umărabilă Î aceste codiţii petru orice eveimet A K are loc: (533) P(A) = P(A i ) PA (A) Demostraţie: ( ) A i i I i I fiid u sistem complet de eveimete avem Ω = U A i şi i I petru orice i j, Ai Aj = Atuci A se descompue sub forma uei reuiui de eveimete icompatibile astfel: de ude rezultă: A = A Ω = A UAi = U( A Ai ), i I i I P(A) = i I P ( A A ) = P( Ai ) i i PA (A) i i I Teorema 2 (Formula lui Bayes) Î codiţiile Teoremei, dacă P(A) > 0 are loc şi următoarea formulă: P(A i) PA (A) i (534) PA (A i) = P(A ) P (A) j I j A j Demostraţie: Di relaţia de legătură ditre probabilităţile codiţioate (532) avem: PA ( i) PA A PA( A i ( ) i) = PA ( ) Îlocuid pe P(A) cu expresia di formula (533) rezultă formula lui Bayes (534) Această formulă poate fi iterpretată ca determiâd probabilităţile cauzelor, î cazul î care se cuoaşte u sistem de cauze care provoacă u eveimet A PA( Ai) este probabilitatea de a fi acţioat cauza A i î ipoteza că eveimetul A s-a produs
53 Probabilităţi codiţioate Eveimete idepedete 07 Teorema 3 (Formula de îmulţire a probabilităţilor) Fie (Ω, K, P) u câmp de probabilitate şi ( A i ) K u sistem de eveimete astfel îcât P A 0, I i > Atuci are loc: (535) P I = P( A) PA ( A2 ) PA A ( A3) L P ( A ) 2 I Ai Demostraţie: Petru = 2 formula (535) rezultă di relaţia (532) Petru > 2 formula (535) îşi păstrează valabilitatea pri iducţie după Fie câmpul de probabilitate (Ω, K, P) şi A, B K Spuem că eveimetele A şi B sut idepedete dacă (536) P(A B) = P(A) P(B) Sistemul de eveimete A, A 2, K, A di K se umeşte sistem de eveimete idepedete, dacă petu orice i, i 2, K, i m, cu i < i2 < K < im, m are loc (537) P( A A A ) = P( A ) P( A ) L P( A ) K i i2 im i i2 im Despre două sisteme complete de eveimete A, A 2, K, A m şi B, B 2, K, B spuem că sut idepedete dacă are loc ( ) (538) PA B PA ( ) PB ( ) i j = i j petru orice i =, m, j=, Vom arăta, pritr-u exemplu, că idepedeţa a două câte două eveimete ale uui sistem u implică idepedeţa sistemului de eveimete î sesul defiiţiei de mai sus ( ) 2 3 4 i = (Ω, K, P) este 4 câmpul de probabilitate al lui Laplace cu patru eveimete elemetare Vom cosidera eveimetele A = { ω, ω2}, B = { ω, ω3} şi C = { ω, ω4} Observăm că 2 PA ( ) = PB ( ) = PC ( ) = = şi PA ( B) = = PA ( ) PB ( ), 4 2 4 Fie Ω= { ω, ω, ω, ω }, K = P(Ω) şi P { ω }
08 Probabilităţi - 5 PA ( C) = = PA ( ) PC ( ), PB ( C) = = PB ( ) PC ( ), pe câd 4 4 PA ( B C) = PA ( ) PB ( ) PC ( ) =, deci eveimetele A, B, C sut 4 8 idepedete două câte două dar u formează u sistem de eveimete idepedete Exemplul Îtr-u lot pus î vâzare la u magazi se află produsele a trei fabrici F i i =, 2, 3, î catităţile 300, 420 şi respectiv 540 produse Se ştie, di verificări statistice, că fiecare ditre fabrici livrează produse defecte î proporţie de %, 2% şi respectiv 2,5% O catitate de produse vădute î valoare de 6000 um au fost restituite magaziului ca ecorespuzătoare Să se determie sumele ce trebuie imputate fabricilor, dacă u se ştie de la care ditre fabrici au proveit produsele defecte Rezolvare: Este firesc ca sumele imputate să fie proporţioale cu probabilităţile corespuzătoare de a trimite produse defecte Fie E i eveimetul, ca u produs luat la îtâmplare, să fie al fabricii F i i =, 2, 3 Eveimetele E i formează u sistem complet de eveimete cu probabilităţile ( ) = = 0, 238, ( ) 260 540 şi PE ( 3 ) PE 300 420 PE 2 = = 0, 333 260 = = 0428, 260 Fie X eveimetul, ca luâd la îtâmplare u produs di magazi, acesta să fie defect Probabilităţile codiţioate ale eveimetului X, de către eveimetele E i, i =, 2, 3, sut: PE ( X) = 00,, PE 2 ( X) = 002, şi respectiv PE 3 ( X) = 0, 025 Probabilităţile ca u produs defect să aparţiă fabrici F i i =, 2, 3 vor fi P ( E ) X i, i =, 2, 3, care sut date de formula lui Bayes, î fucţie de probabilităţile determiate mai sus şi aume, avem: P X ( E ) i = P( Ei ) PE ( X) i 3 P( Ek ) PE ( X) k= Obţiem P ( E ) =,, P ( E ) =,, P ( E ) X 0 25 X 2 0 395 k X 3 = 0, 54
53 Probabilităţi codiţioate Eveimete idepedete 09 Dacă otăm cu S i, i =, 2, 3 sumele ce trebuie imputate, vom avea S S2 S3 S + S2 + S3 = = =, de ude rezultă S 0, 25 0, 359 0, 54 = 750 um, S 2 = 254 um, S 3 = 3084 um Î cotiuare vom face câteva cosideraţii asupra uor şiruri de eveimete Fie (Ω, K, P) u câmp de eveimete U şir de eveimete ( A ) N K se umeşte ascedet dacă: (539) A A 2 A A + U şir de eveimete ( D ) K N se umeşte descedet dacă: (530) D D 2 D D + Observăm că petru şirul ascedet ( ) A N descedet ( ) D N are loc A U = A k, iar petru şirul k are loc D I = D k Pe baza acestei observaţii avem: k = (53) lim = A = U Ak şi lim D I = Dk k= k= Se pue îtrebarea, dacă limitele de mai sus comută cu probabilitatea? Răspusul este dat de teoremele următoare Teorema 4 Fie (Ω, K, P) u câmp borelia de probabilitate Petru orice şir ascedet ( A ) K, are loc: N (532) lim ( ) PA = P lim A Demostraţie: Şirul ( A ) fiid dat, costruim şirul N ( B ) N B = A,, B = A A = A A, petru orice 2 Acest şir are proprietăţile: (533) Bi Bj = petru orice i j şi U = U = i B i A pri:
0 Probabilităţi - 5 avem: Pe baza relaţiilor (533) şi a axiomei de complet aditivitate a probabilităţii P P lim A = = = P U Ai P UBi = lim P P( B )= ( B ) = lim[ P( A ) + P( A ) P( A ) + K = 2 ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) + PA PA 2 + PA PA = lim PA, tocmai ceea ce trebuia demostrat Teorema 5 Fie (Ω, K, P) u câmp borelia de probabilitate Petru orice şir descedet ( D ) K are loc: N (534) lim ( ) PD = P lim D D al N eveimetelor cotrare este u şir ascedet Coform teoremei precedete vom avea: lim PD ( ) = P lim D, Demostraţie: ( D ) fiid u şir descedet rezultă că şirul N ( ) i dar lim D = UD = I D = = = lim D şi P lim D = P lim D P lim D = Î acelaşi timp: ( ) ( ) [ ] ( ) lim PD = lim PD = lim PD Am obţiut astfel că: ( ) P lim D = lim P D, de ude rezultă egalitatea (534)