FENOMENE DE TRANSFER MARIMI SI UNITATI DE MASURA ANALIZA DIMENSIONALA

FENOMENE DE TRANSFER MARIMI SI UNITATI DE MASURA ANALIZA DIMENSIONALA

ANALIZA DIMENSIONALA Metoda pentru erificarea reatiior care descriu fenomene fizice; Se bazeazapeomogenitatea dimensionaa: termenii unei reatii fizice trebuie sa fie omogeni sa posede aceeasi unitati de masura si aceeasi puteri ae marimior fundamentae.

ANALIZA DIMENSIONALA - APLICATII Cand se cunosc ariabiee ce descriu un fenomen, pe baza or si a unui sistem de UM se deduc CRITERIILE DE SIMILITUDINE; Se erifica omogenitatea dimensionaa a ecuatiior fizice; Se cacueaza aoarea marimii sau a factoruui numeric a schimbarea UM; Se stabiesc reatiie de schimbare a UM sau a marimior fundamentae.

ENTITATE, MARIME, VALOARE ENTITATI notiuni abstracte pe care se bazeaza rationamentee stiintifice: ungime, temperatura, masa, timp etc. O entitate poseda proprietati: marime, semn, natura scaara sau ectoriaa. Vaoareamarimii unei entitati se obtine prin masurare comparare cu aoarea unei marimi de aceeasi natura, numita UM. EX: masa unui corp kg, 0,00 t, 000 g.

MARIMI PRIMARE (FUNDAMENTALE) Sunt in numar redus, si nu pot fi definite in functie de ate marimi primare. FENOMENE MECANICE: masa, ungime, timp (M, L, T). FENOMENE TERMICE: masa, ungime, timp, temperatura (M, L, T, Θ). FENOMENE ELECTRICE: masa, ungime, timp, intensitatea curentuui (M, L, T, I). FENOMENE ELECTROTERMICE: masa, ungime, timp, temperatura, intensitatea curentuui (M, L, T, Θ, I).

MARIMI SECUNDARE (DERIVATE) Se definesc in functie de marimie primare. Marimie primare sunt SINTETICE Marimie secundare sunt de natura ANALITICA, definindu-se prin ecuatii: /t Ecuatia itezei unui mobi, definita functie de aorie marimior primare, ungime si timp. Dimensiona se poate scrie: [] L.T -

VARIABILE SI CONSTANTE Marimi: ariabie, constante. Constante: caracteristice, uniersae. EXEMPLE: Constante caracteristice: - Moduu de easticitate a unui ote; Constante uniersae: - Viteza uminii in id; - Numaru ui Aogadro; - Acceeratia graitationaa.

UNITATI DE MASURA UM cantitatea dintr-o marime adoptata conentiona. Masurarea entitatior primare: compararea marimii cu etaonu UM; Masurarea entitatior secundare: pe baza reatiior de definitie a acestora. Entitatior primare i se atribuie UM fundamentae. Entitatie secundare se masoara cu UM deriate.

UNITATI DE MASURA EXEMPLU: FORTA Conform egii ui NEWTON: F m a m d/dt m d/dt(d/dt) m d /dt Dimensiona: [F] M.L.T - Unitatea deriata pentru FORTA in SI este newtonu (N): N kg.m.s -

SISTEME DE UNITATI DE MASURA Un sistem de UM satisface conditiie:. Raportu a marimi de aceeasi natura este independent de sistemu de unitati;. Vaabiitatea ecuatiior fizice rationae este independenta de sistemu UM. Unitatie deriate care se eprima cu ajutoru unitatior fundamentae ae unui sistem de UM sunt unitati coerente.

SISTEME DE UNITATI DE MASURA SISTEMUL CGS Entitati primare: ungime, masa, timp Unitati fundamentae: cm, g, s. Pentru fen. termice: temperatura (grd). Unitati deriate: - Forta: dyna (dyn); dyn g.cm.s - - Energia: ergu (erg); erg dyn.cm g.cm.s - - Sistem foosit de catre fizicieni.

SISTEME DE UNITATI DE MASURA SISTEMUL MK f S Entitati primare: ungime, forta, timp Unitati fundamentae: m, kgf, s. Pentru fen. termice: temperatura (grd). Sist. MK f S utiizeaza UM necoerente: - Cau putere: CP 75 kgf.m.s - 0,777 kw - Kiocaoria termica: kca 46,9 kgf.m 4,868 kj - Sistem foosit de catre ingineri in cacue tehnice.

SISTEME DE UNITATI DE MASURA SISTEMUL ANGLO-SAXON FPS Entitati primare: ungime, masa, timp Unitati fundamentae: foot (ft), pound (b), second (s). Pentru fen. termice: temperatura (degree F). Unitatea de forta: paunda (ba): ba b.ft.s - - Sistem foosit in SUA, Marea Britanie etc. - Sistemu ango-saon tehnic: foot (ft), pound force (bf), second (s).

SISTEMUL INTERNATIONAL (SI) Denumire adoptata a a -a Conferinta Generaa de Masuri si Greutati (960). Contine TREI case de unitati: - unitati fundamentae; - unitati deriate; - unitati supimentare. Unitatie fundamentae, independente d.p.d.. dimensiona: m; kg; s; A; K; mo; cd.

SISTEMUL INTERNATIONAL (SI) METRUL: ungimea traiectuui parcurs in id de umina pe o durata de /9979458 dintr-o secunda. KILOGRAMUL: masa prototipuui internationa a kg confectionat din Pt- Ir. SECUNDA: durata a 9 9 6 770 perioade ae radiatiei care corespunde tranzitiei intre cee doua niee ae energiei hiperfine ae starii fundamentae a atomuui Cs.

SISTEMUL INTERNATIONAL (SI) AMPERUL: intensitatea unui curent eectric constant care, mentinut in doua conductoare paraee, rectiinii, cu ungime infinita si cu sectiune circuara negijabia, asezate in id a o distanta de metru unu de atu, ar produce intre aceste conductoare o forta de.0-7 N pe o ungime de m. KELVINUL: fractiunea /7,6 din temperatura termodinamica a punctuui tripu a apei.

SISTEMUL INTERNATIONAL (SI) MOLUL: cantitatea de substanta a unui sistem care contine atatea entitati eementare (atomi, moecue, ioni, eectroni, ate particue) cati atomi eista in 0,0 kg de carbon. CANDELA: intensitatea uminoasa, in directia normaei, a unei suprafete cu aria de /600 000 metri patrati a unui corp negru a temperatura de soidificare a Pt a presiunea de 0 5 N.m -.

UNITATI SI

UNITATI SI DERIVATE CU DENUMIRI SPECIALE

PREFIXE SI SIMBOLURI SI

FACTORI DE TRANSFORMARE FPS SI

FENOMENE DE TRANSFER ANALIZA DIMENSIONALA

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE Eempu: S-a constatat eperimenta ca diferenta (caderea) de presiune P intre etremitatie unei conducte prin care curge un fuid este o functie de: - Diametru conductei, d; - Lungimea conductei, ; - Viteza fuiduui, ; - Densitatea fuiduui, ; - Viscozitatea fuiduui, μ.

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE ΔP (,,,,μ) f d (.) Forma funcţiei este necunoscută dar întrucât orice funcţie poate fi dezotată într-o serie de puteri, funcţia poate fi priită ca suma unui număr de termeni, fiecare constând din produsu puterior ariabieor uate în considerare. Cea mai simpă formă a unei astfe de reaţii a fi aceea în care se ia în considerare numai primu termen a seriei de puteri:

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE ΔP const d n n n n 4 μ n 5 (.) Pentru ca ecuaţia (.) să fie dimensiona consistentă este necesar ca termenu din membru drept să aibă aceeaşi dimensiuni ca şi termenu din membru stâng, deci a trebui să aibă dimensiunie unei presiuni. Fiecare ariabiă din ecuaţia (.) poate fi eprimată în termeni de masă (M) ungime (L) şi timp (T). Dimensiona:

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE Condiţia consistenţei dimensionae trebuie să fie îndepinită şi de către fiecare din ariabiee fundamentae masă, ungime timp: Δ T L M P L d L T L L M T L M μ ( ) ( ) ( ) 5 4 n n n n n T L M L M T L L L T L M

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE Pentru M: Pentru L: n n 4 5 n n n n n 4 5 Pentru T: n n 5 Sistemu de ecuaţii cu 5 necunoscute (n n 5 ) poate fi rezoat în funcţie de oricare din cee 5 necunoscute. Rezoând în funcţie de n şi n 5 se obţine:

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE din ecuaţia în M: din ecuaţia în T: n n 4 5 n n 5 Substituind epresiie ui n şi n 4 în ecuaţia în L se obţine: ( ) ( ) 5 5 5 n n n n n sau: sau: 0 n n n n n n 5 5

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE Reenind şi efectuând acum substituirie în ecuaţia (.) rezută: sau: 5 5 5 5 const n n n n n n d P μ Δ 5 const n n d d P Δ μ (.)

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE Întrucât n şi n 5 sunt constante arbitrare ecuaţia (.) poate fi satisfăcută numai dacă termenii ΔP/( ), /d şi μ/(d) sunt adimensionai. Pentru erificare se recomandă să se eaueze dimensiunie fiecăruia dintre grupurie de mai sus şi să se constate adimensionaitatea acestora. Grupu d/μ, cunoscut ca număru Reynods, este unu dintre cee mai frecente în studiu curgerii fuideor. Pe baza sa se poate aprecia tipu de curgere într-un spaţiu de geometrie dată.

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE În termeni mai generai, ecuaţia (.) poate fi scrisă: ΔP d f, (.4) d μ

STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUATIILOR CU AJUTORUL ANALIZEI DIMENSIONALE Comparând ecuaţiie (.) şi (.4) se constată că o reaţie între 6 ariabie a fost redusă a o reaţie între doar grupuri adimensionae: ΔP (,,,,μ) f d (.) ΔP f d, d μ (.4)

TEOREMA Π (Buckingham) O reatie fizica in care interin m marimi si constante dimensionae poate fi eprimata ca o reatie intre i m n grupuri adimensionae, unde n reprezinta numaru de unitati fundamentae ae sistemuui de unitati de masura utiizat.

TEOREMA Π (Buckingham) O ecuatie fizica de tipu: F (,,, m ) 0 se reduce a o ecuatie de tipu: F (π, π,, π i ) 0 unde fiecare grup (numar) adimensiona π depinde de maimum (n ) marimi si constante dimensionae. Nr. grupurior π m - n

TEOREMA Π - agoritm. Se insiruiesc toate marimie fizice si constantee dimensionae care din dierse consideratii se apreciaza ca infuenteaza fenomenu studiat;. Se scrie formua dimensionaa a fiecarei marimi fizice si constante dimensionae considerate a ();. Se aeg cee n marimi fundamentae, a.i. totaitatea marimior si constanteor aese sa contina ce putin o data toate marimie fundamentae ae probemei;

TEOREMA Π - agoritm 4. Se formeaza grupurie π, π,, π i, constand fiecare din produsu ceor n marimi aese a (), pus cate una din ceeate marimi si constante; 5. Se asociaza cate un eponent arbitrar fiecarei marimi si constante dimensionae din fiecare grup π; 6. Se determina aoarea acestor eponenti, punand conditia ca fiecare grup π sa fie adimensiona.

TEOREMA Π - apicatie Foosind teorema Π, sa se gaseasca grupurie adimensionae care interin in curgerea izoterma a fuideor. Mărimi care infuenţează curgerea fuideor Mărime Simbo Formuă dimensionaă ungime iteza de curgere densitatea fuiduui iscozitatea fuiduui căderea de presiune acceeraţia graitaţionaă μ ΔP g L LT - ML - ML - T - ML - T - LT -

TEOREMA Π - apicatie μ g ΔP

TEOREMA TEOREMA Π - apicatie apicatie m 6; n (M, L, T) i m n 6 grupuri adimensionae π; Reatia cautata a aea forma: F (π, π, π ) constant Se aeg drept marimi comune, si. Astfe: d c b a g π ( ) d c b a P Δ π d c b a μ π

TEOREMA TEOREMA Π - apicatie apicatie Dimensiona: Pentru ca π sa fie adimensiona, este necesar ca eponentii marimior fundamentae, M, L, T sa fie nui, adica: Sistemu de ecuatii cu 4 necunoscute se rezoa in raport cu d considerat arbitrar unitar. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d b d c b a c d c b a T L M LT ML LT L π 0 0 0 d b d c b a c

TEOREMA Π - apicatie Prin rezoarea sistemuui a ; b -; c 0; d Inocuind aceste aori in π a b c g d π g 0 g Fr g Fr - criteriuui FROUDE

TEOREMA TEOREMA Π - apicatie apicatie Simiar, Impunand d ( ) d c b a P Δ π [ ] ( ) ( ) ( ) d b d c b a d c T L M π 0 0 0 d b d c b a d c a 0; b -; c -

TEOREMA Π - apicatie Ecuatia π a b c ( ) d ΔP deine: π ΔP ( ΔP) Eu 0 ΔP Eu - criteriu ui EULER

TEOREMA TEOREMA Π - apicatie apicatie In mod anaog, d c b a μ π [ ] ( ) ( ) ( ) d b d c b a d c T L M π 0 0 0 d c d b d c b a

TEOREMA TEOREMA Π - apicatie apicatie Cu d rezuta: a -; b -; c - si: Re μ μ π REYNOLDS Re - criteriu μ

TEOREMA Π - apicatie Forma generaa a functiei care descrie curgerea fuideor se reduce de a: F(,,, g, μ, P) 0 a epresia: F(Fr, Eu, Re) ct. care se poate scrie si: Eu p Re q Fr r in care constantee p, q, r se determina eperimenta pentru fiecare caz in parte

TEOREMA Π - apicatie Importanta teoremei Π: O functie de 6 ariabie (,,, g, μ, P) s-a redus a o functie de numai grupuri adimensionae (Fr, Eu, Re). Grupurie adimensionae π poarta denumirea de CRITERII DE SIMILITUDINE. Catea criterii de simiitudine intanite in mod frecent:

CRITERII DE SIMILITUDINE

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Ecuatia diferentiaa a unui fenomen poate fi utiizata pentru deducerea ecuatiei criteriae a fenomenuui respecti; Metoda este utia atunci cand: - Rezoarea ec. diferentiae este imposibia; - Rezoarea ec. diferentiae necesita simpificari care pot conduce a erori grosoane. Prezinta aantaju ca pune in eidenta semnificatia fizica a grupurior adimensionae.

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Se considera ecuatiie diferentiae Naier Stokes care descriu curgerea izoterma a unui fuid cu comportare newtoniana. Ecuatia pentru componenta pe directia a miscarii are forma: 0 z y z y P g z y t z y z y μ μ

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Ecuatia prezentata este omogena, fiecare termen a sau aand dimensiunie F/V (m a)/. Daca din ecuatie se omit semnee diferentiae si constantee numerice (/, -), se obtine ecuatia diferentiaa generaizata: t ΔP μ [ g] 0

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR 0 z y z y P g z y t z y z y μ μ [ ] 0 Δ P g t μ I II III IV V, VI

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Termenii I si II sunt echiaenti: ca urmare, ecuatia diferentiaa generaizata se poate scrie sub forma: II I t t t [ ] 0 Δ P g μ II III IV V

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR ΔP [ g] 0 μ Fortee de iscozitate Fortee de presiune Fortee graitationae Fortee inertiae

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Din utima forma a ecuatiei diferentiae generaizate se pot obtine grupuri adimensionae (criterii de simiitudine) independente: Numaru REYNOLDS rap. dintre fortee inertiae si cee de iscozitate: II V μ μ Re

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Din utima forma a ecuatiei diferentiae generaizate se pot obtine grupuri adimensionae (criterii de simiitudine) independente: Numaru FROUDE rap. dintre fortee inertiae si cee graitationae: II Fr III g g

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Din utima forma a ecuatiei diferentiae generaizate se pot obtine grupuri adimensionae (criterii de simiitudine) independente: Numaru EULER (coeficientu de presiune) rap. dintre fortee de presiune si cee inertiae: IV II ΔP ΔP Eu

DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN DEDUCEREA ECUATIILOR CRITERIALE DIN ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR ECUATIILE DIFERENTIALE ALE FENOMENELOR Ecuatia diferentiaa Naier Stokes: se scrie sub forma criteriaa: identica cu aceea obtinuta prin metoda anaizei dimensionae. 0 z y z y P g z y t z y z y μ μ ( ) const. Eu Fr, Re, f