ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ. ΟΣΑ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, ΘΕΛΟΥΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ!! 1. Αν f(x).g(x)=0 τότε μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα ότι f(x)=0 ή g(x)=0 ; Οχι. Απλά η κάθε συνάρτηση μηδενίζεται όπου δεν μηδενίζεται η άλλη. x + 5 αν x 2 0 αν x 2 πχ. f(x) = { και g(x)={ 0 av x < 2 e x + 1 av x < 2 καμιά δεν είναι μηδενική συνάρτηση, όμως η f(x).g(x)=0 x R 2. Αν α.f 2 (x)+β.f(x)+γ=0 α.(f(x)-ρ 1 )(f(x)-ρ 2 )=0 x R, σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) είναι η σταθερή συνάρτηση f(x)=ρ 1 ή f(x)=ρ 2 ; Ομοίως, αν α.f 2 (x)+β.f(x)+γ=0 α.(f(x)-ρ 1 )(f(x)-ρ 2 )=0 x R, δεν σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) είναι η σταθερή συνάρτηση f(x)=ρ 1 ή f(x)=ρ 2 αλλά ότι οι τιμές που παίρνει η συνάρτηση είναι ή ρ 1 ή ρ 2, άρα μπορεί να είναι και κάποια από τις f(x) = { ρ 1, x Α ρ 2, x Α (όπως θα δούμε παρακάτω αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να απορριφθούν όταν η συνάρτηση f είναι πχ συνεχής) 3. Aν f 2 (x)=k 2, x R τότε f(x)=k ή f(x)=-k x R; Όχι, μπορεί f 2 (x)=k x R, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) είναι η σταθερή συνάρτηση f(x)=k ή f(x)=-k. Απλά σημαίνει ότι οι τιμές που παίρνει η συνάρτηση είναι k ή -k, άρα μπορεί να είναι πχ μία από τις άπειρες k, x Α συναρτήσεις f(x) = { k, x Α 4. Aν f 2 (x)=0, x R τότε f(x)=0 x R Αν υπήρχε x o R τέτοιο ώστε f(x o ) 0 τότε και f 2 (x o ) 0 άτοπο. Άρα f(x)=0, x R Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 1 από 8
5. Aν f 2 (x) + g 2 (x) = 0, x R τότε f(x) = g(x) = 0 x R. Αν υπήρχε τουλάχιστον ένα x o τέτοιο ώστε f(x o ) 0 τότε και f 2 (x o )>0 (1) και g 2 (x o ) 0 (2) οπότε από (1)+(2) έχω f 2 (x o )+g 2 (x o )>0 άτοπο. Άρα f(x)=0, x R. Ομοίως προκύπτει ότι και g(x)=0, x R. 6. Αν f(x) =k τότε f(x)=k, x R ή f(x)=-k, x R; Λάθος. Απλά η f(x) παίρνει τιμές μόνο το k ή το -k.μπορεί πχ να είναι η k av x A f(x) = {, που αναλόγως με το Α δίνει άπειρες συναρτήσεις. k av x A 7. Αν f(x) =0 τότε f(x)=0, x R. Αν υπήρχε x o τέτοιο ώστε f(x o ) 0 τότε και f (x o ) 0 άτοπο. Άρα f(x)=0, x R 8. Κάθε γνησίως μονότονη είναι «1-1». (σχολικό σελ 153) Για x 1 x 2 έστω πχ x 1 <x 2 τότε αν f ισχύει f(x 1 ) <f(x 2 ) (ή αν f ισχύει f(x 1 ) >f(x 2 )) δηλαδή σε κάθε περίπτωση f(x 1 ) f(x 2 ). Άρα f 1-1. Ομοίως αν x 1 >x 2 9. Κάθε «1-1» είναι μονότονη; x x 0 Όχι. Για παράδειγμα η συνάρτηση g(x) = { 1 x > 0 x (σχολικό σελ 153 σχήμα 34) 10. Ισχύει f(f -1 (x))=f -1 (f(x)) ; Ισχύει f(f -1 (x))=x, xϵf(a) και f -1 (f(x))=x, xϵa=d f. Όμως f(f -1 (x)) f -1 (f(x)) αφού οι Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 2 από 8
δύο συναρτήσεις έχουν πιθανώς διαφορετικό Πεδίο Ορισμού. Η ισότητα f(f -1 (x))=f -1 (f(x)) ισχύει στο Α f(a). 11. Η σχέση f(x) k x D f, σημαίνει ότι η f(x) έχει μέγιστη τιμή το k; Η σχέση f(x) k δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι η f(x) έχει μέγιστη τιμή το k. Πρέπει να υπάρχει x o A: f(x o )=k ή αλλιώς το k να ανήκει στο Σύνολο Τιμών της f(x). 12. Η σχέση f(x) f(x 0 ) x D f, σημαίνει ότι η f(x) έχει μέγιστη τιμή το f(x 0 ); Ναι, από τον ορισμό του μέγιστου συνάρτησης. 13. Η σχέση f(x) f(x 0 ) x D f, σημαίνει ότι η f(x) έχει μέγιστη τιμή το f(x 0 ) και ελάχιστη το f(x 0 ); Η σχέση f(x) f(x 0 ) x D f, γράφεται - f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x D f, η οποία μας εξασφαλίζει ότι έχουμε μεν μέγιστη τιμή την f(x 0 ) αλλά όχι και ελάχιστη την f(x 0 ) αφού τίποτα δεν μας λέει ότι αυτή είναι τιμή της συνάρτησης. πχ για την f(x)=e ( x 1)2 ισχύει f(x) f(1) x R έχει φυσικά μέγιστη τιμή το 1=f(1) αλλά όχι και ελάχιστη το -1 αφού f(x)>0 x R. 14. Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένωση διαστημάτων, έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε κάθε υποδιάστημα του ΠΟ της. Είναι μονότονη στο Π.Ο της; Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένωση διαστημάτων μπορεί να έχει το ίδιο είδος Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 3 από 8
μονοτονίας σε κάθε υποδιάστημα του ΠΟ της, χωρίς κατ ανάγκη να είναι μονότονη στο Π.Ο της. Για παράδειγμα η f(x)= 1. Αν και είναι γνησίως φθίνουσα και στο (-,0) και στο x (0,+ ) εντούτοις δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο (-,0) (0,+ ) αφού πχ -1<1 αλλά f(-1)=-1<1=f(1). 15. i) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε για οποιαδήποτε x 1, x 2 Δ ισχύει η συνεπαγωγή: f (x 1 )< f (x 2 ) (x 1 )<(x 2 ). ii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε για οποιαδήποτε x 1, x 2 Δ ισχύει η συνεπαγωγή: f (x 1 )< f (x 2 ) (x 1 )>(x 2 ). Απόδειξη : i) Έστω ότι υπάρχουν x 1, x 2 Δ, για τα οποία ισχύει η υπόθεση και δεν ισχύει το συμπέρασμα της συνεπαγωγής. Τότε θα ισχύει: f (x 1 )<f (x 2 )και x 1 x 2 Αν ήταν x 1 >x 2,επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα ίσχυε f (x 1 )>f (x 2 ), που αντίκειται στην υπόθεση. Αν ήταν x 1 =x 2, από τον ορισμό της συνάρτησης, θα ίσχυε: f (x 1 )=f (x 2 ), που αντίκειται και αυτό στην υπόθεση. Επομένως, ισχύει το ζητούμενο. ii) ομοίως εργαζόμαστε και στην περίπτωση αυτή. 16. Οι C f και C f-1 δεν έχουν τα κοινά τους σημεία, κατ ανάγκη, μόνο στην διχοτόμο y=x. Αυτό συμβαίνει σίγουρα, μόνο όταν η f είναι γνησίως αύξουσα. Έστω Μ(α,β) κοινό σημείο των C f και C f-1. Αυτό σημαίνει ότι : Μ C f f(α)=β (1) και Μ C f 1 f -1 (α)=β f(f -1 (α))=f(β) α=f(β) (2) άρα αρκεί να δείξουμε ότι, αν f γνησίως αύξουσα τότε α=β. Έστω α β. Τότε ή α<β ή α>β. Αν α<β επειδή f γν αύξουσα έχω f(α)<f(β) (1),(2) β<α άτοπο! Αν α>β επειδή f γν αύξουσα έχω f(α)>f(β) (1),(2) β>α άτοπο! Άρα τελικά α=β. Αν τώρα η f είναι γν φθίνουσα όπως για παράδειγμα η f(x)=-x+k τότε αντιστρέφεται και έχει αντίστροφη την f -1 (x)=-x+k δηλ τον εαυτό της και έχουν όλα τα σημεία τους κοινά. Το ίδιο συμβαίνει για την f(x)=1/x ή την f(x)=-x 3 και για άλλες πολλές. Aλλά όχι για όλες. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 4 από 8
17. Αν f περιττή και αντιστρέψιμη τότε η f -1 είναι περιττή. Έστω xϵf(a) με f -1 (-x)=y f(f -1 (-x))=f(y) -x=f(y) x=-f(y) f -1 (x)=f -1 (f(-y)) f -1 (x)=-y f -1 (-x)=-f -1 (x) f ή x=f(-y) 18. Αν f περιττή και γν. φθίνουσα, τότε τα κοινά σημεία των f και f -1 βρίσκονται πάνω στην y=-x. Έστω Μ(α,β) C f και Μ C f-1. Άρα f(α)=β και f -1 (α)=β δηλ α=f(β). Θέλω να δείξω ότι το Μ ανήκει στην y=-x. Δηλαδή β=-α. Έστω β<-α. Αφού f έχω f(β)>f(-α) δηλ f(β)>-f(α) δηλ α>-β άτοπο. Όμοια αν β>-α επειδή f έχω f(β)<f(-α) δηλ f(β)<-f(α) δηλ α<-β άτοπο. Τελικά α=-β. 19. Οι εξισώσεις f(x)=x, f -1 (x)=x είναι πάντα ισοδύναμες, ενώ όταν η f είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση f(x)=f -1 (x) είναι ισοδύναμη και με την f(x)=x και την f -1 (x) =x. Γνωρίζουμε, ότι λόγω συμμετρίας, ό,που τέμνει η C f την διχοτόμο y=x, θα την τέμνει και η C f -1. Αυτό σημαίνει ότι κάθε λύση της f(x)=x θα είναι και λύση της f -1 (x)=x. Ομοίως και το αντίστροφο. δηλ όπου η C f-1 τέμνει την διχοτόμο y=x θα την τέμνει και η C f. Άρα οι εξισώσεις f(x) = x και f -1 (x) = x θα είναι ισοδύναμες. Στο θέμα «16» αποδείξαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης f(x)=f -1 (x), όταν η f άρα και η f -1 είναι γν αύξουσα, βρίσκονται πάνω στη διχοτόμο του 1 ου και 3 ου τεταρτημόριου. Άρα θα είναι λύσεις των εξισώσεων f(x)=x και f -1 (x)=x. Και αντίστροφα, αν ρ λύση της f(x)=x και της f -1 (x)=x, τότε f(ρ)=ρ=f -1 (ρ) άρα f(ρ)= f -1 (ρ) δηλ ρ λύση και της f(x)=f -1 (x). Άρα οι εξισώσεις f(x)=f -1 (x), f(x)=x και f -1 (x)=x έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις άρα είναι ισοδύναμες. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 5 από 8
20. Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε και η f -1 είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας. Έστω ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα. Ισχύει : f(f -1 (x))=x, x f(a) Έστω τώρα x 1 <x 2 με x 1,x 2 f(a) f(f -1 (x 1 ))< f(f -1 (x 2 )) x 1,x 2 f (A) f -1 (x 1 )< f -1 (x 2 ) x 1,x 2 f(a) f -1 (x) γνησίως αύξουσα. Ομοίως όταν f γνησίως φθίνουσα. f γν αύξουσα 21. Μια γν αύξουσα συνάρτηση, πόσα κοινά σημεία μπορεί να έχει με την y=x; Από κανένα (πχ η y=e x ) μέχρι άπειρα (πχ η y=x+ημx). Σημειώνεται ότι ενώ η f(x)=x+ημx είναι μια γν αύξουσα συνάρτηση (όπως θα δούμε παρακάτω, έχει μη αρνητική παράγωγο, που μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία) άρα είναι 1-1 άρα έχει αντίστροφη ωστόσο ο τύπος της αντίστροφης αυτής δεν μπορεί να βρεθεί. 22. Σύνθεση γνησίως μονότονων συναρτήσεων με το ίδιο είδος μονοτονίας δίνει γνησίως αύξουσα συνάρτηση, ενώ σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας δίνει γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. (αν και εφόσον φυσικά ορίζεται αυτή) i. Έστω f, g γν. αύξουσες συναρτήσεις. x 1,x 2 D fog με x 1 <x 2 g g(x 1 )<g(x 2 ) f f(g(x 1 ))<f(g(x 2 )) f o g ii. Έστω f, g γν. φθίνουσες συναρτήσεις. x 1,x 2 D fog με x 1 <x 2 g g(x 1 )>g(x 2 ) f f(g(x 1 ))<f(g(x 2 )) f o g iii. Έστω f γν. αύξουσα και g γν. φθίνουσα συνάρτηση. x 1,x 2 D fog με x 1 <x 2 g g(x 1 )>g(x 2 ) f f(g(x 1 ))>f(g(x 2 )) f o g iv. Έστω f γν. φθίνουσα και g γν. αύξουσα συνάρτηση. x 1,x 2 D fog με x 1 <x 2 g g(x 1 )<g(x 2 ) f f(g(x 1 ))>f(g(x 2 )) f o g Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 6 από 8
23. Σύνθεση άρτιας με οποιαδήποτε συνάρτηση δίνει άρτια συνάρτηση, ενώ σύνθεση περιττής με άρτια δίνει άρτια και σύνθεση περιττής με περιττή δίνει περιττή συνάρτηση. ( φυσικά πρέπει x D fog και -x D fog ) i. Έστω g άρτια συνάρτηση. Τότε g(-x)=g(x). Έχουμε (f o g)(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=(f o g)(x) άρα f o g άρτια. ii. Έστω g περιττή συνάρτηση και f άρτια. Τότε g(-x)=-g(x) και f(-x)=f(x). Έχουμε (f o g)(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=(f o g)(x) άρα f o g άρτια. iii. Έστω f, g περιττές συναρτήσεις. Τότε g(-x)=-g(x) και f(-x)=-f(x). Έχουμε (f o g)(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-(f o g)(x) άρα f o g περιττή. 24. Αν μία άρτια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο x o, τότε θα παρουσιάζει το ίδιο είδος ακρότατου στο x o. Έστω f(x o ) ολικό μέγιστο της f. Άρα θα ισχύει f(x) f(x o ) x D f. Άρα και f(x) f(-x o ) x D f αφού η f είναι άρτια και ισχύει f(x o )=f(-x o ). Δηλαδή f(-x o ) είναι επίσης ολικό μέγιστο της f. Ομοίως για το ολικό ελάχιστο. 25. Αν μία περιττή συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο x o, τότε θα παρουσιάζει ακρότατο και στο x o, αλλά διαφορετικού είδους. Έστω f(x o ) ολικό μέγιστο της f. Άρα θα ισχύει f(x) f(x o ) x D f. Άρα και f(-x) f(x o ) x D f. Αφού η f είναι περιττή θα ισχύει f(-x)=-f(x). Δηλαδή - f(x) f(x o ) f(x) -f(x o ) f(x) f(-x o ) Δηλαδή το f(-x o ) είναι ολικό ελάχιστο της f. Ομοίως για το ολικό ελάχιστο. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 7 από 8
26. Αν η σύνθεση της g με την f, δηλ η fog είναι 1-1 τότε η g είναι απαραίτητα 1-1 ενώ η f δεν είναι απαραίτητα 1-1. Έστω g(x 1 )=g(x 2 ). Aπό τον ορισμό της συνάρτησης f έχουμε : f(g(x 1 ))=f(g(x 2 )) και επειδή f o g είναι 1-1 έχουμε x 1 =x 2. Άρα τελικά η g είναι 1-1. Τώρα, αν f(x)=x 2 και g(x)= x + 1,τότε (f o g)(x)=x+1, x -1. Παρατηρούμε ότι ενώ η f o g είναι «1-1» και φυσικά και g είναι «1-1», η f δεν είναι «1-1». 27. Αν f(f(x))=0 για κάθε x R, τότε f(x)=0 για κάθε x R; 0 αν x 0 Όχι! Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = { x 2 αν x < 0. Ενώ η f(x) δεν είναι μηδενική, ισχύει f(f(x))=0 x R αφού αν θέσω όπου x 0 προκύπτει f(0)=0 αλλά και αν θέσω όπου x<0 προκύπτει πάλι f(x 2 )=0 αφού x 2 >0. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 8 από 8