ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση. ) Αν µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο της x 0 τότε είνι κι συνεχής σε υτό το σηµείο. Σ Λ β) Η τυπική πόκλιση µις πρτήρησης µπορεί ν πάρει ρνητικές τιµές Σ Λ γ) Γι x = 8 κι s =, έχουµε CV = 8 = 4 ή 5% Σ Λ δ) Ισχύει lim x x0 f (x) = lim f (x) Σ Λ x x0 ( Μονάδες νά ερώτηµ) + c Α3. Ν γράψετε στο τετράδιο σς δίπλ πό το γράµµ της πρώτης στήλης τον ριθµό της δεύετερης στήλης ο οποίος ντιστοιχεί στην πράγουσ της συνάρτησης f(x) Συνάρτηση f(x) Πράγουσ F(x). x 4x + ln. 4e 3x + c β. 4e 3x 4e 3x. 3 + c γ. 3 x x, όπου x > 0 3. 3συνx + 4ηµx + c δ. 3ηµx 4συνx 4. 3συνx 4ηµx + c 5. 3ln x x + c 6. x 3 3 x + x ln (4 Μονάδες) Α4. Ν µετφέρετε στο τετράδιο σς τις πρκάτω προτάσεις κι ν της συµπληρώσετε. ) Η διάµεσος των πρτηρήσεων 0, 5, 3,, 7, 9, είνι... β β) f (x)g(x)dx =... γ) Αν µι συνάρτηση προυσιάζει τοπικό κρόττο σε έν εσωτερικό σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε. ( Μονάδες νά ερώτηµ)
ΘΕΜΑ Β Ρωτήσµε τους µθητές της Γ τάξης ενός ΕΠΑΛ γι τον ριθµό τον εξόδων τους σε µι βδοµάδ κι οι πντήσεις τους φίνοντι στον πρκάτω πίνκ. x i v i x i v i N i f i % γ 0 3 γ β 0 Σύνολ Όπου = lim x x x κι β είνι το τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης f(x)=x x + 5 Β. Ν υπολογίσεις τους πργµτικούς ριθµούς κι β Β. Αν x = 3, ν δείξετε ότι γ = 5 Β3. Ν συµπληρώσετε τον πρπάνω πίνκ Β4. Ν υπολογίσετε το εύρος, την διάµεσο κι την επικρτούσ τιµή Β5. Ποιο ποσοστό των µθητών βγήκε τουλάχιστον δυο φορές; ΘΕΜΑ Γ Δίνετι η συνάρτηση µε τύπο: 3 x + 5, x < x f (x) = ax, x 6 Γ. Ν βρείτε το lim x + f (x) Γ. Ν βρείτε το lim x f (x) (8 Μονάδες) Γ3. Ν υπολογίσετε την τιµή του πργµτικού ριθµού, έτσι ώστε η συνάρτηση f(x) ν είνι συνεχής στο x 0 = (7 Μονάδες) Γ4. Γι =, ν µελετήσετε την µονοτονί της f(x) στο [, + )
ΘΕΜΑ Δ Δίνετι η συνάρτηση f (x) = x + + x β, όπου > 0 κι β. Δ. Ν υπολογίσετε την πρώτη πράγωγο της συνάρτησης f(x) Δ. Ν υπολογίσετε την τιµή του φυσικού ριθµού β, ν η συνάρτηση f(x) προυσιάζει τοπικό κρόττο στο σηµείο x 0 = 0 (7 Μονάδες) Δ3. Ν µελετήσετε την συνάρτηση f(x) ως προς την µονοτονί Δ4. Γι υπολογίσετε την τιµή του θετικού ριθµού, εάν γνωρίζετε ότι το εµβδόν της γρφικής πράστσης της f(x) µε τον άξον xx κι τις ευθείες x = κι x = 4 είνι (6 + ln3) τ.µ. (8 Μονάδες)
Απντήσεις Διγωνίσµτος ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 64 65 Α. ) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ Α3.. 6 β. γ. 5 δ. 4 Α4. ) δ = 3 ΘΕΜΑ Β β β) f (x)g(x)dx = [ f (x)g(x)] β β f (x) g (x)dx γ) f (x 0 ) = 0 x Β. Έχουµε = lim x x = lim x Κι f (x) = x f (x) = 0 x = 0 x = ( x ) x + x ( ) = lim( x +) = + = Η f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x 0 = µε τιµή f() = + 5 = 4 δηλ. β = 4 x Β. x i v i x i v i γ γ 0 0 3 γ 3γ 4 0 80 Σύνολο 30 + γ 00 + 4γ x = 3 3 = 00 + 4γ 90 + 6γ = 00 + 4γ 6γ 4γ = 00 90 γ = 0 γ = 5 30 + γ Β3. x i v i x i v i N i f i % 5 5 5,5 0 0 5 5 3 5 5 0,5 4 0 80 40 50 Σύνολ 40 0 00
Β4. Γι το εύρος έχουµε: R = X max X min = 4 = 3 Γι την διάµεσο έχουµε: ν = 40 (άρτιος) οπότε η διάµεσος είνι το ηµιάθροισµ των δυο µεσίων πρτηρήσεων δ = Η επικρτούσ τιµή είνι: Μ 0 = 4 (φού έχει την µεγλύτερη συχνότητ ν 4 = 0) Β5. Τουλάχιστον δυο φορές βγήκε το ποσοστό: f % + f 3 % + f 4 % = 5 +,5 + 50 = 87,5 % των µθητών. 0η + η = 3 + 4 = 3, 5 ΘΕΜΑ Γ Γ. lim x + Γ. lim x ax f (x) = lim x + 6 = 6 3 x + 5 f (x) = lim = lim x x ( ) 9 x + 5 = lim x x lim x ( ) = lim ( ) 3 + x + 5 ( x) ( + x) ( x) 3 + x + 5 ( ) = lim x = 4 6 = 3 ( )( 3 + x + 5) ( )( 3 + x + 5) x x 3 x + 5 ( ) 3 + x + 5 9 x 5 x x ( ) = lim x 3 x x + 5 = lim 4 x x x ( ) ( ) 3 + x + 5 ( ) = ( ) 3 + x + 5 + x 3 + x + 5 = + 3 + + 5 = 4 3 + 9 = 4 6 = 3 Γ3. Έχουµε f () = 3 Γι ν είνι συνεχής η f(x) στο x 0 = θ πρέπει ν ισχύει: lim x + f (x) = lim f (x) = f () x + 3 = 3 = Γ4. Στο διάστηµ [, + ) γι = έχουµε: f (x) = x 6 Πργωγίσουµε την f(x), οπότε: f (x) = x 6 = x 3 f (x) = 0 x 3 = 0 x = 0 Γι x > έχουµε f (x 0 ) > 0 Άρ η f(x) στο διάστηµ, + [ ) είνι γνησίως ύξουσ.
ΘΕΜΑ Δ Δ. Έχουµε f (x) = ( x β) Δ. Εφόσον η συνάρτηση f(x) προυσιάζει τοπικό κρόττο στο σηµείο x 0 = 0 έχουµε: f (0) = 0 ( 0 β) = 0 = β β = β = ± Αλλά β οπότε β = Δ3. Γι β = έχουµε: f (x) = f (x) = 0 ( x ) = 0 ( x ) x κι f (x) = x + + ( x ) x x x = 0 x( x ) = 0 x = 0 ή x = = 0 x x + = 0 x x ( ) ( x ) ( x ) = 0 x 0 + f (x) + 0 0 + f(x) T.M T.E. Στ διστήµτ (, 0], + Στ διστήµτ [ 0,), [ ) η συνάρτηση f(x) είνι γνησίως ύξουσ ( ] η συνάρτηση f(x) είνι γνησίως φθίνουσ Δ4. Γι x = έχουµε: f () = + + = + + = 3 + Επειδή > 0 έχουµε 3 + > 0 δηλδή f() > 0 () Στο διάστηµ [,4] η συνάρτηση f(x) είνι γνησίως ύξουσ άρ x f (x) f () f (x) 3 + () f (x) > 0 οπότε: 4 4 4 Ε = f (x) dx = f (x)dx = x + + x dx = x + x + ln ( x ) 4 Γνωρίζουµε ότι + 4 + ln 4 ( ) + + ln ( ) = 8 + 4 + ln3 a ln = 6 + + ln3 () Ε = 6 + ln3 () 6 + + ln3 = 6 + ln3 = 6 + ln3 6 ln3 = 0 = 4 =