ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4...4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5...5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 6...6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7...7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8...8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9...9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... Επιµέλεια: Γ. Πορταλάκης
MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ Α. α) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μ: β) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μ: γ) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] και f ( α) f( β ), τότε να αποδείξετε ότι για, τέτοιος, ώστε f( ) = η Μ: 6,5 * Β. ίνεται συνάρτηση f συνεχής στο = για την οποία ισχύει: ( f( ) + ) = ηµ, για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι f() =. Μ: 6 π β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα,. Μ: 6,5 κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ( α β ) ΘΕΜΑ i ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί, w τέτοιοι, ώστε w = + i α) Αν w = i, τότε το µέτρο του µιγαδικού είναι: Α) Β) 4 Γ) 5 ) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. β) Αν w =, να αποδείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του. Μ: 7,5 Β. α) Αν = + yi µε, y, y R, να αποδείξετε ότι: Re( ) + y w, Im( w) + y = = Μ: 6 β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ των µιγαδικών για τους οποίους ισχύει: Arg( w) = π M: 6,5 4 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln. α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. Μ: 8 e β) Να αποδείξετε ότι ln, για κάθε >. Μ: 7 γ) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των και τις ευθείες =, = e. Μ: ίνεται συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιµη στο µε f ( ) = f( ) για κάθε R, f() = και f ()=. Να αποδείξετε ότι: f ()+ f () α) η συνάρτηση g ( ) = είναι σταθερή Μ: 8 e β) ( f ( ) e ) e = για κάθε R Μ: 8 e + e γ) ο τύπος της f είναι f( ) = Μ: 9 - -
ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Α. α) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο, να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. M: 8,5 β) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο Α(, f( )). M: 4 B. α) Αν = + yi, = ρ και θ ένα όρισµα του, να αποδείξετε ότι ο παίρνει τη µορφή = ρ ( συνθ + iηµθ ) M: 8,5 β) Αν = ρ( συνθ+ iηµθ), = ρ( συνθ + iηµθ ) είναι η τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών, και =, τότε ρ = ρ και θ+ θ=. Να γράψετε στο τετράδιό σας ρ + ρ= και θ = θ+kπ, k Z. τον αριθµό που αντιστοιχεί ρ = ρ και θ θ= kπ, k Z. στη σωστή απάντηση. ρ ρ= και θ+ θ= kπ, k Z. M: 4 ΘΕΜΑ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = i και = +4i α) Αν = + yi,, y R, να αποδείξετε ότι = και y =. M: 8 β) Αν µια ρίζα της εξίσωσης + β+ γ =, όπου β, γ R, είναι η, να βρείτε τις τιµές των β και γ. M: 8 γ) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει = M: 9 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f( ) = + 4+ + 4 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξονα y y. M: 7 β) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. M: 9 γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των και τις ευθείες =, =. M: 9 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :(,+ ) R για την οποία ισχύουν f() = και f ( ) f( ) =, για κάθε (,+ ). f ( ) α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ). M: 7 β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. M: 8 f () tdt γ) Να βρείτε το lim (ln ) M: - - ( 7/9/ :45:7)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ α) Έστω Α ένα υποσύνολο του R και µία συνάρτηση f: A R, µε πεδίο ορισµού του Α. Πότε η f λέγεται συνάρτηση -; M: 5 β) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και f ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. M: γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς,,, 4 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη. + = + = > =.,.,., 4. όπου = α + βi και = γ + δi είναι µιγαδικοί αριθµοί. M: 8 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση 4, f( ) = 4 +, > α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = 4. M: 5 β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο = 4 M: γ) Για 4, να βρείτε την f ( ) και να λύσετε την εξίσωση f( ) + f ( ) = M: ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = + i, όπου µιγαδικός αριθµός µε α) Αν f ( ) = f( ), να αποδείξετε ότι o είναι πραγµατικός αριθµός. M: 6 β) Αν f( ) =, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο. M: 9 γ) Αν Re(f()) =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού αριθµού, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. M: ίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύει f() = και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, + ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε > υπάρχει ξ (, ) τέτοιος ώστε f( ) = f ( ξ ) M: 6 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γ) Αν 5 h ( ) e = + +, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f( ) h ( ) = + e, > είναι συνάρτηση - στο διάστηµα (, + ) M: e I = f( + ) d M: 9 - -
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ Α. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() = F() + c, c R., είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G() = F() + c, c R. M: B. Έστω Α ένα υποσύνολο του R., f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α και A. Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο (ολικό) µέγιστο, το f( ); M: 5 Για καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις Γ,, Ε, ΣΤ και Ζ να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασµένη. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. M:. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ' ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. M: Ε. Ισχύει ο τύπος ηµ d = συν + c M: ΣΤ. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστηµα & παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του. M: Ζ. Έστω µια - συνάρτηση f και C, C οι γραφικές παραστάσεις των f και f στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση, f ( ) = α+ β,< < όπου α, β R + ln, f είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y =. M: α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. M: 8 β) Αν, για τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ισχύει: α = και β =, τότε: f() f ( ) f() f ( ) f() i) Να υπολογίσετε το lim M: 9 ii) Να υπολογίσετε τα όρια : lim, lim M: 8 + + ΘΕΜΑ Έστω µιγαδικός αριθµός, µε ± i και w = + α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο είναι πραγµατικός ή = M: β) Να λύσετε, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, την εξίσωση = M: + γ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) i k = M: 5 4 + ( + ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα = (, + ) για την οποία ισχύει: f( ) = + f( t) dt, + α) Να υπολογίσετε το f() M: β) Να αποδείξετε ότι f () =. M: γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. M: 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και = 4. M: 6-4 - ( 7/9/ :45:7)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ α) Να αποδείξετε ότι αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ' ένα σηµείο, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μ: β) Έστω Μ(, y) η εικόνα του µιγαδικού αριθµού = + yi στο µιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουµε ως µέτρο του ; γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.. Αν µιγαδικός αριθµός και ο συζυγής του, τότε ισχύει:. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο, τότε ισχύει: = Μ: lim f ( ) = lim f( ) Μ:. Ισχύει (ηµ) = συν. Μ: 4. Ισχύει ed = e + c, c R Μ: 5. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] µια µέγιστη τιµή Μ και µια ελάχιστη τιµή m. Μ: ΘΕΜΑ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = + i και = i. α) Να αποδείξετε ότι i = και i + =. Μ: 8 6 6 β) Να αποδείξετε ότι + =. Μ: 8 k i γ) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό w=, k R {} k Nα αποδείξετε ότι για κάθε k R {} ισχύει Im( w ) = Μ: 9 ΘΕΜΑ α + e, Θεωρούµε τη συνάρτηση f( ) = όπου α R ln, > A) Να υπολογίσετε τον πραγµατικό αριθµό α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο =. M: B) Αν για τον πραγµατικό αριθµό α ισχύει α = : Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο =. Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = e. Θεωρούµε τη συνάρτηση f( ) = ln + e, (, + ). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, + ). Μ: 6 ln e β) Να βρεθούν τα όρια lim, lim, lim f ( ) Μ: 6 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 5 έχει µοναδική λύση στο διάστηµα (, + ). Μ: 6 e f ( e). δ) Έστω Π= f ( d ) + f ( d ) f () Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Π ln(). Μ: 7-5 -
ΘΕΜΑ α) Έστω η συνάρτηση f ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 6 =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) και ισχύει f ( ) = Μ: β) Έστω µία συνάρτηση f και το σηµείο του πεδίου ορισµού της. Πότε θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.. Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει + + Μ:. Έστω η συνάρτηση f() = εφ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R = R { / συν = } και ισχύει f ( ) = συν Μ:. Αν lim f( ) <, τότε f( ) < κοντά στο. Μ: 4. συν d = ηµ + c. Μ: 5. Αν για µία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστηµα [α, β] ισχύει f( ) για κάθε [ α, β ], τότε β f( ) d. Μ: α ΘΕΜΑ 5 5 Έστω ότι για τον µιγαδικό αριθµό ισχύει: ( 5 ) = ( 5) α) Να δείξετε ότι 5 = 5 β) Να δείξετε ότι: = Μ: γ) Αν w= 5+ να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγαδικό επίπεδο. Μ: ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f( ) = ln( -5) + α) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f; M: 6 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μ: 7 γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f. Μ: 6 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = 6 έχει µοναδική λύση στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Μ: 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ( ) = + f( t) dt, R f ( ) α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση φ ( ) = είναι σταθερή. e β) Να αποδειχθεί ότι f ( ) = e γ) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου Ε(λ) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες =, = λ µε λ >. Μ: δ) Να βρεθεί το lim E( λ ). λ + λ β α - 6 - ( 7/9/ :45:7)
ΘΕΜΑ Α..Έστω η συνάρτηση f ( ) f ( ) συν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 = ηµ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει: =. Μ:. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Β. Να γράψετε στο τετράδιο σας τους αριθµούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, η (Λ), αν είναι λανθασµένη. ν ν. Για κάθε µιγαδικό αριθµό ζ και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: =. Μ: συν. Ισχύει: lim =. Μ:.Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα εσωτερικό σηµείο o ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο o. Μ: 4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o και g ( o ), τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο f ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) o και ισχύει: = Μ: g ( ) ( g ( )) 5. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ' ένα διάστηµα, ισχύει: f ( d ) = f( ) + c, c R. Μ: ΘΕΜΑ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = i, = και = + i. α. Να αποδείξετε ότι: + β. Αν για το µιγαδικό ισχύει =, τότε να αποδείξετε ότι: i. Re( ) =Ι m( ). Μ: ii. για, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α =. + Μ: ΘΕΜΑ 4 5 f, f και f e. 5 > < > e 4 ίνεται η συνάρτηση f( ) = ln +, (, + ) α. Να αποδείξετε ότι: ( ) β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο M (, l f()) l. γ. Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. Μ: 4 δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ),+. Μ: f = έχει ακριβώς δυο ρίζες στο διάστηµα ( ) Έστω f µία παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R, για την οποία ισχύει f ( ) f( ) = 4e και f() =. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h ( ) e f( ) e β. Να αποδείξετε ότι f( ) = e + : e Μ: 6 γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα: Ι ( ) = f( t) dt Μ: 9 Ι() δ. Να βρείτε το lim + Μ: 6 4 = είναι σταθερή. - 7 -
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ Α. α. Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε να αποδείξετε ότι: =. M: β. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; M: 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.. Για τον µιγαδικό αριθµό = α + β i µε α, β R ισχύει = τότε και µόνον τότε, αν α = και β =. M:. ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Τότε πάντα ισχύει: ( ) lim f ( ) g( ) = lim f( ) lim g( ) M:. Έστω µια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. M: β 4. Αν είναι f( ) d>, τότε f() > για κάθε [α, β]. M: α 5. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σ ένα διάστηµα, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f, σε κάθε σηµείο του βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. M: ΘΕΜΑ Α. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = κ + ( κ + ) i µε κ R. α. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία y = +. M: 6 β. Ποιοι από αυτούς τους µιγαδικούς αριθµούς έχουν =; M: 9 4 4 B. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει α + β + 8 = ( i) ( + i) α, να δείξετε ότι α = και β =. M: ΘΕΜΑ + ln ίνεται η συνάρτηση f µε f( ) =, >. α. Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. M: β. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) + M: 8 γ. Να υπολογίσετε το ορισµένο ολοκλήρωµα: e I = f( ) d M: 7 ίνεται η συνάρτηση f µε f() = ηµ, όπου R. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας στο σηµείο (, f()) της γραφικής παράστασης της f. M: β. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y = και y =. M: γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει η ανισότητα ηµ >. M: 5-8 - ( 7/9/ :45:7)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 ΘΕΜΑ ο Α. α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιµη στο, και ισχύει: ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) M: β. Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f; M: 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.. Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους. M:. Κάθε συνάρτηση που είναι - είναι γνησίως µονότονη. M: ηµ. Ισχύει: lim =. M: 4.Η συνάρτηση f ( ) = ln R *, είναι παραγωγίσιµη στο R * και ισχύει ( ln ) =. M: α + α 5. Ισχύει: d = + c, όπου α, c είναι πραγµατικοί αριθµοί και α -. M: α + ΘΕΜΑ ο ίνεται ο µιγαδικός αριθµός α. Να αποδείξετε ότι: ii ( ) =. + i = + i, = i, = + i. M: 9,, β. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των µιγαδικών αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. M: 9 γ. Να αποδείξετε ότι: = + + +. M: 7 - ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e α, όπου α R. α. Να βρεθεί η τιµή του α, ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, f()) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = e M: β. Για α=-, i. να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, M: ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι οριζόντια ασύµπτωτη της C f στο. M: 5 ο ίνονται οι συναρτήσεις f() = - και g() = ln, >. α. Να αποδείξετε ότι: f() g(), για κάθε >. M: 8 β. Αν h() = f()-g(), τότε: i. Να αποδείξετε ότι: h() e-, για κάθε [,e]. M: 7 ii. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = e. M: 5 e ( ) iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I = h e [ h( ) + ] h ( ) d. M: 5-9 -
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω η συνάρτηση f() = εφ, A, όπου Α = R { /συν } Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και ισχύει ( εφ) =, A M: συν Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο o του πεδίου ορισµού της; M: 5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον πραγµατικό άξονα. β) Αν α >, τότε lim α =+ + γ) Αν η συνάρτηση f : A R είναι, τότε ισχύει δ) ηµ d = συν + c, c R ε) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σε ένα διάστηµα, τότε f - ( f ( )) =, A ισχύει f ( g ) ( d ) = f( g ) ( ) + f ( gd ) ( ), M: ΘΕΜΑ Β Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει = i Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία µε εξίσωση ψ = M: 7 Β. Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς, να βρείτε εκείνους που έχουν µέτρο ίσο µε M: Β. Έστω = + i και = + i οι µιγαδικοί αριθµοί που βρήκατε στο ερώτηµα Β. Να αποδείξετε ότι + = M: 8 4 4 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. M: 8 Γ. Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ ψ είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f M: 7 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (, e) M: ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι σχέσεις f ( ) = f( ) +, R και f () =. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) = e( f( ) + ), R, είναι σταθερή. M: 5 -. Να αποδείξετε ότι f ( ) = e +, R M: 7. Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε R M: 6 4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία = M: 7 - - ( 7/9/ :45:7)
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ A. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μ: A. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ; A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη., ν Ν* ν α. Αν, τότε ( ) = ( ) ν β. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof) = (hog)of συν- γ. lim = β γ β f()d + f()d α α γ δ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και α, β, γ, τότε ισχύει f()d = ε. Αν <α<, τότε lim α Μ: = ΘΕΜΑ Β 4 Έστω w = +, όπου µιγαδικός αριθµός µε Β. Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς και για τους οποίους ισχύει w = Μ: 6 Β. Αν = + i και = i είναι οι µιγαδικοί αριθµοί που βρήκατε στο ερώτηµα Β, τότε να αποδείξετε ότι = = 8. Μ: 6 Β. Αν και είναι οι µιγαδικοί αριθµοί του προηγούµενου ερωτήµατος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, και = στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Μ: 8 4 Β4. Αν =, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθµός w είναι πραγµατικός. ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = ln(e + ), R Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μ: 7 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη. Μ: 8 Γ. Να αποδείξετε ότι: f () < f () + ln, για κάθε (, + ) Μ: ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (,+ ) R για την οποία ισχύει: f(t) dt= ( ln( + )) ( + ), >- ln. Να αποδείξετε ότι f( ) =, > - Μ: 6 + e. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι: ( + ) e +, για κάθε >- Μ: 6. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία =e- Μ: 6 + 4. Να αποδείξετε ότι: ( + ) = f() = f(), > και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση + = > έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις = και = Μ: 7 + ( ), - -
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f()=, είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) µε f()= Μ: Α. Πότε µια συνάρτηση f: Α R λέγεται συνάρτηση -; Μ:5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν C, τότε = Im() α) Αν είναι f( ) =, τότε f( ) =+ lim lim β) Ισχύει (εφ) =, R - {/συν } συν γ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο και g( ), τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη f f ( ) g( ) f ( ) g ( ) στο και ισχύει: ( ) = g g ( ) ( ) β δ) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f() για κάθε [α, β], τότε f( ) d Μ: α ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει i - =. Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σηµείο Κ (, -) και ακτίνα ρ=. Μ:9 Β. Για τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι. Μ:8 Β. Αν, είναι δύο από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς µε = και Α, Β οι εικόνες των, αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ, όπου Κ(,-), είναι ορθογώνιο. Μ:8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e, R Γ. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Μ:8 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. Μ:5 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() =, R έχει ακριβώς µια ρίζα, το. Μ:5 Γ4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y= και =. Μ:7 ΘΕΜΑ f() Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύουν: lim = f()= και η f είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι f() = f () = Μ:8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. Μ:5. Να αποδείξετε ότι f() f(ξ) για κάθε R. Μ:4 4. Αν επιπλέον δίνεται ότι f(ξ)>, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(t)dt =, R έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ). Μ:8 - - ( 7/9/ :45:7)