Φ2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ

Φ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ο ΓΕΛ Ν ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ

Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

ΘΕΜΑ Α-ΘΕΩΡΙΑ Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του R i Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α; ii Τι ονομάζουμε τιμή της f στο ; Να περιγράψετε τα βασικά στοιχεία της έννοιας της συνάρτησης: f : A R i Τι λέμε ανεξάρτητη και τι εξαρτημένη μεταβλητή; ii Πως συμβολίζεται το πεδίο ορισμού της f ; iii Τι ονομάζεται σύνολο τιμών της f και πως συμβολίζεται; Τι σημαίνει η έκφραση << Η f είναι ορισμένη στο σύνολο Β >> 4 α) Πότε θεωρούμε ότι έχει οριστεί πλήρως μια συνάρτηση f ; β) Ποιοι είναι οι βασικοί κανόνες για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f της οποίας δίνεται ο τύπος; 5 Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, AÍ R i Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση της f και πως συμβολίζεται αυτή; ii Πως αναγνωρίζουμε αν μια γραμμή είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; iii Πότε το σημείο M(, y ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ; o o iv Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f να περιγράψετε πως μπορούμε να βρούμε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f ; v Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τότε πως προκύπτει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων - f και f ; vi Πως βρίσκουμε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ; vii Πότε η f λέγεται άρτια; viii Πότε η f λέγεται περιττή; i Τι χαρακτηριστικό έχουν οι γραφικές παραστάσεις μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης; 6 α) Πως βρίσκουμε τα κοινά σημεία συναρτήσεων f και g ; β) Πως βρίσκουμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων f και g ; 7 Πότε δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

8 Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f( ) = a+ ba, ¹ 0 f( ) = f( ) f ( ) a, a 0 = ¹ = f( ) f = hm f( ) f( ) = a,0< a ¹ f( ) = log,0 < a ¹ a a = ¹ f( ) =, a ¹ 0 ( ) a, a 0 = sun f( ) = ef 9 Έστω f και g δυο συναρτήσεις Ορίστε: i Το άθροισμα των f + g, ii Τη διαφορά των f iii Το γινόμενο των f iv Το πηλίκο f g - g, g, Ποιο είναι το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παραπάνω συναρτήσεις; 0 Αν f και g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού τα σύνολα Α και Β αντίστοιχα, τότε: i τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g ; ii πως συμβολίζεται αυτή η σύνθεση και ποιο είναι το πεδίο ορισμού της; Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε πότε η go f δεν ορίζεται; Έστω Δ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f Πότε μια συνάρτηση λέγεται: i γνησίως αύξουσα στο Δ ii γνησίως φθίνουσα στο Δ iii γνησίως μονότονη στο Δ Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και 0 i Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 ii Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται - (ένα προς ένα); Î A Î A μέγιστο και ποιο είναι αυτό; Î A ελάχιστο και ποιο είναι αυτό; 5 α) Ποια προϋπόθεση πρέπει να ισχύει, ώστε μια συνάρτηση f να έχει αντίστροφη συνάρτηση; β) Πως ορίζεται τότε η αντίστροφη συνάρτηση της f ; γ) Πως συμβολίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f και ποιο είναι το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της; C δυο αντίστροφων συναρτήσεων, της f και - f, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = 6 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και της Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 0

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Για μια συνάρτηση f : A R ισχύουν: α Αν η f είναι «-» τότε: f(α) = f(β) Û α= β, α,β Α β Η f είναι αντιστρέψιμη Û Η f είναι «-» γ Αν η f είναι αντιστρέψιμη τότε: f - Πεδίο ορισμού της είναι το f(a) Σύνολο τιμών της f - είναι το Α Για κάθε Î A ισχύει: - f() y f (y) = Û =, - οπότε: f(f (y)) = y για κάθε yî f(a) και Î - f (f()) = για κάθε Î A C,C είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο y = Άρα: M(α,β) ÎC Û N(β,α) Î C - f - f α Αν η f : A Rείναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η f είναι «-» Απόδειξη Έστω f γνησίως αύξουσα στο Α (όμοια εργαζόμαστε αν f γνησίως φθίνουσα )Θεωρούμε, ÎA Τότε: ( ) ( ) ì < ìf < f ï ï ¹ Þí ή Þí ή Þ f ¹ f ï ï î > îf ( ) > f ( ) ( ) ( ) ( Το αντίστροφο δεν ισχύει Για παράδειγμα η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο β Αν η : A R * R ) f είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε και η συνάρτηση στο f(a) με το ίδιο είδος μονοτονίας Απόδειξη f Άρα η f είναι «-» f() = είναι «-», αλλά δεν είναι - f είναι γνησίως μονότονη Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α (όμοια εργαζόμαστε αν f γνησίως φθίνουσα ) Άρα η f είναι «-» και άρα αντιστρέφεται Θα δείξουμε ότι f - είναι γνησίως - - αύξουσα στο f ( A ) Δηλαδή για κάθε y, y Î f ( A) με y < yισχύει f ( y) < f ( y) - - Έστω y, y Î f ( A) με y < y έτσι ώστε f ( y) ³ f ( y) άρα και - - ( ( ) ) ( ) ( ) f f y ³ f f y επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε έχουμε y y - - Άρα f ( y ) f ( y ) < και συνεπώς η f - είναι γνησίως αύξουσα ³, Άτοπο f α Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y β Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) των αξόνων γ Αν η f είναι άρτια, τότε η f δεν είναι - δ Αν η f είναι περιττή, τότε η f μπορεί να είναι «-» (πχ f() = ), αλλά μπορεί και να μην π 5π είναι «-» (πχ f() = ημ αφού ημ = ημ = ) 6 6 Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 0

4 Έστω συνάρτηση f, ορισμένη σε διάστημα D με, ÎD και ¹ τότε: α Αν β) Αν ( )- ( ) f f - ( )- ( ) f f - ( ) ( ) > 0 Û -, f - f ( ) ( ) < 0 Û -, f - f ομόσημοι ετερόσημοι f γνησίως αύξουσα f γνησίως φθίνουσα 5 Μια συνάρτηση f, μπορεί να έχει το ίδιο είδος μονοτονίας στα διαστήματα αλλά όχι και στην ένωση 6 Αν μια μη σταθερή συνάρτηση είναι άρτια τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το μηδέν, θα έχει αντίθετο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν στο [ a, b ] είναι γνησίως φθίνουσα, στο [ b, a] γνησίως αύξουσα Παράδειγμα η συνάρτηση ( ) f = sun Επομένως: Αν f άρτια συνάρτηση Η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη - - είναι 7 Αν μια μη μηδενική συνάρτηση είναι περιττή τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το μηδέν, θα έχει το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν στο ( a, b ) είναι γνησίως αύξουσα, και στο ( b, a) γνησίως αύξουσα Παράδειγμα η συνάρτηση f ( ) = ej - - είναι 8 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στα διαστήματα ( a, b ] και [ b, g) τότε θα είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο διάστημα ( ag, ) 9 Αν f συνάρτηση γνησίως μονότονη στο D, τότε η C f τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο με τετμημένη, που σημαίνει ότι η εξίσωση f ( ) = 0 έχει το πολύ μία λύση στο D Επομένως, αν f συνάρτηση γνησίως μονότονη στο D και η εξίσωση f ( ) = 0 έχει μία λύση στο D, τότε θα είναι και μοναδική 0 Για να δείξουμε μία συνάρτηση f ορισμένη στο D ότι δεν είναι γνησίως φθίνουσα, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν με τέτοια ώστε Αντίστοιχα για να δείξουμε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν με τέτοια ώστε Σε κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση f, η γραφική της παράσταση ( C f ) τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία (ε // ) το πολύ σε ένα σημείο Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα D και τότε και στην επίλυση εξισώσεων, το οποίο μπορεί να μας βοηθήσει στην απόδειξη ανισοτήτων ή Ομοίως αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 0

α) Αν μια πολυωνυμική συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ a, b ] τότε η f θα έχει μέγιστο το και ελάχιστο το β) Ενώ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] το f ( b ) a b τότε θα έχει μέγιστο το ( a ) f και ελάχιστο 4 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα ( a, b ) τότε δεν έχει ακρότατα 5 Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f είναι το διάστημα: α) τότε η f έχει ελάχιστο το και μέγιστο το β) τότε η f έχει ελάχιστο το και δεν έχει μέγιστο γ) τότε η f έχει μέγιστο το και δεν έχει ελάχιστο δ) τότε η f δεν έχει ακρότατα 6 α) Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια και παρουσιάζει μέγιστο (ή ελάχιστο) σε ένα σημείο της, το, τότε θα παρουσιάζει και στο μέγιστο (ή ελάχιστο αντίστοιχα) το Παράδειγμα η συνάρτηση f ( ) = sun β) Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή και παρουσιάζει μέγιστο (ή ελάχιστο) σε ένα σημείο της, το, τότε θα παρουσιάζει στο ελάχιστο (ή μέγιστο αντίστοιχα) το Παράδειγμα η συνάρτηση f ( ) = hm 7 α) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο το m και m < 0 τότε f ( ) < 0 για κάθε β) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο το e και e > 0 τότε f ( ) > 0 για κάθε 8 α) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι f( ) a (ή ( ) ³ a f ) για κάθε Î f D, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f έχει μέγιστο το a (ή ελάχιστο αντίστοιχα το a ) β) Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι η εξίσωση f( ) = a έχει λύση στο D f τότε η f θα έχει μέγιστο το a (ή ελάχιστο αντίστοιχα το a ) æ ù 9 Η συνάρτηση f( ) =α +β+γ με a >0 είναι γνησίως φθίνουσα στο ç-,- β è ú και α û é ö γνησίως αύξουσα στο ê- β, + β æ β ö Δ Έχει ελάχιστο για =- το f ë α ç - =- ø α è α ø 4α 0 Γενικά η σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο δίνει συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο ενώ η σύνθεση συναρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίας στο δίνει συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο Τα κοινά σημεία των - C,C εφόσον υπάρχουν έχουν συντεταγμένες που προσδιορίζονται από f f Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 0

τις λύσεις του συστήματος ì ïy=f() íï - îy=f () (Σ ) Το σύστημα (Σ ) είναι ισοδύναμο με τα συστήματα: ìï í ïî y=f() =f(y) (Σ ) και Αν ξέρουμε τον τύπο της f επιλύουμε το (Σ ) ενώ αν ξέρουμε τον τύπο της ì ï = í ïî = - f (y) - y f () (Σ ) f - επιλύουμε το (Σ ) Αν όμως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε αποδεικνύεται ότι οι C f, κοινά σημεία, θα βρίσκονται στη διχοτόμο y = Δηλαδή : Έστω η συνάρτηση f : f ( ) Απόδειξη με ( ) - = και f ( ) f ( ) C f - εφόσον έχουν f = Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι οι εξισώσεις = είναι ισοδύναμες - - Έστω μία ρίζα της εξίσωσης f ( ) = f ( ), δηλαδή f ( ) f ( ) και f ( ) = Είναι f γνησίως αύξουσα και αν υποθέσουμε ότι f ( ) - ίδιο είδος μονοτονίας θα ισχύει - f ( f ( ) ) f - > ( ) άρα και f ( ) - (είναι f ( ) = f ( ) ) προκύπτει f ( ) το f ( ) < Οπότε f ( ) =, δηλαδή το είναι ρίζα της f ( ) = - Αντιστρόφως Έστω ότι f ( ) =, θα αποδείξουμε ότι και f ( ) f ( ) - - - f ( ) = Û f ( f ( ) ) = f ( ) Û = f ( ) και (από υπόθεση είναι f ( ) - άρα f ( ) = f ( ) = Πρέπει να αποδείξουμε ότι > (Ι), αφού και η f - > και λόγω της υπόθεσης έχει το > (άτοπο λόγω της Ι ) Με όμοιο τρόπο απορρίπτουμε και = Πράγματι: = ) Δηλαδή όταν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως αύξουσα στο A,τότε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των γραφημάτων της f και - f είναι υποχρεωτικά πάνω στη διχοτόμο y= Σε αυτή την περίπτωση, για να βρούμε τα σημεία τομής λύνουμε το σύστημα των σχέσεων: ìï y= í ïî y=f() ή ì ï íï î y= - y=f () Δηλαδή ισχύουν οι ισοδυναμίες: - ( ) = () Û και ( ) Û f f f()= - - = (), ÎAÇ f ( A) ¹Æ f f f ()= Όταν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, για να βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων της f και - f, αν υπάρχουν, λύνουμε το σύστημα των σχέσεων: ìï y=f() í - ïî y=f () Σε αυτή την περίπτωση, τα κοινά σημεία τομής των γραφημάτων της f και βρίσκονται υποχρεωτικά μόνο πάνω στη διχοτόμο y= έχει αντίστροφη την f - - f, αν υπάρχουν, δεν Για παράδειγμα, η συνάρτηση f() = () =, οπότε όλα τα σημεία των C f, C f - είναι κοινά αλλά μόνο δύο Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 0

- από αυτά τα (, ) και (, ) ανήκουν στην y = Επίσης η f() = έχει αντίστροφη την f () = οπότε C f, C f - έχουν όλα τους τα σημεία κοινά αλλά κανένα δεν ανήκει στην y = - - Αν οι C f, Απόδειξη C f - έχουν ένα μόνο κοινό σημείο τότε αυτό βρίσκεται στη διχοτόμο y = Πράγματι, αν υπήρχε κοινό σημείο των οπότε οι C f, C f, C f - θα είχαν και άλλο κοινό σημείο Ν(β, α) Άτοπο C f - το Μ(α, β) και M Ï δ:y= τότε θα ήταν α¹ β 4 Αν ένα σημείο ανήκει στην C f και στη διχοτόμο y = τότε το σημείο αυτό ανήκει και στη Απόδειξη Πράγματι αν Μ(α, β) κοινό σημείο των C f και y = τότε είναι β = f(α) και β = α, οπότε: α= β - - f (β) = αû f (α) = β Û Μ(α,β) ÎC - f C f - ΘΕΜΑ Α - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ïì 0, αντο είναι πρώτοςαριθμός Αν Α = Ν - {0, }, τότε η αντιστοιχία f : Α {0, } με f () = í ïî, αν το είναι σύνθετος αριθμός είναι συνάρτηση Για τη συνάρτηση f () = ln, > 0, ισχύει f ( y) = f () + f (y) για κάθε, y > 0 Για τη συνάρτηση f () = e, Î R, ισχύει f ( + y) = f () f (y) για κάθε, y Î R 4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα 5 Δίνεται η συνάρτηση y = f () Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = 0 και λύσουμε την εξίσωση 6 Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια Î R, ώστε να ισχύει f () = g () 7 Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία 8 Αν η συνάρτηση f είναι -, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R και ισχύει: f (g()) = f (h()) για κάθε Î R, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες 9 Η συνάρτηση f () =, ¹ 0, είναι σταθερή 0 Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (0, + ) Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R f () - f ( ) Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ Αν ο λόγος είναι θετικός για - κάθε, Î Δ, με ¹, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση - f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 0

4 Η συνάρτηση f () = είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (-, 0) È (0, + ) 5 Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο 0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο - 0 6 Αν μια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου στο σημείο - 0 7 Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι - 8 Αν μια συνάρτηση f είναι -, τότε είναι πάντοτε περιττή 9 Η συνάρτηση f () = ν, ν Î Ν* είναι: i) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος ii) περιττή, αν ο ν είναι περιττός 0 Αν η συνάρτηση f είναι -, τότε ισχύουν: i) f (f - ()) = για κάθε που ανήκει στο σύνολο τιμών της f ii) f - (f ()) = για κάθε Î D f Έστω η συνάρτηση f () =, Î [0, + ) Τότε κάθε κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των C f και C f - ανήκει στην ευθεία y = Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει ότι: i) fog = f g ii) fog = gof 4 Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και μια συνάρτηση I, για την οποία ισχύει Ι () =, για κάθε Î R Τότε ισχύει (Iof) () = (foi) (), για κάθε Î R 5 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είναι: i) γνησίως αύξουσα, αν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας ii) γνησίως φθίνουσα, αν οι f, g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας 6 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με ( ) < 0 f για κάθε ÎD, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ 7 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι - στο R, τότε και η συνάρτηση gof είναι - στο R 8 Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο τότε αυτή δεν είναι άρτια 9 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο διάστημα Δ τότε η σύνθεση της f με την g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ 0 Αν για κάθε Î ισχύει f ( ) 940 τότε η f παρουσιάζει μέγιστο με μέγιστη τιμή 940 Αν η συνάρτηση f έχει μοναδική ρίζα στο τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο τότε η γραφική της παράσταση τέμνει τον σε ένα τουλάχιστον σημείο Αν για κάθε Î ισχύει f ( ) α για κάποιον πραγματικό αριθμό τότε το είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f στο 4 Αν για κάθε Î ισχύει f( ) f () με () έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή f > 0 και είναι άρτια στο τότε η συνάρτηση f 5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τις ευθείες, και ισχύει f ( ) για κάθε Î τότε η f έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή 6 Η εξίσωση f ( ) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο αν και μόνο αν είναι γνησίως μονότονη στο 7 Αν η εξίσωση f ( ) = 0 έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες τότε είναι - 8 `Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι -, αλλά δεν είναι γνησίως αύξουσες 9 Αν τότε η Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 0

40 Η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι άρτια τότε είναι και - 4 Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι «-» 4 Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη 4 Αν η f είναι «-» τότε η f δεν είναι άρτια 44 Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύει ότι: f γνησίως φθίνουσα στο D και g γνησίως αύξουσα στο D τότε η εξίσωση f ( ) = g( ) έχει το πολύ μία ρίζα στο D ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = είναι το σύνολο + 4 Α R - {-, } Β R Γ R - {- } Δ [, + ) Ε R - {} Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = ln (9 - ) είναι το σύνολο Α R - {-, } Β R - {} Γ [, + ) Δ (-, ) Ε (-, - ) È (, + ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = ln ( - ) είναι το σύνολο Α R Β (-, ) Γ [, + ) Δ (, + ) E (-, ) È (,+ ) 4 Αν f () = - 9 + 7-7, τότε το f () είναι ίσο με Α - B - 7 Γ 7 Δ 0 E 8 ì0, αν < 0 5 Αν f () = í, τότε ισχύει ότι î, αν ³ 0 Α f () = + Β f () = - Γ f () = + Δ f () = - 6 Αν f () = f (α) - f (β) και α ¹ β, τότε το είναι α - β Α (α + β) Β α + αβ + β Γ α + β Δ α - αβ + β Ε α Ε f () = 7 Το σύνολο των σημείων που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = - - + τέμνει τον άξονα είναι Α {-, } Β {} Γ {-,, } Δ {-, -, } Ε {, } ì ï, 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f () = í - ï î 0, και οι παρακάτω προτάσεις: ì- + ¹ ï,, g () = - = í ï î 0, ¹ = Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

Ι f ( ) = g ( ) ΙI f () = g () III f () = g () για κάθε Î R Τότε ισχύει Α μόνο η Ι Β μόνο η ΙΙ Γ μόνο οι Ι και ΙΙ Δ μόνο η ΙΙΙ Ε κανένα από τα παραπάνω 9 Αν η πολυωνυμική εξίσωση f () = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς -,, τότε η εξίσωση f () = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς Α, - Β, - Γ -, Δ -, 6 Ε, - 6 0 Η συνάρτηση g της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y, της C f με τύπο f () = - έχει τύπο Α g () = + B g () = - - Γ g () = - Δ g () = ln ( - ) E g () = ln ( - ) Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της y = f () ως προς τον άξονα είναι η Α y = f (-) B y = - f () Γ y = f () Δ y = f () E y = - f (-) Το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = 6 + 4 + + με τον άξονα είναι Α 6 B 5 Γ 4 Δ E 0 Δίνεται η συνάρτηση f () = + κ + λ - 5 Αν f () = 8 και f (- ) = 4, η τιμή της παράστασης κ + λ είναι ίση με Α 0 B 8 Γ Δ - E 4 Η συνάρτηση f () = α + α, α < 0, έχει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους Α > 0 Β < - Γ - 0 Δ < α Ε > - 5 Για τη συνάρτηση f, που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα, δεν ισχύει ότι: Α Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R B Έχει σύνολο τιμών το διάστημα [-, ] Γ Είναι περιττή y - 0 - Δ Έχει ελάχιστο το - και μέγιστο το E Είναι γνησίως μονότονη στο R Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

6 Δίνεται η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα Από τις παρακάτω προτάσεις λανθασμένη είναι η Α Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R B Η f έχει σύνολο τιμών το διάστημα [, + ) Γ Η f είναι άρτια Δ Η f είναι - E Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, - ], σταθερή στο διάστημα [-, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) y - 0 7 Η συνάρτηση f () = ημ - Α - B 0 Γ π 8 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R Από τις παρακάτω προτάσεις να βρείτε αυτήν η οποία είναι λάθος Α Η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα της μορφής (κα, (κ + ) α) (κ ακέραιος) B Η f είναι περιοδική Γ Η f δεν είναι -, Î [0, π] έχει μέγιστη τιμή όταν το είναι ίσο με Δ π y E -α -α 0 α α Δ Η f είναι άρτια E Ισχύει f () ³ 0 για κάθε του πεδίου ορισμού της 9 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία αντιστρέφεται Τότε οι γραφικές παραστάσεις της f και της f - είναι συμμετρικές Α ως προς την ευθεία y = B ως προς την ευθεία y = Γ ως προς τον άξονα y y Δ ως προς την αρχή των αξόνων E ως προς τον άξονα 0 Η συνάρτηση f () = e - έχει αντίστροφη την æ ö æ ö Α g () = ln ç B h () = ln ç è ø è ø Γ φ () = ln Δ σ () = ln E t () = ln ( - ) Από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν έχει αντίστροφη η συνάρτηση Α y = ημ, Î [- π, π ] B y = + Γ y = + Δ y = e E y = ln ( - ), > Αν η συνάρτηση g έχει αντίστροφη την f, τότε το g (f()) είναι ίσο με Α B g () f () Γ Δ E κανένα από τα παραπάνω Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης f - μιας συνάρτησης f Τότε λάθος είναι ο ισχυρισμός Α πεδίο ορισμού της f είναι το [γ, δ] B σύνολο τιμών της f είναι το [α, β] Γ f - (ζ) = 0 Δ f (0) = ζ E Η f έχει ελάχιστο το α για = 0 α ζ y δ C f 0 β γ 4 Αν f () = α με D f = [0, + ) και α > 0, τότε Α Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () =, Df - = R * α B Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () = α Γ Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () =, D f - = [0, + ), Df - = [0, + ) α Δ Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () = α, D f - = [0, + ) E Η f δεν αντιστρέφεται 5 Αν f () = + με > -, τότε η f - έχει τύπο Α f - () = ( - ) B f - () = - Γ f - () = + Δ f - () = - + E f - () = ( + ) 4 6 Αν f ( ) = -4 - + 7 και g () = 7, τότε η συνάρτηση gof έχει τύπο: Α 7 4-8 - + 49 B - 4-4 Γ 89 Δ 7 E ( - 7) 7 Αν f ( ) = ln και g ( ) = 6-, τότε το πεδίο ορισμού της fog είναι: Α (-, 4] B [- 4, 4] Γ (-, 4) È (4, + ) Δ (- 4, 4) E (0, 4) 8 Δίνεται η συνάρτηση: g ( ) = + 9 Τότε ισχύει ότι: Α Dg = [- 9, + ] B Dg = R Γ Η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα Δ Η g είναι περιττή E Έχει σύνολο τιμών το R Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i f ( ) ii f ( ) iii ( ) = ln = - 4 + - - - ln f = - - iv f ( ) + - = ln + ln 5- - v ( ) = lnln4 ( -) f éë ùû vi ( ) f = - - vii f ( ) = log( - log ) viii f ( ) ln( ) i f ( ) = - = ln(4 - -) - f ( ) = ln(ln ) Β Δίνεται η συνάρτηση f() = + (-α) (α+) + α -5, αî i Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Μ(,-6) ii Αν η C f διέρχεται από το σημείο Μ(,-6), να βρεθούν τα κοινά σημεία της C f και του άξονα Β Αν Α f το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( ) g( ) = ln(ln( - )) να βρείτε το διάστημα Af Ag = - - και Α g το πεδίο ορισμού της συνάρτησης I εντός του οποίου ορίζονται και οι δυο συναρτήσεις Β4 Να βρεθεί o l Î ώστε η f ( ) ì- -, l = í îl- 4, ³ να είναι συνάρτηση Β5 Να βρεθεί η μικρότερη ακέραια τιμή του l Î ώστε η f ( ) ì-, l -l =í να είναι συνάρτηση î +, > 4l - 5 Β6 Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του l Î ώστε η f ( ) ì ï4+, l + l- =í ïî + 7, ³ l + 5l-4 να είναι συνάρτηση Β7 Δίνονται οι συναρτήσεις f() = + + +, g() = + + i Πότε η C f είναι «πάνω» από τη C g ; ii Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και Β8 Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( a ) Cg και να δείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου με εμβαδόν Ε= τμ f() 4 = - + + b + και Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 0

( a ) ( b) g() = + + - -, τέμνονται πάνω στις ευθείες = - και =, να βρείτε: i τις τιμές α και β, ii τα άλλα κοινά σημεία των C f και C g f = Β9 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) είναι η καμπύλη του σχήματος να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i f ( ) =- ii ( ) f = iii f ( ) = - + - iv f() = + Β0 Να γίνει γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων και από αυτές να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους i f(χ) = ½χ -½ ii g(χ) = - iii iv φ(χ) = e ½ï h(χ) = ïln-½ v σ(χ) = lnïï vii ρ(χ) = ln viii t(χ) = ( e - ) p i π(χ) = ημ(χ+ ) f(χ) = i f(χ) = ( ) - - + vi g(χ) = - 4+ 4 ii f(χ) = + Β Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις με τύπους f() και g() είναι ίσες Στην περίπτωση που δεν είναι, να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο, του, στο οποίο είναι ίσες i f( ) ln( 9) ii iii f() f() = iv f() = = - και g() = ln( - ) + ln( + ) = και ( ) -9 + + - g() = και g() = - και g() = + + v f() = - + και g() = - + Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 0

vi f() = ln 5 και g() = 5ln vii f() = ln 4 και g() = 4ln viii f() = ln( + - ) και g() = -ln( + + ) Β Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους: f() = ln( + ) και g() = 4- Να οριστούν οι συναρτήσεις: f + g, g f, fοg Β Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους: f() = + και g() = - Να οριστούν οι συναρτήσεις: f + g, f g, g f, f g Β4 Δίνεται η f() = - και g() = + -6 Να βρεθεί η fοg Β5 Δίνεται η f() = - - και g() = ημ- Να βρεθεί η fοg Β6 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους: f() = + - 4 και g() = + Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τον τύπο και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h = fog Β7 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους: f() = -, με Î[-,] και g() = 5-, με Î[,7] Να οριστούν οι συναρτήσεις: fοg και gof Β8 Δίνεται η συνάρτηση f () = ln( + + ) i Να βρεθεί το ΠΟ της f ii Αν g() = -, τότε οι συναρτήσεις fog και f είναι ίσες Β9 Να βρεθεί η fοg όταν: i f( ) = - και g()= - Β0 Έστω f(ln) = +, >0 Να βρεθεί η f e ii f ( ) = και g()=ln(-) e - Β Να βρεθεί η συνάρτηση g, ώστε να ισχύει: (gof)() = +, αν f()=ln() - Β Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [7,7] να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( ) = f ( + - ) Β Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : με g() = - και Να βρεθεί η συνάρτηση f Β4 Αν f ( ) = +, να βρεθεί η συνάρτηση g : για κάθε Î (fog)() = + + για κάθε Î για την οποία ισχύει + (fog)() = e + Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 0

Β5 Δίνονται οι συναρτήσεις: g() =, s() e = και p() hm = Εκφράστε κάθε μια από τις συναρτήσεις που ακολουθούν χρησιμοποιώντας μόνο σαν πράξη τη σύνθεση i f ( ) = e hm ii f ( ) = hme iii f ( ) = hm iv f ( ) v ( ) vi f ( ) = hm f = hm( hm(e)) = e hm Β6 Να εξηγήσετε γραφικά ποια από τις παρακάτω ανισώσεις είναι αληθής και ποια όχι i hm < 4 για κάθε Î ii ln > e για κάθε >0 iii ln + για κάθε >0 Β7 Να λυθεί η ανίσωση: - + æ 9 ö æ 9 ö ç < ç è0 ø è0 ø Β8 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln = f iνα βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f iinα δείξετε ότι f ( ) = e, για κάθε Î A iiiνα σχεδιάσετε την C f Β9 Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το για την οποία υποθέτουμε ότι είναι περιττή και παρουσιάζει στο Î 0 ελάχιστο Να δειχθεί ότι η f έχει και μέγιστο Β0 Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: - i f( ) - iii f ( ) = + Β Στις παρακάτω συναρτήσεις να οριστεί η - f = e + = - ii ( ) iv f -, αν ορίζεται: f( ) = + - - - f = e - 5 i ( ) f ln e - = e + ii ( ) iii f ( ) = -5- Β Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) e = e + και g() = -ln Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f - og Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 0

Β Δίνεται η συνάρτηση f ( ) - = ln 8 - Β4 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση Γ Έστω η συνάρτηση f : Να βρείτε τα σύνολα τιμών αυτής και της αντιστρόφου της για την οποία ισχύει ( ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 0 έχει δυο, τουλάχιστον ρίζες Β5 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5+ 4+ f( ) = με τη βοήθεια της αντιστρόφου της f + f( ) = 0, για κάθε Î = Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε - καθένα από τα διαστήματα [ 0,4) και ( 4,+ ) αλλά όχι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της A = [ 0, 4) È ( 4, + ) Β6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: f = 5 i ( ) g = 9- ii ( ) + Β7 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i ( ) f = - ( ) ln( p) ii g = - -e p - Β8 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: = - + g = - i f ( ) ii ( ) Β9 Α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ) και f( ) > 0 για κάθε Î ( 0, + ) αποδείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) æ f ö = + f ç è ø ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, + ) Β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) h = + e - ln e Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 0

Β40 Α) Η συνάρτηση f,ορισμένη στο, είναι άρτια και γνησίως μονότονη στο [ 0,a ], a > 0, με f ( 0) = a, f ( a ) = 0 i Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [- a,0] και γνησίως φθίνουσα στο [ 0,a ] ii Αποδείξτε ότι η f o f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ a,0] Β) Μελετήστε τη μονοτονία της συνάρτησης h( ) ( ) - και γνησίως αύξουσα στο [ ] = - - στο [,] - 0,a Β4 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) αντίστροφη f - = αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε την + Β4 Αν f() = e + + Α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο Β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μοναδική ρίζα στο Γ Αν είναι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο να λύσετε την ανίσωση Β4 A) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) = ln + είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ) Β) Να λύσετε την ανίσωση Β44 Α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) p sune B) Να αποδείξετε ότι: > e sune - æp ö f = ç - sun è ø στο [ 0,p ] Β45 Α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Β) Να αποδείξετε ότι: Β46 Α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ' σε ένα μόνο σημείο Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 0

Β47 Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0,), Β(,) και ισχύει αποδείξτε ότι έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή Β48 Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφη f - Β49 Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφη f - Β50 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) γραφικές παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων = -,να βρείτε την αντίστροφη της και να χαράξετε τις Β5 Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το είναι περιοδική δεν είναι - Β5 Α) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο και για κάθε ισχύει () τότε να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο B) Αν για κάθε τότε να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη Β5 Έστω η συνάρτηση f με τύπο Τότε: iνα δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο iiνα δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη με: iiiνα βρείτε τα σημεία τομής των γραφημάτων της f και Β54 Αν f, g : συνάρτηση Β55 Αν f, g : f - γνησίως αύξουσες συναρτήσεις, να αποδείξετε ότι η fοg είναι γνησίως αύξουσα, με f γνησίως αύξουσα συνάρτηση και g γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η fοg είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Β56 Αν f, g : συνάρτηση Β57 Δίνεται η συνάρτηση: γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις, να αποδείξετε ότι η fοg είναι γνησίως αύξουσα f() = + i Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii Να λυθεί η ανίσωση - 6-5 6 - > - + Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i f ( ) = ( -) ( - ) ii ( ) iii ( ) - f = - - + ln + f = ln( - 4+ ) iv ( ) + + f = + 9-4 + 7 v f ( ) = [ ln( -)] vi f ( ) = ( 4- ) 5 Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με f( ) = e + + + - και i Να δείξετε ότι οι f και g είναι γνησίως μονότονες ii Να λυθούν οι ανισώσεις f()>0 και g() >0 Γ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) æö æ4ö = ç + ç - è5ø è5ø i Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα ii Να λυθεί η εξίσωση: iii Να λυθεί η ανίσωση: + 4 = 5 + 4 > 5 - - g() = - - - ln Γ4 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις i e - + ln+ = 9 7 5 ii + + + + = 5 é p ö iii hm + ej - sun + + = 0, Î ê 0, ë ø iv + 4 + 5 > 6 v vi + 4 ln < e -e 5 5 + 4 - + e - e < + - - ( ) Γ5 Έστω οι συναρτήσεις f, g : για τις οποίες ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f g g - + -, για κάθε Î Να αποδείξετε ότι f = g Γ6 Η συνάρτηση f : είναι περιττή και γνησίως φθίνουσα Να αποδείξετε ότι: i f ( 0) = 0 ii f ( ) < 0για κάθε ¹ 0 Γ7 Η συνάρτηση f : ικανοποιεί τη σχέση f( ) + f( - ) = hm, για κάθε Î Να δείξετε ότι η f είναι περιττή και να βρείτε τον τύπο της Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

Γ8 Έστω η συνάρτηση f : με ( f f )( ) =- Γ9 Να βρείτε τη συνάρτηση f : o, για κάθε Î Να δείξετε ότι η f είναι περιττή για την οποία ισχύει : ( ) 4 f e ( f( ) e ) Γ0 Έστω οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει ( ) ( ) Να δείξετε ότι η Cg τέμνει τον θετικό ημιάξονα Oy g f f = - = - ( ) + +, για κάθε Î Γ Έστω η συνάρτηση f : A για την οποία ισχύει f ( ) f( ) ( ) Να δείξετε ότι η C f δεν τέμνει τον άξονα Γ Έστω οι συναρτήσεις f, g : για τις οποίες ισχύει f ( ) g ( ) Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C g Γ Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ( ) ( ) Να βρείτε την f Γ4 Μια συνάρτηση f : - - = -, για κάθε Î A = + - 4, για κάθε Î f + f - = -,για κάθε Î έχει την ιδιότητα (fof)() = + 4, για κάθε Î Να βρείτε το f() Γ5 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( ) + f ( ) =-, για κάθε Î Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Γ6 Δίνεται η συνάρτηση - f() = ( e -e ), Î i Να οριστεί η f - ii Να δείξετε ότι η f - είναι περιττή Γ7 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = - - ln iνα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία f() = f iiνα λύσετε την εξίσωση: ( ) iiiνα λύσετε την ανίσωση: + ln > Γ8 Δίνεται η συνάρτηση iνα δείξετε ότι αντιστρέφεται iiνα λύσετε την εξίσωση: f() = e + + + - + e ( ) e ( ) + - + - = + + + Γ9 Δίνεται η συνάρτηση : - f() e = iνα δείξετε ότι αντιστρέφεται iiνα λύσετε την εξίσωση: iiiνα λύσετε την ανίσωση: = - f () - f () Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 0

Γ0 Δίνεται η συνάρτηση: - f () = ln + iνα βρείτε το πεδίο ορισμού της f iiνα δείξετε ότι αντιστρέφεται και να ορίσετε την f - iiiνα δείξετε ότι οι συναρτήσεις f -, f είναι περιττές 8-6i Γ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός: z = + i - i + i -i 50 95 65 και η συνάρτηση: z ( ) Im( ) Re( ) ln( ) f = - z - z + e + - Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Γ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να δείξετε ότι + = z ii Να βρείτε το Re( z ) ì ï + +, an = í z ï + ³ î, an όπου z μιγαδικός αριθμός με z ¹ 0 Γ Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f f ( ) Να αποδείξετε ότι : i η f είναι περιττή συνάρτηση, ii η f είναι, - f =- f iii ( ) ( ) ( ) 0 + =, για κάθε Î Γ4 Έστω η συνάρτηση f : η οποία είναι περιττή και αντιστρέψιμη Να δείξετε ότι η περιττή f - είναι Απόδειξη Από υπόθεση η f είναι αντιστρέψιμη τότε για κάθε yî f(a) υπάρχει μοναδικό Î A ώστε f() = y() Επίσης η f είναι περιττή, τότε για κάθε Επειδή f( -) Î f(a) Από την () προκύπτει -yî f(a) Έτσι Αλλά ισχύει: f - είναι περιττή - f() y f (y) Î A θα είναι και το -Î A, - - - f (- y) = f (f(- )) = (f f)( - ) =- = Û = τότε από την () προκύπτει ότι Γ5 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ( f f )( ) i Να βρείτε την f ( ), ii Να δείξετε ότι η f δεν είναι, + iii Να δείξετε ότι η ( ) ( ) g = e - f +, Î δεν είναι Γ6 Έστω οι συναρτήσεις f, g : ώστε η f o g να είναι () f( - ) = - f() =- y () o () - - f ( y) f (y) - =- Πράγματι η o = - +, για κάθε Î Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 0

i Να αποδείξετε ότι η g είναι ii Αν για κάθε 0 Γ7 Έστω η συνάρτηση f : ( ) ( ) > ισχύει: g f ( ln ) + = g + να αποδείξετε ότι f ( ) e η οποία είναι γνησίως αύξουσα με ( ) i Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, ii Να δείξετε ότι η f - είναι γνησίως αύξουσα στο, iii Αν f ( 0) = a, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της = +, για κάθε Î ----------------ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00------------------ f = f - Γ8 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ì -, =í î +, > και g ( ) ìï -, = í ïî -, > Να βρείτε (αν ορίζονται) τις συναρτήσεις : fog και gof Γ9 Έστω οι συναρτήσεις f, g : με f ( ) i Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g = + και ( )( ) o = + 6 + f g ii Αν h( ) = g ( ), να βρείτε τη συνάρτηση f o h iii Αν είναι ( f o f )( ) = 0 + e, για κάθε Î, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης fo f Γ0 Δίνεται η συνάρτηση f : i Να αποδείξετε ότι f ( 0) =, ii Να αποδείξετε ότι f ( ) f (- ) =, iii Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f y με f ( + y) ³ f ( ) f ( y ) ³ e + Γ i Αν οι συναρτήσεις f : A και g : B είναι και g ( B) είναι ii Αν ( f o g)( ) = -, για κάθε Î * + Í A, να δείξετε ότι η f o g,να δείξετε ότι μια τουλάχιστον από τις f, g δεν είναι * Γ Έστω οι συναρτήσεις f, g : Αν ab, Î και για κάθε Î ( g g)( ) =a g ( ) + bf ( + + 0) o και ακόμα η συνάρτηση f είναι, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι Γ Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ( ) ( ) i Να αποδείξετε ότι η f είναι, ii Να βρείτε τη συνάρτηση f - iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Γ4 Δίνεται η συνάρτηση f : είναι f + f =, για κάθε Î για την οποία ισχύει ( )( ) = 4f ( ) - Αν η συνάρτηση g ( ) = f ( ) - είναι, τότε: i Να αποδείξετε ότι η f είναι, ii Να βρείτε τις συναρτήσεις, f g f o f, για κάθε Î Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 0

Γ5 Έστω η συνάρτηση f : με f ( ) = f ( ) Αν η συνάρτηση f είναι, να δείξετε ότι οι εξισώσεις - = και f ( ) = είναι ισοδύναμες(έχουν δηλαδή τις ίδιες ακριβώς λύσεις) Γ6 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( ) f ( 0 ) f ( ) κάθε Î Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται - ³, για - e z ( f ) i - για τον e + e Γ7 Δίνεται η συνάρτηση f : και ο μιγαδικός αριθμός = + - ( ) οποίο ισχύει z - = iz + i Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, ii Να αποδείξετε ότι η f είναι, iii Να ορίσετε τη συνάρτηση f - Γ8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = με πεδίο ορισμού + [ 0, ) α) Να την εξετάσετε ως προς την μονοτονία της β)να βρείτε τα ελάχιστο της γ) Να βρείτε την αντίστροφη της δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών A = + Γ9 Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το είναι περιττή και - τότε και η είναι περιττή Γ40 Δίνεται η συνάρτηση f : κάθε Î f 0 = 0 α) Να δείξετε ότι: ( ), για την οποία ισχύει ( f f )( ) = f ( ) β) Αν f ( ) ¹ 0για κάθε ¹ 0 τότε να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται o () για f - Γ4 Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) την αντίστροφη της Γ4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) f e e - = + - α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται = - β) Να λυθεί η εξίσωση f ( ) f ( ) f = + + με γ) Να λυθεί η εξίσωση Γ4 Δίνεται η συνάρτηση: ( ) f α) Να βρείτε την αντίστροφη της β) Να λυθεί η εξίσωση = + 6 + + 0 Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 0

Γ44 Αν για κάθε Î ισχύει: f ( ) f ( ) - 4 ³ 9, δείξτε ότι η f δεν αντιστρέφεται Γ45 A) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο B) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Γ46 Α) Αποδείξτε ότι αν f γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως φθίνουσα στο f(δ) τότε η σύνθεση της f με την είναι γνησίως αύξουσα στο Β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση στο Γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την στο Γ47 Α) Αν η συνάρτηση f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο Β)Αποδείξτε ότι η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη στο Γ48 Έστω f : γνησίως μονότονη συνάρτηση, αν η C f τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία με τετμημένη - και τεταγμένη αντίστοιχα α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) Αν g γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο, να εξετάσετε την μονοτονία της g o g και της f o g 7 Γ49 Έστω συνάρτηση: f ( ) = - - + 5 με = [ 0, + ) α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία D f β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα γ) Να λύσετε την ανίσωση: æ ö f ç + > 0 è 4 ø στο [ 0, + ) 5 Γ50 Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f ( ) e 6f ( ) δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα - = - για κάθε Î Να Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 0

Δ Δίνεται η συνάρτηση f : α) Να δείξετε ότι: f ( 0), f ( ) β) Να δείξετε ότι, για κάθε γ) Αν η είναι - να δείξετε ότι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ * έτσι ώστε f ( + y) = f ( ) f ( y), () = - =, για κάθε Î f ( ) Δ Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο η οποία έχει σύνολο τιμών το και για κάθε Î ικανοποιεί τη σχέση: f(f()) + = 0 () Να αποδείξετε ότι: α η f είναι β - f () = -f() γ η f δεν είναι γνησίως μονότονη δ η f είναι περιττή συνάρτηση Δ Δίνεται η συνάρτηση f()=e +- α Να αποδείξετε ότι η f είναι β Να λύσετε την εξίσωση γ Να αποδείξετε ότι: ημ e +ημ= e+ e π e +e<e +π δ Να λύσετε την εξίσωση: (f of)()=0 Δ4 α Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A R έχει το πολύ μια ρίζα στο Α β Να λύσετε την εξίσωση + = γ Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με η εξίσωση β +γ =α έχει μοναδική ρίζα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 Δ5 α Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g:a R γνησίως φθίνουσα στο Α και για κάθε Î A είναι f() > 0 και g() > 0, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γ Αν A= ˆ 90 o, να αποδείξετε ότι Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α, η g είναι είναι γνησίως αύξουσα στο Α ln F()= συν είναι γνησίως αύξουσα στο π π < < < να αποδείξετε ότι συν συν < ππ, æ ö ç è ø Δ6 α Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:a Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, τότε να αποδείξετε ότι: i) για κάθε h > 0 και Î ισχύει g(+h)-g()< f(+h)-f() ii) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο β Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν μοναδικό κοινό σημείο f()=e + και - g()=e - Δ7 Δίνεται η συνάρτηση α f() > 0 για κάθε Î f() = + + Nα αποδείξετε ότι: Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 0

β η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την συνάρτηση f - Δ8 Δίνεται η συνάρτηση f()= +- 0,+ Î α Να αποδείξετε ότι f() > 0 για κάθε [ ) β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση γ Να λύσετε την εξίσωση: f - ( +- ) ( +-7+ +-8)= f ()+5f()+ =0 α Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f - β Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και C f - Δ9 Έστω η συνάρτηση f η οποία για κάθε Î ικανοποιεί τη σχέση * Δ0 Έστω συνάρτηση f η οποία είναι και για κάθε (fof)() f() = α, α ¹ 0 * α Να αποδείξετε ότι (f of)()= για κάθε Î β Να βρείτε τον τύπο της f Î ικανοποιεί τη σχέση: Δ Έστω συνάρτηση f η οποία για κάθε Î ικανοποιεί τη σχέση (fof)()= α Να αποδείξετε ότι: i) η f αντιστρέφεται ii) ( ) ( ( )) β i) Να λύσετε την εξίσωση f() = ii) Να αποδείξετε ότι éf( - ) ù + éf( ) ù = f( 0) ë û ë û iii) Αν f(8) = 64 να υπολογίσετε την τιμή f() f = f για κάθε Î Δ Έστω συνάρτηση f η οποία για κάθε,yî ικανοποιεί τη σχέση α Να αποδείξετε ότι f(0) = y f ( + y) ³ f ( ) f ( y) ³ e + β Να αποδείξετε ότι : f (- ) = για κάθε Î f ( ) γ Να βρείτε τον τύπο της f Δ Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f + y = f + f y για κάθε,yî Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) α η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β Η f είναι περιττή - = - για κάθε,yî γ f ( y) f ( ) f ( y) δ αν η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική ρίζα την = 0, τότε η f είναι - - - ε f ( y) f ( ) f ( y) + = + για κάθε,yî Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 0

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΒΡΥΖΑΣ-ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ-ΜΑΝΑΡΙΔΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Ξιφαράς ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ, Πραγματικές συναρτήσεις, mathematicagr ΜΑΣΤΑΚΑΣ-ΓΑΡΑΤΖΙΩΤΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κέδρος ΜΠΑΡΛΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Ελληνοεκδοτική ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β, Τεύχος 58 Συναρτήσεις Ευσταθίου-Αργυράκης-Μεντής ΤΖΟΥΒΑΡΑΣ ΤΖΙΡΩΝΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας ΧΣΤΕΡΓΙΟΥ-ΧΝΑΚΗΣ-ΙΣΤΕΡΓΙΟΥ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ, Υπουργείο Παιδείας Φ:ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 0