Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii 1. a) Aflați valorile reale x care verifică egalitatea x + 20 18 = 2018. b) Fie x, y R astfel încât 8x 7y 15 2000 și 8y 9x 1 2. Demonstrați că 2018 x y 1986. 2. a) Fie a, b, c (0, ) astfel încât ab+bc+ca = 7. Arătați că: ab+bc+ 2bc+2ca+ 3ca+3ab 10. b) Demonstrați inegalitatea: 2n 2 +n 1 2+ 3 4+ + (2n 1) 2n <, n N. 2 3. În patrulaterul convex ABCD se notează cu R, S, M și N mijloacele segmentelor [AD], [BC], [AC], respectiv [BM]. a) Demonstrați că #» AB + #» DC = 2 #» RS. b) Demonstrați că pentru orice punct P din plan este adevărată egalitatea #» PA+2 #» PB + #» PC = 4 #» PN. 4. Fie ABCDEF un hexagon convex și G 1, G 2, G 3, G 4 centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, BCD, DEF, respectiv EFA. Arătați că patrulaterul G 1 G 2 G 3 G 4 este paralelogram. 1
Clasa a IX-a profil uman 1. a) Aflați numărul valorilor întregi x care verifică inegalitatea x + 18 2018. b) Să se arate că dacă x 2, y 1 3 și x z 12, atunci xy z 18. 2. a) Fie a, b, c (0, ) astfel încât a+b+c = 12. Demonstrați că: 2a+2+ 2b+3+ 2c+4 18. b) Demonstrați egalitatea: 2 1 3 + 5 3 5 + + n 2 +1 (2n 1)(2n+1) = n(n+3) 2(2n+1), n N. 3. Doi călători au de parcurs un traseu lung de 63 km. Primul călător parcurge în prima zi 3 km, iar apoi parcurge în fiecare zi cu un kilometru mai mult decât în ziua precedentă. Al doilea călător parcurge în prima zi 1 km, apoi, în fiecare zi, parcurge dublul distanței parcurse în ziua precedentă. a) Determinați numărul de zile necesar fiecărui călător pentru a parcurge traseul. b) Dacă cei doi călători pornesc în aceeași zi, la sfârșitul cărei zile va fi depășit primul călător de către cel de-al doilea? 4. În reperul cartezian (O, #» ı, #» j) se consideră punctele A( 2, 1), B(0, 2) și C(3, 3). a) Determinați coordonatele punctului D Ox astfel încât vectorii #» AB și #» CD să fie coliniari. b) Determinați coordonatele punctului E pentru care centrul de greutate al triunghiului ABE este punctul G(2, 1). 2
Clasa a X-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii 1. a) Determinați numerele raționale a și b pentru care 3+ 5 7 5 = a+b 5. b) Se consideră expresia E n = ( 3 5) 2019 n ( 2) n, unde n = 1, 2019. Determinați câte numere raționale sunt în mulțimea A = {E 1, E 2,..., E 2019 }. 2. Fie a, b, c (0, ). Demonstrați că: a) dacă lga+lgb = lg a+b 2 2, atunci a2 +b 2 = 7ab. ( ) a 2 lg b ) c b 2 lg c ) a c 2 lg a b b) ( ( = 1. bc ac ab 3. Fie z k C cu z k = 1, k {1, 2, 3}. Arătați că dacă z 1 +z 2 +z 3 0, atunci z 1 z 2 +z 2 z 3 +z 3 z 1 z 1 +z 2 +z 3 = 1. 4. Se consideră funcția f : R B, f(x) = x2 +1 x 2. Să se determine mulțimea B astfel încât funcția f să +x+1 fie surjectivă. 3
Clasa a X-a profil uman 1. Se consideră expresia E(x, y) = x 3 y 3 y x, pentru orice x, y (0, ). a) Arătați că E( 8, 4) Z. b) Determinați cel mai mic număr întreg n 2 astfel încât E(n, n) Z. 1 2. a) Arătați că suma S = log 5 2 +log 2 5 3 +log 3 5 4 + +log 624 5 este număr întreg. 625 b) Fie a, b, c > 1, cu a+b+c = 2018. Demonstrați că: ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 lg 1 +lg 1 +lg 1 2lg3. a b c 3. a) Calculați z2 16 + 4 z, știind că z este soluție a ecuației z2 4z +16 = 0. b) Demonstrați că z = (1+i) m (1 i) n, unde m, n N, este număr real dacă și numai dacă m n se divide cu 4. 4. Capitala statului preroman Dacia s-a numit Sarmizegetusa Regia și se află în Munții Orăștiei. Aceasta a fost distrusă în anul 106. Pe locul unde aceasta se afla există vestigii istorice cum ar fi Sanctuarele Dacice, înconjurate de un șanț circular cu lungimea de aproximativ 327 m. Determinați lungimea aproximativă a discului circular mărginit de șanț în care se aflau sanctuarele. 4
Clasa a XI-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii 1. Se consideră punctele A n (n 2, n+2), n N. a) Arătați că pentru orice p, q, r N, distincte două câte două, punctele A p, A q și A r nu sunt coliniare. b) Demonstrați că aria triunghiului A n A n+1 A n+2 este constantă. ( ) { } 1+3x 18x 1 2. Fie matricea A =, unde x R\. x 1 6x 3 { } 1 a) Arătați că A(x) A(y) = A(x+y 3xy), x, y R\ 3 b) Calculați A(1) 2018. arcsin(x 2 1) 3. a) Calculați limita l = lim x 1 x 2 +3x+2. b) Fie f : D R, f(x) = x2 +ax, unde a R și D este domeniul maxim de definiție al funcției f. x2 +a Determinați numărul real a pentru care dreapta de ecuație y = x + 1 este asimptotă oblică spre la graficul funcției f. Determinați toate asimptotele funcției. 4. Determinați a, b R, astfel încât lim x ( x 2 +2x+5 ax b) = 1. 5
Clasa a XI-a profil uman 1. Un profesor culege datele preluând din catalogul unei clase mediile la matematică pe semestrul trecut în vederea unor prelucrări statistice. Acestea sunt: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7. a) Completați un tabel care conține rubricile: nota, frecvența absolută, frecvența relativă, frecvența cumulată. b) Determinați câți elevi au notele între 7 și 10 (indicați procentul lor). 2. O curea de transmisie leagă două roți cu lungimile cercurilor de 35 cm și respective 60 cm. a) Dacă prima roată face 24 rotații, câte rotații face cea de-a doua roată? b) După câte rotații vor reveni roțile în poziția inițială? 3. Temperatura aerului, măsurată în grade Celsius, într-o zi de vară este consemnată în tabelul următor: Ora 1 4 8 10 14 16 19 20 22 Temperatura 20 15 18 24 28 30 27 25 20 a) Reprezentați histograma și diagrama prin benzi. b) Determinați modulul seriei statistice, mediana, media aritmetică, valoarea medie, dispersia și abaterea medie pătratică a valorilor caracteristice. 4. Fie două sortimente de bomboane: bomboane A și bomboane B. Calculați prețul pe care îl are sortimentul A, dacă un kilogram de amestec format din 20 kg din sortimentul A și 5 kg cu prețul de 20 lei/kg din sortimentul B costă 16 lei? 6
Clasa a XII-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii 1. Fie grupurile G 1 = ((0, ), ) și G 2 = (( 2, 2), ), unde x y = 4(x+y), x, y ( 2, 2). 4+xy a) Demonstrați că funcția f : (0, ) ( 2, 2), f(x) = 2x 2 x+1 este izomorfism între grupurile G 1 și G 2. b) Rezolvați ecuația y y... y = 1. }{{} 2018 ori ( ) ( ) 3 6 1 0 2. În mulțimea M 2 (R) se consideră matricele A =, I 2 = și mulțimea 1 2 0 1 G = {X(a) X(a) = I 2 +aa, a > 1}. a) Arătați că G este parte stabilă în M 2 (R) față de înmulțirea matricelor. b) Calculați X(1) X(2)... X(n), unde n N. axe x x, dacă x 0 3. a) Determinați a, b R pentru care funcția F : R R, F(x) = xcosx+b, dacă x > 0 primitivă a unei funcții f : R R. e x cosx b) Calculați I 1 = e x sinx cosx dx și I sinx 2 = (0, e x sinx cosx dx, unde x π ). 2 este o 4. Demonstrați că 2 e 1 e x2 dx+ 1 0 0 e 1 x2 dx 1+e. 7
Clasa a XII-a profil uman { ( ) } 1+2a 4a 1. Fie mulțimea G = A(a) = a 1 2a a R. a) Arătați că pentru orice A(a), A(b) G, avem că A(a) A(b) G. b) Calculați A(1) A(2)... A(2018). 1 0 1 2. a) Determinați a, b C pentru care A 3 = aa 2 +ba, unde A = 0 1 0. 1 0 1 1 0 1 0 1 0 b) Fie A = 0 1 0 și B = 1 0 1. Arătați că (AB) T = BA. 1 0 1 0 1 0 ( ) 2 ) 1 1 1 1 c) Determinați a, b C pentru care +a ( +bi 2 = O 2. 4 1 4 1 1 1 1 3. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x 3 +2x+3 și determinanții 1 = a b c și a 3 b 3 c 3 1 1 1 2 = a b c. f(a) f(b) f(c) a) Arătați că 1 = 2. b) Demonstrați că pentru orice puncte distincte A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, f(c)), unde a, b, c N, aria triunghiului ABC este un număr natural divizibil cu 3. x 3 5 4. a) Rezolvați ecuația: 3 x 5 = 0. 3 5 x a b a+b b) Verificați egalitatea: b a+b a = 2(a 3 +b 3 ). a+b a b 8